Définition : un oscillateur mécanique est un système matériel animé d'un ... On
appelle oscillateur harmonique, un oscillateur pour lequel la variable position est
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OSCILLATEURS MECANIQUES 1. GENERALITES : un oscillateur mécanique est un système matériel animé d’un 1.1.Définition : mouvement périodique. On appelle oscillateur harmonique, un oscillateur pour lequel la variable position est une fonction sinusoïdale du temps : TRANSLATION : x = a cos ( ω t + ϕ ) 1.2.Particularités de l’oscillateur harmonique : Position :
x = a cos ( ω t + ϕ )
en [ m ]
• dx = x = – a ω sin ( ω t + ϕ ) dt x et v sont deux fonctions en quadrature : si x est au maximum (ou au minimum), alors v s’annule et vice-versa .
Vitesse :
en [ m . s –1 ]
Accélération :
v=
γ=
en [ m . s –2 ]
•• dv d2x = = x = – a ω² cos ( ω t + ϕ ) dt dt2
1.3. Equation différentielle du mouvement : x = a cos ( ω t + ϕ ) Donc
••
x = – ω² x
et
••
x = – a ω² cos ( ω t + ϕ ) ••
x + ω² x = 0
ce qui donne l’équation
Une fonction sinus ou cosinus vérifie l’équation différentielle précédente. Inversement , on admettra que si l’étude d’un système mécanique, soumis à un ensemble de forces, conduit à une équation ••
différentielle du type : x + ω² x = 0 alors la solution est sinusoïdale x = a cos ( ω t + ϕ ) a et ϕ sont déterminés par le problème physique 1.4. Résolution d’un problème : * système étudié * bilan des forces extérieures * Principe fondamental de la Dynamique : * Projection sur un axe X’X :
r r Σ F = m γ ••
Σ F = mγ = mx
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••
si Σ F = – k x (force de rappel) , alors –kx = m x •• •• k x + x = 0 C’est une équation du type : x + ω² x = 0 m La solution de l’équation est une fonction sinusoïdale : k x = a cos ( ω t + ϕ ) avec ω² = m 2π La période du mouvement vaut T = ω 1.5. Energies mises en jeu dans l’oscillateur harmonique : ••
••
–kx = m x ⇒ m x + kx = 0 En multipliant les deux membres de l’équation par v, on obtient : •• dx dv + k.x. = 0 m.v. x + k.x.v = 0 ⇒ m.v. dt dt En multipliant par dt , on obtient : m . v . dv + k . x . dx = 0 1 1 m v2 + k x2 = Cte 2 2 Ce qui n’est rien d’autre que la conservation de l’énergie mécanique :
En intégrant par rapport à chaque variable, on trouve :
Em = Ec + Ep = Cte x=a
⇒
Sachant que ω² =
k m
Si
v=0 ⇒
et alors Em = 0 + k = m ω²
Donc
1 2 ka 2 Em =
1 m ω² a2 2
2. OSCILLATIONS AMORTIES Amortissement par frottement visqueux : c’est le frottement lors du déplacement d’un solide dans un fluide (gaz ou liquide). r r Force de frottement : F = – b . v 2.1. Diminution d’énergie : r r * diminution d’énergie pendant le temps dt : dE = F . v . dt c’est le travail de la force de fottement pendant le temps dt dE dE = – b . v2 . dt < 0 l’énergie diminue quand le temps s’écoule dt dE * pour une oscillation complète : ( )moy = – b . vmoy2 dt
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•
Sachant que v = x = – a ω sin ( ω t + ϕ ), on démontre que pour une période 1 complète : vmoy2 = ω² a 2 2 dE * Expression de l’énergie : = – b . vmoy2 dt dE b 1 b 1 Donc = – b . ω² a 2 = – . m ω² a 2 = – .E dt m 2 m 2 dE b En séparant les variables : = – . dt E m E = Eo exp (–
Ce qui donne en intégrant :
b .t) m
L’énergie diminue de façon exponentielle et l’amplitude diminuera donc aussi de façon exponentielle
a = ao exp (–
b .t) 2m
x = ao exp (–
b . t ) . cos 2 π . t 2m Τ
2.3. Equation différentielle et résolution : ••
ΣF= m x ce qui donne avec la force de rappel du ressort ( Fr = – k x ) et la force de frottement visqueux ( Ff = – b v ) • •• •• b • k –kx – bx = m x ⇒ x + x + x = 0 m m
••
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•
C’est une équation du type : x + 2 λ x + ωο ² x = 0 b k Avec 2λ = et ωο ² = ⇒ ωο = m m ωο représente la pulsation propre (en l’absence de frottements) Résolution : on cherche des solutions du type : x = e
r.t
* équation caractéristique :
r2 + 2 λ r + ωο² = 0
* discriminant réduit :
∆ = λ² – ωο²
* les solutions seront :
r1 = – λ – r2 = – λ +
3 CAS à envisager : REGIME APERIODIQUE * ∆’ > 0 λ > ωo : amortissement fort r1 et r2 : 2 solutions réelles la solution sera de la forme : REGIME CRITIQUE * ∆’ = 0 λ = ωo : amortissement moyen r1 et r2 : 2 solutions confondues la solution sera de la forme : REGIME PSEUDO-PERIODIQUE * ∆’ < 0 λ < ωo : amortissement faible r1 et r2 : 2 solutions complexes conjuguées La solution sera de la forme :
x = ao e – λ t . cos (ω ω t + ϕ)
λ² – ωο² λ² – ωο²
k m
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* PSEUDO-PERIODE : ω2 = ωο2 - λ2
2π ω étant la pseudo-pulsation ω * si l’amortissement est très faible, alors λ est très petit donc λ² sera négligeable devant ωο : ω = ωο ==> To (période propre) = T (pseudo-période) T=
* si l’amortissement n’est pas trop faible, alors λ n’est pas très petit, donc λ² ne sera plus négligeable devant ωο : ω < ωο ==> T (pseudo-période) > To (période propre) Par le frottement, le mouvement est légèrement ralenti. 3. OSCILLATIONS FORCEES 3.1. Situation du problème : • on raisonne sur un oscillateur de translation : • l’amortissement est FAIBLE • l’oscillateur (appelé aussi RESONATEUR) subit de la part d’un EXCITATEUR r une force F qui varie de façon sinusoïdale dans le temps : F = Fo e i ω t ⇒
Comment va osciller le RESONATEUR ?
3.2. Etude expérimentale : • L’expérience sera faite avec un pendule simple : Une masse suspendue à un fil de longueur L . L’avantage de ce dispositif, c’est qu’on peut faire varier facilement la période d’oscillation en modifiant simplement la longueur L du fil . On L démontre que : T = 2 π g • Pour l’excitateur, on prend une masse importante • Pour le résonateur, on prend une balle en mousse ou une balle de ping-pong. • Dispositif : L1 Lo L2
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• CONSTATATIONS : ⇒ si Tres < Texc alors après quelques oscillations et arrêts successifs, le résonateur oscille avec la même période que l’excitateur EN PHASE, mais avec une AMPLITUDE PLUS FAIBLE alors après quelques oscillations et arrêts successifs, le ⇒ si Tres > Texc résonateur oscille avec la même période que l’excitateur EN OPPOSITION DE PHASE, mais avec une AMPLITUDE TRES FAIBLE au début le résonateur oscille de façon décalée (déphasage ⇒ si Tres = Texc π de au démarrage)avec une AMPLITUDE DE PLUS EN PLUS GRANDE : 2 c’est LA RESONANCE 3.3. Equation différentielle et solutions (calcul pour la résonance) •
••
* équation différentielle : – k x – b x + Fo e i ω t = m x •• k F b • x + x = o e iωt ⇒ x + m m m •• • F C’est une équation du type : x + 2 λ x + ωο ² x = o e i ω t m * D’après l’expérience, on constate que le résonateur oscille avec la m^me période ϕ) que l’excitateur : on cherche donc des solutions du type : x = a e i ( ω t + * On démontre que l’amplitude est MAXIMALE lorsque ω = ωο RESONANCE 3.4. Applications de la résonance : elles nombreuses en particulier en acoustique EXERCICE : Soit une voiture avec sa suspension ( M = 1000 kg et k = 4 . 104 N.m–1). Cette voiture arrive sur une série de bosses équidistantes d’une distance d = 20 m . 1.) Quel est le rôle des amortisseurs ? 2.) Calculer la vitesse V qu’il serait préférable d’éviter . Pourquoi ? 1.) Les amortisseurs ont pour but d’éviter les oscillations de la suspension : bonne tenue de route. Un bon amortisseur fonctionne en régime dit CRITIQUE : λ = ωo 2.) Il vaut mieux éviter la résonance : RESONANCE : ω = ωο c'est à dire ωbosse = ωvoiture 2π d Avec ωbosse = et Tb = Tb V k ωvoiture = m k V d k –1 Donc = 2π ⇒ V = = 20,1 m.s = 72,5 km/h d m m 2π
