La roue. La roue est une invention très ancienne et sans aucun doute un des
mécanismes les ... temps utiliser le calcul intégral. ... Fm = T2 ≠ mg = mam. ∆.
Chapitre 9 La roue La roue est une invention très ancienne et sans aucun doute un des mécanismes les plus importants. Parce qu’elle permet de réduire la friction dans le déplacement de charges, elle est à la base de nos moyens de transport. Bien que le principe d’un corps (sphère, cylindre, cerceau...) qui roule soit simple, sa mise en application dans le transport requiert un certain développement technologique afin d’assurer l’intégrité et la fluidité du mécanisme. La figure 9.1 présente une roue de vélo haute performance. Cette roue est à la fois légère, robuste et rigide tout en offrant un minimum de frottement dans le roulement sur son axe. Dans ce chapitre nous aborderons trois concepts fondamentaux pour l’étude du roulement. Soit le moment d’inertie, le moment de force (présenté au chapitre 6) et l’énergie cinétique de rotation.
Figure 9.1 – Une roue de vélo haute performance (source Campagnolo.com).
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92
Physique des mécanismes
9.1
Le moment d’inertie
Nous avons vu à la section 2.2 que lorsque la force résultante sur un corps est non nulle celui-ci accélère. Plus la masse du corps est élevée, plus l’accélération sera faible. La masse est donc une mesure de l’inertie du corps. On peut de façon similaire caractériser l’inertie d’une particule en rotation autour d’un axe (figure 9.2). · = F‹ R = M at R = M (–R)R = M R2 –
∆
· = I–.
(9.1)
I = M R2 est appelé moment d’inertie et représente le niveau de résistance à l’accélération angulaire de la particule. Lorsqu’un corps, et non une particule, a une masse distribuée sur un volume non négligeable, son moment d’inertie est donné par la somme de tous les moments d’inertie des éléments de masse mi de ce corps. I=
ÿ
mi ri2 .
(9.2)
Cependant pour calculer les moments d’inertie des corps, on doit la plupart du temps utiliser le calcul intégral. Dans le cadre de ce cours nous nous référerons aux équations du tableau B.1 qui présente les moments d’inertie de certains corps. Attention ! Le moment d’inertie d’un corps dépend de la position de l’axe de rotation. Un même corps n’aura pas toujours le même moment d’inertie. Exemple 9.1 La figure 9.3 illustre une masse m faisant se dévider une corde légère enroulée sur un cyclindre de masse M . Trouvez l’accélération a de la masse m. Solution
Chapitre 9. La roue
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R
M
θ mi
M
at Figure 9.2 – Une masse sur un disque tournant autour d’un axe.
R
T
M
T m
mg Figure 9.3 – Cylindre sur lequel une corde enroulée se dévide.
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Physique des mécanismes
Exemple 9.2 Calculez l’accélération des masses m et M de la machine d’Atwood présentée à la figure 9.4 si la poulie a un moment d’inertie I et un rayon R. Solution Puisque la poulie a un moment d’inertie non négligeable, les tensions dans les deux brins ne sont plus égales. Les équations de la section 4.1 deviennent FM = T1 ≠ M g = M aM
∆
T1 = M (g + aM )
(9.3)
Fm = T2 ≠ mg = mam
∆
T2 = m(g + am )
(9.4)
aM = ≠am = ≠a.
(9.5)
De plus, il faut inclure l’équation qui détermine l’accélération de la poulie (comme la corde ne glisse pas sur la poulie, l’accélération sur le périmètre de la poulie sera égale à l’accélération des masses)
Chapitre 9. La roue
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T1
T2 R
T2 m T1
mg M Mg
Figure 9.4 – Machine d’Atwood avec poulie de masse non négligeable.
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Physique des mécanismes
9.2
Théorème des axes parallèles
Le moment d’inertie d’un corps dépend de la position de son axe de rotation. Il faut donc calculer le moment d’inertie approprié pour chaque position de l’axe de rotation. Si on connaît le moment d’inertie autour d’un axe A parallèle à l’axe B situé à une distance d de l’axe A (figure 9.5) alors le moment d’inertie du corps par rapport à l’axe B est donné par IB = IA + M d2 .
9.3
(9.6)
Le roulement
Soit un corps roulant sans glisser sur un plan incliné tel qu’illustré à la figure 9.6. À chaque instant le point de contact entre le corps et le plan incliné peut être considéré comme un pivot autour duquel le corps tourne. C’est effectivement le seul point du corps qui ne bouge pas puisqu’il est en contact avec le plan et qu’il n’y a pas de glissement. La force gravitationnelle, qui s’applique au centre de gravité, produit un moment de force par rapport au point de contact avec le plan incliné. · = I–
(9.7) a R
(9.8)
g sin ◊ . Icg /M R2 + 1
(9.9)
M gR sin ◊ = (Icg + M R2 )
a=
Tableau 9.1 – Accélération pour différents corps en roulement sur un plan incliné.
Corps
Icg
Cerceau mince
M R2
1 g 2
sin ◊
Sphère creuse
2 M R2 3
3 g 5
sin ◊
Cylindre plein
1 M R2 2
2 g 3
sin ◊
Sphère pleine
2 M R2 5
5 g 7
sin ◊
a
Chapitre 9. La roue
97
A
B d
RA RB
Figure 9.5 – Deux axes de rotation parallèles.
at Mg sinθ R
θ θ Mg Figure 9.6 – Un disque roulant le long d’un plan incliné.
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Physique des mécanismes
9.4
Énergie cinétique de rotation
Une masse ponctuelle M tournant à une vitesse v et située à une distance R d’un axe de rotation (figure 9.7) a une énergie cinétique 1 1 1 K = M v 2 = M (Ê 2 R2 ) = IÊ 2 . 2 2 2
(9.10)
Si cette masse est distribuée sur un volume non négligeable, alors I doit être calculé selon l’équation 9.2. Dans le cadre de ce cours on se référera donc au tableau B.1 pour trouver les valeurs de I. Exemple 9.3 Soit une tige uniforme de longueur L et de masse M dont l’une des extrémités est munie d’un pivot sans frottement lui permettant de tourner librement (figure 9.8). La tige est lâchée à l’état de repos, en position horizontale. a) Quelle est sa vitesse angulaire lorsqu’elle se trouve à sa position la plus basse. b) Déterminez la vitesse linéaire du centre de gravité et la vitesse linéaire du point le plus bas de la tige lorsqu’elle est en position verticale. Solution
Chapitre 9. La roue
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R
M
θ
M
vt Figure 9.7 – Une masse tournant autour d’un pivot.
cg
h Mg L
Figure 9.8 – Une tige dont une extrémité est fixée à un pivot.
100
9.5
Physique des mécanismes
Exercices
9.1 Un moment de force de 32,0 Nm exercé sur une roue lui imprime une accélération angulaire de 25,0 rad/s2 . Quel est le moment d’inertie de la roue ? 9.2 Les deux masses d’une machine d’Atwood sont respectivement M = 500 g et m = 460 g. La poulie de rayon r = 5, 0 cm est montée sur des roulements à billes sans frottement. Quand on libère les masses du repos, la masse la plus lourde descend de 75,0 cm en 5,0 s. (a) Quelle est l’accélération des blocs ? (b) Quelle est la tension dans le brin qui supporte le bloc le plus lourd ? (c) Quelle est la tension dans le brin qui supporte le bloc le plus léger ? (d) Quelle est l’accélération angulaire de la poulie ? (e) Quel est son moment d’inertie ? 9.3 Deux blocs A et B, chacun de masse m, sont suspendus aux extrémités d’une tige de masse négligeable de longueur L1 +L2 , ou L1 = 20, 0 cm et L2 = 80, 0 cm. On maintient la tige horizontalement sur le point d’appui, puis on la lâche. Quelles sont les accélérations initiales de chacun des blocs ? L1 L2
m
m
9.4 On attache une masse de 12 kg à une corde enroulée autour d’une roue homogène de rayon r = 10 cm. Initialement au repos,
10 cm
la masse glisse vers le bas du plan incliné sans frottement avec une accélération de 2,0 m/s2 . En supposant que l’essieu de la roue soit exempt de frottement, déterminez
30°
Chapitre 9. La roue
101
(a) la tension dans la corde, (b) la masse de la roue et (c) la vitesse angulaire de la roue 2 s après s’être mise à tourner. 9.5 Une longue tige uniforme de longueur L et de masse M pivote sur une goupille horizontale sans frottement, fixée à l’une de ses extrémités. Initialement au repos, la tige est lâchée en position verticale.
L
Au moment où la tige est en position horizontale, déterminez (a) sa vitesse angulaire et (b) son accélération angulaire. 9.6 Chacune des pales du rotor de l’hélicoptère cicontre a une longueur de 5,30 m et une masse de 240 kg. Le rotor tourne à 350 tours/min. (a) Quel est le moment d’inertie de l’ensemble du rotor par rapport à l’axe de rotation ? (Considérez que les pales sont des tiges minces) (b) Quelle est l’énergie cinétique de rotation totale ? 9.7 Une personne fait rouler un tonneau cylindrique en poussant une planche appuyée sur ce tonneau. Celui-ci se déplace sur une distance L/2. Le tonneau roule régulièrement sans glisser ; la planche ne glisse pas sur le tonneau. (a) Quelle longueur de planche passe sur le tonneau ? (b) Quelle distance la personne parcourt-elle ?
L
L/2
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Physique des mécanismes
9.8 Soit deux rampes de même longueur et de même inclinaison. Un bloc glisse sans frottement sur la première ; une sphère roule sans glisser sur la seconde.
A
Le bloc et la sphère ont la même masse, et partent du repos au point A pour descendre jusqu’au point B.
B
(a) Durant cette descente, le travail qu’effectue la force gravitationnelle sur le bloc est-il supé-
A
rieur, inférieur ou égal au travail qu’effectue cette force sur la sphère ? (b) Au point B, quel objet a la plus grande vi-
B
tesse ? 9.9 Une sphère pleine homogène descend un plan incliné en roulant sans glisser. (a) Quel doit être l’angle d’inclinaison pour que l’accélération linéaire du centre de la sphère soit de 0,10g ? (b) Si un bloc glissait sans frottement le plan incliné au même angle, son accélération serait-elle supérieure, inférieure ou égale à 0,10g ? pourquoi ? 9.10 Une petite bille pleine de masse m et de rayon r roule sans glisser sur une rampe en forme de boucle de rayon R ∫ r. Elle part du re-
pos à partir d’un point situé sur
r
la partie rectiligne de la piste. De quelle hauteur initiale h au-dessus du bas de la rampe doit-on laisser aller la bille pour que celle-ci soit sur le point de perdre le contact avec la piste en haut de la boucle ?
R
