Cap.4 Integrale curbilinii

58

CAPITOLUL 4 INTEGRALE CURBILINII 4.1. DRUMURI PARAMETRIZATE Definiţia 4.1.1 Prin drum parametrizat în vectorială continuă definită pe un interval I din

3

( ) se înţelege orice funcţie cu valori în ( ) . Dacă 2

3

2

notăm cu x, y şi z componentele scalare ale lui r, atunci r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) ) , ∀ t ∈ I. Ecuaţiile x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) , t ∈ I se numesc ecuaţiile parametrice ale drumului r, sau o reprezentare a drumului, iar t se numeşte parametru. Imaginea directă r(I) a intervalului I prin funcţia vectorială r, adică mulţimea {( x(t ), y(t ), z (t ) ) ; t ∈ I } se numeşte suportul (urma, hodograful, traiectoria) drumului r. Dacă I este un interval compact [a, b], atunci suportul său este o mulţime compactă şi conexă din 3 2 . În acest caz, punctele r(a) şi r(b) se

( )

numesc capetele (extremităţile) drumului. Dacă r(a) = r(b) drumul se numeşte închis. Exemplul 4.1.1 Fie drumul r : [0, 2π] → 2 definit prin: r (t ) = ( R cos t , R sin t ) , t ∈ [0, 2π]. Ecuaţiile parametrice sunt:

⎧⎪ x = R cos t ⎨ ⎪⎩ y = R sin t , t ∈ [ 0, 2π ].

Observăm că pentru orice t ∈ [ 0,2π ] ,

y

punctul ( x(t ), y(t ) ) verifică ecuaţia M ( x, y )

t O

Fig. 1

( R, 0 )

x

x 2 + y 2 = R 2 . Rezultă că suportul acestui drum este cercul cu centrul în origine şi de rază R. Parametrul t are în acest caz o interpretare geometrică evidentă şi anume, este unghiul dintre raza corespunzătoare punctului M(x, y) şi direcţia pozitivă a axei Ox. deoarece r (0) = r (2π ) = ( R,0) , drumul este închis.

59

Cap. 4 – INTEGRALE CURBILINII

z

y

Exemplul 4.1.2 Fie drumul r : [0, 2π] → 3 definit astfel: r (t ) = ( R cos t , R sin t , ht ) , t ∈ [0, 2π]. Ecuaţiile parametrice sunt: ⎧ x = R cos t ⎪ ⎨ y = R sin t ⎪ z = ht , t ∈ 0, 2π . [ ] ⎩ Suportul acestui drum este elicea circulară de pas h.

Definiţia 4.1.2 Dacă funcţia vectorială r este injectivă, spunem că drumul este simplu (fără puncte Fig. 2 multiple). În cazul unui drum închis, acesta este simplu dacă egalitatea r ( t1 ) = r ( t2 ) implică sau t1 = t2 sau cel puţin x

unul din numerele t1 şi t2 este egal cu a şi celălalt cu b, unde cu a şi b am notat capetele intervalului I. Drumurile prezentate în Exemplul 4.1.1. şi 4.1.2 sunt simple. Un exemplu de drum care are puncte multiple este faliul lui Descartes: Exemplul 4.1.3 Considerăm ecuaţiile parametrice: 3at ⎧ ⎪x = 2 ⎪ 1+ t ⎨ 2 ⎪ y = 3at , t ∈ . ⎪⎩ 1+ t2 Suportul acestui drum este reprezentat în Fig. 3. Se observă că originea O este punct multiplu. O Definiţia

4.1.3

Un

y

x

drum

r = ( x, y , z ) : I → se numeşte neted dacă x, y, z, sunt de clasă C 1 pe I şi x′2 (t ) + y ′2 (t ) + z ′2 (t ) > 0 , ∀ t ∈ I . Fig. 3 Un astfel de drum are proprietatea că în orice punct al suportului său admite tangentă. Un drum care nu este neted, se spune că are puncte singulare. Un punct t0 ∈ I se numeşte singular dacă x′ ( t0 ) = y′ ( t0 ) = z ′ ( t0 ) = 0 . Dacă t0 ∈ I este un 3

60

punct singular, atunci în punctul M 0 ⎡⎣ x ( t0 ) , y ( t0 ) , z ( t0 ) ⎤⎦ de pe suport, tangenta nu este definită. Un drum se consideră orientat în sensul creşterii parametrului. 3

Definiţia 4.1.4 Două drumuri r1 : I 1 →

echivalente şi se notează acest lucru cu r1

şi r2 : I 2 →

3

se numesc

r2 , dacă există o funcţie λ : I 1 → I 2

bijectivă, strict monotonă, de clasă C cu λ ′ ( t1 ) ≠ 0 , ∀ t1 ∈ I1 , astfel încât 1

r1 ( t1 ) = r2 ⎡⎣λ ( t1 ) ⎤⎦ , ∀ t1 ∈ I1 . O astfel de funcţie λ se numeşte şi schimbare de parametru. Din definiţie rezultă că dacă λ este o schimbare de parametru, atunci λ ′ ( t1 ) > 0 , ∀ t1 ∈ I sau

λ ′ ( t1 ) < 0 , ∀ t1 ∈ I . Dacă λ ′ > 0 pe I, deci λ este strict crescătoare, atunci spunem că drumurile r1 şi r2 sunt echivalente cu aceeaşi orientare. În caz contrar, spunem că r1 şi r2

sunt echivalente cu orientare schimbată. Este evident că două drumuri echivalente au acelaşi suport. Exemplul 4.1.4 Fie drumurile ri : I i →

2

, i = 1,2, definite astfel:

⎛ π⎞ r1 ( t1 ) = ( R sin t1 , R cos t1 ) , ∀ t1 ∈ I1 = ⎜ 0, ⎟ , respectiv ⎝ 2⎠

(

)

r2 ( t2 ) = t2 , R 2 − t22 , ∀ t2 ∈ I 2 = ( 0, R ) .

Aceste drumuri au acelaşi suport şi anume arcul AB al cercului cu centrul în origine şi de rază R. (Fig. 4). Observăm că funcţia λ : I1 → I 2 y

definită prin λ ( t1 ) = R sin t 1 , ∀ t1 ∈ I1

A ( 0, R )

este bijectivă, de clasă C 1 şi ⎛ π⎞ λ ′ ( t1 ) = R cos t 1 >0 , ∀ t1 ∈ ⎜ 0, ⎟ . ⎝ 2⎠ Mai mult, observăm că

(

)

r2 ( λ ( t1 ) ) = λ ( t1 ) , R 2 − λ 2 ( t1 ) =

(

)

= R sin t 1 , R cos t 1 = r1 ( t 1) , ∀ t1 ∈ I1 . Rezultă că λ este o schimbare de parametru şi deci că cele două drumuri sunt echivalente cu aceeaşi orientare.

x B ( R, 0 )

O Fig. 4

61


Considerăm acum drumul r3 : I 3 →

2

, r3 ( t3 ) = ( R cos t3 , R sin t3 ) ,

⎛ π⎞ ∀ t3 ∈ I 3 = ⎜ 0, ⎟ . ⎝ 2⎠ Observăm, ca mai sus, că funcţia µ : I 3 → I 2 definit prin µ ( t3 ) = R cos t3 , ⎛ π⎞ ∀ t3 ∈ ⎜ 0, ⎟ este o schimbare de parametru. Cum µ ′ ( t3 ) = − R sin t3 < 0 , ⎝ 2⎠ ∀ t3 ∈ I 3 , rezultă că µ este strict descrescătoare. Drumurile r3 şi r 2 (respectiv r3 şi r1 ) sunt echivalente cu orientări diferite. Orientarea drumurilor r1 şi r2 , orientare dată de sensul creşterii parametrului, este de la A către B, în timp ce orientarea drumului r3 este de la B către A. y

y

A

A

x O

x O

B

B

Fig. 5

Definiţia 4.1.5 Se numeşte curbă parametrizată orice clasă de drumuri parametrizate echivalente. Aşadar, γ este curbă parametrizată dacă există un drum parametrizat r:I →

3

( ) astfel încât: γ = {ρ : J → ( ) drum parametrizat ρ r} . 2

3

2

Cum r ~ r rezultă că r ∈ γ. O curbă parametrizată este simplă (închisă, netedă) dacă drumul care o determină este simplu (închis sau neted). O curbă simplă se consideră că este orientată pozitiv, dacă drumul care o defineşte este orientat în sensul creşterii parametrului şi negativ în caz contrar. Fie γ o curbă parametrizată simplă şi netedă, şi fie r : I → 3 2 drumul

( )

parametrizat care o defineşte, orientat în sensul creşterii parametrului. Vom nota cu γ + mulţimea tuturor drumurilor parametrizate echivalente cu r şi care au aceeaşi

62

orientare cu r. Evident, r ∈ γ + . Vom nota cu γ − mulţimea tuturor drumurilor parametrizate echivalente cu r care au orientare opusă lui r. Suportul unei curbe parametrizate γ este suportul drumului care o defineşte şi evident, acesta coincide cu suportul oricărui reprezentant al curbei γ. Fie γ curba parametrizată definită de drumul r1 . Suportul său este arcul AB din Fig. 4. Suportul curbei γ + este arcul AB (orientat de la A către B), în timp ce suportul curbei γ − este arcul BA . Evident r2 ∈ γ + şi r3 ∈ γ − . În continuare, vom nota cu {γ} suportul curbei γ. De asemenea, ori de câte ori nu sunt prilejuri de confuzie, vom identifica o curbă cu unul din reprezentanţii săi. Definiţia 4.1.6 Fie r1 :[a, b] →

3

şi r 2 :[b, c] →

3

două drumuri

parametrizate cu proprietatea că r1 (b) = r2 (b) . Se numeşte justapunerea drumurilor r1 şi r 2 şi se notează cu r1 U r 2 următorul drum: ( ⎧⎪r1 (t ) daca t ∈ [a, b] r1 U r 2 (t ) = ⎨ ( ⎪⎩r 2 (t ) daca t ∈ [b, c].

(

)

Dacă γ i este curba definită de ri , i = 1,2, atunci γ 1 U γ 2 este curba definită de drumul r1 U r 2 . O curbă se numeşte netedă pe porţiuni dacă este justapunerea unui număr finit de curbe netede.

4.2. CURBE RECTIFICABILE Noţiunea de curbă (drum) introdusă în § 4.1 este destul de generală şi de aceea, în anumite cazuri (în special în cazul curbelor care admit puncte multiple), suportul unei curbe poate să difere esenţial faţă de imaginea intuitivă pe care o avem despre o curbă. Giuseppe Peano a arătat că se pot defini două funcţii continue x = x(t), y = y(t) pe intervalul [0, 1], deci un drum, astfel încât, atunci când parametrul t parcurge intervalul [0, 1], punctul corespunzător (x(t), y(t)) porneşte din punctul (0, 0) care corespunde valorii t = 0, trece prin toate punctele pătratului [0, 1] × [0, 1] şi ajunge în vârful (1, 1) care corespunde valorii t = 1. Cu alte cuvinte, suportul acestui drum umple un pătrat. Este clar că noţiunea de lungime pentru un asemenea drum nu are sens. În cele ce urmează vom introduce noţiunea de drum rectificabil (care are lungime) şi vom arăta cum se calculează lungimea unui drum rectificabil cu ajutorul integralei definite. Fie r : [a, b] → 3 un drum şi fie x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b] ecuaţiile sale parametrice. Considerăm o diviziune oarecare ∆ a intervalului [a, b],

63


∆ : a = t0 < t 1 < K < ti −1 < ti < K < tn = b şi notăm cu M i punctul de coordonate

( x ( ti ) , y ( ti ) , z ( ti ) ) ,

n

i = 0, n . Fie L∆ (r ) = ∑ M i −1M i

lungimea liniei poligonale

i =1

obţinută prin unirea suucesivă, prin segmente de dreaptă, a punctelor M i . Este evident că dacă ∆′ p ∆′′ , atunci L∆′ ( r ) ≤ L∆′′ ( r ) .

Mi −1 Mi

M1

Mulţimea M0

{L∆ (r )}∆ ,

∆

când

parcurge toate diviziunile posibile ale intervalului [a, b] este o mulţime de numere pozitive, care poate fi mărginită superior sau nu.

Fig. 6

Definiţia 4.2.1 Spunem că drumul r este rectificabil dacă mulţimea {L∆ (r )}∆ este majorată. Pentru un drum rectificabil se numeşte lungimea sa

următorul număr: L (r ) = sup { L∆ ( r )}∆ < ∞ . ∆

Lema 4.2.1 Pentru orice 4 numere reale a1 , a2 , b1 , b2 , are loc inegalitatea:

a12 + a22 − b12 + b22 ≤ a1 − b1 + a2 − b2

(1)

Demonstraţie. Amplificând cu conjugata şi ţinând seama de inegalitatea triunghiului obţinem a12 ≤

+ a22

−

b12

+ b22

=

a12 + a22 − b12 − b22 a12 + a22 + b12 + b22

a1 − b1 a1 + b1 + a2 − b2 a2 + b2

≤

(2)

a12 + a22 + b12 + b22

Pe de altă parte avem: a1 + b1 ≤ a1 + b1 ≤ a12 + a22 + b12 + b22 şi analog

a2 + b2 ≤ a2 + b2 ≤ a12 + a22 + b12 + b22 . Ţinând seama de aceste inegalităţi în (2) rezultă a12 + a22 + b12 + b22 ≤ a1 − b1 + a2 − b2 .

64

Observaţia 4.2.1 Inegalitatea (1) rămâne valabilă pentru orice 2n numere reale ai , bi ∈ , i = 1, n . De exemplu pentru n = 3 avem

a12 + a22 + a32 − b12 + b22 + b32 ≤ a1 − b1 + a2 − b2 + a3 − b3

(3)

Demonstraţia este practic aceeaşi cu demonstraţia lemei. Teorema 4.2.1 Fie r :[a, b] →

3

un drum parametrizat definit astfel:

r (t ) = ( x(t ), y(t ), z (t ) ) , t ∈ [a, b]. Dacă r este neted, atunci r este rectificabil şi lungimea sa este L(r ) = ∫

b

x′2 (t ) + y ′2 (t ) + z ′2 (t ) d t .

a

Demonstraţie. Fie ∆ : a = t0 < t 1 < K < ti −1 < ti < K < tn = b o diviziune oarecare a intervalului [a, b], şi fie L∆ ( r ) lungimea liniei poligonale înscrise în suportul drumului r. Avem: n

L∆ ( r ) = ∑ i =1

( x ( ti ) − x ( ti −1 ) ) + ( y ( ti ) − y ( ti −1 ) ) + ( z ( ti ) − z ( ti −1 ) ) 2

2

2

.

Din teorema Lagrange rezultă că există α i , β i , γ i în intervalul deschis

( ti −1, ti ) , astfel încât

n

L∆ ( r ) = ∑ x′2 (α i ) + y ′2 ( β i ) + z ′2 (γ i ) ( ti − ti −1 )

(4)

i =1

definită prin: g (t ) = x′2 (t ) + y ′2 (t ) + z ′2 (t ) , t ∈ [a, b], este o funcţie continuă, deoarece funcţiile x′, y ′, z ′ sunt continue prin ipoteză. Considerăm suma Riemann Funcţia g : [a, b] →

n

σ ∆ ( g ,α ) = ∑ x′2 (α i ) + y ′2 (α i ) + z ′2 (α i ) ( ti − ti −1 )

(5)

i =1

Deoarece g este integrabilă pe [a, b], rezultă că ∀ ε > 0, ∃ δ ε′ > 0 astfel încât

∀ ∆ cu ∆ < δ ε′ şi oricare ar fi punctele intermediare α = (α i ) avem b

σ ∆ ( g ,α ) − ∫ g (t ) d t < ε

(6)

a

Pe de altă parte, din inegalitatea (3) şi inegalitatea generalizată a triunghiului, rezultă: n

(

L∆ (r ) − σ ∆ ( g , ε ) ≤ ∑ y ′ ( β i ) − y ′ (α i ) + z ′ (γ i ) − z ′ (α i ) i =1

) ( ti − ti−1 )

(7)

65


Cum y' şi z' sunt uniform continue pe [a, b], rezultă că există δ ε′′ > 0 cu proprietatea că ∀ t', t" în [a, b] cu distanţa t ′ − t ′′ < δ ε′′ avem y ′ ( t ′ ) − y ′ ( t ′′ )