03 Bab 2

Bab

2

Trigonometri r be m u S

Pada bab ini, Anda akan diajak menerapkan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah, melalui menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut, mengkonversi koordinat Cartesius dan koordinat kutub, menerapkan aturan sinus dan cosinus, serta menentukan luas suatu segitiga.

Menurut sejarah, awalnya trigonometri dikembangkan untuk keperluan geografi (pembuatan peta) dan untuk keperluan astronomi (untuk memahami gerak benda-benda langit). Pada perkembangan berikutnya, trigonometri tidak hanya dimanfaatkan oleh matematika, tetapi juga menjadi alat penting bagi ilmu-ilmu dasar, seperti kimia, fisika, teknik mesin, teknik elektro, dan teknik geodesi. Oleh karena itu, trigonometri menjadi sangat penting untuk dipelajari. Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep trigonometri. Salah satunya permasalahan berikut. Eko mengukur bayangan sebuah tiang di tanah. Setelah diukur, panjangnya mencapai 5,2 m. Kemudian, ia mengukur sudut yang terbentuk antara ujung bayangan dengan ujung tiang. Besar sudut tersebut adalah 60°. Tanpa mengukur langsung tiang tersebut, dapatkah Eko menentukan tinggi tiang yang sebenarnya?

du .e su c l.v ee wh e n ici ed m :

A. Perbandingan Trigonometri B. Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut yang Berelasi C. Menggunakan Tabel dan Kalkulator untuk Mencari Nilai Perbandingan Trigonometri D. Identitas Trigonometri E. Mengkonversi Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub F. Aturan Sinus dan Cosinus G. Luas Segitiga

Trigonometri

35

Peta Konsep Materi mengenai Trigonometri dapat digambarkan sebagai berikut. Trigonometri materi yang dipelajari

Perbandingan Trigonometri

Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub

Aturan Sinus dan Aturan Cosinus

terdiri atas

terdiri atas

terdiri atas

Suatu Sudut Segitiga Siku-Siku

Mengubah Koordinat Cartesius Menjadi Koordinat Kutub

Sudut-Sudut Istimewa Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

Menghitung Luas Segitiga jika diketahui

Aturan Sinus

Sebuah Sudut dan Dua Sisi yang Mengapitnya

Jika Diketahui Dua Sudut dan Sebuah Sisi

Mengubah Koordinat Kutub Menjadi Koordinat Cartesius

Sebuah Sisi dan Dua Sudut yang Mengapitnya

Aturan Cosinus Jika Diketahui Sebuah Sudut dan Dua Sisi yang Mengapitnya

Identitas Trigonometri

Ketiga Sisinya

Soal Pramateri Kerjakanlah soal-soal berikut sebelum Anda mempelajari bab ini. 1.

Perhatikan segitiga siku-siku berikut.

c

b

2. a

36

Tentukanlah panjang sisi segitiga yang belum diketahui. a. c = 10, a = 6, b = ... b. a = 3, b = 4, c = ... c. b = 576, c = 676, a = ... Tentukanlah nilai berikut. a.

(3 5 )2

d.

45

b.

(2 7 )

2

e.

34

c.

72

Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

A Perbandingan Trigonometri Pada materi bab ini, Anda akan mempelajari perbandingan trigonometri dari suatu sudut segitiga siku-siku sehingga Anda akan mengenal istilah sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan, dan cotangen. Untuk memudahkan Anda mempelajari materi ini, coba ingat kembali dalil Pythagoras berikut "kuadrat dari sisi terpanjang (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat sisi lainnya."

Kata Kunci • • • •

segitiga siku-siku sinus cosinus tangen

1. Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku Sebelum mempelajari materi ini, lakukanlah kegiatan berikut.

Kegiatan Siswa

iri im sis A

a

A (i)

2.

3.

sisi di depan A

ng

Lakukan kegiatan berikut bersama 3–4 orang teman Anda. 1. Gambarlah tiga buah segitiga siku-siku yang sebangun dengan ketentuan sebagai berikut. r ,FUJHB TVEVUOZB TBNB CFTBS CFTBS TVEVU ZBOH "OEB UFOUVLBO CFSCFEB EFOHBO UFNBO "OEB r 6LVSBO LFUJHB TJTJOZB CFSCFEB CFEB UJEBL BEB ZBOH TBNB QBOKBOH .JTBMLBO TFHJUJHB ZBOH "OEB CVBU TFQFSUJ CFSJLVU

a sisi di dekat A (ii)

A

a (iii)

Gunakan busur derajat untuk menghitung besar sudut A (ke derajat terdekat). Perlu Anda ingat bahwa besar sudut A lebih dari 0° dan kurang dari 90°. Gunakan penggaris untuk mengukur panjang masingmasing segitiga siku-siku tersebut, kemudian isikanlah pada tabel berikut.

Trigonometri

37

Jelajah

Segitiga ke-

Matematika

Panjang sisi di depan A Panjang sisi miring

(i) (ii) (iii) Panjang sisi di dekat A Panjang sisi miring

Pythagoras lahir sekitar tahun 582 M di Pulau Samos, Yunani. Beliau menemukan dan membuktikan sebuah rumus sederhana dalam geometri tentang ketiga sisi pada segitiga sikusiku. Dalil ini dinamakan Dalil Pythagoras. Pythagoras meninggal sekitar tahun 497 SM pada usia 85 tahun.

4.

5.

Panjang sisi di depan A Panjang sisi di dekat A

Perhatikan nilai-nilai perbandingan yang Anda peroleh pada ketiga segitiga siku-siku tersebut. Apa yang Anda dapatkan dari hasil tersebut? Sekarang, coba Anda perhatikan gambar ΔABC berikut. C

Sumber: Oxford Ensiklopedi Pelajar, 1999

B

a. b.

38

b

A

Dengan menggunakan busur dan penggaris, hitunglah: r #FTBSTVEVU b (gunakan satuan ke derajat terdekat) r 1BOKBOHTJTJAB, BC, dan AC (gunakan satuan ke cm terdekat) Tentukan nilai perbandingan panj a ang sisi di depan b ... . r = panj a ang sisi mirin r g ...

r

panj a ang sisi di dekat b ... . = panj a ang sisi mirin r g ...

r

panj a ang sisi di depan b ... = panj a ang sisi di dekaat b ...

6.

Apakah nilai perbandingan untuk ΔABC sama dengan nilai perbandingan untuk ketiga segitiga sebelumnya? Jika tidak sama, perubahan apakah dari ketiga segitiga sebangun yang membuat nilai perbandingan segitiga baru berbeda?


Hasil kegiatan yang telah Anda kerjakan dapat memperjelas bahwa hasil perbandingan sisi-sisi segitiga bergantung pada sudut a dan b . Jika sudutnya ( a ) sama maka hasil perbandingan sisisisinya akan sama. Perhatikan gambar berikut. D

C

a A

B

E

Gambar 2.1 ABC sebangun dengan AED

ΔABC ΔAED (dibaca "segitiga ABC sebangun dengan segitiga AED"). Perbandingan sisi-sisi segitiga secara cepat dapat diketahui dengan menggunakan konsep trigonometri yang didefinsikan sebagai berikut. BC ED 1. = = sinus a = i a AC AD AB AE 2. = = cosinus a = a AC AD BC ED 3. = = tange a na = t a AB AE AC AD 4. = = cosecant a = cosec a BC ED AC AD 5. = = secant a = a AB AE AB AE 6. = = cotange a nt a = cotan ta a BC ED Berdasarkan penjelasan tersebut, dapat dibuat ringkasannya sebagai berikut. Perbandingan trigonometri untuk seperti pada Gambar 2.2 adalah: a 4. 1. sin a = b c 2. cos a = 5. b a 3. tan 6. a a= c

C

a

b

segitiga siku-siku ABC cosec a = sec a =

b a

b c

c cotan a a= a

A

a

c

B

Gambar 2.2 Segitiga siku-siku dengan a sebagai salah satu sudutnya

Trigonometri

39

Jelajah

Matematika Hipparchus (±170–125 M)

Dari ringkasan tersebut, Anda dapat memperoleh hubunganhubungan berikut. a sin a b a b a 1. a a = = ◊ = = tan cos a c b c c b Jadi,

2.

Teorema perbandingan sisi-sisi pada segitiga telah digunakan bangsa Mesir dan Babilonia. Akan tetapi, perbandingan yang sekarang digunakan kali pertama ditetapkan sekitar tahun 150 SM oleh Hipparchus yang menyusun perbandinganperbandingan itu di dalam tabel. Hipparchus dari Nicea sangat tertarik pada Astronomi dan Geografi. Hasil kerjanya merupakan asal mula rumusan trigonometri. Hipparchus menerapkan trigonometri untuk menentukan letak kotakota di permukaan bumi dengan menggunakan garis bujur dan garis lintang. Sumber: Ensiklopedia Matematika dan Peradaan Manusia, 2002

3.

4.

sin a

tan a a=

sin a cos a

a=

a b ¥ =1 b a

Jadi, sin a =

1 cosec a

cos a sec a =

c b ¥ =1 b c

Jadi, cos a =

1 sec a

tan a a

t a=

Jadi, tan a a=

atau

atau

cosec a =

sec a =

1 cos a

a c ¥ =1 c a

1 cotan a a

atau cotan a a=

1 tan a a

Tugas Siswa 2.1 Coba Anda buktikan kebenaran pernyataan berikut. cos a cosec a = = cotan a seca sin a

Contoh Soal 2.1 Jika sin b =

4 , tentukanlah nilai perbandingan trigonometri lainnya. 5

Jawab: Buatlah gambar yang mewakili sin b =

40

1 sin a


4 . 5

Tentukan sisi yang belum diketahui dengan rumus Pythagoras. x2 = 52 – 42 x2 = 25 – 16 = 9 x= 9 =3 Dengan demikian, dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya. 3 5 cos b = sec b = 5 3 4 3 tan b = cotan b = 3 4 cosec b = 5 4

4

5

b x=3

Contoh Soal 2.2 Diketahui ΔABC dan ΔDEF seperti pada gambar berikut. F A

a b

c

2 2

q C

B

2

D

E

a

(a)

(b)

Tentukanlah semua perbandingan trigonometri untuk sudut q . Jawab: a.

sin a =

a b

2 1 = 2 2 2

cos a =

c b

2

=1

tan a a=

a c

2

cosec a =

sin q =

2 1 = 2 2 2

cos q = tan a q=

2

cosec q = sec q =

2

2

cotan a q=

2

= 2

b.

b c

= 2

sec a =

2

cotan a a=

2

=1

b a

c a

Trigonometri

41

Contoh Soal 2.3 Diketahui salah satu sudut segitiga siku-siku ABC adalah q . 3 Jika diketahui sin q = dan panjang sisi di seberang q adalah 6 cm. 5 Hitunglah cos q , tan q , cosec q , sec q , dan cotan q . C

AC

=

...

q A

AB = ...

6 cm

B

Jawab: Diketahui sin q = 3 dan panjang sisi seberang q = BC = 6 cm. 5 Sebelum menghitung cos q , tan q , cosec q , sec q , dan cotan q , Anda harus mencari panjang sisi AB dan AC terlebih dahulu. Dari nilai 3 sin q = , Anda dapat menemukan nilai AC. 5 CB sin q = AC 3 6 = 5 AC 6 5 = 10 cm 3 Oleh karena Anda telah mengetahui nilai AC dan BC, Anda dapat mencari nilai AB dengan rumus Pythagoras. AB2 = AC2 – BC2 AB2 = 102 – 62 = 100 – 36 AB2 = 64 AB = 64 = 8 cm Jadi, perbandingan trigonometrinya adalah 8 4 cos q = = 10 5 6 3 tan a q= = 8 4 10 5 cosec q = = 6 3 10 5 sec q = = 8 4 8 4 cotan a q= = 6 3 AC =

42


Tugas Siswa 2.2 1.

Tentukan perbandingan trigonometri sesuai dengan gambar berikut.

12

a. b. c. d. e. f.

20

q 16

2.

sin q cos q tan q cosec q sec q cotan q

Hitunglah panjang BC. Kemudian, tentukan nilai perbandingan trigonometrinya. a. sin b B 36 A b. cos b b c. tan b d. cosec b 39 e. sec b f. cotan b C

2. Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa Pada bagian sebelumnya, Anda telah mempelajari perbandingan trigonometri. Sekarang, Anda akan mempelajari perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa. Sudut istimewa yang akan dibahas di sini adalah sudut yang besarnya 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Pernahkah Anda melihat benda-benda yang memiliki sudut 0°, 30°, 60°, 60°, dan 90°?

y

A

a. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 60° Perhatikan Gambar 2.3. ΔAOB merupakan segitiga samasisi dengan panjang sisi 2 satuan, sehingga OA = AB = 2 satuan. Oleh karena ΔAOB sama sisi, OAB = ABO = OAB = 60°. AC merupakan garis tinggi ΔAOB. Garis OC merupakan setengah dari OB sehingga OC 1 satuan. Dari keterangan tersebut, Anda dapat mencari panjang AC dengan rumus Pythagoras. Mengapa AC dicari dengan rumus Pythagoras? Selidikilah.

2

60°

O

C

B

x

Gambar 2.3 Segitiga samasisi OAB

Trigonometri

43

Panjang AC dapat dicari dengan cara berikut. AC = =

OA2 - OC 2 22 12

= 3 Dari informasi yang telah diperoleh, Anda dapat menentukan perbandingan trigonometri untuk sudut 60°. Perbandingannya sebagai berikut. OA 2 2 ∞ AC 3 1 3 = = 3 ; cosec 60 = sin 60 ∞ = = = AC 3 3 OA 2 2 OC 1 OA 2 ; sec 60 ∞ = cos 60 ∞ = = = =2 OA 2 OC 1 OC 1 1 AC 3 3 a 60 ∞ = = = ; cotan tan a 60 ∞ = = = 3 AC 3 3 OC 1 y

b. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 45°

P(1,1)

B

45°

O

A

x

Gambar 2.4 Grafik Cartesius dengan sebuah garis bersudut 45° terhadap sumbu-x

A 30°

2

3

1

C

B Gambar 2.5

Segitiga OAC pada segitiga OAB

44

OP = 12 12 = 2 , sehingga akan diperoleh perbandingan trigonometri berikut. AP 1 1 sin 45∞ = = = 2 ; cosec 45∞ = OP = 2 = 2 OP 2 2 AP 1 AO 1 1 OP 2 ∞ cos 45 = = = 2 ; sec 45∞ = = = 2 OP 2 2 AO 1 AP 1 AO 1 ; cotan 45∞ = tan 45∞ = = =1 = =1 AO 1 AP 1

c. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 30°

60°

O

Perhatikan Gambar 2.4. Titik P memiliki koordinat (1,1). A merupakan titik pada sumbu-x yang ditarik dari titik P yang tegak lurus sumbu-x dan B merupakan titik pada sumbu-y yang ditarik dari titik P yang tegak lurus sumbu-y. Dapat diketahui PA = PB = 1. 1 AOP = AOB = 45° 2 Oleh karena itu, OP dapat dicari dengan rumus Pythagoras. OP merupakan sisi miring Δ siku-siku OAC.

Perhatikan gambar ΔAOB pada Gambar 2.5. ΔAOB merupakan segitiga sama sisi, sehingga AOB = OBA = OAB = 60°. ΔOAC merupakan segitiga siku-siku dengan siku-siku di C dan panjang sisi 2 satuan. OAC merupakan setengah dari OAB. Dengan demikian, OAC = 30°.


sin 30∞ =

OC 1 = OA 2

cos30∞ =

AC 3 1 = = 3 OA 2 2

tan 30∞ =

OC 1 1 = = 3 AC 3 3

OA 2 OC OA 2 2 ∞ = = 3 ; sec 30 = AC 3 3

; cosec 30∞

; cotan 30∞ =

AC 3 = = 3 OC 1

d. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 0° Perhatikan Gambar 2.6(a). r merupakan sisi miring pada segitiga OAB dengan sudut a ( a 0). Bagaimana jika a = 0? Jika a = 0 maka gambar segitiga akan seperti pada Gambar 2.6(b). Dengan demikian, nilai x = nilai r = 1, nilai y = 0. Dari nilai-nilai tersebut, Anda dapat menentukan perbandingan trigonometrinya sebagai berikut. r 1 y 0 cosec 0∞ Æ tak terdefinisi ; sin 0∞ = = = 0 y 0 r 1 x 1 r 1 ; cos0∞ = = = 1 sec 0∞ = = = 1 r 1 x 1 x 1 y 0 cotan 0∞ Æ tak terdefinisi ; tan 0∞ = = = 0 y 0 x 1

y B r

y

a x

O

A(1, 0)

x

(a) y

x=r

O

A=B

x

(b) Gambar 2.6

e. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 90° Perhatikan kembali Gambar 2.6(a). Bagaimana jika a = 90°? Jika a = 90°, r = OB akan berimpit dengan sumbu-y (Perhatikan Gambar 2.7). Dengan demikian, nilai x = 0, nilai y = nilai r = 1. Dari nilai-nilai tersebut, Anda dapat menentukan perbandingan trigonometrinya sebagai berikut. y 1 r 1 ; cosec 90∞ = = = 1 sin 90∞ = = = 1 r 1 y 1 x 0 r 1 ∞ ∞ ; sec 90 = = Æ tak terdefinisi cos90 = = = 0 r 1 x 0 y 1 x 0 ∞ tan 90 = = Æ tak terdefinisi; cotan 90∞ = = = 0 x 0 y 1 Nilai-nilai perbandingan trigonometri dari sudut 0° sampai 90° dirangkum pada tabel berikut.

(a) Segitiga OAB dengan BOA = a (b) Sudut 0° pada diagram Cartesius

y B(0, 1)

90°

x

O Gambar 2.7

Grafik Cartesius dengan sudut 90°

Trigonometri

45

0

30°

sin

0

1 2

1 2

cos

1

1 3 2

1 2

tan

0

1 3 3

cosec

tak terdefinisi

2

sec

1

2 3 3

cotan

tak terdefinisi

3

Solusi Cerdas Diketahui: sin 1 a = 1 , 2 2 0º < a < 90º. Nilai cos a = …. 1 a. 1 d. 4 1 3 b. e. 8 4 1 c. 2

1 a = sin 30º 2 1 a = 30º 2

a = 60º cos a = cos 60º 1 cos a = 2 Jadi, cos a =

°

60°

90°

2

1 3 2

1

2

1 2

0

3

tak terdefinisi

2

2 3 3

1

2

2

tak terdefinisi

1 3 2

0

1

1

Dengan menggunakan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudutsudut istimewa, hitunglah nilai berikut. a. sin 30° + cos 60° b. sin 30° cos 45° + cos 30° · sin 45° tan 60∞ tan 30∞ c. 1 tan 60∞ tan 30 30∞ Jawab: a.

1 . 2

b.

Jawaban: c UN SMK, 2004

1 1 + =1 2 2 sin 30° · cos 45° + cos 30° · sin 45° 1 Ê1 1 ˆ Ê1 ˆ 2˜+ 3¥ 2˜ = Á ¥ 2 Ë2 2 ¯ Ë2 ¯ 1 1 = 2+ 6 4 4 1 = 2 6 4 1 3 3tan 60∞ tan 30∞ 3 = 1 1 tan 60∞ tan 30 30∞ Ê ˆ 3˜ 1 3¥ 3 Ë ¯ sin 30° + cos 60° =

(

c.

)

Ê 1ˆ Á1 - 3 ˜ 3 ¯ = Ë 1 1

46

45°

Contoh Soal 2.4

Jawab: 1 1 sin a = 2 2 sin

Sudut-Sudut Khusus (Istimewa)

Perbandingan Trigonometri


2 3 3 = 2 1 = 3 3

Contoh Soal 2.5 Eko mengukur bayangan sebuah tiang yang menancap di tanah. Setelah diukur, panjang bayangannya mencapai 5,2 m. Kemudian, ia mengukur sudut yang terbentuk antara ujung bayangan dengan ujung tiang. Besar sudut tersebut adalah 60°. Tentukan tinggi tiang yang sebenarnya, tanpa mengukur langsung tiang tersebut. Jawab: Dari gambar di samping diperoleh x tan 60° = 5, 2 x = 5,2 tan 60° = 5,2 3 Jadi, tinggi tiang adalah 5,2 3 m.

Tiang

x 60° panjang bayangan = 5, 2 m

3. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di Kuadran I, II, III, dan IV Perhatikan gambar berikut. y

P2(–x, y)

Kuadran II

r

y

C Kuadran III

P1(x, y)

B

–x

r

a

O

y Kuadran I x

A

–y r

P3(–x, –y)

–y Kuadran IV

r

D

x

P4(x, –y)

Gambar 2.8 Kuadran pada grafik Cartesius

Kedudukan titik P1 (x, y) dapat berubah bergantung pada sejauh mana garis OP1 diputar. Ada 8 kemungkinan kedudukan titik P1 jika dikaitkan dengan besar sudut putaran a , yaitu:

Trigonometri

47

1. Jika a = 0° maka titik P1 terletak pada sumbu-x positif. 2. Jika 0° < < 90° maka titik P1 terletak di kuadran I. 3. Jika a = 90° maka titik P1 terletak pada sumbu-y positif. 4. Jika 90° < < 180° maka titik P1 terletak di kuadran II. 5. Jika a = 180° maka titik P1 terletak pada sumbu-x negatif. 6. Jika 180° < a < 270° maka titik P1 teletak di kuadran III. 7. Jika a = 270° maka titik P1 terletak pada sumbu-y negatif. 8. Jika 270° < a < 360° maka titik P1 terletak di kuadran IV. Hubungan antara x, y, dan r menurut teorema Pythagoras adalah r = x 2 + y 2 . Berdasarkan keterangan tersebut maka tanda (positif atau negatif) nilai perbandingan trigonometri pada berbagai kuadran dapat kita peroleh sebagai berikut.

a. Kuadran I (0°