ESPACIOS VECTORIALES (Clase 04) 07 de Junio de 2011 Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1
07 de Junio de 2011
ESPACIOS VECTORIALES (Clase 04) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero 1
Puntos a tratar
1. Producto escalar 2. Norma y distancia 3. Ortogonalidad
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero 2
Subespacio vectorial generado Sea V un espacio vectorial real. Sea G un conjunto (no vacío) de vectores de V:
Definimos como el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores:
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Producto escalar Sea V un espacio vectorial real es un producto escalar sobre V si : 1.2.3.4.es un espacio vectorial euclídeo Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Ejemplos 1.- Producto escalar usual en Para
vectores de
definimos:
vectores de
definimos:
2.- Otro producto escalar en Para
3.- Producto escalar usual en Siendo Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Ejemplos 4.- Producto escalar usual en Para
definimos:
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Ejemplos 5.- Producto escalar usual en Para
definimos:
Siendo la traza de una matriz cuadrada la suma de los elementos de su diagonal principal principal..
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Ejemplos OBSERVACIÓN.
Otra forma (más cómoda) de calcular el producto escalar usual de dos matrices cuadradas del mismo orden
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Ejemplos 6.- Producto escalar usual en es el espacio vectorial de las funciones continuas en [a , b], y por tanto integrables en [a , b].
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Algunas propiedades del producto escalar
1.2.3.-
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Puntos a tratar
1. Producto escalar 2. Norma y distancia 3. Ortogonalidad
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero 11
Norma y distancia
Sea
un espacio vectorial euclídeo
Norma o longitud de un vector vector..-
Distancia entre dos vectores vectores..-
OBSERVACIÓN.
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Propiedades de la norma 1.2.3.4.Desigualdad de Schwarz* 5.6.Desigualdad de Minkowski o desigualdad triangular Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Desigualdad de Schwarz Desigualdad de Schwarz
Definición de ángulo entre dos vectores no nulos
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Puntos a tratar
1. Producto escalar 2. Norma y distancia 3. Ortogonalidad
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero 15
Ortogonalidad Definición de vectores ortogonales
EJEMPLOS. En ( vectores
p.e.usual) usual comprobar que los son ortogonales ortogonales..
Producto escalar es el único vector de V ortogonal a todos los vectores de V Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Subconjuntos ortogonales Dos subconjuntos ( ), cuando
A
y
B
de
V
son ortogonales
Sea S subespacio vectorial de V y una base de S. Entonces:
EJEMPLO. Comprobar que los subconjuntos
son ortogonales en (
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
p.e. usual) usual)
José Luis Quintero
Ejemplo
Hallar el subespacio vectorial formado por todos los vectores ortogonales al subespacio subespacio:: utilizando el producto escalar usual en Según la definición de
.
, será:
siendo B una base de S.
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Ejemplo
Primero encontramos una base de S.
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Pensamiento de hoy
“Los individuos astutos ven las tendencias y deducen los mensajes importantes que éstan conllevan. Los individuos exitosos utilizan estos mensajes como un mapa del camino hacia la riqueza y la propsperidad”. Robert Gilbreath Álgebra Lineal y Geometría Analítica
