Aula 2 - CPDEE - Universidade Federal de Minas Gerais

Introdução ao Controle Automático de Aeronaves

Sistemas de Coordenadas e Equações de Movimento ˆ Leonardo Torres [email protected]

Escola de Engenharia – Universidade Federal de Minas Gerais/EEUFMG

ˆ Dep. Eng. Eletronica – EEUFMG – p. 1

Sistemas de Coordenadas As velocidades e acelerações de um veículo são comumente descritas em diferentes referenciais. Para o caso de veículos cujos movimentos de interesse são aqueles em relação ao planeta Terra, podemos categorizar os sistemas de coordenadas em 2 tipos: 1. Referenciais vinculados à Terra; 2. Referenciais vinculados ao corpo do veículo.


Referenciais vinculados à Terra ECI – (Earth Centered Inertial frame) Origem no centro do planeta.

x ωE

z y

Eixo x coincide com o eixo de rotação da terra. Move-se com a terra em seu movimento de translação, mas mantém sua orientação fixa em relação às estrelas. ˆ Dep. Eng. Eletronica – EEUFMG – p. 3

Referenciais vinculados à Terra NED – (North, East and Down) – Fixo na superfície da Terra Origem no ponto de interseção entre a linha que liga o centro x Norte do planeta ao C.M. da aeronave e a ωE y superfície da terra, Leste quando a aeronave P/ baixo z está em repouso. Eixo x aponta para o norte, eixo y aponta para o leste e eixo z aponta para baixo. ˆ Dep. Eng. Eletronica – EEUFMG – p. 4

Referenciais vinculados à Aeronave ABC – (Aircraft Body Coordinate) C.G.

φ

x ψ

y

θ

z Seqüência de rotações segundo os ângulos de Euler (NED para ABC): ψ→θ→φ


Referenciais vinculados à Aeronave Eixos do Vento – (Wind Axis)

y z

α

x

ABC para Eixos do Vento: α → β

β

Vento


Referenciais vinculados à Aeronave Eixos de Estabilidade – (Stability Axis)

y

z

β

α

Coincidem com os Eixos do Vento quando β = 0.

x Vento


Diferença entre θ e α


Resumo de Sistemas de Coordenadas


Transformações de Rotação

yNED yABC ~v

ψ

xABC

ψ

Rotação em torno de z (ψ ˆ é o angulo de guinada – yaw): ~vABC = Rψ ~vNED

xNED zNED = zABC











cos(ψ) sin(ψ) 0 vx vx  vy  =  − sin(ψ) cos(ψ) 0   vy  vz ABC vz NED 0 0 1 ˆ Dep. Eng. Eletronica – EEUFMG – p. 10


ˆ Rotação em torno de y (θ é o angulo de arfagem – pitch):











cos(θ) 0 − sin(θ) vx vx   vy   vy  = 0 1 0 vz NED vz ABC sin(θ) 0 cos(θ)

ˆ Rotação em torno de x (φ é angulo de rolamento – roll):











1 0 0 vx vx  vy  =  0 cos(φ) sin(φ)   vy  vz NED vz ABC 0 − sin(φ) cos(φ)



Composição de rotações. Transformação NED → ABC: ~vABC = Rφ Rθ Rψ ~vNED , ~vABC = RNED2ABC ~vNED , B = RNED2ABC 



cθcψ cθsψ −sθ B =  −cφsψ + sφsθcψ cφcψ + sφsθsψ sφcθ  sφsψ + cφsθcψ −sφcψ + cφsθsψ cφcθ

Símbolos: cos(θ) = cθ, sin(φ) = sφ, . . . .



Composição de rotações. Transformação Eixos do Vento → ABC: ~vW = Rβ R(−α) ~vABC , ~vW = RABC2W ~vABC ,    cos(α) 0 sin(α) cos(β) sin(β) 0  RABC2W =  − sin(β) cos(β) 0   0 1 0 − sin(α) 0 cos(α) 0 0 1 ⊤ S = RABC2W = RW2ABC





cαcβ −cαsβ −sα =  sβ cβ 0  sαcβ −sαsβ cα ˆ Dep. Eng. Eletronica – EEUFMG – p. 13


Características comuns a todas as matrizes de rotação R: R⊤ R = I ⇒ R−1 = R⊤ . Ou seja: ~vA = R ~vB ⇐⇒ ~vB = R⊤ ~vA Prova: ~ u = R~v . Se a transformação é de rotação, então a norma do vetor não deve sofrer alteração: ~ ⊤~ u u = ~v ⊤~v ⇒ ~v ⊤ R⊤ R~v = ~v ⊤ ~v ⇒ R⊤ R = I.

det(R) = 1 Além disso, se R é uma matriz de rotação, então: ~u = R(w ~ × ~v ) ⇔ ~u = Rw ~ × R~v .


Produto Vetorial O produto vetorial pode ser expresso como uma equação matricial. Supondo ~ω = [ P Q R ]⊤ : ~u = ~ω × ~v ;       0 −R Q vx ux  uy  =  R 0 −P   vy  vz −Q P 0 uz

~u = Ω ~v A matriz Ω é anti-simétrica: Ω⊤ = −Ω. ˆ Dep. Eng. Eletronica – EEUFMG – p. 15

Diferenciação de Vetores

Ao calcularmos as derivadas de vetores, é preciso indicar em relação a que referencial a variação está sendo vista e em relação a que referencial o resultado será apresentado. t+ ∆ t x ω

t

z

X

y

Y

Z ˆ Dep. Eng. Eletronica – EEUFMG – p. 16


Vetor expresso no referencial girante: ˆ ~vxyz = vxˆı + vy ˆ + vz k. Variação temporal do vetor vista do referencial girante, e representada no referencial girante: d~vxyz dt

xyz

=

v˙ xˆı + v˙ y ˆ + v˙ z kˆ + +vx

dˆı

dt xyz

+ vy

dˆ 

dt xyz

+ vz

ˆ dk dt

xyz



Vetor expresso no referencial girante: ˆ ~vxyz = vxˆı + vy ˆ + vz k. Variação temporal do vetor vista do referencial girante, e representada no referencial girante: d~vxyz dt

xyz

=

v˙ xˆı + v˙ y ˆ + v˙ z kˆ + +vx

d~vxyz dt

dˆı

dt xyz

xyz

+ vy

dˆ 

dt xyz

+ vz

ˆ dk dt

xyz

= v˙ xˆı + v˙ y ˆ + v˙ z kˆ



Variação temporal do vetor vista do referencial parado, e representada no referencial girante: d~vxyz = v˙ xˆı + v˙ y ˆ + v˙ z kˆ + dt XY Z ! dˆı dˆ  dkˆ + vx + vy + vz dt XY Z dt XY Z dt

, XY Z

Em geral:

dˆı dt

XY Z

6=

dˆ  6= dt XY Z

dkˆ dt

!

6= 0 XY Z ˆ Dep. Eng. Eletronica – EEUFMG – p. 18


z

ωx ∆ t

z ωx ∆ t y

x ωy ∆ t

y x

z

ωy ∆ t ωz ∆ t

y x

ωz ∆ t

ˆ (∆ˆı)XY Z = (ωz ˆ − ωy k)∆t = (~ωxyz × ˆı)∆t, (∆ˆ )XY Z = (ωx kˆ − ωzˆı)∆t = (~ωxyz × ˆ)∆t, ˆ ∆kˆ = (ωyˆı − ωx ˆ)∆t = (~ωxyz × k)∆t, XY Z




, XY Z




d~vxyz dt

= XY Z

d~vxyz dt

xyz

, XY Z

+ ~ωxyz × ~vxyz


Equação de Desamarramento – Bootstrap equation

Qual a relação entre a variação da posição espacial descrita pelos ângulos de Euler ~ = [ φ θ ψ ]⊤ Φ e a velocidade angular da aeronave? ~ω = [ P Q R ]⊤



Suponha uma relação de transformação de rotação qualquer, que transforma a representação de um vetor constante em um referencial inercial em sua representação no referencial girante. Por exemplo:

~uABC = B ~uNED





1 =B 0  0 NED

Por definição

.

d~uABC dt

=0

NED



Logo: 0 = ~u˙ ABC + ~ωABC × ~uABC ;       1 0 1 0 = B˙  0  + B  0  + ΩABC B  0  . 0 0 0 ˙ ~ 0 = b1 + ΩABC ~b1 ,

sendo ~b1 a primeira coluna de B. Logo: 



0 −R Q ~b˙ 1 = −ΩABC~b1 = ~ωABC × ~b1 =  R 0 −P  ~b1 . −Q P 0



Repetindo-se o procedimento para cada uma das colunas de B, tem-se que:

B˙ = −Ω B. Este resultado é válido para quaisquer matrizes de rotação B que descrevem a orientação de um veículo que gira com velocidade angular ~ω : 



0 −R Q ~ω = [ P Q R ]⊤ ⇒ Ω =  R 0 −P  −Q P 0 ˆ Dep. Eng. Eletronica – EEUFMG – p. 24


Um caso concreto e importante ⇒ relação entre os ângulos de Euler e a velocidade angular de rotação da aeronave:   0

 Ω= 



−R

R

0

−Q

P

Q

 −P   0

cθcψ  B=  −cφsψ + sφsθcψ sφsψ + cφsθcψ

cθsψ −cφcψ + sφsθsψ −sφcψ + cφsθsψ

−sθ



 sφcθ   cφcθ



Um caso concreto e importante ⇒ relação entre os ângulos de Euler e a velocidade angular de rotação da aeronave:   0

 Ω= 

−R

R

0

−Q

P

Q

 −P   0



cθcψ  B=  −cφsψ + sφsθcψ sφsψ + cφsθcψ

B˙ = −ΩB

cθsψ −cφcψ + sφsθsψ

−sθ



 sφcθ   cφcθ

−sφcψ + cφsθsψ  ˙    φ = P + Q tan θ sin φ + R tan θ cos φ, ⇒  θ˙ = Q cos φ − R sin φ,   ˙ φ cos φ ψ = Q sin + R cos θ cos θ



Uma outra maneira de se ver a relação entre (P, Q, R) e ˙ θ, ˙ ψ) ˙ é observando a relação: (φ,   ˙  P φ  Q  =  0  + Rφ  R 0 







0 θ˙  + Rφ Rθ  0



0 0 , ψ˙

que representa mais claramente o fato de que variações angulares em ψ precisam sofrer dois processos de transformação de coordenadas (rotações) para serem representadas no referencial ABC, enquanto que variações angulares em θ precisam sofrer um processo de rotação para serem incorporadas a variações vistas no referencial ABC. ˆ Dep. Eng. Eletronica – EEUFMG – p. 26