Développer et factoriser l'expression : (. ) (. ) (. ) 2. 18. 2 2 3. 1. 3. 1 x. x x x. − +. +
−. +. EXERCICE 3 : Fractions a. Simplifier l'écriture suivante: 3 7 1 3. 4 5 3 2.
DEVOIRS CORRIGES
DEVOIR NUMERO 1 CALCULATRICE NON AUTORISEE EXERCICE 1 : Arithmétique a. Décomposer les nombres 111375 et 1575 en facteurs premiers. b. En déduire une simplification de la fraction :
111375 1575
EXERCICE 2 : Identités remarquables. a. Les réels a et b sont positifs.
(
Développer a 2 + b 2
) − (a 2
2
− b2
)
2
(a
En déduire :
(
2
+ b2
) − (a 2
2
− b2
)
2
)
b. Développer et factoriser l’expression : 18 x 2 − 2 + 2 x ( 3 x + 1) − ( 3 x + 1)
EXERCICE 3 : Fractions 3 7 1 3 − − a. Simplifier l'écriture suivante: 4 5 : 3 2 . 2 3 5 3 − − 3 5 3 4
x −1 x +1 b. Simplifier l'écriture de l'expression x ( x − 1) 1+ x +1 x−
EXERCICE 4 : Puissances 570 x2−34 102 . : 15 22 25 x8 4x25
a. Simplifier l'écriture suivante : b. Simplifier les nombres A, B et :
A . A = a 2 b −3 a −3 b − 2 B
(
)
5
EXERCICE 5 : Racines carrées
(
a. Simplifier l’écriture suivante : 1 + 3
) (2 + 3 ) 2
b. Ecrire sans radicaux au dénominateur :
1+ 5 2− 5
c. Les réels a et b sont positifs avec a>b. Montrer que
a + b + 2 ab + a + b − 2 ab = 2 a
−
(
; B = a 2 b a −2 b 3
1− 5 2+ 5
)
−3
a 4 b −1 .
REPONSES
EXERCICE 1 : Arithmétique a. 111375= 34 x53x11 b.
1575=32x53x7
111375 32 x 5 x11 395 = = 1575 7 7
EXERCICE 2 : Identités remarquables. c.
(a
2
+ b2
) − (a 2
2
)
2
− b 2 = 4a 2 b 2 .D’où
(a
2
+ b2
) − (a 2
2
− b2
)
2
= 2ab
Les deux expressions sont égales. d.
(18 x
2
)
− 2 + 2 x ( 3 x + 1) − ( 3 x + 1) = 24 x 2 − 5 x + 2 = ( 3 x + 1)( 8 x − 3 )
DEVOIR NUMERO 2 CALCULATRICE NON AUTORISEE EXERCICE 1 : Arithmétique a. Décomposer les nombres 252 et 1320 en facteurs premiers. b. En déduire une simplification de la fraction :
1320 252
EXERCICE 2 : Identités remarquables. a. Développer ( a + b + c ) − 3ab − 3ac − 3bc et 2
(
)
1 2 2 2 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) et 2
comparer les résultats.
(
)
b. Développer et factoriser l’expression : x 2 − 49 ( 2 x + 5 ) − ( 4 x + 28 )( x − 7 )
EXERCICE 3 : Fractions 1 6 2 1 − − a. Simplifier l'écriture suivante: 4 5 : 3 2 . 1 1 3 3 − − 3 5 5 2
x −1 x +1 b. Simplifier l'écriture de l'expression x(x − 1) 1+ x +1 x−
EXERCICE 4 : Puissances 873 x3 −31 102 : . 15 220 9 x2 4x25
a. Simplifier l'écriture suivante : b. Simplifier les nombres A, B et
A . A = ab −2 a −1b 2 B
(
)
4
EXERCICE 5 : Racines carrées
(
a. Simplifier l’écriture suivante : 1 + 3
) (2 + 3 ) 2
b. Ecrire sans radicaux au dénominateur :
c. Montrer que
3 + 5 + 3 − 5 = 10
(
)
3
; B = a −2b a 2 b −1 a −1b .
1 1 + 3+ 2 3− 2
SOLUTIONS EXERCICE 1 : Arithmétique a. 252= 22 x32x7 b.
1320=23x3x5x11
252 22 x 3 2 x 7 3x7 21 = 3 = = 1320 2 x 3 x 5 x11 2 x 5 x11 110
EXERCICE 2 : Identités remarquables. c.
(a + b + c )
2
− 3ab − 3ac − 3bc = a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc
(
)
1 2 2 2 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = a2 + b2 + c 2 − ab − ac − bc . 2 Les deux expressions sont égales. d.
(x
2
)
− 49 ( 2 x + 5 ) − ( 4 x + 28 )( x − 7 ) = 2 x 3 + x 2 − 98 x − 49 = ( x − 7 )( x + 7 )( 2 x + 1)
EXERCICE 3 : Fractions a.
1 6 2 1 −19 1 − − 4 5 : 3 2 = 20 : 6 = 1539 . 1 1 3 3 2 −9 40 − − 3 5 5 2 15 10
x −1 x2 + 1 x +1 = x +1 =1 b. x(x − 1) x 2 + 1 1+ x +1 x +1 x−
EXERCICE 4 : Puissances 873 x3 −31 102 = 2−1 x3−61 = a. 15 220 : 9 x2 4x25 b. A = a −3 b 6 ; B = a3 b −1 ; C = a −6 b 7
EXERCICE 5 : Racines carrées a.
(1+ 3 ) ( 2 + 3 ) = ( 4 + 2 3 )( 2 + 3 ) = 2 ( 2 + 3 )( 2 + 3 ) = 2 ( 2 + 3 ) 2
1
b.
3+ 2
+
1 3− 2
= 14 + 8 3
= 3− 2+ 3+ 2=2 3
3 + 5 + 3 − 5 = 10 car
c.
2
(
3+ 5 + 3− 5
)
2
= 10 .
En effet :
(
3+ 5 + 3− 5
)
2
2
2
= 3+ 5 + 3− 5 +2 3+ 5 3− 5 =3+ 5 +3− 5 +2
(3 + 5 )( 3 − 5 ) = 6 + 2
= 6 + 2 9 − 5 = 6 + 4 = 10
32 −
( 5)
2
DEVOIR NUMERO 3 EXERCICE 1 a. Comparer les expressions : o
a3 ( b − c ) + b3 ( c − a ) + c 3 ( a − b )
o
( a + b + c )( c − b )( b − a )( a − c )
b. On note a et b deux réels strictement positifs et distincts Simplifier l’écriture de A =
b a -a b b- a
c. Soit a et b deux réels tels que : a≥b et X = a + a 2 − b 2 + a − a 2 − b 2 . Montrer que le nombre X existe (facultatif. Pour ceux qui veulent faire S). Calculer X2 . En déduire la valeur exacte de X. d. Soit b le nombre : b =
1 3+ 2
e. Soit c le nombre égal à : c =
Montrer que: b4 = 10 b2 -1.
1+ 5 1 . Montrer que c = 1 2 11+ c
EXERCICE 2 Résoudre les équations et inéquations suivantes a.
1 3 2+x = 1- x x +1 1- x 2
b. Vérifier que : a3- b3 = (a - b)(a2+ ab + b2). Appliquer la formule précédente pour factoriser: l’expression: 2(x3 - 8) - 3(x 2 - 4) - 2(x - 2) En déduire les solutions de l’équation: 2(x3 - 8) - 3(x 2 - 4) - 2(x - 2) = 0
EXERCICE 3 J'ai trois l'age que vous aviez quand j'avais l'age que vous avez. Quand vous aurez l'age que j'ai, nous aurons 140 ans à nous deux Trouvez mon age ?
EXERCICE 4 a. Le prix initial d’un article est p Il augmente de 25 %. Quel pourcentage de diminution fautil appliquer au nouveau prix pour retrouver le prix initial p ? b. Un article augmente de 10% par an pendant 4 ans. Calculer le pourcentage global d’augmentation sur les quatre années.
SOLUTIONS EXERCICE 1 a. Elles sont égales. b. A =
b a −a b b− a
x
b+ a b+ a
=
b ab − a ab = ab b−a
c. Soit X = a + a 2 − b 2 + a − a 2 − b 2 . o Montrons que le nombre X existe.
X existe, si les nombres qui figurent sous le signe Puisque a ≥ b ≥ 0 alors a2 - b2 ≥ 0 donc Puisque a ≥ 0 et que
sont positifs.
a 2 − b 2 existe.
a 2 − b 2 existe, alors a + a 2 − b 2 ≥ 0 donc
Il est évident que a2 ≥ a2 - b2 ≥ 0 donc a − a 2 − b 2 ≥ 0 donc
a + a 2 − b 2 existe.
a 2 ≥ a 2 − b 2 donc a ≥ a 2 − b 2 donc
a − a 2 − b 2 existe
o Calcul de X2.
X est une expression de la forme X= x + y avec x= a + a 2 − b 2 et y = a − a 2 − b 2 Par suite X2 = (x+y)2 = x2+y2+2xy. Ce qui donne : X = a + a2 − b2 + a − a2 − b2
2
2
2
2
= a + a2 − b2 + a − a2 − b2 + 2 a + a2 − b2 a − a2 − b2 = a + a2 − b2 + a − a2 − b2 + 2
(a +
a2 − b2
)(a −
a2 − b2
)
= 2a + 2b
o Expression simple de X.
Puisque a et b sont positifs, X 2 = 2 ( a + b ) implique X = 2 ( a + b )
d. b = 3 - 2 ; b2 = 5 - 2 6 ; b4 = 49 - 20 6 .
10b2 -1= 50 - 20 6 -1= 49 - 20 6 On a bien l’égalité demandée.
e.
1 = 1 111+ c
1 1 1 3+ 5 = = = = 1 2 1+ 5 1+ 5 11+ 5 3+ 5 3+ 5 1+ 2
5 +1 =c 2
EXERCICE 2 a. L’équation
3x - 4 1 3 2+ x =0. = est équivalente à 2 1- x 2 1- x x +1 1- x
Cette équation a une solution : x =
4 . 3
b. 2(x3 - 8) - 3(x 2 - 4) - 2(x - 2) = 0 s’écrit : 2(x-2)(x2+2x+4)-3(x-2)(x+2)-2(x-2)=0 soit encore : (x-2)(2x2+x)=0 soit x(x-2)(2x+1) = 0
1 Cette équation a comme ensemble des solutions : S= 2 ; 0 ;- 2
EXERCICE 3 Notons A et B les deux personnes, a et b leur âge. Supposons que A soit plus âgé que B. La différence d'âge entre les deux est : d = a - b o Quand A avait l'âge de B, B avait b - d années donc l'âge de A est a = 3(b - d) = 3(2b - a).
Cette relation se simplifie et s'écrit: 4a = 6b. o Quand B aura l'âge de A, A aura a + d années c'est à dire a + (a - b) = 2a - b. On sait
qu'alors la somme de leurs âges est 140 donc a+ (2a - b) = 140 soit 3a - b =140 (1) 2 4a = 6b De (1) on déduit : b = a . 3 3a − b = 140 (2)
o Les nombres a et b sont solutions du système
2 En reportant cette valeur de b dans (2) on obtient l’équation en a : 3a − a = 140 . 3 En résolvant cette équation, on obtient a = 60 et b = 40.
EXERCICE 4 a. Soit x le pourcentage à appliquer pour retrouver la valeur p. 25 125 p = 1,25 p . Après une augmentation de 25% le prix de l’article est p 1 + = 100 100 x Si on applique x% de diminution, le prix 1,25p redevient p donc : 1,25 p 1 − = p. 100 x En simplifiant par, p on trouve que x est solution de l’équation : 1,25 1 − = 1. 100
La résolution de cette équation donne : x = 20 .
b. Soit x la valeur initiale de l’article. Après 4 augmentation de 10%, l’article a comme 4
10 valeur : y = x 1 + . Le pourcentage d’augmentation est alors : 100 4
10 x 1+ −x 4 y−x 10 100 100 = 100 = 100 1 + − 1 = 46,41 100 x x
DEVOIR NUMERO 4 CALCULATRICE NON AUTORISEE EXERCICE 1 : Du bon sens. Un tonneau de bière permet de remplir 300 bouteilles de 25 cl. On augmente la capacité des bouteilles de 20 %. Combien de bouteilles pourra-t-on remplir à partir du même tonneau ?
EXERCICE 2 : Identités remarquables. a.
(
Développer et simplifier l’expression : ( a − b ) a3 + a 2b + ab 2 + b3
(
)
)
En déduire une factorisation de ( a − b ) a3 + a 2b + ab 2 + b3 en trois facteurs.
(
)
b. Développer et factoriser l’expression : 36 x 2 − 16 + 7 x ( 3 x + 2 ) − ( 3 x + 2 ) .
EXERCICE 3 : Fractions 8
a. Simplifier l'écriture suivante:
7 −3 4
b. Simplifier l'écriture de l'expression :
1 1 − :3 2 . 11
x +1 x −1 4x + − x − 1 x + 1 (1 − x )(1 + x )
EXERCICE 4 : Puissances 370 x5−34 32 . : 15 22 15 x9 27x25
a. Simplifier l'écriture suivante : b. Simplifier les nombres A, B et :
A . A = a 5 b −8 a −9 b −12 B
(
)
3
(
; B = a 4 b −2 a −5 b − 3
)
7
a8 b −10 .
SOLUTIONS
EXERCICE 1 : Du bon sens Le tonneau contient : 300x25 cl. 20 La nouvelle bouteille contient 25 1 + = 30 cl . 100 Le nombre de bouteilles que l’on peut remplir est alors de :
300 x 25 = 250 . 30
EXERCICE 2 : Identités remarquables. a.
( a − b ) ( a3 + a2b + ab2 + b3 ) = a 4 − b 4 = ( a2 − b2 )( a2 + b2 ) = ( a − b )( a + b ) ( a2 + b2 ) .
b.
( 36x
2
)
(
)
− 16 + 7 x ( 3 x + 2 ) − ( 3 x + 2 ) = 4 9 x 2 − 4 + 7 x ( 3 x + 2 ) − ( 3 x + 2 ) = 4 ( 3 x + 2 )( 3 x − 2 ) + 7 x ( 3 x + 2 ) − ( 3 x + 2 ) = ( 3 x + 2 ) ( 4 ( 3 x − 2 ) + 7 x − 1) = ( 3 x + 2 )(19 x − 9 ) = = 57 x 2 + 11x − 18
EXERCICE 3 : Fractions 1 1 1 − − 8 32 a. . :3 2 = : 6 = − x ( −66 ) 7 5 11 5 11 −3 − 4 4 8
( x + 1) + ( x − 1) − 4x = x +1 x −1 4x + + = x − 1 x + 1 (1 − x )(1 + x ) x2 − 1 2
b.
=
(
2
) = 2 ( x − 1)
2 x 2 − 2x + 1 x −1 2
x −1 2
EXERCICE 4 : Puissances 370 x5−34 32 370 x5−34 32 = 15 15 44 : 3 2 = 312 x5 −47 a. 15 22 : 3 x5 15 x9 27x25 3 x5 x3 b.
A = a −22 b −44 ; B = a −23 b −33 ;
A = ab −11 B
2
=
2 ( x − 1) x +1
DEVOIR NUMERO 5 CALCULATRICE NON AUTORISEE EXERCICE 1 : Du bon sens. Lors d’une fête foraine, les organisateurs se font livrer un tonneau de vin à 9h du matin. A 11 heures, le cinquième du tonneau a été consommé, soit 40 litres. Le soir, à la fermeture, le tonneau ne contient plus qu’un dixième de son contenu initial. Quelle est la quantité de vin dans le tonneau à la fin de la fête.
EXERCICE 2 : Identités remarquables. Développer les expressions :
A = ( ab − 1) − ( a − b ) et B = ( a + 1)( b + 1)( a − 1)( b − 1) . 2
2
Que peut-on conclure ?
EXERCICE 3 : Fractions 1−
a. Simplifier l'écriture suivante: 1+
b. Calculer
1 + 3 1 − 3
1 1+ 1 1−
1 3 . 1 3
( x − 1)( x + 2 )
En utilisant le résultat précédent, simplifier l'écriture de l'expression :
EXERCICE 4 : Puissances 7
3
2
2
1
a. Simplifier l'écriture suivante : − x − x ( −7 ) x − . 8 7 14
(a b ) Simplifier l’expression : a ( ab ) 2
b.
−3
−3
2
4 −2
x + 2 2x + 4 − 2 x −1 x −1
SOLUTIONS
EXERCICE 1 : Du bon sens 1 1 1 du tonneau vaut 40 litres . est la moitié de . Il reste donc 20 litres de vin. 5 10 5
EXERCICE 2 : Identités remarquables. A = ( ab − 1) − ( a − b ) = a 2b 2 − a 2 − b 2 − 1 2
2
(
)(
)
B = ( a + 1)( b + 1)( a − 1)( b − 1) = a 2 − 1 b 2 − 1 = a 2b 2 − a 2 − b 2 − 1
On conclut que A = B .
EXERCICE 3 : Fractions a. . Le numérateur vaut
b.
17 1 17 et le dénominateur − . La fraction vaut − 6 2 12
( x − 1)( x + 2 ) = x 2 + x − 2 ( x + 2 )( x + 1) − ( 2x + 4 ) = x 2 + x − 2 x + 2 2x + 4 ( x + 2 )( x + 1) 2x + 4 − 2 = − = x − 1 x − 1 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) Or d’après la question précédente, ( x − 1)( x + 2 ) = x 2 + x − 2 donc
( x − 1)( x + 2 ) = x + 2 x2 + x − 2 = ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) x − 1
EXERCICE 4 : Puissances 3
2
74 x22 x7x1 7 4 x22 7 7 7 2 1 a. − x − x ( −7 ) x − = − 3 2 =− 9 2 =− 8 = 256 8 x7 x14 2 x7 x2x7 2 8 7 14
(a b ) a ( ab ) 2
b.
−3
−3
2
4
−2
=
a8 b −12 a8 b −12 = = a13 b −8 −5 − 4 −3 −2 −4 a b a (a b )
DEVOIR NUMERO 6 EXERCICE 1 a. Rappeler la formule de : ( x + y + z )
2
b. Calculer les deux expressions : o
(a
o
( ad + be + cf )
2
)(
+ b2 + c 2 d 2 + e2 + f 2 2
)
+ ( bf − ce ) + ( cd − af ) + ( ae − bd ) 2
2
2
Que peut-on conclure ?
EXERCICE 2 Factoriser l’expression :
( 4a
2
+ b2 − 9
)
2
− 16a 2b 2 sous la forme de 4 produits.
EXERCICE 3 Soient x et y deux réels. On appelle M ( x,y ) le nombre égal à : M ( x,y ) =
x+y . 2
Soient a et b deux réels. On pose : c = M ( a,b ) . Calculer : M ( a,c ) , M ( b,c ) et M ( M ( a,c ) ,M ( b,c ) ) . Que conclure ?
EXERCICE 4 Deux cyclistes A et B font une course poursuite. A démarre le premier et roule à 42 km/h. B démarre 20 minutes après et rattrape A au bout de 60 minutes. A quelle vitesse a-t-il roulé ? (Nota : un des cyclistes marche au super) Cette remarque n’est pas dans le texte original.
EXERCICE 5 (Pour ceux qui souhaitent aller en S) a. Vérifier que : a3-b3 = (a - b)(a2+ ab + b2). b. En déduire une factorisation de : 2(x3 - 8) - 3(x 2 - 4) - 2(x - 2) .
EXERCICE 6 (Pour ceux qui souhaitent aller en S) Soient 4 nombres réels a, b, c et d avec bd ≠ 0 et : ac ( a + c ) = . Montrer que : bd ( b + d )2 2
a c = . b d
SOLUTIONS EXERCICE 1 a.
( x + y + z)
2
= x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 xz + 2yz .
b. o
(a
o
( ad + be + cf )
2
)(
)
+ b 2 + c 2 d 2 + e 2 + f 2 = a 2d 2 + a 2 e 2 + a 2 f 2 + b 2 d 2 + b 2 e 2 + b 2 f 2 + c 2 d 2 + c 2 e 2 + c 2 f 2 2
+ ( bf − ce ) + ( cd − af ) + ( ae − bd ) 2
2
(
2
)
= a 2d 2 + b 2e 2 + c 2f 2 + 2adbe + 2adcf + 2becf + b 2f 2 + c 2e 2 − 2bfce + c 2d 2 + a 2f 2 − 2cdaf + a 2e 2 + b 2d 2 − 2aebd = a 2 d 2 + a 2 e 2 + a 2 f 2 + b 2 d 2 + b 2e 2 + b 2 f 2 + c 2d 2 + c 2 e 2 + c 2 f 2
On peut conclure que les deux expressions sont égales.
EXERCICE 2
( 4a
2
+ b2 − 9
)
2
(
)(
− 16a 2b 2 = 4a 2 + b 2 − 9 − 4ab 4a 2 + b 2 − 9 + 4ab =
(( 2a − b )
2
−9
) (( 2a + b )
2
−9
)
)
= ( 2a − b − 3 )( 2a − b + 3 )( 2a + b − 3 )( 2a + b + 3 )
EXERCICE 3 a+b a+c = c= donc : M ( a,c ) = 2 2 M ( M ( a,c ) ,M ( b,c ) ) =
a+
a+b a+b b+ 3 + a b b c + 2 = 2 = 3b + a . . M ( b,c ) = = 2 4 2 2 4
M ( a,c ) + M ( b,c ) 2
3a + b 3b + a + 4 4 = a + b d’où M ( M ( a,c ) ,M ( b,c ) ) = M ( a,b ) = 2 2
EXERCICE 4 En 60 mn, A a parcouru 42 km. Quand B démarre, A a donc parcouru 14 km. Donc B rattrape A au bout de 42+14=56 km. La vitesse de B est de 56km/h. (C’est mieux qu’Amstrong !)
EXERCICE 5 a. a3-b3 = (a - b)(a2+ ab + b2). Facile. b.
(
) (
)
2(x3 - 8) - 3(x 2 - 4) - 2(x - 2) = 2 x 2 - 23 - 3 x 2 - 22 + 2 ( x - 2 )
(
)
= 2 ( x - 2 ) x 2 + 2x + 2 - 3 ( x - 2 )( x + 2 ) + 2 ( x - 2 )
( = ( x - 2 ) ( 2x 2 + x )
= ( x - 2 ) 2x 2 + 4x + 4 - 3 ( x + 2 ) + 2
)
= x ( x - 2 )( 2x +1)
EXERCICE 6 a c ac ( a + c ) = . = implique : b d bd ( b + d )2 2
a c = ⇔ ad = bc b d ac ( a + c ) 2 2 = équivaut à montrer que ac ( b + d ) = bd ( a + c ) . Montrer que 2 bd ( b + d ) 2
ac ( b + d ) = acb 2 + 2acbd + acd 2 = a ( cb ) b + 2acbd + ( ad ) cd = a ( ad ) b + 2acbd + bdc 2 2
(
)
= bd a 2 + 2ac + c 2 = bd ( a + c )
2
DEVOIR NUMERO 7 EXERCICE 1 a. Soit a un réel. Montrer que
4a ≤ 2. a +1 2
b. Les réels a, b sont strictement positifs. Démontrer que
8 ( a + b )2
≤
2 . ab
EXERCICE 2 Résoudre l’équation
x − 3 3x + 1 = −2. x −1 x − 3
EXERCICE 3 Des passagers occupent les quatre cinquième de trois cars. Un quart descend. Peut-on mettre les trois quarts restant dans deux cars ?
EXERCICE 4 Le salaire mensuel d’un commercial est constitué d’une somme forfaitaire de 1400€ et d’une commission de 5,5% du montant x en euros des ventes qu’il a réalisées dans le mois. Quel montant de vente, le commercial doit-il réaliser pour percevoir un salaire de 2000€
SOLUTIONS EXERCICE 1 4a ≤ 2. a +1
a. Démontrons que pour a réel.
2
Puisque a 2 + 1 > 0 , démontrer
(
)
Or 4a ≤ 2 a 2 + 1 ⇔ 0 ≤ ( a − 1)
4a ≤ 2 équivaut à démontrer que 4a ≤ 2 a 2 + 1 . a +1
(
2
2
La dernière inégalité est vraie donc la première aussi.
c. Démonstration de :
Calculons
8 ( a + b )2
8
−
( a + b )2
8 ( a + b )2
−
2 . ab
≤
2 ab
2 8 ab - 2( a + b )2 -2( a - b )2 = = . ab ( a + b )2 ab ( a + b )2 ab
IL va de soi que :
8 ( a + b )2
Ce qui démontre que :
−
2 est un nombre négatif. ab
8 ( a + b )2
≤
2 ab
EXERCICE 2 Résolution de l’équation Réduisons l’équation Cela donne :
x − 3 3x + 1 = −2. x −1 x − 3
x − 3 3x + 1 = − 2 au dénominateur ( x − 1)( x − 3 ) . x −1 x − 3
16 4 −12 x + 16 = . = 0 . D’où la solution : x = 12 3 ( x − 1)( x − 3 )
)
EXERCICE 3 Des passagers occupent les quatre cinquième de trois cars. Un quart descend. Peut-on mettre les trois quarts restant dans deux cars ? Soit P le nombre de passagers d’un car. Dans les trois cars, il y a
4 x 3P passagers 5
Parmi ces passagers, un quart descend. Il reste donc
4 3 36P 9P passagers. x 3Px = = 5 4 20 5
Les trois quarts de ces passagers valent :1,8P passagers. Dans deux cars, il y a 2P places. 2P > 1,8P . Il y a donc plus de places que de passagers. La réponse à la question est OUI.
EXERCICE 4 Le salaire de 2000 € se compose du salaire fixe de 1400€ et de la commission soit 5,5 5,5 600 x100 x . On a donc : 1400 + x = 2000 . On déduit facilement que x = 5,5 100 100
DEVOIR NUMERO 8 EXERCICE 1 Les réels a,b et c sont trois nombres strictement positifs. 1. Montrer que :
ab a+b . ≤ a+b 4
2. En déduire que
ab bc ca a+b+c + + ≤ . a+b b+c c +a 2
EXERCICE 2 Résoudre l’équation :
2 3x 4 − = − 1. 3x − 1 3x + 1 9x 2 − 1
EXERCICE 3 La jauge d’essence d’un véhicule marque la moitié. L’automobiliste ajoute 12 litres. La jauge d’essence d’un véhicule marque alors les trois quarts. Quelle est la contenance du réservoir ?
EXERCICE 4 Pierre est parti en vacances dans un club. La plage, les buffets bien garnis lui ont fait prendre quelques kilos. Les kilos en plus pris par Pierre représentent 10% de son poids initial. On appelle p le poids de Pierre avant les vacances. a. Exprimer le poids p ' de Pierre après les vacances en fonction de p . b. Après les vacances, Pierre décide de retrouver son poids d’avant les vacances. On appelle x le pourcentage de poids qu’il doit perdre. Ecrire l’équation vérifiée par x. Calculer x.
SOLUTIONS EXERCICE 1
( a − b ) . Il est évident que ab a+b 1. Il est facile de montrer que : − =− a+b 4 4 (a + b ) 2
(a − b ) ≤ 0 − 4 (a + b ) 2
Puisque
ab a+b − est négatif, l’inégalité est démontrée. a+b 4
2. Déduisons que :
ab bc ca a+b+c . + + ≤ a+b b+c c +a 2
On aurait de même :
bc b+c ca c +a ≤ et ≤ . b+c 4 a+c 4
En ajoutant membre à membre les trois inégalités : ab a+b bc b+c ca c +a ≤ , ≤ et ≤ . a+b 4 b+c 4 a+c 4 on obtient le résultat demandé.
EXERCICE 2 Résolution de :
2 3x 4 − = 2 −1 3x − 1 3x + 1 9x − 1
L’équation ci-dessus s’écrit aussi en réduisant au même dénominateur :
Le numérateur de
9x − 3 = 0. 9x 2 − 1
9x − 3 1 1 s’annule pour x = . Mais annulle aussi le dénominateur 2 9x − 1 3 3
9 x 2 − 1 donc cette équation n’a pas de solution.
EXERCICE 3 Soit x la contenance du réservoir. Avant d’ajouter 12 litres d’essence, le réservoir contenait
x litres. 2
Après avoir ajouter 12 litres d’essence le réservoir contient
Donc :
3x litres. 4
x 3x . + 12 = 2 4
La résolution de cette équation donne : x = 48 .
EXERCICE 4 Après les vacances Pierre pèse p +
p = 1,1p 10
Si sur 1,1p Pierre perd x %, il retrouve p donc : 1,1p – 1,1x p = p. Le nombre x est alors solution de l’équation : 1,1 – 1,1x = 1. D’où 1,1x = 0,1 soit x =
1 ≈ 0,0909 11
Pierre doit donc perdre 9,09% de poids pour retrouver la ligne.
DEVOIR NUMERO 9 EXERCICE 1 Comparer les expressions : o
a3 ( b − c ) + b3 ( c − a ) + c 3 ( a − b )
o
( a + b + c )( c − b )( b − a )( a − c ) .
EXERCICE 2 a. Vérifier que 3 x 2 + 5 x − 22 = ( x − 2 )( 3 x + 11) b. Résoudre l’équation :
1 1 3 + + =0 . x+2 x−3 4
EXERCICE 3 Soit deux réels a et b tels que a 1. On pose : a = 1 + h . Montrer que a 2 > 1 + 2h . c. Soit a et b deux réels vérifiant : a ≤ b . Montrer que :
a a +1 ≤ . b b +1
Pour ceux qui veulent faire S
a. Soit a un nombre réel vérifiant : a > 1. On pose a = 1 + h . Montrer que a3 > 1 + 3h . b. Les nombres a et b sont positifs. Classer dans l’ordre les nombres M ,G ,H : Avec : M=
a+b 2 1 1 = + . ; G = ab ; H a b 2
c. Les nombres x et y vérifient : x ≥ y > 0 . Comparer les nombres :
x−y x2 − y 2 et 2 x+y x + y2
EXERCICE 2 (Inéquations) Pour tous ( Les questions sont indépendantes)
a. Faire le tableau de signe de l’expression : (1 − 2 x )( 3 x + 5 ) . En déduire les valeurs de x pour lesquelles, l’expression
(1 − 2x )( 3 x + 5 )
est
calculable. b. Résoudre l’inéquation :
x 4 ≥ x −2 x +4
Pour ceux qui veulent faire S
a. Pour quelles valeurs de x pour lesquelles, l’expression b. Résoudre l’inéquation :
3 4 7 + ≥ x −2 x −4 x −3
1 + 2x est calculable. 5 − 3x
SOLUTIONS EXERCICE 1 (Relation d’ordre) Pour tous ( Les questions sont indépendantes)
a. Soit a un nombre vérifiant :
1 ≤ a ≤ 1. 6
Classement dans l’ordre les nombres suivants : o
a−2 a 1 a−2 a = − donc ≤ . 4 4 2 4 4
o
2a + 1 a 1 2a + 1 a = + ≥ . donc 8 4 8 8 4
o Par suite :
o
Attention : des exemples ne constituent pas une preuve
(1)
1 +1 1 1 1 2a + 1 2 + 1 ≤ a ≤ 1 ⇒ ≤ 2a ≤ 2 ⇒ + 1 ≤ 2a + 1 ≤ 2 + 1 ⇒ 3 ≤ ≤ 6 3 3 8 8 8 Donc :
o
a − 2 a 2a + 1 ≤ ≤ 4 4 8
a a − 2 2a + 1 ; ; ; −2a + 3 ; a . 4 4 8
1 2a + 1 3 ≤ ≤ 6 8 8
( 2)
1 1 1 8 ≤ a ≤ 1 ⇒ − ≥ −2a ≥ −2 ⇒ 3 − ≥ −2a ≥ 3 − 2 ⇒ 1 ≤ −2a + 3 ≤ 6 3 3 3
o Des inégalités (1) , ( 2 ) , ( 3 ) on déduit que : o Pour placer a par rapport à
(3)
a − 2 a 2a + 1 ≤ ≤ ≤ −2a + 3 4 4 8
2a + 1 2a + 1 −a. , calculons : 8 8
2a + 1 −6a + 1 1 −6a + 1 2a + 1 −a = ≤ a ≤ 1 donc ≥ 0 . Par suite : ≤a . Or 8 8 6 8 8 o En définitive :
a − 2 a 2a + 1 ≤ ≤ ≤ a ≤ −2a + 3 4 4 8
b. Soit a un nombre réel vérifiant : a > 1 . On pose : a = 1 + h . Montrons que : a 2 > 1 + 2h . Cherchons le signe de : a 2 − (1 + 2h ) .
a 2 − (1 + 2h ) = (1 + h ) − (1 + 2h ) = h 2 . Donc a 2 − (1 + 2h ) est positif. 2
Puisque a 2 − (1 + 2h ) ≥ 0 alors : a 2 > 1 + 2h
c. Soit a et b deux réels vérifiant : a ≤ b . Montrons que : Cherchons le signe de :
a a +1 ≤ . b b +1
a a +1 . − b b +1
a a +1 a−b a−b . On sait que a ≤ b et que b > 0 donc − = ≤0 b b + 1 b ( b + 1) b ( b + 1)
donc
a a +1 a a +1 − ≤ 0 donc ≤ b b +1 b b +1
Pour ceux qui veulent faire S
a. Soit a un nombre réel vérifiant : a > 1 . On pose a = 1 + h . Montrons que a3 > 1 + 3h . Cherchons le signe de : a 3 − (1 + 3h ) . a3 − (1 + 3h ) = (1 + h ) − (1 + 3h ) = 1 + 3h + 3h 2 + h3 − 1 − 3h = 3h 2 + h3 . 3
Le nombre h est positif donc 3h 2 + h3 ≥ 0 . Donc a 3 − (1 + 3h ) est positif. Puisque a 3 − (1 + 3h ) ≥ 0 alors : a3 > 1 + 3h b. Classement des nombres : M =
a+b 2 1 1 ; G = ab ; = + . 2 H a b
2 1 1 2ab = + ⇒H = H a b a+b a+b a + b − 2 ab M −G = − ab = = 2 2
(
a− b 2
)
2
. On a donc M − G ≥ 0 donc M ≥ G
(a − b ) . 2ab a + b 4ab − ( a + b ) 2ab − a 2 − b 2 M −H = − = = =− a+b 2 2ab 2ab 2ab 2
2
On a donc M − H ≤ 0 donc M ≤ H En conclusion le classement demandé est : G ≤ M ≤ H c. Comparaison des nombres :
x−y x2 − y 2 et 2 . x+y x + y2
x − y x2 − y 2 Calculons − x + y x2 + y 2 1 (x + y ) x − y x 2 − y 2 x − y ( x − y )( x + y ) − 2 = − = (x − y ) − 2 2 2 2 2 x+y x +y x+y x +y x+y x +y x 2 + y 2 − ( x + y )2 −2 xy = (x − y ) = (x − y ) ( x + y ) x2 + y 2 ( x + y ) x2 + y 2
(
Puisque x ≥ y > 0 alors
)
(
x − y x2 − y 2 x − y x2 − y 2 − 2 ≤ 0 donc . ≤ x + y x + y2 x + y x2 + y 2
)
EXERCICE 2 (Inéquations) Pour tous ( Les questions sont indépendantes)
a. Tableau de signe de l’expression : (1 − 2 x )( 3 x + 5 ) . −
x
5 3
1 2
1-2x
+
+
-
3x+5
-
+
+
(1 − 2x )( 3 x + 5 )
-
+
-
L’expression
(1 − 2x )( 3 x + 5 )
est calculable pour : (1 − 2 x )( 3 x + 5 ) ≥ 0 . c’est à dire
5 1 pour x ∈ − ; 3 2 b. Résolution de l’inéquation :
4 x ≥ x −2 x +4
Attention :
x 2 + 8 est
x 4 x +8 ≥ ⇔ ≥0 x −2 x +4 ( x − 2 )( x + 4 ) 2
toujours positif
Dressons le tableau de signe de l’expression :
x2 + 8 ≥ 0. ( x − 2 )( x + 4 )
−4
x
2
x2 + 8
+
+
+
x −2
-
-
+
x+4
-
+
+
x2 + 8 ( x − 2)( x + 4 )
+
-
+
Pour ceux qui veulent faire S
a. Les valeurs de x pour lesquelles, l’expression tels que :
b.
1 + 2x est calculable sont les réels 5 − 3x
1 + 2x ≥ 0 . Ce sont les éléments de l’ensemble : 5 − 3x
1 5 − 2 ; 3
3 ( x − 4 )( x − 3 ) + 4 ( x − 2 )( x − 4 ) − 7 ( x − 2 )( x − 4 ) 3 4 7 + ≥ ⇔ ≥0 x −2 x −4 x −3 ( x − 2 )( x − 4 )( x − 3 ) ⇔
x+4 ≥0 ( x − 2)( x − 4 )( x − 3 )
Un tableau de signe donne pour solution : ]−∞ ; − 4] ∪ ]2 ; 3[ ∪ ]4 ; + ∞[
DEVOIR NUMERO 18 EXERCICE 1 Les réels a et b sont deux nombres positifs. Comparer les nombres A = a 2 + b 2 et B = a + b .
EXERCICE 2 x + y 2x + 3y 3 = 2 − 4 4 Résoudre les système : . x − 2 y x − y 1 − =− 3 2 3
EXERCICE 3 Résoudre l’inéquation :
x x 1 5 x − − ≤ − . 2 3 12 6 4
Ecrire l’ensemble des solutions en utilisant les intervalles.
EXERCICE 4 Soit l’expression : |x+2|+|x+5| Ecrire cette expression sans les barres de valeur absolue.
EXERCICE 5 Résoudre l’inéquation :
1 + 2x 2 ≥ . 5 + 3x 3
EXERCICE 6 Les questions sont indépendantes. 1. Pour la fonction suivante, calculer l’image du nombre α indiqué. f ( x ) =
2x − 3 x +1
2. La fonction f est définie par : f ( x ) = 3 x 2 + x − 2 . La courbe Γ représente f. Les points suivants sont-ils sur Γ ? 3 ; 4 ,C 2 3
A ( 2 ; 12 ) , B
(
5 ; 13 + 5
)
.
3. f est définie par : f ( x ) = 3 x 2 − 4 . La courbe Γ représente f . Calculer la coordonnée manquante possible sachant que le point est sur Γ ? A
(
)
7 ;.... , B (....;23 )
EXERCICE 7 Les questions sont indépendantes. Une fonction f admet comme représentation graphique, la courbe ci-dessous.
-4
-3
-2
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0
1
2
3
a. Sur quel intervalle la fonction f est-elle définie ? b. Déterminer les images par f de : -4. c. Quels sont les nombres qui ont pour image 14 par f ?
4
. α=
3 . 4
SOLUTIONS EXERCICE 1 Puisque les nombres A et B sont positifs, comparer A = a 2 + b 2 et B = a + b , est équivalent à comparer leur carrés A2 et B 2 .
A2 = a2 + b2 , B 2 = a2 + b2 + 2ab . . B 2 − A2 = 2ab . Puisque les nombres a et b sont positifs, B 2 − A2 ≥ 0 donc B 2 ≥ A2 donc B ≥ A puisque A et B sont positifs. Donc a + b ≥ a 2 + b 2 .
EXERCICE 2 x + y 2x + 3y 3 = 2 − 4 4 Résolution du système : . x − 2y − x − y = − 1 3 2 3 2 x + 2y 2 x + 3 y 3 − = 4 4 4 Le système précédent est équivalent au système : 2x − 4y − 3 x − 3y = − 2 6 2 6 2 x + 2y − 2 x − 3 y = 3 soit encore au système: 2 x − 4 y − 3 x + 3 y = −2
−y = 3 Ce système a une solution : x = 5 ; y = −3 soit encore au système: − x − y = −2
EXERCICE 3 Résolution l’inéquation :
x x 1 5 x − − ≤ − . 2 3 12 6 4
x x 1 5 x x x x 5 1 6 x − 4 x + 3 x 10 − 1 5x 9 9 − − ≤ − ⇔ − + ≤ − ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔x≤ . 2 3 12 6 4 2 3 4 6 12 12 12 12 12 5 5 L’ensemble des solutions, en utilisant les intervalles, est: −∞ ;
9
EXERCICE 4 x
-∞
-5
-2
+∞
|x+2|
-x-2
-x-2
x+2
|x+5|
-x-5
x+5
x+5
f(x)
-2x-7
3
2x+7
EXERCICE 5 Résolution de l’inéquation :
1 + 2x 2 ≥ . 5 + 3x 3
3 (1 + 2 x ) − 2 ( 5 + 3 x ) 1 + 2x 2 5 −7 ≥ ⇔ ≥0⇔ ≥ 0 ⇔ 5 + 3x ≤ 0 ⇔ x ≤ − 5 + 3x 3 3 (5 + 3x ) 5 + 3x 3 5 L'ensemble des solutions de l'inéquation est l'ensemble: −∞ ; −
EXERCICE 6 3 3 1. f = − . 7 4 2. A appartient à la courbe Γ car f ( 2 ) = 12 3 4 B n’appartient pas à la courbe Γ car f ≠ 2 3 C appartient à la courbe Γ car f
( 5 ) = 13 +
3. A
(
)
7 ; 17 , B ( 3 ; 23 ) ou B ( −3 ; 23 )
EXERCICE 7 a. La fonction f est définie sur l’intervalle : [-4 ; 4]. b. L’image par f de -4 est 3 c. le nombres qui a pour image 14 par f est 1.
5
3
DEVOIR NUMERO19 EXERCICE 1 Pour charger un camion de caisses de bière, Pierre met 1h30mn. Si Pierre et Jean travaillent ensemble, chacun à leur rythme, le camion est chargé en une heure. Si Jean travaille seul, combien de temps met-il pour charger le camion ?
EXERCICE 2 Le tableau ci-dessous présente les émissions de gaz à effet de serre dans l'Union Européenne en millions de tonnes d'équivalent CO2 . Source : Agence européenne pour l'environnement, 2003. Dans la dernière colonne on a indiqué pour chaque pays les objectifs prévus dans le protocole de Kyoto réduction d'émissions de gaz à effet de serre ou de hausse maximale autorisée. Par exemple : o l'Allemagne doit réduire ses émissions d'au minimum 21 % entre 1990 et 2010 o L'Espagne peut les augmenter d'au maximum 15 % entre les années 1990 et 2010. Certaines données ont été effacées. Le but de l’exercice est de calculer certaines données manquantes. 1. Ecrire l’équation vérifiée par x. Calculer alors x. Calculer les autres données manquantes de la colonne «Emissions en 1990 ». 2. Ecrire l’équation vérifiée par y. Calculer alors y. Calculer les autres données manquantes de la colonne «Emissions en 2001 ». 3. Ecrire l’équation vérifiée par z. En déduire la valeur de z. Calculer les autres données manquantes de la colonne «Variation entre 1990 et 2001 ». Emissions en 1990 Allemagne Autriche Belgique Danemark Espagne Finlande France Grèce Irlande Italie Luxembourg Pays Bas Portugal Royaume Uni Suède Ensemble de l'union européenne
1216 78,4 141,3 69,5 289,8 77,3 558,6
x 53,4
61,4
Emissions en 2001
y 150,2 69,4 382,8
132,2 70 545,4 6,1 219,7 83,8 657,2 70,5 4108,3
Variation en pourcentage entre 1990 et 2001 -18,3 9,6 6,3 -0,1 32,1 4,7 0,4 23,5
z 7,1 -44,2 4,1 36,5 -12 -3,3 -2,3
SOLUTION EXERCICE 1 Notons x le nombre de caisses chargées par Pierre en une minute. Notons y le nombre de caisses chargées par Jean en une minute. Par suite en une minute, les deux hommes chargent x+y caisses. Le nombre de caisses dans le camion est : o de 90x (car Pierre charge x caisses à la minute et met 90mn pour charger le camion) o de 60(x+y) (car Pierre et Jean chargent x+y caisses à la minute et mettent 60mn pour charger le camion). On en déduit donc que 90x=60(x+y) soit que 30x=60y soit encore que x=2y. Jean va moitié moins vite que Pierre. Il met donc 3h pour charger le camion.
EXERCICE 2 Emissions en 1990 Allemagne Autriche Belgique Danemark Espagne Finlande France Grèce Irlande Italie Luxembourg Pays Bas Portugal Royaume Uni Suède Ensemble de l'union européenne
Emissions en 2001
Variation en pourcentage entre 1990 et 2001
1216,00 78,40 141,30 69,50 289,80 77,30 558,60 107,04 53,40 509,24 10,93 211,05 61,40 746,82 72,91
993,47 85,93 150,20 69,40 382,80 80,93 560,83 132,20 70,00 545,40 6,10 219,70 83,80 657,20 70,50
-18,30 9,60 6,30 -0,10 32,10 4,70 0,40 23,50 31,09 7,10 -44,20 4,10 36,50 -12,00 -3,30
4203,69
4108,30
-2,30
132, 20 13220 23, 5 = = 107, 04 . 1. L’équation vérifiée par x est: x 1 + = 132, 20 D’où x = 100 23, 5 123, 5 1+ 100 18, 3 2. L’équation vérifiée par y est: y = 1216 1 − . D’où y=993,47 100 z 70 − 53, 4 = 31, 09 3. L’équation vérifiée par z est : 53, 40 1 + = 70 . D’où z = 100 x 53, 4 100
DEVOIR NUMERO 20 EXERCICE 1 Pour la fonction suivante, calculer l’image du nombre α indiqué puis déterminer le domaine de définition. f ( x ) =
2x − 3 x +1
. α=
3 . 4
EXERCICE 2 a. La fonction f est définie par : f ( x ) = 3 x 2 + x − 2 . La courbe Γ représente f. Les points suivants sont-ils sur Γ ? 3 ; 4 ,C 2 3
A ( 2 ; 12 ) , B
(
5 ; 13 + 5
)
.
b. f est définie par : f ( x ) = 3 x 2 − 4 . La courbe Γ représente f . Calculer la coordonnée manquante possible sachant que le point est sur Γ ? A
(
)
7 ;.... , B (....;23 )
EXERCICE 3 On considère le tableau de la fonction f . Tracer une courbe pouvant représenter cette fonction f . x
-∞
0
2
+∞ +∞
+∞
f (x)
-∞
+∞
3
EXERCICE 4 Soit f la fonction définie sur - {1} par : f ( x ) =
x +3 . x −1
Montrer que sur l’intervalle ] 1 ; + ∞[ la fonction est décroissante.
EXERCICE 5 GG Le plan est associé à un repère orthogonal O ; i ; j .
(
)
Tracer dans ce repère la fonction f définie par : f ( x ) =
x −3 4
EXERCICE 6 Soit f une fonction affine : f ( x ) = ax + b . Calculer a et b sachant que la représentation graphique de f passe par les points A et B. A (1 ; 7 ) ; B ( 0 ;3 ) .
EXERCICE 7 Tracer la représentation graphique de la fonction f définie sur par : 2x + 1
si x < 1 . si x ≥ 1
f (x) =
−x+4
EXERCICE 8 Après avoir précisé leur ensemble de définition, étudier la parité des fonctions suivantes : a. f ( x ) = 2 x 2 + 3 x + 4 b. f ( x ) = c. f ( x ) =
1− 3 x 2 x 4 − 16 3x
( 4x
2
.
− 5)
.
SOLUTIONS EXERCICE 1 f (α) = −
3 . 7
Df = ]−1 ; + ∞[ .
EXERCICE 2 a. A appartient à la courbe Γ car f ( 2 ) = 12 3 4 B n’appartient pas à la courbe Γ car f ≠ 2 3 D appartient à la courbe Γ car f
( 5 ) = 13 +
b. A
(
)
7 ; 17 , B ( 3 ; 23 ) ou B ( −3 ; 23 )
EXERCICE 3
5
EXERCICE 4 Soient deux réels x et y tels que x>y. Comparons f ( x ) et f ( y ) . Pour cela calculons f ( x ) − f ( y ) . f (x) − f (y ) =
−4 ( x − y ) x + 3 y + 3 ( x + 3 )( y − 1) − ( x − 1)( y + 3 ) − = = x −1 y −1 ( x − 1)( y − 1) ( x − 1)( y − 1)
On a x > y , x > 1 , y > 1 donc f ( x ) − f ( y ) < 0 . La fonction f est donc décroissante
EXERCICE 5 Tracé de la fonction affine f définie par : f ( x ) =
x −3 4
EXERCICE 6 Puisque A est sur la courbe représentative de f, f (1 ) = 7 donc : a + b = 7 . Puisque B est sur la courbe représentative de f, f ( 0 ) = 3 donc : b = 3 . Par suite a = 4. La fonction affine cherchée est définie par : f ( x ) = 4 x + 3
EXERCICE 7 2 x + 1 si x < 1 Représentation graphique de la fonction f définie sur par : f ( x ) = . − x + 4 si x ≥ 1
EXERCICE 8 Etudier de la parité a. f ( x ) = 2 x 2 + 3 x + 4 . f est ni impaire ni pair. Domaine . b. f ( x ) = c. f ( x ) =
1− 3 x 2 x 4 − 16
(
. f est paire. Domaine - { -2 ; 2 }
5 5 . f est impaire Domaine \ − ;− 2 4x − 5 2
3x 2
)
DEVOIR NUMERO 21 EXERCICE 1 On considère le tableau de la fonction f . Tracer une courbe pouvant représenter f . x
-∞
-1
1
+∞
4
+∞
f (x)
2
-∞
EXERCICE 2 GG Le plan est associé à un repère orthonormal O ; i ; j .Unité sur chaque axe 2 cm
(
)
Tracer dans ce repère la fonction f définie par : f ( x ) =
2x − 5 4
EXERCICE 3 Soit f une fonction affine : f ( x ) = ax + b . Calculer a et b sachant que la représentation graphique de f passe par les points A et B. A ( −1 ; − 5 ) ; B ( 0 ;2 ) .
EXERCICE 4 2x − 1 Tracer la représentation graphique de la fonction f définie par : f ( x ) = −x+2
si x ≥ 1 . si x < 1
EXERCICE 5 Après avoir précisé leur ensemble de définition, étudier la parité des fonctions suivantes : a. f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 b. f ( x ) = c. f ( x ) =
1+ x 2 x2 − 4
(
.
x x −5 2
)
.
EXERCICE 9 Les fonctions f et g ont pour représentations graphiques deux droites ∆ et ∆’. Calculer, s’il existe, les coordonnées du point d’intersection de ∆ et ∆’. .f (x) =
2 1 x+ ; 3 2
g (x) = x +
5 . 4
SOLUTIONS EXERCICE 1
EXERCICE 2 Tracé de la fonction affine f définie par : f ( x ) =
2x − 5 4
EXERCICE 3 Puisque A est sur la courbe représentative de f, f ( −1 ) = −5 donc : −a + b = −5 . Puisque B est sur la courbe représentative de f, f ( 0 ) = 2 donc : b = 2 . Par suite a = 7. La fonction affine cherchée est définie par : f ( x ) = 7 x + 2
EXERCICE 4 − x + 2 si x < 1 Représentation graphique de la fonction f définie sur par : f ( x ) = . 2 x − 1 si x ≥ 1
EXERCICE 5 Etudier de la parité a. f ( x ) = x 2 − 3 x + 1. f est ni impaire ni pair. Domaine . b. f ( x ) = c. f ( x ) =
1+ x 2 x2 − 4
(
. f est paire. Domaine - { -2 ; 2 }
x x −5 2
)
. f est impaire Domaine \ −
{
5;− 5
}
EXERCICE 6 Les coordonnées ( x,y ) des points d’intersection des deux droites ∆ et ∆’ sont solutions du 2 1 y = 3 x + 2 9 système : Ce système a une solution : x = − , y = −1 . Les deux droites ont 4 y = x + 5 4 9 donc un point d’intersection, c’est le point H de coordonnées : − ; − 1 . 4
DEVOIR NUMERO 22 FUNCTIONS 1
Find the given values for the following
QUE FAIRE ? 1
Répondre aux questions posées en anglais.
functions: a. g : y 6 y 2 − 2 . Find g ( 0 ) , g ( 2 ) ,g ( −2 ) b. h : x 6
2
1 1 . Find h ( −1) , h ,h ( 0 ) x +4 2 2
Range (S ONLY)
2
The set of values which is produced by the
Expliquer quelle notion est exprimée dans ce texte.
right-hand side can also be limited.
Répondre aux questions posées.
Example: g: x 6 x 2 + 2 . We can see that since x 2 is always greater than or equal to zero, x 2 + 2 ≥ 2 for any value of x. The set of values taken by the transformed number is called the range of the function (g in this case). Find the range of the following functions for the given domain: a. f : x 6 2x − 1. x ≥ 0 . b. g : t 6 t 2 + 1. t ≥ 1 . c. h : y 6 y 3 . −2 < y < 2 .
3
(S ONLY)
3
Répondre aux questions en anglais.
4
Répondre aux questions en anglais.
The function f is defined for real values of x by : f :x 6 x 2 . Find the range of f corresponding to a domain of -2 ≤ x ≤ 3. State another domain for which f has the same range. 4
If f(x)=ax+b with f (1) = 1 and f ( 3 ) = 7 , find a and b.
FUNCTIONS 5
(S ONLY)
QUE FAIRE ? 5
Expliquer quelle notion est exprimée dans ce
If we look at the following
texte.
function: f : x 6 3x − 1.
Répondre aux questions posées en anglais.
Sketch the graph of f. Any value that we choose is transformed to a unique value. So, given a value after the transformation, we can find the value of x from which this could have come. As an example, 3 goes to 8 an no other value of x would be transformed to 8. In this case, we call the function ‘one to one’, written 1-1. Determine whether the following functions are 1-1 or many-one in the given domain: a. f : x 6 2x − 1, x ∈ . b. f : x 6 x 2 , x ∈ . c.
6
f : x 6 ( x − 1) , x ∈ . 2
d. f : x 6
1 , x ≠0. x
e. f : x 6
x , x≥0
Intersection of graphs The intersection of two graphs is found by solving the two equations simultaneously: the number of solutions gives the number of places where they cross. Example: Find the points where the following graphs meet: : y = x 2 and
y=
8 . x
Solving the two equations simultaneously,
x2 =
8 ⇒ x3 = 8 ⇒ x = 2 , y = 4 . x
They intersect at (2,4). Find the coordinates of the points of intersection: a. y = 27x and b. y =
1 and x−2
y= y=
1 . x2 3 x−4
6
Expliquer quelle notion est exprimée dans ce texte. Répondre aux questions posées.
FUNCTIONS 7
Odd and even functions.
QUE FAIRE ? 7
Expliquer quelle notion est exprimée dans ce
There are two kinds of functions that have an
texte.
interesting property.
Répondre aux questions posées.
Even functions: If f is an even functions then: f ( − x ) = f ( x ) .
Graphs of even functions. When plotted on a graph an even function is symmetrical about the vertical axis. Odd functions:
If f is an odd functions then: f ( − x ) = − f ( x ) . Graphs of odd functions. If you turn the page upside down, the graph still looks the same. This rotational symmetry is a property of the odd functions. Determine whether the following functions are odd, even or neither: a. f ( x ) = x 2 − 2 .
x3 − 2 . b. f ( x ) = x x3 c. f ( x ) = 4 . x +1
8
d. f ( x ) =
x3 + x + 1 . x
e. f ( x ) =
x 4 + 5x 2 + 7 x3
Sketch the graphs of: a. f ( x ) =
x+2 −2x . f (x) = +4 3 3
b. f ( x ) =
x2 −3x 2 . f (x) = 4 4
c.
f (x) =
2 −1 . f (x) = . 3x 2x
8
Répondre aux questions.
FUNCTIONS 9
Sketch the graphs of:
QUE FAIRE ? 9
Répondre aux questions posées.
10
Expliquer quelle notion est exprimée dans ce
a. f ( x ) = x + 3 . f ( x ) = 2x − 3 . b. f ( x ) = x − 2 c.
f (x) =
1 . x
d. f ( x ) = x + 3 − 4x .
(S ONLY) 10
The modulus sign.
The modulus sign of a function f ( x ) written
f ( x ) , means that regardless of whether the value at any point is positive or negative, we always take the positive value The graph of y = f ( x ) . The process applied to find the graph of
y = f ( x ) stem from that of any function y = f ( x ) : the parts of the graph where y is positive, i.e. above the x-axis remain the same, while any part of the curve below the x-axis is reflected so that the whole of the curve lies above on the x-axis The graph of f : f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 is :
Sketch the graphs of y = f ( x ) .
texte. Répondre aux questions posées.
REPONSES FUNCTIONS 1
Find the given values for the following
REPONSES
1
functions:
b. h ( −1) =
a. g : y 6 y 2 − 2 . Find g ( 0 ) , g ( 2 ) ,g ( −2 ) b. h : x 6
2
a. g ( 0 ) = −2 ; g ( 2 ) = 2 ; g ( −2 ) = 2 .
1 1 1 4 ; h = ; h (0) = . 5 4 2 17
1 1 . Find h ( −1) , h ,h ( 0 ) x +4 2 2
Range (S ONLY)
2
La notion expliquée ici est la notion d’image
The set of values which is produced by the
(Range) d’une fonction. L’image d’une
right-hand side can also be limited.
fonction f est l’ensemble des images
Example: g: x 6 x 2 + 2 .
f ( x ) des éléments x du domaine de
We can see that since x 2 is always greater
définition.
than or equal to zero, x 2 + 2 ≥ 2 for any
a. L’image de f est [ −1; + ∞[ .
value of x.
b. L’image de g est [1; + ∞[ .
The set of values taken by the transformed
c. L’image de h est ]−8 ; 8[ .
number is called the range of the function (g in this case). Find the range of the following functions for the given domain: a. f : x 6 2x − 1. x ≥ 0 . b. g : t 6 t 2 + 1. t ≥ 1 . c. h : y 6 y 3 . −2 < y < 2 .
3
(S ONLY)
3
The function f is defined for real values of x
L’image de f est [0 ; 9 ] .
by : f :x 6 x 2 .
Les domaines [0 ; 3 ] ,
Find the range of f corresponding to a
même image par f
[ −3
; 1] ont
domain of -2 ≤ x ≤ 3. State another domain for which f has the same range. 4
If f(x)=ax+b with f (1) = 1 and f ( 3 ) = 7 , find a and b.
4
a et b sont solutions du système
a+b =1 . On trouve : a = 3 ; b = −2 3a + b = 7
FUNCTIONS 5
(S ONLY)
REPONSES 5
If we look at the following function: f : x 6 3x − 1. Sketch the graph of f. Any value that we choose is transformed to a unique value. So, given a value after the transformation, we can find the value of x from which this could have come. As an example, 3 goes to 8 an no other value of x would be transformed to 8. In this case, we call the function ‘one to one’, written 1-1. Determine whether the following functions
En français, les fonctions “one to one” sont
are 1-1 or many-one in the given domain:
appelées des fonctions bijectives. Elles
a. f : x 6 2x − 1, x ∈ .
vérifient la propriété suivante :tout élément
b. f : x 6 x 2 , x ∈ .
de l’ensemble d’arrivée n’est l’image que
c.
2
d. f : x 6
élément de l’ensemble d’arrivée n’a qu’un
1 , x ≠0. x
e. f : x 6
6
d’un seul élément. Autrement dit, tout
f : x 6 ( x − 1) , x ∈ .
seul antécédent. a. f : x 6 2x − 1, x ∈ . bijective
x , x≥0
b. f : x 6 x 2 , x ∈ . non bijective c.
Intersection of graphs The intersection of two graphs is found by solving the two equations simultaneously: the number of solutions gives the number of places where they cross. Example: Find the points where the following graphs meet: : y = x 2 and
y=
8 . x
Solving the two equations simultaneously,
x2 =
8 ⇒ x3 = 8 ⇒ x = 2 , y = 4 . x
6
f : x 6 ( x − 1) , x ∈ . non bijective 2
d. f : x 6
1 , x ≠ 0 . bijective x
e. f : x 6
x , x≥0. bijective
Les points d’intersection des représentations des fonctions f et g ont leurs coordonnées
( x; y )
y = f ( x ) y = g ( x )
solutions du systéme :
They intersect at (2,4). Find the coordinates of the points of
a. y = 27x ;
y=
1 x2
intersection: a. y = 27x and
1 b. y = and x−2
1 y= 2. x 3 y= x−4
1 ; 9 3
Le point d’intersection est : b. y =
1 et x−2
y=
3 x−4
Le point d’intersection est : (1 ; − 3 )
FUNCTIONS 7
Odd and even functions.
REPONSES 7
Les fonctions “Even” sont les fonctions
There are two kinds of functions that have an
paires
interesting property.
Les fonctions “Odd” sont les fonctions
Even functions:
impaires.
If f is an even functions then: f ( − x ) = f ( x ) .
a. f ( x ) = x 2 − 2 . f est paire
Graphs of even functions.
b. f ( x ) =
When plotted on a graph an even function is symmetrical about the vertical axis.
c.
Odd functions:
If f is an odd functions then: f ( − x ) = − f ( x ) . Graphs of odd functions. If you turn the page upside down, the graph still looks the same. This rotational symmetry is a property of the odd functions. Determine whether the following functions are odd, even or neither: a. f ( x ) = x 2 − 2 .
x3 − 2 . b. f ( x ) = x x3 c. f ( x ) = 4 . x +1
8
d. f ( x ) =
x3 + x + 1 . x
e. f ( x ) =
x 4 + 5x 2 + 7 x3
Sketch the graphs of: a. f ( x ) =
x+2 −2x . f (x) = +4 3 3
b. f ( x ) =
x2 −3x 2 . f (x) = 4 4
8
f (x) =
x3 − 2 . Ni paire, ni impaire. x x3 . f est impaire x4 + 1
d. f ( x ) =
x3 + x + 1 .Ni paire, ni impaire. x
e. f ( x ) =
x 4 + 5x 2 + 7 . f est impaire. x3
c.
f (x) =
2 −1 . f (x) = . 3x 2x
FUNCTIONS 9
Sketch the graphs of:
REPONSES 9
a. f ( x ) = x + 3 . f ( x ) = 2x − 3 . b. f ( x ) = x − 2 c.
f (x) =
1 . x
d. f ( x ) = x + 3 − 4x . 10
FUNCTIONS 10
(S ONLY)
REPONSES 10
Cet exercice explique comment tracer la
The modulus sign.
représentation graphique de f à partir de
The modulus sign of a function f ( x ) written
celle de f . Le graphique ci-dessous donne
f ( x ) , means that regardless of whether the value at any point is positive or negative, we always take the positive value The graph of y = f ( x ) . The process applied to find the graph of
y = f ( x ) stem from that of any function y = f ( x ) : the parts of the graph where y is positive, i.e. above the x-axis remain the same, while any part of the curve below the x-axis is reflected so that the whole of the curve lies above on the x-axis The graph of f : f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 is :
Sketch the graphs of y = f ( x ) .
la réponse.
DEVOIR NUMERO 23 EXERCICE 1 1. On appelle tangente du nombre x, le réel noté tan x égal à : tan x =
sin x . cos x
Pour quelle valeurs de x peut-on calculer tan x ? 2. Donner les valeurs de tanx pour x =
π π π 6
,
4
,
3. Démontrer les formules suivantes : cos x = 2
4. 0 < x
3 donc f ( x ) − f ( y ) ≤ 0 donc f ( x ) ≥ f ( y ) . y > 3
b. Le réel x appartient à l’intervalle : [ 4 ; 7] , à quel intervalle appartient f ( x ) . Puisque f est décroissante, si 4 ≤ x ≤ 7 alors f ( 7 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( 4 ) . Soit
3 ≤ f (x) ≤ 3. 2
DEVOIR NUMERO 25 EXERCICE 1 Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = − x 2 − x + 2 et soit g la fonction définie sur : ] - ∞ ; -1 [∪] –1 ; +∞ [ par g( x ) =
2 . x +1
On donne ci-dessous les représentations graphiques de Cf et Cg de ces deux fonctions G G dans un repère orthonormal (O; i ; j ) .
1. Combien de solutions l’équation f(x) = g(x) a-t-elle d’après le graphique ? 2. On note α, β et γ ces trois solutions dans l’ordre croissant. Faites les apparaître sur le graphique. Donner un encadrement d’amplitude 1 de α et de γ. 3. Que semble valoir β ? Vérifier par un calcul que cette valeur est bien solution.
(
)(
4. Résoudre par le calcul l’équation f(x) = g(x). Aide : Calculer x + 1 − 2 x + 1 + 2 En déduire les valeurs exactes de α et de γ. 5. En utilisant le graphique ci-dessous, donner en fonction x le signe de f(x) - g(x).
Cf Cg
)
EXERCICE 2 1. Placer sur le cercle trigonométrique les images des nombres :
7π ; 4
2π −5π ; 3 6
Donner une valeur exacte de leur sinus et de leur cosinus. Pour les réponses, remplir le tableau ci-dessous.
x
7π 4
2π 3
Sinx Cosx
2. Soit x un nombre réel tel que : 0 ≤ x ≤
π 3 et cos x = Calculer sin x . 2 5
−5π 6
SOLUTIONS EXERCICE 1 1. Les solutions de l’équation : f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes Cf et Cg . Il y a donc 3 solutions à cette équation. 2.
D’après le graphique : -3 ≤ α ≤ -2 ; 0 ≤ γ ≤ 1 3. D’après le graphique β = 0 Si on calcule f ( 0 ) et g ( 0 ) on trouve 2. Donc β = 0 est bien solution de l’équation f ( x ) = g ( x ) . 4. Résolution par le calcul de l’équation f(x) = g(x).
f ( x ) = g ( x ) ⇔ −x2 − x + 2 =
(
2 ⇔ − x 2 − x + 2 ( x + 1) = 2 ⇔ x x 2 + 2 x − 1 = 0 . x +1
(
)(
)
(
)
)
Si on calcule x + 1 − 2 x + 1 + 2 on trouve : x 2 + 2 x − 1.
(
)(
)
Cela signifie que : f ( x ) = g ( x ) ⇔ − x x + 1 − 2 x + 1 + 2 = 0 . Par suite les solutions de l’équation demandée sont x = 0 ; x = −1 + 2 ; x = −1 − 2 .
5. Signe de f(x) - g(x). Lorsque la courbe Cf est au dessus de la courbe Cg , f ( x ) = g ( x ) ≥ 0 . α
x f (x) = g (x)
-
β
-1 +
-
γ +
-
EXERCICE 2 1.
2π 3
π π
3
4
π 6
−
x
Sinx
Cosx
5π 6
7π 4
7π 4 −
2π 3 3 2
2 2 2 2
2. Soit x un nombre réel tel que : 0 ≤ x ≤
−
1 2
π 3 et cos x = Calculer sin x . 2 5 2
16 3 On a : cos 2 x + sin 2 x = 1 par suite + sin 2 x = 1 . D’où sin 2 x = . 25 5 Puisque 0 ≤ x ≤
π 4 alors sin x ≥ 0 donc sin x = 2 5
−5π 6 −
−
1 2 3 2
DEVOIR NUMERO 26 EXERCICE 1 Soit f la fonction définie par : f ( x ) =
x3 . x4 + 1
G G On appelle Cf la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormal (O; i ; j ) . a. Déterminer le domaine de f . b. Déterminer la parité de f . G G c. Tracer dans (O; i ; j ) la courbe
C
1 représentative de la fonction inverse x 6 . x
d. Montrer que, sur ]0 ; + ∞[ , la courbe Cf est en dessous de la courbe
C
e. Sans aucun calcul, déterminer la position de Cf par rapport à celle de
C
. sur
l’intervalle ]−∞ ; 0[ .
EXERCICE 2 Soit f et g les fonctions définies par : f ( x ) =
2x et g ( x ) = 3 x − 1 . x+3
On appelle Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g . a. Déterminer l’équation ( E ) dont les solutions sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes Cf et Cg .
(
)(
)
b. calculer : x + 1 − 2 x + 1 + 2 . c. Résoudre l’équation ( E ) . d. Calculer les coordonnées des points d’intersection des courbes Cf et Cg .
EXERCICE 3 a. Placer sur le cercle trigonométrique les nombres :
π b. La valeur de sin est : 12
π 11π 5π 7π π 11π 5π 7π ; ; ; ;− ;− ;− ;− 12 12 12 12 12 12 12 12
6− 2 π . Calculer cos 4 12
Sans faire de calcul, donner les valeurs des sinus et cosinus des nombres : 11π 5π 7π π 11π 5π 7π . ; ; ;− ;− ;− ;− 12 12 12 12 12 12 12 (Mettre les résultats en tableau comme dans le cours)
EXERCICE 4 Soit f une fonction dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
En utilisant ce graphique, déterminer les solutions des inéquations suivantes. a. f ( x ) ≥ 1. b. f ( x ) ≥ 2 .
EXERCICE 5 (Pour ceux qui veulent faire S) a. Calculer ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) et ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) . b. En utilisant la question précédente, factoriser cos 3 x − sin 3 x et cos 3 x + sin 3 x . c. Déduire de la question précédente, la valeur de l’expression :
cos 3 x − sin 3 x cos 3 x + sin 3 x + . cos x − sin x cos x + sin x
Nota : cos 3 x = ( cos x ) ; sin 3 x = ( sin x ) . 3
3
EXERCICE 6 (Pour ceux qui veulent faire S) k est un nombre qui prend les valeurs 0,1,2,3, 4,......etc. Placer sur le cercle trigo. les images des π 2kπ + . nombres : 4 3
SOLUTION EXERCICE 1 Soit f la fonction définie par : f ( x ) =
x3 . x4 + 1
G G On appelle Cf la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormal (O; i ; j ) .
a. Le domaine de f est car pour tout x, x 4 + 1 ≠ 0 b. La fonction f est impaire car f ( − x ) = −f ( x ) . c. Voir ci-dessous. d. Sur ]0 ; + ∞[ , la courbe Cf est en dessous de la courbe La position relative des courbes Cf et
C
C
.
et donnée par le signe de
1 x3 1 1 x3 0 ; + ∞ , − ≥ 0 donc la courbe − 4 = . Sur ] [ x x4 + 1 x x + 1 x x4 + 1
(
)
1 x3 − 4 . x x +1
C
est au dessus de la
courbe Cf . e. Position de Cf par rapport à celle de
C
sur l’intervalle ]−∞ ; 0[ .
Puisque la fonction f et la fonction inverse sont impaires, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à l’origine du repère. Il en résulte que les position relative des 2 courbes sur ]−∞ ; 0[ sont inversées par rapport aux positions sur ]0 ; + ∞[
C
Cf
EXERCICE 2 a. Equation ( E ) dont les solutions sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes Cf et Cg . L’équation est :
2x = 3 x − 1 . Cette équation est encore équivalente à : x +3
x 2 + 2x − 1 = 0 2 x = ( x + 3 )( 3 x − 1) 2 x = ( x + 3 )( 3 x − 1) ⇔ ⇔ x ≠ −3 x ≠ −3 x ≠ −3
b.
( x + 1 − 2 )( x + 1+ 2 ) = (( x − 1) − 2 ) (( x − 1) + 2 ) = ( x + 1)
2
− 2 = x 2 + 2 x − 1.
c. Résolution de l’équation ( E ) . D’après la question b. les solutions de ( E ) sont les solutions de
( x + 1 − 2 )( x + 1+ 2 ) = 0
Soit x = −1 − 2 et x = −1 + 2 d. Calcul des coordonnées des points d’intersection des courbes Cf et Cg . On a trouvé les abscisses à la question c. Les ordonnées s’obtiennent en remplaçant x par les valeurs trouvées en c. dans l’une des deux équations (la plus simple y = 3 x − 1 ). Cela donne :
( ) y = 3 ( −1 + 2 ) − 1 = −4 + 3
Pour x = −1 − 2 , y = 3 −1 − 2 − 1 = −4 − 3 2 Pour x = −1 + 2 ,
2
Les points d’intersection des deux courbes sont donc les points A et B de coordonnées :
(
A −1 − 2 ; − 4 − 3 2
)
(
B −1 + 2 ; − 4 + 3 2
)
EXERCICE 3 a. Images A,B,C,D,E,F,G,H des nombres :
π 11π 5π 7π π 11π 5π 7π ; ; ; ;− ;− ;− ;− . 12 12 12 12 12 12 12 12
π π b. Calcul de cos sachant que : sin = 12 12
6− 2 . 4
On utilise la formule : cos 2 x + sin 2 x = 1. Ce qui donne : cos 2
π π + sin 2 = 1. 12 12
2
6− 2 π π 6 − 2 12 + 2 8 + 2 12 6 + 2 D’où : cos = 1 − sin 2 = 1 − = = = 1 − 12 12 4 16 16 4
2
2
Le cosinus de
π π est un nombre positif, donc cos = 12 12
Valeurs des sinus et cosinus des nombres :
6+ 2 4
11π 5π 7π π 11π 5π 7π ; ; ;− ;− ;− ;− 12 12 12 12 12 12 12
En utilisant les images précédentes, on déduit facilement les résultats suivants : Notons a = cos
π = 12
6+ 2 π et b = sin = 4 12
6− 2 4
x
11π 12
5π 12
7π 12
−π 12
cos x
-a
b
-b
a
-a
b
-b
sin x
b
a
a
-b
-b
-a
-a
-
11π 12
-
5π 12
-
7π 12
EXERCICE 4 a. f ( x ) ≥ 1. Le graphique donne comme solution : [0 ; 1] b. f ( x ) ≥ 2 . Pas de solution.
EXERCICE 5 (Pour ceux qui veulent faire S) a.
( a − b ) ( a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
;
( a + b ) ( a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 .
(
)
(
)
b. cos 3 x − sin 3 x = ( cos x − sin x ) cos 2 x + sin x cos x + sin 2 x = ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x )
cos 3 x + sin 3 x = ( cos x + sin x ) cos 2 x − sin x cos x + sin 2 x = ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) . c.
cos 3 x − sin 3 x cos x − sin x
+
cos 3 x + sin 3 x cos x + sin x
=
( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) cos x − sin x
+
cos x + sin x
= 2.
EXERCICE 6. Le point A est l’image de nombres pour k=1,4,7,10,... Le point B est l’image de nombres pour k=2,5,8,11,... Le point C est l’image de nombres pour k=3,6,9,12,...
DEVOIR NUMERO 27 EXERCICE 1 Q.C.M. Faire une croix sous la ou les bonnes réponses (1 point par croix bien placée, - 0,5 par croix mal placée , 0 par absence de réponse) a. Faire une croix sous la réponse correspondant à une forme simplifiée de chaque expression : (on suppose a ≠ 0 et b ≠ 0 ) ( 2a 2 ) 3 × a 2
2a 8
2a 7
8a 8
64a 8
8a12
(3ab )
6a −1b 2
9a −1b 2
243a 3b 2
9a 3b −2
6a 5b10
3 2
a 3b 4
b. Faire une croix sous la réponse correspondant à l'écriture simplifiée de chaque réel :
50 + 27 + 98
(
) ( 2
7+ 2 +
7− 2
)
2
15 − 5 2 5
12 2 + 3 3
15 6
175
15 5
4 14
9
5
0
3−5 2
15 − 2
−3+5 2
3− 2
7 2 +8 3
18
−3+ 2
c. Faire une croix sous la bonne réponse. l’équation 2 x = 4 x 2
l’équation x − 169 = 0 2
n’a qu’une solution : 0.
n’a qu’une solution : 13.
n’a qu’une solution : 4.
a deux solutions : a deux solutions : n’a pas de solution 0 et 2. 0 et 2 .
n’a qu’une a deux solutions : a deux solutions : n’a pas de solution : -13. -13 et 13. -169 et 169. solution
d. Faire une croix sous la ou les bonne(s) réponse(s).
3a 6 − = 2 a4
16 − ( x − 2) = 2
3a 5 − 12 2a 4
− x 2 + 20
3a 4 − 6 2a 4
− x 2 + 4 x + 12
3(a 5 − 4) 2(1 − a 4 )
3(a 5 − 4) 2a 4
− x 2 + 12
(6 − x)(4 + x)
3a5 − 12 16a 4
(6 + x)(4 − x)
EXERCICE 2 On veut résoudre l’inéquation
3 6x – 10 ≥ . x+5 x² – 25
a. Montrer que l’inéquation peut se mettre sous la forme
–3x – 5 ≥0. (x – 5)(x + 5)
b. En déduire les solutions de l’inéquation.
EXERCICE 3 Dans une entreprise, les employés sont classés en deux catégories : les ouvriers et les cadres. Le tableau ci-dessous donne la répartition des employés en fonction de leur catégorie professionnelle et de leur salaire mensuel en milliers d’euros. Salaire
[1 ; 1,5[
[1,5 ; 2,5[
[2 ; 3[
Ouvriers
280
140
0
Cadres
0
40
40
a. Calculer, en euros, la moyenne des salaires de l’entreprise. b. Calculer, en pourcentage, la proportion des cadres parmi les employés. c. Pour chaque catégorie socioprofessionnelle, calculer en pourcentage, la fréquence des salaires. d. L’entreprise compte 40 % de femmes. La moyenne des salaires des hommes est 1700 €. Calculer la moyenne des salaires des femmes.
EXERCICE 4 On donne ci-dessous la représentation graphique
C
d’une fonction f définie sur [-3 ; 2]. 4 3 2 1 0
-3
-2
-1
-1 0
1
2
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16
PARTIE A Répondre aux questions ci-dessous en utilisant la représentation graphique de la fonction f a. Lire graphiquement l’image de 1 par f . b. Lire graphiquement le ou les antécédent(s) éventuel(s) de 4 par f . c. Dans quel intervalle sont les nombres qui ont au moins deux antécédents par f ? d. Encadrer f ( x ) pour x appartenant à l’intervalle [0 ; 2[ . e. Faire le tableau donnant le signe de f ( x ) suivant la valeur de x dans [-3 ; 2]. f. Faire le tableau de variation de la fonction f . g. Préciser les extrema de la fonction f et en quelles valeurs ils sont atteints. h. Utiliser le graphique pour résoudre l’équation f ( x ) = 2 . Si nécéssaire, on donnera un encadrement des solutions à 0,1 près . i. a et b sont deux réels tels que a < b . Comparer si possible f ( a ) et f ( b ) dans les deux cas suivants : (1) a et b sont 2 réels de [-1 ; 1]. (2) a et b sont 2 réels de [0 ; 2].
PARTIE B On admet que
C
représente sur l’intervalle [-3 ; 2] la fonction f définie par f(x) = x 3 - 3x +2 .
2 a. Calculer f − 3 b. Le point A de coordonnées
(
)
2 ; 0, 6 appartient-il à la courbe
C
?
c. Retrouver par le calcul les solutions de l’équation : f ( x ) = 2 .
EXERCICE 5 a. Dans le triangle ABC ci-dessous, On appelle K le pied de la hauteur issue de A, J le pied de la hauteur issue de B et I le pied de la hauteur issue de C. Placer les points I, J, K sur la figure. Pourquoi les droites (AK) (BJ) et (CI) sont -elles concourantes ? Que représente leur point d’intersection H pour le triangle ABC ? b. Prouver que les points B, I, H et K sont sur un même cercle dont on précisera le centre. Tracer ce cercle sur la figure n et IKH n sont égaux c. Montrer que les angles HBI
d. Prouver que les points B, A, J et K sont sur un même cercle Dont on précisera le centre. Tracer ce cercle sur la figure. n et AKJ n ? e. Que peut-on affirmer pour les angles ABJ n. f. Démontrer que la droite (AK) est bissectrice de l'angle IKJ
SOLUTIONS SUCCINCTES EXERCICE 1 Q.C.M. a. Faire une croix sous la réponse correspondant à une forme simplifiée de chaque expression : (on suppose a ≠ 0 et b ≠ 0 ) ( 2a 2 ) 3 × a 2
2a 8
2a 7
8a 8
64a 8
8a12
9a 3b −2
6a 5b10
x
(3ab )
6a −1b 2
3 2
9a −1b 2
243a 3b 2
X
a 3b 4
b. Faire une croix sous la réponse correspondant à l'écriture simplifiée de chaque réel :
(
) ( 2
7+ 2 +
7− 2
15 5
175
50 + 27 + 98
12 2 + 3 3
15 6
7 2 +8 3
x
)
2
15 − 5 2 5
4 14
9
5
0
3−5 2
15 − 2
−3+5 2
3− 2
18
−3+ 2
x
c. Faire une croix sous la bonne réponse. l’équation 2 x = 4 x 2
n’a qu’une solution : 0.
n’a qu’une solution : 4.
a deux solutions : a deux solutions : n’a pas de solution 0 et 2. 0 et 2 .
x
l’équation x − 169 = 0 2
n’a qu’une solution : 13.
n’a qu’une a deux solutions : a deux solutions : n’a pas de solution : -13. -13 et 13. -169 et 169. solution
x
d. Faire une croix sous la ou les bonne(s) réponse(s).
3a 6 − = 2 a4
16 − ( x − 2) = 2
3a 5 − 12 2a 4
3a 4 − 6 2a 4
3(a 5 − 4) 2(1 − a 4 )
x − x 2 + 20
3(a 5 − 4) 2a 4
3a5 − 12 16a 4
x − x 2 + 4 x + 12
x
− x 2 + 12
(6 − x)(4 + x)
(6 + x)(4 − x)
EXERCICE 2 a. En réduisant les termes au même dénominateur : ( x − 5 )( x + 5 ) , l’inéquation se met facilement sous la forme
–3x – 5 ≥0. (x – 5)(x + 5)
b. Solutions de l’inéquation. x
-5
-5/3
5
x2 − 5
+
-
-
+
−3 x − 5
+
+
-
-
–3x – 5 (x – 5)(x + 5)
+
-
+
-
5 Les solutions de l’inéquation sont les nombres de l’ensemble :: ]−∞ ; − 5[ ∪ − ; 5 3
Beaucoup d’erreur dans le signe de -3x-5.
Attention Quand a f ( b ) (2) si a et b sont 2 réels de [0 ; 2] alors pas de comparaison possible. PARTIE B
2 100 a. f − = 3 27
b. Le point A
(
)
2 ; 0, 6 n’appartient pas à la courbe
C
car f
( 2) = 2 −
2 ≠ 0, 6
c. Résolution de l’équation : x 3 − 3 x + 2 = 2
(
)
f ( x ) = 2 ⇔ x 3 − 3 x = 0 ⇔ x x 2 − 3 = 0 ⇔ x = 0 ou x = 3 ou x = − 3 .
EXERCICE 5 a. Figure (Voir à la fin). Les droites (AK) (BJ) et (CI) sont concourantes car ce sont les hauteurs du triangle. Leur point d’intersection H est l’orthocentre du triangle ABC. b. Le triangle BIH est rectangle en I. Son hypoténuse est [BH]. Il est donc inscrit dans le cercle de diamètre [BH]. Le triangle BKH est rectangle en K. Son hypoténuse est [BH]. Il est donc inscrit dans le cercle de diamètre [BH]. En conclusion : les points B, I, H et K sont sur le cercle de diamètre [BH]. n et IKH n sont égaux car ils interceptent sur le cercle précédent le même arc IH o et c. Les angles HBI
leur sommets sont du même coté du segment [IH]. d. B, A, J et K sont sur le cercle de diamètre AB car les triangles AJB et AKB sont rectangles et admettent AB comme hypoténuse. (Même explications qu’à la question b. ) n et AKJ n sont égaux car ils interceptent sur le cercle précédent le même arc AJ p et e. Les angles ABJ
leur sommets sont du même coté du segment [AJ]. n = IKH n d’une part et ABJ n = AKJ n d’autre part. Donc AKJ n = IKH n. f. On a : ABJ n. Par suite,la droite (AK) est bissectrice de l'angle IKJ
DEVOIR NUMERO 28 EXERCICE 1 Voici la répartition des tailles des élèves d'une classe du lycée Xavier Marmier. TAILLES
Effectifs filles
Effectifs garçons
[1,55 ; 1,65[
5
3
[1,65 ; 1,75[
7
7
[1,75 ; 1,85[
1
5
[1,85; 1,95[
0
2
a. Pour l’ensemble de la classe, calculer les fréquences et les fréquences cumulées de chaque classe de tailles. Ecrire les résultats avec un chiffre après la virgule.
Mettre les résultats sans explications dans un tableau. b. Calculer la moyenne de la taille des filles et la moyenne de la taille des garçons. c. En utilisant la question b, calculer la taille moyenne des élèves de la classe. d. Tracer le polygone des fréquences cumulées pour l’ensemble de la classe. e. Expliquer ce qu’est la taille médiane puis la déterminer graphiquement.
EXERCICE 2 Dans une entreprise la moyenne des salaires mensuels des femmes est égale à 1 520 €, et la moyenne des salaires mensuels est égale à 1 634 €. II y a 40 % de femmes dans l'entreprise. Quel est le salaire moyen des hommes ?
SOLUTIONS EXERCICE 1 a. Fréquences et fréquences cumulées. TAILLES
Effectifs filles
Effectifs garçons
Effectifs
Fréquences
Fréq cum,
[1,55 ; 1,65[
5
3
8
26,7%
26,7%
[1,65 ; 1,75[
7
7
14
46,7%
73,3%
[1,75 ; 1,85[
1
5
6
20,0%
93,3%
[1,85; 1,95[
0
2
2
6,7%
100,0%
Total
13
17
30
b. Moyenne de la taille des filles et la moyenne de la taille des garçons. Moyenne filles=
5 x1, 6 + 7 x1, 7 + 1x1, 8 = 1, 67 13
Moyenne gars=
3 x1, 6 + 7 x1, 7 + 5 x1, 8 + 2 x1,9 = 1, 74 17
c. Calcul de la taille moyenne des élèves de la classe. Moyenne=
=
( moyenne fille ) x ( Nombre de filles ) + ( moyenne gars ) x ( Nombre de gars ) nombre d ' élèves
1, 67 x13 + 1, 74 x17 = 1, 70 30
d. Tracer le polygone des fréquences cumulées pour l’ensemble de la classe. 110,0% 100,0% 90,0% 80,0% 70,0% 60,0% 50,0% 40,0% 30,0% 20,0% 10,0% 0,0% 1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
1,95
2
e. Détermination de la taille médiane graphiquement. La taille médiane est la taille T telle que, il y ait autant d’élèves ayant une taille inférieure à T que d’élèves ayant une taille supérieure à T. La médiane est la taille qui correspond à la fréquence cumulée 50%. D’après le graphique, il s’agit de 1,7
EXERCICE 2 Le salaire moyen de l’entreprise est : ( Nombre de femmes ) x ( salaire moyen des femmes ) + ( Nombre d ' hom mes ) x ( salaire moyen des hom mes )
ou encore :
Nombre total de personnes
( % des femmes ) x ( salaire moyen des femmes ) + ( % des hom mes ) x ( salaire moyen des hom mes ) Notons S le salaire moyen des hommes. Alors la formule précédente donne : 1634 = 1520 x S= 1710 €
40 60 + Sx . En résolvant cette équation don l’inconnue est S on trouve : 100 100
DEVOIR NUMERO 29 ENTRAINEMENT EXERCICE 1 Voici la répartition des salaires des employés d'une entreprise en milliers d’euros. Tranches
[ [ [ [ [ [ [ [
1,0 1,3 1,5 1,8 2,0 2,3 2,5 2,8
1,3 1,5 1,8 2,0 2,3 2,5 2,8 3,0
[ [ [ [ [ [ [ [
Effectif masculin 12 21 17 10 4 3 2 1
Effectif féminin 18 22 13 4 2 1 0 0
a. Pour l’ensemble de l’entreprise, calculer les fréquences et les fréquences cumulées de chaque classe de salaires. Ecrire les résultats avec un chiffre après la virgule.
Mettre les résultats sans explications dans un tableau. b. Calculer la moyenne des salaires des femmes et la moyenne des salaires des hommes. c. En utilisant la question b, calculer le salaire moyen de l’entreprise. d. Tracer le polygone des fréquences cumulées pour l’ensemble de l’entreprise. e. Expliquer ce qu’est la salaire médian puis le déterminer graphiquement.
EXERCICE 2 Dans une classe la moyenne des notes des garçons est égale à 11 et la moyenne des notes est égale à 12. II y a 40 % de filles dans la classe. Quelle est la moyenne des notes des filles ?
SOLUTIONS EXERCICE 1 a. Fréquences et fréquences cumulées. TRANCHES
Hommes
Dames
Totaux
Fréquences
Fréq cum,
12
18
30
23,1%
23,1%
21
22
43
33,1%
56,2%
17
13
30
23,1%
79,2%
10
4
14
10,8%
90,0%
4
2
6
4,6%
94,6%
3
1
4
3,1%
97,7%
2
0
2
1,5%
99,2%
1
0
1
0,8%
100,0%
70
60
130
Total
b. Moyenne de la taille des filles et la moyenne de la taille des garçons. Moyenne femmes=
1,15 x18 + 22 x1, 4 + 1, 65 x13 + 1, 9 x 4 + 2,15 x 2 + 2, 4 x1 + 2, 65 x 0 + 2, 9 x 0
Moyenne hommes=
60
= 1, 45
1,15 x12 + 21x1, 4 + 1, 65 x17 + 1, 9 x10 + 2,15 x 4 + 2, 4 x 3 + 2, 65 x 2 + 2, 9 x1 70
= 1, 63
c. Calcul du salaire moyen.
Moyenne=
=
( moyenne femmes ) x ( Nombre de femmes ) + ( moyenne hom mes ) x ( Nombre d ' hom mes ) nombre de personnes
1, 63 x 70 + 1, 45 x 60 = 1, 54 130
d. Tracer le polygone des fréquences cumulées. 110,0% 100,0% 90,0% 80,0% 70,0% 60,0% 50,0% 40,0% 30,0% 20,0% 10,0% 0,0% 1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
e. Détermination du salaire médian graphiquement. Le salaire médian est le salaire S telle que, il y ait autant de personnes ayant un salaire inférieur à S que de personnes ayant un salaire supérieur à S. La médiane est le salaire qui correspond à la fréquence cumulée 50%. D’après le graphique, le salaire médian est compris entre 1,45 et 1,5
EXERCICE 2 La moyenne des notes de la classe: ( Nombre de filles ) x ( note moyenne des filles ) + ( Nombre
de gars ) x ( note moyenne des gars )
Nombre total de personnes
( % des filles ) x ( note
ou encore :
moyenne des filles ) + ( % des gars ) x ( note moyenne des gars )
Notons N la note moyenne des gars. Alors la formule précédente donne : 12 = Nx N=13,5
40 60 + 11x . En résolvant cette équation don l’inconnue est N on trouve : 100 100
DEVOIR NUMERO 30 EXERCICE 1 ABCD est un parallélogramme; les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AD]. Démontrez que les droites (DI), (BJ) et (AC) sont concourantes.
EXERCICE 2 Un quadrilatère ABCD a ses diagonales perpendiculaires. Montrer que AB 2 + CD 2 = BC 2 + DA2 .
EXERCICE 3 ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD] n coupe (CD) en I ; celle de l'angle ADC n coupe (AB) en J. La bissectrice de l'angle BAD
Ces deux bissectrices se coupent en K. a. Faire une figure. b. Montrer que K est le milieu de [AI] et de [DJ] . c. Quelle est la nature du quadrilatère ADIJ ?
EXERCICE 3 Le triangle ABC est inscrit dans un cercle de centre I de rayon 4 cm, et on donne : n = 70° et ABC n = 50°. Calculer les longueurs des côtés du triangle. BAC (Utilise les points A' et B' diamétralement opposés à A et B ).
EXERCICE 4 Calculer x
DEVOIR NUMERO 31 EXERCICE 1 A, B, C sont trois points distincts d'une droite d, et O un point non situé sur d. a. Construire trois triangles OAM, OBN et OCP équilatéraux directs b. Montrer que les points M, N et P sont alignés.
EXERCICE 2 ABC est un triangle équilatéral direct, de centre O. a.
En utilisant le cercle circonscrit
C
au triangle, justifier que la rotation R de centre O et
d'angle 120° transforme A en B, B en C et C en A. b. On place M sur [AB], N sur [BC] et P sur [CA] tels que AM = B N = C P. Montrer que le triangle M N P est équilatéral.
EXERCICE 3 Deux cercles
C et C’’, de centres O et O' et de même rayon R, se coupent en A et B.
I est le milieu de [AB] . Une droite d passant par A recoupe recoupe
C
en M et
C ' en M' . La parallèle d'
à d passant par B
C en N et C’’ en N' .
En utilisant une symétrie centrale, montrer que MNN'M' est un parallélogramme.
EXERCICE 4 ABC est un triangle ; I est le milieu de [BC]. E est le projeté orthogonal de B sur la médiane (Al), c'est-à-dire que : E appartient à (Al) et (BE) est perpendiculaire à(Al) . De même, F est le projeté orthogonal de C sur (Al) . En utilisant une symétrie centrale, montrer que BE = CF.
DEVOIR NUMERO 32 EXERCICE 1 Soient trois points A, B et C 1. Sur la figure fournie ci contre, construire les points G, R et Q tels que :
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 5 AG = AB + AC , 4 AR = AB et 4 AQ = AC . JJJG JJJG 2. Dans le repère A , AB ,AC , calculer les coordonnées des points G , R et Q .
(
)
3. Déterminer les équations des droites ( BQ ) et (CR ) . Calculer les coordonnées du point d’intersection des droites ( BQ ) et (CR ) . Quel est alors ce point ? 4. Calculer les coordonnées du milieu P du segment [BC ] . Montrer que les points A, P et G sont alignés. JJJG JJJG Exprimer les vecteur GP en fonction du vecteur AP .
EXERCICE 2 Le périmètre d’un rectangle est de 144 cm. La largeur est égale au Calculer les dimensions du rectangle
3 de la longueur. 5
Figure de l’exercice 1.
C
A
B
SOLUTIONS EXERCICE 1 1. Construction des points G, R et Q. JJJG JJJG JJJG Le point D est le point tel que : AB + AC = AD
C
D
P
Q G
A
B
R 2. Calcul des coordonnées des points G , R et Q .
1 1 1 1 G ; , R ; 0 , Q0 ; 4 5 5 4 3. Equations des droites ( BQ ) et (CR ) . JJJG 1 y 1 (CR ) : 4 x + y − 1 = 0 car CR 4 . Ecrire plutôt 4 x + y − 1 = 0 que x + − = 0 4 4 −1 JJJG −1 x 1 ( BQ ) : x + 4 y − 1 = 0 car BQ 1 . Ecrire plutôt x + 4y − 1 = 0 que + y − = 0 4 4 4
(
(
Coordonnées du point d’intersection des droites ( BQ ) et (CR ) . 4 x + y = 1 Ce sont les solutions du système : x + 4y = 1 1 Ce système a une solution : x = y = 5 Ce point est le point G
)
)
4. Coordonnées du milieu P du segment [BC ] . 1 1 P ; 2 2 Les points A, P et G sont alignés. 3 1 JJJG 10 JJJG 2 GP , AP 3 1 2 10 JJJG JJJG Expression du vecteur GP en fonction du vecteur AP .
JJJG 3 JJJG 3 3 1 GP = AP car = x 5 10 5 2
EXERCICE 2 2 x + 2y = 144 Notons x la longueur et y la largueur : x et y sont solutions du système : 3 y = 5 x Ce système a comme solution : x = 45 , y = 27
DEVOIR NUMERO 33* EXERCICE 1 Soit un triangle (ABC). 1. Construire les points M, N et L tels que : JJJG JJJG JG JJJG JJJJG JG JJJG JJJG JG 4 AL + BA = O ; 2CB + BM = O ; 5NC + 3 CA = O JJJG JJJG JJJG JJJG 2. Exprimer LN et LM en fonction de AB et AC . En déduire que les points L,M et N sont
alignés.
EXERCICE 2 JJJG
JJJG
ABCD est un parallélogramme. k ∈ k≠1 et k ≠ 0. E et G sont les points tels que AE = kAB et JJJG JJJJG AG = (1 − k)AD. On mène par E la parallèle à (AD) quoi coupe (CD) en H, et par G la parallèle à
(AB) qui coupe (BC) en F. 1. Faire une figure avec : k =
1 . 4
2. Démontrez que les droites (EF), (AC) et (GH) sont parallèles.
{
JJJG JJJG
}
On pourra se placer dans le repère A ; AB . AD .
EXERCICE 3 ABC est un triangle isocèle. On construit extérieurement au triangle, les carrés ABIJ et ACEF. Montrez que JC = BF et que (CJ ) et ( BF ) sont perpendiculaires.
EXERCICE 4 Soient ∆ et d deux droites parallèles, I est un point non situé sur d et ∆. Soit R le quart de tout direct de centre A. 1. Construire ∆ ' = R ( ∆ ) . 2. La droite ∆ ' coupe d en N . On mène par I la perpendiculaire à la droite ( IN ) qui coupe ∆ en M . Démontrez que le triangle MIN est rectangle isocèle.
SOLUTIONS
EXERCICE 1 1. Construction des points M, N et L . JJJG 1 JJJG JJJJG JJJG JJJG 3 JJJG On a : AL = AB ; BM = 2BC ; CN = CA . 4 5
JJJG JJJG JJJG JJJG 2. Expression de LN et LM en fonction de AB et AC . L,M et N sont alignés. JJJG JJJG JJJG JJJG 1 JJJG 2 JJJG LN = LA + AC + CN = − AB + AC 4 5 JJJG JJJG JJJG JJJJG −5 JJJG JJJG LM = LA + AB + BM = AB + 2 AC 4 JJJG JJJG D ' où : LM = 5LN
EXERCICE 2 1. Construction des points.
{
JJJG JJJG
}
2. Dans le repère A ; AB . AD , Les points A,B,C,D,E,F,G et H ont comme coordonnées: A(0;0) , B(1;0) , C(1 ; 1) , D(0;1) , E(k ; 0) , F( 1 ; 1 - k) , G(0 ; 1 - k) et H(k ; 1). JJJG JJJG
JJJG
JJJG 1 JJJG 1 − k
JJJG k
On déduit les coordonnées des vecteurs AC , EF et GH : AC , EF et GH . 1 1 − k k En utilisant la condition de colinéarité de deux vecteurs, il est facile de prouver que les JJJG JJJG
JJJG
vecteurs: AC , EF et GH sont colinéaires donc que les droites (EF) , (AC) et (GH) sont parallèles.
EXERCICE 3
Soit R la rotation d’angle 90° et de centre A.
R ( J ) = B . On a : R (C ) = F Les rotations conservent les distances donc : JC = BF . Par ailleurs, l’angle de R étant de 90°, les droites (CJ ) et ( BF ) font entre elles un angle de 90° ce qui signifie qu’elles sont perpendiculaires.
EXERCICE 4 1. Construction de ! ∆ ' = R ( ∆ ) .
2. Montrons que R ( M ) = N .
M ∈ ∆ donc R ( M ) ∈ R ( ∆ ) donc R ( M ) ∈ ∆ ' . L’image de (IM ) par R est (IN ) . M ∈ ( IM ) donc R ( M ) ∈ R ( IM ) donc R ( M ) ∈ ( IN ) . R ( M ) est à la fois sur ( IN ) et sur ∆ ' est donc le point N .
n = 90° donc que le triangle MIN est Puisque R ( M ) = N cela signifie que : IM = IN et MIN
isocèle.
DEVOIR NUMERO 34 EXERCICE 1
JJJG JJJG JJJG G Soit 3 points non alignés A, B et C et G le point tel que : GA − GB + GC = 0 JJJG JJJG 1. Montrer que : AG = BC et construire le point G sur la figure ci-dessus.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCG .
JJG 3 JJJG JJJG JJJG 2. Placer sur la même figure les points I et J tels que GI = GB et GJ = 3GA 4 JJJG JJJG JJG JJJG 3. Exprimer CI et CJ en fonction de BA et BC . En déduire que les points C, I et J sont alignés. JJJG JJJG 4. On considère le repère : B ; BC ; BA .
(
)
a. Donner les coordonnées des points B , C , A , G dans ce repère. b. Calculer les coordonnées des points I et J dans ce repère. JJG JJJG c. Calculer les coordonnées des vecteurs CI et CJ . Montrer, en utilisant les coordonnées, que les points C, I et J sont alignés.
EXERCICE 3 ABC est un triangle rectangle isocèle en A, I est le milieu de [AC]. On note
R le quart de tour de centre A qui transforme B en C. 1. Construisez le point J = R ( I ) . 2. Montrez que BI = CJ . 3. Démontrez que I est l'orthocentre du triangle BJC.
SOLUTIONS
EXERCICE 1 JJJG JJJG JJJG G Soit 3 points non alignés A, B et C et G le point tel que : GA − GB + GC = 0 JJJG JJJG 1. AG = BC . Construction du point G sur la figure. JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG GA − GB + GC = GA − GA + AB + GA + AC = GA − AB + AC = GA + BC .
(
) (
)
JJJG JJJG JJJG JJJG G JJJG JJJG JJJG G Puisque GA − GB + GC = 0 alors GA + BC = 0 soit AG = BC .
Le quadrilatère ABCG est un parallélogramme.
JJG 3 JJJG JJJG JJJG 2. Construction des points I et J tels que GI = GB et GJ = 3GA 4
3.
JJJG JJJG JJG JJJG o Expression de CI et CJ en fonction de BA et BC . JJG JJJG JJG JJJG 3 JJJG JJJG 3 JJJG JJJG JJJG 3 JJJG JJJG 1 JJJG 3 JJJG CI = CG + GI = CG + GB = BA + GA + AB = BA + CB + AB = BA − BC 4 4 4 4 4 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG CJ = CG + GJ = CG + 3GA = BA + 3CB = BA − 3BC .
(
)
(
)
JJG 1 JJJG 3 JJJG JJJG JJJG JJJG En conclusion : CI = BA − BC et CJ = BA − 3BC 4 4 JJJG JJG JJG JJJG o On remarque que CJ = 4CI . Les vecteurs CI et CJ sont colinéaires donc les points C, I
et J sont alignés. JJJG JJJG 4. On se place dans le repère : B ; BC ; BA .
(
)
a. Dans ce repère : B ( 0 ; 0 ) , C (1 ; 0 ) , A ( 0 ; 1) , G (1 ; 1) .
b. Coordonnées des points I et J . JJG 1 JJJG 3 JJJG JJJG JJG 1 JJJG 3 JJJG o Puisque CI = BA − BC alors : CB + BI = BA − BC donc 4 4 4 4 JJG 1 JJJG 3 JJJG JJJG 1 JJJG 1 JJJG 1 1 BI = BA − BC − CB = BA + BC donc les coordonnées de I sont ; 4 4 4 4 4 4 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG o Puisque CJ = BA − 3BC alors CB + BJ = BA − 3BC donc BJ = BA − 2BC donc les
coordonnées de J sont ( −2 ; 1) . c. C , I et J alignés. JJG 1 JJJG 3 JJJG JJG 3 1 o Puisque CI = BA − BC alors : les coordonnées de CI sont − ; 4 4 4 4 JJJG JJJG JJJG JJJG o Puisque CJ = BA − 3BC alors donc les coordonnées de CJ sont ( −3 ; 1 ) . JJG JJJG o Il est facile de vérifier que la condition de colinéarité des vecteurs CI et CJ est vérifiée.
EXERCICE 3 1. Construction du point J = R ( I ) .
2. BI = CJ . On a : J = R ( I ) e t C = R ( B ) . La rotation est une transformation qui conserve la distance donc BI = CJ. 3. I est l'orthocentre du triangle BJC. o Puisque J = R ( I ) e t C = R ( B ) et que R est une rotation d’angle 90° alors les droites
(JC) et (IB) sont perpendiculaires. Donc (BI) est hauteur issue de B dans le triangle BJC. o (CI) est évidemment hauteur de BCJ issue de C.
o Par suite I étant à l’intersection de deux hauteurs du triangle BCJ est l’orthocentre de ce triangle.
DEVOIR NUMERO 35 EXERCICE 1 GG Dans le plan rapporté au repère O ; i ; j , on considère les points A(1 ;0) B(-1 ;2) C(3 ;1)
(
)
1. Calculer l’équation cartésienne de la médiane issue de A dans le triangle (ABC). 2. Calculer l’équation cartésienne de la médiane issue de B dans le triangle (ABC). 3. En déduire les coordonnées du centre de gravité du triangle (ABC).
EXERCICE 2 Dans un repère orthonormal, on considère les points : A ( 5 ; 1) B ( −4 ; 4 ) C ( −1 ; −2 ) . Démontrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.
SOLUTION EXERCICE 1 1. Equation cartésienne de la médiane issue de A dans le triangle (ABC). Soit A’ le milieu de [AB]. On a : A’(1 ;
3 2
)
JJJJG 0 Cette médiane est la droite passant par A et admettant le vecteur AA ' 3 comme 2 vecteur directeur. Son équation cartésienne est : x = 1. 2. Equation cartésienne de la médiane issue de B dans le triangle (ABC). Soit B’ le milieu de [AC]. On a : B’ (2 ; 0,5) JJJJG 3 Cette médiane est la droite passant par B et admettant le vecteur BB ' 3 comme − 2 vecteur directeur. 3
Son équation cartésienne est de la forme - x - 3y + k = 0. 2
3
Comme cette médiane passe par B donc les coordonnées de B vérifient l’équation - x 2
- 3y + k = 0. Ce qui donne k = - 4,5 L’équation cartésienne de la médiane issue de B est donc
3 2
x+3y - 4,5=0
Cette équation peut s’écrire encore x + 2y - 3 =0 3. Coordonnées du centre de gravité du triangle (ABC). Le centre de gravité du triangle (ABC) est le point d’intersection G des deux médianes (AA’) et (BB’). Autrement dit c’est le point G dont les coordonnées (x ;y) vérifient à la fois l’équation de (AA’) et celle de (BB’) Il est facile de trouver G (1, 1)
EXERCICE 2 Calculons AB , AC , BC à l’aide de la formule de la distance. AB = ( −4 − 5 ) + ( 4 − 1) On trouve : AC = ( −1 − 5 ) + ( −2 − 1) BC = ( −1 + 4 ) + ( −2 − 4 ) 2
2
2
2
=
90
2
=
45
2
=
45
On a : AC = BC donc le triangle est isocèle en C. On a : AB2 = AC2+ BC2 donc d’après le théorème de Pythagore ABC est rectangle en C.
DEVOIR NUMERO 36 EXERCICE 1 Soit ABC un triangle. Construire les points D et E tels que : JJJG JJJG 3 JJJG JJJG 1 JJJG 1 JJJG AD = AB − AC et AE = CB + CA 2 3 6
1. Démontrer que les points A, D et E sont alignés. JJJG JJJG JJJG 2. On définit le point F par BF = x AB + 2 AC où x est un nombre réel. Pour quelle valeur de x, les points A, D et F sont-ils alignés ?
EXERCICE 2
JJJJG 3 JJJG Soit ABC un triangle. Les points M et N sont tels que AM = AB et 4 JJJG 4 JJJG AN = AC . 3
La droite (MN) coupe la droite (BC) en K. JJJG JJJG On se place dans le repère A; AB; AC
(
)
1. Ecrire une équation des droites (BC) et (MN) 2. Calculer les coordonnées de K.
JJJG JJJG 3. Déterminer le nombre k tel que : BK = kBC .
EXERCICE 3 ABC est un triangle isocèle rectangle en A et I le milieu du
segment [BC] On choisit un point P quelconque de l'hypoténuse et on construit M sur [AB] et N sur [AC] afin que AMPN soit un rectangle. Démontrer que le triangle NMI est isocèle rectangle.
SOLUTIONS EXERCICE 1 JJJG 3 JJJG JJJG 1 JJJG 1. Construction. Les points F, G et H sont tels que : AF = CA , AG = CA , 2 6 JJJG 1 JJJG AH = CB 3
2. Démontrer que les points A, D et E sont alignés. JJJG JJJG JJJG 3 JJJG JJJG 1 JJJG JJJG JJJG 1 JJJG AD = AC + CB − AC = − AC + CB = CB + CA = 3 AE 2 2 2 3. Valeur de x pour laquelle les points A, D et F sont alignés. JJJG JJJG On se place dans la base AB, AC .
(
)
JJJG JJJG Cherchons dans cette base les coordonnées de AF et de AD .
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 1+ x AF = AB + BF = (1 + x ) AB + 2 AC donc les coordonnées de AF sont . 2 JJJG JJJG JJJG 3 JJJG 1 AD = AB − AC donc les coordonnées de AD sont . 2 −3 / 2 D’après la condition de colinéarité de deux vecteurs, les points A,D et F sont alignés si , et seulement si −
3 7 (1 + x ) = 2 ce qui donne x = − 2 3
EXERCICE 2 1. Ecrire une équation des droites (BC) et (MN).
JJJG JJJG Dans le repère A; AB; AC les coordonnées des points B,C,M et N sont :
(
B(1 ; 0) C (0 ;1) M(
)
3 4 ;0) N(0 ; ). 4 3
La droite (BC) a comme équation : x + y =1 La droite (MN) a comme équation :16x + 9y -12= 0. 2. Calcul des coordonnées de K. Le point K est l’intersection des deux droites (BC) et (MN) donc les x + y =1 . Ce coordonnées de K sont les solutions du système : 16 x + 9 y − 12 = 0
système a une solution : x =
3 4 ;y = 7 7
JJJG JJJG 3. Calcul du nombre k tel que BK = kBC .
4 JJJG − 7 JJJG −1 4 On a BK et BC ce qui donne k= 7 4 1 7
EXERCICE 3
o Les triangles INC et IAM sont isométriques.
En effet : IC= IN car I est le milieu de [BC]. AM = CN car AM= NP et NP= CN. (Le triangle CNP est isocèle rectangle). n = ICN n = 45° . IAB
Les deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux sont donc isométriques. Puisque ces deux triangles sont isométriques, IM=IN donc NMI est isocèle. o Les deux droites (IM) et (IN) sont perpendiculaires. n = I + Il = 90° car ABC est isocèle rectangle. On a : AIB 1 2
Puisque les triangles INC et IAM sont isométriques, Il2 = Il4 . Par suite, I1 + Il4 = 90° . Or I1 + Il2 + Il3 + Il4 = 180° donc Il3 + Il2 = 90° . Comme n = Il + Il alors NIM n = 90° . NIM 3 2
DEVOIR NUMERO 37 EXERCICE 1 ABCD est un parallélogramme de centre O. Soit d une droite passant par O. Elle coupe le côté [AB] en N et le côté [CD] en P. Démontrer que AN = CP.
Avant de se lancer dans une démonstration, on indiquera clairement la méthode utilisée.
EXERCICE 2 ABC est un triangle quelconque .La bissectrice de l'angle
n coupe (BC) en P et le cercle circonscrit BAC
C en Q. Après avoir
montré que les triangles ABQ et BPQ sont semblables, établir l'égalité : QB 2 = QA x QP.
EXERCICE 3 Soit ABC un triangle. Les points M et N sont tels que M est le milieu de [BC] et N est le symétrique de A par rapport à C.. On appelle G le centre de gravité du triangle ABN. JJJG JJJG On se place dans le repère A; AB; AC
(
)
a. Ecrire une équation des droites (BC) et (MN) b. Calculer les coordonnées de G.
EXERCICE 4 Une entreprise a augmenté sa production de 15% en 2003 et de 8% en 2004. Quel est le pourcentage d’augmentation de la production sur les années 2003 et 2004.
SOLUTIONS EXERCICE 1 Montrons que les triangles ANO et OCP sont isométriques. o
n et OCP n sont égaux car ce sont deux Les angles NAO angles alternes internes.
o
n et COP n sont égaux car ce sont deux Les angles AON angles opposés par le sommet.
o
Les côtés AO et OC sont égaux car O est le centre du parallélogramme.
Les deux triangles ont deux côtés égaux et deux angles adjacents égaux sont donc égaux. Par suite AN=CP.
EXERCICE 2 a. Les triangles ABQ et BPQ sont semblables. o
n en commun. Ces deux triangles ont AQB
o
n = QBP n en effet : BAQ n = QAC n car (AP) est la bissectrice de l’angle A l. BAQ n = QBP n d’après le théorème de l’angle inscrit. QAC
n = QBP n. Donc BAQ b. QB 2 = QA x QP. Puisque les triangles ABQ et BPQ sont semblables, leurs côtés sont proportionnels donc :
BP BQ PQ BQ PQ . De l’égalite : on déduit que QB 2 = QA x QP. = = = AB AQ BQ AQ BQ
EXERCICE 3 a. Equation des droites (BC) et (MN). JJJG JJJG Dans le repère A; AB; AC les coordonnées des points B,C,M et N sont :
(
B(1 ; 0) C (0 ;1)
)
M(
1 1 ; ) 2 2
N(0 ; 2 ).
La droite (BC) a comme équation : x + y =1 La droite (MN) a comme équation :3x + y – 2 = 0. b. Calcul des coordonnées de G.
1 2 Le point G a comme coordonnées ; 3 3
EXERCICE 4 Soit P la production en début 2003. 15 115P En fin 2003 elle est égale à : P1 = P 1 + = 100 100 8 108P1 108 x115P En fin 2004 elle est égale à : P2 = P1 1 + = . = 10000 100 100 Le pourcentage d’augmentation est alors : 100 x
P2 − P 108 x115 = − 100 = 24, 2% P 100
DEVOIR NUMERO 38 EXERCICE 1 Simplifier : D =
2a + 2 a 2 −1
+
2 + 2a 1 . + 2 2a − 1 2
EXERCICE 2 Soit f une fonction affine : f ( x ) = ax + b . Calculer a et b sachant que la représentation graphique de f passe par les points A et B.
5 1 5 A 2; ; B ; 3 2 6
EXERCICE 3 Dans une classe de 34 élèves la moyenne des tailles est égale à 175,2 cm. Un nouvel élève qui mesure 190 cm arrive dans la classe. Quelle est alors la moyenne des tailles ?
EXERCICE 4 En tenant compte des renseignements portés sur la figure ci-contre, calculez les longueurs AB et CH.
EXERCICE 5 Dans un repère quelconque, on considère les points A(2, 3), B(5, 7) et C ( - 7, - 9) Ces trois points sont-ils alignés?
EXERCICE 6 n . AM=AB et AN=AC. La droite (AI) est la bissectrice de l'angle BAC
Démontrez que les triangles ABN et AMC sont isométriques.
EXERCICE 7 Les triangles ADC et ABE sont –ils semblables ?
SOLUTIONS EXERCICE 1 Simplication de : D = On choisit
(
2a + 2 a 2 −1
+
2 + 2a 1 . + 2 2a − 1 2
)
2 2a 2 − 1 comme dénominateur commun.
(
2a + 2 2 + 2a 1 + + = D= 2 a 2 − 1 2a − 1 2 2a + 2
( = En définitive, D =
)( 2 )(a
)(
2 +1
(
)
2 +1 + 2
(
(
) (
)
2 2a 2 − 1
) =(
2a + 1
)
2 2a − 1 2
2
)x
2 +1
2a + 1
2
2a − 1
3 2a + 1 x 2 2a − 1
EXERCICE 2 5 2a + b = 3 Les nombres a et b sont solutions du système : a +b = 5 2 6 6a + 3b = 5 5 Ce système s’écrit simplement : . On trouve : a = b = 9 3a + 6b = 5
EXERCICE 3
La moyenne des tailles est :
34 x175, 2 + 190 = 175, 62 35
EXERCICE 4 Dans le triangle ABH, sin 60° =
3 3 AH = d’où AB = 2 3 . Donc : 2 AB AB
Le triangle ACH est rectangle isocèle donc : CH=AH .
)
2 + 2a + 2a 2 − 1
EXERCICE 5 Dans un repère quelconque, on considère les points A(2, 3), B(5, 7) et C ( - 7, - 9) Ces trois points sont-ils alignés? JJJG 3 JJJG −9 JJJG JJJG AB ; AC . ON remarque que : AC = −3 AB . 4 −12
EXERCICE 6 Les deux triangles sont isométriques car ils ont deux côtés égaux compris entre un angle égal. En effet : o
n = MAC n BAM
o
AM = AB
o
AN = AC
EXERCICE 7 Les triangles ADC et ABE sont semblables car ils ont deux angles égaux. En effet : l en commun. o Ils ont l’angle A
l =E l car dans le cercle, ils interceptent le même arc. o C
DEVOIR NUMERO 39 Exercice n°1 (10 points) ABCD est un carré de côté 6 cm. I est le point de [AB] tel que AI = 4 cm. J est le milieu de [BC] et K est le milieu de [AD]. (IJ) coupe (AD) en L et (DC) en M. 1. a) Sans justifier, donner les valeurs de IB et BJ puis démontrer que AL = 6 cm. b) Calculer LI et KI. c) Les droites (KI) et (LI) sont-elles perpendiculaires ? Justifier votre réponse. 2. a) Démontrer que J est le milieu de [IM]. b) Les droites (IC) et (BM) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse. c) Déterminer CM.
y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Exercice n°2 (19 points) On donne ci-dessous la représentation graphique Cf d’une fonction f définie sur [– 4 ; 2 ]. Les points marqués • sont des points de la courbe qui ont des coordonnées entières.
-4
PARTIE A
-3
-2
-1
Cf
Répondre aux questions en utilisant la
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15
1
2
représentation graphique de la fonction f (à faire sur cette feuille) 1. Sans justifier - lire l’image de 1 par f : …………………………………….…………………………………… - lire le ou les antécédent(s) éventuel(s) de 9 par f : ……………………………………………… - donner le maximum de la fonction f : …………………………………………………………… - donner un encadrement de f (x) pour x appartenant à l’intervalle [–1 ; 1[: ……………………………… - donner les valeurs de x pour lesquelles 0 ≤ f (x) ≤ 9: …………..………………………………... 2. Expliquer la façon de lire les solutions de l'inéquation f (x) > 0 puis donner l'ensemble des solutions: ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 3. Faire le tableau de variation de la fonction f. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 4. a et b sont deux réels tels que a < b. Comparer si possible f(a) et f(b) dans les deux cas suivants (entourer la bonne réponse): a et b sont 2 réels de [-1 ; 1], alors
f(a) < f(b)
f(a) > f(b)
on ne peut pas savoir
a et b sont 2 réels de [- 4 ; 2 ], alors
f(a) < f(b)
f(a) < f(b)
on ne peut pas savoir
PARTIE B Répondre aux questions en utilisant les expressions numériques de la fonction f On admet que Cf représente la fonction f définie par f (x) = – 3x2 – 6x + 9 sur l’intervalle [– 4 ; 2 ]. 2 1. Calculer f (– ) 3 2. Le point A de coordonnées (– 5 ; 7,4) appartient-il à la courbe Cf? Justifier votre réponse. 3. a) Montrer que f(x) = (– 3x + 3) (x + 3). b) En déduire, à l’aide d’un tableau de signes, les solutions de f (x) > 0. 4. Montrer que f(x) = – 3 (x + 1)2 + 12. 5. Parmi les trois écritures de f (x) disponibles, choisir la mieux adaptée pour résoudre l'équation f (x) = 9 et résoudre cette équation.
PARTIE C Soit g la fonction définie sur [– 4 ; 2 ] par g(x) = x + 9. 1. Sans justifier, tracer la représentation graphique de la fonction g sur le graphique. 2. Justifier à l'aide du graphique que l’équation f (x) = g (x) a deux solutions. On note ces solutions α et β (avec α < β), placer ces solutions sur le graphique puis donner un encadrement d'amplitude 0,5 de α. 3. Résoudre par le calcul l’inéquation f (x) ≤ g (x).
Exercice n°3 : QCM (14 points) (1 point par bonne réponse et – 0,5 par réponse fausse) Faire une croix devant la ou les bonnes réponses. (sans justification)
x 1. Soit E(x) = (1 – x) ( – 1) 2
2. L’équation
2x(x + 1) = 0 a pour solutions : x–4
3. Les solutions éventuelles de (x – 1)2 = 4 sont :
4. Les solutions de l’équation (x – 4)(–2x + 1) = (x – 4)(x + 4) sont :
5. Le tableau de signes ci-dessous donne le signe 0 de : x –∞ – 3 +∞ Signe de + – 0 …………
6. Si 0 < x < 1 alors :
7. (–3a)2 est égal à :
8.
(3ab3)2 est égal à : a3b4
Si x < 2 alors E(x) > 0 4 Si x < alors E(x) < 0 3 Si 1< x < 2 alors E(x) > 0 Si x 1 ou x 2 alors E(x) -1 et 4 1 ; -1 et 4 0 ; -1 et 4 0 et -1 1 -1 et 2 -3 et 5 3 -1 et 3 aucune -1 et 4 -1 5 et 4 3 5 3 x+ 3 – 3x–3 –x+ 3 x– 3 1 0 1 0 x 1 >1 x –9a2 (3a)2 9a2 6a2 –3a2 6a-1b2 6a5b10 9a3b-2 9a-1b2
1
6–3 2 9.
18 – 3 2 est égal à : 3
18 – 2 –6+3 2 6– 2
0
SOLUTIONS EXERCICE 1 (10 POINTS) 1. a) Valeurs de IB et BJ et AL. o IB = 2 et BJ = 3. IBJ o Appliquons le théorème de Thalès dans les triangles : . IAL Cela donne :
AL IA = soit : AL x IB = BJ x IA d’où AL = 6 BJ IB
b) Calculer LI et KI. o Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle LAI :
LI 2 = AI 2 + LA2 = 16 + 36 = 52 . D’où LI = 52 = 2 13 o Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle KAI :
KI 2 = AI 2 + KA2 = 16 + 9 = 25 . D’où KI = 5
Ne pas remplacer
2 13 par 7,21
c) Les droites (KI) et (LI) sont-elles perpendiculaires ? Utilisons la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle LIK .
Cela fait des erreurs au c)
LI 2 + IK 2 = 77 . LK 2 = 81. LI 2 + IK 2 ≠ LK 2 . Le triangle LIK n’est pas rectangle donc les droites ne sont pas perpendiculaires. 2. a) J est le milieu de [IM]. IBJ Appliquons le théorème de Thalès dans les triangles : . MCJ Cela donne :
JI JB JB JI = Or JB = JC donc = 1 donc = 1. d’où JI = JM JM JC JC JM
( On peut aussi utiliser le théorème des milieux) b) Les droites (IC) et (BM) sont-elles parallèles ? J est à la fois le milieu de [BC ] et de [IM ] . Le quadrilatère IBMC est donc un
parallélogramme. Par suite les côtés (IC) et (BM) sont parallèles. c) Déterminer CM. Le quadrilatère IBMC est un parallélogramme donc CM = IB = 2 .
EXERCICE N°2 (19 POINTS) PARTIE A 1. - lire l’image de 1 par f : …0……………………………….…………………………………… - lire le ou les antécédent(s) éventuel(s) de 9 par f : …0 ou -2………………………… - donner le maximum de la fonction f : …12…………………………………………………… - donner un encadrement de f (x) pour x appartenant à l’intervalle [–1 ; 1[: …0 0 sont les abscisses des points de la courbe de f situés au dessus de l’axe des abscisses. On trouve : -3 < x < 1.
3. Faire le tableau de variation de la fonction f.
x
-4
-1
2
12 f (x)
-15
-15
4. 5. a et b sont deux réels tels que a < b. Comparer si possible f(a) et f(b) dans les deux cas suivants (entourer la bonne réponse): a et b sont 2 réels de [-1 ; 1], alors
f(a) < f(b)
f(a) > f(b)
on ne peut pas savoir
a et b sont 2 réels de [- 4 ; 2 ], alors
f(a) < f(b)
f(a) < f(b)
on ne peut pas savoir
PARTIE B
35 2 1. f (– ) = 3 3 2. Le point A de coordonnées (– 5 ; 7,4) appartient-il à la courbe Cf? f
( 5 ) = 6(
)
5 − 1 ≠ 7, 4 .
Donc A n’appartient pas à la courbe. 3. a) f(x) = (– 3x + 3) (x + 3) (facile) b) Signes, les solutions de f (x) > 0. x
-3
1
x+3
-
+
+
-3x+3
+
+
-
f(x)
-
+
-
4. f(x) = – 3 (x + 1)2 + 12 ( Facile). 5. Résolution de l'équation f (x) = 9. f ( x ) = 9 ⇔ −3 x 2 − 6 x + 9 = 9 ⇔ −3 x 2 − 6 x = 0 ⇔ −3 x ( x + 2 ) = 0 ⇔ x = 0 ou x = −2
PARTIE C Soit g la fonction définie sur [– 4 ; 2 ] par g(x) = x + 9. 1. Sans justifier, tracer la représentation graphique de la fonction g sur le graphique.
2. Justifier à l'aide du graphique que l’équation f (x) = g (x) a deux solutions. Les solutions de l’équation f (x) = g (x) sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes. on trouve β = 0 et -2,5 ≤ α ≤ -2 3. Résoudre par le calcul l’inéquation f (x) ≤ g (x). f ( x ) ≤ g ( x ) ⇔ −3 x 2 − 6 x + 9 ≤ x + 9 ⇔ − 3 x 2 − 7 x ≤ 0 ⇔ − x ( 3 x + 7 ) ≤ 0 .
7 Un tableau de signe donne : comme solution : −∞ ; − ∪ [0 ; + ∞[ . 3
Exercice n°3 : QCM (14 points) (1 point par bonne réponse et – 0,5 par réponse fausse)
x 1. Soit E(x) = (1 – x) ( – 1) 2 X X 2. L’équation
2x(x + 1) = 0 a pour solutions : x–4
2
X
3. Les solutions éventuelles de (x – 1) = 4 sont :
4. Les solutions de l’équation (x – 4)(–2x + 1) = (x – 4)(x + 4) sont :
X
Si x < 2 alors E(x) > 0 4 Si x < alors E(x) < 0 3 Si 1< x < 2 alors E(x) > 0 Si x 1 ou x 2 alors E(x) -1 et 4 1 ; -1 et 4 0 ; -1 et 4 0 et -1 1 -1 et 2 -3 et 5 3 -1 et 3 aucune -1 et 4 -1 5 et 4 3 5 3
5. Le tableau de signes ci-dessous donne le signe 0 x+ 3 de : X – 3x–3 x –∞ – 3 +∞ X –x+ 3 Signe de + – 0 ………… x– 3
6. Si 0 < x < 1 alors : X
7. (–3a)2 est égal à : X 8.
(3ab3)2 est égal à : a3b4
X X
1 0 1 0 x 1 >1 x –9a2 (3a)2 9a2 6a2 –3a2 6a-1b2 6a5b10 9a3b-2 9a-1b2
1
6–3 2 18 – 3 2 9. est égal à : 3
X 18 – 2 X –6+3 2 X 6– 2
0
