Circuiti Elettrici. • Corrente elettrica. • Legge di Ohm. • Elementi di circuito:
resistori, generatori di differenza di potenziale. • Leggi di Kirchhoff. • Elementi di ...
Circuiti Elettrici • Corrente elettrica • Legge di Ohm • Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale • Leggi di Kirchhoff • Elementi di circuito: voltmetri, amperometri, condensatori • Circuito RC
Corrente elettrica e cariche in movimento Con corrente elettrica si intende un moto ordinato di carica elettrica, attraverso un mezzo conduttore. La corrente `e definita come carica per unit`a di tempo che attraversa una data superficie e si misura in Amp`ere (A) • I = ∆Q/∆t, da cui 1 A = 1 C/s Nei conduttori ”normali” (metalli) la corrente `e dovuta al moto di elettroni, che sotto un campo elettrico esterno ~ acquistano una velocit`a media ~vd. E Da notare che le cariche libere sono sempre in moto, ma in assenza di campo elettrico esterno il loro moto `e disordinato e ~vd = 0).
Corrente elettrica II • Se la corrente `e generata da elettroni in moto, il verso della corrente `e opposto alla velocit`a media degli elettroni! • Esistono anche correnti di cariche positive, come ad esempio ioni positivi negli elettroliti (sali disciolti in acqua). E’ bene sapere che in certi conduttori la corrente si comporta come se fosse dovuta a cariche positive, dette lacune, anche se le cariche libere sono elettroni! Relazione fra velocit`a media ~vd e corrente: I = ∆Q/∆t da cui I = (nvd∆tA)/∆t = nAvd (n =cariche per unit`a di volume)
Corrente Continua e Alternata • Corrente Continua (CC o DC, Direct Current): corrente il cui verso non varia nel tempo. E’ la corrente prodotta dalle batterie, quella che scorre nei dispositivi elettronici. • Corrente Alternata (CA o AC, Alternating Current): il verso della corrente varia periodicamente nel tempo, con una legge I = I0 sin(2πf t), dove f `e la frequenza. E’ la corrente prodotta dalle centrali elettriche, con frequenza f = 50 Hz in Europa, f = 60 Hz negli Stati Uniti. Nel seguito ci occuperemo solo di circuiti a corrente continua, alimentati da una batteria o generatore di differenza di potenziale (o pi` u d’una, o anche nessuna)
Legge di Ohm Perch´e ci sia un campo elettrico E che causa una corrente, ci deve essere una differenza di potenziale V fra i capi di un conduttore: V = Vb − Va = El Qual `e la relazione fra differenza di potenziale V e corrente I? La risposta dipende dal materiale e dalle condizioni in cui `e usato, ma per un grandissimo numero di casi vale la Legge di Ohm: V = IR dove R `e un coefficiente (positivo) detto resistenza, che dipende dal materiale e dalla geometria del conduttore. La resistenza R si misura in V/A, ovvero Ohm (Ω): 1 Ω = 1 V/A. Notare che la legge di Ohm implica proporzionalit`a fra velocit`a e campo elettrico: vd ∝ E, conseguenza dei continui urti delle cariche con gli atomi del conduttore.
Resistori Si osserva (e si pu` o dimostrare) che per una geometria come quella mostrata in ρl figura, la resistenza vale R = , A dove ρ dipende solo dalle caratteristiche del materiale. ρ pu` o variare di parecchi ordini di grandezza fra i migliori e i peggiori conduttori. Un elemento tipico di circuito `e il cosidetto resistore, o resistenza. Un codice a barre colorate ne indica il valore R e la sua tolleranza (10%, 5%,...). Un resistore `e indicato dal simbolo a destra. Resistori tipicamente usati in circuiti elettronici variano da pochi Ω a migliaia di Ω (kiloohm, kΩ), fino al milione di Ω (megaohm, Ω).
Generatori di differenza di potenziale Perch´e una corrente continui a circolare in un circuito occorre la presenza di un generatore di differenza di potenziale, o d.d.p.: un dispositivo (una batteria) che tramite reazioni elettrochimiche fornisce energia alle cariche. Il circuito essenziale qui sopra: una resistenza connessa ad un generatore di d.d.p., `e schematizzato qui a destra. Notate il simbolo convenzionale il generatore di d.d.p.: il lato marcato con + si trova ad un potenziale pi` u alto di ∆V (positivo) del lato –
Analisi di un circuito elementare • La corrente I scorre da dove il potenziale `e alto a dove `e basso... • ...gli elettroni fanno il percorso inverso! ma non ce ne curiamo: conviene scegliere il senso di I come in figura. • Anche i collegamenti fra i vari elementi di circuiti (i fili metallici) hanno una resistenza, ma di solito `e trascurabile. • Anche la batteria `e un conduttore, ma ha una piccola resistenza interna, nulla solo per un generatore ideale; trascuriamo anche questa. Se nota, la resistenza interna pu` o essere aggiunta al circuito in serie alla batteria.
• Se R `e la resistenza, la corrente I = ∆V /R, per la legge di Ohm. Il potenziale in a `e ∆V pi` u alto che in c.
Potenza dissipata da una resistenza La parola ”resistenza” suggerisce ”attrito”, quindi ”energia dissipata”. In effetti, se una carica ∆Q attraversa una differenza di potenziale V nel tempo ∆t, c’`e una perdita di energia potenziale V ∆Q e quindi una potenza dissipata W : ∆Q W =V = IV. ∆t Tale energia `e di fatto fornita dalla batteria e va a finire in energia termica (cos`ı funzionano le ”resistenze” degli scalda-acqua elettrici). Sfruttando la legge di Ohm si pu` o scrivere anche 2 V W = I 2R = . R
Data una resistenza R, la potenza dissipata in essa `e quindi proporzionale al quadrato della corrente che vi scorre.
Resistenze in serie Due (o pi` u) resistenze in serie equivalgono ad una singola resistenza il cui valore `e la somma dei valori delle singole resistenze:
La dimostrazione `e immediata: basta osservare che per le correnti I1 e I2 attraverso R1 e R2 vale I1 = I2 = I e che V = Va − Vc = V1 + V2, dove V1 = Va −Vb = IR1 e V2 = Vb −Vc = IR2, da cui V = I(R1 +R2). Esercizio: dimostrare che la potenza dissipata `e data anche in questo caso dalla formula trovata in precedenza: W = I 2Req .
Leggi di Kirchhoff Come risolvere (ovvero determinare le correnti in tutti gli elementi) circuiti pi` u complicati, come questo in figura, formato da pi` u maglie (percorsi chiusi in un circuito elettrico)? Identifichiamo i nodi (punti nei quali convergono tre o pi` u tratti di conduttore) e i rami (tratti di collegamento tra nodi). Leggi di Kirchhoff: 1. La somma delle correnti che entrano in un nodo `e uguale alla somma delle correnti che escono dal nodo (legge dei nodi) 2. La somma algebrica delle cadute di potenziale su di un circuito chiuso in un giro completo `e nulla (legge delle maglie)
Leggi di Kirchhoff (2) • La legge dei nodi esprime la conservazione della carica elettrica: la carica non pu` o accumularsi nel nodo, quanta ne entra tanta ne esce! Nell’esempio in figura, un analogo idraulico, con I1 assunta entrante, I2 e I3 uscenti. Non `e necessario scegliere il verso ”giusto”: se si trattano le equazioni in modo consistente con il verso scelto la direzione finale della corrente sar`a determinata dal suo segno.
• La legge delle maglie esprime il carattere conservativo del campo elettrico: l’integrale di linea del campo (ovvero la somma delle cadute di potenziale) su di un percorso chiuso deve essere nullo!
Leggi di Kirchhoff (3)
• La caduta di potenziale attraverso un elemento di circuito non `e altro che la differenza di potenziale ai capi. Nelle figure a lato, ∆V = Vb − Va • Per le batterie, la caduta di potenziale `e come in figura. • Per le resistenze, dipende dalla scelta della direzione della corrente come in figura. • Attenzione al segno corretto!
Resistenze in parallelo Una semplice applicazione della legge dei nodi ci dice che due resistenze R1, R2 in parallelo sono equivalenti ad una resistenza equivalente Req data da 1 1 1 R1R2 = + , ovvero Req = Req R2 R2 R1 + R2 Da I = I1 +I2 e V = I1R1 = I2R2 si trova I1 = IR2/(R1 +R2) e I2 = IR1/(R1 +R2).
Esercizio 1: generalizzare il risultato a tre o pi` u resistenze. Esercizio 2: dimostrare che anche in questo caso W = I 2Req .
Resistenze in serie e in parallelo In molti casi `e possibile risolvere un circuito sfruttando le regole per le resistenze in serie e in parallelo, senza bisogno di considerare esplicitamente le leggi di Kirchhoff. Esempio in figura: determinazione della resistenza equivalente fra a e c per un sistema di resistenze in serie e in parallelo. Fate attenzione a non sommare resistenze, Ri, con quantit`a come 1/Rj che resistenze non sono !!!
Condensatori Un altro elemento di circuito molto comune `e il • condensatore, gi`a visto nella lezione scorsa. • Il condensatore `e caratterizzato dalla seguente relazione fra potenziale Q e carica immagazzinata: V = C • Il condensatore non conduce corrente, a meno che non sia guasto! Il condensatore accumula carica, di segno opposto sulle due armature Z • Relazione fra carica e corrente:
t
Q(t) =
I(t0)dt0 , oppure
−∞
dQ = I . Le leggi di Kirchhoff rimangono valide, ma producono dt equazioni differenziali assai pi` u complicate da risolvere.
Condensatori in parallelo
Per due condensatori C1 e C2 in parallelo, abbiamo V1 = V2 e Q1 = C1V , Q2 = C2V , da cui Q = Q1 + Q2 = (C1 + C2)V , ovvero Ceq = C1 + C2.
Condensatori in serie
In questo caso, abbiamo che Q1 = Q2 = Q da cui V1 = Q/C1, V2 = Q/C2, da cui V = V1 + V2 = Q(1/C1 + 1/C2), ovvero 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2.
Notate come i condensatori in serie si comportino come le resistenze in parallelo, e viceversa.
Amperometri e Voltmetri • Un amperometro misura la corrente che scorre in un circuito. Deve essere montato in serie. Per non perturbare il sistema sotto misura, l’amperometro ideale dovrebbe avere resistenza interna nulla; di fatto gli amperometri reali hanno resistenza interna finita ma piccola. • Un voltmetro misura la differenza di potenziale fra due punti di un circuito. Deve essere montato in parallelo. Per non perturbare il sistema sotto misura, il voltmetro ideale dovrebbe avere resistenza interna infinita; di fatto i voltmetri reali hanno una resistenza interna finita ma grande.
Circuito RC Consideriamo il circuito RC qui accanto: quando si chiude l’interruttore, una carica q(t) si accumula nel condensatore, dq inizia una corrente I(t) = dt a scorrere. q(t) dq(t) q +R = V. Per la legge di Kirchhoff: V − − RI = 0, ovvero C C dt La soluzione `e somma di una soluzione particolare: q(t) = V C ≡ Q, e della soluzione generale dell’equazione omogenea (cio`e con V = 0) associata: q(t) = q0e−t/(RC). Condizioni iniziali: q(t) = V C + q0 = 0, da cui
q(t) = Q 1 − e
−t/(RC)
,
Q −t/(RC) I(t) = e . RC
Carica di un condensatore La carica presente sul condensatore tende al valore limite Q = CV , con un tempo caratteristico τ = RC (in s se R `e in Ohm, C in Farad):
q(t) = Q 1 − e−t/τ
La corrente parte da un valore iniziale I0 = Q/(RC) = V /R (come in assenza del condensatore) per poi decadere esponenzialmente a 0 a mano a mano che il condensatore si carica: V −t/τ I(t) = e . R Attenzione: nessuna corrente attraversa le lastre del condensatore!
Scarica di un condensatore Consideriamo ora un circuito come in figura. Cosa succede quando si chiude l’interruttore? q(t) Per la legge di Kirchhoff: RI(t) + = 0, ovvero C dq(t) q(t) + = 0, che ha come soluzione: dt RC
q(t) = Qe−t/τ ,
τ = RC
dove Q `e la carica iniziale al tempo t = 0. Per la corrente: I(t) = −I0e
−t/τ
,
Q . I0 = RC
Il segno negativo indica che la direzione della corrente durante il processo di scarica `e opposta a quella durante il processo di carica.
