Typical Problems for Algebra. Simplifying Algebraic Expressions. 1. Simplify 8-
4ê3 . 8-4ê3 = 1. ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. 84ê3. = 1. ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. H81ê3 L4.
Typical Problems for Algebra Simplifying Algebraic Expressions 1. Simplify 8-4ê3 . 1 1 1 1 8-4ê3 = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅ 84ê3 24 16 H81ê3 L4 9 ÿ9 2. Simplify I ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ M 9-2 -3
9 ÿ9 I ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ M 9-2 -3
5
3. Simplify
5
-1ê2
-1ê2
.
1 1 1 1 1 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅ 92 81 9 -3 ÿ9 5 1ê2 H9 -3+5-H-2L L1ê2 H9 4 L1ê2 I ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M 9-2
è!!!!!!!!!6!!!!!!! !! 81 x y-4 .
è!!!!!! è!!!!!! è!!!!!!!!!6!!!!!!! !! 81 x6## 81 x6 9 x3 81 x y-4 = "######## ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ è!!!!!! y4 4 y2 y
4. Simplify
è!!!!!!! ! è!!!!!!!!!!! x-1 ÿ 9 x-3 .
è!!!!!!! ! è!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!! è!!!!!!!! 1 # 1 3 x-1 ÿ 9 x-3 = x-1 ÿ 9 x-3 = 9 x -4 = 3 x-4 = 3 "###### ÅÅÅÅ ÅÅ = 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅ è!!!!!! x4 4 x2 5. Simplify
x
3 è!!!!!!!! !!!! x3 a+b . 3 è!!!!!!!! !!!! 1ê3 1ê3 1ê3 x3 a+b = Hx3 a+b L = Hx3 a L Hxb L = xa xbê3 = xa+bê3
6. Simplify H2 a1ê6 b5ê6 L
-6
H2 a1ê6 b5ê6 L
-6
.
1 1 1 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ 26 a6ê6 b30ê6 64 a b5 H2 a1ê6 b5ê6 L6
20 x 3 50 x2## % 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ "######## %%%%%%%%% 7. Simplify $%%%%%%%%%%%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ . y2 y4 1ê3 20 x "######## 20 x 1ê3 50 x2 1ê3 20 x 50 x2 1ê3 1000 x3 1ê3 1000 1ê3 Hx3 L 10 x 3 50 x2## 3 ÅÅÅÅ $%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%% % ÅÅÅÅÅÅÅÅ I ÅÅÅÅÅÅÅÅ = I ÅÅÅÅ = I ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ yÅ2ÅÅÅÅÅ y4ÅÅÅÅÅ = I ÅÅÅÅyÅ2ÅÅÅÅÅ M y4ÅÅÅÅÅ M yÅ2ÅÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅ y4ÅÅÅÅÅ M yÅ6ÅÅÅÅÅÅÅÅ M yÅ2ÅÅÅÅÅ Hy6 L1ê3
AlgebraProblems.nb
2
2
2
2 a -3 a b-9 b 8. Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ . 2 a b 2 +3 b3 2 a -3 a b-9 b H2 a+3 bL Ha-3 bL a-3 b ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ 2 a b 2 +3 b3 b2 H2 a+3 bL b2 2
2
3 Hx -1L Hx +x-1L H2 x+1L-Hx +x-1L H3 x L 9. Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ . Hx3 -1L2 3
2
2
2
3 Hx -1L Hx +x-1L H2 x+1L-Hx +x-1L H3 x L 3 Hx +x-1L@Hx -1L H2 x+1L-x D 3 Hx +x-1L H2 x +x -x -2 x-1L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx3 -1L2 Hx3 -1L2 Hx3 -1L2 3
2
2
2
2
3
2
2
4
3
2
ÅÅ1ÅÅ + ÅÅ1ÅÅ
x 10. Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅ Å1ÅÅÅyÅÅ .
1- ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ xy
1
1
ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ
x+y ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ
1- ÅÅÅÅ x ÅyÅ Å
ÅÅÅÅÅÅÅÅ x ÅÅÅÅ y ÅÅ
x+y x xy ÅÅÅÅÅÅÅÅ Å1ÅÅÅy ÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ x y-1 x y-1
-3
-3
x -y 11. Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ . x-1 -y-1 x3 y3 I ÅÅÅÅ13ÅÅ Å - ÅÅÅÅ13ÅÅ Å M
x -y y -x y -x Hy-xL Hy +x y +x L y +x y +x x y x ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1yÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 ÅÅÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 3 1 x-1 -y-1 x2 y3 -x3 y2 x2 y2 Hy-xL x2 y2 Hy-xL x2 y2 -3
-3
ÅÅÅÅ13ÅÅ Å - ÅÅÅÅ13ÅÅÅÅ ÅÅxÅÅ - ÅÅyÅÅ
x y I ÅÅxÅÅ - ÅÅyÅÅ M
3
3
3
3
2
2
2
2
Factoring, Roots, and Completing the Square 1. Simplify H3 x2 + 5 x y + 2 yL + H4 - 3 x y - 2 x2 L . H3 x2 + 5 x y + 2 yL + H4 - 3 x y - 2 x2 L = H3 - 2L x2 + H5 - 3L x y + 2 y + 4 = x2 + 2 x y + 2 y + 4 2. Simplify 3 x2 - Hx2 + 1 - xHx - H2 x - 1LLL + 2 . 3 x2 - Hx2 + 1 - xHx - H2 x - 1LLL + 2 = 3 x2 - x2 - 1 + xHx - H2 x - 1LL + 2 = 2 x 2 - 1 + x2 - H2 x2 - xL + 2 = x2 + x + 1 3. Factor 3 x3 - x2 + 3 x - 1 . 3 x3 - x2 + 3 x - 1 = 3 Hx3 + xL - Hx2 + 1L = 3 xHx2 + 1L - Hx2 + 1L = Hx2 + 1L H3 x - 1L 4. Factor 8 a2 - 2 a b - 6 b2 . 8 a2 - 2 a b - 6 b2 = 2 H4 a2 - a b - 3 b2 L = 2 H4 a + 3 bL Ha - bL
AlgebraProblems.nb
3
5. Find the greatest common factor of 4 x2 y2 z - 2 x5 y2 + 6 x3 y2 z2 . 4 x2 y2 z - 2 x 5 y2 + 6 x3 y2 z2 = 2 x2 y2 H2 z - x3 + 3 x z2 L 6. Find the real roots of 3 x2 - x - 4 = 0 . è!!!!!!!!!!!!!!!! 2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!
-H-1L H-1L -4 H3L H-4L 1 1+48 17 x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = -1, ÅÅÅÅ43 2 H3L 6 6
7. Complete the square of 5 x2 - 3 x + 1 . 3 3 3 1 3 5 x2 - 3 x + 1 = 5 Hx2 - ÅÅÅÅ35 x + ÅÅÅÅ15 L = 5 Ix2 - ÅÅÅÅ35 x + ÅÅÅÅ15 - H ÅÅÅÅ 10ÅÅ L + H ÅÅÅÅ 10ÅÅ L M = 5 IHx - ÅÅÅÅ 10ÅÅ L + ÅÅÅÅ 5 - H ÅÅÅÅ 10ÅÅ L M 2
2
2
2
3 11 = 5 IHx - ÅÅÅÅ ÅÅ L + ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ M 10 100 2
8. Find all of the roots of the polynomial: x3 + 8 x2 - 11 x - 18 . By inspection we note that x = -1 is a root. We can then divide this root from the polynomial: x +8 x -11 x-18 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = x2 + 7 x - 18 = Hx - 2L Hx + 9L . x+1 3
2
Hence, the roots are: x = -1, 2, -9 .
Straight Lines (a x + b y = g or y = m x + b) 1. Find the equation of the line that passes through the points H0, 1L and (-2,3). y1 -y0 y-y0 y-1 3-1 The slope of the line is m = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = -1 . The equation is then -1 = m = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ ï -x = y - 1 or x1 -x0 -2-0 x-x0 x-0
y = -x + 1. 2. Find the equation of the line that is perpendicular to the line with a slope of 2 and passes through the point H0, -1L . 1 The slope of the desired line is m = - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ12 . It passes through the point H2, 1L and hence, -2 y+1 - ÅÅÅÅ12 = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ ï y + 1 = - ÅÅÅÅ12 x ï y = -1 - ÅÅÅÅ12 x. x-0
3. Find the equation of the line with slope -3 and intercepts the y-axis at H0, 2L .
AlgebraProblems.nb
4
We use y = m x + b with m = -3 and b = 2 . Hence, y = -3 x + 2 . 4. Find the equation of the line that is parallel to the line y = -5 x + 9 and passes through the point H1, 1L . The slope of the line is -5. Hence, y-y0 y-1 -5 = m = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ ï -5 x + 5 = y - 1 ï y = -5 x + 6. x-x0 x-1
Inequalities 1. Express @- ÅÅÅÅ65 , - ÅÅÅÅ12 L in terms of inequalities. @- ÅÅÅÅ65 , - ÅÅÅÅ12 L = 8x œ ! : - ÅÅÅÅ65 § x < - ÅÅÅÅ12 < 2. Solve the inequality H2 x - 4L Hx + 2L ¥ 0 . We set up our sign table for the two factors 2 x - 4 = 2 Hx - 2L and x + 2 : 2x-4 - - - 0 + + x+2 0 + + + + + + . x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 The product of the two factors must be nonnegative (i.e. ¥ 0). This will occure when both are nonpositive ( § 0 ) or nonnegative ( ¥ 0 ). From our table, this is when x § -2 or x ¥ 2 . Therefore, the solution is H-∞, -2D ‹ @2, ∞L. x-1 3. Solve the inequality ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ § 4 . x+2 x-1-4 Hx+2L x-1 -3 x-9 x+3 We first rewrite the inequality as ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ - 4 § 0 ï ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ § 0 ï ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ § 0 ï ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ ¥ 0 . Now we setup our sign table. x+2 x+2 x+2 x+2
x+3 0 + + + + + + + x+2 0 + + + + + + . x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x+3 We want the ratio ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ to be nonnegative and hence the numerator and denominator have the same sign. Note that we don't x+2 allow x = -2 where the ratio is undefined. The top and bottom have the same sign when x § -3 and x > -2 . Therefore, the solution is H-∞, -3D ‹ H-2, ∞L.
AlgebraProblems.nb
5
Domains of Functions x +9 x-1 1. Find the domain of the function f HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ x2ÅÅÅÅÅÅÅÅ -9ÅÅÅÅÅ . 2
D f = 8x œ ! : x2 - 9 0< = 8x œ ! : x2 9< = 8x œ ! : x 3< = ! - 8 3
