BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika ... - WordPress.com

21 downloads 167 Views 138KB Size Report
Distribusi peluang peubah acak diskret X ini disebut distribusi binomial dan .... Sumber : Ilmu peluang dan statistika untuk insinyur dan ilmuwan, R E Walpole. 4.
BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang Pertemuan 7. 4. BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET 4.1 Pendahuluan 4.2 Distribusi seragam diskret 4.3 Distribusi binomial dan multinomial Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Pandang suatu kelompok usaha yang berupaya pengambilan tiga bahan secara acak dari suatu hasil pabrik, diperiksa, dan kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat akan disebut sukses. Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak X dengan bilangan bulat dari 0 sampai 3. Kedelapan hasil yang mungkin ( C = cacat, T = tak cacat ) dan nilai X adalah Hasil TTT TCT TTC CTT TCC CTC CCT CCC

x 0 1 1 1 2 2 2 3

Karena bahan tersebut dipilih secara bebas dari hasil proses yang dianggap menghasilkan 25% = 14 bahan yang cacat, maka P (T CT ) = P (T )P (C)P (T ) = ( 34 )( 14 ) 34 ) =

9 64

distribusi peluang X adalah x

0

1

2

3

f (x)

27 64

27 64

9 64

1 64

Distribusi peluang peubah acak diskret X ini disebut distribusi binomial dan dinyatakan dengan B(x; n, p) n, banyaknya usaha p, peluang sukses P (X = 1) = f (1) = b(1; 3, 14 ) = P (X = 2) = f (2) = b(2; 3, 14 ) =

27 64 9 64

Distribusi binomial Suatu usaha bernoulli dapat menghasilakan sukses den-

1

gan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 − p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas, ialah   n b(x; n, p) = px q n−x , x = 0, 1, 2, 3, ..., n x Contoh 4.1 Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang 3/4. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak. Contoh 4.2 Peluang untuk seorang penderita penyakit darah yang jarang adalah 0,4. Bila diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapkah peluangnya 1. paling sedikit 10 akan sembuh, 2. antara 3 samapi 8 yang sembuh, 3. tepat 5 yang sembuh ?. Teorema 4.1 Distribusi binomial b(x; n, p) mempunyai rataan dan variansi µ = np dan σ 2 = npq Contoh 4.3 Hitung rataan dan variansi peubah acak binomial di contoh 4.1, dan gunakan teorema Chebyshev untuk menafsirkan selang µ ± 2σ Tugas 7 4.1, 4.2, dan 4.3 Nomor 1, 5, 9, 22 4.4....

5. BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU 5.1 Distribusi Normal Distribusi normal Fungsi padat peubah acak normal X, dengan rataan µ dan variansi σ 2 , ialah n(x; µ, σ) =

√ 1 e−(1/2)[(x−µ)/σ] 2πσ

dengan π = 3, 14159... dan e = 2, 71828... . Berikut kurva normal untuk µ = 10 dan σ = 2

2

2

, −∞ < x < ∞

Dengan melihat dua buah kurva normal dengan kedua rataan berbeda dan kedua simpangan baku berbeda serta dengan memeriksa turunan pertama dan kedua diperoleh lima sifat kurva normal berikut 1. modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x = µ 2. kurva setangkup terhadap sumbu tegak yang melalui rataan µ 3. kurva mempunyai titik belok pada x = µ ± σ, cekung dari bawah bila µ − σ < X < µ + σ, dan cekung dari atas untuk x lainnya 4. kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila nilai X bergerak menjauhi µ baik ke kiri maupun kekanan 5. seluruh luas dibawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1. Sekarang diperlihatkan bahwa parameter µ dan σ 2 adalah betul rataan dan variansi distribusi normal R∞ 2 1 E(X) = √2πσ xe−(1/2)[(x−µ)/σ] dx −∞ Dengan mengganti z = (x − µ)/σ dan dx = σdz, diperoleh Z ∞ 2 1 √ E(X) = (µ + σz)e−z /2 dz 2πσ −∞ Z ∞ Z ∞ 2 1 σ −z 2 /2 √ √ =µ e dz + ze−z /2 dz 2πσ −∞ 2πσ −∞ = µ.1 + 0 =µ dan begitu juga untuk variansi nya adalah σ 2 Banyak peubah acak mempunyai distribusi peluang yang dapat dinyatakan dengan cukup baik oleh kurva normal begitu µ dan σ 2 ditentukan. 3

5.2 Luas dibawah kurva normal Rx 2 1 P (x1 < X < x2 ) = x12 √2πσ e−(1/2)[(x−µ)/σ] dx Bilamana X mendapat nilai x, nilai Z padanannya diberikan oleh z = (x−µ)/σ, jadi Z x2 2 1 √ e−(1/2)[(x−µ)/σ] dx P (x1 < X < x2 ) = 2πσ x Z z1 2 2 1 √ = e−z /2 dz 2πσ z1 = P (z1 < Z < z2 ) dengan Z terlihat merupakan suatu peubah acak normal baku dengan rataan nol dan variansi 1. Defenisi 5.1 Distribusi peubah acak normal dengan rataan nol dan variansi 1 disebut dengan distribusi normal baku. Pada Tabel Luas dibawah kurva normal baku yang berpadanan dengan P (Z < z) untuk nilai z dari -3,49 sampai 3,49 Contoh 5.1 Diketahui suatu distribusi normal dengan µ = 50 dan σ = 10, carilah peluang bahwa X mendapat nilai antara 45 dan 62 Contoh 5.2 Diketahui distribusi normal dengan µ = 300 dan σ = 50, carilah peluangnya bahwa X mendapat suatu nilai lebih besar dari 362

Pengampuh : Afrizal,S.Pd,M.PMat Sumber : Ilmu peluang dan statistika untuk insinyur dan ilmuwan, R E Walpole

4