Ch6 - Simulation

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... passe-t-il si C2 = 0,1 µF ? Retracer alors sur le même graphe, l'allure de la sortie, en utilisant cette fois l'expression temporelle de la sortie donnée en cours.
Ch.VI – Simulation des systèmes - p1

SIMULATION DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET INVARIANTS I – Réponse indicielle d'un système linaire continu invariant 1. Gain statique d'un système 1.1. Définition : pour un système linéaire continu invariant stable, sollicité par une entrée constante d'amplitude A, on note que le signal de sortie s(∞), limite de s(t) pour t → ∞, est constant, et on définit le gain statique K, par : K=

s(∞ ) s(∞ ) = e(∞ ) A

1.1. Détermination du gain statique Soit H(p) la fonction de transfert du système. On se place dans les conditions d'Heaviside. L e(t) = A → E(p) =

Alors : S(p) = H(p)

E(p)

H(p)

Y(p)

A p

A , p

Puis avec le théorème de la valeur finale, s(∞ ) = limp → 0 (pS(p)) = limp → 0 ( A H(p)) Enfin : K =

( A H(p)) s(∞ ) lim p→0 = = lim(H(p)) = H(0) p→0 e(∞ ) A

Remarques : si H(p) a un pôle en 0, alors il s'agit d'un système intégrateur, la sortie obtenue pour une entrée constante est donc une rampe, est s(∞) = ∞ ... le système n'est pas stable. Conclusion : Nous verrons que l'augmentation du gain statique, peut améliorer certaines performances du système (la précision), mais qu'à l'inverse il peut générer d'autres problèmes, le dépassement, l'instabilité par exemple. II – Réponse indicielle d'un système du premier ordre 1. Exemple du circuit RC Reprenons le circuit RC étudié chapitres III et V. # On a déterminé la fonction de transfert : H(p) =

U(p) 1 = E(p) 1 + RCp

On trouve bien H(0) = 1 = K gain statique du circuit. # On impose au système un échelon de tension e(t) = 1, pour t > 0. On cherche alors l'expression temporelle de la sortie u(t), et ses caractéristiques.

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I

K

M

R i(t) e(t)

C

J E(p) =

E(p)

L

H(p)

u(t)

U(p)

N

1 1 et U(p) = E(p) [H(p)] = p.(1 + RCp) p

Puis en décomposant cette fraction, U(p) =

1 p

1 p+

Et enfin par transformation inverse, u ( t ) = 1 − e

1 RC

−t RC

On peut alors tracer la courbe de réponse indicielle du circuit RC, u(t) voir cas général ciaprès. 2. Cas général, premier ordre simple

E(p)

K, gain statique : K = H(0) τ constante de temps du système. # Soit la réponse à un échelon d'amplitude A : S(p) =

H(p) =

K 1+ τ p

S(p)

K A AK × = 1 + τ p p p(1 + τ p)

# Etudions les limites en zéro et en l'infini : s(0) = Lim t→0 (s(t)) = Lim t→∞ (p S (p)) = 0 valeur initiale nulle s(∞) = Lim t→∞ (s(t)) = Lim t→0 (p S (p)) = AK valeur finale AK # Etudions la fonction dérivée et ses limites en zéro et en l'infini : S' (p) = PS(p) − s(0+ ) = p ×

AK AK = p(1 + τ p) (1 + τ p)

valeur initiale nulle

s' (0) = lim(s' ( t )) = lim (pS' (p)) = t →0

p→+∞

AK τ

s' ( +∞) = lim (s' ( t )) = lim(pS' (p)) = 0 t →+∞

p→0

pente initiale non nulle asymptote horizontale à l'infini

# Analyse temporelle, après décomposition en éléments simples et transformation inverse : −

t

s(t ) = AK [1 − e ] τ

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Points particuliers : t = τ, s(τ) = 0,63 AK ; t = 3τ, s(3τ) = 0,95 AK

Conclusion : On observe sur cette courbe temporelle : La tangente à t = 0 coupe l'asymptote à l'infini pour t = τ. D'autre part à t = τ on atteint soit 63% de la valeur finale. Enfin on atteint 95% de la valeur finale pour t = 3τ. Ainsi Tr5% = 3τ. Dans le paragraphe sur l'identification, et dans différentes applications, on verra qu'à partir d'une réponse à un échelon expérimentale, on peut retrouver les caractéristiques du système (tr5%, τ...) en utilisant les propriétés observées sur la courbe de réponse. Remarques : pour un premier ordre généralisé, l'équation est s( t ) + τ

ds( t ) de( t ) = K [ e( t ) + τ' ]. dt dt

On note alors la présence d'un zéro dans la fonction de transfert, et pour la réponse indicielle une discontinuité de la position en t = 0+. Mais les caractéristiques générales de la réponse indicielle d'un premier ordre sont conservées (il faut néanmoins procéder à un décalage d'origine en ordonnée pour retrouver ces caractéristiques).

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III - Réponse indicielle - Système du second ordre 1. Exemple : système mécanique On reprend le système [masse – ressort – amortisseur] étudié dans le chapitre III. Solide M de masse m, ressort de raideur k, amortisseur de coefficient de frottement visqueux f. m

d2 y( t ) dy( t ) k L +f + ky( t ) = kx( t ) → Y(p) = X(p) 2 2 dt dt (mp + fp + k ) x(t)

Y(p) H(p) = = X(p)

1

X k

Entrée échelon d'amplitude A : Y(p) =

Y

A p(1 +

X0

f m 1 + p + p2 k k

y(t) Y0

M

f m p + p2 ) k k

f

2. Cas général, deuxième ordre simple 2.1. Expression symbolique de la réponse indicielle L'équation différentielle d'un système du 2nd ordre s'écrit : s( t ) + a1 Fonction de transfert s'écrit : H(p) =

ds( t ) d2s( t ) + a2 = Ke( t ) dt dt 2

K  p  1 + 2ξ +   ω0  ω0  p

2

En pratique, à partir de la fonction de transfert obtenue après modélisation, on identifie les différents coefficients afin de déterminer les caractéristiques K, ξ et ω0. La réponse indicielle d'amplitude A dans les conditions d'Heaviside est en symbolique : S(p) =

AK 2  p  p    p 1 + 2ξ +   ω0  ω0    

Pour obtenir l'expression temporelle de la sortie, on décompose S(p) en éléments simples. Pour cela une discussion suivant les différentes valeurs de ξ est nécessaire, en effet les racines de la fonction de transfert dépendent de la valeur de ξ.

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2.2. Cas ξ > 1, régime apériodique # Expression des pôles de la fonction de transfert

Le dénominateur de H(p) possède deux racines réelles, le système a donc deux pôles réels distincts P1 et P2 : P1 = − ξ ω0 + ω0 (ξ 2 − 1) et P2 = − ξ ω0 − ω0 (ξ 2 − 1) Ainsi S(p) =

AK p(1 + τ1p )(1 + τ 2p )

avec τ1 = −

1 P1

et τ 2 = −

1 P2

# Etudions les limites en zéro et en l'infini : s(0) = Lim t→0 (s(t)) = Lim t→∞ (p S (p)) = 0 valeur initiale nulle s(∞) = Lim t→∞ (s(t)) = Lim t→0 (p S (p)) = AK valeur finale AK # Etudions la fonction dérivée et ses limites en zéro et en l'infini : S' (p) = PS(p) − s(0+) = p ×

AK AK = p(1 + τ1 p)(1 + τ2 p) (1 + τ1 p)(1 + τ2 p)

valeur initiale nulle

s' (0) = lim(s' ( t )) = lim (pS' (p)) = 0 t →0

p→+∞

pente initiale nulle

s' ( +∞) = lim (s' ( t )) = lim(pS' (p)) = 0 t →+∞

p→0

asymptote horizontale à l'infini

# Analyse temporelle, après décomposition en éléments simples et transformation inverse : Décomposition en éléments simples S(p) =

1 τ 22  AK 1  τ12   = A K + − p(1 + τ1p )(1 + τ 2p ) p τ − τ 1 + τ p 1 + τ p 2 1 1 2   

Expression temporelle de la réponse indicielle s( t ) = A K +

−t −t  A K  τ1e τ1 − τ 2 e τ2   τ 2 − τ1  

Conclusion : la réponse obtenue est apériodique, son allure assez proche de celle de la réponse d'un système du premier ordre, diffère néanmoins par la tangente horizontale en zéro. Principales caractéristiques : - En t = 0 la pente est nulle, tangente horizontale ; - Pas de dépassement ; - Valeur finale A K, asymptote horizontale.

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Remarques : Si une des deux constantes de temps est très supérieure à l'autre (τ1 1. # Analyse temporelle, après décomposition en éléments simples et transformation inverse : Décomposition en éléments simples S(p) =

K

p(1 + τ Op )

2

1  τ0 τ0 =K  − − 2  p (1 + τ Op ) (1 + τ Op ) 

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Expression temporelle de la réponse indicielle (voir ci-dessus) −t −t   t s( t ) = K1 − e τ − e τ  τ  

Conclusion : c'est un cas particulier du régime apériodique, la réponse a la même forme, mais on remarque que le système est plus rapide. Physiquement l'amortissement correspond à des pertes énergétiques, donc la diminution de ce facteur, entraîne une augmentation du rendement. C'est la réponse la plus rapide sans dépassement de la valeur finale. 2.4. Cas ξ < 1, régime pseudo-périodique # Expression des pôles de la fonction de transfert ξ < 1 alors le dénominateur de H(p) possède deux racines complexes conjuguées, le système admets deux pôles complexes. P1 = − ξ ω0 + j ω0 (1 − ξ 2 )

et P2 = − ξ ω0 − j ω0 (1 − ξ 2 )

# L'étude des limites de la fonction et de la fonction dérivée est identique à celle du cas ξ > 1. # Analyse temporelle, après décomposition en éléments simples et transformation inverse : Décomposition en éléments simples S(p) =

1  ξω 0 ξω 0 + p A K ω02 A K = − −   p ω02 + 2ξω 0p + p 2  p (p + ξω 0 )2 + (ω0 1 − ξ 2 )2 (p + ξω 0 )2 + (ω0 1 − ξ 2 )2 

(

)

Expression temporelle de la réponse indicielle Après transformation inverse, et une opération mathématique (voir en annexe les tableaux des transformées de Laplace) :   e − ξ ωmt s(t ) = K1 + sin(ωm (1 − ξ 2 ) t − ψ )    (1 − ξ 2 )  

 (1 − ξ 2 )    −ξ   

avec ψ = arctg

Conclusion : la réponse obtenue est pseudo-périodique, avec dépassements. Le système est plus nerveux, mais pas nécessairement plus rapide. Si le coefficient d'amortissement est trop faible, les oscillations seront longues à amortir. Principales caractéristiques : - En t = 0 la pente est nulle, tangente horizontale ; - Dépassements et oscillations amorties (oscillations non visibles si 0,7 ≤ ξ < 1) ; - Valeur finale A K, asymptote horizontale.

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Remarque : la valeur ξ = 0,7 correspond à la réponse la plus rapide.

IV - Influence du bouclage 1. Bouclage d'un système du premier ordre On se place dans le cas d'un système à retour unitaire.

E(p)

S(p) +

-

E(p)

O(p)

Ko F.T.B.O.(p) = O(p) = 1 + τ op

F(p) =

F(p)

U(p)

Ko (1 + K o )

Ko = K o + (1 + τ op) 1 +

τo

(1 + K o )

p

Le bouclage ne change pas l'ordre du système. Considérons les deux fonctions de transfert, en boucle ouverte puis en boucle fermée. On peut facilement identifier la fonction de transfert en boucle fermée d'un système asservi linéaire du premier ordre sous la forme : Ko τ KF F(p) = KF = τF = o 1 + τ Fp 1+ Ko 1+ K o

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KF < Ko et KF < 1 ⇒ Le gain statique diminue avec le bouclage. τF < τo

⇒ La constante de temps diminue avec le bouclage.

L'évolution s'effectue avec un rapport de (1 + Ko), appelé coefficient de rétro-action. Réponse indicielle dans les conditions d'Heaviside : Les deux fonctions de transfert étant identiques, les deux fonctions temporelles de sortie auront -t

-t

τo

F

la même forme, so ( t ) = K o [1 − e ] en boucle ouverte, et sF ( t ) = K F [1 − eτ ] en boucle fermée. En conclusion il n'y a pas de modification de la forme de la réponse indicielle, entre le système ouvert ou bouclé. On note de plus que s'o (0) =

Ko

τo

et sF' (0) =

KF

soit s'o (0) = sF' (0) , même pente à l'origine.

τF

Résultats obtenus pour un système à retour unitaire dans les conditions d'Heaviside. 2. Bouclage d'un système du deuxième ordre Les deux fonctions de transfert s'écrivent de la manière suivante : O(p) =

Ko  p  1 + 2ξo +   ωo  ωo  p

ξF =

KF =

ξo (1 + K o ) Ko 1+ K o

ωF = ωo (1 + K o )

2

et

F(p) =

KF  p  1 + 2ξ F +   ωF  ωF  p

2

ξF diminue → Le système est plus nerveux, mais il y a risque d'oscillations et de dépassement. Tr5% n'est pas forcément meilleur.

diminue premier ordre. KF

→ Même influence sur le gain statique que pour un

ωF augmente → Augmentation de la rapidité

V – Conclusion influence des différentes caractéristiques # Influence du coefficient d'amortissement sur les réponses indicielles : le graphe ci-dessous visualise l'ensemble des courbes obtenues pour K = 1 et ω = 10 rd/s, pour différentes valeurs de ξ.

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Si l'amortissement est trop important, le système devient excessivement lent, par contre si ξ est trop faible, il y a dépassement et oscillations. Pour ξ = 1 ni dépassement ni oscillation. # Influence de la pulsation des oscillations non amorties : Les trois graphiques sont établis pour K = 1. Pulsation ω0 = 20 rd/s ; 10 rd/s ; 5 rd/s

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Conclusion : influence du bouclage On a déjà explicité les modifications engendrées par le bouclage : ξ ↓ ; KF ↓ ; ωF ↑. # L'augmentation du gain sur un système, améliore la précision. Le système bouclé est donc moins précis. Une correction possible sera une action proportionnelle. Mais l'augmentation du gain comporte aussi des limitations technologiques (gain infini impossible). De plus, un fort gain augmente les risques d'instabilité. # La diminution du coefficient d'amortissement influe sur le temps de réponse, sur le dépassement, et sur l'oscillation du système. Le temps de réponse minimum est obtenu pour un coefficient d'amortissement de 0.7, on peut alors régler le coefficient en B.F. à cette valeur. Si on admet un dépassement de 20% (maximum toléré), on pourra régler ce coefficient à la valeur de 0.43, augmentant alors la nervosité, sans nuire à la stabilité. # L'augmentation de la pulsation, entraîne une augmentation de la rapidité du système. VI - Importance des pôles et des zéros de la fonction de transfert 1. Influence d'un pôle sur la réponse d'un système

Im Premier ordre :

H(p) =

1 K → un pôle réel P = − 1+ τ p τ

Dans le plan complexe, plus le pôle est proche de l'axe des imaginaires, plus son influence est grande : le temps de réponse augmente, le régime transitoire est plus long.

τ

Re Pôle P1

Deuxième ordre : Deux pôles complexes conjugués ξ < 1 :

Im

Lieu des pôles, pour ξ variable

P1

P1 = − ξωm + jωm (1 − ξ ) 2

Re

P2 = − ξωm − jωm (1 − ξ 2 )

Plus les pôles se rapprochent de l'axe des imaginaires, plus le régime transitoire est long.

P2

Deux pôles réels distincts ξ > 1 : P1 = − ξωm + ωm (ξ 2 − 1) P2 = − ξωm − ωm (ξ 2 − 1)

ξ=0

Pôle P1 Pôle P2

ξ=0

Im Re

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Lorsque ξ augmente, P1 se rapproche de l'axe des imaginaires, et P2 s'en éloigne. Le système se rapproche d'un système du premier ordre, il y a un mode dominant. On trouve alors : 1 2ξ 6ξ τ =− # (équivalent pour ξ grand) soit un temps de réponse tr5% # ωm p1 ω m Cette simplification est justifiée dès que ξ ≥ 1,5. On montre aussi que si τ1 > 8τ2 alors tr 5% = 3τ1. 2. Influence d'un zéro ou d'un pôle supplémentaire H(p) =

Soit un système du deuxième ordre, de fonction de transfert

K  p  1 + 2ξ +   ω0  ω0  p

2

On procède à une analyse en réponse indicielle, d'amplitude A. On considère successivement l'ajout d'un zéro Z0, d'un pôle P3, et enfin des deux simultanément, pour visualiser leur influence sur la réponse indicielle. Premier cas : ajout d'un zéro Système du deuxième ordre, avec deux pôles complexes conjugués, et un zéro supplémentaire.

Im

Pôle P1

s(t)

Avec Zo

AK

Zéro Z0

Sans Zo

Re 1/(τoωo²)

Pôle P2

t

Augmentation de la nervosité : augmentation des dépassements, et pente initiale non nulle. Influence négligeable si Z0 est trop éloigné de l'axe des imaginaires ( τ 0