Copie de l'examen final

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U.S.T.H.B. 2012-2013 Semestre 1. Math 3 : Séries. Faculté de Mathématiques. 2` eme Lic, ST-GP, Section F. Examen finale - 13 janvier 2013. Durée : 90 minutes.

U.S.T.H.B. 2012-2013 Semestre 1 Math 3 : Séries Faculté de Mathématiques 2eme Lic, ST-GP, Section F Examen …nale - 13 janvier 2013. Durée : 90 minutes Nom :.............................................................................................. Matricule :.............................................................. Prénom :..................................................................................... Groupe :..................................................................... ============================================================= Exercice 1 (5 points) : Quelle est la nature des séries numériques suivantes : 1 X

1 1) n 2 +1 n=1

2)

1 X nn

n! n=0

Réponse.

1/4

3)

1 X n=0

ne

n

============================================================= Exercice 2 (5 points) : a) Calculer le rayon de convergence R de b) On pose f (x) =

1 X

1 X

(n2 + 1) 2n+1 xn et étudier sa convergence en x =

n=0

n+1 n

2

(n + 1) 2

x et g (x) =

n=0

1 X n=0

2 00

0

xn , x 2 ] R; R[.

Montrer que f (x) = 8x g (2x) + 4xg (2x) + 2g (2x). c) En déduire la somme

1 X

2

n+1 n

(n + 1) 2

x . Indication. Noter que g (x) =

n=0

n=0

Réponse.

1 X

2/4

xn =

1 1

x

.

R.

============================================================= Exercice 3 (5 points) : On considère la fonction f : R ! R dé…nie par f (x) = ex sin x: p n x a) Montrer que la dérivée nieme de f est f (n) (x) = 2 e sin x + n , n 1. 4 p . Indication. Noter que sin a + cos a = 2 sin a + 4 b) En déduire le développement en séries entières de f et donner son domaine de convergence. Réponse.

3/4

============================================================= Exercice 4 (5 points) : Soit f la fonction 2 -périodique dé…nie par

f (x) =

8 >
: 2

2

si

x2]

si

x 2 ]0; ] :

; 0] ;

a) Tracer le graphe de la fonction f pour x 2 [ 3 ; 3 ].

Réponse.

b) Écrire la série de Fourier f associée à f et étudier sa convergence sur ] ; [. 1 X ( 1)n c) En déduire la somme de la série numérique : 2n + 1 n=0 Z 1 1 X a20 X 2 1 1 2 2 d) En appliquant l’égalité de Parseval + (an + bn ) = (f (x)) dx, calculer : 2 n=1 (2n + 1)2 n=0

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