2 - Hachette Education

Livre du professeur J EAN-PAUL B ELTRAMONE

© Hachette Livre 2010 – Déclic 2de

VINCENT B RUN J EAN L ABROSSE CLAUDINE M ERDY LYDIA M ISSET PHILIPPE ROUSSEAU O LIVIER S IDOKPOHOU CLAUDE TALAMONI A LAIN TRUCHAN

Maquette de couverture : Johan Misset Composition et mise en page : Sonia Dubois (Desk) Dessins : Lionel Buchet (SG Production) Suivi éditorial : Régine Delay


www.hachette-education.com © HACHETTE LIVRE 2010, 43, quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15. Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droits ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

Intentions générales des auteurs Le présent manuel a été conçu par les auteurs dans le respect des contenus et des recommandations du programme de mathématiques de la classe de Seconde publié au BO n°30 du 23 juillet 2009. La structuration et les rubriques composant chaque chapitre ont été créées pour répondre aux objectifs généraux de ce programme, ainsi qu’à la nécessaire « diversité de l’activité de l’élève ».

• Chaque chapitre s’ouvre sur une page « Partir d’un bon pied ». L’objectif principal de cette page est de balayer, à partir de quelques exercices simples, l’ensemble des connaissances antérieures qu’il faudra mobiliser au cours du chapitre concerné. Ces exercices seront également l’occasion « d’expliquer oralement une démarche, de communiquer un résultat par oral ou par écrit ».

• La page d’ouverture de chaque chapitre en présente les grands objectifs principaux. La rubrique « Des maths partout ! » illustre la diversité des champs d’intervention des mathématiques et de leurs applications dans le monde d’aujourd’hui.

• La double page « Découvrir » est consacrée à des activités d’approche et d’introduction des contenus abordés dans le chapitre, ou à la reprise de notions antérieures devant être mobilisées. Ce sera également l’occasion « d’assurer et de consolider les bases mathématiques », « de communiquer à l’écrit et à l’oral », mais aussi très régulièrement d’« utiliser les outils logiciels ».

• Les pages de Cours sont consacrées à la présentation de nouveaux contenus mentionnés dans le programme. La précision, la clarté et la concision ont été les qualités essentiellement recherchées par les auteurs.

• Chaque page de cours est suivie d’une page « Savoir faire », dans laquelle une compétence clé a été privilégiée relativement aux contenus abordés dans la page en regard. Il s’agit, à travers une résolution d’exercice rédigée en détail et accompagnée de « points méthode », « d’appliquer des techniques », de s’initier à « raisonner, démontrer », mais aussi à « communiquer par écrit ». La rubrique « Pour s’exercer » propose des énoncés d’application directe permettant de réinvestir immédiatement les contenus et méthodes abordés dans la double page. • Dans les deux pages « Appliquer – Mettre en œuvre », des exercices résolus sont proposés aux élèves. Ces exercices récapitulent, de façon contextualisée, les divers contenus et méthodes abordés dans le chapitre. Ils sont accompagnés de stratégies, en vue d’aider les élèves à « conduire un raisonnement, une démonstration », « appliquer des techniques », et régulièrement à « utiliser des outils logiciels ».

• La double page « Chercher – Expérimenter – Démontrer » est conçue pour accompagner les élèves vers l’autonomie pour « modéliser et s’engager dans une activité de recherche » : un premier problème, dans la rubrique « Organiser une recherche », est « débroussaillé » jusqu’à une ébauche de solution. C’est ensuite à l’élève de rédiger une solution, dans l’objectif de « communiquer par écrit ». La rubrique « Prendre des initiatives » propose des énoncés de problèmes que les élèves doivent eux-mêmes traiter.

• Un résumé des principaux contenus et des méthodes abordés dans le chapitre est proposé dans la double page « Faire le point ». On propose d’abord, sous la forme d’un tableau à deux entrées « Savoir / Comment faire ? », les principaux savoirfaire à maîtriser à l’issue du chapitre, avec en regard une approche par contenus et méthodes. La page en regard propose un bilan du chapitre sous forme de questionnaires à choix multiples (QCM – Vrai ou faux ?). Outre son aspect récapitulatif, cette rubrique pourra être l’occasion de « faire une analyse critique d’un résultat ou d’une démarche », mais également de s’exercer à « communiquer à l’oral ».


• Enfin, les nombreux exercices et problèmes proposés permettront aux élèves d’exercer une activité mathématique diverse. « Algorithmique » et « Notations et raisonnement mathématiques » Les auteurs ont choisi de ne pas traiter ces thèmes comme des chapitres à part entière.

• Des « Outils pour l’algorithmique » sont proposés en fin de manuel. À partir d’activités, il s’agit de présenter la démarche algorithmique, de découvrir quelques instructions élémentaires, et de s’initier à la manipulation de logiciels répandus. Après quelques activités d’initiation, les élèves seront en mesure d’appliquer les outils élémentaires de l’algorithmique pour la résolution de problèmes « en relation avec les autres parties du programme ». Les activités, exercices et problèmes mettant en œuvre la démarche algorithmique sont nombreux dans ce manuel. Ils émaillent l’ensemble des chapitres et sont repérés par un logo qui les identifie clairement. 3

• Les « notations et raisonnements mathématiques » ne font également pas l’objet d’un chapitre particulier. De nombreux « points logique » sont toutefois identifiés dans le manuel, à l’intérieur du cours mais aussi d’activités ou d’exercices. Ils précisent tel ou tel aspect dans l’activité de raisonnement, ou présentent une notation nouvelle. Les auteurs ont ainsi traduit la volonté inscrite dans le programme de voir ces éléments « ne pas faire l’objet de séances de cours spécifiques » et « être répartis sur toute l’année scolaire ». Une page récapitulative « Notations et logique » est toutefois proposée à la fin du manuel. Utilisation d’outils logiciels L’« utilisation régulière » des outils logiciels est préconisée dans le programme. Afin de permettre cette utilisation régulière, de nombreux exercices et activités mobilisant l’utilisation des outils logiciels sont proposés dans ce manuel ; ils sont repérés par un logo permettant de les identifier. Certains d’entre eux sont conçus pour être traités en salle informatique, d’autres peuvent être l’occasion d’une séance en classe avec un outil de visualisation collective, ces deux modes de travail pouvant être souvent au choix de l’enseignant. Les contenus figurant dans le programme ont été regroupés en 12 chapitres. De nombreuses progressions annuelles sont concevables dans le cadre de la structure ainsi proposée, afin de permettre un traitement équilibré dans le temps entre les différents thèmes identifiés dans le programme : fonctions, géométrie, statistiques et probabilités. Les auteurs souhaitent que ce manuel permette un enseignement des mathématiques en classe de Seconde fructueux, motivant et agréable pour les élèves et leurs professeurs.


Les auteurs

4

Sommaire 1.

Généralités sur les fonctions ...........................................................

2.

Expressions algébriques et équations

3.

Fonctions de référence

4.

Études de fonctions

7 19

......................................................................

35

............................................................................

43

5.

Résolution d’inéquations ..................................................................

53

6.

Trigonométrie

......................................................................................

65

7.

Statistiques

...........................................................................................

75

8.

Probabilités ............................................................................................

83

9.

Bases de la géométrie plane

............................................................

95

10.

Géométrie dans l’espace ...................................................................

105

11.

Droites dans le plan ............................................................................

115

12.

Les vecteurs ...........................................................................................

125


...........................................

5

1

Généralités sur les fonctions Introduction

1. Programme Contenus Fonctions Image, antécédent, courbe représentative.

Étude qualitative de fonctions Fonction croissante, fonction décroissante ; maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle.

Capacités attendues • Traduire le lien entre deux quantités par une formule. Pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule : • identifier la variable et, éventuellement, l’ensemble de définition ; • déterminer l’image d’un nombre ; • rechercher des antécédents d’un nombre. • Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d’une fonction définie par une courbe. • Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations. Lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations : • comparer les images de deux nombres d’un intervalle ; • déterminer tous les nombres dont l’image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée.

Commentaires Les fonctions abordées sont généralement des fonctions numériques d’une variable réelle pour lesquelles l’ensemble de définition est donné. Quelques exemples de fonctions définies sur un ensemble fini ou sur N, voire de fonctions de deux variables (aire en fonction des dimensions) sont à donner. Les élèves doivent distinguer les courbes pour lesquelles l’information sur les variations est exhaustive, de celles obtenues sur un écran graphique. Les définitions formelles d’une fonction croissante, d’une fonction décroissante, sont progressivement dégagées. Leur maîtrise est un objectif de fin d’année.  Même si les logiciels traceurs de courbes permettent d’obtenir rapidement la représentation graphique d’une fonction définie par une formule algébrique, il est intéressant, notamment pour les fonctions définies par morceaux, de faire écrire aux élèves un algorithme de tracé de courbe.

2. Intention des auteurs


Dans ce premier chapitre sur les fonctions, • on fait le point sur les connaissances du collège, en particulier la mise en place du vocabulaire ; • on définit la notion d’intervalle, de façon à préciser le langage concernant les fonctions ; • on concentre le travail sur le sens de variation des fonctions pour en faire un outil efficace de comparaison. Du point de vue mathématique : • on précise la notion d’image et d’antécédent, la notion de courbe représentative en la distinguant de la fonction elle-même et en donnant sens à la notion d’équation de courbe. • on distingue aussi la courbe représentative d’une fonction des dessins obtenus avec un traceur de courbe ou comme représentation de quelques données. Des dessins peuvent suffire pour répondre de façon satisfaisante à un problème, mais ils ne suffisent pas à démontrer des propriétés d’une fonction. • Les définitions théoriques d’une fonction croissante et décroissante sont données mais elles ne deviendront un outil qu’au fur et à mesure de l’année. Comme le préconisent les documents – ressource, dans le cadre de la résolution de problèmes, il s’agit pour l’élève : – d’identifier deux quantités qui varient tout en étant liées, Chapitre 1 •

7

1 – d’expliciter le lien entre ces deux quantités de diverses manières : tableau de valeurs obtenu grâce à des mesures ou à l’utilisation d’un logiciel (logiciel de géométrie ou tableur), nuage de points dessiné ou obtenu expérimentalement, courbe liée à la situation posée, formule exprimant l’une des quantités en fonction de l’autre, – d’identifier les avantages et les inconvénients de tel ou tel aspect d’une fonction – tableau de valeurs, nuage de points, courbe, formule, programme de calcul – selon la question initialement posée. Les algorithmes permettent également d’appréhender la notion de variation de fonction et s’insèrent au sein de la résolution de problème, notamment la recherche d’extrémum. Sans être forcément formalisés, c’est la démarche algorithmique qui importe. Tout au long de ce chapitre se précise l’utilisation de logiciels : calculatrices graphiques, traceurs de courbes, tableurs, logiciels de géométrie dynamique ou de programmation. L’utilisation d’un logiciel de calcul formel doit permettre, en fonction des élèves, de surpasser les difficultés du calcul algébrique. De nombreux QCM et VRAI - FAUX permettent de manier la notion de contre exemple.

Partir d’un bon pied Objectifs Réactiver chez l’élève les compétences nécessaires à une mathématisation au niveau : – des lectures graphiques, – des modélisations géométriques, – du vocabulaire usuel de l’algèbre.

2 AB = 3x ; CD = 3x + 4 ; EF = 3x + 12 ; GH = x + 12 ; IJ = 4 + x ; KL = 4 - 3x ; 3 4 ; OP = x + 4 . MN = x + 3 3

3 1. a. et D ; b. et B ; c. et A. 2. C : à x associe son triple ; E : à x associe son inverse ; F : à x associe x diminué de 2.

1 1. 60 min. 2. Vol à altitude constante de 20 m. 3. 60 m.

Découvrir 1 Lire un graphique

3 Comparer deux images

Objectif Lire des images et des antécédents dans le langage usuel.

1. Oui car les points de coordonnées ^V ; Dh sont alignés sur des droites passant par l’origine. 2. a. Il parcourt 15 m. b. La distance est multipliée par 1,8 environ. 3. Il roule à 90 km/h


2 Exploiter une courbe Objectif Utiliser un graphique pour résoudre un problème et aborder les variations d’une fonction à l’aide de représentations concrètes. 1. Heure 6 12 22 3 10,8 8 Hauteur d’eau en m 2. La hauteur d’eau est de 6 m à : 3 h, 8 h, 15 h 30, 21 h. 3. Le tirant d’eau est de moins de 5 m. 4. Il a pu entrer entre 0 h et 2 h, entre 8 h 30 et 15 h, entre 21 h et 24 h. 5. La hauteur d’eau maximale est de 11 m, minimale de 3 m. 6. La hauteur d’eau n’a cessé de diminuer entre 0 h et 6 h et entre 12 h et 18 h par exemple. La hauteur d’eau n’a cessé d’augmenter entre 6 h et 10 h et entre 20 h et 24 h par exemple. 7. t 0 6 11 18 24 h ^th 10,35

8

• Chapitre 1

3

11

3

10,35

Objectif Poursuivre une approche progressive des variations d’une fonction numérique. 1. a. En 1965 la production est de 13 t et en 1975, elle est de 16 t. b. La production est de 20 t en 1995 et en 2002. 2. a. En 1985 la production est inférieure à celle de 1990. b. En 1975 la production est supérieure à celle de 1990. En 1960 la production est inférieure à celle de 1970. 3. a. Voir ci-dessus. b. Non, par exemple en 1982 et 1983 on ne peut pas comparer. c. Si on sait que A1 1 A2 et que le production augmente entre A1 et A2 alors la production en A1 est inférieure à celle en A2 par exemple.

4 Observer les variations d’une fonction 1. et 2. Fichier info. N 3. a. Lorsque M est en A, a vaut 0 ; lorsque M est en I, a vaut 5 ; lorsque M est en B, a vaut 10. b b. a ! 60 ; 10 @. c. b peut valoir 3. Deux valeurs a A I M de a sont possibles. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle MNI, MN2 + MI2 = NI2 ; 32 + MI2 = 52.

Ꮿ

B

Donc MI2 = 16 et MI = 4 . Alors : Si M est entre A et I, a = AM = 5 - 4 = 1. Si M est entre I et B, a = AM = 5 + 4 = 9 . d. b ne peut pas valoir 6, car b est forcément inférieur au rayon 5 du demi-cercle. 4. a. Lorsque M va de A à I, a varie de 0 à 5. Lorsque M va de A à B, a varie de 0 à 10. b. Lorsque a varie de 0 à 5, la distance b augmente de 0 à 5.

c. Lorsque a varie de 5 à 10, la distance b diminue de 5 à 0. d. La valeur maximale de b est 5 ; la valeur minimale de b est 0. 5. a 0 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 8,5 9 9,5 10 b 0 2,2 3 3,6 4 4,6 4,9 5 4,9 4,6 4 3,6 3 2,2 0 0

a

5

10

5

b

0

0

Pour s’exercer Savoir faire

Décrire un ensemble en utilisant la notation sous forme d’intervalle

1 @- 2; 3@

E- 3 ; 10 E 3

6- 4 ; 56

@- 1 ; + 36

 

  

 







5 - 2,1 2 3 r -3 11





2 a. - 4 G x 1 10 ; x ! 64 ; 106 b. x 2 - 2 et x G 5 ; x ! @- 2 ; 5@

Savoir faire

b. Les réels qui ont - 1 comme image par f sont : 0 ; 1 ; 3,7.

6 a. • 1 - 2 ^- 4h2 = 1 - 2 # 16 = - 31

• g c 43 m = - 81

x

-2


f ^ xh 1

8

b. c. d. e.

x x x x

! ! ! !

@- 3 ; - 4 @ , @ 2 ; + 3 6 ; 62 ; 7 6 ; @- 3 ; 0 6 ; @ 2 ; 5@ .

4 a. x ! 64 ; + 36 ;

b. x ! E- 3 ; - 5 ; 2 d. x ! ;- 4 ; + 3; 3

Déterminer l’image d’un réel par une fonction

f ^2h = 0 .

7

3 a. x ! 6- 3 ; 7 6 ;

c. x ! E- 3 ; - 8 ; ; 5

5 a. f ^- 2h = 2 ; f ^- 1h = 0 ; f ^0h = - 1 ; f ^1h = - 1 ;

Savoir faire

c. x H 1 ou x 1 - 3 ; x ! @- 3 ; - 36 , 61 ; + 36 d. x 2 0 ; x ! @0 ; + 36 e. x G 8 et x 1 - 2 ; x ! @- 3 ; - 26

• g ^ 2h = - 3 • g ^5h = - 49

2 et 2 . 2 2 Les antécédents de - 26 sont - 3 6 et 3 6 . 2 2 b. Les antécédents de 0 sont

Construire et utiliser un tableau de variation 1

3

4

Une courbe possible :

y

3 2

-2

x

-3

f ^ xh

-1

1

5

5

1 0

1

1

x

9 a. Le maximum de g sur 6- 2 ; 4 @ est 10 ; le minimum de

g sur 6- 2 ; 4 @ est 1. b. On a : - 1 1 0 1 g ^3h 1 g ^- 1h 1 g ^0h 1 g ^0,5h 1 3 1 4 1 g ^4h Chapitre 1 •

9

1

Chercher - Expérimenter - Démontrer Organiser une recherche Recherche à l’aide d’un tableur 1. Si , = 15 alors L = 65 et l’aire du champ est 975 m2. 2. a. En B2 on introduit « =80-A2 » et en C2 on introduit « =A2*B2 ». b. La largeur prend les valeurs de 0 à 80. c. Il semble que l’aire est maximum lorsque l’enclos est un carré de 40 m de côté. Ébauche de solution • Formaliser le problème et confirmer la conjecture. 1. a. x ! 60 ; 80 @. b. On a L = 80 - x et f ^ x h = x ^80 - x h . 2. Voir ci contre. Cela confirme la conjecture.

• Utiliser un logiciel de calcul formel.

1. C’est la formule f ^ x h - 1 600 = - ^ x - 40h2 . 2. Pour justifier, il suffit de développer. Rédaction d’une solution

• On pose x la largeur de l’enclos, alors x ! 60 ; 80@ et

L = 80 - x donc l’aire de l’enclos est x ^80 - x h . • On pose f ^ x h = x ^80 - x h . À l’aide d’un tableur, on conjecture que le maximum est atteint pour x = 40 et vaut 1 600. • On a -^ x - 40h2 = - x2 + 80x - 1 600 = f ^ x h - 1 600. Un carré est toujours positif donc pour toutes les valeurs de x, f ^ x h - 1 600 G 0 c'est-à-dire f ^ x h G 1 600 . Comme f ^40h = 1 600 , la fonction f présente un maximum égal à 1 600 pour x = 40 .

Prendre des initiatives 14 Installation d’une canalisation Objectifs Conjecturer un minimum puis valider cette conjecture géométriquement. 1. Conjectures : a. On réalise la figure par exemple avec GEOGEBRA b. En déplaçant le point M, la valeur minimale de la somme AM + MB est approximativement 21,6 obtenue pour a = 7,5 .

B A

12,62 9,01

On a AM + MB = AlM + MB 2 AlB pour tout point M du segment 6 IK @ privé de C. Il y a égalité pour M en C. La valeur minimum de la somme AM + MB est donc AlB . En utilisant le théorème de Thalès dans les triangles AlIC et BKC on peut écrire IC IA l = CK BK I C 5 et après résolution IC = 7,5 ce qui soit = 18 - IC 7 donne MA + MB . 21,633 .

15 Conjecture K

I 7,5 M

2. Confirmation des conjectures : a. En utilisant le théorème de Pythagore dans les triangles AIM et BKM on obtient : f ^ ah = a2 + 52 + ^18 - ah2 + 72 c’est-à-dire : f ^ ah = a2 + 25 + a2 - 36a + 373 . b. À l’aide d’une calculatrice, on obtient les tables suivantes qui confirment la conjecture du 1.

Objectifs Mathématiser un problème avec un support de géométrie de l’espace. 1. Approche avec Geospace a. b. H

G

E

N D

F

M

C

A


B

3. Démonstration : On appelle Al le symétrique de A par rapport à ^ IK h et C le point d’intersection de ^ AlBh et ^ IK h . B A

14,21

7,28 I

M 5,29 7,28

A’

10

• Chapitre 1

C

K

c. La fonction f semble décroissante sur 60 ; 5@ puis croissante sur 65 ; 10 @. Il semble que le minimum de f est obtenu pour x = 5 et a pour valeur environ 12,25. 2. a. x ! 60 ; 10 @ b. f ^0h = AF = 10 2 ; f ^10h = EG = 10 2 . c. Dans le plan (AMN) on a la figure ci-dessous où AMQP est un rectangle avec AM = 5 donc NQ = 5 .

N On calcule AP2 dans le triangle rectangle E ABP : M Q AP2 = AB2 + BP2 = 102 + 52 = 125 . Dans le triangle rectangle MQN on a : A P MN2 = MQ2 + QN2 = 125 + 25 = 150 soit MN = 150 . Numériquement, 150 . 12,247 . Le résultat est cohérent avec la conjecture obtenue à l’aide du logiciel.

16 Étude d’un volume Objectifs Lire une figure de l’espace. Utiliser la géométrie plane. S Conjecturer un maximum. 1. Si O est le centre de la base, on pose OOl = x . Les droites ^ AlC lh et ^ AC h sont parallèles donc en utilisant le théorème de Thalès on a : AlC l SOl . = AC SO

A’

D’ O’

On obtient

AlC l 12 - x = 12 10 2

10 2 ^12 - x h 5 2 ^12 - x h . = 12 6 5 ^12 - x h l l . Comme AlBlC lDl est un carré AlBl = A C = 6 2 5 ^12 - x h 2 Le volume du pavé droit est f ^ x h = < F x soit 6 2 25x ^12 - x h . f ^ xh = 36

soit AlC l =

C’ B’

A

6 AC @ est la diagonale d’un carré de côté 10 donc AC = 10 2 .

G

E

C

F B

2. La hauteur du réservoir qui donne le volume maximum semble être 4 m.

Faire le point QCM A 1. b. et d. 2. a. et c. 3. c. et d. 4. b. et d. 5. b. et d.

B 1. c.

2. a., c. et d.

D 1. Faux.

2. Faux.

3. b. et c.

Vrai ou faux ? C 1. Vrai. 6. Faux.

2. Faux.

3. Faux.

4. Faux.

5. Faux.

3. Vrai.

4. Vrai.

5. Faux.

Exercices Applications directes

1


Mise au point sur les ensembles de nombres 17 QCM. 1. c. 63 ; + 36 . 2. c. 6- 2 ; 76 . 3. b. @0 ; + 36 18 QCM. 1. b. 63 ; 4 @ 2. c. 6- 0,6 ; 0 @.

4. b. @1 ; 5@

19 a. Faux car 3 n’appartient pas à l’ensemble indiqué. b. Faux car "- 4 ; 1, ne contient que deux nombres. c. Faux. Il se note "1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5, . d.Vrai car 7 1 12 1 14 . 7 7 7 20 1. - 3 1 x G 4 équivaut à

x ! @- 3 ; 4 @. 2. - 2 G x 1 3 équivaut à x ! 6- 2 ; 36 . 3. x 2 5 équivaut à x ! @5 ; + 36 . 4. x G 0 équivaut à x ! @- 3 ; 0 @.

5. - 7 1 x 1 1 équivaut à x ! @- 7 ; 16 .

21 I1 1 non -4 non -2 non r oui non 2 1,999999 non 2,4 oui 30 non 7

I2 oui oui oui non oui oui non

I3 oui non oui non oui oui oui

I4 non non non oui non non non

I5 non non non oui non non non

oui non non non

Chapitre 1 •

11

1 22 1. Tous les nombres de l’intervalle

69,5 ; 10,56 .

3. Faux. C’est le point de coordonnées ^- 5 ; 10h 4. Faux. Un nombre ne peut avoir qu’une image.

23 1. La variable est l’heure h du jour.

30 1. Réponses a. et b. 2. Réponse b. 3. Réponse c. 4. Réponses a. et b. 5. Réponses a. et c.

2. Tous les nombres y tels que y ! 64,345 ; 4,3556 . h ! 60 ; 24 @. 2. a. Entre 0 h et 10 h la température est dans l’intervalle 6- 2 ; 0 @. b. Entre 8 h et 14 h, la température varie dans l’intervalle 6- 1 ; 3@. c. Entre 14 h et 20 h, la température varie dans l’intervalle 62 ; 4 @. 3. a. La température est supérieure ou égale à 3 °C entre 14 h et 18 h : h ! 614 ; 18 @. b. La température est négative pour h ! 60 ; 10 @ , 623 ; 24 @.

24 a. Dans la première figure, le théorème de Pythagore donne pour troisième côté 52 - 32 = 4 donc x ! 60 ; 4 @. b. Dans la deuxième figure x ! 60 ; 5@. c. Dans la troisième figure la diagonale du carré a pour longueur 10 2 donc x ! 7 0 ; 10 2 A .

25 1. On doit avoir 10 1 8 + 9 + x 1 10,5 3 soit x ! @13 ; 14,56 . 2. Il a obtenu 14.

26 La courbe Ꮿ1 a pour ensemble de définition E d . La courbe Ꮿ2 a pour ensemble de définition E e . La courbe Ꮿ3 a pour ensemble de définition E a . La courbe Ꮿ4 a pour ensemble de définition E b . La courbe Ꮿ5 a pour ensemble de définition E c . La courbe Ꮿ6 a pour ensemble de définition E f .


2

Notion de fonction

27 1. Faux 2. Faux. f ^- 1h = - 2 3. Vrai 4. Vrai 5. Faux car 2 a deux antécédents : - 4 et - 2 . 6. Vrai car f ^- 2h = 2 . 28 1. b.

2 d.

3 d.

29 1. Faux. L’image de - 3 est 1. 2. Vrai 12

• Chapitre 1

31 1. Réponse b. 3. Réponse a.

2. Réponse c. 4. Réponse b.

Exprimer en fonction de

32 1. Réponse b. 3. Réponses a. et c. 5. Réponses b. et c.

2. Réponse a. 4. Réponse c.

33 1. Pour 7 jours : la formule A donne 250 + 7 # 10 = 320 € et la B 300 + 7 # 5 = 335 €. La formule A est plus intéressante. Pour 12 jours on paye 370 € pour la formule A et 360 € pour la B qui est plus intéressante. 2. Pour la formule A : A ^ Nh = 250 + 10N . Pour la formule B : B ^ Nh = 300 + 5N . 3. Réponses b. et c.

37 1. x ! 60 ; 20@. 2. V ^5h = 500 ; V ^10h = 1 000 ; V ^15h = 1125 ; V ^20h = 1250 . 3. Pour x ! 60 ; 10 @, V ^ x h = 100x . Pour x ! 610 ; 20 @, V ^ x h = 750 + 25x. 4. Il faut résoudre V ^ x h = 625 donc 100x = 625 soit x = 6,25 . Courbe représentative

38 1. L’ensemble de définition de f est

6- 5 ; 5@. 2. f ^- 5h = 4 ; f ^- 2h = 1 ; f ^2h = 1. 3. • 4 a pour antécédents par f : - 5 et 5 • - 2 a pour antécédents par f : - 3 et 4. • 1 a pour antécédents par f : - 4,2 ; - 2 ; 2 et 4,5.

39 1. f ^0h = 8 . 2. • Les antécédents de 0 sont - 4 , 2 et 5 • Les antécédents de 8 par f sont - 3 , 0 et 6 • 12 n’a pas d’antécédent par f. • Les antécédents de 9 par f sont - 2,5 et - 0,6 . 3. Le point M n’est pas un point de Ꮿ car f ^0h = 8 mais on ne peut rien affirmer pour le point P.

34 a. Aire = 300 # ^400 - x h


35 1. On doit avoir 2 ^L + ,h = 50 .

41 1. a. On ne sait pas. b. Vrai. c. On ne sait pas. d. On ne sait pas. e. On ne sait pas. 2. a. Faux car f ^4h = 16 . b. Vrai car f ^- 1h = 1. c. Faux car f ^0,5h = 0,25 . d. Faux car f ^4h = 16 . e. Faux car f ^- 1,5h = f ^1,5h = 2,25 .

6- 6 ; 5@. = 120 000 - 300x . 2. • 10 a pour antécédent par f : 1. b. Aire = 180 # b - 200 # a • 7 a pour antécédents par f : - 2 et 3. = 180b # 200a . • 0 a pour antécédent par f : - 4 . c. Aire • - 2 a pour antécédent par f : - 6 . = 500 # a - ^500 - x h # ^ a - y h 3. f ^1h = 10 ; f ^- 6h = - 2 ; f ^5h = 4 . = ax + 500y - xy . 4. Oui car la droite d’équation y = k d. Aire = ^80 + x h # 150 - 100 # x - 100 # x avec k ! 64 ; 106 coupe la courbe Ꮿ en deux points. = 12 000 - 50x . 2. Comme L + , = 25 on ne peut pas avoir L = 30 car , est positif. 3. L = 25 - , ; , = 25 - L . 4. Pour avoir un carré, il faut L = , donc 2L = 25 soit L = , = 12,5 .

36 1. L’aire est S = L, + 2Lh + 2,h . 2. Si L = 10 et , = 4 alors : S = 10 # 4 + 2 # 10 # h + 2 # 4 # h 42 Besoins énergétiques. 1. Les courbes coïncident sur l’intervalle soit S = 40 + 28h . @1 ; 116 . 3. Si L = 10 et h = 5 alors : 2. Pour une femme, la ration maximum S = 100 + 20, . est environ 11 000 kj/jour, à 14 ans.Pour 4. On doit avoir les hommes, elle est environ 12 700 kj/ 10, + 20h + 2,h = 180 jour, à 16 ans. soit h ^20 + 2,h = 180 - 10, donc 3. Elle a besoin de 10 000 kJ/jour à 10 h = 180 - 10, = 90 - 5, . et à 18 ans. 20 + 2, 10 + ,

43 a. Non car f ^2h = 3 . b. Non car - 1 n’a pas d’image par g. d. Non car k ^0h = 1. La fonction représentée est la fonction h. 44 1. Paul a une vitesse plus grande que Martin donc Paul est le cycliste et Martin le piéton. 2. Paul part de A et a un parcours de 40 km. Martin part à 5 km de A et marche sur 15 km. 3. Paul dépasse Martin au bout d’une heure 30 min. 4. La vitesse de Paul lors des trois premières heures est : d 20 . 6,7 km.h- 1. = t 3 De même, la quatrième heure, il roule à 10 km.h- 1 puis à 5 km.h- 1 les deux dernières heures.

45 1. u ^10h = 2,5 ; u ^30h = - 2,5 ; u ^80h = 0 . 2. La période de u est 40 ms. 3. u ^105h = u ^65h = u ^25h = 1,25 . 46 1. f ^50h = 0 ; f ^70h = - 4,4 .

2. La tension maximum est : 4,4 V et la tension minimum : - 4,4 V 3. f ^300h = f ^0h = 0 ; f ^170h = f ^70h = - 4,4 . Calculs d’images et d’antécédents

47 1. f ^- 5h = 20 ; f ^0h = - 5 ;


f ^6h = 31 ; f ^- 2h = - 1. 2. L’antécédents de - 5 par f est 0. 3. Si x = 0 on obtiendrait 0,5 et - 2 est une valeur interdite. 4. Oui car dans pour chaque valeur de x, on obtient le bon résultat. 5. a. On ne sait pas. b. Vrai. c. Vrai.

48 1. Seule la division par 0 est interdite donc f est définie sur @- 3 ; 06 , @0 ; + 36 . 2. f ^1h = 1, f ^2h = - 3 , f ^- 2h = - 5 , f ^ 2 h = 2 - 2 , f c 1 m = 15 , f c - 4 m = - 59 . 2 4 3 18 49 1. f ^1h = 2 ,

f ^- 2h = - 1

et

f ^ 2 h = 1. 2. • Les antécédents de 2 sont les solutions de l’équation - x2 + 3 = 2 qui équivaut à x2 = 1 qui a pour solutions - 1 et 1. • Les antécédents de - 1 sont - 2 et 2. • 4 n’a pas d’antécédent.

50 1. f ^- 1h = - 2 ;

Construction de courbes représentatives

f ^ 3 h = 2 3 - 2 ; f ^5h = - 14 ;

f c 1 m = 34 . 5 25 g ^- 1h = 2 ;

g^ 3h = 1 -

3

53 1. ;

g ^5h = - 4 ; g c 1 m = 4 . 5 5 2. a. Vrai car f ^- 2h = - 7 . b. Vrai car g ^0h = 1. c. Faux car f ^ 2 - 1h = 4 2 - 4 . (différent de 0) d. Vrai car f ^0h = g ^0h = 1 et f ^3h = g ^3h = - 2 .

x - 3 - 2,5 - 2 f ^ x h - 16 - 11,75 - 8 x - 1 - 0,5 0 2 f ^ x h - 2 0,25 x 1 1,5 2 4,25 4 f ^ xh 4 x 3 3,5 4 0,25 - 2 f ^ xh 2

- 1,5 - 4,75 0,5 3,25 2,5 3,25 4,5 5 - 4,75 - 8

2. Voir ci-dessous.

51

1

1.

Algorithmes

Nombres

A

2

14

-1

8

-4

0

6

X

B 5 2

1 56 0 3 9 4 182 17 5 25 4 2. • A définit une fonction f sur R par : f ^ x h = 2 ^ x2 + 3h = 2x2 + 6 . • B définit une fonction sur R* par : g ^ xh = 1 - 3. x 3. Les antécédents de 0 par f sont les solutions de l’équation f ^ x h = 0 soit 2x2 + 6 = 0 qui n’admet aucune solution donc 0 n’a pas d’antécédent par f. De même 4 n’a pas d’antécédent par f. De même 0 a pour antécédent 1 par 3 g et 4 a pour antécédent 1 par g. 7

52 1. Il dirait : il fait 1,8 # 20 + 32 = 68 cF . 2. En résolvant l’équation 77 = 1, 8TC + 32 on obtient : TC = 25 cC . 3. Les valeurs du tableau sont arrondies à 0,1 près. TC ^cCh 0 TF ^cFh 32 TC ^cCh - 12,2 TF ^cFh 10

0 1

100 10 40 20 212 50 104 68 37 - 17,8 - 20,6 98,6 0 –5

4. Si on appelle a cette température, elle vérifie a = 1,8a + 32 soit a = - 40 .

Ꮿf

3. On ne peut pas relier les points par un segment car la fonction n’est pas affine. 4. Voir ci-dessus.

54 1. 200 kg de dattes coûtent : 2 000 + 200 # 10 = 4 000 € , 500 kg de dattes coûtent : 2 000 + 500 # 8 = 6 000 € , 600 kg de dattes coûtent : 2 000 + 600 # 8 = 6 800 € , 2. Pour x ! 60 ; 5006 , p ^ x h = 2 000 + 10x ; pour x ! 6500 ; 1 000 @ p ^ x h = 2 000 + 8x 3. y

10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 x 0

200

400

600

800 1 000

4. Il faut déterminer des antécédents. L’antécédent de 5 000 est 300. 6 000 a deux antécédents : 400 et 500. 6 500 a pour antécédents (graphiquement) 450 et 550. Chapitre 1 •

13

1 5. Pour la question 1 : p ^200h = 4 000 ; p ^500h = 6 000 ; p ^600h = 6 800 . Pour la question 4 : p ^ x h = 5 000 admet pour solution 300. L’équation p ^ x h = 6 000 a deux solutions : 400 et 500. L’équation p ^ x h = 6 500 a deux solutions : 450 et 562,5.

55 Vers la physique 1. Pour x = 0 , h = 2 . Le point A se situe à 2 m du sol. 2. x 0 1 2 3 4 5 6 h 2 2,9 3,6 4,1 4,4 4,5 4,4 x 7 8 9 10 11 12 h 4,1 3,6 2,9 2 0,9 - 0,4 3.

b. x -2 f ^ xh - 1 x f ^ xh

- 1,5

-1

- 0,5

- 0,5

0

0,5

0

0,5

1

1,5

1

1,5

2

- 1,25

x 2 2,5 3 3,5 f ^ x h - 3 - 5,25 - 8 - 11,25 c. y 0

x

1

3 x

1

4. On règle la table à partir de 11 avec le pas 0,1 et on constate que pour x = 11,7 la hauteur du ballon est 0,011 m et si x = 11,8 la hauteur du ballon serait de - 0,12 m. Le ballon a touché le sol entre 11,7 m et 11,8 m.

56 1. Pour x = - 2 on obtient y = 4, pour x = 0 , y = 0 et pour x = 1, y = 2. 2. a. f est définie sur R. x2 si x ! @- 3 ; 06 b. f ^ x h = ) 2x si x ! 60 ; + 36 y

0

1

x


57 a. Variables : x, y : réels ; Début Si - 2 G x et x G 4 alors Si x G 1 alors y ! x + 1 ; sinon y ! - x2 + 1 ; FinSi ; Afficher(y) ; FinSi ; Fin. 14

• Chapitre 1

-3

- 1,5

f ^ x h 1,5

- 1,5

Étude qualitative

4

5

5

3,5

Tracés de courbes représentatives

58 QCM Le tableau de variation de f est le tableau d.

65 1. x

La seule représentation possible de f est la courbe b.

60 QCM Les bonnes réponses sont a., c. et e.

1

-2

-6

f ^ xh 1

59 QCM

6

4 5

-1

2 • Le nombre 0 a 2 antécédents par f. • Le nombre 2 a 3 antécédents par f. • Le nombre - 2 n’a pas d’antécédent par f. y

À partir de courbes représentatives

61 1. Voir ci-dessous. x

1

x

2. Le maximum de f sur 6- 3 ; 5@ est 5. 3. Le minimum de f sur 60 ; 5@ est - 1. 4. Les nombres x qui ont une image supérieure à x sont les abscisses des points de Ꮿ situés au-dessus de la droite Ᏸ d’équation y = x , soit : x ! 6- 3 ; - 1,5@ , 62 ; 4 @.

Ꮿf

0

64 1.

1

y

1

La courbe Ꮿ2 est associée à la fonction f1. La courbe Ꮿ3 est associée à la fonction f2 . La courbe Ꮿ4 est associée à la fonction f4 .

-5

3

-2

5

4 2 f ^ xh 1 -1 2. Le maximum de f est 4. Il est atteint pour x = - 2 . 3. Oui car - 1 est le minimum de f sur 6- 5 ; 5@.

1

1

x

0

66 1. y

62 1. Voir ci-dessous. x f ^ xh

-6

-3

4 -2

0 3

3

7

1 0 1

4 -1

2. Le maximum de f est 4. Il est atteint pour x = - 6 et x = 7 . 3. Non car f ^- 3h = - 2 .

63 En contrôlant avec quelques points, on a : La courbe Ꮿ1 est associée à la fonction f3 .

x

2. x f ^ xh

- 10 - 2

1

5

4 0

5

10 0

-2

3. Oui car sur cet intervalle, la courbe représentative de f est au-dessus de l’axe des abscisses.

67 1. x f ^ xh x f ^ xh

-1

- 0,5

0

1

6 2 -3

3,25 3 -2

1 4 1

-2 4,5 3,25

6. La fonction f est croissante puis décroissante et de nouveau croissante .

y

2.

3. f semble minimum pour x = 2 et ce minimum semble être - 3 . 1 0

x

1

68 Résultats arrondis à 0,01 près si nécessaire. x f ^ xh x f ^ xh x f ^ xh x f ^ xh x f ^ xh x f ^ xh

2.

x f ^ xh

0

0,1

0,2

- 1,03

- 0,75

- 0,53

0,3

0,4

0,5

- 0,36 0,6 - 0,08

- 0,23 0,7 - 0,04

- 0,14 0,8 - 0,02

0,9

1

1,1

- 0,02

- 0,02

- 0,02

1,2

1,3

1,4

- 0,02

- 0,01

0,03

1,5

1,6

1,7

0,08

0,16

0,28

1,8

1,9

2

0,44

0,65

0,91

y

1

0

1

x

Ꮿf


3. f semble croissante sur 60 ; 2@.

4. f ^1, 01h = - 0, 0203 qui est inférieur à f ^1h ce qui contredit la croissance de f sur 60 ; 2@. y 5.

69 Ꮿ1 est associée à la situation D car le volume augmente proportionnellement à x. Ꮿ2 est associée à la situation C car la croissance du volume augmente puis ralentit en fonction du rayon de la surface du liquide. Ꮿ3 est associée à la situation E car le volume augmente proportionnellement à x mais le coefficient de proportionnalité change quand le récipient change de diamètre. Ꮿ4 est associée à la situation F remarques inverses de la situation précédente. Ꮿ5 est associée à la situation B car la croissance du volume ralentit lorsque x augmente. Ꮿ6 est associée à la situation A car la croissance du volume augmente lorsque x augmente. Variations, encadrement et comparaison

1 0 Ꮿf

x

73 1. Il faut calculer l’image par f de - 3 , de - 2 , … jusqu’à l’image par f de 4. Les réels dont on veut calculer l’image sont obtenus en ajoutant 1 à la valeur précédente, jusqu’à atteindre 4. Ainsi : – on commence par initialiser la valeur de x à - 3 ; – ensuite, tant que x est inférieur ou égal à 4, on calcule f ^ x h et on ajoute 1 à x. 2. Il suffit de changer le pas dans la colonne B. On ajoute 0,5 à l’abscisse précédente.

70 1. f ^ x h appartient à l’intervalle

6- 1 ; 2@ quand x varie de - 5 à - 1. 2. f ^ x h appartient à l’intervalle 6- 3 ; 3@ quand x varie dans 63 ; 6 @. 3. f ^ x h appartient à l’intervalle 6- 3 ; 3@ quand x varie dans 60 ; 6 @.

71 1. Si x varie de 1 à 2,

f ^ x h ! 6- 2 ; 0 @. 2. Si x varie de - 3 à 1, f ^ x h ! 6- 2 ; 4 @. 3. a. - 4,5 1 - 4 et f est croissante sur 6- 5 ; 3@ donc f ^- 4,5h G f ^- 4h . b. 3 1 5 et f est décroissante sur 62 ; 7 @ donc f ^3h H f ^5h . c. 2 . 0,7 . Ce nombre et 1,5 2 ne sont pas dans un intervalle où f est monotone donc on ne peut pas comparer leurs images. 4. 3 a deux antécédents par f ; l’un dans l’intervalle 6- 5 ; - 3@ et l’autre dans l’intervalle 6- 3 ; 1@.

72 1. f ^1h = - 5 ; f ^- 1h = 0 ;

0,1

4. Pour x ! 60 ; 1@, on a - 5 1 f ^ xh 1 3. 5. Pour x ! 6- 1 ; 3@, on a - 5 1 f ^ xh 1 3. 6. On a - 1 1 - 0,5 1 0 et f croissante sur 6- 1 ; 0 @ donc : f ^- 1h G f ^- 0,5h G f ^0h soit 0 G f ^- 0,5h G 3 . De même on obtient : - 5 G f ^ 0, 8h G 3 et - 5 G f ^2,1h G 1

4. b. La fonction f semble être une fonction décroissante sur 6- 3 ; 0 @ et croissante sur 60 ; 4 @. c. En prenant comme pas 0,25, la fonction f semble décroissante sur 6- 3 ; - 0,25@ et croissante sur 6- 0,25 ; 4 @. Cette conjecture semble se confirmer en prenant un pas plus petit.

74 1. a. Voici la courbe obtenue avec X entre - 1 et 4 et Y entre - 1 et 10.

f ^0h = 3 et f ^3h = 1. 2. Le maximum de f sur 6- 1 ; 3@ est 3, il est atteint pour x = 0 . 3. Le minimum de f sur 6- 1 ; 3@ est - 5 et il est atteint pour x = 1. Chapitre 1 •

15

1 b. La fonction f admet un maximum M voisin de 9 pour x 0 dans 6- 1 ; 4 @. c. Il semble que x 0 ! 62 ; 3@. 2.

b. Ils se croisent entre 17 h 30 et 17 h 45. Il suffit de regarder le graphique.

76 1. Comme 1 mL équivaut à 10– 6 m3 on a le tableau suivant.

V ên m3 # 10- 6h 50 46 42 38 34

P ên Pa # 103h

58 63 68 75 83

P ên Pa # 103h 2.

95 108 127 139

V ên m # 10 h 30 26 22 20 3

-6

Pression (en Pa)

En prenant a = 2 et p = 0,1 on constate que x 0 ! @2,6 ; 2,86 . En prenant a = 2,6 et p = 0,005 on constate que : x 0 ! @2,665 ; 2,6756 .

140 000 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000

Volume (en m3) 0,00001

M . 9,48 mais on ne peut pas affirmer de façon certaine que 9,48 est une valeur approchée de M à 0,01 près.

0,00003

0,00005

3. Les points ne semblent pas alignés. 4. En respectant les unités on obtient par multiplication de P et de V un résultat compris entre 2,8 et 2,9. Plus précisément, on obtient :


300 250 200 150 100 50

5. Graphiquement la vitesse moyenne est donnée par le pente des segments de droite. 6. a. Les trains se croisent entre Lisieux et Mézidon. 16

• Chapitre 1

C

M2

M1 A

R

B

^ RM1h est perpendiculaire à ^ AC h et ^ RM2h est perpendiculaire à ^ BC h .

0 AM1 5 5 + CM2 12 18,5 21 2,5 CR 6,5 2,5 f _ xi 0 M1R M2 R

La moyenne des produits P # V est environ égale à 2,84. 5. a. On a V = 2,84 . 1,9 # 10- 5 m3 . 150 000 2,84 b. On a P = = 5 680 Pa . 0,5 # 10- 3 6. On trace sur le graphique précédent la courbe d’équation P = 2,84 . V Pression (en Pa) Pression observée

140 000 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000

Modèle

79 1. En appliquant le théorème de Thalès avec les parallèles ^ MNh et ^ AC h on obtient : MN = BM soit AC BA MN 3 donc MN 6 . L’aire de = = 8 4 MNPA est donc 6 # 1 = 6 . 2. De même MN = BM soit : AC BA MN 4-x = 8 4 donc MN = 2 ^4 - x h . 3. L’aire f ^ x h du rectangle AMNP est donnée par : f ^ x h = MN # AM = 2 ^4 - x h x soit f ^ x h = 8x - 2x2 . 4. On obtient une aire égale à 6 pour x = 1 ou x = 3 .

Volume (en m3) 0,00001

30 60 90 120 150 180 210

78 1. 2.

x

Problèmes 75 1. a. Le trajet Paris-Cherbourg dure 19 h 11 - 15 h 45 = 3 h 26. b. Le trajet Lison-Mézidon par le train Cherbourg-Paris dure : 17 h 29 - 16 h 27 = 1 h 02. 2. Le trajet le plus court est le chemin Paris-Cherbourg . Il met 4 min de moins que le Cherbourg-Paris. 3. La vitesse la plus rapide a lieu entre Caen et Bayeux. Elle est de 28 # 60 . 98,8 km.h– 1. 17 4. On a porté en abscisse la durée en minute à partir de 15 h 45 et en ordonnée la distance du train par rapport à la gare Saint Lazare.

2. S’il attend 1 jour il vend pour 1260 # 0,98 = 1234,8 €. S’il attend 5 jours : ^1200 + 5 # 60h # ^1 - 5 # 0,02h = 1350 €. De même pour 10 jours, 1 440 €. 3. a. Au bout de n jours – le nombre de kilos à vendre est 1200 + 60 # n ; – le prix du kilo vendu est 1 - n # 0,02. b. La recette totale est alors de : ^1200 + 60 # nh # ^1 - n # 0,02h : = - 1,2n2 + 36n + 1200 (en euros). 4. a. La recette maximale est de 1 400 € et cela au bout de 15 jours. b. Au bout de 30 jours la recette est de nouveau de 1 200 €. c. Non.

0,00003

0,00005

On lit graphiquement : – l’antécédent de 150 kPa ; – l’image de 0,5 L.

77 1. Au juin, il vend ses pommes de terre 1200 # 1 = 1200 €. 1er

5. L’aire semble maximale pour x = 2 . Dans ce cas M est le milieu de 6 AB@. Le maximum est 8.


3. Variables : a, m, x, y : réels ; Début m ! 3 # ^- 3h2 - 2 # ^- 3h + 1 ; a !-3 Pour x allant de - 2 à 3 faire y ! 3 # x2 - 2 # x + 1 ; Si y 1 m alors m ! y ; a ! x ; FinSi ; FinPour ; Afficher^ a ; mh ; Fin.

80 1. Si x = 2 alors , = 6 et le volume est 6 # 6 # 2 = 72 cm3. 2. x ! 60 ; 5@. 3. On a V = ,2 # h . Comme , = 10 - 2x et h = x on obtient : V ^ x h = ^10 - 2x h2 x soit en développant : V ^ x h = 100x - 40x2 + 4x3 . 4. V ^2h = 100 # 2 - 40 # 22 + 4 # 23 = 72 . 5. V ^3h = 48 . 6. V c 5 m = 2 000 . 74,07 . 3 27 7. a. b. Le volume semble maximal pour x = 5 et le maximum est envi3 ron 74,07 cm3.

4. a. b. On obtient x 0 . 0,3 . c. Le minimum de f correspondant est 0,7. Non, on ne peut pas affirmer que c’est une valeur du minimum à 0,1 près car les erreurs s’accumulent en calculant ce minimum. d.

81 La fonction f est croissante et la fonction g est décroissante. • Si x = AB alors g ^ x h = 0 donc AB = 5 . • g ^0h = AB #2 AD donc 5 = 5 # AD soit AD = 2 . 2 AD # DC donc 3 = 2DC • f ^ 0h = 2 2 soit DC = 3 .

83 Un quadrilatère tournant P 1. a. b. c. En faiC D sant bouger M sur N il semble que AB 6 @ Q l’aire de MNPQ ait A B M un minimum égal à 7 pour AM = 2 . 2. a. x ! 60 ; 3@. ^3 - x h x b. Aire AMQ = aire PCN = ; 2 x ^5 - x h aire QPD = aire MBN = . 2 On a donc x ^5 - x h ^3 - x h x f ^ x h = 15 - 2 -2 2 2 soit f ^ x h = 15 - ^3 - x h x - x ^5 - x h . On a donc f ^ x h = 2x2 - 8x + 15 .

82 1. Cet algorithme permet d’afficher le minimum de f sur les entiers de l’intervalle. 2. On ne peut pas affirmer que f admet 1 comme minimum sur l’intervalle 6- 3 ; 3@ car on n’a testé que les images des entiers. Par exemple, f ^0,5h = 0,75 ; donc 1 n’est pas le minimum de f sur 6- 3 ; 3@.

d. Pour tout x de l’intervalle 60 ; 3@ : 2 ^ x - 2h2 = 2x2 - 4x + 8 et f ^ x h - 7 = 2x2 - 8x + 15 - 7 = 2x 2 - 8x + 8 donc pour tout x de l’intervalle 60 ; 3@ : f ^ x h - 7 = 2 ^ x - 2h2 .

c.

Un carré étant toujours positif, on a f ^ x h - 7 H 0 . Comme f ^2h = 7, 7 est le minimum de f sur 60 ; 3@ et il est obtenu pour x = 2 .

84 1. x ! 60 ; 10@

2. Si x = 2 , HB2 = OB2 - OH2 = 102 - 22 alors HB = 96 donc aire AOB = 2 96 = 8 6 . 3. Pour x = 5 on obtient aire AOB = 25 3 4. Aire AOB = AB # OH 2 2 100 - x2 # x = = x 100 - x2 . 2 5.

6. Il semble que l’aire maximale soit obtenue pour x valant environ 7,07.

7. Aire AOB = AO # BM = 10BM . 2 2 Cette aire est maximum lorsque BM est maximum soit lorsque ^ BOh est perpendiculaire à ^ AOh . Dans ce cas le triangle AOB est rectangle et isocèle de coté 10 cm donc son aire est de 50 cm2. Dans ce cas x = 50 = 5 2 cm.

85 1. a. Le triangle BMN est rectangle et isocèle (deux angles de 45°) donc BM = MN . b. De même QC = PQ mais PQ = MN car MNPQ est un rectangle donc BM = QC . 2. On pose BM = x . a. Le réel x est un élément de 60 ; 4,5@ car M ! 6 BI @. b. MQ = 9 - 2x et MN = x . c. aireMNPQ = MN # MQ = x ^ 9 - 2x h donc f ^ x h = 9x - 2x2 . 3. f c 9 m = 81 = 10,125 . 4 8 4. a. 9 x 0 4,5 4 10,125 f ^ xh 0 0 Chapitre 1 •

17

1 2 b. 81 - 2 c x - 9 m 8 4 81 9x 81 m f x . 2 - 2cx = + = ^ h 8 2 16 2 Comme c x - 9 m est toujours positif, 4 et d’après 3., f présente un maximum de 81 pour x = 9 . 8 4

C

86 E

A

F

D

B


Solution 1 On pose AE = x . En utilisant le théorème de Thalès avec les parallèles ^ DE h et ^ BC h on a :

18

• Chapitre 1

AE DE AD = = AC BC AB x DE AD soit . = = 5 4 3 On en déduit que DE = 4x , AD = 3x 5 5 2 2 3 x 4 x 2 donc DF = c3 m +c m 5 5 soit DF2 = x2 - 18 x + 9 . 5 On peut écrire 2 DF2 = c x - 9 m + 189 . 5 25 DF2 est minimum pour x = 9 . Il en 5 est donc de même pour DF. Solution 2 On a DF = BE donc DF est minimum quand BE l’est. BE est minimum lorsque ^ BE h est perpendiculaire à ^ AC h . Dans cette situation, cosQ A= AE = AB donc AE = 3 3 5 AB AC

donc AE = 9 . 5

87 Si les dimensions du rectangle sont L et , on a L + , = 50 et son aire sera L # ,. Si on appelle f cette aire, f ^ Lh = L # ^50 - Lh = 50L - L2 . On conjecture que l’aire est maximum pour L = 25 et que ce maximum est 625. On a 625 - f ^ Lh = 625 - 50L + L2 = ^25 - Lh2 ce qui prouve que f ^ Lh G 625 , pour toute valeur L de 6 0 ; 50 @ . Or f ^25h = 625 . Le maximum est donc bien atteint pour L = 25 cm. Dans ce cas-là, , = 50 - 25 = 25 cm. Conclusion : le rectangle d’aire maximal est le carré de côté 25 cm.

2

Expressions algébriques et équations Introduction

1. Programme Contenus

Capacités attendues

Commentaires

Les activités de calcul nécessitent une certaine maîtrise technique et doivent être l’occasion de raisonner. Les élèves apprennent à développer des stratégies s’appuyant sur l’observation de courbes, l’anticipation et l’intelligence du calcul. Le cas échéant, cela s’accompagne d’une mobilisation éclairée et pertinente des logiciels de calcul formel. Pour un même problème, combiner résolution graphique et • Mettre un problème en équation. contrôle algébrique. • Résoudre une équation se ramenant au premier degré. Utiliser, en particulier, les représentations graphiques données • Encadrer une racine d’une équation grâce à un algorithme sur écran par une calculatrice, un logiciel. de dichotomie.

Expressions algébriques • Associer à un problème une expression algébrique. Transformations Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d’expressions algébriques • d’une expression en vue de la résolution du problème donné. en vue d’une résolution • Développer, factoriser des expressions polynomiales simde problème. ples ; transformer des expressions rationnelles simples. Équations Résolution graphique et algébrique d’équations.


2. Intention des auteurs Conformément au programme, l’objectif du chapitre est de rendre les élèves capables d’étudier un problème se ramenant à une équation du type f ^ x h = k et de le résoudre dans le cas où la fonction est donnée (définie par une courbe, un tableau de données, une formule) et aussi lorsque toute autonomie est laissée pour associer au problème divers aspects d’une fonction. À partir de situations puisées dans des domaines très variés : géométrie plane ou dans l’espace, biologie, économie, physique, actualité etc, on propose de : • Compléter le travail sur les expressions algébriques. Au collège le travail sur le développement d’une expression algébrique est véritablement amorcé en quatrième, alors que la factorisation n’est amorcée qu’en troisième, l’objectif étant simplement que les élèves sachent factoriser des expressions algébriques quand le facteur est apparent. En seconde, on poursuit cet apprentissage avec la transformation d’expressions polynomiales ou rationnelles « simples ». • Donner un sens à la « géométrie » des expressions algébriques en fonction du problème à résoudre. Ainsi l’élève doit par exemple être capable de choisir la forme factorisée d’une expression f ^ x h lorsqu’il doit résoudre algébriquement l’équation f ^ xh = 0 . • Permettre à l’élève d’anticiper et de choisir une méthode permettant de résoudre un problème, que ce soit de façon exacte ou approchée : algébrique, graphique, algorithmique, …, en utilisant si besoin une calculatrice ou un logiciel pour aider à la recherche. • Éclairer les différents sens du symbole « = » et travailler sur la notion d’équations équivalentes, en lien avec les quantifications existentielle ou universelle implicites. • Enfin veiller à ce que les élèves sachent faire la distinction entre avoir DES solutions et avoir LES solutions. Ce travail doit offrir aussi des occasions de démontrer (tout particulièrement pour obtenir une quantification universelle). L’utilisation de logiciels formels divers peut permettre de passer dans un premier temps sur la technicité trop importante, pour certains élèves, du calcul algébrique. On trouvera dans ce chapitre de nombreux exercices pouvant entraîner une différentiation des approches suivant les élèves concernés. Chapitre 2 •

19

2

Partir d’un bon pied Objectifs Réactiver chez l’élève les compétences nécessaires à la résolution d’équation : – notion de solution, – connaissances algébriques de base (somme-produit, identités remarquables), – lecture de courbes pour pouvoir initialiser la résolution graphique.

1 Différencier somme ou produit ?

2

Réponses : a et d.

3

Reconnaître les identités remarquables

1. b. b2 - 52 2. a. ^ x + 1h2

4

B – C – F – G – J.

Tester les solutions d’une équation ?

d. ^ b - 5h2 c. ^2x h2

e. ^5b - 1h2 e. ^3x - 1h2

Exploiter une courbe

1. b

2. a. b. c

3. c

4. c

Découvrir 1 Des expressions algébriques pour y voir plus

clair Objectif Mettre en situation de problème les identités remarquables. 1. FAUX. Si on double la longueur du côté c, l’aire est multipliée par 4 ^^2ch2h . 2. FAUX. Car ^c + 3h2 = c2 + 6c + 9 . L’augmentation est de 9 + 6c cm2. 3. FAUX. ^c + 1h ^c - 1h = c2 - 1 donc l’aire a diminué de 1 cm2. 4. VRAI. Voir ci-dessus.


2 Algorithmes et équations Objectifs • Manipuler des programmes de calcul • Conjecturer • Utiliser le quantificateur universel • Inverser un processus pour trouver une solution • Différencier « trouver une solution » de « trouver toutes les solutions ». 1. Il semble que pour toutes les valeurs utilisées, les deux algorithmes fournissent le même résultat. Si a est le nombre choisi, alors le calcul A donne ^ a - 6h2 et le calcul B donne a2 - 12a + 36 . 2. En prenant la racine carrée de 9 puis en ajoutant 6, on obtient 9. En fait, il faut résoudre l’équation ^ a - 6h2 = 9 qui se ramène à ^ a - 9h ^ a - 3h = 0 qui admet deux solutions : 9 et 3.

3 Justifier un minimum à l’aide d’une expres-

sion algébrique Objectifs • Mathématiser une situation géométrique • Utiliser le calcul algébrique pour démontrer (avec aide) un résultat géométrique. x ^4 - x h AM # AQ 1. Pour x ! 60 ; 4 @, aire AMQ = . = 2 2 20

• Chapitre 2

Or aire MNPQ = aire ABCD - 4 aire AMQ . Donc A ^ x h = 16 - 2x ^4 - x h = 2x2 - 8x + 16 . 2. a. A ^2h = 8 b. A ^ x h - 8 = 2x2 - 8x + 8 = 2 ^ x2 - 4x + 4h = 2 ^ x - 2h2 . c. Pour tout réel x ! 60 ; 4 @, 2 ^ x - 2h2 H 0 donc A ^ x h - A ^2h H 0 soit A ^ x h H A ^2h donc A est minimum pour x = 2 et ce minimum est 8.

4 Conjecturer à l’aide d’un ordinateur. Vérifier à l’aide d’une équation Objectifs • Utiliser un logiciel de géométrie et un logiciel de calcul formel pour résoudre des problèmes • Mathématiser un problème • Distinguer valeur exacte et valeur approchée. Partie A a. L’aire du carré vert semble égale à 9 pour x = 6 . b. L’aire du carré rose semble égale à 30 pour x = 5,5 . c. L’aire du carré rose semble égale à 4 fois l’aire du carré vert pour x = 6 . d. L’aire du carré rose semble égale à son périmètre pour x = 4. e. La somme des aires des carrés rose et vert semble égale au deux tiers de l’aire du carré ABCD pour x = 1,9 et x = 7 . Partie B • L’équation correspondant à la question a. est ^9 - x h2 = 9 c’est-à-dire, en développant, x2 - 18x + 72 = 0 et le logiciel donne pour solutions 6 et 12. La solution 12 ne convient pas. • L’équation correspondant à la question b. est x2 = 30 qui admet les solutions 30 et - 30 . Seule la solution 30 est valable. • L’équation correspondant à la question c. est x2 = 4 ^9 - x h2 . Le logiciel fournit les solutions 6 et 18. La solution 18 ne convient pas.

• L’équation correspondant à la question d. est x2 = 4x qui admet pour solutions 0 et 4. • L’équation du e. est x2 + ^9 - x h2 = 32 # 81 qui devient après développement et division par 2 : x2 - 9x + 27 = 0. 2 9 3 3 9 3 3 . + Le logiciel fournit les solutions et 2 2 Les valeurs obtenues en A. e. sont des valeurs approchées au dixième.

5 Équations équivalentes Objectifs • Revoir la résolution algébrique d’équations simples. • Justifier les transformations d’équations qui ne changent pas l’ensemble des solutions. 1. 햲 a pour solution 5 ; 햳 a pour solution 5 ; 햴 a pour 2 2 5 solutions 0 et . 2 2. 3. Les solutions 햲 et 햳 sont équivalentes. 4. Les équations équivalentes à 햲 sont : a. ; b. ; c. ; f.

Pour s’exercer Savoir faire

Transformer une expression algébrique

1 a. Pour tout réel x,

^ x + 1h ^ x + 3h + 1 = x2 + x + 3x + 3 = x2 + 4x + 4 = ^ x + 2h2 . b. A ^ x h = ^ x + 1h ^2x - 3h = 2x2 + 2x - 3x - 3 = 2x 2 - x - 3 et B ^ x h = ^ x + 1h ^ x - 2h + ^ x + 1h ^ x - 1h = x 2 - 2x + x - 2 + x 2 - 1 = 2x 2 - x - 3 ; donc pour tout nombre x, A ^ x h = B ^ x h . c. B ^ x h = 2x2 + 10x + x + 5 - ^ x2 - 5x - 6x + 30h = x2 - 25 donc pour tout nombre x, A ^ x h = B ^ x h .

Savoir faire

b. Solutions : - 4 et 2. 3 5 c. Équation équivalente à ^ x + 1h ^3x + 1h = 0 qui admet pour solutions : - 1 et - 1 . 3 d. Solutions : - 2 et 2. e. Équation équivalente à ^ x + 10h ^ x - 4h = 0 qui admet pour solutions - 10 et 4. © Hachette Livre 2010 – Déclic 2de

3 1. A ^ x h = B ^ x h et C ^ x h = D ^ x h , en réduisant au même

dénominateur. 2. D c 3 m = 0 . 2

Résoudre algébriquement ou graphiquement une équation

4 a. Solution : - 7 .

5 1. a. Solution : - 3 .

2 1. Pour tout réel x, on a : D ^ x h = B ^ x h ; E ^ x h = C ^ x h et F ^ xh = A ^ xh. 2. a. F c- 1 m = A c- 1 m = 0 . 2 2 b. B ^- 1h = D ^- 1h = - 1. c. C ^ x h = 0 + E ^ x h = 0 + x = 1 . 2

b. Solution : - 2 et 4. c. Solutions : 0 et 3. d. Solutions : 1 et 2,5. 2. a. Tout réel k dans @- 2 ; 2@ convient. b. Tout réel k dans @- 3 ; - 2@ , @3 ; + 36 convient. c. Non d. • Si k 2 3 ou k 1 - 2 l’équation f ^ x h = k n’admet pas de solutions. • Si k ! @2 ; 36 ou k = - 2 l’équation f ^ x h = k admet une solution.

• Si k est dans @- 2 ; 2@ l’équation f ^ x h = k admet deux solutions. 6. a. L’équation est équivalente à 2x + 6 = x + 1 qui 2 admet pour solution - 11 . 2 b. Pour x = Y - 1, en réduisant au même dénominateur, 2 - 3 ^ x + 1h l’équation est équivalente à = 0 soit à x+1 1 - 3x - 1 = 0 qui admet pour solution - . 3 c. Pour x = Y - 2 et x = Y 1, en réduisant au même dénomina3 ^ x - 1h - ^ x + 2h teur, l’équation est équivalente à =0 ^ x + 2h ^ x - 1h soit à 2x - 5 = 0 qui admet pour solution 5 . 2 d. Pour x = Y 2 , en réduisant au même dénominateur, l’équation est équivalente à 2 - x = 0 qui n’admet pas 2-x de solution. Chapitre 2 •

21

2

Chercher - Expérimenter - Démontrer Organiser une recherche Recherche à l’aide d’un tableur 1. Première approche : avec papier et crayon. Avec le format ^15 - 4h # ^6 + 8h on obtient 154 cm2 et il semble que l’aire maximale corresponde au format ^15 - 6h # ^6 + 12h = 162 cm2. 2. Deuxième approche avec tableur. a. En B2 on introduit « =15-A2 », en C2 on introduit « =6+2*A2 » et en D2 « =B2*C2 ». b. Le tableur confirme les résultats obtenus en 1.

Rédaction d’une solution

• Si on appelle x la quantité enlevée à a, x ! 60 ; 15@. En

appelant f ^ x h l’aire de la carte : f ^ x h = - 2x2 + 24x + 90. • Le premier problème se ramène à la résolution de f ^ x h = 154 soit : - 2x2 + 24x + 90 = 154 + - 2x2 + 24x - 64 = 0 . On constate en développant que : - 2 ^ x - 4h ^ x - 8h = - 2x2 + 24x - 90 donc l’équation proposée est équivalente à : - 2 ^ x - 2h ^ x - 8h = 0 , soit x - 2 = 0 ou x - 8 = 0 . Elle admet deux solutions 4 et 8. Les cartes de dimensions 11 # 14 et 7 # 22 sont les cartes d’aire 154 cm2. • Pour le deuxième problème considérons la quantité g ^ x h = f ^6h - f ^ x h car f ^6h = 162 . g ^ x h = 2 ^ x2 - 12x + 36h = 2 ^ x - 6h2 . Un carré est toujours positif donc pour toutes les valeurs de x, f ^6h - f ^ x h H 0, soit f ^ x h G f ^6h . f présente un maximum égal à 162 pour x = 6 . Les dimensions de la carte d’aire maximale sont 9 # 18 .

3. a. x ! 60 ; 15@. b. f ^ x h = ^15 - x h ^6 + 2x h = - 2x2 + 24x + 90 .

Prendre des initiatives dessous l’affichage des valeurs successives prises par la variable a) : Texas Scratch Algobox

9 Un algorithme et une légende. Objectifs • Faire fonctionner un algorithme de calcul. • Extrapoler un résultat. 1. Si on introduit 5, on obtient - 3 . 2 1 Si on introduit - 2 on obtient - . 3 2. a. Texas Scratch

Algobox


Casio

Casio

Scilab

• Chapitre 2

Xcas

Xcas

b. On insère l’entrée d’un entier ^ Nh et une boucle de façon à ce que les calculs se répètent N fois (on a demandé ci22

Scilab

On constate qu’au bout de quatre fois on retrouve le nombre de départ. 3. a. 1 000 est un multiple de 4 donc il semblerait que la légende se vérifie.

b. Sous réserve que les calculs soient possibles : si on appelle a le nombre choisi, au bout d’une fois on obtient a + 1 , au 1-a a+1 +1 1 bout de deux fois on obtient 1 - a = - , au bout a 1 a + 11-a de la troisième fois on obtient a - 1 et au bout de la quaa+1 trième fois on obtient a, le nombre de départ.

10 Conjecture Objectifs • Utiliser Geospace pour calculer des distances. (Geospace permet l’affichage de la longueur d’un segment) • Mathématiser un problème avec un support de géométrie dans l’espace. • Utiliser une calculatrice ou un tableur. 1. Approche avec Geospace a. b. Voir ci dessous

c. En introduisant dans un tableur, en B2 « =RACINE(A212+100)+ RACINE(A212-100*A2+125) » on confirme le résultat précédent.

E F G 3. Avec un patron Dans un patron, les carrés ABFE et BFGC sont accoI lés et les points A, M et I M 5 alignés pour minimiser la somme AM + MI . A 10 B 10 C D’après le théorème des milieux, BM = 2,5 et la somme AM + MI est égale à AI, soit 425 par le théorème de Pythagore.

11 À vous de jouer Objectifs • Mathématiser une situation géométrique. • Choisir un logiciel pour résoudre le problème donné. Si on pose AM = x , l’aire du carré est x2 et l’aire ^8 - x h x du triangle est , donc l’aire du motif est : 2 ^8 - x h x x 2 + 8x . f ^ x h = x2 + = 2 2 Il faut donc résoudre l’équation f ^ x h = 32 . Un logiciel de calcul numérique donne le résultat AM . 4,94 .

c. Il semble que la somme AM + MI soit minimum pour x = 2,5 et que le minimum est 20,6155 environ. 2. Avec l’algèbre a. x ! 60 ; 10 @. b. On a AM2 = 102 + x2 , MI2 = 102 + ^5 - x h2 donc f ^ x h = x2 + 100 + x2 - 10x + 125 .

Si la classe le permet, on peut aider à une résolution algébrique : f ^ x h = 32 + ^ x + 4h2 - 80 = 0 + 8^ x + 4h + 80 B 8^ x + 4h - 80 B = 0 + x = - 4 - 80 ou x = - 4 + 80 . On ne garde que la solution positive : 80 - 4 . 4,94 .

Faire le point © Hachette Livre 2010 – Déclic 2de

QCM 1. c.

2. a.

3. c.

4. c.

5. c.

6. b.

7. a.

8. b.

Vrai ou faux ? 1. Vrai. Il suffit de développer.

2. Faux. En utilisant la forme factorisée on obtient "- 2 ; 0, 3. Vrai. 4. Vrai.

5. a. Vrai. b. Faux. Si k = - 1 on a deux solutions négatives. c. Vrai.

Chapitre 2 •

23

2


20 • â - bh2 avec a = 2x et b = 1 ; F ^ x h = ^2x - 1h . 2

1

Écrire et transformer une expression

2

2. Faux : ^ x + 1h ^2x + 4h + 2 ^ x + 1h ^ x - 1h = ^ x + 1h ^4x + 2h . 3. Faux. 4. Vrai : 4 ^ x - 1h 2 2 +4= + x-1 x-1 x-1 4x - 2 . = x-1

14 1. b. ; 2. b. ; 3. c. ; 4. c. 15 1. et 2. Formes développées

Formes factorisées

A ^ x h = x 2 + 3x

F ^ x h = x ^ x + 3h

C ^ x h = x + 2x + 1 G ^ x h = ^ x + 1h2 D ^ x h = x2 - 2x + 1 B ^ x h = ^ x - 1h2

H ^ x h = x ^ x - 3h

Pour tout réel x, deux expressions sur une même ligne prennent la même valeur.

16 A ^ x h = 2x2 - 9x - 2 ;

B ^ x h = 16x2 - 40x + 25 ; C ^ x h = 2x 2 + 4x - 6 .

17 D ^ x h = - 2x2 - 7x + 13 ;


E ^ x h = 13x2 + 23x + 10 ; F ^ x h = 3x2 + 16x + 1.

18 G ^ x h = - 3x2 - 27x + 22 ; H ^ x h = 2 x2 - 26 x - 1 ; 3 9 2 I ^ x h = 4x2 + 6x - 22 .

19 A ^ x h = ^2x + 3h ^- 3x - 2h ;

B ^ x h = ^ x - 1h ^ x + 1h ; C ^ x h = ^3x + 1h ^5x - 3h ; D ^ x h = ^5x + 3h ^2x + 4h ; E ^ x h = ^ x + 3h ^7x - 9h . • Chapitre 2

2

• a - b avec a = 2x + 1 et b = 2 ;

13 1. Faux, c’est la forme factorisée.

24

• â + bh2 avec a = 2x et b = 4 ; H ^ x h = ^2x + 4h .

3. b. et c. ; 4. c.

E ^ x h = x 2 - 3x

G ^ x h = ^3x - 13h ^3x + 13h . 2

12 1. b. ; 2. a. et c. ;

2

• a2 - b2 avec a = 3x et b = 13 ;

I ^ x h = ^2x - 1h ^2x + 3h .

• a2 - b2 avec a = 3 ^ x + 1h

et b = 4 ; J ^ x h = ^3x - 1h ^3x + 7h .

21 K ^ x h = ^2x + 1h ^6x - 5h ; L ^ x h = ^3x + 7h ^10x + 5h ; M ^ x h = ^ x + 2h ^3x + 4h ; N ^ x h = ^2x + 1h ^6x - 9h .

22 O ^ x h = ^4x + 3h ^2x - 1h ;

P ^ x h = ^2x + 1h ^3x - 1h ; Q ^ x h = ^- x + 5h ^ x + 9h ; R ^ x h = ^ x - 5h ^3x + 11h .

23 S ^ x h = - 2 ^ x + 2h ; T ^ x h = x2 ^ x + 3h .

Expressions rationnelles

24 A ^ x h = 2x + 1

x-1 (valeur interdite : 1) ; B ^ x h = 4x + 11 x+3 (valeur interdite : - 3 ) ; C ^ x h = 6x + 1 2x + 1 d valeur interdite : - 1 n . 2

25 D ^ x h =

7x + 1 ^ x + 1h ^2x - 1h d valeurs interdites : - 1 et 1 n ; 2 2 ^ 4x + 7 h E ^ xh = ^2x + 3h ^3x + 5h d valeurs interdites : - 3 et - 5 n ; 2 3 7 x 17 F ^ xh = ^3 - x h ^4x + 7h d valeurs interdites : 3 et - 7 n . 4

26 G ^ x h = 2x + 1

x ^ x - 1h (valeurs interdites : 0 et 1) ; 6x + 3 H ^ xh = ^ x - 1h ^ x + 2h (valeurs interdites : 1 et –2).

Applications

27 La machine infernale. x

x2

2

x3 2x3 x2

5

5x2 –7x

–7 8

A(x)

Donc A ^ x h = 2x + 5x - 7x + 8 . 3

2

x

2x

2 5 –7 8

2x+5

x(2x+5)

x[x(2x+5)–7]

x(2x+5)–7

B(x)

Donc B ^ x h = x 6 x ^2x + 5h - 7 @ + 8 ; B ^ x h = x 6 2x 2 + 5x - 7 @ + 8 = 2x 3 + 5x 2 - 7x + 8 . Donc pour tout réel x, A ^ x h = B ^ x h .

28 Mais ou est l’algèbre ? 1. a. À l’aide de la calculatrice, on a : 1 2 1,1 et 1 2 1,01. 0, 9 0,99 1 Il semble que 0,99999999 et 1,00000001 soient égaux. b. Pour tout a = Y 1, ^1 + ah ^1 - ah 1 a2 . 1+a= = 1-a ^1 - ah 1 c. - ^1 + ah 1-a 1 1 a2 a2 . - = = 1-a 1-a 1-a Ainsi pour tout a 1 1, 1 - ^1 + ah 2 0 , 1-a 1 2 1 a. c’est-à-dire + 1-a En prenant a = 0,1, puis a = 0,01, puis a = 10- 8 , on obtient : 1 2 1,1 ; 1 2 1,01 0, 9 0,99 1 et 2 1,00000001. 0,99999999 x 2. On compare et x + 1 x+1 x+2 pour x = 1234567891. x ^ x + 2h - ^ x + 1h2 x x+1 = x+1 x+2 ^ x + 1h ^ x + 2h 2 2 x + 2x - x - 2x - 1 . = ^ x + 1h ^ x + 2h -1 . = ^ x + 1h ^ x + 2h Ainsi pour x = 1234567891, x x + 1 1 0. x+1 x+2

Donc 1234567891 1 1234567892 . 1234567892 1234567893

29 1. On teste quelques valeurs. On conjecture que les algorithmes A, B et D donnent les mêmes résultats sur les mêmes entrées. 2. On note fA, fB, fC et fD les fonctions définies par les algorithmes. fA ^ x h = x2 - 6x + 8 ; fB ^ x h = ^ x - 3h2 - 1 = x2 - 6x + 8 fC ^ x h = ^ x - 1h ^ x - 5h + 2 = x 2 - x - 5x + 5 + 2 = x 2 - 6x + 7 ; fD ^ x h = ^ x - 4h ^ x - 2h = x 2 - 2x - 4x + 8 = x 2 - 6x + 8 . Choix d’une expression algébrique

30 Q1 : ligne 3 ; les calculs se font de tête. Q2 : ligne 3 ; les calculs sont rapides car 2 3 = 3. Q3 : ligne 2 ; un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul. Q4 : ligne 10 ; on doit résoudre f ^ x h = 10, c’est-à-dire f ^ x h - 10 = 0 . Les calculs sont plus aisés. Q5 : ligne 1 ; les calculs se font de tête. Q6 : ligne 1 ; montrer que f ^ x h G - 8 est plus facile avec cette forme. Q7 : ligne 3 ; on doit résoudre f ^ x h = - 6, c’est-à-dire f ^ x h + 6 = 0. Les calculs sont plus aisés. 31 1. f ^ x h = 8x2 + 2x - 1.


2. f ^ x h = ^2x + 1h ^4x - 1h . 3. a. f ^0h = - 1 (avec la forme développée de f ^ x h) ; f c - 1 m = 0 (avec la définition de f ^ x h) ; 2 f ^ 2 h = 15 + 2 2 (avec la forme développée de f ^ x h ). b. Les solutions sont - 1 et 1 (avec 2 4 la forme factorisée de f ^ x h ). c. La solution est 1 (avec la forme 2 développée de f ^ x h ).

2. f c 5 m = - 5 (forme 햳) ; 2 f ^- 2 h = 27 + 23 2 (forme 햳) ; f c 5 m = 0 (forme 햴) ; 6 f ^0h = 15 (forme 햳). 3. a. Avec la forme 햳, f ^ x h = 15 + 6x2 - 23x + 15 = 15 + 6x2 - 23x = 0 + x ^6x - 23h = 0 + x = 0 ou 6x - 23 = 0 + x = 0 ou x = 23 . 6 Les antécédents de 15 sont 0 et 23 . 6 b. Avec la forme 햴, f ^ x h = 0 + ^ x - 3h ^6x - 5h = 0 . + x = 3 ou x = 5 . 6 Les solutions sont 3 et 5 . 6

33 1. f ^ x h = 9x2 + 6x - 48 .

2. f ^ x h = ^3x - 6h ^3x + 8h . 3. a. f ^0h = - 48 ; f c - 1 m = - 49 ; 3 f ^2h = 0 ; f ^ 5 h = - 3 + 6 5 . b. Les solutions sont 2 et - 8 . 3 c. La solution est 8. d. On a f c - 1 m = - 49 . 3 De plus pour tout réel x, f ^ x h + 49 = ^3x + 1h2 . Un carré est toujours positif. Donc pour tout réel x, f ^ x h + 49 H 0 , c’est-àdire f ^ x h H - 49 . Donc - 49 est le minimum de f d atteint en - 1 n . 3

34

1. -^ x - 10h ^ x + 2h =- ^ x2 + 2x - 10x - 20h = - x2 + 8x + 20 . Donc f ^ x h = 0 + - ^ x - 10h ^ x + 2h = 0 + x - 10 = 0 ou x + 2 = 0 32 1. On développe les formes 햲 et 햴. + x = 10 ou x = - 2 . 2 Les solutions sont 10 et - 2 . ^ x - 3h - ^2 - 5x h ^ x - 3h = x2 - 6x + 9 - ^2x - 6 - 5x2 + 15x h 2. f ^ x h = 36 + - x2 + 8x - 20 = 36 = x2 - 6x + 9 - 17x + 6 + 5x2 + - x2 + 8x - 16 = 0 = 6x2 - 23x + 15 ; + - ^ x2 - 8x + 16h = 0 ^ x - 3h ^6x - 5h 2 + - ^ x - 4h2 = 0 + x = 4 . = 6x - 5x - 18x + 15 La solution est 4. = 6x2 - 23x + 15 .

3. f ^4h = - 42 + 8 # 4 + 20 = 36 . De plus pour tout réel x, f ^ x h - 36 = - x2 + 8x - 16 =- ^ x - 4h2 . Un carré est toujours positif, donc pour tout réel x, f ^ x h - 36 G 0 , c’est-àdire f ^ x h G 36 . Donc 36 est le maximum de f (atteint en 4).

2

Résoudre l’équation f (x) = k 35 1. c. ; 2. b. ; 3. a. ; 4. a. et b. 36 1. Faux, l’ensemble des solutions est "- 2 ; 1, . 2. Vrai. 3. Faux, l’équation n’admet aucune solution. 4. Vrai. 37 1. 2 + 2 ; 2. 4 ; 3 et - 3 . 38 1. Vrai. 2. Vrai. 3. Faux, car le deuxième membre n’est pas nul. 4. Faux. Elle admet pour solutions : 0 et - 3 . 5. Faux. La valeur - 2 est interdite. 39 1. c. 2. b. 3. c. 4. c. Résoudre graphiquement

40 a. L’ensemble des solutions est

"- 2 ; 1, .

b. L’ensemble des solutions est "- 3 ; 2,5, . c. L’ensemble des solutions est "- 3,5 ; 3 ; 5, . d. L’ensemble des solutions est "4 , .


6- 3 ; 7 @. L’ensemble des valeurs prises par f est 6- 2 ; 5@.

2. L’ensemble des solutions est "- 2 ; 0,3 ; 5, . 3. L’équation f ^ x h = k admet exactement trois solutions si et seulement si le réel k appartient à @- 1 ; 3@.

42 1. a. S = "- 3 ; 3, ;

b. S = "- 2 ; 1, ; c. S = "4 , ; d. S =Q. 2. Si k 1 - 3 ou k 2 4, l’équation f ^ x h = k n’admet aucune solution. Si k = - 3 ou k ! @3 ; 4 @, l’équation f ^ x h = k admet une unique solution. Si k ! @- 3 ; 3@, l’équation f ^ x h = k admet deux solutions. Chapitre 2 •

25

2 43 1. a. S = "- 2 ; 0,2 ; 3,2, ;

b. S = "- 2,1 ; 0,6 ; 3,1, ; c. S = "3,6, . 2. a. S = "- 2,5 ; 2, . b. On calcule les images par f : f ^- 2,5h = 0 et f ^2h = 0 . Donc - 2,5 et 2 sont les valeurs exactes des solutions de l’équation f ^ x h = - 8 .

y

2. a. 0 n’est pas solution de l’équation x 2 - 3x - 1 = 0 . Sous la condition x = Y 0, 2 x - 3x - 1 = 0 + x 2 - 3x = 1 + x ^ x - 3h = 1 + x - 3 = 1 . x On trace la courbe représentative de la fonction f définie par f ^ x h = x - 3 .

1 O

1

x

y

44 y

O

1 O

Tableau de variation.

(3,3 ; 0,3)

1


x

1

6- 3 ; 5@.

x

1

(–0,3 ; –3,3)

L’équation x2 - 3x - 1 = 0 admet comme solutions approchées - 0,3 et 3,3.

45 1.

b. 0 n’est pas solution de l’équation 2x 2 - x - 1 = 0 . Sous la condition x = Y 0, 2 2x - x - 1 = 0 + 2x 2 - x = 1 + x ^2x - 1h = 1 + 2x - 1 = 1 . x On trace la courbe représentative de la fonction f définie par f ^ x h = 2x - 1.

2. a. S = "- 1 ; 2, ; b. S = "- 2, ; c. S = Q ; d. S = "- 1 ; 2,5, . 3. On calcule les images : a. f ^- 1h = 3 et f ^2h = 3 ; b. g ^- 2h = 2 ; d. f ^- 1h = 3 et g ^- 1h = 3 ; f ^2,5h = 6,5 et g ^2,5h = 6,5 .

y

46 Une machine à résoudre

1

les équations 1. a. b.

O y

(1 ; 1) 1

x

(–0,5 ; –2)

2. a. L’équation f ^ x h = 0 admet une solution. b. L’équation f ^ x h = - 1 admet deux solutions. c. L’équation f ^ x h = - 2 admet trois solutions. 3. a. Tout réel k dans 6- 3 ; - 26 , @- 1 ; 2@ convient. b. Tout réel k dans @- 3 ; - 36 , @2 ; + 36 convient.


6- 6 ; 10 @. 2. a. L’équation f ^ x h = 0 admet trois solutions. b. L’équation f ^ x h = - 1 admet deux solutions. c. L’équation f ^ x h = 2 admet trois solutions. 3. a. Tout réel k dans 6- 2 ; - 16 , @3 ; 4 @ convient. b. Tout réel k dans @- 3 ; - 26 , @4 ; + 36 convient. Résoudre algébriquement

(1 ; 1)

1


(–1 ; –1)

O 1

2

x

c. Les abscisses des points d’intersection des deux courbes sont - 1 et 1. ^- 1h2 - 1 = 0 et 12 - 1 = 0 . - 1 et 1 sont bien solutions de l’équation x2 - 1 = 0 . En effet, sous la condition x = Y 0, l’équation 1 est équivalente à l’équation x= x 2 x = 1, c’est-à-dire x2 - 1 = 0 . 26

• Chapitre 2

L’équation 2x - x - 1 = 0 admet comme solutions approchées - 0,5 et 1. c. 0 n’est pas solution de l’équation x 2 - 2x + 4 = 0 . Sous la condition x = Y 0, x 2 - 2x + 4 = 0

+ x 2 - 2x = 4

+ x ^ x - 2h = 4 + x - 2 = - 4

x x 1 1 + - + = . On trace la 4 2 x courbe représentative de la fonction f définie par f ^ x h = - x + 1 . 4 2 L’équation x2 - 2x + 4 = 0 n'admet pas de solution.

49 a. Non, A n’admet pas de solution. b. Oui, équation produit. c. Non, car A admet - 2 et 2 comme 3 solution et B admet 1 comme solution. 3 d. Non, car le produit n’est pas nul ! 50 a. 2x + 3 = - 3x + 8 + 5x = 5 + x = 1. S = "1, b. 3x - 1 = 7x + 5 + - 4x = 6 + x = - 3 . S = ' - 3 1.

2 2 c. x - 5 = 4x + 13 + - 3x = 18 + x = - 6 . S = "- 6, . d. 5x + 3 = - 2x + 4 + 7x = 1 + x = 1 . S = ' 1 1. 7 7

51 a. 2x - 3 = x + 5 4 3 + 3 ^2x - 3h = 4 ^ x + 5h + 6x - 9 = 4x + 20 + 2x = 29 + x = 29 . S = ' 29 1 .

2 1 3 b. x + = 3x 4 5 17 + - 2x = + x = 17 . 20 40 S = ' 17 1 . 40 x 7 c. + 3 = 4x - 5 + - x = - 8 2 2 + x = 16 . S = ' 16 1 . 7 7 3 x 2 d. 2x = + 7 3 5 + 5 x = 29 + x = 87 . 3 35 175 87 S=' 1. 175 2


52 a. ^2x + 3h ^4x - 8h = 0 + 2x + 3 = 0 ou 4x - 8 = 0 + x = - 3 ou x = 2 .

2 3 S=' ; 21 . 2 b. 3 ^3x + 5h ^- 5x + 1h = 0 + 3x + 5 = 0 ou - 5x + 1 = 0 + x = - 5 ou x = 1 . 3 5 5 1 S=' ; 1 3 5 c. ^4x - 7h ^2x + 3h = 3 ^4x - 7h ^5x + 11h + ^4x - 7h 6^2x + 3h - 3 ^5x + 11h@ =0 + ^4x - 7h ^- 13x - 30h = 0 + x = 7 ou x = - 30 . 4 13 7 30 S = ' ; - 1. 4 13 d. 3 ^- x + 11h ^3x + 4h = 5 ^- x + 11h ^ x - 6h + ^- x + 11h 63 ^3x + 4h - 5 ^ x - 6h@ =0 + ^- x + 11h ^4x + 42h = 0 + x = 11 ou x = - 21 2 21 S = '11 ; 1 2

53 a. ^ x + 7h2 = ^ x + 7h ^3x + 4h + ^ x + 7h 6^ x + 7h - ^3x + 4h@ = 0 + ^ x + 7h ^- 2x + 3h = 0 + x = - 7 ou x = 3 . S = '- 7 ; 3 1 . 2

2

b. 4x2 + 3x = 0

+ x ^4x + 3h = 0

+ x = 0 ou x = - 3 . S = '0 ; - 3 1 . 4

4

c. ^ x - 4h2 = 5 + ^ x - 4h2 - ^ 5 h2 = 0 + ^x - 4 - 5h ^x - 4 + 5h = 0 + x = 4 + 5 ou x = 4 - 5 . S = #4 + 5 ; 4 - 5 - . d. ^3x + 1h ^- x + 2h + 2 ^3x + 1h ^2x - 1h = 0 + ^3x + 1h 6^- x + 2h + 2 ^2x - 1h@ =0 + ^3x + 1h ^3x h = 0 + 3x + 1 = 0 ou 3x = 0 + x = - 1 ou x = 0 . 3 1 S=' ; 01 . 3

54 a. Un carré est toujours positif. L’équation n’a pas de solution. b. ^4x - 8h2 = ^3x + 1h2 + ^4x - 8h2 - ^3x + 1h2 = 0 + 6^4x - 8h - ^3x + 1h@ # 6^4x - 8h + ^3x + 1h@ = 0 . + ^ x - 9h ^7x - 7h = 0 + x = 9 ou x = 1. S = "9 ; 1, .

c. ^- x + 2h2 = 169 + ^- x + 2h2 - 132 = 0 + ^- x + 2 - 13h ^- x + 2 + 13h = 0 + ^- x - 11h ^- x + 15h = 0 + x = - 11 ou x = 15 . S = "- 11 ; 15, . d. 4x2 + 4x + 1 = 121 + ^2x + 1h2 = 112 + ^2x + 1 - 11h ^2x + 1 + 11h = 0 + ^2x - 10h ^2x + 12h = 0 + 2x - 10 = 0 ou 2x + 12 = 0 + x = 5 ou x = - 6 . S = "5 ; - 6, . e. x2 - 1 = ^ x + 1h + ^ x + 1h ^ x - 1h - ^ x + 1h = 0 + ^ x + 1h ^ x - 2h = 0 + x + 1 = 0 ou x - 2 = 0 + x = - 1 ou x = 2 . S = "- 1 ; 2, .

f. 9x2 - 1 = ^3x - 1h ^2x + 5h + ^3x - 1h ^3x + 1h - ^3x - 1h ^2x + 5h = 0 + ^3x - 1h 6^3x + 1h - ^2x + 5h@ = 0 + ^3x - 1h ^ x - 4h = 0 + 3x - 1 = 0 ou x - 4 = 0 + x = 1 ou x = 4 . S = ' 1 ; 4 1 . 3 3

55 a. x + 1 = 0 2x 4 -

+ x + 1 = 0 et 2x - 4 = Y0 + x = - 1. S = "- 1, .

b. x + 3 = 4 x-1 1 + 1 # ^ x + 3h = 4 # ^ x - 1h et x - 1 = Y0 + x + 3 = 4x - 4 et x = Y1 + - 3x = - 7 et x = Y1 7 7 + x = . S = ' 1. 3 3 4 3 c. = 2x - 5 1 + 3 # ^2x - 5h = 4 # 1 et 2x - 5 = Y0 + 6x - 15 = 4 et x = Y 5 2 + x = 19 . S = ' 19 1 . 6 6 2 d. x - 3x = 0 x+5 + x2 - 3x = 0 et x + 5 = Y0 + x ^ x - 3h = 0 et x = Y- 5 + x = 0 ou x = 3 . S = "0 ; 3, 2 56 a. x - 9 = 0 x 3

- +

+ x2 - 9 = 0 et - x + 3 = Y0 + ^ x - 3h ^ x + 3h = 0 et x = Y3 + x = - 3 . S = "- 3, .

2 b. 1 + =0 x x+1 1 # ^ x + 1h 2#x + + =0 x # ^ x + 1h ^ x + 1h # x + 3x + 1 = 0 x ^ x + 1h

+ 3x + 1 = 0 et x = Y 0 et x + 1 = Y0 1 1 + x= . S=' 1. 3 3 4 3 = 3x - 1 2x + 5 + 4 # ^2x + 5h = 3 # ^3x - 1h et 3x - 1 = Y 0 et 2x + 5 = Y0 + 8x + 20 = 9x - 3 et x = Y 1 3 et x = Y - 5 + x = 23 . S = "23, . 2 2 3 5 d. = + x x+1 x ^ x + 1h 2 # ^ x + 1h + x # ^ x + 1h 3 x 5 = - # + x ^ x + 1h ^ x + 1h # x + 2x + 2 = - 3x + 5 et x = Y 0 et x + 1 = Y0 + 5x = 3 et x = Y 0 et x = Y- 1 3 3 + x = . S = ' 1. 5 5 c.

Chapitre 2 •

27

2 Mettre un problème en équation

57 Des problèmes, des équations … • Problème 1 : en notant x le nombre


cherché, l’équation vérifiée par x est : 3x + 8 = 2x - 5 + x = - 13 (équation 8). Le nombre cherché est - 13 . • Problème 2 : en notant x la longueur AM, l’équation vérifiée par x est : x2 = ^1 - x h # 1 (équation 14). On ne sait pas résoudre cette équation pour l’instant. • Problème 3 : en notant x et y les deux nombres cherchés, on résout : y=8-x x+y=8 +* * x # ^8 - x h = 5 x#y=5 (équation 12). On ne sait pas résoudre l’équation x ^8 - x h = 5 pour l’instant. • Problème 4 : les droites ^ ABh et ^CDh sont parallèles. En appliquant le théorème de Thalès, BD = AC , OB OA x 8 c’est-à-dire (équation 6), soit = 5 x x2 = 40 . Sous la condition x 2 0, on obtient x = 40 . • Problème 5 : en notant x l’âge du fils, l’âge du père est x + 25 . Dans cinq ans, le fils aura x + 5 , le père aura x + 30 . Ainsi x + 30 = 2 # ^ x + 5h (équation 2). On obtient x = 20 . • Problème 6 : en notant x le prix avant augmentation, le prix après augmentation de 5 % est x + 5 x = 1,05x. 100 Ainsi 1,05x = 8 (équation 15). On obtient x = 8 . 7,62 . 1,05 • Problème 7 : En notant x le nombre cherché, l’équation est : 2 + x = 1 7+x 3 (équation 1). On obtient x = 1 . 2 C • Problème 8 : En D notant x = AM,

l’aire de AMD est AD # AM = 3x . 2

L’aire de MBCD est :

A

M

B

MB + CD 12 - x # BC = # 6, 2 2 c’est-à-dire 3 ^12 - x h . On résout : 3x = 1 # 3 ^12 - x h , soit 2 3 x (équation 3). 3x = 18 2 On obtient x = 4 . 28

• Chapitre 2

58 Victor a choisi comme inconnue x, Choisir une expression la longueur AM. Il obtient que : algébrique adaptée MD = 4 - x, 61 La ligne 2 permet de vérifier les réA ^ ABMh = AB # AM = 3x et 2 2 sultats. Ce sont les expressions factorisées ^4 - x h # 6 qui sont adaptées pour résoudre les équaMD CD # A ^ MDC h = . = 2 2 tions dont le second membre est nul. Il résout donc l’équation : • Ê1h + f ^ x h = 3 + f ^ x h - 3 = 0 . 6 ^4 - x h 3x . = Or f ^ x h - 3 = ^ x - 4h2 - 16 2 2 =^ x - 4 - 4h ^ x - 4 + 4h La solution est 8 d la longueur = ^ x - 8h x . 3 Donc ^ E1h + ^ x - 8h x = 0 AM vaut 8 ; la longueur MD vaut 3 + x - 8 = 0 ou x = 0 4 - 8 = 4 n. + x = 8 ou x = 0 . S = "8 ; 0, . 3 3 Asma a choisi comme inconnue x la lon• Ê2h + f ^ x h = - 13 gueur MD. Elle obtient AM = 4 - x, + f ^ x h + 13 = 0 3 # ^4 - x h + ^ x - 4 h 2 = 0 + x - 4 = 0 AB AM # A ^ ABMh = = 2 2 + x = 4 . S = "4 , . MD CD 6 x . # # et A ^ MDC h = = • ^ E3h + f ^ x h = 0 2 2 + ^ x - 4h2 - 13 = 0 Elle résout donc l’équation : + ^ x - 4 - 13 h ^ x - 4 + 13 h = 0 3 ^4 - x h 6x . = + x - 4 - 13 = 0 2 2 4 ou x - 4 + 13 = 0 La solution est . 3 + x = 4 + 13 ou x = 4 - 13 . Courbes représentatives S = $4 + 13 ; 4 - 13 . . et expressions algébriques P C 62 1. D 59 a. f4 car fonction s’annulant en 0 et 2. Q b. f2 car fonction s’annulant en - 2 et 1. c. f1 car fonction s’annulant en - 2 et 2. N d. f3 car fonction s’annulant en - 1 et 2. 60 • f s’annule en - 1 et 3.

Et f ^0h = - 24 . Donc f ^ x h = 8 ^ x + 1h ^ x - 3h . Alors f ^ x h = 64 ^ x + 1h@ # 62 ^ x - 3h@ = ^4x + 4h ^2x - 6h . En développant : f ^ x h = 8x2 - 16x - 24 . De plus : 8 ^ x - 1h2 - 32 = 8 ^ x2 - 2x + 1h - 32 = 8x2 - 16x - 24 . Donc f ^ x h = 8 ^ x - 1h2 - 32 . De plus ^3x - 1h2 - ^ x + 5h2 = 6^3x - 1h - ^ x + 5h@ # 6^3x - 1h + ^ x + 5h@ =^2x - 6h ^4x + 4h Donc f ^ x h = ^3x - 1h2 - ^ x + 5h2 . • g s’annule en - 11 et 1, et g ^0h = 11. Donc g ^ x h = ^1 - x h ^ x + 11h. En développant, g ^ x h = - x2 + 10x + 11. De plus 36 - ^ x + 5h2 = 36 - ^ x2 + 10x + 25h =- x2 - 10x + 11. Donc g ^ x h = 36 - ^ x + 5h2 . • Les expressions différentes de f et de g sont : ^ x + 1h2 - 4 ; ^ x + 1h ^2x - 6h ; - x2 - 10x + 12 .

A

M

B

2. a. x appartient à 60 ; 6 @. b. L’aire de MNPQ est la différence de l’aire de ABCD et des aires des quatre triangles AMQ, MBN, NPC et DPQ. Ainsi : A ^ ABCDh = AB # AD = 10 # 6 = 60 ; AM # AQ A ^ AMQh = A ^ PNC h = 2 x # ^6 - x h ; = 2 A ^ MBNh = A ^ DPQh = BN # MB 2 x # ^10 - x h . = 2 Donc l’aire de MNPQ est : x ^6 - x h x ^10 - x h 60 - 0;«G»;«P») ». On obtient la fréquence des gains avec « =NB.SI(G1:G1000);«G»)/1000 ». 2. À chaque lancer, la probabilité d’être gagnant est 1 et 6 celle de ne pas être gagnant est 5 . 6 Le joueur est perdant s’il n’est gagnant à aucun des six lan6 cers. La probabilité d’être perdant est c 5 m , soit environ 6 0,33. La probabilité d’être gagnant est donc environ 0,67. Le jeu est avantageux pour le joueur.

Faire le point © Hachette Livre 2010 – Déclic 2de

QCM A 1. a. c.

2. b c.

B 1. c.

3. a. c.

Vrai ou faux ? C 1. Faux

2. Vrai

3. Vrai

D 1. Vrai

2. Vrai

3. Vrai

86

• Chapitre 8

4. Faux

2. b. c.

3. b. c. d.

4. a.


1

Vocabulaire des événements

25 1. X = "PPP ; PPF ; PFP ; PFF ;

FPP ; FPF ; FFP ; FFF, . P P

16 1. Vrai ; 2. Vrai ; 3. Faux ; 4. Vrai. 17 1. Vrai ; 2. Vrai ; 3. Faux ; 4. Faux. 18 1. b. ; 2. a. ; 3. a. ; 4. c. 19 1. Vrai ; 2. Faux ; 3. Vrai ; 4. Faux. Description d’une expérience aléatoire

20 1. X = "1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6, . 2. X = "1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6, . 3. X = $2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12. . 4. X est l’ensemble des 36 couples ^ a ; bh où a et b décrivent l’ensemble "1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6, . 21 1. X = "B ; V , .

2. X = "1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10, . 3. X = "1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9, . 4. X est l’ensemble des entiers de 2 à 20.

22 1. X = "C ; A ; R ; T ; O ; N, .

2. X est l’ensemble des 36 couples ^ a ; bh où a et b décrivent l’ensemble "C ; A ; R ; T ; O ; N, . 3. X est l’ensemble des 30 couples ^ a ; bh où a et b décrivent l’ensemble "C ; A ; R ; T ; O ; N, , a et b étant différents. 4. X = #CA ; CR ; CT ; CO ; CN ; AR ; AT ; AO ; AN ; RT ; RO ; RN ; TO ; TN ; ON- .

23 a. L’ensemble des prescriptions est


"S1A1 ; S1A2 ; S1A3 ; S2 A1 ; S2 A2 ; S2 A3, . S1

S2

A1 A2

A3 A1 A2

A3

b. L’ensemble des prescriptions est "S1A1 ; S1A3 ; S2 A1 ; S2 A2, . Détermination d'événements

24 1. X = " hhdd ; hdhd ; hddh ;

dhhd ; dhdh ; ddhh, . 2. a. E1 = " hdhd ; hddh ; dhhd ; dhdh, ; b. E2 = " hhdd ; hdhd ; dhhd , ; c. E3 = " hhdd ; ddhh, ; d. E4 = "ddhh, .

2. F + J est réalisé par 3 issues ; F , J est réalisé par 12 + 3 + 17 = 32 issues ; F est réalisé par 35 - 15 = 20 issues ; F , J est réalisé par 3 issues.

P F

P

F

« l’élève fait du judo » P FP F P FP F

2. a. A = "PPP ; PPF ; PFP ; PFF, ; b. B = "PPF ; PFP ; FPP, ; c. C = "PPP ; PPF ; PFP ; PFF ; FPP ; FPF ; FFP, ; d. D = "FFF, .

12 3

26 1. X = "BB ; BR ; BJ ; RR ; RJ ; JJ, . 2. a. A = "BB ; RR ; JJ, ; b. B = "RR ; RJ ; JJ, ; c. C = "BJ ; RJ ; JJ, ; d. D = "BB ; BR ; RR , . 27 On note a, b, c et d les places de parking. Il y a 12 dispositions où les voitures A et B sont côte-à-côte. A:

a

B: b c d

b

c

d

a c d

a b d

a b c

C :c d b dc a c da da c b da d a b b c a ca b

Intersection, réunion, événement contraire

28 1. X = "MA ; MT ; MH ; AM ; AT ;

AH ; TM ; TA ; TH ; HM ; HA ; HT , . 2. a. E1 = #MA ; MT ; MH ; AM ; TM ; HM- ; b. E2 = "MA ; AM ; AT ; AH ; TA ; HA , . 3. E1 , E2 = "MA ; MT ; MH ; AM ; AT ; AH ; TM ; TA ; HM ; HA , . 4. E1 + E2 = "MA ; AM, .

29 1. A + B : « La somme p + q est 6 et l’écart entre les deux numéros est 2 ». A , B : « La somme p + q est 6 ou l’écart entre les deux numéros est 2 ». 2. A = "15 ; 24 ; 33, ; B = "13 ; 24 ; 35 ; 46, ; A + B = "24 , ; A , B = "13 ; 15 ; 24 ; 33 ; 35 ; 46, . 30 1. F + J : « l’élève interrogé pratique le foot et le judo » ; F , J : « l’élève interrogé pratique le foot ou le judo » ; F : « l’élève interrogé ne pratique pas le foot » ; F , J : « l’élève interrogé ne pratique ni le foot, ni le judo ».

17

3

« l’élève joue au foot »

31 1. X = "PPP ; PPF ; PFF ; FFF, . 2. a. A = "PPP ; PPF ; PFF, ; B = "PFF ; FFF, ; A et B sont compatibles. b. A : « ne pas obtenir de pile » ; A = "FFF, . c. A + B : « obtenir exactement un pile » ; A + B = "PFF, . d. A , B : « obtenir un nombre quelconque de pile » ; A , B = X. 32 1. X = "RR ; RV ; RB ; VR ;

VV ; VB ; BR ; BV ; BB, . 2. a. A = "BR ; BV ; BB, ; V B B = "RV ; VV ; BV , ; R C = "RR ; VV; BB, . R V B R V B R V B b. A : « la 1re boule n’est pas bleue » ; A = " VR ; VV ; VB ; RV ; RB ; RR , . c. A , B : « la 1re boule est bleue ou la 2e boule est verte » ; A , B = "BR ; BV ; BB ; RV ; VV , . d. A + B : « la 1re boule est bleue et la 2e boule est verte ». A + B = "BV , . e. C : « les boules tirées n’ont pas la même couleur » ; C = "RV ; RB ; VR ; VB ; BR ; BV , .

33 1. a. 30 # 300 = 90 . 100 b. 300 = 150 personnes possèdent 2 un véhicule essence et recherchent un véhicule essence ; 300 - ^90 + 150h = 60 personnes possèdent un véhicule essence et recherchent un véhicule électrique. 2. a. Visiteurs possédant actuellement un véhicule…

… et recherchant un véhicule …

Total

diesel essence électrique

essence

90

150

60

300

diesel

300

Total

390

160

40

500

310

100

800

Chapitre 8 •

87

8 b. L’ensemble des issues est l’ensemble des 800 visiteurs rencontrés. 3. a. A + B : « le visiteur possède un véhicule diesel et est intéressé par un véhicule diesel » ; il est réalisé par 300 issues. b. A , B : « le visiteur possède un véhicule diesel ou est intéressé par un véhicule diesel » ; il est réalisé par 300 + 160 + 40 + 90 = 590 issues. c. B : « le visiteur n’est pas intéressé par un véhicule diesel » ; il est réalisé par 800 - 390 = 410 issues.

2

Probabilité d'un événement sur un ensemble fini 34 1. a et c. ;

2. b.

35 Les lois impossibles sont a. et d. 36 1. Faux ; 2. Vrai ; 3. Vrai ; 4. Faux. Loi de probabilité

37 En notant p la probabilité d’obtenir pile, la probabilité d’obtenir face est p alors . 2 p On résout : p + = 1. 2 Donc p = 2 . 3


38 1. La probabilité de chaque couleur de feu est proportionnelle à sa durée pendant un cycle (durée totale : 70 s). Alors p ^feu verth = 45 = 9 ; 70 14 5 1 ; p ^feu orangeh = = 70 14 p ^feu rougeh = 20 = 2 . 70 7 2. La probabilité que le conducteur s’arrête est p ^feu orangeh + p ^feu rougeh 1 2 5 . = + = 14 7 14

40 1. a. « B est une partie de A » est vraie car B = "4 , et A = "2 ; 4 ; 6, . b. « p ^Bh G p Âh » est vraie, car p Âh = p ^Bh + p ^"4 ; 6,h et p ^"4 ; 6,h H 0 . 2. a. Si B 1 A , alors A = B , Â Bh . Donc p Âh = p ^Bh + p Â Bh . Or p Â Bh H 0 . Donc p ^Bh G p Âh . b. La réciproque est fausse. Par exemple, lors d’un lancer d’un dé cubique bien équilibré, on peut considérer : A : « obtenir 2 ou 3 » et B « obtenir 4 ». 41 1. L’ensemble des issues possibles

est "A ; B ; C ; D ; E ; F, , il est muni de la loi : p Âh = 90 = 1 ; 360 4 60 1 ; p ^Bh = = 360 6 p ^Ch = 30 = 1 ; 360 12 120 1 ; p ^Dh = = 360 3 p Êh = 15 = 1 ; 360 24 45 1 p ^Fh = = . 360 8 2. a. p Ê1h = 1 - p ^Dh = 2 ; 3 b. p Ê2h = p ^Ch + p ^Fh = 5 ; 24 c. p Ê3h = p ^Bh + p ^Ch + p ^Dh

+ p Êh =

Lien avec les fréquences

42 p Âh = 0,17 ; p ^Bh = 0,73 ; p ^Ch = 0,8 .

43 p Âh = p ^3h + p ^6h + p ^9h

= 0,238 ; p ^Bh = p ^1h + p ^4h + p ^9h = 0,444 ; p ^Ch = p ^6h + p ^7h + p ^8h + p ^9h = 0,222 .

39 L’aire de la zone 1 est 100r

; 2 l’aire de la zone 2 est 300r cm ; l’aire de la zone 3 est 500r cm2 ; l’aire totale est 900r cm2. La probabilité d’atteindre la zone 1 est 1 ; celle d’atteindre la zone 2 est 3 ; 9 9 5 celle d’atteindre la zone 3 est . 9 88

• Chapitre 8

45 On calcule les différentes fréquences observées : Nombre d’expériences réalisées 1 000 2 000 5 000 10 000 Nombre de billes rouges obtenues Nombre de billes bleues obtenues Nombre de billes bleues obtenues

0,344

0,3265

0,3316

0,3332

0, 484

0,5035

0,5092

0,5005

0, 172

0,17

0,1592

0,1663

La répartition des fréquences se rapprochent le plus de la loi 3 ; les autres lois ne sont pas compatibles.

46 1. La répartition des fréquences ne se rapprochent pas vers 7 valeurs identiques c 1 . 0,143m . On peut donc 7 plutôt affirmer que les 7 valeurs ne sont pas équiprobables. 2. a. En A2 et en B2 : « =ENT(4*ALEA())+1 » ; en C2 : « =A2+B2 » et recopie de A2, B2 et C2 jusqu’à la ligne 1 001 (au moins) ; en E2 : « =NB.SI($C$2:$C$11;E1) » et recopie jusqu’en K2 ; en E3 : « =NB.SI($C$2:$C$101;E1) » et recopie jusqu’en K3 ; en E4 : « NB.SI($C$2 :$C$1001;E1) » et recopie jusqu’en K4. b. Lorsque le nombre de simulations augmente, la distribution des fréquences doit se stabiliser et tendre vers la distribution des probabilités (attention à bien donner des probabilités estimées dont la somme est 1).

47 1. a. TEXAS

44 1. p Âh = 0,157 ; p ^Bh = 0,215 ;

p ^Ch = p ^0h + p ^1h + p ^2h = 0,263. 2. La probabilité d’encombrement est p ^5h + p ^6h + p ^7h + p ^8h = 0,327.

3. a. N cm2

5 . 8

Simulations et choix d’un modèle

=

CASIO

2,3 # 0 + 8,3 # 1 + g + 1,5 # 8 100

= 3,698 . 4 . D’après la question 2., la probabilité d’encombrement n’est pas inférieure à 1 chance sur 4. b. p ^8h = 0,015 ; p ^7h + p ^8h = 0,045 ; p ^6h + p ^7h + p ^8h = 0,161. Le nombre minimal de lignes à prévoir est 7.

ALGOBOX

SCILAB

b. On effectue des simulations de grande taille.

Avec Scilab :

Avec Texas :

c. Voici par exemple la liste des résultats obtenus lors de 20 simulations avec Scilab :

Variables : N, i, A, B, M : entiers ; Eff, Freq : listes ; Début Entrer(N) ; Eff!ListeNulle(6) ; Pour i allant de 1 à N faire A!EntierAléa(1 ; 6) ; B!EntierAléa(1 ; 6) ; M!Max(A ; B) ; Eff(M)!Eff(M) + 1 ; FinPour ; Freq!Eff/N ; Afficher(Freq) ; Fin. TEXAS

48 1. En D2, on compte le nombre de garçons dans la plage A2:C2. D’où la formule « =NB.SI(A2:C2;«G») » et on recopie jusqu’en D1001. En F2 : « =NB.SI($D$2:$D$101;F1)/100 » et on recopie jusqu’en I2. En F3 : « =NB.SI($D$2:$D$501;F1)/500 » et on recopie jusqu’en I3. En F4 : « =NB.SI($D$2:$D$1001;F1)/1000 » et on recopie jusqu’en I4. 2. On effectue plusieurs simulations.

3

Calculs de probabilités

49 1. Faux ; 2. Faux ; 3. Vrai ; 4. Vrai. 50 1. a. et c. ; 2. a., b. et c. ; 3. c. Équiprobabilité

51 1. a.


La liste des fréquences observées est placée dans la liste L2. CASIO

La liste des fréquences observées est placée dans la liste List2. SCILAB

p ^Ch = p ^2h + p ^4h + p ^6h + p ^8h 8 1 = = . 16 2

52 1. c. Le maximum le plus probable est 6.

d. Les valeurs du maximum ne paraissent pas équiprobables car les fréquences observées diffèrent les unes des autres. 2. a. ALGORITHME

p ^Bh = p ^5h + p ^6h + p ^7h + p ^8h 5 ; = 8

dé 1 dé 2 1 2 3 4

1

2

3

4

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

5 6 7 8

b. Il y a équiprobabilité sur l’ensemble des couples des résultats possibles (16 cas au total). p ^"la somme est 2"h = 1 ; 16 p ^"la somme est 3"h = 1 ; 8 p ^"la somme est 4"h = 3 ; 16 p ^"la somme est 5"h = 1 ; 4 p ^"la somme est 6"h = 3 ; 16 p ^"la somme est 7"h = 1 ; 8 p ^"la somme est 8"h = 1 . 16 2. p Âh = 2 = 1 ; 16 8

dé 1 dé 2 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

2 2 3 4 5 6

3 3 3 4 5 6

4 4 4 4 5 6

5 5 5 5 5 6

6 6 6 6 6 6

2. Il y a équiprobabilité sur l’ensemble des couples de résultats possibles (36 cas au total). p ^"le maximum est 1"h = 1 ; 36 p ^"le maximum est 2"h = 1 ; 12 p ^"le maximum est 3"h = 5 ; 36 p ^"le maximum est 4"h = 7 ; 36 p ^"le maximum est 5"h = 1 ; 4 p ^"le maximum est 6"h = 11 . 36 3. La probabilité est : p ^"le maximum est 1"h + p ^"le maximum est 2"h 1. + p ^"le maximum est 3"h = 4 4. La probabilité est 1 ; l’événement « le plus grand numéro est au plus 6 » est certain.

53 Il y a équiprobabilité sur l’ensemble des 32 cartes. p ^ Ah = 4 = 1 ; 32 8 8 1 ; p ^Bh = = 32 4 p ^Ch = 8 = 1 ; 32 4 3 ; p ^Dh = p Êh = 11 ; 32 32 3 . p ^Fh = 4 Tableau à double entrée

54 1. Colliers Bracelets Argentés Dorés Total

20 20 40

30 10 40

Boucles Total d’oreille 10 60 10 40 20 100

2. a. p Âh = 60 = 3 ; 100 5

Chapitre 8 •

89

8

2. a. p Âh = 4 000 = 4 ; 5 000 5 3 000 3 p ^Bh = = . 5 000 5 b. A + B : « le client a bénéficié des conseils d’un vendeur et a effectué un achat » ; A , B : « le client a bénéficié des conseils d’un vendeur ou a effectué un achat ». c. p Â + Bh = 2 800 = 14 ; 5 000 25 p Â , Bh = p Âh + p ^Bh - p Â + Bh 21 . = 25 3. La probabilité est 2 800 = 14 . 3 000 15

pas le 6

1/2

pair

1/2

impair

Secteur B

5/12

n’importe quel nombre

1

Secteur C

3. a. p("gagner le gros lot") = 1 # 1 = 1 . 4 6 24 b. p("gagner un lot") = p("gagner le gros lot") + p("gagner le lot moyen") = 1 + 1 # 1 = 5 . 24 3 2 24 c. p("perdre") = 1 - p("gagner un lot") = 19 . 24

62 1.

12

0,5

G

0,

88

F

48

8

G

G G

48

8

G F

G

G F

G

2. a. p("la famille a 3 garçons") = 0,5123 . 0,134 .

88

F

0,

0,4

G

0,4

88

• Chapitre 8

5/6

0,4

90

1/3

88

2. p Êh = 1 ; p ^Fh = 1 ; 4 4

1/4

88

56 1. Il y a 24 listes possibles.

Secteur A

0,4

Utiliser un arbre

59 1. X est l’ensemble "PPP ; PPF ; PFP ; PFF ; FPP ; FPF ; FFP ; FFF,. 2. a. p ^P1h = p("obtenir pile au 1er lancer") 4 1 ; = = 8 2 p ^P2h = p ("obtenir face, puis pile") 2 1 ; = = 8 4 p ^P3h = p("obtenir face, face, puis pile") 1 = . 8 b. p ^P1h + p ^P2h + p ^P3h = 7 = Y1 8

A") = 1 ; 4 p("la flèche indique le secteur B") = 1 ; 3 p("la flèche indique le secteur C") = 5 . 12 2. 1/6 6

12

5 000

– B

2

2 000

25 %

0,5

3 000

B

51

1 000

75 %

0,

800

– B

12

200

58 1. On compte le nombre de chemins possibles. 2. a. Il y a trois figures où les trois symboles sont identiques. b. Il y a six figures où les trois symboles sont tous différents. 3. p Âh = 1 ; 27 3 1 ; p ^Bh = = 27 9 p ^Ch = 6 = 2 ; 27 9 p ^Dh = 1 - ^ p ^Bh + p ^Chh = 2 ; 3 8 p Êh = 1 - p ^Bh = . 9

60 %

0,5

4 000

– A

12

1 200

B

61 1. p("la flèche indique le secteur

2

2 800

70 %

0,4


Ont bénéficié des conseils d’un vendeur N’ont pas bénéficié des conseils d’un vendeur Total

^B1 ; Rh ; ^B1 ; B2h ; ^B1 ; B3h ; ^B2 ; Rh ; ^B2 ; B1h ; ^B2 ; B3h ; ^B3 ; Rh ; ^B3 ; B1h ; ^B3 ; B2h, . 2. a. p ^Vh = 3 = 1 ; 12 4 6 1 1 . p Ôh = = ; p ^V + Oh = 12 2 12 b. V , O : « le finaliste gagne le voyage ou l’ordinateur » ; p ^V , Oh = p ^Vh + p Ôh - p ^V + Oh 2 = . 3 c. Le contraire de V , O est l’événement A ; sa probabilité est : 1 - p ^V , Oh = 1 . 3

40 % A

30 %

0,5

effectué effectué Total un achat d’achat

2. La proportion de dragées bleues contenant une amande est : 30 40 # = 0,12 , soit 12 %. 100 100 3. A + B : « la dragée choisie est bleue et contient une amande » ; p Â + Bh = 0,12 . 4. p ^Bh = p("la dragée est bleue et contient une amande") + p("la dragée est bleue et ne contient pas d'amande") = 0,12 + 70 # 75 = 0,645 . 100 100 5. A , B : « la dragée choisie est bleue ou contient une amande » ; p Â , Bh = p Âh + p ^Bh - p Â + Bh = 0,825 .

60 1.

51

ont bénéficié des conseils d’un vendeur. b. 70 # 4 000 = 2 800 clients ont 100 bénéficié des conseils d’un vendeur et ont effectué un achat. c. Ont N’ont pas

57 1. X = "^R ; B1h ; ^R ; B2h ; ^R ; B3h ;

Utiliser un arbre pondéré

0,

55 1. a. 80 # 5 000 = 4 000 clients 100

car la réunion de P1, P2 et P3 n’est pas l’univers.

12

p Â , Bh = p Âh + p ^Bh - p Â + Bh 7 . = 10 d. A : « le bijou pris n’est pas argenté » ; p ^ Ah = 1 - p ^ A h = 2 . 5 10 1 3. a. p1 = ; = 40 4 b. p2 = 10 + 10 = 1 . 40 2

p ^Gh = 12 = 1 . 24 2 3. E + F : « Béatrice est interrogée en premier et Chloé en dernier » ; p Ê + Fh = 2 = 1 . 24 12 4. E , F : « Béatrice est interrogée en premier ou Chloé en dernier » ; p Ê , Fh = p Êh + p ^Fh - p Ê + Fh 5 . = 12

0,5

p ^Bh = 40 = 2 . 100 5 b. A + B : « le bijou pris est un bracelet argenté » ; p Â + Bh = 30 = 3 . 100 10 c. A , B : « le bijou pris est un bracelet ou est argenté » ;

F

b. p("la famille a exactement 2 garçons") = 3 # 0,5122 # 0,488 . 0,384 . c. p("la famille a au moins 2 garçons") = p("2 garçons") + p("3 garçons") = 0,5123 + 3 # 0,5122 # 0,488 . 0,518.

66 1. N1

N2 aucun joueur ne gagne er B le 1 joueur gagne 2

R2 le 1er joueur gagne

B1

N2 le 2e joueur gagne B aucun joueur ne gagne 2

R2 aucun joueur ne gagne

Problèmes R1

63 1. p("groupe A") = 0,45 ; 2. p("groupe A ou AB") = 0,48 ; 3. p("groupe O") = 0,43 ; 4. p("groupe A, B ou AB") = 0,57.

64 1. p A = 20 = 0,2 . 100 2. pB =

x . 100 + x

N2 le 2e joueur gagne B aucun joueur ne gagne 2

R2 aucun joueur ne gagne

2. p Âh = 5 ; 9 2 ; p ^Bh = 9 p ^Ch = 1 . 9 3. Il y a un gagnant dans 4 parties sur 9 : il n’y a donc pas de gagnant dans la majorité des parties.

3. a.

67 1.

b. Le nombre minimal de gardons à prévoir dans le bassin B est 25.

65 1. Masse (en g)

Effectifs cumulés

Effectifs

6230 ; 2406

3

3

10

7

34

24

71

37

92

21

99

7

100

1

6240 ; 2446 6244 ; 2486 6248 ; 2526 6252 ; 2566

6256 ; 2606


6260 ; 270 @

2. p Âh = 0,58 ; p ^Bh = 0,71 ; p ^Ch = 0,08 . 3. L’ensemble des paquets dont la masse n’est pas entre 245 g et 255 g contient l’ensemble des paquets dont la masse n’est pas entre 244 g et 256 g. Celui-ci contient 3 + 7 + 7 + 1 paquets, c’est-à-dire 18 paquets. La proportion des paquets dont la masse n’est pas entre 245 g et 255 g est donc supérieure ou égale à 0,18. On doit régler la chaîne de fabrication.

Usine de Bordeaux Usine de Grenoble Usine de Lille Total

Défectueuses

En bon état

Total

160

3 200

3 360

66

1 200

1 266

154

3 500

3 654

380

7 900

8 280

2. a. p ^Bh = 3 360 = 28 . 8 280 69 380 19 b. p ^Dh = . = 8 280 414 c. B + D : « l’alarme provient de Bordeaux et est défectueuse » ; p ^B + Dh = 160 = 4 . 8 280 207 d. p _B , Di = p _Bi + p _Di - p _B + Di 179 . = 414 3. La proportion d’alarmes défectueuses dans l’usine de Bordeaux est 160 , soit environ 4,76 %. La 3 360 proportion d’alarmes défectueuses dans l’usine de Grenoble est 66 , 1266 soit environ 5,21 %. La proportion d’alarmes défectueuses dans l’usine de Lille est 154 , soit environ 4,21 %. 3 654 L’usine la plus efficace en terme de qualité de production paraît donc être Lille.

68 1. L’ensemble des « réponses com-

J4) ; (F1 ; J2 ; F3 ; F4) ; (F1 ; F2 ; J3 ; J4) ; (F1 ; F2 ; J3 ; F4) ; (F1 ; F2 ; F3 ; J4) ; (F1 ; F2 ; F3 ; F4)}. 2. a. Les deux réponses aboutissent à la note finale 1 point. Deux « réponses complètes » aboutissent à la même note finale lorsqu’elles comportent le même nombre d’éléments justes (et faux). b. Il faut au moins deux éléments justes pour que la note finale soit supérieure à 0. 3. a. On simule n « réponses complètes » : les entiers Rk prennent la valeur 1 lors que la réponse est juste à la question k, 0 sinon ; N compte le nombre d’éléments justes dans la « réponse complète ». L’entier S (initialisé à 0) compte de proche en proche le nombre de fois où la note finale est positive. L’algorithme permet donc de simuler n « réponses complètes » au QCM, et affiche la fréquence de note finale positive sur cet échantillon. b.

TEXAS

CASIO

SCILAB

plètes » est : {(J1 ; J2 ; J3 ; J4) ; (J1 ; J2 ; J3 ; F4) ; (J1 ; J2 ; F3 ; J4) ; (J1 ; J2 ; F3 ; F4) ; (J1 ; F2 ; J3 ; J4) ; (J1 ; F2 ; J3 ; F4) ; (J1 ; F2 ; F3 ; J4) ; (J1 ; F2 ; F3 ; F4) ; (F1 ; J2 ; J3 ; J4) ; (F1 ; J2 ; J3 ; F4) ; (F1 ; J2 ; F3 ; Chapitre 8 •

91

8 Avec le tableur :

En B2 « =SI(ALEA()=2”)/100 » ; En I3 « =NB.SI(F2:F501;”>=2”)/500 » ; En I4 « =NB.SI(F2:F1001;”>=2”)/1000 ». c. On simule un grand nombre de « réponses complètes ». Intuitivement, la fréquence observée de note positive tend à se stabiliser, ce qui permet d’estimer la probabilité. La simulation à l’aide du programme permet d’infirmer l’affirmation de Victor : la fréquence observée n’est pas « proche » de 0,6. 4. a. J2

J3 F3

J1 F2

J2

J3 F3 J3 F3

F1


F2

J3 F3

J4 4 justes

F4 3 justes J4 3 justes F4 2 justes J4 3 justes F4 2 justes J4 2 justes F4 1 juste J4 3 justes F4 2 justes J4 2 justes F4 1 juste J4 2 justes F4 1 juste J4 1 juste F4 0 juste

b. L’ensemble des « réponses complètes » est muni de l’équiprobabilité. La probabilité que la note finale soit supérieure à 0 est : nb fois "au moins 2 éléments justes" nb de "réponses complètes" 11 = = 0,6875 . 16 La probabilité obtenue est supérieure à 0,5. La stratégie de l’élève est plutôt « bonne » dans la plupart des cas. 5. Prolongement : en pondérant l’arbre, la probabilité que la note finale soit supérieure à 0 est : 3 4 2 c1m +4#c1m #c2m+6#c1m 3 3 3 3 2 2 31 . 0,383 . #c m = 3 81 Cette probabilité est inférieure à 0,5 : la stratégie de l’élève n’est pas « bonne », et s’avérera non payante dans la plupart des cas. 92

• Chapitre 8

69 1. Il y a 15 premiers caractères possibles (1 à 9, A à F) et 16 seconds caractères possibles (0 à 9, A à F). Cela fait en tout 15 # 16 = 240 nombres de deux caractères en base 16. 2. a. p Ê1h = 9 # 10 = 3 ; 240 8 16 1 ; p Ê2h = = 240 15 b. p Ê1 + E2h = 10 = 1 ; 240 24 c. p Ê1 , E2h = p Ê1h + p Ê2h - p Ê1 + E2h 2 ; = 5

d. p(“le nombre contient au moins une lettre”) = 1 - p Ê1h = 5 ; 8 e. p(“le nombre est formé de caractères différents”) = 1 - p(“le nombre est formé de caractères identiques”) 15 15 . =1 = 240 16

70 1. a. La bille rencontre trois intersections où elle va de façon équiprobable soit vers la droite, soit vers la gauche. En modélisant chaque déplacement de la bille vers la gauche par 0 et chaque déplacement de la bille vers la droite par 1, un trajet sera alors donné par un triplet de 0 et 1 obtenus de façon aléatoire. En choisissant cette modélisation, la somme des éléments du triplet donne le numéro de sortie de la bille. b. En A2 « =ENT(2*ALEA())+ENT(2* ALEA())+ENT(2*ALEA()) », et recopie vers le bas. En D2 « =NB.SI($A$2:$A$101;D1) » et recopie jusqu’en G2. En D3 « =NB.SI($A$2:$A$1001;D1) » et recopie jusqu’en G3. c. On simule un grand nombre de lâchers de billes. Intuitivement, les fréquences observées tendent à se stabiliser, ce qui permet d’estimer les probabilités de sortie de chaque numéro. G sortie 0 2. G

D

sortie 1

G

sortie 1

D

sortie 2

G

sortie 1

D

sortie 2

G

sortie 2

D

sortie 3

bles est muni de l’équiprobabilité. p(“le numéro de sortie de la bille 0”) = 1 = 0,125 . 8 p(“le numéro de sortie de la bille 1”) = 3 = 0,375 . 8 p(“le numéro de sortie de la bille 2”) = 3 = 0,375 . 8 p(“le numéro de sortie de la bille 3”) = 1 = 0,125 . 8

G D D

L’ensemble de tous les chemins possi-

est est est

71 1. Les abscisses finales possibles sont - 4 ; - 2 ; 0 ; 2 et 4. 2. a. La puce se trouve initialement à l’origine, c’est-à-dire à l’abscisse 0. Le premier saut de la puce peut se schématiser par l’ajout ou le retrait de 1 à son abscisse, de façon aléatoire. Il peut être simulé par la génération d’un entier aléatoire dans {0 ; 1} : si on obtient 1, l’abscisse augmente de 1 ; sinon, elle diminue de 1. p : b. Par exemple Variables : x, i, N : entiers ; Début x!0; Pour i allant de 1 à 4 faire N ! EntierAléaEntre(0 ; 1) ; Si N = 0 alors x ! x - 1 ; sinon x ! x + 1 ; FinSi ; FinPour ; Afficher(« l’abscisse finale est », x) ; Fin. 3. a.

TEXAS

CASIO

G D

est

SCILAB

Avec le tableur :

En B2 « =SI(ALEA()