Clasa a III-a CLASA I - Alpha

36 downloads 88 Views 1MB Size Report
Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială. 13. Clasa a III-a. CLASA I. Probleme de sinteză. P.S.I.1916. Completaţi căsuţele libere cu numere care să ...

Clasa a III-a CLASA I Probleme de sinteză P.S.I.1916. Completaţi căsuţele libere cu numere care să facă posibile operaţiile indicate:

Ileana Buzatu, inst.Craiova

P.S.I.1917. Aflaţi suma a trei numere consecutive dacă al doilea este 3. Aurel Băluţoiu, înv.Coţofenii din Dos, Dolj P.S.I.1918. Calculează a+2m+n dacă a+m+10 şi m+n=20. Mihai Cârlogea, inst. Craiova P.S.I.1919. Ce valori a, b verifică ambele egalităţi? a  b  30 a= , b= Floarea Băluţoiu, înv.Scaieşti, Dolj  a  b  10 P.S.I.1920. Se dau numerele 9 şi 3. Găsiţi toate perechile de numere a căror sumă să fie egală cu diferenţa numerelor date. Camelia Ionele, inst. Craiova P.S.I.1921. Trei copii, Marius, Gabriel şi Sorin participă la un concurs de alergări. Care poate fi ordinea de sosire a celor trei? Ionela Brânduşoiu, inst. Craiova P.S.I.1922. Din ce număr se scade 5 pentru a obţine diferenţa numerelor 10 şi 6? Ionela Ghimpău, inv. Craiova P.S.I.1923. Descoperiţi regula şi completaţi căsuţele ca în exemplul dat. Sanda Cârlogea, înv.Craiova

P.S.I.1924. Completaţi şirul de numere de pe acoperişul fiecărei căsuţe, apoi scrieţi câte un exerciţiu al cărui rezultat să fie numărul completat.

Simona Filip, inst.Craiova

P.S.I.1925. Ionel are cu 4 maşinuţe mai mult decât Andi şi cu 5 maşinuţe mai puţin decât Radu. Cu câte maşinuţe are mai puţin Andi decât Radu? Eugenia Stanciu, inst Craiova P.S.I.1926. Folosind o singură dată unul dintre numerele de la 0 la 9, scrieţi trei adunări cu trei termeni fiecare, astfel încât sumele obţinute să fie mai mari decât 13. Ion Călin, înv.Craiova P.S.I.1927. Fiecare figură geometrică rezprezintă un anumit număr. Găsiţi aceste numere.

Maria Rogoveanu, înv. Craiova

P.S.I.1928. Calculaţi valorile literelor: O : 5+3= E: 8  6 = R : 4+3+3= L : 93+1. Ordonaţi descrescător rezultatele obţinute, apoi stabiliţi relaţia număr-literă. Completaţi enunţul următor, folosind cuvântul găsit: Ura! Am o pereche de ….. noi! Vasilica Crăciun, înv. Craiova P.S.I.1929. Descoperiţi regula, apoi scrieţi semnul corespunzător.

Ştefan Ghimpău, înv. Craiva

P.S.I.1930. Scrieţi numărul 9 ca sumă de mai mulţi termeni. Câte cazuri găsiţi? Maria Popescu, inst. Craiova

Rubrică realizată de Sanda Cîrlogea, înv. Craiova

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

13

Clasa I Teste de evaluare Testul nr. 1 1. Număraţi: 1______8 10 _ _ _ _ _ 4 2 10 9 1 2. Ordonaţi: a) crescător numerele 5, 0, 9, 2, 6, 7. _________________ 3. Scrieţi vecinii numerelor: 1 9 4. Descompuneţi numerele:

b) descrescător numerele 1, 10, 8, 2, 4, 7. ____________________ 6

4

5. DA sau NU?

Veronica Amzolini, inst. Craiova

Testul nr. 2 1. Calculează: 2+3= 97= 76= 108= 94= 3+5= 5+5= 92= 2. Pune în semnele ,,+” sau ,,”. 9 2=7 3 3= 9 3 5 3=8 3 3=7 7 3 1=2 4 5=8 1 8 6=2 10 4 =1 5 3. Află suma numerelor: 0, 3, 5, 1. 4. Află numărul cu 6 mai mare decât 4. 5. La un concurs participă 7 fete, iar băieţi cu 5 mai puţini. Câţi băieţi participă la concurs? 6. Ia 8 din suma numerelor 5 şi 4. Testul nr. 3 1. Efectuaţi: a) 2+2= 98= 4+5= 7+3= 3+4= 55= 106= 86= b) 1+3+6= 92+1= 3+4+2= 1040= 75+3= 96+5= 2. Măreşte cu 2 suma numerelor 3 şi 4. 3. a+5=7 n2=6 3=10a. 4. Scrie ca sumă sau diferenţă numerele: 5= + + 8=  3=  + 2=   5. Am consumat 5 caramele şi mai am 4. Câte caramele am avut?

Olga Călin, înv. Craiova

Mihai Cârlogea, inst. Craiova

Rubrică realizată de Sanda Cîrlogea, înv. Craiova Probleme propuse P.P.I.2208. Uneşte corespunzător: 1, 2, 3, 4 3, 2, 1, 0 1, 3

5, 6, 7

7, 6, 5, 4

5, 7

Dan Iordache, înv. Craiova

P.P.I.2209. Grupează diferit 8 bile pe numărătoare:

Lavinia Neacşu, înv. Craiova

P.P.I.2210. Compuneţi numerele:



Se primesc soluţii la probleme propuse până la data de 1.03. 2010. Nu se primesc soluţii la P.S.

14

Nr.2/2009

Clasa a III-a

Lucia Ciucu, inst. Craiova

P.P.I.2211. Completaţi tabelul: Numărul anterior

Numărul

Numărul următor

5 2 7 10 4 0 6 Mirela Pop, inst. Craiova

P.P.I.2212. Află suma numerelor: 6 şi 2 _____ 7 şi 2 _____ 3 şi 4 _____ 3 şi 6 _____ 9 şi 1 _____ 2 şi 8 _____

4 şi 2 _____ 5 şi 3 _____ 6 şi 0 _____

P.P.I.2213. Încercuieşte rezultatul corect. 3 2 0 94= 75= 50= 5 4 5 4 5 3 106= 86= 63= 3 2 5 P.P.I.2214. Compară şi încercuieşte suma sau diferenţa cea mai mică: 6+2 3+5 75 83 106 4+2 96 2+3 3+3 4+2 40 97 8+2 91 2+5 86 3+3 64 P.P.I.2215. Ai valori, operează! a=4; m=2; n=3 a+m+n=______ am+n=_____ m+na=_____ P.P.I.2216. Completaţi termenul necunoscut: +3=6 +5=7 7=3+ 2+ =7 4=2 8= +4 9 =3 10 =6 6=8 6 =2 2+ =9 5= 4 P.P.I.2217. Află termenul necunoscut: a+6=10 3+a=9 a=  a=  a=  a= a= P.P.I.2218. Verificaţi dacă sunt adevărate egalităţile: a) 12+234+5+16=12+2+34+10+6

Florentina Radu, înv. Craiova Mona Chiţu, înv. Craiova

Tudor Ghelbegean, inst. Craiova

Ştefan Mitră, înv. Craiova

Manuela Moraru, înv. Craiova

7a=3 a=

Camelia Mihai, înv. Craiova

b) 10+43+6+21=1035+4+2+10+11 Mihaela Ciocionică, inst. Craiova

P.P.I.2219. Completaţi cu termenul necunoscut:

P.P.I.2220. Pe un rând de bănci sunt 9 elevi. Câte fete şi câţi băieţi pot fi? (Scrie toate posibilităţil.) Anca Călin, inst. Dobreşti, Dolj

P.P.I.2221. Se dau cifrele 1, 9, 0. Scrie toate numerele de două cifre ce se pot scrie, olosind o singură dată fiecare cifră. Narcisa Duţă, înv. Craiova

P.P. I.2222. Cu cât trebuie mărit numărul 6 pentru a obţine cel mai mic număr de două cifre? Carmen Popa, înv. Craiova P.P.I.2223. Cu ce numere trebuie înlocuite denumirile figurilor geometrice din următoarele egalităţi: ROMB+TRIUNGHICERC=5; TRIUNGHI+PĂTRAT=10; 8PĂTRAT=PĂTRAT; DREPTUNGHITRIUNGHI=1; ROMBTRIUNGHICERC=1; CERC+CERC+CERC=9. Mihaela Achim, înv. Iaşi P.P.I.2224. Scrieţi numărul 10 ca o sumă de 3 termeni. Câte posibilităţi sunt? Elena Valentina Dorneanu, înv. Iaşi

Rubrică realizată de Sanda Cîrlogea, înv. Craiova

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

15

Clasa a II-a CLASA a II-a Probleme de sinteză P.S.II.1932. Un ceas electronic arată ora 10:53. După câte minute toate cifrele de pe ecranul ceasului vor fi identice? Leontina Boghiu, înv. Bacău

P.S.II.1933. Diferenţa a două numere este 56. Ştiind că descăzutul este cel mai mare număr par de două cifre identice, aflaţi scăzătorul. Leontina Boghiu, înv. Bacău P.S.II.1934. În grădina şcolii sunt 72 de flori: trandafiri, crini şi gladiole. Numărul trandafirilor este de 2 ori mai mare decât al crinilor şi încă 3, iar gladiole sunt cu 9 mai puţine decât trandafiri. Câte flori de fiecare fel sunt?

Leontina Boghiu, înv. Bacău

P.S.II.1935. Manualul de matematică de clasa a II-a conţine 138 de pagini. Calculaţi câte cifre au fost necesare pentru numerotarea acestuia. Leontina Boghiu, înv. Bacău P.S.II.1936. Suma a 3 numere consecutive este 48. Aflaţi numerele. Leontina Boghiu, înv. Bacău P.S.II.1937. Scrie toate numerele de trei cifre diferite care au cifra unităţilor 3, cifra zecilor 4, iar a sutelor mai mare decât 7. Silvia Druţu, inst. Drobeta Turnu Severin P.S.II.1938. Scrie cel mai mic număr cuprins între 300 şi 500 care are suma cifrelor 7. Rodica Mujescu, inst. Drobeta Turnu Severin

P.S.II.1939. Se dau numerele: 272, 284, 269, 274, 281, 279, 273, 276. Scrie numerele: a) mai apropiate de 300 decât de 200; b) mai apropiate de 280 decât de 270. Andrei Mihail, inst. Drobeta Turnu Severin

P.S.II.1940. Ana are în coşuleţul ei un număr de mere. Dacă oferă fratelui mai mare 8 mere, iar celui mai mic 10, îi mai rămân în coş 15 mere. Câte mere a avut la început în coşuleţ? Valeria Patrichi, inst. Drobeta Turnu Severin P.S.II.1941. Din suma vecinilor numărului 45 scădeţi primul număr care are cifra zecilor 5. Roza Pănescu, inst. Drobeta Turnu Severin

P.S.II.1942. La un magazin sunt 88 de tricouri roşii, galbene şi albastre. Află câte tricouri albastre sunt, ştiind că roşii sunt 23, iar cele galbene sunt tot atâtea cât cele roşii. Ioana Ianculescu, înv. Drobeta Turnu Severin P.S.II.1943. La o librărie s-au adus 93 de caiete de limba română, caiete de matematică erau cu 26 mai puţine decât cele de limba română, iar caiete de desen cu 17 mai multe decât cele de matematică. Câte caiete sunt acum în librărie? Aurelia Ghidel, inst. Drobeta Turnu Severin

P.S.II.1944. În pădurea de la marginea satului sunt 147 stejari, iar fagi cu 29 mai puţini. Câţi copaci are pădurea? Maria Mihail, inst. Drobeta Turnu Severin

P.S.II.1945. Aflaţi numărul necunoscut: a+255=695; a63=290; (300+400)a=200. Raluca Roşca, inst. Drobeta Turnu Severin P.S.II.1946. Dorel are într-o cutie 17 maşinuţe mici şi cu 9 mai multe maşini mari. a) Câte maşini mari are Dorel? b) Câte maşini are Dorel în cutie? Amalia Dincă, inst. Drobeta Turnu Severin Rubrică realizată de Maria Ungureanu, inst. Drobeta Turnu Severin şi Niculina Opriţa, înv. Drobeta Turnu Severin Teste de evaluare Testul nr. 1 1. Scrie numerele: a) de la 19 la 27; b) de la 83 la 69; c) pare, cuprinse între 37 la 56. 2. Se dau numerele: 25; 18; 41; 76; 32; 52; 19; 69; 77; 92. a) Aşază în ordine crescătoare doar numerele impare. b) Aşază în ordine descrescătoare doar numerele ipare. 3. Compară numerele pare punând semnul ,  sau =: 56 65 32 97 47 47 88 80 41 14 70 57 90 39 16 60 4. Care sunt numerele naturale formate din zeci şi unităţi scrise cu cifre identice? 5. Care sunt numerele naturale de două cifre care au cifra unităţilor 3? 6. Care sunt următoarele trei numere? a) 52, 54, 56, 58; …..; …..; …..; b) 94, 93, 92; …..; …..; …..; c) 73, 76, 79, 82; …..; …..; …..; 7. Sunt cuprins între 60 şi 70 şi am cifra unităţilor mai mare cu 1 decât cifra zecilor. Cine sunt? Titina Sibişanu, inst. Craiova

Testul nr. 2 1. Calculaţi: 19+30= 7858= 6+14= 4826= 13+85= 525= 7+12= 2712= 28+61= 2. Măriţi cu 3 diferenţa numerelor 69 şi 36. 3. Cu cât este mai mic numărul 15 decât suma numerelor 23 şi 66? 4. La numărul cu 6 mai mic decât 27 adăugaţi numărul cu 6 mai mare decât 50. 5. Suma a două numere este 57. Să se afle diferenţa lor dacă unul dintre numere este 23. 6. Marin are 46 cărţi. Miruna are cu 13 mai puţine. Câte cărţi au cei doi împreună? Anca Rodica Bunăiaşu, inst. Craiova Testul nr. 3 1. Calculează: a) 48+34= 7253= 6054= 36+22= b) 18+12+13= 622419= 945837= 16+1415= 2. Află termenul necunoscut: a14=17 24a=15 a+5=74 63+a=90 3. Micşorează suma vecinilor numărului 37 cu suma vecinilor numărului 19. 4. Din cel mai mare număr impar de două cifre diferite scade: a) diferenţa numerelor 84 şi 16; b) suma numerelor 59, 7 şi 18. 5. Ce număr am adăugat la diferenţa dintre 52 şi 37, dacă am obţinut 80? 6. Maria a rezolvat un număr de probleme: într-o lună 37, a doua cu 8 mai puţine. Câte probleme a rezolvat? Câte ar mai trebui să rezolve până la 80? Gheorghe Sibişanu, înv. Craiova Rubrică realizată de Titina şi Gheorghe Sibişanu, înv. Craiova

16

Nr.2/2009

Clasa a III-a Probleme propuse



P.P.II.1293. Se dau numerele 32 şi 12. Găsiţi două numere naturale egale a căror sumă să fie cât diferenţa numerelor date. Claudia Bălan, inst. Iaşi P.P.II.1294. Irina şi Andreea au acelaşi număr de bomboane. Irina i-a dat Andreei 4 bomboane. Cu câte bomboane are mai multe acum Andreea? Claudia Bălan, inst. Iaşi P.P.II.1295. Se consideră cifrele 2 şi 8. Folosind numai acele cifre cel puţin odată, să se scrie: a) cel mai mare număr natural de 3 cifre; b) cel mai mic număr natural de 3 cifre. Claudia Bălan, inst. Iaşi

P.P.II.1297. Aflaţi numerele x şi y ştiind că suma lor este 53, iar diferenţa dintre x şi sfertul lui y este 8. Leontina Boghiu, înv. Bacău

P.P.II.1298. Suma a trei numere este 75. Din primul scădem 5, din al doilea 15 şi din al treilea 25, obţinând numere egale. Care sunt cele trei numere? Leontina Boghiu, înv. Bacău P.P.II.1299. Aflaţi valorile lui a şi b, ştiind că cele două numere necunoscute sunt impare: 32+2948(a+b)(17+54)=27 Angela Ciubotaru, inst. Comăneşti P.P.II.1300. Găsiţi toate numerele cuprinse între 584 şi 784 cu suma cifrelor mai mică decât 11. Mariana Olteanu, înv. Comăneşti

P.P.II.1301. Într-o sală de spectacole, pe fiecare rând numărul locurilor este cu 2 mai mare decât pe rândul precedent. Pe ultimul rând, al zecelea, sunt 58 de locuri. Câte locuri are sala? Nela Orândaru, înv. Bacău P.P.II.1302. Dacă suma numerelor abc şi cba este 686, calculaţi a+b+c, pentru fiecare soluţie: a) Ce aţi observat? b) Câte soluţii aţi găsit? Paraschiva Blăjuţ, înv. Bacău P.P.II.1303. O cantitate de 30 kg mere a fost depozitată în 6 cutii de aceeaşi capacitate, iar o cantitate de 28 kg pere a fost depozitată în 7 cutii. Care este diferenţa dintre capacitatea unei cutii de mere şi a uneia de pere? Constantina Dinu, inst. Castranova

P.P.II.1304. Se dau numerele: 236, 118, 755, 983, 274, 915, 390, 792. a) Încercuieşte numerele impare. b) Scrie care dintre numerele date este: - cel mai mic; - cel mai mare; - scris cu cifre consecutive; - scris cu cifre identice. Rodica Mujescu, inst. Drobeta Turnu Severin P.P.II.1305. Scrie numerele naturale de trei cifre care îndeplinesc, simultan, condiţiile: a) cifra sutelor este 8; b) numerele sunt impare; c) suma cifrelor este 15. Maria Ungureanu, inst. Drobeta Turnu Severin

P.P.II.1306. Înlocuieşte pe ,,a” astfel încât relaţiile să fie adevărate: 285a303; 800a795; 1000a994. Andrei Mihail, inst. Drobeta Turnu Severin

P.P.II.1307. Folosind cifrele: 3, 0, 7 scrieţi: a) toate numerele pare de două cifre, apoi ordonaţi-le descrescător; b) cel mai mic număr de trei cifre; c) cel mai mare număr de trei cifre. Raluca Roşca, inst. Drobeta Turnu Severin

P.P.II.1308. Jumătatea sumei a două numere este 36. Dacă unul dintre numere este cel mai mic număr natural scris cu două cifre diferite, care este celălalt număr? Valeria Patrichi, inst. Drobeta Turnu Severin P.P.II.1309. Maria, Ica şi Ioana au 98 lei. Maria şi Ica au la un loc 66 lei, iar Ica şi Ioana au la un loc 57 lei. Câţi lei are fiecare fetiţă? Roza Pănescu, inst. Drobeta Turnu Severin P.P.II.1310. La diferenţa numerelor 89 şi 36 adăugaţi cel mai mic număr de două cifre identice.

Ioana Ianculescu, înv. Drobeta Turnu Severin

P.P.II.1311. Dacă a=30, b=10 şi c=5 află: a+a+5=? a+b+c=?

b+b+bc=?

c+c+cb=?

a+a+b+b+c=? Liliana Boeţi, inst. Drobeta Turnu Severin

P.P.II.1312. Încadraţi numărul 72 într-un şir de cinci numere consecutive. Mihaela Popescu, inst. Drobeta Turnu Severin

P.P.II.1313. Într-un magazin de jucării sunt 96 de păpuşi aşezate pe două rafturi. Pe primul raft sunt cu 16 păpuşi mai puţine decât pe al doilea raft. Câte păpuşi sunt pe fiecare raft? Aurelia Ghidel, inst. Drobeta Turnu Severin P.P.II.1314. Ionel are cu 18 timbre mai mult decât Aura. Câte timbre are Aura, dacă Ionel are 107 timbre? Maria Mihail , inst. Drobeta Turnu Severin

P.P.II.1315. Cu cât este mai mare suma numerelor 450 şi 70 faţă de diferenţa numerelor 270 şi 90? Mihaela Popescu, inst. Drobeta Turnu Severin

P.P.II.1316. Într-o cutie sunt 209 bile albe, 95 bile roşii, iar galbene cât diferenţa celor albe şi roşii. Câte bile sunt în pungă? Amalia Dincă , inst. Drobeta Turnu Severin P.P.II.1317. Să se determine un număr de două cifre în care cifra zecilor este cu 1 mai mare decât cifra unităţilor, iar suma cifrelor numărului este 11. Ileana Dădălău, înv. Mătăsari, Gorj P.P.II.1318. Din succesorul sumei numerelor 9 şi 5 scade predecesorul diferenţei numerelor 13 şi 6. Ce număr ai obţinut? Viorica Ceauşescu, înv. Motru, Gorj P.P.II.1319. Aflaţi numerele a, b, c, care îndeplinesc condiţiile: 12+15=a; a10=b; b+c=6; c17=d. Elvira Berbecaru, înv. Iaşi P.P.II.1320. Fiecare din cei 6 prieteni au trimis câte un cadou celorlaltor. Câte cadouri s-au trimis în total? Elvira Berbecaru, înv. Iaşi

P.P.II.1321. Într-o încăpere sunt 6 elevi. Fiecare dă mâna cu fiecare din ceilalţi, o singură dată. Câte strângeri de mână au loc? Mariana Constantin, înv. Iaşi P.P.II.1322. Completează spaţiile libere: 1, 2, 4, 7, 11, 12, ….., ….., ….., 37, …… Marian Dumitrescu, Borăneşti, Ialomiţa

Rubrică realizată de Maria Ungureanu, inst. Drobeta Turnu Severin şi Niculina Opriţa, înv. Drobeta Turnu Severin 

Se primesc soluţii la probleme propuse până la data de 1.03. 2010. Nu se primesc soluţii la P.S.

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

17

Clasa a-IV-a CLASA a III-a Probleme de sinteză P.S.III.1957. Scrie cel mai mare număr natural, apoi pe cel mai mic, care se poate forma cu cifrele 7, 0, 3, 6, 5, 1. Află diferenţa apoi suma lor. Liliana Dima, inst. Puţuri, Dolj P.S.III.1958. Află suma a 4 numere pare consecutive ştiind că al doilea este cât diferenţa dintre 402 şi 216. Nuţa Enea, inst. Craiova

P.S.III.1959. Scrie predecesorii şi succesorii numerelor: 13099 9009 10999 Luminiţa Guiu, inst. Craiova

P.S.III.1960. Elena a citit într-o zi 17 pagini dintr-o carte cu 128 pagini, a doua zi a citit tot atât cât în prima zi, iar a treia zi cu 28 mai multe decât i-au rămas necitite. Câte pagini a citit în a treia zi? Gina Negoescu, înv. Craiova P.S.III.1961. Maria deschide o carte la mijloc, iar suma numerelor ce indică paginile este 113. Câte pagini are cartea? Eugenia Petcu, inst. Craiova

P.S.III.1962. La un concurs, Nelu rezolvă 8 subiecte din 10. Din cele 8 rezolvate, 6 au răspunsuri corecte. Ce punctaj a primit dacă pentru un răspuns corect a primit 4 puncte, iar pentru un răspuns greşit i s-au scăzut 2 puncte? Ioana Baciu, înv. Craiova

P.S.III.1963. Înlocuiţi pe ,,a” şi ,,b” cu cifre potrivite, pentru a fi adevărate relaţiile: a) 3a8  2a8  a3a ; b) 94b  5ab  35b  1a9b . Viorica Tiţa, înv. Craiova P.S.III.1964. Află suma numerelor naturale pare de 3 cifre care au la ordinul zecilor 8 şi ordinul sutelor 3. Cât trebuie adăugat la suma găsită pentru a obţine 2000? Mariana Voinea, înv. Craiova P.S.III.1965. Aflaţi suma numerelor naturale de 3 cifre crescător consecutive cu cifra unităţilor egală cu suma dintre cifra sutelor şi cifra zecilor. Dorina Balosache, înv. Craiova P.S.III.1966. La un joc Ana a obţinut nişte puncte, iar Dana a obţinut dublu decât Ana. Adunând cele două punctaje s-au obţinut cu 20 mai puţin decât punctajul maxim, adică 200. Câte puncte le trebuie fiecăreia pentru a atinge punctajul maxim? Floarea Ştefan, înv. Craiova P.S.III.1967. Aflaţi suma numerelor naturale care scăzute din 263 dau rezultatul mai mare decât 258. Luminiţa Hodină, înv. Puţuri, Dolj

P.S.III.1968. Aflaţi suma numerelor naturale care adunate cu 312 dau rezultatul mai mic decât 216. Ştefan Ungureanu, înv. Craiova

P.S.III.1969. Numerele ,,m” şi ,,n” sunt naturale şi mai mici decât 5. Găsiţi mulţimea perechilor (m, n) pentru care: a) m+(n3)=5; b) m+(m+6)=11; c) m+8=14p. Marcela Miţaru, înv. Craiova P.S.III.1970. Suma a trei numere pare diferite care au cifra zecilor 8 şi cifra unităţilor aceeaşi, este 846. Care sunt numerele? Marcela Miţaru, înv. Craiova P.S.III.1971. Puneţi cifre în locul literelor astfel încât suma numerelor de pe verticală să fie egală cu suma numerelor de pe orizontală. 7

3

B

a

b

4

2

7

a Marcela Miţaru, înv. Craiova

P.S.III.1972. Tatăl are 34 ani, iar fiul 6 ani. Câţi ani va avea fiul când tatăl va avea 53 de ani? Rubrică realizată de Marcela Miţaru, înv. Craiova Teste de evaluare Testul nr. 1 1. Aflaţi termenul necunoscut: a) (723+535)a=608; b) b(633125)=715; c) (c+310)(216+308)=35. 2. Află suma numerelor formate din 3 cifre care are la sute cifra 8 iar la zeci cifra 5. 3. Doru şi Carmen au 7 ani şi 10 ani. Peste câţi ani vor avea împreună 27 ani? 4. La un concurs au participat 45 de elevi. Numărul copiilor care au terminat după Nicu a fost de 3 ori mai mare decât al celor care au terminat înaintea lui. Pe ce loc a terminat Nicu? Marioara Abagiu, înv. Amărăşti-Vâlcea

Testul nr. 2 1. Găsiţi regula şi continuaţi şirurile: a) 423; 534; 645; ____; ____; ____; b) 124; 126; 128; ____; ____; ____; c) 493; 490; 484; ____; ____; ____. 2. Folosind cifrele 5, 7, 0, 9 o singură dată formează cel mai mic şi cel mai mare număr de 4 cifre, apoi află diferenţa lor. 3. În trei zile Ana a citit dintr-o carte astfel: în prima zi de la pagina 16 la pagina 56 inclusiv, a doua zi de la pagina 63 la pagina 80 inclusiv iar restul, de la 81 până la sfârşit le-a citit a treia zi, adică 23 de pagini. Câte pagini are cartea? 4. Mama şi fiul au împreună 74 de ani. Fiul şi tatăl au împreună 76 de ani. Câţi ani are fiecare, dacă părinţii au împreună 108 ani? Rubrică realizată de Marcela Miţaru, înv. Craiova

18

Nr.2/2009

Clasa a III-a 

Probleme propuse P.P.III.1316. Calculează, grupând convenabil numerele: a) 723+564+1992+26+577+1008= b) 292+788+667+112+333+308= Maria Chiţu, înv. Craiova

P.P.III.1317. Într-o curte sunt două gâşte, 10 pui, un porc şi doi purcei. Câte picioare sunt în curte? Lucica Marin, inst. Craiova

P.P.III.1318. Numărul albinelor dintr-un stup reprezintă cel mai mare număr de 3 cifre diferite. Numărul albinelor care pleacă după polen reprezintă cel mai mic număr format din cifre pare. Câte albine au rămas în stup? Luminiţa Guiu, înv. Craiova

P.P.III.1319. Ionel şi Gelu au împreună 140 lei. Ionel a cheltuit jumătate din banii lui. Acesta a avut cu 20 lei mai mulţi decât Gelu. Câţi lei au rămas necheltuiţi de Ionel? Ioana Baciu, înv. Craiova P.P.III.1320. Patru numere sunt scrise pe plăcuţe astfel: 133 60 101 98 . Care este cel mai mic număr care se poate obţine alăturând plăcuţele? Dar cel mai mic? Află diferenţa dintre numerele găsite. Mirela Jugănaru, înv. Craiova

P.P.III.1321. Pe o stradă casele sunt numerotate pe partea dreaptă de la 1 la 25 cu numere impare, iar pe partea stângă de la 2 la 26 cu numere pare. Câte case sunt pe stradă? Paul Nine, înv. Craiova

P.P.III.1322. Într-o familie sunt 5 membri. Suma vârstelor acestor membri este 163. Cât va fi suma vârstelor peste 2 ani? Raluca Dinu Diaconu, inst. Craiova

P.P.III.1323. O veveriţă a strâns de 3 ori mai multe ghinde în anul trecut faţă de anul acesta, adică ar fi avut cu 24 mai multe decât are acum. Câte ghinde a strâns anul trecut? Diana Asproiu, inst. Craiova P.P.III.1324. La un magazin s-au adus 316 perechi de pantofi de 3 culori: maro, negri şi bej. Numărul celor maro este egal cu numărul celor negri, iar cei bej sunt 116. Câte perechi de pantofi sunt maro? Eugenia Stanciu, inst. Craiova

P.P.III.1325. Într-o clasă toţi elevii au 168 creioane colorate. 8 elevi au câte 3 creioane, 10 elevi au câte 10 creioane, iar restul au câte 4 creioane. Câţi copii sunt în clasă? Elena Mihalcea, inst. Craiova P.P.III.1326. De la un market, Elena a cumpărat două cutii de bomboane cu 7 lei fiecare, un set de vase cu 83 lei şi 3 perechi de ciorapi cu 12 lei fiecare. La casă a prezentat o bancnotă de 200 lei. Cât a primit rest? Elena Gavrilă, înv. Craiova

P.P.III.1327. Într-o staţiune de munte sunt 34 de cabane. Preţul era 150 lei pe zi. Jumătate din cabane au fost ocupate pentru 4 zile. Câţi lei s-au încasat? Florentina Didu, inst. Craiova P.P.III.1328. La o grădiniţă s-au adus 163 jucării, cu 23 mai mult figuri geometrice, iar planşe cu desene cu 34 mai puţine decât jucării. Câte obiecte au fost aduse? Carmen Marinescu, înv. Craiova

P.P.III.1329. Ce valoare numerică pot avea literele: a) a+364+108=805; b) b316548=1368; c) 374c+109=512. P.P.III.1330. Într-o livadă sunt 75 pomi fructiferi: 5 gutui, meri de două ori mai mulţi decât peri, iar pruni tot atât cât meri. Câţi pruni sunt în livadă? Constantina Pătrăşcoiu, înv. Craiova P.P.III.1331. Maria a citit jumătate dintr-o poveste şi jumătate din altă poveste, în totl 44 pagini. Câte pagini are cartea dacă celelalte 3 poveşti rămase necitite au împreună 78 pagini? Cornelia Epureanu, înv. Craiova

P.P.III.1332. O carte costă de 3 ori mai mult decât un caiet. Robert avea bani să-şi cumpere 5 caiete dar a cumpărat numai cartea şi i-au rămas 16 lei. Cât a costat cartea? Câţi lei a avut Robert asupra sa?M Constantina Dinu, inst. Castranova

P.P.III.1333. Câte numere se pot scrie cu trei cifre distincte? Marian Ciuperceanu, inst. Craiova

P.P.III.1334. Vlad are 132 de timbre. Ştiind că în clasorul său intră 78 de timbre şi că sunt deja puse în el 29 de timbre, câte mai poate pune în continuare? Dar dacă ar fi avut 117 timbre şi trei clasoare de aceeaşi mărime în care ar intra în fiecare câte 55 de timbre şi un clasor ar avea deja 18 timbre în el? Marian Ciuperceanu, inst. Craiova P.P.III.1335. Află termenul necunoscut: a) 200x+11=100; b) 60024+x=801; c) 2x+102=122; d) 3004a=280; e) 27:3+x=89; f) 2009x=101+18. Anica Vasilache, înv. Iaşi

P.P.III.1336. Scade din suma numerelor 99 şi 105 diferenţa dintre cel mai mare număr par scris cu trei cifre şi cel mai mare număr scris cu trei cifre distincte. Anica Vasilache, înv. Iaşi P.P.III.1337. Aflaţi: a) jumătate din suma vecinilor numărului 345; b) a zecea parte din diferenţa numerelor 367 şi 27; c) sfertul jumătăţii numărului 100. Mălina Rîjniţă, inst. Craiova

P.P.III.1338. Stabileşte valoarea de adevăr a expresiilor, notând cu A pe cele adevărate şi cu F pe cele false: 10(6+3)+510=1400; (333)(222)=35; (268) : 67=(214) : 4. Mihaela Iordăchiţă, inst. Craiova

P.P.III.1339. Scăzătorul este cu 82 mai mic decât descăzutul, iar diferenţa este cu 43 mai mare decât scăzătorul. Care este descăzutul? Viorica Ceauşescu, înv. Motru, Gorj P.P.III.1340. Se dau numerele: a=276, b este cu 268 mai mic decât a, iar c este de 7 ori mai mare decât b. Calculaţi: a+bc=; (a+b)(a+b)=



Se primesc soluţii la probleme propuse până la data de 1.03. 2010. Nu se primesc soluţii la P.S.

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

19

Clasa a-IV-a Domnica-Claudia Pamfiloiu, inst. Mătăsari, Gorj

P.P.III.1341. La o florărie, în 3 vase erau70 de crizanteme. După un timp s-au vândut 15 crizanteme din primul vas şi 7 din al treilea vas şi în fiecare vas a rămas acelaşi număr de crizanteme. Câte crizanteme au rămas? Adriana Ailiesei, inst Iaşi

P.P.III.1342. În casa celor şapte pitici a venit şi Albă ca Zăpada. De câţi pantofi au nevoie pentru a se încălţa? Rezolvă problema printr-un singur exerciţiu. Câte perechi reprezintă rezultatul? Nicoleta Claudia Galea, înv Timişoara

P.P.III.1343. În curtea bunicii 3 vulpi pândesc 5 pui, dar şi pe Azorel, câinele. Câte picioare se află în curtea bunicii? Rezolvă problema în două moduri, gândindu-te că eşti în clasa a II-a, apoi în clasa a III-a. (Foloseşte operaţii diferit). Scrie şi exerciţiul problemei. Nicoleta Claudia Galea, înv Timişoara

P.P.III.1344. Foloseşte paranteze pentru ca să avem egalităţi: a) 64:24167=56; b) 7212:67=70;

c) 13+41:54:6=6. Adriana Ailiesei, inst. Iaşi

Rubrică realizată de Marcela Miţaru, înv. Craiova

Concursul rezolvitorilor C.R.III.1. Suma temperaturilor de luni, marţi şi miercuri de săptămâna aceasta este un număr cuprins între 62 şi 65. Să se afle ce temperaturi s-au înregistrat, dacă ştim că în fiecare zi a fost cu un grad Celsius mai cald decât în ziua precedentă. (10 puncte) Corina Teşcu, inst. Iaşi

C.R.III.2. Dacă ştim că într-o clasă există trei elevi care s-au născut în aceeaşi lună, care este numărul minim de elevi din acea clasă? (9 puncte) Mihaly Bencze, prof. Braşov

C.R.III.3. Costin trage cu arcul către un ,,mănunchi” de cinci baloane. El vede baloane albe şi roşii. Nimereşte de două ori şi nu mai vede baloanele albe. Mai nimereşte o dată şi nu mai vede nici baloane roşii. Câte baloane din fiecare fel erau? (8 puncte) Ion Săcăleanu, prof. Hîrlău, Iaşi

C.R.III.4. Un lift poate duce o greutate de cel mult 200 kg. Dacă Ion are 80 kg, Maria 55 kg, Vali 90 kg, Mihai 60 kg şi Ştefan 75 kg, care din persoanele amintite pot intra în lift fără să aibă probleme? (7 puncte) Marian Ciuperceanu, inst. Craiova

C.R.III.5. Avem 7 kilograme de cireşe şi dispunem pentru cântărire de o balanţă şi o greutate de 1 kg. Să se separeu o cantitate de 3 kg de cireşe printr-o singură cântărire. (5 puncte) Margareta Constandache, înv. Bacău

Soluţiile problemelor de la „Concursul Rezolvitorilor” din Alpha nr. 1/2009 C.R.III.1. Anca citeşte o carte. Dacă nu ar fi citit ultimele 5 pagini ar fi mai avut de citit trei sferturi din carte. Dacă mai citeşte 4 pagini ajunge la jumătatea cărţii. Aflaţi: a) câte pagini avea carte; b) câte pagini a citit Anca? (10 puncte) Georgeta Panfir, înv. Feteşti

Soluţie: Se observă că 5 cărţi+4 cărţi reprezintă un sfert. Deci 94=36 pagini are cartea; 9+5=14 (pagini a citit Anca) C.R.III.2. Câte numere de 3 cifre se pot scrie cu cifrele x, y, z, dacă xyz=8?. (9 puncte) Marian Ciuperceanu, inst. Craiova

Soluţie: 118=8118; 811=8811; 181=8181; 142=8142; 124=8124; 241=8241; 214=8214; 412=8 412; 421=8421; 222=8222. Deci se pot scrie 10 numere: 118, 224, 142, 181, 214, 222, 241, 412, 421, 811. C.R.IV.3. Anca înşiră mărgele pentru păpuşa ei astfel: una roşie, una galbenă, una verde, una albă, una roşie, una galbenă ….. însumând 28. Câte mărgele are de fiecare fel? Ce culoare va avea a 17 mărgică? (8 puncte) Viorica Hereş, înv. Moineşti

Soluţie: Avem câte 4 mărgele de culori diferite. Deci avem 28:4=7 mărgele de fiecare culoare. 17=44+1, deci avem patru grupe complete de patru culori şi a cincea-a grupă are o singură bilă cu care începe o grupă şi este de culoare roşie. C.R.IV.4. Comparaţi numerele naturale x, y şi z ştiind că zx=1986 şi zy=2009. (7 puncte) Doina şi Mircea Stoica, prof. Arad

Soluţie: zx=1986z=x+1986zx cu 1986; zy=2009z=y+2009zy cu 2004. Deci yxz. C.R.IV.5. Elena a citit 3 cărţi, în total 100 pagini. Primele două cărţi au împreună 72 pagini, iar ultimele două cărţi au 68 pagini. Câte pagini are fiecare carte? (6 puncte) Margareta Constandache, înv. Bacău

Soluţie: Din datele problemei rezultă: Din a+b+c=100 şi a+b=7272+c=100, de unde c=10072, deci c=28. Din c=28 şi b+c=68b+28=68, de unde b=40. Din b=40 şi a+b=72a=32. Prima carte are 32 pagini, a doua are 40 pagini şi a treia are 28 pagini. Rubrică realizată de Marcela Miţaru, înv. Craiova



Se primesc soluţii la Concursul rezolvitorilor până la data 01.03. 2010.

20

Nr.2/2009

Clasa a III-a CLASA a IV-a Probleme de sinteză P.S.IV.1953. Rezolvaţi exerciţiile şi comparaţi rezultatele: 5+4 (5+4)7; 189 : 3 (189) : 3;

4+8+70(4+8+7)0 Elena Grigore, inst. Craiova

P.S.IV.1954. Care este cel mai mare număr impar de 4 cifre distincte? Dar cel mai mic? Calculaţi sfertul diferenţei dinte ele. Marlena Florea, înv. Craiova P.S.IV.1955. Ce număr adunăm la sfertul succesorului celui mai mare număr de 3 cifre pentru a obţine dublul celui mai mic număr de 4 cifre consecutive? Gina Ştefănescu, înv. Radovan

P.S.IV.1956. Scrie toate numerele de cinci cifre distincte de forma 7a138. Calculează suma şi diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic număr. Sorina Anca Popescu, inst. Ţandăra

P.S.IV.1957. Din ce număr scad predecesorul celui mai mare număr par de 4 cifre pentru a obţine succesorul celui mai mic număr impar de 4 cifre. Aida Simanschi, înv. Craiova

P.S.IV.1958. Scrie 5 numere pare consecutive, astfel încât unul dintre ele să fie cel mai mare număr par de 5 cifre. Câte soluţii ai găsit? Denisa Popescu, inst. Ostroveni

P.S.IV.1959. O gospodină a cumpărat 6 lădiţe cu cireşe. Ştiind că în 8 lădiţe sunt cu 42 kg mai puţine decât în 15 lădiţe de acelaşi fel, ce cantitate de cireşe a cumpărat gospodina? Dacă din 4 kg de fructe ies 5 borcane de gem, aflaţi câte borcane cu gem s-au obţinut din întreaga cantitate de cireşe. Narcisa Riza, înv. Craiova

P.S.IV.1960. Bunica are 200 găini, curci şi gâşte. Ştiind că 175 păsări nu sunt gâşte, iar numărul curcilor este un sfert din numărul găinilor, aflaţi câte păsări sunt din fiecare fel. Cornelia Mihăiescu, inst. Craiova

P.S.IV.1961. Mă gândesc la un număr. Dacă îl adun cu predecesorul lui şi cu succeorul lui, obţin cel mai mic număr de 4 cifre distincte. La ce număr m-am gândit? Elena Cimpoieru, inst. Craiova

P.S.IV.1962. Suma dintre triplul unui număr şi jumătatea aceluiaşi număr este egală cu cel mai mare număr de 3 cifre. Aflaţi numărul. Daniela Brătăşeanu, inst. Craiova

P.S.IV.1963. Mama a cumpărat doi saci de ceapă care cântăreau împreună 30 kg. Pe primul a plătit 26 lei, iar pe al doilea 34 lei. Câte kg avea fiecare sac? Câţi lei costă 5 kg şi jumătate de ceapă? Hermina Dincă, înv. Craiova

P.S.IV.1964. Tatăl are 70 de ani, iar fiul său are 40 de ani. Cu câţi ani în urmă vârsta fiului era un sfert din vârsta tatălui? Niculina Marinaş, inst. Craiova

P.S.IV.1965. Dacă împart două numere, obţin câtul 4, iar restul este 2. Ştiind că suma dintre deîmpărţit, împărţitor şi cât este 51, să se determine cele două numere naturale. Maria Voinicu, inst. Negoieşti

P.S.IV.1966. Diferenţa a două numere naturale este cu 50 mai mică decât dublul sumei lor, iar suma lor este de 3 ori mai mare decât diferenţa lor. Să se determine cele două numere. Ioana Bădeanu, inst. Craiova

P.S.IV.1967. Scrieţi numerele naturale de forma a 5 a : a) pare; b) impare. Veronica Prufu, înv. Craiova P.S.IV.1968. Calculaţi: - numărul natural care împărţit la un număr de o cifră, dă câtul 59 şi restul 8; - numărul natural care împărţit la un număr de o cifră dă câtul egal cu cel mai mic număr impar de 3 cifre şi restul egal cu cel mai mare număr par de o cifră. Maria Ruţă, inst. Craiova

P.S.IV.1969. Să se determine numerele consecutive a, b, c din expresia: 20093(a+b+c)+729:81=1982. Constantina Dinu, inst. Castranova

P.S.IV.1970. Să se afle numărul care, adunat cu cel mai mare număr par de trei cifre, ne va da ca rezultat expresia: 5(49+122+55:55)(55+5):3:5= Corina Teşcu, inst. Iaşi Rubrică realizată de Luşa Marcu, inst. Craiova Teste de evaluare Testul nr. 1 1. Aproximează la sute, apoi la mii, numerele: 25307; 67088; 105639; 278412. 2. Calculaţi 2a3b, ştiind că: a=101074 : 2+66 : 4 880

b=88 : 4 : 2+99 : 3.

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

21

Clasa a-IV-a 3. Trei televizoare costă împreună 8435 lei. Primele două costă 6748 lei, iar ultimele două 5966 lei. Câţie lei costă fiecare televizor? 4. Câte cifre se folosec pentru numerotarea unei cărţi care are 182 pagini? Luşa Marcu, inst. Craiova

Testul nr. 2 1. Completaţi: a) Cel mai mare număr de 5 cifre distincte este ….. b) Cel mai mic număr par de 4 cifre identice este ….. c) Cel mai mic număt par de 4 cifre diferite este ….. d) Cel mai mare număr par de 6 cifre este ….. 2. Calculaţi diferenţa dintre succesorul celui mai mare număr de 4 cifre şi precedentul celui mai mare număr par de 4 cifre identice. 3. La o florărie s-au adus 700 trandafiri, garoafe şi crizanteme. Câte flori sunt din fiecare fel, dacă 512 nu sunt trandafiri, iar 484 nu sunt crizanteme? 4. Câte pagini are o carte dacă pentru numerotarea ei s-au folosit 873 cifre? Nicolaie Ungureanu, prof. Craiova

Testul nr. 3 1. Scrie cu cifre numerele: a) un milion o sută trei; b) şapte sute optzeci de mii unu; c) o sută cinci mii treizeci; d) treisprezece milioane şase mii şase sute. 2. Ce număr scădem din succesorul celui mai mare număr de 4 cifre pentru a obţine predecesorul celui mai mic număr de 4 cifre? 3. Determină numărul natural de forma abc , ştiind că: a+b+c=cel mai mic număr de două cifre; a+b=cel mai mic număr par nenul de o cifră; b+c=cel mai mare număr de o cifră. 4. Dacă ar mai avea jmătate din suma pe care o are şi încă 150 lei, mama ar putea cumpăra un aragaz care costă 780 lei. Ce sumă are mama acum? Viorica Pîrvu, prof. Ostroveni, Dolj

Rubrică realizată de Luşa Marcu, inst. Craiova Probleme propuse P.P.IV.1319. O carte are atâtea pagini cât cel mai mic număr impar de terei cifre, cu cifra zecilor 8. Câte cifre se folosesc la numerotarea paginilor acestei cărţi? Viviana Constantin, inst Craiova P.P.IV.1320. Determină un număr natural de forma abc , ştiind că: a+b=cel mai mare număr de o cifră; a+c=cel mai mic număr impar de o cifră; b+c=cel mai mare număr par de o cifră. Lavinia Vulpe, inst. Craiova P.P.IV.1321. Determină un număr natural de forma xyz , ştiind că: x+y=dublul celui mai mare număr par de o cifră; y+z=cel mai mic număr impar de două cifre; x+z=cel mai mare număr de o cifră. Ion Dumitrescu, înv. Sadova, Dolj

P.P.IV.1322. Dan a cumpărat 10 caiete dictando şi 7 creioane, plătind 54 lei. Dacă 6 creioane costă cât 3 caiete, aflaţi preţul fiecărui obiect. Lenuţa Murea, prof. Bacău

P.P.IV.1323. 8 găini şi 9 raţe mănâncă într-o lună 60 kg porumb. Dacă 4 găini mănâncă cât 3 raţe, calculaţi câte kg mănâncă pe lună fiecare pasăre. (Rezolvaţi în două moduri) Maria Ciocan, educ. Alimpeşti, Gorj

P.P.IV.1324. Un constructor a realizat în fiecare an cu o clădire mai mult decât în anul precedent. A constatat că în al şaptelea an a construit de 4 ori mai multe clădiri decât în primul an. Câte clădiri a constuit în cei şapte ani? Denisa Popescu, inst. Ostroveni, Gorj

P.P.IV.1325. Să se determine 3 numere naturale care îndeplinesc simultan condiţiile: a) suma lor este 28; b) adunând la primul număr 3, scăzând din al doilea număr 3, înmulţind al treilea număr cu 3, obţinem acelaşi rezultat. Daniela Brătăşeanu, inst. Craiova

P.P.IV.1326. Ana, Maria şi Radu au împreună 70 cărţi. Dacă Ana ar avea cu 5 cărţi mai multe, Maria cu 5 cărţi mai puţine iar Radu de 5 ori mai puţine cărţi, ar avea un număr egal de cărţi. Câte cărţi are fiecare? Elena Cimpoeru, inst. Craiova

P.P.IV.1327. Determinaţi toate numerele naturale care împărţite la 4 dau câtul egal cu cel mai mic număr de două cifre consecutive. Gina Ştefănescu, inst. Radovan P.P.IV.1328. Scrieţi cel mai mare şi cel mai mic număr care împărţite la cel mai mare număr par de o cifră dau câtul egal cu cel mai mic număr impar de două cifre distincte. Calculaţi apoi suma şi diferenţa celor două numere găsite. Niculina Marinaş, inst. Craiova

P.P.IV.1329. Aflaţi numerele naturale a, b ştiind că: 

Se primesc soluţii la probleme propuse până la data 1.03. 2010. Nu se primesc soluţii la P.S.

22

Nr.2/2009

Clasa a III-a ab=cel mai mare număr de 3 cifre distincte;

a : b=4(rest 237) Sorina Anca Popescu, inst. Ţandăra, Dolj

P.P.IV.1330. Aflaţi numerele naturale x, y ştiind că: x+y=cel mai mic număr de 4 cifre distincte;

x:y=1 (rest 77) Maria Voinicu, inst. Negoieşti, Dolj

P.P.IV.1331. Fără a efectua înmulţirile, calculaţi ultima cifră a produsului:

78919992001200220032004= Maria Popescu, inst. Craiova

P.P.IV.1332. Suma a 5 numere impare consecutive este cu 516 mai mare decât numărul din mijlocul şirului. Aflaţi cele 5 numere. Ioana Bădeanu, inst. Craiova

P.P.IV.1333. Dacă scădem 800 din înzecitul unui număr, obţinem cu 51 mai puţin decât triplul acelui număr. Aflaţi numărul. Maria Ruţă, inst. Craiova P.P.IV.1334. Mă gândesc la un număr. Dacă din dublul acestui număr scad 750, obţin cu 1 mai puţin decât sfertul numărului. La ce număr m-am gândit? Cornelia Mihăiescu, inst. Craiova

P.P.IV.1335. Din cel mai mare număr par scris cu cifrele 3, 2, 6, folosite o singură dată, scade sfertul jumătăţii precedentului numărului 65. Anica Vasilache, înv. Iaşi

P.P.IV.1336. Doi fraţi au împreună o sumă de bani cuprinsă între 260 şi 300 lei. Unul din ei îi spune celuilalt: ,,Dacă tu mi-ai da 50 de lei, eu aş avea de două ori mai mult decât ai avea tu dacă eu ţi-aş da 50 de lei. Câţi lei are fiecare? Maria Ţoc, inst Bacău

P.P.IV.1337. Într-un catalog sunt numerotaţi 10 elevi. Emi a observat că produsul numerelor de ordine al colegilor din faţa lui este egal cu produsul numerelor de ordine al elevilor de după el din catalog. Ce număr de ordine are la catalog Emi? Ion Săcăleanu, prof. Hîrlău, Iaşi P.P.IV.1338. Determinaţi cel mai mare număr natural care împărţit la 23 dă câtul cu 19 mai mare decât restul. Simona Oprescu, înv. Câmpulung-Argeş

P.P.IV.1339. Aflaţi diferenţa dintre produsul şi suma dintre cel mai mare număr par de 3 cifre distincte şi cel mai mic număr impar de 3 cifre distincte. Minodora Boteanu, înv. Câmpulung –Argeş P.P.IV.1340. Se dă mulţimea A=3, 7, 15, 8x1, 5a+3. a) Dacă x=3, cât trebuie să fie a pentru ca SA=1001? b) Dacă x=4, în elementele mulţimii A sunt scrise într-o anumită ordine, află numărul a. Ştefan Ţifui, prof. Grinţieş, Neamţ

P.P.IV.1341. Întreitul unui număr mărit cu 2 a fost înmulţit cu 5. Produsul obţinut, micşorat cu 4, a fost împărţit la 7 şi s-a obţinut 18. Care este numărul cu care s-u început operaţiile? Elena Grumăzescu, prof. Ceahlău, Neamţ

P.P.IV.1342. Să se determine patru numere naturale consecutive ştiind că suma lor este cu 66 mai mare decât cel mai mic număr. Constantina Dinu, inst. Castranova 0 P.P.IV.1343. În prima zi a lunii februarie, luni s-a înregistrat pe graficul temperaturii 1 C. Copiii observă că din două în 0 două zile temperatura creşte cu 3 . Ce temperaturi se înregistrează în ultima luni din luna februarie? Corina Teşcu, inst. Iaşi

P.P.IV.1344. Să se afle numărul, care adunat cu cel mai mare număr par de trei cifre, ne va da ca rezultat expresia: 5(49+132+55:55)(55+5):3:5. Corina Tescu, inst. Iaşi

P.P.IV.1345. Andrei, Mihai şi Sebastian au împreună 1205 lei. Andrei şi Mihai au împreună 6044 lei. Mihai şi Sebastian au împreună 10018 lei. Câţi lei are fiecare? Mariana Mirea, inst Valea Macrişului, Ialomiţa

Rubrică realizată de Luşa Marcu, inst. Craiova Rubrică realizată de Luşa Marcu, inst. Craiova Concursul rezolvitorilor C.R.IV.1. Dacă se pun câte 3 flori într-o vază, rămân 6 flori fără vază. Dacă se pun câte 4 flori într-o vază, rămân 2 vaze goale. Câte flori şi câte vaze sunt? (10 puncte) Simona Oprescu, înv. Câmpulung Argeş

C.R.IV.2. În anul 2010 eu voi avea vârsta egală cu de 4 ori suma cifrelor anului în care m-am născut. Ce vârstă voi avea? (9 puncte)



Se primesc soluţii la Concursul rezolvitorilor până la data 1.03. 2010.

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

23

Clasa a IV-a Victor Săceanu, prof. Drobeta Turnu Severin

C.R.IV.3. Reconstituiţi adunarea: D O L J + OLJ LJ J 2 098

(8 puncte) Mircea Mario Stoica, prof. Arad

C.R.IV.4. Fie numărul a=1234567891011121314…..19601961. Determinaţi cel mai mare număr posibil după înlăturarea a 160 de cifre. (7 puncte) Andreea şi Mircea Mario Stoica, prof. Arad

C.R.IV.5. Ciprian are o sumă de bani pe care şi-a propus să o cheltuiască astfel: în prima zi jumătate din sumă, a doua zi jumătate din rest, a treia zi jumătate din noul rest şi a patra zi suma rămasă 50000 lei. Ce sumă a avut Ciprian? (6 puncte) Felicia Bejenaru, inst. Motru

Rubrică realizată de Viorica Ceauşescu, înv. Motru Soluţiile problemelor de la „Concursul Rezolvitorilor” din Alpha nr. 1/2009 C.R.IV.1. La concursul de intrare în rezidenţiat un medic trebuie să răspundă la 100 de întrebări. Pentru un răspuns corect el primeşte 10 puncte şi pierde 3 puncte pentru un răspuns greşit. Ştiind că medicul a obţinut 571 de puncte, aflaţi câte răspunsuri a greşit şi câte răspunsuri bune a dat? (10 puncte) Gh.Paicu, prof. Motru

Soluţie: În total se pot obţine 100100=1000 puncte. Punctele care s-au pierdut sunt 1000571=429. Punctele pierdute la fiecare răspuns greşit sunt 10+3=13. Răspunsuri greşite sunt 429:13=33. Răspunsuri corecte sunt 10033=67. Verificare: 6710333=67099=571. C.R.IV.2. Un număr de şase cifre începe cu 1. Dacă se mută această cifră de la începutul numărului la sfârşitul său, numărul obţinut este întreitul numărului dat. Să se afle acel număr. (9 puncte) Marinela Monica Rusu, prof.Bîrca, Dolj

Soluţie: Dacă cifra ce reprezintă sutele de mii este 1, atunci numărul se va putea scrie sub forma: 100000+x. x reprezintă numărul format de ultimele două cifre. Dacă mutăm cifra 1 la sfârşit ea devine cifra unităţilot, iar x devine de 10 ori mai mare, şi astfel numărul se va scrie: 10x+1. Acesta din urmă trebuie să fie de 3 ori mai mare decât cel iniţial, deci: 3(100000+x)=10x+1; 7x=299999, x=42857 numărul căutat este: 142857. C.R.IV.3. Suma a două numre este 240, iar diferenţa lor este de 2 ori mai mare decât numărul mai mic. Să se afle cele două numere. (8 puncte) Veronica Ţîrcomnicu, inst. Balş

Soluţie: Folosim metoda grafică:

numărul mare este 180 şi cel mic 60.

C.R.IV.4. Determinaţi cifra x astfel încât: x00  x01  x02  x05  2008 .

(7 puncte) Doina şi Mircea Stoica, prof. Arad

Soluţie: x00  x01  x02  x05  2008 100x+100x+1+100x+2+100x+5=2008400x+8=2008400x=20088400x= =2000x=2000:400x=5 cifra x este 5. C.R.IV.5. Suma a 9 numere naturale consecutive este 2007. Aflaţi numerele. (6 puncte) Mircea Stoica, prof. Arad

Soluţie: Notăm numerele cu n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6, n+7 şi n+8 /1). Avem:n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6+n+ +7+n+8=2007n+n+n+n+n+n+n+n+n+1+2+3+4+5+6+7+8=20079n+36=20079n=2007369n=1971n=1971:9 n=219 deci numerele sunt 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226 şi 227 Rubrică realizată de Luşa Marcu, înv. Craiova

24

Nr.2/2009

Clasa a-V-a CLASA a V-a Probleme de sinteză P.S.V.2104. Scrieţi numărul de forma ab ştiind că a şi b sunt cifre consecutive iar a=7. P.S.V.2105. Scrieţi toate numerele naturale de forma xyz cu xyz cu x, y, z numere naturale consecutive. P.S.V.2106. Scrieţi toate numerele de forma 1ab care îndeplinesc simultan condiţiile: a) 150 1ab 180; b) ba=2. P.S.V.2107. Determinaţi cifrele x şi y astfel încât: a) 69 x 2 ; b) x 45  84 y . P.S.V.2108. Determinaţi toate numerele naturale de două cifre care au suma cifrelor 6. P.S.V.2109. Să se determine cifrele x, y, z din sistemul zecimal distincte două câte două astfel încât: xx 4  y 3 y  3zz  987 P.S.V.2110. Calculaţi: a) 49991999+1998499939964999; b) 999256256998156; c) 7910560:14+48:12342(240:120+3)4110. P.S.V.2111. Produsul a două numere naturale este 4440. Dacă se scade 6 dintr-un factor, produsul se micşorează cu 144. Aflaţi cele două numere. P.S.V.2112. Calculaţi: S=(3+4+…+13)+(33+44+…+143)+(333+444+…+1443). P.S.V.2113. Găsiţi toate numerele naturale care: a) împărţite la un număr de o cifră dau câtul 25 şi restul 7. b) împărţite la un număr de două cifre dau câtul 40 şi restul 98. P.S.V.2114. a) Determinaţi restul împărţirii numărului 123…40+22. b) Dacă x, y sunt cifre nenule în baza 10 găsiţi restul împărţirii numărului xy18  8  xy la 18. P.S.V.2115. Calculaţi: 29  8 5 90  a)  54  :  55   538   510  515  : 527   657 : 656  12008   58  3  ;          

b) 92n3  22n 1  1 dacă 3 n =9. P.S.V.2116. Să se arate că: a) Numărul N=481+2(1+2+3+…+480) este pătrat perfect. b) Diferenţa dintre un număr de 3 cifre şi răsturnatul său nu poate fi pătrat perfect. P.S.V.2117. Să se afle ultima cifră a numărului: a) 1111  2222  ...  99 99 ; P.S.V.2118. Arătaţi că numărul 9

451

103

P.S.V.2119. Arătaţi că numărul 3



134

7

2

41

b) 2n1  5n 2  2n  5n1 . se divide cu 10.

se divide cu 5.



P.S.V.2120. Se dau mulţimile: A= 23 ; 3x  1 ; B  y  1; 3 x  2 . a) Determinaţi valorile lui x şi y pentru care AB are două elemente. b) Pentru x, y determinate calculaţi: AB, AB, AB. P.S.V.2121. Determinaţi mulţimile A şi B pentru care: a) AB=3; 5; b) 1; 6B=1; c) B1; 3; 5; 6; 7; d) card A=2, card B=4.   9 P.S.V.2122. Determinaţi elementele mulţimii A=  x  N  N x 1   P.S.V.2123. Pentru ce valori ale lui xN: 5 2 a) fracţia este echiunitară; b) fracţia este supraunitară; 3x  2 x 1 x3 c) fracţia ese subunitară. 8 Rubrică realizată de Aurel Pancu, prof. Craiova Probleme propuse

*1

P.P.V.1262. Se dau mulţimile A=xNx=5n1, nN şi B=xNx=7k+2, kN.Determinaţi A\B. Mihaela Daniela Enache, prof. Iaşi

P.P.V.1263. Să se afle câte numere naturale de forma abc verifică simultan condiţiile: I. n se divide cu 6; II. n303. Lucian Bolnăvescu, prof. dr. Craiova 

Se primesc soluţii la probleme propuse până la data de 1.03. 2010. Nu se primesc soluţii la P.S.

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

25

Clasa a IV-a P.P.V.1264. Având o cutie cu bomboane, Emi a vrut să dea câte 4 bomboane prietenilor săi, dar ori el, ori fratele său nu ar mai fi rămas cu nici o bomboană. Atunci el îi dă fratelui 2 bomboane, iar pe restul şi le împarte în mod egal cu prietenii. a) Câţi prieteni are Emi? b) Câte bomboane sunt în cutie? c) Câte bomboane îi revin lui Emi? Ion Săcăleanu, prof. Hîrlău, Iaşi P.P.V.1265. Un număr natural n împărţit la 5 dă restul 6, iar împărţit la 6 dă restul 3. Să se afle restul împărţirii lui n la 30. Constantin Ştefan, prof. Craiova

P.P.V.1266. Fie numărul A=7142128…2009, format prin alăturarea cifrelor numerelor din şirul 7, 14, …, 2009. a) Scrieţi următoarele trei numere ce urmează în şir după 28. b) Calculaţi suma 7+14+21+…+2009. c) Câte cifre are numărul A? Mariana Mitea, prof. Cugir P.P.V.1267. Determinaţi numerele x, y, z prime astfel încât: 3x+4y+2z=80. Ramona Bălăşoiu, prof. Craiova P.P.V.1268. Să se arate că nu există nici un număr natural care împărţit la 4 să dea restul 2 şi împărţit la 6 să dea restul 1. Cristian Dinu, prof. Craiova

P.P.V.1269. Să se determine a, b, c, astfel ca numerele de forma 3a3b5c 8 să se dividă prin 792. Cristian Moanţă, prof. Craiova

1999

P.P.V.1270. Calculaţi suma cifrelor numărului a=10 1999. Camelia Dană, prof. Craiova 1 2 2009 P.P.V.1271. Fie S=2 +2 +…+2 . Stabiliţi dacă S+2 este pătrat perfect. Stabiliţi dacă S se divide cu 31. 71

Nicoleta Cruceru, prof. Craiova

82

81

P.P.V.1272. Care dintre mulţimile A şi B are elemente mai multe: A= xN3 x3 , B= yNy3 . Ştefan Cruceru, prof. Craiova

P.P.V.1274. Determinaţi numerele de forma abc care satisfac condiţia: 2a=bb+c2. Ştefan Ţifui, prof. Grinţieş, Neamţ P.P.V.1275. Arătaţi că suma tuturor numerelor naturale de patru cifre identice este un număr divizibil cu 11. P.P.V.1276. Arătaţi că numărul N=2+4+6+…+4016+2009 este pătrat perfect. n n+1 n+1 n P.P.V.1277. Care este ultima cifră a numerelor: a) 2 5 +3; b) 2 5 3? P.P.V.1278. Să se determine cifrele a, b în baza zece astfel încât:

Mariana Pătraşcu, prof. Craiova Ilie Rădulescu, prof. Craiova Florentina Păunescu, prof. Craiova

aaa  bb ab =1234.  a b 2 D.M.Bătineţu-Giurgiu, prof. Bucureşti

P.P.V.1279. Care sunt valorile pe care le poate lua suma S= 219 a  1991b ştiind că numărul 219 a se divide cu 2 iar numărul 1991b se divide cu 5. Florentina Văcuţă, prof. Craiova P.P.V.1280. Să se determine x astfel încât numărul N= 3 x7  x8  3x  76 să fie pătrat perfect. Aurel Pancu, prof. Craiova

P.P.V.1281. Fie A mulţimea numerelor de forma n= abcd care îndeplinesc simultan condiţiile: 1) n este număr par; 2) n este pătrat perfect; 3) n se divide cu 45. Lucian Bolnăvescu, prof. dr. Craiova

P.P.V.1282. Arătaţi că numărul A=12n26+3n+24n+2+2n+36n230 este divizibilă cu 2010 pentru orice nN. 3

3

3

2010

P.P.V.1283. Aflaţi numerele naturale a, b, c astfel încât a +b +c =6 .   7n  1 P.P.V.1284. Determinaţi elementele mulţimii M=  x  Z x  , n  N . 2 n  1  

Elena Rîmniceanu, prof. Drobeta Turnu Severin Victor Săceanu, prof. Drobeta Turnu Severin

Elian Neamţu, prof. Bîlnăveşti, Drobeta Turnu Sevein 2 Bianca Cruţ, prof. Iaşi

P.P.V.1285. Să se arate că nu există numere naturale x şi y, astfel încât x 100y=2002. P.P.V.1286. Aflaţi temenul necunoscut din egalitatea: 4x+12x+20x+…+396x=990000.

Cristina Mihalca, prof. Baia Mare

P.P.V.1287. Elevii unei clase au participat la olimpiada de matematică şi la cea de română. La olimpiada de matematică au participat 8 elevi, la română de două ori mai mulţi. Află numărul elevilor din clasă dacă 5 elevi au participat la ambele olimpiade, iar 7 nu au participat la nici una. Elvira Răduţ, prof. Motru P.P.V.1288. Un număr natural împărţit la 5 dă restul 4, iar împărţit la 6 dă restul 5. Ce rest va da acel număr la împărţirea cu 30? Florentina Vieru, prof. Bacău 2 2 2 3 P.P. V. 1289. Rezolvaţi ecuaţia: x +y +z =2010 1, x, y, zN. Sorana şi Răzvan Dinu, prof. Ialomiţa P.P. V. 1290. Descoperă regula şi continuă şirul cu încă 3 numere: 2, 5, 11, ….. . Ana Cojocaru, prof. Iaşi P.P. V. 1291. În numerotarea paginilor unei cărţi s-a folosit cifra zero de 41 ori. Câte pagini are cartea, dacă ultima cifră a ultimei pagini este tot zero? Ana Cojocaru, prof. Iaşi Rubrică realizată de Aurel Pancu, prof. Craiova Concursul rezolvitorilor 2

 10n1  5   . C.R.V.1. Să se arate că 11 ... ... 25  1 22     3 n ori n1 ori  

(10 puncte) Mihaly Bencze, prof. Braşov

C.R.V.2. Dacă a, b, c, d sunt cifre nenule în baza 10 astfel încât ab  bc  ca  dd atunci abc  bca  cab  ddd . (9 puncte) D.M. Bătineţu Giurgiu, prof. Bucureşti



Se primesc soluţii la Concursul rezolvitorilor până la data de 1.03. 2010.

26

Nr.2/2009

Rubrica jocuri 3

3

C.R.V.3. Rezolvaţi în NN ecuaţia: a +b =2009

2009

+1.

(8 puncte) Sorana şi Răzvan Dinu, prof. Ialomiţa

C.R.V.4. Să se determine a şi b care au suma 56 iar restul împărţirii lui a la b este 4.

(7 puncte) Vasile Şerdean, prof. Gherla, Cluj

C.R.V.5. a) Câte numere naturale de patru cifre în baza 10 sunt egale cu răsturnatele lor? b) Calculaţi suma acestor numere.

(6 puncte) Ion Miţaru, prof. Craiova

Rubrică realizată de Aurel Pancu, prof. Craiova Probleme rezolvate din Alpha nr. 1/2009 P.P.V.1229. Arătaţi că numărul A=(102 2008  22009 ) : 32 401 este pătrat perfect şi cub perfect. Constantin Costache şi Ion Văcălău , prof. Feteşti

Soluţie: A= 22008  10  2 :  25  



401

  22008  8  : 22005  8  8  64 . 



P.P.V.1233. Dacă cifrele a şi b satisfac relaţia a+ab 2 =70 atunci numerele ab şi răsturnatele lor sunt numere prime. Ştefan Ţifui, prof. Grinţieşi-Neamţ

Soluţie: a+ab 2 =70a(1+b 2 )=710a=7 şi 1+b 2 =10b=3 ab =73 şi ba =37 prime. 2 P.P.V.1244. Să se afle numărul n din egalitatea: 5n 16  5  4 5  52  53  ...  52008  .  

Aurel Pancu, prof. Craiova

2 2 Soluţie: 5n 16  5  5  4 1  5  52  ...  52007  , 5n 16  5  55  1  1  5  52  ...  52007  ,     2 2 5n 16  5  5   52008  1 , 5n 16  5  52009  5  n2  16  2008  n2  2025  n  45 .   3x  5 5 P.P.V.1248. Să se determine x, yN aşa încât  . Lucian Bolnăvescu, prof. Craiova 2 4y  2 Soluţie: (3x+5)(4y2)=103x+5=5 şi 4y2=2x=0 şi y=1

P.P.V.1261. Să se determine numerele de forma ab ştiind că ab  ba  88 iar ab  ba este pătrat perfect. Veronica Ţucă, prof. Alexandria

Soluţie: ab  ba  88  a+b=8 a=6, b=2, ab  ba  k 2 9(ab)=k 2 k 2 =36 Rubrică realizată de Aurel Pancu, prof. Craiova Soluţiile problemelor de la „Concursul rezolvitorilor” din Alpha nr. 1/2009 C.R.V.1. Să se arate că suma 1+2+3+…+n nu se poate termina în 13.

(10 puncte) Mihaly Bencze, prof. Braşov

Soluţie: 1+2+3+…+n=

nn  1 2k 2k  1 2k  12k  2 = . N=2k =k(k+1)+k 2 ; u(k 2 )=0, 1, 4, 5, 6, 9; n=2k+1 2 2 2

=(2k+1)(k+1)=k(k+1)+(k+1) 2 , pentru u(k 2 )=0, 1, 4, 5, 6, 9 suma nu se termină în 3, deci nu se termină în 13;





 

2

pentru u(k 2 )=1u(k)=1, 9; pentru u(k)=9 nu se termină în 3; pentru u(k)=1 .....x1  .....x 2  .....x1  ultima cifră este 3, dar penultima cifră poate fi 0 sau 5 deci nu se termină în 13. 2

3

n

C.R.V.2. Aflaţi numerele abc pătrate perfecte astfel încât: abc  abc  abc  ...  abc  abc

aaa

.

(9 puncte)

Mariana Benea, prof. Craiova

nn 1 2

Soluţie: abc  abc aaa n(n+1)=2a111n(n+1)=2a337n=36a=6. 6bc pătrat perfect abc  625, 676 . C.R.V.3. Să se determine numerele lipsă astfel încât pătratul să fie magic. (8 puncte) 51

21

42 Mihaly Bencze, prof.Braşov

Soluţie:

51

x18 60 21

x-9 42

12 x

63+x(51+x)=12; 63+x(21+51)=x9 63+x(x9+12)=60 63+x81=x18 3x27=63+xx=45

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială



27

30

51

60

36

12

21

42

45

27

Clasa a IV-a C.R.V.4. Să se afle produsul maxim a patru numere prime distincte a căror sumă este 23.

(7 puncte) Cristian Dinu, prof. Craiova

Soluţie: Dacă toate numerele prime din seria lui 23 ca sumă de 4 numere ar fi impare, ar rezulta 23 număr par – fals. Deci primul număr este 2. Fie p1, p2, p3 celelalte numerep13, p25p1+p28p323(2+p1+p2)2310=13. Se verifică uşor că singurele cazuri posibile sunt: 23=2+3+5+1323513=390; 23=2+3+7+1123711=1122. Deci valoarea maximă a produsului este 1122. C.R.V.5. Să se determine cifrele a, b, c, d astfel încât numerele de forma 2025 abcd să fie divizibil cu 7930.

(6 puncte)

Gheorghiţa şi Iulian Stănică, prof. Dolj

Soluţie: 2025 abcd =20250000+ abcd =25537930+4710+ abcd şi punând condiţia de divizibilitate cu 7930 a numărului ( abcd +4710) abcd +4710=7930n, nN* şi pentru n=1 abcd =3220 adică a=3, b=c=2 şi d=0. Pentru n2, nN, abcd are cinci cifre şi nu convine.

Rubrică realizată de Aurel Pancu, prof. Craiova Teză la matematică Clasa a V-a, Semestrul I Propusă de: Ramona Bălăşoiu, prof. Craiova

Toate subiectele sunt obligatorii  Timpul efectiv de lucru este 50 min  Se acordă 10 puncte din oficiu I. 1. Rezultatul calculului 52796 este ….. 2. Scris cu cifre, numărul trei milioane nouă mii nouă este ….. 5 3 3. Numărul natural care are descompunerea: 510 +710 +210+9 este ….. 2 2 0 4. Dacă 12(x3)=6 +2 3 3, atunci x=? 5. Determinaţi numerele prime care verifică relaţia: 5a+2b+28c=80. 6. Dacă ab=18 şi c=7, calculaţi acbc=….. 7. Numărul natural care împărţit la 27 dă câtul 7 şi restul 13 este ….. 2009 8. Ultima cifră a numărului 7 este …..





9. determinaţi mulţimea A= x  N * x  3 şi x  12 . II. 204 248 208 3 249 249 1. Calculaţi: (3 :3+10 10) : (3 :3 +2 5 )= 860 859 854 860 859 2. Comparaţi numerele: a=5 5 5 ; b=5 45 . 3. Un elev are cu 2 ani mai mult decât jumătate din vârsta fratelui său. Care e vârsta fiecăruia dacă diferenţa vârstelor lor ste de 8 ani? Teză la matematică Clasa a V-a, Semestrul I Propusă de: Ileana Didu, prof. Craiova

Toate subiectele sunt obligatorii  Timpul efectiv de lucru este 50 min  Se acordă 10 puncte din oficiu Subiectul I (45p). La subiectele 1-9 scrieţi direct rezultatul. 1. Cel mai mic număr natural de forma aab , a  b ….. 2. Restul împărţirii numărului 2y 837 la 100 este ….. 3. Pătratul numărului 21 este ….. 4. Numărul de 39 de ori mai mare decât 136 este ….. 5. Calculaţi: (23)5:(24)3. 6. Soluţia ecuaţiei: 5x+13=28 în N este ….. 7. Divizorii numărului 12 sunt ….. 8. Scrieţi cel mai mic număr natural de 4 cifre divizibil cu 3. 9. Rezolvaţi în N: (3x+5x) : 28. Subiectul II (45p). La subiectele 10-12 scrieţi rezolvările complete. 10. Diferenţa dintre dublul unui număr şi 13 este 139. 11. Determinaţi mulţimile A şi B care îndeplinesc simultan condiţiile: AB=xN*x10; AB=1, 3; A\B=2, 7, 9. 12. Calculaţi suma: 13+26+39+…+221. Rubrică realizată de Ramona Bălăşoiu, prof. Craiova

28

Nr.2/2009

Rubrica jocuri CLASA a VI-a Probleme de sinteză P.S.VI.2098. Dacă x+2y=3z=12014 şi

x y z , cât la sută din y este (x+\)?   2001 2002 2003 Mihaela Daniela Enache, prof. Iaşi

P.S.VI.2099. Se dau mulţimile A=xN / x=5n1, nN şi B=xN / 7k+2, kN. Determinaţi A\B. Mihaela Daniela Enache, prof. Iaşi

P.S.VI.2100. Două unghiuri adiacente au laturile necomune în prelungire. Să se afle câte grade are fiecare unghi, ştiind că de şapte ori primul este egal cu dublul celuilalt. Mihaela Daniela Enache, prof. Iaşi P.S.VI.2101. Aflaţi ce relaţie există între numerele naturale a, b, c dacă: a) numerele a, b, c sunt direct proporţionale cu numerele b+c, a+c, respectiv a+b. b) numerele b+c, a+c, a+b sunt invers proporţionale cu a, b, respectiv c. Victor Săceanu, prof. Drobeta Turnu Severin

7 4 P.S.VI.2102. Există triunghiuri isoscele pentru care m/A)= m(B), m(B)= m(C), măsurile fiind numere naturale? 4 x Mariana Mitea, prof. Cugir

0

P.S.VI.2103. Să se afle măsurile a două unghiuri complementare, ştiind că o cincime din măsura unuia este cu 10 mai mare decât o treime din măsura celuilalt. Elian Neamţu, prof. Bîlvăneşti, Iaşi P.S.VI.2104. Un triunghi echilateral are perimetrul 66 de cm. Care este lungimea laturii sale? Bianca Cruţ, prof. Iaşi 0 P.S.VI.2105. Un triunghi are măsura unui unghi interior egală cu 37 şi măsura unui unghi exterior egală cu 1200. Care este măsura celui mai mare unghi al triunghiului? Bianca Cruţ, prof. Iaşi P.S.VI.2106. Într-un triunghi isoscel un unghi are 360. Care sunt măsurile celorlalte unghiuri? Bianca Cruţ, prof. Iaşi P.S.VI.2107. Într-un triunghi isoscel, două linii mijlocii au 3, respectiv 5 cm. Care este perimetrul triunghiului? Bianca Cruţ, prof. Iaşi

0

P.S.VI.2108. Pe latura CB a triunghiului isoscel ABC cu AB=AC şi m(ABC)=120 se consideră punctul E astfel încât m(ABC)=1200 şi punctul F astfel încât BF=FE. Ce fel de triunghi este AEF? Bianca Cruţ, prof. Iaşi P.S.VI.2109. Să se determine toate numerele naturale de forma N= abcd divizibile cu 210 ştiind că a+b=15. Gheorghe Calafeteanu, prof. Drobeta Turnu Severin 0

P.S.VI.2110. Să se afle măsurile a două unghiuri complementare, ştiind că o cincime din măsura unui este cu 10 mai mare decât o treime din măsura celuilalt. Elian Neamţu, prof.Bîlvăneşti, Iaşi 1 1 P.S.VI.2111. Fie A, B, C, D puncte coliniare în această ordine. Ştiind că AB=  BC; BC  CD ; AD=18 cm aflaţi MN 2 3 unde M este mijlocul lui BC, iar N mijlocul lui BD. Victor Săceanu, prof. Drobeta Tr. Severin 1005 2010 1005 2010 P.S.VI.2112. Să se arate că numerele 49 +7 şi 25 +25 sunt prime între ele. Elena Rîmnicianu, prof. Drobeta Tr. Severin

P.S.VI.2113. Arătaţi că numărul A=123…150 nu este pătrat perfect. Gheorghe Calafeteanu, prof. Drobeta Tr. Severin P.S.VI.2114. Fie A0, A1, A2, …, An, puncte în această ordine. Ştiind că lungimile segmentelor A0A1, A1A2, …, An1An sunt exprimate prin numere naturale consecutive şi lungimea segmentului A0A22 este 275 să se afle: a) lungimea segmentului A1 A5; b) dacă punctul B este mijlocul segmentului A20A22 aflaţi lungimea segmentului A0B. Neculai Ocheană, prof. Motru, Gorj

Rubrică realizată de Adrian Lupu, prof. Drobeta Tr.Severin Probleme propuse P.P.VI.1290. Dacă a, b0, atunci 4(a2007+b2007+a2010+b2010)=(a669+b669)3+(a670+b670), dacă şi numai dacă a=b. D.M.Bătineţu-Giurgiu, prof. Bucureşti

P.P.VI.1291. În exteriorul pătratului ABCD se formează triunghiurile echilaterale BCM şi DCN. Arătaţi că: 0 1) BD//MN; 2) MA=NB; 3) NBAM; 4) m(BMN)=75 . Ştefan Ţifui, prof. Grinţieş, Neamţ 3 8 P.P.VI.1292. Un grup de excursionişti a parcurs în prima zi din tot drumul, în a doua zi din ceea ce a parcurs în 7 9 prima zi şi în a treia zi restul, ceea ce reprezintă cu 12 km mai puţin decât în a doua zi. Cât a parcurs în fiecare zi? 2

P.P.VI.1293. Demonstraţi că dacă 72n+3, atunci 710n +10n+2, nN. a b 5a  5b 7a  5b P.P.VI.1294. Ştiind că  =20, calculaţi .  b a b a P.P.VI.1295. Aflaţi a, b, c, dN* astfel încât: i) ba=cb=dc;

ii)

Elena Grumăzescu, prof. Ceahlău, Neamţ Constantin Ştefan, prof. Craiova Ion Bădoiu, prof. Turnu Măgurele

1 1 1 3 ;    a  b b  c c  d 2009

iii) abcd.

Sorana şi Răzvan Dinu, prof. Slobozia

P.P.VI.1296. Unghiurile unui triunghi oarecare ABC sunt proporţionale cu numerele 10, 12, 14. Să se calculeze măsura unghiului format de înălţimea şi bisectoarea unghiului cel mare. Nicoleta Cruceru, prof. Craiova    2 x  7 P.P.VI.1297. Se consideră mulţimile: A=  x  N 15 3 x85  , B=  x  Z  5,  2  x  9 , 3     C=xZ4a(10), a(10)=43x2(6). Să se setermine (AB)\C, B\(AC). Cristian Moanţă, prof. Craiova 

Se primesc soluţii la probleme propuse până la data de 1.03. 2010. Nu se primesc soluţii la P.S.

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

29

Clasa a IV-a P.P.VI.1298. Fie A, B, C, D puncte coliniare în această ordine. Ştiind că: AB=

1 1 BC, BC= CD, AD=18cm, aflaţi MN 2 3

unde M este mijlocul lui BC, iar N este mijlocul lui BD. Victor Săceanu, prof. Drobeta Turnu Severin P.P.VI.1299. Determinaţi a, b, cN, a, b, c prime astfel încât a+3b+2c=201, 7b+8c=701. Camelia Bădoiu, prof. Turnu Măgurele

P.P.VI.1300. La extemporalul de matematică elevii unei clas au primit spre rezolvare două probleme. Se ştie că doi elevi au lipsit, trei elevi nu au rezolvat nici o problemă, iar dintre cei care au rezolvat, 72% au rezolvat prima problemă şi 60% a doua. Dacă 8 elevi au rezolvat ambele probleme, să se determine: a) Numărul elevilor din clasă. b) Câţi elevi au rezolvat prima problemă? c) Câţi elevi au rezolvat a doua problemă? Bianca Cruţ, prof. Iaşi P.P.VI.1301. Să se determine cifrele x, y, z, t ştiind că xyzt  xyz  xy  x  1856 . Cristian Moanţă, prof. Craiova P.P.VI.1302. Succesorul succesorului unui număr este egal cu predecesorul predecesorului altui număr. Arătaţi că cele două numere nu pot fi numere răsturnate. Ion Săcăleanu, prof. Hîrlău, Iaşi y x P.P.VI.1303. Determinaţi numerele naturale de patru cifre a căror descompunere în actori primi este: x y  xy . 3

3

Alexandru Toporan, prof. Orşova 3 3 3 2010

3

P.P.VI.1304. a) Calculaţi: 3 +4 +5 .

b) Aflaţi numerele naturale a, b, c astfel încât a +b +c =6

.

Victor Săceanu, prof. Drobeta Turnu Severin

5 dintr-o primă primită la aniversarea sa, cu o dobândă anuală de 10%. 7 Peste 6 luni, a avut împreună cu dobânda 1312 lei şi 50 bani. Care a fost prima? Elian Neamţu, prof. Bîlvăneşti, Iaşi P.P.VI.1306. Determinaţi numerele naturale x, y şi z ştiind că îndeplinesc simultan condiţiile:

P.P.VI.1305. Un bibliotecar a depus la o bancă

x3 y 2 7 ; 2) xyz=122880. Doina şi Mircea Mario Stoica, prof. Arad   8 4 15 P.P.VI.1307. Numărul natural n dă restul 4 la împărţirea prin 5 şi restul 7 la împărţirea prin 11. Care este restul la împărţirea prin 55? Gheorghe Calafeteanu, prof. Drobeta Turnu Severin P.P.VI.1308. Determinaţi toate dreptunghiurile având dimensiunile exprimate prin numere naturale a căror arie se exprimă prin acelaşi număr ca şi perimetrul. Mihaela Daniela Enache, prof. Iaşi P.P.VI.1309. Arătaţi că numărul A=12n26+3n+24n+2+2n+36n230 este divizibil cu 2010 pentru orice nN.

1)

Elena Rîmnicianu, prof. Drobeta Turnu Severin

P.P.VI.1310. Să se determine numerele naturale a şi b diferite de zero pentru care

6a  5 N. a b  4 Vasile Şerdean, prof. Gherla, Cluj

P.P.VI.1311. Să se arate că din oricare patru numere naturale prime mai mari ca 2, putem alege două astfel încât diferenţa lor să fie multiplu de 6. Eduard Pîrvulescu, prof. Motru, Gorj Rubrică realizată de Victor Săceanu, prof. Drobeta Tr. Severin Concursul rezolvitorilor C.R.VI.4. Dacă a, b0, atunci

*

a b 2   dacă şi numai dacă a=b. a  2b b  2a 3

(10 puncte) D.M.Bătineţu-Giughiu, prof. Bucureşti

C.R.VI.2. Să se determine toate numerele naturale abcd scrise în baza zece pentru care

abcd =(a+b+c) abc +(b+c+d) bcd +(c+d+a) cda +(d+a+b) dab . 95

51

C.R.VI.3. Comparaţi numerele 2 , 5 şi 3

(9 puncte) Mihaly Bencze, prof. Braşov

124

.

(8 puncte) Ion Pătraşcu, prof. Craiova

C.R.VI.4. Determinaţi numerele naturale x şi y astfel ca xyx=2008+y.

(7 puncte) Ştefan Ţifui, prof. Grinţieş, Neamţ

C.R.VI.5. Să se construiască triunghiul ABC, dacă se cunosc punctele A1, piciorul înălţimii dusă din punctul A şi B’, C’ punctele în care medianele din vârfurile B şi C intersecteză laturile AC respectiv AB. (6 puncte) Anca Bănică, prof. Slobozia

Rubrică realizată de Gh. Calafeteanu, prof. Drobeta Tr. Severin Probleme rezolvate din Alpha nr. 1/2009 P.P.VI.1263. În câte cifre de zero se termină numărul 5101520…2010? Ionela Popescu şi Alaa Safadi, prof. Cîmpulung Muscel, Argeş 2

Soluţie: Notăm x partea întreagă a lui x; 2010:5=402 numere divizibile cu 5; 2010:25=80 numere divizibile cu 5 ; 3 4 2010:125=16, numere divizibile cu 5 ; 2010:625=3 numere divizibile cu 5 . Total 402+80+16+3=501 este exp. lui 5. 2 Fact.2 este conţinut în nr.div.cu 10, adică 201 numere divizibile cu 2. (201:2)=100 cu div. cu 2 . (201:4)=50, divizibile cu 3 8 2 ; …201:128=1, divizibil cu 2 . Total 100+50+15+12+6+3+1=398398 de zerouri. P.P.VI.1264. Să se demonstreze că dacă diferenţa 1003x1006y este divizibilă cu 2009, atunci şi diferenţa 1006x1003y este divizibilă cu 2009, unde x, yZ. Gheorghe Calafeteanu, prof. Drobeta Tr. Severin Soluţie: Observăm că 1003+1006x1006x1006y=M20092009x1006(x+y)=M20091006(x+y)  2009x+y=M2009 deoarece (1006; 2009)=1; 1006x1003y=1006x+1003x1003x1003y=2009x1003(x+y)=M2009. x y z 3 3 3 P.P.VI.1266. Determinaţi numerele x, y, z ştiind că:   şi x +y +z =1728. 2009x  3 2009  y 2009z  5 Constantin Duţu, prof. Drobeta Tr. Severin

30

Nr.2/2009

Rubrica jocuri Soluţie: Prima relaţie se mai scrie

2009 x  3 2009 y  4 2009 z  5 3 4 5    2009   2009   2009   x y z x y z

3 4 5 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3    de unde: x=3k; y=4k; z=5k. Atunci x +y +z =27k +64k +125k =216k 216k =1728k =8k=2. Deci x y z k x=6, y=8, z=10. 3 2 P.P.VI.1267. Aflaţi nN* pentru care n +5n +13n+19 se divide cu n+2. Carmen Coadă, prof. Drobeta Tr. Severin 3 2 3 2 2 2 Soluţie: n +5n +13n+19=n +2n +3n +6n+7n+14+5=n (n+1)+3n(n+2)+7(n+2)+5. Cum primii trei termeni se divid cu n+2 rezultă că n+25n+21, 5 şi nN*n+2=5n=3. P.P.VI.1268. Ştiind că restul împărţirii lui 10a+10b+10c la 9 este r, aflaţi restul împărţirii numărului abc la 9.



Victor Săceanu, prof. Drobeta Tr. Severin

Soluţie: Din 10a+10b+10c=9(a+b+c)+(a+b+c), rezultă că restul r este acelaşi cu restul împărţirii lui a+b+c la 9. Cum restul împărţirii unui număr la 9 este acelaşi cu restul împărţirii sumei cifrelor lui la 9, obţinem că restul împărţirii lui abc la 9 este tot r. P.P.VI.1269. Determinaţi cel mai mic număr natural n cu proprietăţile că împărţit la 5 dă restul 2, împărţit la 7 dă restul 4, iar împărţit la 9 dă restul 6. Elian Neamţu, prof. Bîlvăneşti n  5k1  1 n  5(k1  1)  3 n  3  5(k1  1)    Soluţie: Folosind teorema împărţirii cu rest, obţinem: n  7k 2  4  n  7(k 2  1)  3  n  3  7(k 2  1)  n+3=5, 7, n  9k  6 n  9(k  1)  3 n  3  9(k  1) 3 3 3    9=579=315, de unde rezultă n=312. P.P.VI.1270. Elevii unei clase vor să doteze laboratorul de matematică. Întrebându-l pe dl. diriginte despre suma necesară, acesta le răspunde. ,,Dacă unul dintre voi ar contribui cu 2 lei, fiecare dintre colegi, pe rând, ar dubla suma strânsă până la contribuţia sa, iar eu aş adăuga un leu, banii ar ajunge exact pentru a dota cinci laboratoare”. (notă: nu se acceptă în preţuri subdiviziuni ale leului) a) Cu ce cumă contribuie al 5-lea elev? b) Demonstraţi că dacă s-ar aşeza câte patru în bancă, doi dintre ei ar rămâne singuri. c) Aflaţi numărul de elevi ai clasei (cuprins între 15 şi 30), ştiind că, dacă s-ar aşeza câte 3 în bancă, doi elevi ar rămâne în picioare, iar numărul băncilor este multiplu de patru. Elian Neamţu, prof. Bîlvăneşti 5 n n Soluţie: i) Cu 2 :2=16 lei; ii) Suma strânsă este 2 +1, divizibilă cu 5, unde n este nr. de elevi. De aici rezultă că u(2 )=4 (9 nu poate fi), de unde deducem că n=4k+2 (kN); iii) Dacă m este nr. de bănci, rezultă că n=3m+2; dar m este multiplu de 4, deci m=4p (pN*), de unde deducem că n=12p+2; cum 15n30, rezultă că n=26. P.P.VI.1271. Să se determine x astfel încât x x  xx  2 x . Soluţie: Pentru ca ecuaţia să aibă sens trebuie x0xx19=0xx1=32x=3. m  2360

Emilia Diaconescu, prof. Drobeta Tr. Severin

ca

x0,

x

x

x1

x =10x+x2xx 9x=0x(x 9)=0

dar

p  51800

,  m, pN. Viorela Mărăscu, prof.Vânju Mare m3 p  71440 360 240 360 3 120 120 240 2 120 120 120 120 360 240 360 240 Soluţie: Vom compara 2 şi 3 . 2 =(2 ) =8 , 3 =(3 ) =9 8 9 2 3 +m, m+2 m+3 

P.P.VI.1272. Arătaţi că:



m  2360 m

240

240



1800

1 (1). Analog procedăm pentru cealaltă fracţie. 5

312536024013605180071440p+51800p+71440



m  2360 m  3240



p  51800 p  71440

p  51800 p  71440

5 360

=(5 )

=(3125)

360

1440

şi 7

4 360

=(7 )

=(2401)

360



1 (2). Din (1) şi (2)

. Rubrică realizată de Alexandru Toporan, prof. Orşova

Soluţiile problemelor de la „Concursul rezolvitorilor” din Alpha nr. 1/2009 C.R.VI.1. În triunghiul ABC, AM este mediană, MBC. Bisectoarele unghiurilor din B şi C taie mediana în D şi respectiv E. Ştiind că BD=CE să se demonstreze că ABC este isoscel. (10 puncte) Gh.Paicu, prof. Motru

Soluţie: Fie D’ simetriul lui D, faţă de M; BDMCD’MBDMCD’M. Dar ECD’ este isoscel, deci CEMDBDMCEMADBAEC. Presupunem că ABACm(ABC)m(ACB)m(ABC)m(ACB)m(ABD)m(ACE) (1). Dar dacă ABAC, se demonstrează cu teorema bisectoarei unghiului BAC că m(BAMm(CAM) (2). Adunând relaţiile (1) şi (2) obţinem m(ABD)+m(BAM)m(ACE)+ m(CAM) şi m(ABD)+m(BAM)+m(ADB)m(ACE)+m(CAM)+m(CEM); 1800 0 180 contradicţie, deci ABAC este absurd. La fel ACAB deci AC=AB. 0 C.R.VI.2. În triunghiul dreptunghic ABC, m(A)=90 , considerăm medianele BM şi CN concurente în G. Dacă AGMN=P, arătaţi că BC=4AP. (9 puncte) Victor Săceanu, prof. Drobeta Tr.Severin

Soluţie: Din BM şi CN - medianeMN-linie mijlocie în ABCMN=

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

BC şi MN//BC. Din AG 2

31

Clasa a IV-a MN BC BC=4AP.  2 4 C.R.VI.3. În triunghiurile ABC şi A’B’C’ cu BC   B' C', BAC  B' A ' C' , AB   AC şi A' B'  A ' C' . Demonstraţi că ABCA’B’C’. (8 puncte) 0

mediană în ABC şi MN//BCAP mediană în AMN şi cum AMN are m(A)=90 AP=

Ion Pătraşcu, prof. Craiova

Soluţie: Construim AMBC şi A’M’B’C’, ABMA’B’M’ (C.U.) pentru că 0 m(AMB=m(A’M’B’=90 , BM  B' M' (jumătăţi de segmente congruente) MABM’A’B’ (ca jumătăţi de unghiuri congruente) AB   A ' B' , ABCA’B’C’. C.R.VI.4. Triunghiul ABC are m(A)=9m(B). Bisectoarea unghiului C taie pe AB în M şi formează cu BM şi BC un triunghi isoscel BMC. Să se afle unghiul format de perpendiculara AN pe CM (NBC) cu dreapta MN. (7 puncte) Ştefan Ţifui, prof. Grinţieş, Neamţ 0

0

Soluţie: Notăm B=x, dacă CMB isoscelC1=x=C2 iar CAB=9x. deci, din A+B+C=180 9x+x+2x=180 sau 0 0 12x=180 x=15 . ACN isoscel, CM este bisectoare şi înălţime CAN=CNA=(1800300) : 2=750. Dacă m(A)=9x= 0 0 0 0 0 0 =915 =135 şi 3=75 MAN=135 75 =60 . Dar 4=5, AMN isoscel 0 cu MC mediană şi înălţime5=60 . C C.R.VI.5. Aflaţi cel mai mare număr natural mai mic decât 2008 pentru 6n  7 care , nN este reductibilă. (6 puncte) 7n  2 Florin Benea, prof. Craiova

Soluţie: Fie d un divizor comun al numerelor 6n+7 şi 7n+2d6n+7 d7(6n+7) d42n+49   d7n+2 d6(7n+2) d42n+12  d42n+49(42n+12)d376n+7=37p, 7n+2=37qn+6n+75=37qn+37p5=37qn=37(qp)+5n=37k+5, 37k+5 200837k2003k54 Teză la matematică Clasa a VI-a, Semestrul I Propusă de: Ramona Bălăşoiu, prof. Craiova

 Toate subiectele sunt obligatorii  Timpul efectiv de lucru este 50 min  Se acordă 10 puncte din oficiu 1. a) Aflaţi numerele de forma 57 xy  6.

b) Rezolvaţi ecuaţia:

4 5 x  0,4  2 . 7 6

2. Aflaţi numerele naturale a, b cu (a, b)=36 şi a+b=324. x7 unde x7 este număr prim şi 7 yz  18 . 7 yz 4017 2009 2008 4. Fie a=2 +2 +2, b=2 +1. Arătaţi că a este divizibil cu b. 0 0 5. Semidreptele (OA; (OB; OC sunt astfel încât m(AOB)=49 , iar m(AOC)=73 . Aflaţi m(BOC). 0 750. 6. Fie AOB şi AOC două unghiuri neadiacente cu măsurile de 25 respectiv Determinaţi: a) măsura unghiului format de laturile necomune; b) măsura unghiului format de bisectoarele AOB şi AOC; c) măsura suplementului AOB şi a complementului BOC.

3. Aflaţi cea mai mare fracţie de forma

Teză la matematică Clasa a VI-a, Semestrul I Propusă de: Maria Ionescu, prof. Craiova

 Toate subiectele sunt obligatorii  Timpul efectiv de lucru este 50 min  Se acordă 10 puncte din oficiu 1. Raportul a două numere este

3 , iar suma lor este 160. Calculaţi numerele. 2

 61x   17  n  ; 51x  4; 1y3  3 ; B= n  N 2. Determinaţi mulţimile: A=   N şi calculaţi AB, AB. 8  1y 3    1 2 20  2  3 1 4 2 3. Calculaţi: a) : 5   3, (5 )  ; b) 10  ; c) 0,2 +0,2:0,011,12(6): . 1 2 21  9 9  7 4 5 3 4. Măsurile a două unghiuri adiacente sunt invers proporţionale cu 2 şi 5, iar bisectoarele lor formează un unghi cu 0 măsura de 35 . Calculaţi măsurile celor două unghiuri. 5. Unghiurile AOB şi BOD sunt adiacente suplementare, iar m(AOB)=640. Dacă OM este bisectoarea AOB, calculaţi m(DOM), m(DON), m(BON), unde (ON este semidreapta opusă OM.

CLASA a VII-a Probleme de sinteză

32

Nr.2/2009

Rubrica jocuri P.S.VII.2130. Calculaţi: 3 2 3 3 a) (3 ) :9  52 :  5 7    2009 0    12009 ;  

b) 1  11  2   12  3   13  ...  2009   12009 ; c) 5200  3300  max   3300 ;  5 200   min   3300 ;  3250  ;     1 1 1 1 d) .    ...  1 3 3  5 5  7 2007  2009 1 1 1 P.S.VII.2131. Fie numărul n= 1    ...  . Arătaţi că nN. 2 4 64 3x  5 P.S.VII.2132. Determinaţi valorile întregi ale lui x pentru care numărul este număr întreg. 5x  1 a 31 2a  b P.S.VII.2133. Ştiind că:  , arătaţi că numărul n= este pătratul unui număr raţional. b 37 3b  2a 1 1 1 1 2009 P.S.VII.2134. Să se arate că:    ...   . 22 32 42 2010 2 2010 P.S.VII.2135. Aflaţi x, yZ astfel încât (x2)(y11)=13. P.S.VII.2136. Rezolvaţi în Q ecuaţiile: 2x  3 3 x  2 4 x  3 5 a) ; b) 2 x  1  4  7 ;    3 2 4 12 3x  1 3x  2 3x  3 3 x  2009 c)    ...   2009 . 2 3 4 2010 P.S.VII.2137. Determinaţi xN, ştiind că

91x  538 N. 7 x  40

P.S.VII.2138. Calculaţi: a)

8  18  32  50  72  98 ;

b) media aritmetică a numerelor a şi b ştiind că: a= 5 6  6 24  7 54  8 96  9 150 şi





b= 2 3  3 12  4 27  3  49  3 75  2 ; 4

2

2

2

 4a  2 2 , ştiind că a  a  0 ;

c)

4a  9a  2a  3  a

d)

2  3 2   2  12   2  3 2 ;

e) cifra x în baza 10, ştiind că 37  xxx N. P.S.VII.2139. Fie numărul a=1+12+123+…+123…n, unde nN*. a) Aflaţi nN* astfel încât a N. b) Arătaţi că pentru n4, a RQ. 0 P.S.VII.2140. Pe latura CD a rombului ABCD se construieşte în exterior triunghiul echilateral CDE. Dacă m(BAC)=60 , demonstraţi că: a) AEDC; b) punctele B, C, E sunt coliniare; c) AE   BD . 0 P.S.VII.2141. În paralelogramul ABCD cu m(A)=60 , BDAD, AB=10cm, se consideă punctul E simetricul punctului D faţă de mijlocul segmentului AB. a) Calculaţi perimetrul paralelogramului ABCD. b) Arătaţi că punctele E, B, C sunt coliniare. c) Arătaţi că ACDE. 0 0 P.S.VII.2142. În triunghiul ABC, m(A)=90 , m(B)=30 . Fie M mijlocul laturii BC. Mediatoarea segmentului BC întersectează pe AB în E şi pe AC în F. Demonstraţi că: AE a) Triunghiul AEM este isoscel. b) CEAM. c)  Q. BE P.S.VII.2143. Pe laturile patrulaterului convex ABCD se consideră punctele M, N(AB) astfel încât AM  QP   NB şi Q, P(DC) astfel încât DQ   QP   PC . Fie E, F, G, H mijloacele segmentelor AD, MQ, NP, respectiv BC  . Să se arate că: a) MEQG şi NFPH sunt paralelograme. b) E, F, G, H sunt coliniare. P.S.VII.2144. Pe diagonala AC a pătratului ABCD se iau punctele E şi F astfel încât AE   CF  AB  . a) Să se arate că BEDF este romb. b) Să se calculeze măsura unghiului EBF. P.S.VII.2145. În paralelogramul ABCD, M este mijlocul laturii BC şi N mijlocul laturii CD, AMBN=Q. Calculaţi: QM QM BM 1 a) Raportul . b) Raportul dacă  şi N mijlocul lui CD. QA QA BC k

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

33

Clasa a IV-a P.S.VII.2146. În triunghiul ABC se notează cu M mijlocul lui AB şi cu E mijlocul lui BM. Paralelele prin M şi E la BC intersectează pe AC în N, respectiv în F. Arătaţi că 3MN=2EF. P.S.VII.2147. Fie triunghiul ABC oarecare şi AA’BB’CC’=O, unde A’(BC), B’(AC) şi C’(AB). Să se arate că AB' AC' AO   . B' C C' B OA ' P.S.VII.2148. În triunghiul ABC, fie M un punct pe (BC). Bisectoarea unghiului AMB intersectează latura AB în punctul P, iar bisectoarea unghiului AMC intersectează latura AC în punctul N. Demonstraţi că AM, BN şi CP sunt concurente. AE AD BD BE P.S.VII.2149. Fie triunghiul ABC şi punctele D(BC), E(AC) şi ADBE=P. Să se arate că: .    AP AC BP BC Rubrică realizată de Ion Miţaru, prof. Craiova Probleme propuse P.P.VII.1293. Ştiind că numerele x şi y sunt invers proporţionale cu 0,2 şi 0,(3), calculaţi valoarea expresiei: 3 x  2 y 2y  5 x E=   0,3 . Ştefan Ţifui, prof. Grinţieş-Neamţ 2x  5 y 7 x  y 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 P.P.VII. 1294. Ecuaţia: a (b +c )+b (a c )+c (a b )+1=a b c d (a+d), a, b, c, dZ are soluţii în mulţimea numerelor întregi? Justificaţi răspunsul. Laura şi Gheorghe Molea, prof. Curtea de Argeş a b 2 P.P.VII.1295. Dacă a, bR+, atunci: D.M. Bătineţu-Giurgiu, prof. Bucureşti   . 2a  3b 2b  3a 5 n2  2n  288  2009 p . Sorana şi Răzvan Dinu, prof. Ialomiţa 41 1  6x  5  P.P.VII.1297. Să se rezolve ecuaţia:    x  6 unde a  reprezintă partea întreagă a numărului real a.  2 

P.P.VII.1296. Aflaţi n, pN astfel încât

Cristian Dinu, prof. dr.Craiova

  P.P.VII.1298. a) Să se arate că:  n2  n   n , oricare ar fi nN.  

 









b) Rezolvaţi în N ecuaţia: 1 2  2  3  3  4  ...  nn  1  231 , unde a  reprezintă partea întreagă a numărului a. Aurelia Petrică, prof. Craiova P.P.VII.1299. În paralelogramul ABCD, AB=4a, AD=a, a0, bisectoarele unghiurilor DAB şi ABC se intersectează în M, AMDC=E, E(AM), BMDC=F, F(BM). a) Aflaţi lungimea segmentului EF. b) Dacă P este mijlocul lui AB arătaţi că MEPF este dreptunghi. Nicolae Parschiv, prof. Urziceni P.P.VII.1300. Aflaţi cifrele x, y, z în baza 10 ştiind că

5  3 xyz N.

Ştefan Cruceru, prof. Craiova

P.P.VII.1301. În triunghiul ABC considerăm (AD bisectoarea unghiului BAC, D(BC), DEAB, E(AB), DFAC, F(AC). Să se demonstreze că: ADEF=AEDF+AFDE. Petre Orzaţă, prof. Corabia 2 P.P.VII.1302. Găsiţi numerele prime p şi q astfel încât numărul (p+1) să fie pătrat perfect. Dumitru Cotoi, prof. Craiova 0

P.P.VII.1303. Fie triunghiul ABC dreptunghic (m(A)=90 ) . Să se arate că:

a2  b2 a2  c 2



a2  b 2 a2  b 2



a2 unde a, b, 2  A ABC

c sunt lungimile laturilor triunghiului şi AABC este aria triunghiului ABC. Mihaly Bencze, prof. Braşov 1 1 1 2n P.P.VII.1304. Arătaţi că pentru orie nN* are loc inegalitatea: 1    ...   . Ramona Bălăşoiu, prof. Craiova 2 4 2n n  1 P.P.VII.1305. Fie numerele reale a, b, c, d. Ştiind că suma oricăror două numere este egală cu produsul celorlalte două, să se afle numerele. Ion Săcăleanu, prof. Hîrlău, Iaşi P.P.VII.1306. Arătaţi dacă se poate construi un poligon A1A2A3…A10 care îndeplineşte condiţiile: 1 1 1 1 A2 A3= A1A2, A3A4= A2A3, …, A9A10= A8A9, A10A1= A9A10. Sorana şi Răzvan Dinu, prof. Ialomiţa 2 2 2 2 0 00, P.P.VII.1307. În triunghiul ABC, dreptunghic m(A)=90 , m(B)=6 punctul D este simetricul punctului A faţă de dreapta BC, M este mijlocul lui BC . Arătaţi că: a) Triunghiurile ACD şi MBD sunt echilaterale. b) MC=2MI unde I=ADBC Nicoleta Cruceru, prof. Craiova

BC AB  AC P.P.VII.1308. Fie triunghiurile ABC şi A’B’C’ astfel ca m(B)=m(B’), AB=A’B’ şi . Demonstraţi că  B' C' A ' B'  A ' C' ABCA’B’C’. Cristinel Mortici, prof. Târgovişte



Se primesc soluţii la probleme propuse până la data 1.03. 2010. Nu se primesc soluţii la P.S.

34

Nr.2/2009

Rubrica jocuri P.P.VII.1309. Să se rezolve ecuaţia: y y  1y  2  z x  x  3 x  4 x  z y =118, unde zN, iar x, y sunt baze ale unor sisteme de numeraţie. Cristian Moantă, prof. Craiova P.P.VII.1310. În ABC avem N(AC), NE//BC, E(AB), Q(BC) astfel ca BQ   QC  , NF//AQ, F(BC), AQEF=R. AQ NC Demonstraţi relaţia =2 Gheorghe F. Molea, prof. Curtea de Argeş  AC QR AE FE 1 AG GH 1 P.P.VII.1311. Se dă triunghiul ABC cu E, F AB astfel încât   , iar G, H AC cu   . Dacă AF EB 2 AC AC 3 FG  EH  S şi FC  BH  T arătaţi că punctele A, S, T sunt coliniare. Mariana Mitea, prof. Cugir 0 P.P.VII.1312. Fie ABCD trapez dreptunghic, AB//CD, ABCD, m(A)=90 , AB=AD. Considerăm punctul E pe latura (AD) astfel ca ED=DC şi DL//BC, LAB, CLDB=K. Să se demonstreze că dreptele AK şi EC sunt paralele şi că are loc egalitatea: CL=2EK. Marian Firicel, prof. Calafat P.P.VII.1313. Rezulvaţi în numere naturale ecuaţia: x+y+z9=4 x  45  10 y  1  8 z  8 . Doina şi Mircea Mario Stoica, prof. Arad

P.P.VII.1314. În triunghiul ABC, oarecare, (AD este bisectoarea unghiului BAC şi fie BEAD, E(AC). Arătaţi că: DE EC a) E este simetricul lui B faţă de AD. b) Victor Săceanu, prof. Drobeta Tr.Severin   1. DC AC Rubrică realizată de Ion Miţaru, prof. Craiova Concursul rezolvitorilor C.R.VII.1. Fie xOy şi punctele distincte A, B(Ox şi C1D(Oy astfel încât OBOC şi 2

t v t v , t, vR cu    OA OD OB OC

2

t +v 0. Demonstraţi că AD, BC şi una din bisectoarelexOy sunt concurente dacă şi numai dacă t  v .

(10 puncte)

Ioan Săcăleanu, prof. Hîrlău, Iaşi

C.R.VII.2. Fie ABC un triunghi şi M(BC) dacă P(BM), PF//AC. Fie F(AB) şi PFAM=D, PE//AB, EAM şi MD=ME, demonstraţi că patrulaterul BECD este paralelogram. (9 puncte) Ion Pătraşcu şi Nicolae Ivăşchescu, prof. Craiova

C.R.VII.3. În paralelogramul ABCD, fie M un punct situat pe latura DC, iar S mijlocul laturii BC. Dacă MOAD=E şi MSDB=F, arătaţi că AB//EF. (8 puncte) Mariana Mitea, prof. Cugir

C.R.VII.4. Fie M un punct situat pe prelungirea laturii BC a paralelogramului ABCD, ME bisectoarea unghiului AMC (EDC). Arătaţi că DMME dacă şi numai dacă F este mijlocul lui MC: (7 puncte) Mariana Mitea, prof. Cugir

C.R.VII.5. Fie E(x)= x  6  4 x  2  x  11  6 x  2 . Să se arate că E(x)=1, pentru orice x2.

(6 puncte)

Doina Firicel, prof. Calafat

Rubrică realizată de Ion Miţaru, prof. Craiova Probleme rezolvate din Alpha nr.1/2009 P.P.VII. 1271. Să se arate că dacă

x 3y

2

Q, cu x, y, zN* atunci y =xz.

Ion Casiu, prof. Filiaşi

y 3 z

Soluţie: Din

x 3y y 3 z

Q

x 3y y 3 z



a unde a, bZ, b0 3 (xbay)+ybaz=0, dar x, y, tN*, a, bZ, b

3 RQ

 xb  ay  0 2 2  b(xzy )=0, dar b0y =xz.  yb  az  0

P.P.VII.1276. Dacă a, b, cR + şi a+b+c=2010 atunci

ab bc ac    1005 . ab  1 bc  1 ac  1

Mihaly Bencze, prof. Braşov

ab  1 ab ab a  b . Analog  ab    2 ab  1 2 4 bc bc ca ca ab bc ca 1  şi  sumând     a  b  c  =1005. bc  1 4 ca  1 4 ab  1 bc  1 ca  1 2 P.P.VII.1279. În triunghiul ABC , A’ este mijlocul laturii (BC) şi un punct oarecare P(AA’). Dacă BPAC=E, 2 CPAB=D, BC=kDE şi ADPE=1cm , se cere: a) natura patrulaterului BCED; b) aria acestui patrulater în funcţie de k. Constantin Drăghici, prof. Urziceni

Soluţie: Din a, b, c0, folosind inegalitatea mediilor ab 



Se primesc soluţii la Concursul rezolvitorilor până la data de 1.03. 2010.

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

35

Clasa a IV-a t.Ceva AD BA ' CE

Soluţie: a) În ABC, AA’BECD=P (din ipoteză)  

   1 , dar A’ mijlocul lui (BC); BA’=A’C DB A ' C EA

t.f .a AD AE R.t.Thales   DE  BC . Cum BDCF=ABCED este trapez. b) Din DE//BC (pct.a)  BPCEPD DB EC 2

ABPC  BC  BP BC 2 2 2   k   k 2 pentru că BC=kDE şi ADPE=1cm ABPC=k (cm ). Din BPCEPD AEPD  DE  PE DE BP  h BP ABPD   k, dar  2 =kABPD=k(cm2), dar ABDP=APEC (proprietăţi în trapez)ABCDE=ABPC+2ABPD+ADPE= PE ADPE PE  h 2 2 2 =k +2k+1=(k+1) . P.P.VII.1284 În triunghiul isoscel ABC (AB=AC) se notează E şi M punctele de intersecţie ale bisectoarei şi respectiv



BC3 . Gheorghiţa şi Iulian Stănică, prof. Apele Vii, Dolj AB  AC AB AE AB  BC AE  EC AC  BC Soluţie: Aplicând t. Bisectoarei în triunghiul ABC obţinem     EC  (1). BC EC BC EC AB  BC Fie M’AC astfel încât MC  MM' , dar BMM’C (ipoteză)BCM’ este isoscelBCM’ isoscel cu BM'  BC 

înălţimii din vârful B, cu latura AC. Să se arate că 2MCCE=

BM’CBCM’, dar ABC=ACB (AB=AC)ABCBM’C Din (1) şi (2) 2MCEC=

M' C BC BC2 BC2   AC   BC AC M' C 2MC

(2).

BC3 . AB  BC

Rubrică realizată de Ion Miţaru, prof. Craiova Soluţiile problemelor de la „Concursul rezolvitorilor” din Alpha nr. 1/2009 C.R.VII.1. Se dă un paralelogram ABCD. Construiţi cu ajutorul unei rigle negradate mijlocul M al lui BC. Folosind apoi numai un echer, găsiţi un punct PAM şi un punct QDM astfel încât să avem CP=QB. (10 puncte) Nicolae Ivăşchescu, prof. Craiova

Soluţie: Pentru a construi cu ajutorul unei rigle negradate mijlocul M al lui BC procedăm astfel: luăm G(AD), construim cu ajutorul riglei negradate dreptele BG, BD, CG, notăm BGDC=H, BDCG=O, construim dreapta HO, notăm HOBC=M care este mijlocul lui (BC). Demonstraţie: Din GD//BC (AD//BC, GAD)

t.Thales HG



GB



HD (1), DC

HG BM DC    1 (2). Din (1) şi GB MC DH (2)BM=MCM mijlocul lui (BC). Pentru a găsi cu ajutorul echerului (putem duce numai unghiuri drepte şi drepte) punctele PAM şi QDM astfel încât CP=QB, procedăm astfel: construim dreptele AM şi DM, notăm AMDC=E, DMAB=F, ducem din D şi respectiv din A (folosind echerul) perpendicularele pe AM, respectiv DM, notăm cu P şi Q picioarele acestor perpendiculareacestea sunt punctele

aplicând

t.Ceva

în

triunghiul

BCH

obţinem

t.f .a

CE CM 1 DE C este mijlocul lui DE, dar    CE  DE AD 2 2 DE triunghiul DPE este dreptunghic în P (din construcţie)PC este mediană la ipotenuzăPC= =DC. Analog QB=AB, 2 dar AB=DCPC=QB.

căutate. Demonstraţie: Din CM//AD  CME DAE

C.R.VII.2. Aflaţi numărul abcd în baza 10 şi nN* ştiind că sunt îndeplinite simultan condiţiile: a) abcd 

3 3n  1 abcd abcd abcd   1;   ...    3 2 32 3n

b) abcd N.

(9 puncte) Florin Benea, prof. Craiova

1 1 1 3n1  3  2 Soluţie: Relaţia dată la condiţia a) este echivalentă cu relaţia 1    ...    n 3 32 2 3 1 1 1  1   ...   n1   2 n 3 1 1 1 1 1 3  1 3n1  1  3 3  . Notăm S=  S S  1   S=   abcd  1    ...     3 32  1 1 1 1  3 2 3n1 2  3n 3n   S  1   ...  3 3 32 3n1 

36

Nr.2/2009

Rubrica jocuri  3n1  1 n1 1 +1 3  abcd    abcd  3n . Ţinând cont de condiţia b) abcd este pătrat perfectn număr natural par. n 2 23 Dând valori lui nn=8. (Pentru n9, 3n+110000) 2222 1111 2 C.R.VII.3. Arătaţi că numărul a=2009 2009 +1 este divizibil cu numărul b=2009 2008. (8 puncte) Ion Miţaru, prof. Craiova

Soluţie: Numărul a poate fi scris: a=200922009222020092200920091110+2009+200922009+1a=20092(200922201) 2009(200911101)+200922009+1a=20092(200937401)2009(200933701)+200922009+1a=M(200931) 3 2 2 2 M(2009 1)+2009 2009+1a=M(2009 2009+1)a=M(2009 2008)a  b . C.R.VII.4. În triunghiul ABC bisectoarele unghiurilor ABC şi ACB intersectează mediana AM, (M(BC)) în punctele D, respectiv E. Ştiind că BD=CE să se demonstreze că AB=AC.. (7 puncte) Gheorghe Paicu, prof. Motru, Gorj

Soluţie: Fie D’ simetricul lui D faţă de MBDMCD’M (LUL)BDM=CD’M şi BD=CD’ dar BD=CE (ipoteză) CD’=CECED’=CD’EBDMCEMADBAEC (1). Presupunem că ACACm(ABC)m(ACB), dar (BD (CE bisectoarele unghiurilor ABC, respectiv ACB (din ipoteză)m(ABD)m(ACE (2). Dar dacă ABAC, BM=MC, AD latură comunăm(BAM)m(CAM (3). Din (2) şi (3)m(ABD)+m(BAM)m(ACE)+m(CAM) cu (1)

0

0

 m(ABD)+m(BAM)+m(ABD)m(ACE)+m(CAM)+m(AEC)180 180 (contradicţieABAC (fals). La fel ACAB (fals)AB=AC. 2008 2008 C.R.VII.5. Dacă a, b sunt numere naturale prime între ele, arătaţi că a2 are cel puţin 2008 divizori.  b2 (6 puncte) Mihaly Bencze, prof. Braşov

Soluţie: Deoarece a2

2008

2008

 b2

este o diferenţă de pătrate, folosind formula de descompunere în factori a unei

diferenţe de pătrate aplicată succesiv a2

2008

 b2

2008

2 2  3 3   2007 2007  2 2  . =(ab)(a+b)(a +b )  a2  b2  a2  b2 ... a2  b2       2007

2007

Dar a şi b sunt numere naturale prime între eleab, a+b, a +b , …, a2  b2 sunt 2008 numere naturale diferite două câte două (prime sau compuse)numărul considerat are cel puţin 2008 divizori. 2

2

Rubrică realizată de Ion Miţaru, prof. Craiova Teză la matematică Clasa a VII-a, Semestrul I Propusă de: Ion Nanu, prof. Craiova

 Toate subiectele sunt obligatorii  Timpul efectiv de lucru este de 2 ore  Se acordă 10 puncte din oficiu SUBIECTUL I (50 puncte) Pe foaia de teză se trec numai rezultatele. 4p 1.a) Media aritmetică a numerelor 0,(3) şi 4,(6) este egală cu ….. 3p

b) Soluţia ecuaţiei x  1 =0, cu xZ este egală cu …..

25 este egal cu ….. 56 0 4p 2.a) Un romb are un unghi cu măsura de 60 şi diagonala mică de 5 cm. Perimetrul rombului este egal cu ….. 2 3p b) Dacă în dreptunghiul ABCD cu AB=8 cm şi BC=3 cm, M(CD), atunci aria AMB este egală cu …..cm . 3p c) Un triunghi echilateral are perimetrul de 18 cm. Lungimea unei laturi este egală cu …..

3p

c) 28% din





3. Fie mulţimea A=  3; 49 ; 1, ( 2); 3 . 4p a) AZ=… 3p b) AQ=… 3p c) AQ=… a 2 2a  b 4p 4. a) Dacă  , atunci valoarea raportului este egală cu ….. b 3 a  2b 3p 3p

b) Probabilitatea ca numărul 2a să fie prim este egală cu ….. 2 c) Dacă aria unui pătrt este egală cu 144 cm , atunci perimetrul pătratului este egal cu …..cm.

4p 5. a) Soluţia raţională a ecuaţiei (3x2)(x 3 )=0 este egală cu ….. 3p b) 6 muncitori termină o lucrare în 10 ore. Aceeaşi lucrare va fi terminată de 5 muncitori în ….. ore. 3p c) Într-un paralelogram ABCD distanţa de la vârful A la dreapta BC este egală cu 4 cm.Distanţa de la vârful C la dreapta AD este egală cu …. cm.

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

37

Clasa a IV-a SUBIECTUL II (40 puncte) Pe foaia de teză scrieţi rezolvările complete 3 1 5p 1. a) Scrieţi opusul numărului: y=  1,44  1  9 . 4





5p

b) Scrieţi un număr raţional cuprins între 2 5 şi 5.

5p

c) Determinaţi cifrele a şi b astfel încât

1, ab Q.

5p 2. Calculaţi: 5p

a)

12  75  27 .

5p

c)

1 3 2  3  5 2  5  3 2

5p

b)  7 2  3 6  5 3 .

3. Fie ABCD un trapez dreptunghic cu baza mare AB de 40 cm, înălţimea AD de 20 cm şi latura neparalelă BC de 25 cm. 5p a) Dacă BD este bisectoarea ABC, calculaţi perimetrul şi aria trapezului ABCD. 5p b) Calculaţi aria triunghiului BCD. Teză la matematică Clasa a VII-a, Semestrul I Propusă de Oana Dovan, prof. Craiova

Subiectul I (50 puncte) - Pe foaia de teză se trec numai rezultatele. 1. 4p a) Cel mai mic număr natural de trei cifre este egal cu ….. 3p b) 25% din 40 este egal cu ….. 3p c) Rezultatul calculului 1682 este egal cu ….. 2. 4p a) Dacă 2x=18 atunci numărul real x este egal cu ….. 3p b) Rezultatul calculului 16,38:0,09 este egal cu … 3p c) Dacă x+2=0, atunci x este egal cu …. 3 4p a) Desenaţi un triunghi dreptunghic. 3p b) Măsura unui unghi al unui triunghi echilateral este egală cu ….. 3p c) Perimetrul unui romb care are latura de 10 cm este egal cu …cm 4. Dreptunghiul ABCD din figura 1 este format din trei pătrate. Fiecare pătrat are latura de 2 cm. 4p a) Lungimea segmentului AE este egală cu …cm. 2 3p b) Aria dreptunghiului ABCD este egală cu .. cm . 2 3p c) Aria triunghiului AEC este egală cu ….. cm . 5. În triunghiul ABC din figura 2, BC=12 cm, iar punctele M, N, P şi D, E, F împart laturile AB, respectiv AC în câte patru segmente congruente. 4p a) Lungimea segmentului NE este egală cu ….. cm. 3p b) Lungimea segmentului MD este egală cu ….. cm. 3p c) Lungimea segmentului PF este egală cu ….. cm. Subiectul II (40 puncte) Pe foaia de teză se trec rezolvările complete. 2 2 1. Fie mulţimile A=9; 4; 10; 7 şi B=2x1; 3 ; 5y; (2) , cu xZ şi yZ. 5p a) Calculaţi suma elementelor mulţimii A. 5p b) Ştiind că x=0 şi y=2, scrieţi elementele comune mulţimilor A şi B. 5p c) Ştiind că A=B determinaţi valorile numerelor x şi y. 2. 5p a) Calculaţi media aritmetică a numerelor a=8,5 şi b=1,5. 5p b) Calculaţi cel mai mic număr întreg mai mare decât

127

5p c) Ştiind că m= 5 2  12 2 şi n 

1296 , calculaţi valoarea numărului m  n 3. Triunghiul ABC este dreptunghic în A. Înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este AD. Semidreapta CE este bisectoarea unghiului ACB cu EAB, segmentul (EF) este perpendicular pe latura BC cu F(BC) şi M=CEAD. 5p a) Arătaţi că triunghiul AEM este isoscel. 5p b) Arătaţi că patrulaterul AEFM este romb.

Rubrică realizată de Ion Miţaru, prof. Craiova CLASA a VIII-a Probleme de sinteză P.S.VIII.2156. Calculaţi:

38

Nr.2/2009

Rubrica jocuri  7 6 a) x  3,4        ;  4 5 

 7 6 b) y= 3,4       ;  4 5

c) z= 

2 4 3 1 ,    2 5 7 14 35

unde a  = partea întreagă a numărului a, a =partea fracţionară a numărului a, iar a = valoarea absolută a numărului a. P.S.VIII.2157. Stabiliţi valoarea de adevăr a fiecărei propoziţii din cele următoare: a) 23 3 RQ;

b)

2100  5  290 N;

d)

e)

4  2 3  3  1;

84  4 21 ;

5  6 1; h) 2  3  2 6  6 1 P.S.VIII.2158. Demonstraţi că următoarele numere sunt iraţionale:

g)

a)

12 ;

b)

 3  2

2

c)

65  13  5 ;

f)

6  2 5  1 5 ;

c)

5n  8 , nN;

.

111111  222 222  333 333 ;

d) 1 2  3  ...  99  5 . P.S.VIII.2159. Aflaţi cel mai mic număr natural x pentru care următoarele propoziţii sunt adevărate: a) 180  x N;

b)

720 N; x

c)

216  x N;

d)

675 N. x

P.S.VIII.2160. Aflaţi valoarea numărului x în fiecare din ecuaţiile următoare: a) x  3 ;

b) x  3  2 3 ;

c) 2x  3 

d) 2x  3  x  2 ;

e) 4 x  8  x 2  4  0 .

1 ; 2

P.S.VIII.2161. Ordonaţi crescător numerele următoare: a) 0,23; 0,2(3); 0,21(4); 0,(23); 0,3(2); c) 2 3 ; 3 6 ; 4 5 ; 3 7 ; 8 2 ;



6 11 21 101 53 ; ; ; ; ; 5 10 20 100 50 d) 12  5 ; 11  6 ; 10  7 ; 3  2 2 .

b)

 







P.S.VIII.2162. Considerăm mulţimile: A= x  R x  3  2 ; B= x  R 2  3 x  4 ; C= x  R x  3  5 . Calculaţi AN, BZ, C(ZN). P.S.VIII.2163. Aflaţi x, y, N în fiecare din situaţiile următoare:



a) x  3

2  2y  5 2  0 ;



b) x 2  4 x  4  2y  3

c) 4 x 2  4 x  y 2  2y 3  4 =0; d) P.S.VIII.2164. Arătaţi că: 1 1 1 a)   ...  R; b) 2 1 3 2 100  99 c)

4  10  2 5



2 ; 2

2  0 ;

x 2  4 x  5  y 2  6 x  13  3 .

6  2 4  2 3  7  4 3 N;

d) 1+

1 1 2

5 5  3 5 P.S.VIII.2165. Descompuneţi în factori:



1 2 3

 ... 

1 9999  10000

Q.

2

a) 5x(x+2)+(x+2) 3(x+2); b) 2 2 x 2 x  3   4 2 2 x  3  ; 3 2 2 2 c) x +x 16(x1); d) 9(2x+5) 4(4x+3) ; 3 2 3 2 e) x +3x 6x8; f) x +6x 7x60. P.S.VIII.2166. Aflaţi valoarea minimă a fiecărei expresii şi pentru ce numere reale se obţine acest minim: a) E(x, y)=x2+y26x8y+20;

b) E(x, y, z)= 4 x 2  4 x  5  9 y 2  12 y  13  16 z 2  24 z  25 ;

2

c) x(x3)(x 3x+4)+15. P.S.VIII.2167. Se consideră un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’. a) Determinaţi intersecţia planelor (BDC’) şi (B’D’C’). b) Fie MN partea din intersecţia situată în interiorul paralelipipedului. Aflaţi MN dacă AB=24 cm şi BC=7cm. P.S.VIII.2168. Se consideră o prismă care are ca bază un poligon ABCD… cu n laturi printre care nu se găsesc două paralele. a) Câte dintre muchiile prismei sunt coplanare cu muchia laterală AA’? b) Câte dintre muchiile prismei sunt coplanare cu o muchie a bazei AB? P.S.VIII.2169. Se consideră prisma ABCA’B’C’. Fie D, E şi D’ mijloacele AB , BC respectiv A ' B' . AC=8cm şi AA’=15 cm. Aflaţi perimetrul secţiunii determinate în prismă de planul (DED’). P.S.VIII.2170. Fie un unghi xOy. Într-un punct A al bisectoarei sale se ridică perpendiculara pe planul (xOy) şi dintr-un punct M ale ei se duc perpendicularele MB şi MC pe Ox respectiv Oy (BOx, COy). Comparaţi unghiurile dintre MB şi MC cu (xOy).

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

39

Clasa a IV-a 0

P.S.VIII.2171. Fie ABCD un pătrat cu latura AB inclusă într-un plan . Planul pătratului face cu planul  un unghi de 45 . Aflaţi măsurile unghiurilor pe care le fac diagonalele pătratului cu planul  P.S.VIII.2172. Fie ABCD o foaie de hârtie în formă de dreptunghi şi MN dreapta e uneşte mijloacele laturilor AB şi CD. Partea MBCN se roteşte în jurul dreptei MN astfel încât proiecţia dreptei BC în planul AMND să treacă prin centrul dreptunghiului AMND. Câte grade are unghiul diedru care se formează astfel? P.S.VIII.2173. ABC este un triunghi dreptunghic isoscel cu ipotenuza BC conţinută într-un plan . Planul triunghiului face 0 cu planul  un unghi de 45 . Aflaţi măsurile unghiurilor pe care le formează catetele AB şi AC cu planul . P.S.VIII.2174. Fie ABC un triunghi dreptunghic isoscel. Vârful A se află într-un plan  iar catetele AB şi AC fac cu planul 0  unghiuri congruente (=u ). Fie B’ şi C’ proiecţiile punctelor B şi C pe . a) Arătaţi că B’C’. b) Care este valoarea maximă pe care o poate avea măsura unghiului dintre AB şi ? 0 c) Aflaţi măsura unghiului dintre (ABC) şi  dacă măsura unghiului dintre AB şi  este 30 . P.S.VIII.2175. Fie ABCD un pătrat. Vârful A se găseşte într-un plan  şi laturile AB şi AC formează cu  unghiuri congruente. Notăm cu B’, C’ şi D’ proiecţiile vârfurilor B, C respectiv D pe planul . a) Stabiliţi poziţia dintre BD şi . b) Stabiliţi natura patrulaterului AB’C’D’. 0 c) Aflaţi AC’ dacă AB=a şi m(BAB’)=30 . d) Aflaţi măsura unghiului dintre planul pătratului şi . Rubrică realizată de Mariana Benea, prof. Craiova Probleme propuse 2

P.P.VIII.1283. Suma muchiilor unui paralelipiped dreptunghic este 24 2 cm iar aria sa 44cm . Aflaţi lungimea diagonalei sale. Ştefan Ţifui, prof. Grinţieş, Neamţ yz xz xy 1 1 1 P.P.VIII.1284. Fie x, y, zR* astfel încât   =0. Arătaţi că   3. Ileana Didu, prof. Craiova x y z x 2 y 2 z2 2008 2008 2008 2009 2009 2009 P.P.VIII.1285. Aflaţi (x, y, z)RRR dacă x +y +z =1 şi x +y +z =1. 3

Marcela Boncescu, prof.Costeşti, Argeş

2

P.P.VIII.1286. Fie E(n)=n +3n +2n+1, nN*. Arătaţi că: a) E(n) este un număr natural impar. b) Dacă n=par, atunci E(n)1 se divide la 24. Elena Grumăzescu, prof. Ceahlău, Neamţ

 x  yz  200 P.P.VIII.1287. Determinaţi x, y, zZ astfel încât  .  y  xz  9

P.P.VIII.1288. Arătaţi că: E=

 7  5 3   5  3 5   28 

20

Mirela Genoiu şi Dana Ţacu, prof. Craiova

3   20  12 3  80 . Ştefan Constantin, prof.Craiova

P.P.VIII.1289. Se consideră o piramidă patrulateră regulată VABCD cu latura bazei egală cu 6 cm şi înălţimea egală cu 4 cm. Se prelungesc laturile bazei AB, BC, CD şi DA cu BE=CF=DG=AH=x. Aflaţi x astfel încât aria bazei piramidei VEFGH să fie egală cu 5/6 din aria laterală a piramidei VABCD. Petre Orzaţă, prof. Corabia P.P.VIII.1290. Există nN astfel încât E(n)= n2  3n  2010 Q? P.P.VIII.1291. Fie a, bQ * supraunitare cu



b  Q şi

Soran şi Răzvan Dinu, prof. Slobozia, Ialomiţa

ab  Q. Aflaţi valorile raţionale ale expresiei:



2

E= a  b  2 ab  b2  b  2b b  a b . Ion Săcăleanu, prof. Hîrlău, Iaşi P.P.VIII.1292. Demonstraţi că oricare ar fi numerele reale a1, a2, a3, …, an strict pozitive avem: a12  a1  1 a22  a2  1 a2  an  1 Anca Bănică, prof. Slobozia, Ialomiţa   ...  n  3n . a1 a2 an a 3 1 1 P.P.VIII.1293. Rezolvaţi şi discutaţi ecuaţia:   unde a este un parametru real. x  2 x  2 x2  4 Cristian Dinu, prof. dr. Craiova

  2012 x  42 x 1 P.P.VIII.1294. Enumeraţi elementele mulţimii A=  x  N  N . Cristian Moanţă, prof. Craiova 23 x 1   P.P.VIII.1295. Triunghiul ABC şi paralelogramul ACDE sunt situate în plane diferite iar punctele M, N şi P sunt situate pe AM BN CP 1 laturile AB , BC respectiv AC astfel încât    . AD  BC  O . AB BC AC 2 a) Stabiliţi poziţia dreptei BE faţă de (MNO). b) Arătaţi că (NOP)//(ABE). c) Dacă EDBE determinaţi măsura unghiului dintre NO şi AC. Ion Bădoiu, prof. Turnu Măgurele, Teleorman 17 2 2 2 P.P.VIII.1296. Determinaţi intervalele în care se află numerele reale x, y, z dacă: x +y +z =5x3y+7z+ . 4 Cameli Bădoiu, prof. Turnu Măgurele, Teleorman

P.P.VIII.1297. Fie ABCD un dreptunghi şi M un punct în interiorul său astfel încât MA=5 cm, MB=9 cm, MC= 15 cm. Aflaţi cosinusul unghiului dintre PD şi (ABCD) unde P este un punct pe perpendiculara în M pe (ABCD) şi MP=20 cm. 

Se primesc soluţii la probleme propuse până la data de 1.03. 2010. Nu se primesc soluţii la P.S.

40

Nr.2/2009

Rubrica jocuri P.P.VIII.1298. Dacă a, b0 atunci 4(a

2010

+b

2010

670

)=(a

Nicoleta Cruceru, prof. Craiova

670 3

) dacă şi numai dacă a=b.

+b

D. M. Bătineţu-Giurgiu, prof. Bucureşti

1 2 3 4 n P.P.VIII.1299. Arătaţi că     ...  1 oricare ar fi nN*. 3 21 91 273 n4  n2  1 2

Gheorghe F. Molea, prof. Curtea de Argeş, Argeş

2

P.P.VIII.1300. Determinaţi numerele întregi x şi y dacă x +y =7x24y. Laura Molea, prof. Curtea de Argeş, Argeş b  4a 5 2 2 P.P.VIII.1301. Determinaţi intervalul a, b dacă a, bZ= şi a  b  1  a  b  . 

3

36

Ionica Fota, prof. Bacău

P.P.VIII.1302. Fie ABCD şi A’B’C’D’ patrulatere convexe, congruente situate în plane paralele, astfel încât AB//CD//A’B’//C’D’. N este mijlocul lui AB, M este mijlocul C’D’ iar (BB’M)AC’=P, (DD’N)AC’=Q şi C’P=PQ. Demonstraţi că: a) (DD’N)//(BB’M); b) AQ=QP. Nicolae Ivăşchescu şi Ion Pătraşcu, prof. Calafat P.P.VIII.1303. Aflaţi numerele întregi a, b, c, d dacă a  b  c  d  1  a  1a  1 . Mariana Benea, prof. Craiova P.P.VIII.1304. În cubul ABCDA’B’C’D’ găsiţi un punct M(ACD’) astfel încât BM2+B’M2 să fie minimă. Mariana Mitea, prof. Cugir

P.P.VIII.1305. Pe planul trapezului ABCD, AB//CD se duc MC(ABC), MLAD, LAD. a) Arătaţi că punctele M, L şi picioarele perpendicularelor din C pe DB şi AB sunt patru puncte coplanare. 0

b) Dacă m(BCD)=135 , AB=24 cm, CD=12 cm, MC=

8 5 , calculaţi distanţa de la punctul M la dreapta LT, 5

unde T este piciorul înălţimii din C a trapezului ABCD:

Marian Firicel, prof. Calafat

Rubrică realizată de Mariana Benea, prof. Craiova Concursul rezolvitorilor C.R.VIII.1. Într-un tetraedru ABCD avem EAD, FBD, GCD iar BCFG=P, GEAC=Q, EFAB=R. Arătaţi că: PC QA RC 3 a) P, Q; R sunt coliniare. b)    ; c) Egalitatea are loc?  QC   RA  RA1  PC 2 PB1   QC1    QA   RB  (10 puncte) Cristian Moanţă, prof. Craiova

C.R.VIII.2. Determinaţi intervalele cărora aparţin numerele reale x şi y dacă verifică ecuaţia: 7x y 1  8  7x   2009 . (9 puncte) D. M. Bătineţu- Giurgiu, prof. Bucureşti

C.R.VIII.3. Pe planul triunghiului ABC în A şi B se ridică de o parte şi alt a lui perpendicularele AD şi BE astfel încât 0

m(DCE)=90 . Demonstraţi că: ADBE=

AC2  BC2  AB 2 . 2

(8 puncte) Gheorghe F. Molea, prof. Curtea de Argeş, Argeş

C.R.VIII.4. Fie a, b, cR+. Arătaţi că

a2  b2  ab 3  b2  c 2  bc 3  a2  c 2  ac . În ce caz are loc egalitatea? (7 puncte) Florin Benea, prof. Craiova

C.R.VIII.5. Fie x1, x2, x3, …, xn numere reale strict pozitive. Arătaţi că dacă y1, y2, y3, …, yn=x1, x2, x3, …, xn atunci  x2  1 x2  1  x 2  1  1 ; 2 ; ...; n (6 puncte)    2;     . y2 yn   y1  Florin Benea, prof Craiova

Rubrică realizată de Florin Benea, prof. Craiova Probleme rezolvate din Alpha nr. 1/2009 4 4  2 2   x  2009   x  2009   x  2009   x  2009   P.P.VIII.1262. Rezolvaţi în R ecuaţia:      6  4       .   x  2009   x  2009   x  2009   x  2009     Felicia Ozunu, prof. Vulcan, Hunedoara 2    1 1  1  1  x  2009    a2    2  6  4 a2   Soluţie: Notăm  a . Ecuaţia devine a 4   6  4 a2      2 2 2 x  2009 a4 a a a      

2 2  2 1   2 1    1 a 4  2a2  1 a    4 a    4  0   a2   2   0   0   a2  1  0  a2  1  a   1; 1 .        a2   a2  a2 a2   

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

41

Clasa a IV-a Dacă a=1

x  2009 x  2009  1  x   . Dacă a=1  1 x+2009=x+20092x=0x=0. x  2009 x  2009 2

2

2

xy  yz  xz x y z P.P.VIII.1268. Fie x, y, z, tN astfel încât          1 . Arătaţi că: N. xyzt t t t 2

2

2

x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 Soluţie:          1 x +y +z =t ; (x+y+z) =x +y +z +2(xy+xz+yz)xy+xz+yz= t t t

=

Aurelia Petrică, prof. Craiova 2  2 2 2

x  y  z

 x  y  z   = 2

x  y  z2  t2  x  y  z  t x  y  z  t   xy  xz  yz  x  y  z  t . Dacă t=part2=x2+y2+z2=parx+y+z=par 2

2

xyzt

2

xyzt xyzt 2 2 2 2  N. Dacă t=impart =x +y +z =imparx+y+z=impar N. 2 2 xyz P.P.VIII.1272. Rezolvaţi în R ecuaţia: x  1  2y  2   3z  3   . Melania Stoiculescu, prof. Craiova 2

Soluţie: Evident x1, y2, z3. Ecuaţia este echivalentă cu 2 x  1  2 2y  2   2 3z  3   x  y  z 

    x  1  1  0 şi y  2 





 x  1  2 x  1  1  y  2  2 2y  2  2  z  3  2 3z  3   3  0  2  0 şi

P.P.VIII.1273. Arătaţi că A= 5 

 x  1  12   y  2  2 2   z  3  3 2 =0

z  3  3  0  x  1  1 şi y  2  2 şi z3=3x=2, y=4, z=6.

n  1n  3n  5n  7  16

este număr natural pentru nN. 2

Nicolae Halmagiu, prof. Feteşti

2

2

2

Soluţie: (n+1)(n+3)(n+5)(n+7)+16=(n+1)(n+7)(n+3)(n+5)+16=(n +8n+7)(n +8n+15)+16=(n +8n+7)(n +8n+7+8)+16= 2 2 2 2 2 2 2 = (n +8n+7) +8(n +8n+7)+16=(n +8n+7+4) =(n +8n+11) A= 5   n2  8n  11  

2

 5  n2  8n  11 

= n2  8n  16  n  42 =n+4N. P.P.VIII.1276. Determinaţi numerele reale m şi n pentru care ecuaţiile 2x(3m5)y+7n11=0 şi 2(x+3)+y4=0 sunt echivalente. Ionica Fota, prof. Bacău Soluţie: 2x(3m5)y+7n11=0 şi 2(x+3)+y4=0 sunt echivalente. Două ecuaţii a1x+b1y+c1=0 şi a2x+b2y+c2=0 sunt a b c echivalente dacă 1  1  1 . Deci 2(x+3)+y4=02x+y+2=0 iar 2x(3m5)y+7n11=02x+(53m)y+7n11=0 a2 b2 c 2 

2 1 2 4 13 53m=13m=4m= , 7n11=27n=13n= .   2 5  3m 7n  11 3 7 Rubrică realizată de Florin Benea, prof.Craiova

Soluţiile problemelor de la „Concursul rezolvitorilor” din Alpha nr. 1/2009 C.R.VIII.1. Fie ABCDA’B’C’D’ este un paralelipiped dreptunghic cu ABCD pătrat. AB=a şi AA’=b. a) Dacă EA’C astfel încât S DEB este minimă, aflaţi CE. b) Dacă S DEB este minimă şi (DEB)//(AB’D’) arătaţi că paralelipipedul este cub. c) În ipoteza de la b) aflaţi distanţa dintre planele (DEB) şi (AB’D’).

(10 puncte)

Florin Benea, prof. Craiova

Soluţie: DECBEC deoarece EC= latură comună, DC   BC  şi EDCEBC DE   BE  . EO-mediană iar EO  BD DEB este isoscelEO=înălţime. SDEB= =minim. Deoarece BD=a 2 =const. 2 EO=minimă. O=fix şi EO minimăEOA’C. EOCAA’C (sunt dreptunghice şi C este comun)

b)

EC OC AC  OC a 2   EC   a 2  AC A ' C A' C 2

BD  AC BD  AA '



BD  AA ' C A ' C  ( AA ' C)

1 2a2  b2



a2

.

2a2  b2

 BD  AA ' dar OEA’CA’C(BDE).

(AD’C’C)(AB’D’)=AO’ şi A’CAO’=FA’CAO’ deci A’FA’C AF FO' A ' O' 1 OEA’COE=linie mijlocie în ACFOE= . A’FO’CFA (A’O’//AC)   AF=2FO’= 2 AF AC 2 (AB’D’)//(BDE)A’C(AB’D’).

=2OEAO’=3OE dar

42

OE AA '



Din

OC A' C

 OE 

AA 'OC A' C



ab 2 2 2a 2  b 2

AO’=

3ab 2

dar

.

2 2a2  b2

Nr.2/2009

Rubrica jocuri 2

2  2 2 2a2   b2   a 2   18 a b 18a2b2=4b2(2a2+b2)  b2    2  2 2  2a  b  4 4      2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 +2a (2a +b )18a b =4b +8a b +4a +2a b 4a +4b 8a b =0a +b 2a b =0(a b ) a =b a=b paralelipipedul este cub.

 3ab 2 AA’O’dreptunghicAO’ =AA’ +A’O’    2 2a 2  b2  2

2

2

A ' F A' O' 1 A' C A' C a 3 . OE=linie mijlocie în AFCE=mijl.FCEF= .    A' F   FC AC 2 3 3 3 C.R.VIII.2. OABC este un tetraedru, OAOB, OAOC şi OBOC iar 4SAOB=(AB+OC)(OCAB). Calculaţi m(ACO)+m(BCO)+m(ACB) (9 puncte)

c)

Nicolae Tălău, prof. Craiova

Soluţie: 4SAOB=(OC+AB)(OCAB) OB  OA 2 2 2 2 4 =OC AB AB +2AOOB=OC  2 2 2 2 2 2 AO +OB +2AOOB=OC (AO+OB) =OC AO+OB=OC. Notăm OA=a, OB=bOC=a+b m(ACO)=x, m(OCB)=y şi m(ACB)=z. Din datele problemei considerăm o ,,desfăşurare” a tetraedrului ca în figura următoarex+y+z=900. C.R.VIII.3. ABCDA’B’C’D’ este o prismă patrulateră regulată cu baza ABCD, iar MCC’. a) Arătaţi că AC= 2 AA 'CM dacă şi numai dacă (A’BD)(MBD). 0 b) În ipoteza de la a) şi AB=a, m((MBD), (ABC))=15 , aflaţi volumul prismei.

(8 puncte) Aurel Pancu, prof. Craiova

AA '  ( ABC ) MC  ( ABC ) Soluţie: a) AO  BD  A ' O  BD, CO  BD  MOBDA’OM= plan corespunzător diedrului dintre (A’BD) şi BD  ( ABC ) BD  ( ABC ) 0 (MBD). (A’BD)(MBD)m(A’OM)=90 m(A’OA)+ 0 0 +m(MOC)=90 m(A’OA)=90 m(MOC)tgA’OA= 0

=tg(90 m(MOC))tgA’OA=ctgMOC

AA ' OC  AC  2 AA’MC=AO AA’MC=    AO MC  2 

2

2

0

4AA’MC=AC AC= AA 'MC . b) Considerăm EFG dreptunghic în E, m(F)=30 , 0

EG=1GF=2EF= 3 . Ducem FQ bisect.EFGm(EFQ)=15 . Din teorema bisectoarei QE EF QE 3 QE 3 3       QE  QG GP QG 2 GE 2  3 2 3 0

0

m(FQE)=75 tg75 = dreptunghic, tgA’OA=

EF 3 2 3 0 0 0    2  3 . m(MOC)=15 , m(A’OM)=90 m(A’OA)=75 . În A’OA QE 1 3





AA ' AA ' a 2 a 2 a3 2 2  3  2 3   AA '  2  3 . Vprismei= a2  . 2 3  AO 2 2 2 a 2 2



C.R.VIII.4. Arătaţi că există un singur număr natural n pentru care:







24  316  52  314  3n  N

(7 puncte) ***

4 16 2 14 n 14 n 14 n 24  316  52  314  3n  N a=2 3 +5 3 +3 =pătrat perfecta=3 (169+25)+3 =3 169+3 . Dacă n14

Soluţie: n 14n 14n 2n 142k 2(7k) a=3 (3 169+1)=pp, pentru n=impar3 169+1  3 falsn=parn=2ka=3 (3 169+1)=pp1693 +1= 7k 14 14 n14 n14 2 =pp1699 +1=pp fals. Pentru n=14a=3 170pp. Pentru n14a=3 (169+3 )=pp169+3 =k 

3 =k 1693 =(k13)(k+13)k13= 3p1 , k+13= 3p2 unde p 1+p2=n14 3p 2  3p1 =26 dar 26  3 p1=0  n14 3 =27n14=3n=17 0 C.R.VIII.5. ABCDA’B’C’D’ este o prismă triunghiulară regulată cu baza ABC. Măsura unghiului dintre AB’ şi BC’ este 60 . Aflaţi volumul prismei ştiind că suma distanţelor de la orice punct situat în interiorul prismei la feţele laterale este 6 3 cm. (6 puncte) n14

2

n14

Mariana Benea, prof. Craiova

Soluţie: Dacă P este un punct situat în interiorul prismei şi considerăm un plan care conţine acest punct şi care este paralel cu bazele, atunci suma distanţelor de la P la Feţele laterale reprezintă suma distanţelor de la P la laturile triunghiului echilateral pe care acest plan îl determină în prismă. Arătăm că suma distanţelor de la un punct P situat în interiorul unui triunghi echilateral, la laturile triunghiului este egală cu

 3 , unde l este latura triunghiului. Fie Q’, M’, N’ 2

proiecţiile punctului P pe laturile MN, QN respectiv QM. S MNQ=SQMP+SMNP+SQPN

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

2 3   PN'   PQ'   PM'     2 2 2 2

43

Clasa a IV-a  3  3 . Dacă latura bazei prismei este l =6 3 l=12. Ducem 2 2 0 B’E//BC’B’C’BE=paralelogram, iar (AB’, BC’)(AB’, B’E)m(AB’E)=60 . Deoarece AB'  BC'  AB'  B' E AB’E este echilateralAB’=AE. În AEC, avem BE=B’C’=BCAB CE 2 2 2 2 2 este mediană iar AB= ACE este dreptunghic în AAE =EC AC =24 12  2

PN’+PM’+PQ’=

2

2

2

AE=12 3 cmAB’=12 3 , AB=12AB’ =AB’ AB =1443144=1442BB’=12 2 . Vprismei=AbI=

144 3 3  12 2  432 6 cm . 4

Rubrică realizată de Florin Benea, prof.Craiova Teză la matematică Clasa a VIII-a, Semestrul I Propusă de: Ion şi Diana Coteanu, prof. Dobreşti, Dolj

 Toate subiectele sunt obligatorii  Timpul efectiv de lucru este de 2 ore  Se acordă 10 puncte din oficiu SUBIECTUL I (45 puncte) Pe foaia de teză se trec numai rezultatele. 3p 1. a) Numerele: 5,05; 5,(05); 5,(50) scrise în ordine crescătoare, formează şirul crescător….. 3p b) Dacă a=5,05 şi b=5,0(5), iar m este media aritmetică a numerelor a şi b, atunci încercuiţi propoziţia adevărată: A) ma; B) mB; C) m=a; D) abb. 3p c) Dacă a=5,05 şi b=5,0(5), un număr x(a, b) este x=….. 3p 2. a) Dacă x0, atunci rezultatul calculului: x+ x 2 este ….. 1  3p b) Dacă x1, atunci rezultatul calculului: x  1  2 x   este ….. 2  3p

c) Soluţiile reale ale ecuaţiei x  1  x  3 , sunt …..

4p 3. Dacă A=mulţimea literelor cuvântului ,,mamă” şi B=mulţimea vocalelor din limba română, atunci: 3p a) AB= 3p b) AB= 3p c) AB= 4. 1 3p a) Pe o hartă întocmită la scara , suprafaţa municipiului Craiova este un pătrat cu latura de 5 cm. 180000 Suprafaţa reală din teren este de ….. km2? 3p b) Un automobil care se deplasează cu viteza medie de 63 km/h constată că de la Dobreşti la Craiova sunt 42km. Timpul în care va parcurge această distanţă este ….. min. 3p c) Ştiind că lumina se propagă în eter cu viteza de 300000000 m/s şi de la Soare la Pământ ajunge după 8 min, atunci distanţa medie de la Soare la Pământ este de ….. km. 3p 5. a) Laturile unui triunghi au lungimile de de…cm. 3p



18 cm,

 75  8  cm şi  48  2  cm. Perimetrul triunghiului este



b) Intervalul  2 , 2 conţine numerele întregi …..

3p c) Lungimile diagonalelor unui romb sunt de 2 cm şi 4 2 cm. Perimetrul rombului este de ….. cm. SUBIECTUL II(45 puncte). Pe foaia de teză scrieţi rezolvările complete 5p 1. a) În mulţimea propoziţiilor de mai jos, cuvântul ,,mă” are funcţia de pronume reflexiv. Realizaţi o diagramă cu săgeţi de la A la B. A B Mă duc la şcoală (1) a) pronume personal Mă duce la şcoală (2) b) pronume reflexiv. 5p b) Completaţi criteriul de deosebire: dacă pronumele dat are aceeaşi persoană şi acelaşi număr cu verbul este …. , iar dacă are altă persoană decât verbul este pronume ….. 2 5p 2. a) Rezolvaţi în R ecuaţia: (x3) +2=(x2)(x3). 8 5p b) Justificaţi (în scris) că valoarea maximă a fracţiei F(x)= este 4 şi se realizează pentru x=3. 2 x  6 x  11 MD' ND 3 3. Se dă cubul ABCDA’B’C’D’ şi MC’D’, NCD, astfel încât   . MC' NC 4 5p a) Stabiliţi poziţia perechilor de drepte: A’M şi AN; A’M şi B’C’; A’M şi DD’; A’M şi BC’. 5p b) Stabiliţi poziţia dreptei A’M faţă de planele: (A’B’C’), (ABC), (B’BC), (A’AD). 5p c) Dacă muchia cubului este de lungime l, determinaţi lungimea segmentului A’M. 5p d) Calculaţi valoarea cosinusului unghiului format de dreptele A’M şi B’C.

44

Nr.2/2009

Rubrica jocuri 3

5p e) Un corp de lemn cu densitatea =800kg/m , are forma de cub cu muchia de 10 cm. Ce masă şi ce greutate are 2 acel corp? (g=10m(s ). Teză la matematică Clasa a VIII-a, Semestrul I Propusă de: Ileana Didu, prof. Craiova

 Toate subiectele sunt obligatorii  Timpul efectiv de lucru este de 2 ore  Se acordă 10 puncte din oficiu Subiectul I (50 puncte) - Pe foaia de teză se trec numai rezultatele. 1. 4p a) Scris sub formă de fracţie ireductibilă numărul 3,75 este egal cu … 3p b) Rezultatul calculului

18 : 2 este egal cu …

3p c) Dintre numerele a=13 şi b=10 2 mai mare este numărul….. 2. 4p a) În intervalul 3; 4 se află un număr de … numere întregi. 3p b) Rezultatul calculului 1  2  2 este egal cu ….. 2

3p c) Fie x un număr real diferit de zero. Rezultatul calculului 20x :(3x+x+x) este egal cu ….. 3. 4p a) Valoarea de adevăr a propoziţiei ,,Numărul 2,5(7) este raţional” este ….. 3p b) Scrisă sub formă de interval mulţimea A= x  R 2  x  3 este egală cu …..





3p c) Valoarea de adevăr a propoziţiei ,, x =x, oricare ar fi x real” este… 4. ABCDA’B’C’D’ este un cub în care AB=3 8 cm. 4p a) Lungimea segmentului A’D, exprimată printr-un număr natural, este egală cu … cm. 3p b) Perimetrul triunghiului A’BC’ este egal cu … cm. 0 3p c) Măsura unghiului D’AC este egală cu ….. . 5. O prismă dreaptă ABCDEFA’B’C’D’E’F’ are bazele hexagoane regulate. 4p a) Numărul total al muchiilor prismei este egal cu ….. 3p b) Dacă AB=4 cm, atunci perimetrul bazei este egal cu … cm. 3p c) Dacă AA’= 10 cm şi M este un punct situat în planul (A’B’C’), atunci distanţa de la M la planul (BCD) este egală cu … cm. Subiectul II (40 puncte) Pe foaia de teză se trec rezolvările complete. 5 1. 5p a) Calculaţi  6. 6 1







 



2   5p b) Calculaţi  2  3  1  2 6  3   2 3  2 2 .  

2. 5p a) Simplificaţi

x 2  4x  3

. x2  x  6 5p b) Arătaţi că pentru orice xR, numărul m=(x23x2)(x23x8)+9 se poate scrie ca pătratul unui număr real. 3. În figura alăturată, ABCD este un tetraedru. Triunghiul BCD este echilateral, BC=12 cm şi AB=AC=AD=6 2 cm. Punctele M şi N sunt mijloacele laturilor BC, respectiv CD. 5p a) Completaţi pe foaia de teză desenul cu segmentul MN. 5p b) Arătaţi că triunghiul ABD este dreptunghic. 5p c) Calculaţi măsura unghiului dintre dreptele AM şi BD. 5p d) Fie punctele B’ şi D’ mijloacele muchiilor AB, respectiv AD. Calculaţi patrulaterul MND’B’. Rubrică realizată de Florin Benea, prof. Craiova

RUBRICA ELEVULUI*

2

3

4

1. Calculând (12) +(23) +(34) +…+(20032004)

2004

obţinem ….. Florentina Raru, elevă clasa a VII-a

x2 25 2. Care este soluţia ecuaţiei: ?  x 5 s5

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

45

Clasa a IV-a Geanina Leonte, elevă clasa a VII-a

x 3y 3. Dacă =0,(5), atunci să se calculeze  5y . y 9x Anca Săndulescu, elevă clasa a VII-a

1 3 5 99 2 4 6 98 4. Fie a= a     ...  şi b=    ...  . Să se calculeze produsul celor două numere. 2 4 6 100 3 5 7 99 Alexandra Toderică, elevă clasa a VI-a

5. Considerăm triunghiul ABC isoscel cu AB=AC=3, iar BC=n, nN. a) Câte triunghiuri de acest tip există? b) Determinaţi triunghiurile pentru care aria triunghiului ABC se exprimă printr-un număr natural. Ioana Raciu, elevă clasa a VII-a

6. Un şofer de autocar parcurge o anumită distanţă cu acel autocar şi efectuează următorul calcul: adună numerele naturale nenule ce reprezintă distanţa (km) cu viteza (km/h) şi cu timpul în ore (h) şi obţine 6008. Determinaţi cât timp a durat călătoria. Anda Trofin, elevă clasa a VI-a

7. Pentru şirurile: a) 5, 7, 9, 10, 13, 17, 16, …; Completaţi următorii patru termeni.

b) 3, 5, 11, 29, … Andreea Tănase, elevă clasa a VI-a

8. Cu câte zerouri se termină 1000!=123…1000? Andreea Coajă, elevă clasa a VI-a

9. O treime din suma a două numere naturale este 10, iar triplul diferenţei este 18. Aflaţi numerele. Ştefan Leonard Caia, elev clasa a III-a, Iaşi

10. Suma a trei numere este 100. Care sunt numerele dacă le adun două câte două, obţin 66 şi respectiv 64. Daniel Diaconu, elv clasa a II-a, Iaşi

11.Mutaţi două chibrituri în fiecare din cazurile următoare pentru a obţine egalităţile: a) VI+VI=III; b) VII+VII=II; c) VI+VII=III. Raluca Arsinte, elevă clasa a VI-a; Grinţieş, Neamţ

1

1 1    1. 12. Arătaţi că nu există numere naturale nenule x şi y astfel încât 2 xy x y2 Iunia Burlan, elevă clasa a VIII-a, Craiova

 x 2  y 2  z2  3 13. Să se rezolve sistemul:  .  xy  yz  xz  3 Iunia Burlan, elevă clasa a VIII-a, Craiova

3  5  7  ...  51  x 2 14. Să se afle xN dacă:  . 5  8  11  ...  77  2 x 3 Cristian Pârvu, elev clasa a VI-a, Craiova

xyz  yzt  ztx  txy 15. Arătaţi că numărul aN, ştiind că a= . xyzt Ioana Ioniţă, elevă Bacău

16. Aflaţi toate numerele care împărţite la 4 dau câtul 5. Andrei Ceparu, elev clasa a III-a, Iaşi

* În această rubrică intenţionăm să publicăm probleme propuse de elevi. Pentru a reuşi acest lucru un elev trebuie să fie rezolvitor constant de probleme din revistă şi să aibă şi rezultate foarte bune la matematică. Elevii care doresc să se regăsească printre propunătorii de probleme trebuie să aibă recomandarea învăţătorului sau profesorului de la clasă. Vă aşteptăm problemele. Vă urăm mult succes!

RUBRICA: JOCURI ŞAH Albul mută şi câştigă (partida Pytlakowski-Szukszata)

46

Nr.2/2009

Rubrica jocuri

Gh Calafetenu, prof. Drobeta Turnu Severin

Răspunsuri la cele 3 probleme din numărul anterior: 1. (partida Filcov –Pîdevski): 1. g8+, Tg8; / 2. Cf7 mat 2. (partida Stoltz-Pilsik): 1. Rf3, pf1/ 2. Rg3 cu mat 3. (partida Blackburn-Lipschitz): 1. cf2++ 2. Rg1, Ch3 mat

Găseşte în figura de mai jos desenul din dreptunghi.

Completaţi pătratul de mai jos cu numere astfel încât sumele pe linii, coloane şi diagonale să fie egale. 3 6 3 Fiind date numerele: 2, 7, 10, 25, 5, 4, folosind operaţiile ,,+, , , :” găsiţi pe rând rezultatele: 64, 86, 231.

CONCURSURI CONCURSUL DE MATEMATICĂ ,,GHEORGHE DUMITRESCU” EDIŢIA A XI-A, CRAIOVA, 31 OCTOMBRIE 2009 CLASA a IV-a Subiectul 1. a) Calculează: 3+5+7+9+…+2007+20092468…2008=

Revista de matematică alpha – publicaţie semestrială

47

Clasa a IV-a b) Află pe ,,a” din egalitatea: 82125a+3(5617=96. Subiectul 2. Află suma tuturor numerelor naturale de forma abc , ştiind că diferenţa dintre fiecare număr şi răsturnatul său este 792. Subiectul 3. Mai multe prietene doresc să îşi cumpere o minge de volei. Dacă ar da fiecare câte 4 lei, le-ar mai trebui 20 lei să achiziţioneze mingea, iar dacă ar da fiecare 5 lei, le-ar rămâne 5 lei după cumpărarea mingii. Câte prietene sunt şi câţi lei costă mingea? CLASA a V-a 1. Fie numărul de forma n= xy 287 +13x, unde x, y cifre şi x0. Aflaţi: a) cea mai mare valoare a lui n; b) suma resturilor posibile şi diferite ale împărţirii numerelor de forma n la 100. 2. Scrieţi numărul 33003 ca o sumă de trei numere naturale consecutive. 2003 3. Aflaţi suma cifrelor numărului A=102003+910 1 şi apoi aflaţi restul împărţirii lui A la 9. (Selecţie realizată de prof. Maria Ionescu) CLASA a VI-a 1. Arătaţi că dacă 233a+13b+8c şi 23a+b+c unde a, b, cN atunci: 234a+8b+6c. 2. Suma a trei numere naturale este 2009. Împărţind al treilea număr la suma primelor două numere se obţine câtul 20 şi restul 14. Dacă cel mai mare divizor comun al primelor două numere este 19, să se afle cele trei numere. 3. Fie dreapta d şi A, B, Cd cu C(AB) astfel ca ACCB. Fie Dd şi Ed astfel încât A şi respectiv B să fie mijloacele segmentelor (CD) şi (CE). Dacă M este mijlocul lui (DE) iar N este mijlocul lui (AB) cu MN=6, atunci calculaţi CN. (Selecţie realizată de prof. Ramona Bălăşoiu) CLASA a VII-a 1 1 1 1    ...  1 3 5 2009 2 3 1005 1. Fie a=    ...  . Calculaţi media aritmetică a numerelor a şi b. şi b  2 4 6 2010 2 2. a) Aflaţi xQ astfel încât: x:

91005  32011  2  32010 32009  1



1 1 1   ...  . 3 32 3 2009

1 1  =n, unde nZ, atunci n  2 . x y 1 1 c) Determinaţi numerele întregi nenule x, y, z astfel încât x+   2009 . y z 3. Fie pătratul ABCD şi punctele E, F în interiorul, respectiv exteriorul acestuia astfel încât triunghiul ADE să fie echilateral, iar triunghiul ADF isoscel, cu baza AD. Demonstraţi că patrulaterul ABFE este romb dacă şi numai dacă 0 m(AFD)=30 . (Selecţie realizată de prof. Camelia Dană şi Ion Pătraşcu)

b) Arătaţi că dacă x, yZ* şi

CLASA a VII-a 1. a) Arătaţi că:

k k  1  1 k4  k2  1



k

 . k2  k  1 k 2  k  1

b) Să se calculeze suma: S= 2. a) Arătaţi că:

 2x 

2x  1



12  1  1 14  12  1



22  2  1

 ... 

2 4  22  1 2 x  1  2x 1, xN*.



2009 2  2009  1 2009 4  2009 2  1

.

 2  1 3  2  4  3  5  4  ...   2008   2  1 3  2  4  3  5  4  ...   2008  2007  2009  2008 

b) Comparaţi numerel a şi b: a= b=

k 1

2007

 2009 

2008



c) Să se determine numerele naturale n pentru care n2  6n  26 este număr natural. 3. Fie A, B, C, D puncte necoplanare, AB   AC  şi E(AB), F(AC) astfel încât AE   CF . a) Arătaţi că dreapta OP este paralelă cu planul (BCD), unde O şi P sunt mijloacele segmentelor (EF) respectiv (AD). MT b) Dacă M este mijlocul segmentului (BC), G este centrul de greutate al DBC şi AGMP=T, calculaţi . TP (Selecţie realizată de prof. Cristian Moanţă)

48

Nr.2/2009