Dans un champ électrique E une particule de charge q subit la force. F = qE . (1).
Si E est uniforme et indépendant du temps, la particule est uniformément ...
EEl 1
ACTION DES CHAMPS ELECTRIQUE ET MAGNETIQUE SUR LE MOUVEMENT DES ELECTRONS MESURE DU RAPPORT e/m
1.
THEORIE
1.1.
Effet d´un champ électrique sur une charge électrique
Dans un champ électrique E une particule de charge q subit la force F = qE .
(1)
Si E est uniforme et indépendant du temps, la particule est uniformément accélérée. Une particule chargée placée dans un champ électrique possède une énergie potentielle à cause de son interaction avec le champ. Le potentiel électrique U(r ) en un point r est défini comme l´énergie potentielle électrique Epotel (r ) par unité de charge placée en ce point: U(r ) =
Epotel (r ) q
.
(2)
L´énergie totale d´une particule de masse m se déplaçant à la vitesse v dans un champ électrique est alors donnée par: E tot (r , v ) = Ecin (v ) + Epotel (r ) =
1 m v2 + qU( r ) .(3) 2
Lorsque la particule se déplace d´un point P1 où le potentiel vaut U1 en un point P2 de potentiel U2, le principe de conservation de l´énergie totale permet d´écrire à partir de (3) : 1 1 m v12 + qU1 = m v22 + q U2 . 2 2
(4)
Si la vitesse au point P1 est nulle, et si on appelle ∆U = U2 − U1 la différence de potentiel entre P1 et P2, la vitesse en P2 vaut: v2 =
− 2 q∆U 1/2 . m
(5)
EEl 2 1.2.
Effet d´un champ d´induction magnétique sur une particule chargée en mouvement
Dans un champ d´induction magnétique uniforme B , une particule de charge électrique q et de vitesse v subit une force appelée force de Lorentz, donnée par F em = q v × B .
(6)
Soulignons que F em est perpendiculaire à B et à v . Cette dernière particularité implique que la force électromagnétique ne fournit aucun travail. L´énergie cinétique d´une particule chargée dans un champ d´induction magnétique ne change donc pas et sa vitesse est constante en grandeur, mais généralement pas en direction. Lorsque la vitesse v est beaucoup plus petite que la vitesse de la lumière, la masse de la particule peut être considérée comme constante et on utilise la deuxième loi de Newton pour écrire l´équation du mouvement: ma = q v × B .
(7)
Si la vitesse v est perpendiculaire à B , on peut montrer, en résolvant (7) que la particule se meut dans le plan perpendiculaire B en suivant une trajectoire circulaire de rayon R (fig. 1). La force de Lorentz est, dans ce cas, une force centripète (toujours dirigée radialement vers le centre du cercle) d´intensité: F em = q v B
(8)
où v et B sont les normes des vecteurs v et B . On sait que pour un mouvement circulaire uniforme, existent les relations suivantes entre la vitesse tangentielle v, la vitesse angulaire ω et l´accélération centripète a: v = ωR , a = ω2 R =
v2 . R
(9) (10)
En combinant les équations (7), (8) et (10), on obtient: m
v2 = qvB . R
(11)
Si l’on connait v et B et que l´on mesure R, le rapport q / m est déterminé:
EEl 3 q v = . m RB
(12)
F
B
em
v
Figure 1: lorsque la vitesse de
Figure 2: trajectoire hélicoïdale d’un électron
l’électron est perpendiculaire au champ
dont la vitesse n’est pas perpendiculaire au
d’induction, sa trajectoire est circulaire.
champ d’induction.
Lorsque la vitesse v de la particule chargée n´est pas perpendiculaire au champ d´induction magnétique B , la trajectoire de la particule est une hélice (fig. 2). En effet, la force de Lorentz ne modifiant pas la composante de v parallèle à B , une translation à vitesse constante dans la direction du champ d’induction s’ajoute au mouvement circulaire uniforme, engendrant une trajectoire hélicoïdale.
1.3
Création d´un champ d´induction magnétique. Bobines de Helmholtz
Le champ d´induction magnétique B est créé par un courant électrique. Afin d´obtenir un champ relativement intense, on utilise des bobines ou solénoïdes formés d´un grand nombre de spires de fil parcourues par un même courant. O i
i C
ξ
2
ξ C
1
Figure 3: bobines de Helmholtz.
On appelle bobine de Helmholtz l´ensemble de 2 solénoïdes circulaires plats montés en série et disposés de sorte que leurs axes soient confondus et que la distance entre leurs
EEl 4 centres respectifs C1 et C2 soit égale au rayon des bobines (fig. 3). Cette disposition a l´avantage d´assurer une bonne homogénéité du champ B au voisinage du point O situé à mi-distance entre C1 et C2 . Lorsque les spires sont parcourues par un courant d’intensité i, le champ magnétique dB mesuré en un point O et produit par un élément dx de bobine est donné par la relation de Biot et Savart: dB =
µ0 dx × r i . 4π r3
(13)
Dans cette expression, r est le vecteur issu de l’élément considéré de la bobine et aboutissant en O (fig. 4); r est la norme du vecteur r . Enfin, la constante µ o , appelée constante d’induction, vaut µ o = 4 π ⋅10 −7 V s A−1 m−1 . Le champ d’induction magnétique total B créé en un point O par les spires s’obtient en sommant les inductions partielles dB produites par tous les éléments de conducteur dx . dB r
O
dx C1
Figure 4: champ
dB créé par un élément dx de spire.
Compte tenu du fait que le courant circule dans le même sens dans les deux bobines, l´intégrale de (13) étendue à toutes les spires donne: B=
0.715µ o Ni ξ
(14)
EEl 5 où N est le nombre de spires par bobine et ξ est le rayon moyen des spires. Au point O situé à mi-distance des centres des spires, le champ d’induction B est, pour des raisons de symétrie, parallèle à la droite passant par les centres C1 et C2 des bobines. Pour les bobines à disposition: N = 154
2
MANIPULATION
2.1
Principe
et
ξ = 0,2 m .
Les particules étudiées, des électrons, sont émises et circulent dans un tube en verre de forme sphérique contenant un gaz inerte à pression réduite. Le tube est placé au centre des bobines de Helmholtz; il est orientable par rapport au champ d´induction magnétique. Grâce à leur vitesse, les électrons ionisent le gaz sur leur parcours et le rendent ainsi luminescent, ce qui visualise leur trajectoire. Selon l´orientation du tube, il est possible d´obtenir des trajectoires circulaires ou hélicoïdales. Des repères luminescents placés dans le tube permettent de déterminer le rayon de la trajectoire des électrons.
B
anode
2 R
grille cathode
1
Figure 5
Au voisinage de la cathode, la vitesse des électrons est négligeable vis à vis de la vitesse finale acquise. Si le potentiel de la cathode est égal à zéro (la cathode est mise à la terre), la différence de potentiel ∆U entre cathode et anode vaudra Uo , potentiel d´anode. En appelant -e la charge de l´électron, on peut appliquer la relation (5) pour trouver la vitesse v 2 après la traversée de l´anode: −2( − e)U o 1/2 2U o e 1/2 v2 = = m . m
(15)
EEl 6 Bobine 1
Bobine 2
A
+ -
Figure 6: schéma de l´alimentation des bobines de Helmholz. Un ampèremètre mesure le courant. Les bobines sont en séries.
V + 300 V
+ 50 V
0
Anode
+
+
grille cathode
Chauffage
Figure 7: schéma de l´alimentation du tube. Les différences de potentiel cathodegrille
et
cathode-anode
sont
réglables
séparément.
Un voltmètre mesure Uo .
Au sortir du canon à électrons, les électrons sont soumis au champ magnétique B . Si la trajectoire est circulaire, la valeur du rapport e / m est obtenue à partir de l´expression (12) en remplaçant v par (15) et en simplifiant: e 2U = 2 o2 . m R B
(16)
Les électrons sont produits par un canon à électrons composé de trois électrodes, la cathode, la grille et l´anode. La cathode chauffée par un filament émet les électrons, qui sont ensuite accélérés par la différence de potentiel régnant entre cathode et anode. Le potentiel appliqué sur la grille sert à focaliser le faisceau électronique.
2.2
Montage expérimental
Un bloc d´alimentation permet de produire le courant circulant dans les bobines de Helmholtz et les tensions nécessaires au fonctionnement du tube à rayons cathodiques.
EEl 7 Le courant et la tension d´accélération sont mesurés par deux instruments à affichage numérique. Les schémas électriques sont donnés par les figures 6 et 7.
2.3
Mise en marche et mesures
Commencez par vous assurer que chaque potentiomètre du bloc d´alimentation indique bien la valeur minimale, ceci afin d´éviter une détérioration de la cathode. Enclenchez le bloc d´alimentation et attendez environ 3 minutes avant de monter la tension.
(1)
Observations qualitatives
Augmentez la tension Uo et le courant i et observez dans l´obscurité la formation du faisceau. Réglez la tension de grille pour obtenir le maximum de luminosité et de netteté du faisceau. Observez attentivement les variations de la trajectoire des électrons en faisant varier i et Uo . Observez et expliquez les trajectoires hélicoïdales obtenues en faisant tourner le tube.
(2)
Mesures
Placez le tube de manière à obtenir une trajectoire circulaire. Pour une dizaine de valeurs de Uo réparties entre 100 V et 300 V, mesurez le courant i permettant d’obtenir une trajectoire circulaire de rayon R = 2 cm, 3 cm, 4 cm et 5 cm. Pour chaque rayon, représentez le graphe de Uo en fonction de B2 . A partir de la pente de chacune des droites obtenues, déterminez le rapport e / m et son incertitude. Comparez vos résultats avec la valeur des tables. Remarque: Aussi souvent que possible, supprimez le faisceau en ramenant Uo à zéro, afin d’augmenter la durée de vie du tube.
EEl 8
3
PLAN DE TRAVAIL
3.1
Etudiez le bloc d´alimentation et le principe de fonctionnement du tube. Effectuez le montage électrique. Effectuez les observations qualitatives. Déterminez e / m et son incertitude. Discutez les sources d´erreur. Etablissez la relation (14).
3.2 3.3
Bibliographie - Resnick et Halliday, 2, Electricité et magnétisme, chap. 8 - Rossel, Physique générale, page 406 - Sears, Zemansky et Young, University Physics, §30-4
