calcul de la vitesse en sciences physiques et derivation.

Groupe IREM Maths-Physique-Lycée

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CALCUL DE LA VITESSE EN SCIENCES PHYSIQUES ET DERIVATION. Groupe IREM Math-Physique au Lycée Monique Mandleur, Monique Sosset Michèle Fauré, Pierre Lopez

Introduction. Le groupe IREM « mathématiques et sciences physiques au lycée » est constitué depuis le début du mois de janvier 1998. Il s’est d’abord attaché à inventorier les notions mathématiques utilisées dans l’enseignement actuel des sciences physiques. En particulier, nous avons été conduits à nous intéresser aux problèmes du vecteur vitesse et du calcul de sa valeur en sciences physiques. Le sujet peut paraître à la fois banal et rebattu, comme en témoigne l’article paru dans le B.U.P. n° 807 d'octobre 1998 sur un exercice de sciences physiques du baccalauréat de juin 1996 (métropole, groupement II et III) (celui-ci porte sur l'étude du mouvement d'une voiture au banc d'essai). Malgré toutes les études existantes, nous sommes obligés de constater que l’enseignement de ces notions présente encore de nombreuses difficultés. Par exemple, les multiples façons de calculer la vitesse suivant le problème posé, depuis l'exercice simple mettant en jeu un mouvement rectiligne uniforme jusqu'à l'exercice plus complexe où il faudra éventuellement choisir entre une détermination de la vitesse instantanée à l'aide de la dérivation, et une détermination approchée à l'aide de relevés expérimentaux, constitue souvent pour l'élève moyen un labyrinthe d'où il ne sort pas toujours facilement. On peut considérer que ceci est “naturel” ; on est en face d’un “obstacle”, et il est inutile, voire dangereux, de vouloir le supprimer. Cependant, notre réflexion nous a amené à penser que certaines questions liées à l’enseignement de ces notions n’avaient pas été assez approfondies. Les connaissances que nous avons actuellement sur les obstacles attachés aux notions de limite, dérivée et tangente, ne nous paraissent pas assez exploitées.


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1. Hypothèses de départ sur l’enseignement des notions de vitesse instantanée, de tangente et de dérivée.

Première hypothèse : un enseignement sur la notion de limite finie en un point fini n’est pas un préalable indispensable à l’introduction de la notion de dérivée. Tout d’abord on remarque que dans certaines classes de première les programmes demandent d’introduire la notion de dérivée sans la notion de limite. Un travail graphique mettant en scène la notion de tangente permet cette approche. D’autre part en invoquant l’histoire des mathématiques, on note que la notion de limite est apparue après celle de dérivée, elle-même motivée par des préoccupations de tangente à une courbe et de vitesse instantanée d’un mobile. Enfin, dans le contexte des classes de première, en dehors précisément de la dérivée, il n’y a pas de véritable problématique liée à la notion de limite finie en un point fini. En fait, la notion de dérivée peut être une motivation à l’étude des limites.

Deuxième hypothèse : la notion de tangente peut être un cadre problématique permettant l’introduction de la notion de dérivée. En effet, par son aspect géométrique, une problématique portant sur la question de la tangente à une courbe en un point est compréhensible a priori par les élèves. L’utilisation de graphiques et la manipulation d’instruments de dessin viennent prolonger les activités faites par les élèves dans les classes antérieures. Il faut souligner ici les nécessaires compétences liées aux graphiques : lecture graphique, unité graphique, choix d’un repère, interprétation graphique du coefficient directeur d’une droite.

Troisième hypothèse : la notion de vitesse instantanée ne peut prendre tout son sens que dans un contexte physique. La présence de la notion de vitesse instantanée dans les programmes de mathématiques, en l’absence d’enseignement de la cinématique, ne peut se comprendre que par la volonté du législateur de vouloir créer des liens entre plusieurs disciplines, en l’occurrence les sciences physiques et les mathématiques (à ce propos, nous ne nous occuperons pas des applications aux sciences économiques et autres). Aussi au delà d’un vernis d’interdisciplinarité qui consisterait à utiliser un vocabulaire physique en classe de mathématiques, on veut construire sur cette question des enseignements en physique et en mathématiques les plus cohérents possible.


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Quatrième hypothèse : la notion de vitesse moyenne est une notion d’appui pour l’introduction de la notion de vitesse instantanée. Nous considérons que par leur pratique au collège, autant en classe de physique que dans celle de mathématiques, les élèves maîtrisent suffisamment la notion de vitesse moyenne. Par ailleurs, par son contexte de quotient de deux nombres non nuls, la vitesse moyenne ne présente pas d’obstacle conceptuel dans une classe de première.

Cinquième hypothèse : les élèves ont des connaissances naïves sur la notion de tangente à une courbe. Nous supposons en particulier que les élèves sont capables : - d’identifier, lorsqu’elle est donnée, une droite comme la tangente en un point à une courbe, - de tracer, lorsque seule la courbe est donnée, la tangente en un point, à l’exception des situations de point d’inflexion.

Sixième hypothèse : la « position limite de la sécante » ne nous sert pas pour introduire la tangente à une courbe. Cette hypothèse est l’une des plus importantes. Dans son article publié dans la Revue de Didactique des Mathématiques et intitulé “Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de limite identifiés”, A. Sierpinska montre comment l’idée de la “limite de la sécante” n’est pas chez les élèves porteuse de sens par rapport à la notion de tangente (à la limite, les deux points définissant la sécante sont confondus et donc ne permettent pas de définir une droite). La tangente sera définie par un point et une direction. Par ailleurs, si d’un point de vue théorique il n’y a bien sûr aucun inconvénient à définir la tangente comme la “limite de la sécante”, cela ne dédouane pas de la nécessité de faire coller cette définition avec le sens présent a priori dans la tête des élèves.

Septième hypothèse : quelle que soit la démarche utilisée, il faut in fine satisfaire aux objectifs et à la lettre du programme, donc en particulier identifier le coefficient directeur de la tangente à une courbe (dans le cas où elle n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées) comme la limite du coefficient directeur de la sécante. Ceci est un point élémentaire de déontologie, qui, s’il n’était pas satisfait, invaliderait toutes nos propositions. Par ailleurs, nous sommes conscients que chez les élèves le contexte et le point de vue présidant à l’introduction d’une notion est très prégnant, aussi nous devrons


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assurer avec soin le transfert aux différents contextes, et l’assimilation des différentes formulations.

Huitième hypothèse : la notion de tangente est liée à l’idée d’"indiscernabilité". Afin de coller au sens naïf de la notion de tangente découlant de la pratique des tangentes aux cercles, on met en place une notion d’indiscernabilité. Celle-ci peut tout d’abord être vue dans son aspect graphique. Cependant elle peut déboucher sur la formulation qui consiste à affirmer qu’une droite est tangente en un point à une courbe si quelle que soit l’épaisseur avec laquelle est faite le tracé, et quelle que soit la place que l’on se réserve pour le graphique, il existe une unité graphique telle que l’écart entre les tracés de la droite et de la courbe est inférieur à l’épaisseur du trait. Avec cette démarche, le cas des points d’inflexion ne devrait plus être conflictuel ; en effet l’indiscernabilité élimine la perception d’un quelconque “dessousdessus”. On peut penser que la tangente perd ainsi le sens de “droite qui frôle sans couper”.


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2. Présentation générale. Aussi nous avons décidé de travailler à la construction d'une séquence composée de séances de mathématiques et de séances de sciences physiques permettant de donner aux notions de vitesse instantanée et de dérivée un nouveau cadre. Nous partons de l’idée que : en mathématiques, on peut introduire la notion de dérivée sans utiliser la notion de limite, et en physique, la notion de vitesse instantanée sans passer par la limite de vitesses moyennes.

Nous proposons ci-après la base de séances d'enseignement en sciences physiques. Le document donne le travail demandé à des élèves de terminale S lors des deux premières séances de travaux pratiques de physique. Il s'agit de deux TP-cours réalisés en classe, l'un concernant le mouvement rectiligne uniforme, l'autre le mouvement rectiligne uniformément varié. Les réponses que devaient apporter les élèves figurent dans le texte, le plus souvent en italique et en gras. En classe de 1° S, un élève a déjà rencontré : 1

- en début d’année en physique, la notion de vitesse instantanée ; - plus tard en mathématiques, la dérivation, pour laquelle le programme indique : « Aspect mécanique : vitesse ». Le travail présenté ici n’a donc pas pour objectif l’introduction des notions de vitesse instantanée et de dérivation. On voulait seulement vérifier la faisabilité de nos idées devant des élèves, à savoir répondre à la question : est-il pédagogiquement possible de mettre en place une séquence sur la vitesse instantanée sans parler de limite ? Au-delà de notre recherche, ces séances trouvent leur justification en terminale S par l’importance prise par la dérivation pour les problèmes de vitesse instantanée autant en physique qu’en chimie (vitesse d’un mobile, accélération, oscillateur, vitesse d’évolution, ...). Nous aurions préféré travailler d’abord en classe de 1° S, mais les services des collègues physiciennes du groupe ne l’ont pas permis. Cette séquence se déroule donc en classe de terminale S. Sont considérées comme acquises les connaissances de première suivantes: - les référentiels héliocentrique, géocentrique, terrestre, 1

Le programme stipule : « approche de la dérivation (sans le dire) » ; voir BOEN hors série du 24/09/1992, confirmé par le BOEN n°33 du 10/09/1998.


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- la notion de référentiel galiléen, - le principe de l’inertie (dans un référentiel galiléen, lorsqu’un solide est isolé ou  →

 →

pseudo-isolé ( Σ F = 0 ) son centre d’inertie G est soit au repos, si G est initialement  →

 →

immobile VG = 0 , soit en mouvement rectiligne uniforme si G a été initialement lancé  →

 →

( VG ≠ 0 ). - la notion de vecteur vitesse et sa détermination dans le cas d’un mouvement rectiligne uniforme et d’un mouvement quelconque. Dans ce dernier cas une valeur approchée de la vitesse instantanée est obtenue par encadrement. A la suite de ces deux séances de T.P. et d’une séance de cours précisant les notions de trajectoire, de vitesse et d’accélération, nous avons proposé aux élèves un devoir en classe comprenant entre autres quelques exercices d’application directe dont les énoncés figurent à la fin du document en annexe 1. Nous les avons fait suivre d’un petit commentaire concernant les taux de réussite des élèves aux différentes questions posées (annexe 2). En annexe 3, on trouvera deux activités faites en classe de 1°S en mathématiques portant sur l’introduction de la dérivation à l’aide de problématiques sur la notion de tangente.


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3. Première séance : le mouvement rectiligne uniforme.

I . Expérience.

Matériel utilisé.

1 . Principe. On lance un mobile auto-porteur S sur la table en position horizontale et on étudie le mouvement de son centre d'inertie G. La soufflerie fonctionne. On considère donc que le mobile S évolue sans frottement. On enregistre les positions de G grâce à des impulsions électriques émises régulièrement toutes les τ secondes. On choisit la valeur de τ = 40 ms.  →

Représenter ci-contre les forces exercées sur l'autoporteur.

Rn G →

P


8

Que peut-on dire de la somme vectorielle des forces agissant sur S ?

∑

→

→

F=0

2 . Enregistrement. Voir l'enregistrement 1 du document (1) donné en annexe. Référentiel d'étude (O , i , j , k ). Le point O est l'origine des espaces. La date t = 0 est l'origine des temps. x représente l'abscisse de G dans le référentiel selon l'axe i .

3 . Etude de l'enregistrement. • Trajectoire de G : L'ensemble des points d'enregistrement semblent appartenir à une droite. • Que peut-on dire de la distance entre deux points consécutifs ? .Elle est sensiblement la même. 2

Structuration : Le mouvement est rectiligne. La vitesse a la même valeur à tout instant.

II . Détermination de la coordonnée vx.

Le mouvement étant rectiligne et uniforme, proposer une méthode pour calculer vx. Dans le cas d'un mouvement rectiligne uniforme, la coordonnée vx est égale au quotient de la distance parcourue ∆x entre deux points quelconques de la trajectoire par la durée ∆t mise pour parcourir cette distance. Application : Calculer vx entre les points 1 et 4 ∆x x 4 − x1 4,9 − 1,3 vx = = = = 30cm.s −1 −3 ∆t t 4 − t1 120.10

12 Cette structuration correspond à une modélisation de l'expérience, l'énoncé fait ne devant pas être en contradiction avec les données de l'expérience.


9

→

III . Le vecteur-vitesse V .

• Direction : Celle de la droite trajectoire. • Sens : Celui du mouvement. • Coordonnées : ( vx , vy , vz ) Donner les valeurs de vy et de vz vy = … 0… vz = … 0… En est-il de même pour vx ? vx ≠ 0 (déterminé au § II) • Norme ( valeur de la vitesse) :

V=

v x2 = v x

IV . Etude du graphe espace-temps représentatif de la fonction x = f (t).

1 . Mesures. t (ms)

0

2 τ = 80

4 τ = 160

6 τ = 240

8 τ = 320

10 τ = 400

x (mm)

0

25

49

74

99

124,5

12 τ = 480

14 τ = 560

16 τ = 640

18 τ = 720

148,5

172

197,5

222,5

2 . Tracé du graphe représentatif de la fonction x = f(t) et interprétation. Faire le tracé sur papier millimétré. (voir courbe 1 du document 2 donné en annexe) Exploitation du graphe. Conclusions : On obtient une droite passant par l'origine des coordonnées. x est proportionnel à t. x(t) est une fonction linéaire de t. Soit k le coefficient directeur de la droite.


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Pour le calculer, si on considère les points A et B de la droite, on écrira la relation littérale suivante :

k=

x B − xA tB − tA

Faire l'application numérique : k =

20 − 2,5 = 29,2cm.s −1 0,6

Comparer cette valeur à celle de vx calculée au § III : La valeur est sensiblement la même. Structuration : La valeur du coefficient directeur de la droite représentative de la fonction f est égale à vx. Ecrire la relation entre x , vx et t.

x = vx . t.

Remarques : 1) vx étant constante au cours du temps, sa valeur est toujours la valeur initiale. Donc : v x = v0 x La relation précédente devient donc :

x = v 0x . t

2) Si l'origine des temps n'est pas confondue avec l'origine des abscisses, que peut-on dire de x0 ? x0 ≠ 0 Exprimer le coefficient directeur v 0x en considérant sur la droite un point quelconque M d'abscisse x à la date t et le point M0 d'abscisse x0 à la date t0 = 0 et généraliser la relation établie précédemment entre x et t. x − x0 v0 x = x = v0 x .t + x0 t − t0

V . Structuration finale.

Dans le référentiel choisi, lorsque la trajectoire du centre d'inertie G d'un mobile est une droite et lorsque la valeur de la vitesse reste constante tout au long du trajet, le mouvement du point G est rectiligne et uniforme. Le vecteur-vitesse V gardant .même direction., ..même sens ..et ..même norme .. est un vecteur ..constant. On pourra écrire : V = cste Il existe entre x et t la relation : x = v 0x .t + x0


v 0x est déterminé par le quotient

la droite d'équation x = f(t).

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∆x ou, de façon plus précise, par le coefficient directeur de ∆t


4. Deuxième séance : uniformément accéléré.

12

le

mouvement

rectiligne

I . Expérience.

1 . Principe.

Le solide S est maintenant relié à une masse M = 100g par un fil inextensible passant sur la gorge d'une poulie. La distance h est légèrement supérieure à la distance parcourue par le mobile sur la table. On lâche le solide S à la date t = 0 avec une vitesse initiale V0 = 0. →

Représenter ci-contre les forces agissant sur S en cours de mouvement.

Rn G →

P

→

→

→

Conclusion : Σ F = T ≠ 0

→

T


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2 . Enregistrement. Voir l'enregistrement 2 du document (1).

3. Etude de l'enregistrement. Trajectoire de G : L'ensemble des points d'enregistrement appartiennent à une droite. La distance séparant deux points consécutifs ..augmente .. Donc la vitesse ..augmente.. Elle est .différente . à chaque instant.

II . Courbe représentative de la fonction x = f(t) et conséquence pour la détermination de la vitesse.

1. Mesures. t (ms) x (mm)

0 0

40 5

80 11

440 140

480 162

120 18.5 520 186.5

160 28 560 212

200 39

240 52 600 240

280 67 640 269.5

320 83

360 100

680 300

720 332

400 119 760 367

(Voir courbe 2 du document 2) La courbe obtenue est-elle une droite ? Non Peut-on déterminer la valeur de la vitesse comme dans la séance précédente ? Non car ici cette valeur varie. ∆x Dans ce cas qu'indiquerait la valeur de ? Seulement une valeur moyenne de la ∆t

vitesse sur la portion de trajectoire considérée.

800 402


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III . Détermination de la vitesse instantanée (à un instant t ).

En 1ère S on a déterminé seulement une valeur approchée de la vitesse en un point de date t par le calcul d'une valeur moyenne entre deux points très proches encadrant le point considéré. Exemple :

v x11 ≈

Valeur approchée de la vitesse au point (11) :

x12 − x 10 16,25 − 11,75 .=. . = 56,2cm.s −1 t12 − t10 0,08

L'objectif est maintenant d'obtenir la valeur de la vitesse en un point (celle qui est indiquée par le tachymètre d'une voiture).

1 . Idée de Galilée. Galilée pense que la vitesse instantanée à la date t d'un mobile en cours de mouvement est égale à la vitesse de ce mobile au-delà de la date t, si à partir de cet instant t, le mobile ne subit plus de force (ou s'il est soumis à des forces qui se compensent).

2. Expérience. On reprend l'expérience précédente en stoppant le mouvement de la masse M à la date t, le solide S continuant son mouvement. La distance h parcourue par la masse M est alors inférieure à celle parcourue par G sur la table. Voir l'enregistrement (3) du document 1.

a) Observation de l'enregistrement et interprétation. Il présente .deux phases.. : Une première ..partie .. où la distance entre deux points successifs ..augmente... Une deuxième ..partie.. où la distance entre deux points successifs ..reste constante et où le mouvement est uniforme.. Le mouvement devient uniforme quand..l'action du fil cesse...


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b) Etude du graphe représentatif de la fonction x = f (t) et interprétation. (courbe 3 du document 2). Mesures. t (ms) x (mm)

0

40

80

120

160

200

240

280

320

360

400

440

0

5

11

18.5

28

39

52

67

83

100

119

140

480

520

560

600

640

680

720

760

800

162

186

208.5

232

254.5

277

300

322.5

345

Tracé du graphe

(courbe 3 du document 2).

Observation : Le tracé devient .rectiligne . quand l'action du fil .cesse .. En effet, les actions mécaniques se compensant, le mouvement de G est devenu .rectiligne et uniforme (principe de l'inertie). Que peut-on dire de cette droite ? Elle est ..tangente.. à la courbe .représentative de la fonction d'équation x = f (t) (relative au mouvement de S maintenu jusqu'au bout sous l'action de la tension du fil ). Le point de tangence correspond à la date t telle que : 420 ms ≤ t ≤ 500 ms

c) Détermination de la vitesse instantanée à la date t précédente. D'après la définition de Galilée, cette vitesse va se calculer quand le mouvement est devenu rectiligne et uniforme, donc par l'évaluation ..du coefficient directeur de la tangente à.. la parabole représentative de la fonction d'équation x = f (t). La tangente qui est une droite est donc dans le repère choisi la courbe représentative d'une fonction affine notée f1. Soit deux points A et B de cette tangente d'abscisses respectives tA et tB.

Alors vx =

f1 ( t B ) − f1 ( t A ) tB − tA

Calculer vx : v x =

23,75 = 59,4cm.s −1 0,4


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Conclusion : La vitesse vx en un point de date t , est égale à la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction x = f (t) au point considéré. Donc la valeur de vx à la date t est par définition le nombre dérivé de la fonction x = f (t) à la date t. dx A la date t : v = x, = . x dt

IV . Conclusion. Vecteur-position et vecteur-vitesse.

1. Vecteur-position. Le vecteur-position à la date t est le vecteur OM , M étant la position du mobile sur la trajectoire à cette date.

 →  →  →

Coordonnées du vecteur OM dans une base (O, i , j , k ) convenablement choisie. Cas

d'un

mouvement

rectiligne Mouvement plan

x( t ) OM y( t ) = 0  z( t ) = 0 

 → 

x( t ) OM y( t )  z( t ) = 0 

 → 

Mouvement dans l'espace

 x( t ) OM y( t )  z( t ) 

 → 

2. Vecteur-vitesse. • Si le mouvement est rectiligne : Le vecteur-vitesse a une seule coordonnée non nulle : dx v = x, = x dt


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• Si le mouvement est plan

: Le vecteur-vitesse a deux coordonnées non nulles :  , dx v x = x = dt  v = y , = dy  y dt

• Si le mouvement est dans l'espace : Le vecteur-vitesse a trois coordonnées non nulles :  , = dx v = x  x dt  dy  , v y = y = dt  dz  , v z = z = dt 

→

V

= x,

→

i

+ y,

→

j

+ z,

→

k

=

dx dt

→

i

+

dy → dz → j + k dt dt


Annexe 1. Document 1.

18


Annexe 2. Document 2.

19


20

Annexe 3. Exercices d’application. Le premier exercice est relatif à la reconnaissance d'une trajectoire. Le deuxième exercice nécessite une déduction toute simple. Le troisième exercice concerne un mouvement rectiligne uniforme. Le quatrième exercice est à propos d'un mouvement rectiligne uniformément varié.

Premier exercice. Parmi les trois diagrammes suivants relatifs à un même mouvement plan, quel est celui qui représente la trajectoire ? Sur le diagramme convenable, représenter qualitativement le vecteur vitesse à la date t = 4 s. x (m) 4

*

3

*

2

*

1

* t (s) 4

2

6

8

y(m) 3 2 1 2 0

4

6

8

t (s)


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y (m) 3 2 1 x(m) 0 1

2

3

4

Deuxième exercice :

On considère ci-dessous deux diagrammes relatifs à deux mouvements différents rectilignes d'axe Ox. Que peut-on dire de chacun de ces mouvements ?

mouvement a

mouvement b

x (m)

v (m.s-1)

t (s) 0

t (s) 0


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Troisième exercice.

On considère un mobile en mouvement rectiligne d'axe Ox dont le graphe espace-temps est donné ci-dessous.

4

x (m) *

3

*

2

*

1

* t (s) 1

0,5 Déterminer la coordonnée Vx de la vitesse. Quelle est la valeur de la vitesse V ? Ecrire la relation numérique entre x et t. Ecrire la relation littérale entre x et t. Quelle est la nature du mouvement ?

Quatrième exercice.

On considère le mouvement rectiligne d'un mobile sur un axe Ox dont le graphe espace temps x(t) est une parabole. Cette parabole est représentée sur le graphe ci-joint. (page suivante) 1 . Décrire la méthode à employer pour déterminer la coordonnée Vx de la vitesse. Déterminer par cette méthode les coordonnées

Vx 0,1s

Vx 0,3s

Vx 0,6 s

Vx 0,8s

2 . D'après la forme du graphe représentatif de la fonction x(t), quelle est la nature du mouvement ? 3 . Quelle est la forme de la courbe représentative de la fonction Vx(t) ? Effectuer sa représentation sur une feuille millimétrée.


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4 . Exprimer la coordonnée ax de l'accélération en fonction de Vx. Déterminer la valeur de ax.

x (m) 2,7 2,6 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1 22 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 11 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

t (s) 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1


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Annexe 4. Taux de réussite des élèves aux questions posées.

Premier exercice. 13 % des élèves trouvent la trajectoire mais dessinent le vecteur-vitesse sur un graphe espacetemps. 9 % des élèves font entièrement l'exercice.

Deuxième exercice. 30 % des élèves seulement interprètent correctement le premier graphe et trouvent l'immobilité. 100 % des élèves interprètent correctement le deuxième graphe et trouvent le mouvement uniforme.

Troisième exercice. 13 % des élèves trouvent la valeur de v x seulement. 70 % des élèves font correctement l'exercice.

Quatrième exercice. 26 % des élèves indiquent la méthode. 22 % trouvent les valeurs de v x 50 % trouvent la nature du mouvement. 13 % trouvent que le graphe représentatif de v x ( t ) est une droite 9 % tracent la droite d'équation v x = f ( t ) 5 % des élèves traitent correctement l'exercice.


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Annexe 5. Activités mathématiques. 1° Activité : TANGENTE A LA COURBE C : y = x2.

Texte de l’activité donné aux élèves : 1. Tracez sur le document joint les tangentes à C aux points d’abscisses respectives : 0,5 , 1 , 1,5 , 2 , 0 , -0,5 , -1 , -1,5 , -2 . 2. Déterminez les coefficients directeurs de ces droites, et présentez les résultats sous la forme d’un tableau numérique. 3. Tracez sur le document joint la tangente à C au point d’abscisse 3 .

Remarques destinées aux professeurs : a- Pour aborder cette activité les élèves doivent avoir tout d’abord des compétences graphiques : choix d’un repère, lecture graphique, interprétation graphique du coefficient directeur d’une droite. D’autre part ils doivent maîtriser la notion d’équation réduite de droite et connaître de la classe de second la fonction carrée, notamment sa représentation graphique. b- On a choisi une unité graphique de 4 cm pour faire le graphique sur le document donné aux élèves pour - avoir une partie de courbe avec une “bonne” concavité afin de réduire les ambiguïtés dans les tracés naïfs des diverses tangentes, - ne pas avoir sur ce tracé le point d’abscisse 3 afin de préparer la question 3. c- A la question 2 la détermination des coefficients directeurs ne peut être que graphique, ou bien par lecture de Dx et Dy, ou bien par lecture de coordonnées de deux points. d- Comme avec l’unité graphique choisie le point d’abscisse 3 n’est pas représenté, on fait l’hypothèse que deux démarches pourront être mises en place : - on refait le tracé de C avec une unité graphique adaptée, - on exploite le tableau numérique de la question 2 pour mettre en place une fonction (ici affine) qui permet de calculer le coefficient directeur de la tangente. La possibilité de ces deux démarches permet d’envisager au sein de la classe un débat, qui permettra de déboucher sur une institutionnalisation de la notion de fonction dérivée.


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e- La synthèse de cette activité peut se résumer par : Soit la courbe d’équation y = x2 . Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x est égal à 2 x . f- On notera que dans cette activité c’est la notion de fonction dérivée, et non le nombre dérivé, qui intervient en tant qu’outil pour répondre à un problème.


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2° Activité : indiscernabilité entre la courbe C : y = x2 + x + 1 et la droite D : y = x + 1.

Texte de l’activité donné aux élèves : Les tracés de C et de D sont faits sur une feuille carrée de côté 20 cm avec un crayon portemine d’épaisseur 0,5 mm. On considère un repère orthonormal tel que le point de coordonnées ( 0 ; 1 ) soit au centre de la feuille.

1. Faites les tracés de C et de D avec une unité graphique de 10 cm. 2. Faites les tracés de C et de D avec une unité graphique de 1 m. 3. Déterminez une unité graphique telle que les tracés de indiscernables.

C

et

D

soient

Remarques destinées aux professeurs : a- Bien sûr, l’indiscernabilité n’est pas une notion mathématique. Le sens que l’on doit attacher à ce mot doit faire l’objet d’un débat en classe. Il s’agit d’établir un consensus au sein d’une communauté autour d’une question a priori compréhensible naïvement. Les deux premières questions sont là pour aider à l’émergence de ce consensus. Dans un premier temps, la définition visée est : « deux traits sont indiscernables lorsqu’il n’y a pas de blanc entre eux ». L’indiscernabilité ne doit pas être comprise comme la superposabilité.

b- Ensuite, le problème peut se formuler de la manière suivante : on cherche un nombre u strictement positif tel que pour tout nombre x | x | . u < 10 entraîne | (x2 + x + 1) - (x + 1) | . u < 0,05 , soit, | x | . u < 10 entraîne | x2 | . u < 0,05. On remarque alors que | x | . u < 10 équivaut à | x |2 . u
2000. u

c- On peut considérer que la formalisation choisie est basée en fait sur une condition suffisante. On peut s’en convaincre facilement en dessinant deux traits ayant une certaine épaisseur et n’ayant pas de blanc entre eux. Ceci n’a pas d’importance car cette formalisation peut être choisie en deuxième temps comme la définition de l’indiscernabilité. d- On prendra garde au fait que cette indiscernabilité « crayon-papier » n’est pas transférable telle que à une indiscernabilité « écran de calculatrice » (un pixel n’est pas forcément centré sur le point qu’il représente). e- Il y a une difficulté forte au raisonnement fait. On travaille par condition suffisante. Cette difficulté ne doit être ni occultée, ni contournée. Il est fondamental en classe de première d’aborder cette problématique de l’analyse qui est la recherche de solution qui marche, sans se poser la question de savoir si c’est la meilleure (du moins dans un premier temps). f- La manipulation d’unités graphiques n’est pas facile pour un élève moyen de première. Il est donc important d’avoir fait précéder ce travail de situations faisant utiliser diverses unités graphiques.