Mécanique générale et analytique : cours et exercices Talpaert .... dernière unité
de mesure du SI à être encore définie au moyen d'un étalon matériel fabriqué ...
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COURS DE MECANIQUE DU POINT BIBLIOGRAPHIE N°
Titre
Auteur
côte
1.
Cours de physique : mécanique du point
Gibaud
531.92.2 à .10
2.
Exercices de mécanique du point
Peiffer
531/211.2 à .3
3.
Mécanique : cinématique du point et du solide rigide
Teyssier
8207/12/1
4.
Mécanique classique du point matériel
Soutif
531/221
5. 6.
Mécanique du point Mécanique du point : cours et exercices
Bertin Gibaud
531/209.2 à .5 531/224.2 à .10
7. 8. 9.
Mécanique du point : rappels de cours, exercices Mécanique du point : 114 problèmes résolus Mécanique du point
Biet Lumbroso Thionnet
531/33.2 à .7 531/228.2 à .11 531/238.2 à .10
10.
Mécanique du point : cours et 63 exercices corrigés
Vanderwegen
531/223.2 à .18
11.
Mécanique du point : 114 problèmes résolus
Lumbroso
531/227.2 à .10
12.
Mécanique du point : rappels de cours, exercices
Biet
531/232.2 à .10
13.
Mécanique du point : cours + exos
Henry
531/89.2 à .200*
14.
Mécanique du point : exercices corrigés :
Devillard
531/26.2 à .10
15.
Mécanique du point et du solide
Rafael
531/229.2 à .8
16.
Mécanique du point matériel
Elbaz
531/210.2 à .10
17. 18.
Mécanique du point: exercices corrigés Mécanique du point, Cours et exercices corrigés
Teyssier Salémi
531/25.2 à .10 531/30.2 à .10
19.
Mécanique générale et analytique : cours et exercices
Talpaert
531/45.2 à .8
20.
Mécanique newtonienne du point : exercices corrigés
Delmas
531.1/01.2 à .5
21.
Mécanique newtonienne du point: cours et exercices
Grossetête
531.1/02.2 à .10
22.
Mécanique newtonnienne du point : Cours, exercices
Meullenet
531/212.2 à .10
23.
Mécanique. 1, Mécanique des systèmes de point
Bertin
531/98.2 à .10
24.
Mécanique. 2, Dynamique et: 81 exercices
Teyssier
531/197.2 à .3
25.
Mecanique.1: cours et 162 exercices corrigés
Faroux
531/190.2 à .5
26.
Mécanique.Tome 1, Cinématique du point
Teyssier
531/158.2 à .3
27.
Problèmes résolus de mécanique du point
Lumbroso
531/208.2 à .40
2
PHYS 1 : PROGRAMME OFFICIEL
Mécanique (cours/TD) (3 séances/ semaine) VHG = 67,5 heures
RAPPELS MATHEMATIQUES Les équations aux dimensions - calculs d’erreurs - Les vecteurs CINEMATIQUE DU POINT Mouvement rectiligne - Mouvement dans l’espace - Etude de mouvements particuliers - Etude de mouvements dans différents systèmes (polaires, cylindriques et sphériques) - Mouvements relatifs. DYNAMIQUE DU POINT Le principe d’inertie et les référentiels galiléens - Le principe de conservation de la quantité de mouvement - Définition Newtonienne de la force (3 lois de Newton) - Quelque lois de forces TRAVAIL ET ENERGIE DANS LE CAS D’UN POINT MATERIEL Energie cinétique- Energie potentielle de gravitation et élastique - Champ de forces - Forces non conservatives. Collision de deux particules isolées, choc élastique et choc inélastique.
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INTRODUCTION A LA MECANIQUE DU POINT I. LA MECANIQUE BRANCHE DE LA PHYSIQUE En mathématique, l’espace qui nous entoure est modélisé par la géométrie Euclidienne ou géométrie plane qui étudie, en principe, les formes des corps naturels. Cependant, le déplacement d’objets dans cet espace n’est pas pris en considération. C’est la Mécanique, de façon générale, qui définit le mouvement des objets dans l’espace. Parmi toutes les branches de la physique que sont l’optique, l’électromagnétisme, la thermodynamique entre autres, la mécanique est celle qui a été développée en premier. En effet, l’étude de la position et du mouvement des astres est l’une des sciences mécaniques les plus anciennes. Les grecs sont ceux qui nous ont laissé le plus de traces : Aristote affirmait que la Terre était sphérique et immobile alors qu’Archimède énonçait son principe sur les corps plongés dans un liquide. La mécanique classique, dite Newtonienne, est le domaine de la physique qui décrit les mouvements des corps à des vitesses faibles, 𝑣, devant celle de la lumière, 𝑐 = 300 000 km/s environ. On fixe généralement la limite supérieure de la vitesse du point à 𝑣 = 𝑐/10. Pour des vitesses plus importantes, la célèbre théorie de la relativité restreinte développée par Albert Einstein au début du XX e siècle apporte des facteurs correctifs aux formules. Une autre limitation de la mécanique Newtonienne est le domaine quantique où, là, il ne s’agit plus d’apporter des corrections aux formules mais de modifier radicalement les concepts de la physique. On peut citer, en exemple, le fait que la notion même de trajectoire n’existe plus en mécanique quantique.
II- DISCIPLINES DE LA MECANIQUE La mécanique classique est généralement subdivisée en deus grands domaines selon le point de vue adopté : Classement selon les propriétés des corps étudiés :
cinématique : décrit géométriquement le mouvement indépendamment de la cause qui le produit (détermination des vecteurs accélération, vitesse, position et équation horaire de la trajectoire), statique : étudie les corps à l’équilibre (notions de forces, moments), dynamique : étudie les causes du mouvement (lien entre les grandeurs cinématiques et les forces et moments, définition des énergies cinétique et mécanique).
Classement selon le type d’objet étudié :
mécanique du point mécanique du solide indéformable et déformable mécanique des milieux continus (mécanique des fluides).
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CHAPITRE I : RAPPELS MATHEMATIQUES I. GRANDEURS ET UNITES 1-1 UNITES DU SYSTEME INTERNATIONAL Les grandeurs physiques mesurables sont liées à des unités. Le système international d’unités (SI) a été adopté par conventions internationales. La conférence générale du bureau international des poids et mesures (BIPM) à approuvé les définitions officielles de toutes les unités de base. Afin de permettre une réalisation de plus en plus précise des unités de base, des modifications sont apportées au fur et à mesure de l’évolution des techniques de mesures. C’est ainsi que les premières définitions furent approuvées en 1889 et les plus récentes en 1983. Les unités de base du système international sont, ainsi, définies comme suit : Unité de longueur (mètre) : Le mètre est la longueur du trajet parcouru par la lumière dans le vide pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde ; ce qui suppose que 299 792 458 m/s soit la vitesse de la lumière dans le vide. Unité de masse adoptée en 1889 (kilogramme) : Le kilogramme est défini par BIPM comme la masse d’un cylindre en platine iridié (90% de platine et 10% d’iridium) de 39 mm de diamètre et 39 mm de haut. C’est la dernière unité de mesure du SI à être encore définie au moyen d’un étalon matériel fabriqué par l’homme. Celui-ci est conservé sous cloche de verre dans un coffre-fort du BIPL à Sèvres, prés de Paris. Cependant ce cylindre de métal n’est plus stable, sa masse varie d’environ 0,5 microgramme par an par rapport aux copies de référence. Les raisons de cette variation ne sont pas claires mais la conclusion est simple : il faut une nouvelle mesure dématérialisée. Unité de temps adoptée en 1967 (seconde) : La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133. Unité de courant électrique adoptée en 1948 (Ampère) : L'ampère est l'intensité d'un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de 1 mètre l'un de l'autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à 2. 10-7 newtons par mètre de longueur. Il en résulte que la constante magnétique, aussi connue sous le nom de perméabilité du vide, est égale à 4π.10-7 henrys par mètre exactement, µ0 = 4π.10-7 H/m. Unité de température thermodynamique adoptée en 1967 (Kelvin) : Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de la température thermodynamique du point triple de l'eau. Il en résulte que la température thermodynamique du point triple de l'eau est égale à 273,16 kelvins exactement. Unité de quantité de matière (mole) : La mole est la quantité de matière d'un système contenant autant d'entités élémentaires qu'il y a d'atomes dans 0,012 kilogramme de carbone 12 ; son symbole est « mol ». Lorsqu'on emploie la mole, les entités élémentaires doivent être spécifiées et peuvent être des atomes, des molécules, des ions, des électrons, d'autres particules ou des groupements spécifiés de telles particules. Dans cette définition, il est entendu que l'on se réfère à des atomes de carbone 12 non liés, au repos et dans leur
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état fondamental. Il en résulte que la masse molaire du carbone 12 est égale à 0,012 kilogramme par mole exactement, soit 12 g/mol. Unité d’intensité lumineuse adoptée en 1979 (candela) : La candela est l'intensité lumineuse, dans une direction donnée, d'une source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540 x 1012 hertz et dont l'intensité énergétique dans cette direction est 1/683 watt par stéradian. Il en résulte que l'efficacité lumineuse spectrale d'un rayonnement monochromatique de fréquence 540 x 1012 hertz est égale à 683 lumens par watt soit K = 683 lm/W = 683 cd sr/W. Les unités du système dit, aussi, MKSA ont une représentation symbolique et typographique définie par convention internationale. Cela donne :
Grandeur de base
Nom
symbole
longueur
mètre
m
masse
kilogramme
kg
temps
seconde
s
courant électrique
Ampère
A
température
Kelvin
K
quantité de matière
mole
mol
intensité lumineuse
candela
cd
Tableau 1-1 : Unités du système International (S.I) Deux grandeurs supplémentaires sont parfois ajoutées pour compléter le système. Grandeur de base
Nom
Symbole
angle plan
radian
rad
angle solide
stéradian
sr
Tableau 1-2 : Unités supplémentaires 1-2 UNITES DERIVEES Certaines unités dérivées du système international ont reçu un nom spécifique car elles sont fréquemment utilisées :
6
Grandeur de base
Nom
Symbole
SI
force
newton
N
m.kg.s-2
J
m2.kg.s-2
W
m2.kg.s-3
énergie, travail, quantité de chaleur
joule
puissance
watt
température Celsius
degré Celsius °C
K
pression
pascal
Pa
m-1.kg.s-2
fréquence
hertz
Hz
s-1
charge électrique
coulomb
C
s.A
résistance électrique
ohm
Ω
m2.kg.s-3 .A2
capacité électrique
farad
F
m-2.kg.s-3.A-2
différence de potentiel électrique
volt
V
m2.kg.s-3.A-1
induction magnétique
tesla
T
kg.s-2.A-1s
inductance magnétique
henry
H
m2.kg.s-2.A-2
Tableau 1-3: Unités dérivés Certaines unités dérivées n’ont pas de nom spécifique : Grandeur de base
Nom
Symbole
SI
vitesse angulaire
radian par seconde
rad/s
s-1
accélération angulaire
radian par seconde carrée
rad/s2
s-2
moment d’une force
newton mètre
N.m
m2 kg.s-2
champ électrique
volt par mètre
V/m
m kg.s-3.A-1
Tableau 1-4 : Unités usuelles sans noms spécifiques D’autres unités non SI, obtenues expérimentalement, sont fréquemment utilisées.
7 Nom
Symbole
Valeur SI
électronvolt
eV
1.60217733 10−19 𝐽
masse atomique
u.m.a
1.6605402 10−27 𝐾𝑔
pression
bar
105 𝑃𝑎
pression
atm
1.01325 105 𝑃𝑎
Tableau 1-5 : Unités non SI fréquemment utilisées Enfin, des préfixes de multiples et sous-multiples décimaux des unités SI sont définies : Facteur
Préfixe
Symbole
Facteur Préfixe
Symbole
101
déca
da
10-1
déci
d
102
hecto
h
10-2
centi
c
103
kilo
k
10-3
milli
m
106
méga
M
10-6
micron
μ
109
giga
G
10-9
nano
n
1012
terra
T
10-12
pico
p
1015
peta
P
10-15
femto
f
Tableau 1-6 : Multiples et sous-multiples des unités (S.I)
II-ANALYSE DIMENSIONNELLE 2-1 DIMENSION D’UNE GRANDEUR PHYSIQUE La dimension d’une grandeur renseigne sur sa nature physique alors que l’unité de mesure n’est nécessaire que pour donner une valeur quantitative de la mesure. C’est ainsi qu’on définit 7 dimensions de base correspondants aux 7 unités de base du SI. On note L, M, T, I, θ, N et J les dimensions respectives des grandeurs : longueur, masse, temps, intensité du courant électrique, température thermodynamique, quantité de matière et intensité lumineuse. Une grandeur purement numérique, comme le rapport de grandeurs identiques, est dite sans dimension, mais peut parfois avoir une unité (exemple : l’angle est en radians ou en degrés). On appelle équation aux dimensions, toute équation écrite en remplaçant, dans la formule, chaque grandeur fondamentale par sa dimension. Les équations aux dimensions obéissent aux règles suivantes : on n’additionne que les termes ayant la même dimension,
8
la dimension d’un produit de grandeurs est égale au produit des grandeurs, la dimension de Gn est la dimension de G à la puissance n, les termes exp x, logx, sinx, cos x, tgx et cotgx sont sans dimension. 2-2 ANALYSE DIMENSIONNELLE L’analyse dimensionnelle permet : de vérifier l’homogénéité des formules : les deux termes de l’équation doivent avoir la même dimension, de déterminer l’unité d’une grandeur dérivée des grandeurs fondamentales ; de faire des conversions d’unités d’un système à un autre, de prévoir la loi de comportement physique d’une grandeur inconnue en fonction des paramètres pertinents intervenants dans le problème. En effet, la dimension de toute grandeur peut être exprimée par la relation : [G] = La. Mb .Tc. Id. θe. Nf. Jg . (1.1) Connaissant la dimension de la grandeur que l’on cherche, on détermine les nombres a, b, c, d, e, f et g par identification des exposants des deux membres de l’équation aux dimensions. Cette technique n’indique pas toujours la loi véritable puisqu’elle ne tient pas compte des grandeurs qui n’ont pas de dimensions ; de plus on peut se tromper dans le choix des paramètres pertinents. Exemple 2-2-1 : Homogénéité : La formule Ec = Ep est elle homogène ? Avec Ec = ½ mv2 (énergie cinétique) et Ep = mgh (énergie potentielle). Dimension de Ec = [Ec] = M (LT-1)2= ML2T-2 et Dimension de Ep = [Ep] = MLT-2L ; la formule est donc homogène. Exemple 2-2-2 : Unité dérivée : A partir de la formule donnant la position z(t) = ½ gt 2 d’un corps en chute libre, déterminer la dimension de l’accélération de la pesanteur g. On a g = 2 z(t)/t2 d’où *g+ = LT-2 d’unité ms-2. Exemple 2-2-3 : conversion d’unités Donner l’équivalent, dans le système cgs, de l’unité de pression dans SI (pascal) sachant que M SI/Mcgs = 103 et LSI /Lcgs = 102. En SI, l’unité de pression est le pascal (newton/m2) alors qu’en CGS c’est la barye (dyne/cm2). On a, P = F/S ⟹ [P] = MLT-2L-2 = ML-1T-2 = Mcgs. 103 (Lcgs. 102)-1 T-2 = 10 Mcgs Lcgs-1 T-2. Soit, finalement en termes d’unités: 1 pascal = 10 baryes Exemple 2-2-4 : formulation Un point matériel de masse m décrit un cercle de rayon r avec une vitesse constante v. En utilisant l’analyse dimensionnelle, trouver l’expression de l’accélération, a, sachant qu’elle ne dépend que des paramètres v et r. LT-2 = [v] α. [r]β = (LT-1) α. Lβ = Lα+β. T-α. Par identification, on pose : 1 = α+β et
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-2 = -α, d’où l’on tire : α = 2 et β = 1 – α = 1 – 2 = -1. Soit, finalement, a = v2/r.
III- ERREURS ET INCERTITUDES Beaucoup de scientifiques confondent, assez souvent, le calcul d’erreur avec le calcul d’incertitude. 3-1 ERREURS L’erreur est la différence entre la valeur mesurée d’une grandeur physique et sa valeur étalon, dite de référence ou vraie. Les erreurs sont dues aux appareils de mesures, aux méthodes de mesure, à l’expérimentateur ou au milieu ambiant. On parle de deux types d’erreurs : Erreurs systématiques : elles sont dues aux défauts de fabrication ou d’étalonnage des appareils de mesure, aux mauvaises conditions ambiantes ou aux maladresses de l’expérimentateur. On peut citer, en électricité, l’erreur faite sur les mesures de résistances ne tenant pas compte des résistances internes des appareils de mesure que sont l’ampèremètre et le voltmètre. Ces erreurs doivent être éliminées. Erreurs aléatoires (fortuites, imprévues): elles sont dues à l’imprécision des grandeurs mesurées, à l’instabilité des appareils, aux erreurs de lecture ou aux fluctuations des conditions ambiantes. Ces erreurs doivent être évaluées. Lorsqu’on mesure, à l’aide d’un chronomètre, le temps mis par une masse suspendue verticalement à un ressort pour faire 20 oscillations on trouve des résultats légèrement différents à chaque répétition de la mesure, dus aux retards de déclenchement au début ou à la fin de la mesure. On parle, alors, d’erreur aléatoire caractérisée par une distribution statistique. Le résultat de la mesure est lui représenté par une distribution de probabilité répartie autour de la vraie valeur. 3-2 INCERTITUDES 3-2-1 Définition Il existe deux types d’incertitude : absolue et relative. L’incertitude absolue δx ou ΔX sur une grandeur mesurée X correspond à l’écart maximum possible entre sa valeur mesurée et la meilleure estimation de sa vraie valeur. L’incertitude absolue permet de définir un intervalle où doit se trouver la valeur exacte. Néanmoins, ΔX est liée à la valeur de la grandeur mesurée. En effet, une incertitude 𝛥𝑋 = 1 cm sur une longueur de 100 km est très précise, alors qu’elle est plutôt grossière pour une longueur de 10 cm. Aussi, la qualité d’une mesure n’est pas seulement donnée par 𝛥𝑋 mais également par le rapport
δx x
ou (
ΔX X
) , appelé
incertitude relative. Elle est souvent exprimée en pourcentage. 3-2-2 Estimation En pratique, l’incertitude absolue est déterminée selon deux choix différents : classique (estimation grossière) ou statistique (plus précise). L’estimation classique consiste à chercher un majorant de l’erreur estimé grossièrement à partir de l’appareil de mesure ou des conditions expérimentales. Pour des appareils de mesures à graduations (règle, pied à coulisse, micromètres, chronomètres, ampèremètres, voltmètres, etc.), il est d’usage de prendre la moitié (ou le quart, si l’expérimentateur le juge plus adéquat) de la plus petite graduation. Pour ceux à affichage digital, on prend la valeur du plus petit chiffre affiché. Les résultats de mesure sont présentés sous la forme: 𝑿 = 𝑿 ± 𝜟𝑿
(1.2)
10
ou 𝑋 est la moyenne des mesures effectuées (𝑋 =
𝑛 1
𝑋𝑖
𝑛
; n est le nombre total de mesures effectuées et 𝑋𝑖
correspond à la i ième mesure de X). Exemple 3-2-1 1) Dans l’exemple du pendule simple, si la mesure de la longueur du fil a donné l = 28 cm avec une règle graduée au mm près, estimer son incertitude absolue Δ𝑙. Exprimer
Δl l
.
2) Par contre, si t = 38.2539 s est le temps de 20 oscillations mesuré avec un compteur à affichage numérique à 4 décimales, estimer les incertitudes absolues ΔT et relative
ΔT T
provoquées par les appareils de
mesure. Conclure. 1) Δl = 0.5 mm; Δ𝑡
2) 𝛥𝑇 = 20 =
Δl l
0.0001 20
0.5
= 280 = 0.18%. = 0.00005 𝑠 et
Δ𝑇 𝑇
= 0.000013% . On peut dire que, dans cette étude de pendule
simple, les incertitudes dues aux mesures de temps sont négligeables devant celles induites par les longueurs. L’estimation classique aboutit dans certains cas à des écarts très larges ne présentant que peu d’intérêts pratiques, le choix de la méthode statistique serait alors plus adéquat. Elle ne peut être étudiée en détails ici car nécessitant un cours complet sur les probabilités et statistiques. Mais, le cas très fréquent en travaux pratique d’expériences de comptage présente une incertitude aléatoire aisément évaluable. En effet, la théorie mathématique relative aux expériences de comptage produisant aléatoirement une moyenne définie de mesures ν (distribution de Poisson) estime l’incertitude statistique à 𝜈. L’étude de la radioactivité en est un bon exemple. Dans un échantillon radioactif, le nombre de désintégrations pendant une période T suit un taux moyen bien défini. Exemple 3-2-2 Le nombre de particules α (noyaux d’hélium constitués de deux neutrons et de deux protons) émises par un échantillon radioactif est mesuré pendant deux durées différentes. La première mesure donne 35 particules en 4 mn et la seconde 325 particules en 20 minutes. a) Quel est le nombre moyen de particules émises et l’incertitude associée dans chaque cas. Que valent les incertitudes relatives des mesures ? Commentaire. En 3 minutes, on a l’activité 𝜈1 = 35 ± 35 = 35 ± 6 et
Δ𝜈 1 𝜈1
6
= 35 = 17%.
En 20 minutes, on a l’activité 𝜈2 = 325 ± 325 = 325 ± 18 et
Δ𝜈 2 𝜈2
18
= 320 = 6%.
L’incertitude relative diminue lorsqu’on on augmente le temps de comptage.
IV- CHIFFRES SIGNIFICATIFS ET REGLES DE PRESENTATION DES MESURES SCIENTIFIQUES 4-1 CHIFFRES SIGNIFICATIFS 4-1-1 Règles d’écriture des nombres avec chiffres significatifs
11
Les chiffres composants un nombre sont dits significatifs s’ils participent à sa précision. Voici quelques règles pour juger du nombre de chiffres significatifs : Tous les chiffres sont significatifs pour un nombre ne comportant pas le chiffre ‘0’ au début ou à la fin. Exemple 4-1-1 5.6 (2 chiffres significatifs), 13.07 (4 chiffres significatifs) et 1905 (5 chiffres significatifs). Pour les nombres compris entre 0 et 1, les ‘0’ après la virgule ne comptent pas comme chiffres significatifs. Pour lever toute équivoque, il est préférable d’écrire le nombre sous la forme, dite, scientifique. Exemple 4-1-2 0.0000425 = 4.25 10−5 (3 chiffres significatifs) ; 0.01203 = 1.203 10−2 (4 chiffres significatifs). Lorsque un nombre sans décimales présente un ou plusieurs ‘0 ‘ à la fin, ceux-ci peuvent être significatifs ou non. Seule l’écriture scientifique permet d’éviter la confusion. Exemple 4-1-3 26000000 = 2.6 107 2 chiffres significatifs = 2.60 107 3 chiffres significatifs = 2.600 107 . Enfin, un nombre qui contient un ‘0’ après la virgule est précis jusqu’à la décimale indiquée. Exemple 4-1-4 12.0 (3 chiffres significatifs), 1200.00 (6 chiffres significatifs). Dans le cas d’une addition, d’une soustraction, d’une multiplication ou d’une division de nombres, le résultat doit garder le même nombre de décimales que le terme ayant le moins dans l’opération. Exemple 4-1-5 12.365125 + 42.0 = 54.4 Exemple : 4-1-6 236.89 ∗ 12.1 = 2866.369 qui s’écrit : 2.87 102 . Enfin, la grande majorité des mesures scientifiques présentent une erreur dés le 3 ième chiffre significatif. Il est, donc, illusoire et même aberrant de persister à donner tous les chiffres affichées par la calculatrice. Sauf exceptions, les résultats doivent être, désormais, écrits à 3 chiffres significatifs: les deux premiers chiffres sont exactes alors que le troisième est arrondi selon la règle usuelle : si le quatrième chiffre est > 5 alors on arrondit le troisième au chiffre supérieur, sinon on le laisse tel quel. Tous les chiffres après le troisième seront mis à zéro. Exemple 4-1-7 0.000325756 doit être écrit 0.000326000 ou encore mieux : 3.26 10−4 (écriture scientifique) et 3421598 doit être écrit 3420000 ou mieux 3.42 106 . 4-2 REGLES DE PRESENTATION DES RESULTATS DE MESURES
12
4-2-1 Règle de présentation des incertitudes A quelques exceptions prés, les incertitudes expérimentales doivent être arrondies à 1 chiffre significatif. Si l’on trouve que la mesure de l’accélération de la pesanteur g est 9.81 ms-2, il serait inutile et absurde de proposer une incertitude avec beaucoup trop de chiffres significatifs. Exemple 4-2-1 g = 9.81 ± 0.02 au lieu de g = 9.81 ± 0.020045897 ms −2 . NB : Si ΔX présente ‘1’ comme chiffre dominant (premier chiffre non nul rencontré en lisant de gauche à droite), il s’avère souhaitable de garder 2 chiffres significatifs sur l’incertitude. Exemple 4-2-2 ΔX = 0.13 au lieu de ΔX = 0.1. 4-2-2 Règle de présentation des résultats de mesures Tout résultat doit avoir son dernier chiffre significatif à la même position décimale que l’incertitude. Exemple 4-2-3 259.12 ± 0.2 doit être arrondi à 259.1 ± 0.2. Si l’incertitude devient 20, le nombre doit être arrondi à 260 ± 20 L’incertitude possède, bien évidemment, la même dimension que la grandeur mesurée. Les unités sont portées à la fin du résultat (juste après l’incertitude). Enfin, pour de nombres gigantesques ou très petits l’usage de la notation scientifique est plus approprié. Exemple 4-2-4 La charge électrique d’un électron est e = −1.61 ± 0.05 . 10−19 Cb ; cette écriture est plus facile à manipuler que (−1.6. 10−19 ) ± 5. 10−21 . 4-2-3 Barres d’erreur sur graphe Une masse m accrochée à un ressort suspendu verticalement, provoque un allongement (𝑙 − 𝑙0 ) de celui-ci. La théorie montre que : 𝒎𝒈 = 𝑲 𝒍 − 𝒍𝟎 ⟹ 𝒍 − 𝒍𝟎 =
𝒈 𝑲
𝒎
(1.3)
ou k est la constante de raideur du ressort. C’est l’équation d’une droite passant par l’origine. La mesure de (𝑙 − 𝑙0 ) pour différentes valeurs de m permet de tracer le graphe (𝑙 − 𝑙0 ) en fonction de m. A cause des erreurs de mesures, les points ne sont pas alignés parfaitement sur une droite, comme le prévoit la théorie. cependant, il existe une droite passant au plus près de tous les points dont chacune des deux coordonnées se situe dans un intervalle d’incertitude représenté par une barre d’erreur. Les barres d’erreur verticales sur la figure 3.1, indiquent que seul l’allongement du ressort présente des incertitudes, alors que sur la figure 3.2, les incertitudes concernent aussi les masses. Chaque point représente une mesure de (l − l0 ) , se trouvant quelque part sur la barre d’erreur verticale, et de m, évoluant sur la barre d’erreur horizontale.
13
(𝑙 − 𝑙0 )(𝑐𝑚)
(𝑙 − 𝑙0 )(𝑐𝑚)
𝑖
𝑖 m(g)
𝑗
Figure 1.1: Barres d’erreurs verticales
𝑗
m(g)
Figure 1.2: Barres d’erreurs verticales et horizontales
Remarques : 1- Selon l’équation (4.1), on peut, évidemment, déduire la constante de raideur k du ressort par la pente de 𝑔
la droite (𝐾 = tan 𝛼), 𝛼 étant l’angle formé par la droite et l’axe des x, mais aussi son incertitude à partir du tracé des deux droites de plus grande et de plus petite pente. 2- Il existe une méthode analytique utilisant le principe du maximum vraisemblable, dite des moindres carrés, qui permet de tracer la droite qui s’approche au mieux des points de mesure (Annexe 1). 3- Dans le cas où la fonction y = f(x) n’est pas linéaire, on procède par des choix judicieux des variables portées sur l’axe des x afin d’obtenir des droites sur le graphe. On peut citer deux exemples de fonctions non linéaires qu’on retrouve assez souvent : 𝑦 = 𝛼𝑥 𝑛 et 𝑦 = 𝛼𝑒 𝛽𝑥 , 𝛼, 𝛽 et n constantes. Pour 𝑦 = 𝛼𝑥 𝑛 , il suffit de prendre comme abscisse 𝑥 𝑛 . Pour la fonction 𝑦 = 𝛼𝑒 𝛽𝑥 , il faudrait prendre 𝐿𝑛𝑦 = 𝐿𝑛 (𝛼𝑒 𝛽𝑥 ) = 𝐿𝑛𝛼 + 𝛽𝑥. Exemple 4-2-5: 1
a) La hauteur h d’un corps en chute libre exprimée en fonction du temps est = 2 𝑔𝑡 2 . Partant d’une série de mesures de h et t, il n’est pas aisé de retrouver un profil parabolique pour = 𝑓(𝑡). Par contre, un profil linéaire pour = 𝑓(𝑡 2 ) est plus facile à obtenir à l’intérieur des barres d’erreur. b) L’activité d’un échantillon radioactif est donnée par la formule : 𝑁 = 𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡 On obtient l’équation d’une droite avec 𝐿𝑛𝑁 = 𝐿𝑛𝑁0 − 𝜆𝑡
V- PROPAGATION DES INCERTITUDES 5-1 RAPPELS SUR LA DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION 5 -1-1 Définition Considérons une fonction 𝑓 de variable réelle x définie et dérivable dans son domaine de variations. Cette fonction est représentée, dans le plan xOy, par la courbe définie par les points 𝑦 = 𝑓 𝑥 comme le montre la figure 5-1.
14
La dérivée de 𝑓 est définie par : 𝒇′ 𝒙𝟎 = 𝐥𝐢𝐦𝒙⟶𝒙𝟎
𝒇 𝒙 −𝒇(𝒙𝟎 )
(1-4)
𝒙−𝒙𝟎
Considérons la droite tangente à la courbe au point d’abscisse 𝑥0 . La dérivée 𝑓 ′ 𝑥0 est égale à la tangente de l’angle que fait cette droite avec l’axe des x.
Une variation infiniment petite de x est définie par 𝑑𝑥. La variation 𝑑𝑓(𝑥) correspondant à 𝑑𝑥 est appelée différentielle de 𝑓. Ainsi, la différentielle d’une fonction 𝑓(𝑥)est définie par : 𝒅𝒇 = 𝒇′ 𝒙𝟎 𝒅𝒙
(1-5) 𝑓(𝑥0 + 𝑑𝑥)
D C α
A
𝑓(𝑥0 ) O
𝑥0
B
𝑥0 + 𝑑𝑥
Figure 1.3 : Représentation géométrique de la dérivée d’une fonction
On voit bien, sur la figure 3-1, que : Δ𝑓 = 𝑓 𝑥0 + 𝑑𝑥 − 𝑓 𝑥0 = 𝐵𝐷 ; alors que : 𝑑𝑓 𝑥0 = 𝑓 ′ 𝑥0 𝑑𝑥 = tan 𝛼. 𝑑𝑥 = 𝐵𝐶. On constate que la variation Δ𝑓 de la fonction 𝑓 est différente de sa différentielle 𝑑𝑓. Mais, lorsque 𝑑𝑥 devient infinitésimale, Δ𝑓 ⟶ 𝑑𝑓. Exemple 5-1 1
𝑧 𝑡 = 2 𝑔𝑡 2 à pour différentielle 𝑑𝑧 𝑡 = 𝑔𝑡𝑑𝑡 𝑧 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) a pour différentielle 𝑑𝑧 𝑡 = 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)𝑑𝑡 Exemple 5-2 Prenons comme fonction, la surface d’un disque : 𝑆 = 𝜋𝑟 2 et la variable son rayon r. On a, 𝑑𝑆 = 2𝜋𝑟𝑑𝑟, alors que Δ𝑆 = 𝑆 𝑟 + 𝑑𝑟 − 𝑆 𝑟 = 𝜋(𝑟 + 𝑑𝑟)2 − 𝜋𝑟 2 Soit, Δ𝑆 = 2𝜋𝑟𝑑𝑟 + 𝜋 𝑑𝑟 2 . Si 𝑑𝑟 est infinitésimale, alors 𝑑𝑟
2
= 0 et Δ𝑆 = 𝑑𝑆
5-1-2 calculs différentielles a) Dérivée partielle Si toutes les variables d’une fonction à plusieurs variables sont maintenues constantes sauf une, on obtient alors une fonction à une seule variable. C’est ainsi que la dérivée de cette fonction par rapport à cette variable est appelée dérivée partielle.
15
𝑓(𝑥)
𝑦=𝑧…=𝑐𝑠𝑡𝑒
𝑑𝑔
= 𝑔(𝑥) ⟹
𝑑𝑥
𝜕𝑓
= 𝜕𝑥
𝑦=𝑧…=𝑐𝑠𝑡𝑒
.
La notation 𝜕𝑓 (on lit d rond f) est spécifique aux dérivées partielles. Exemple 5-1 La fonction 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 4 + 3𝑦𝑥 possède deux dérivées partielles : 𝜕𝑓 𝜕𝑥
𝜕𝑓
= 8𝑥 3 + 3𝑦 et
𝜕𝑦
= 3𝑥.
On définit les dérivées partielles d’ordre supérieur par : 𝝏
𝝏𝒇
𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏
𝝏𝒇
=
𝝏𝟐 𝒇 𝝏
, 𝟐
𝝏𝒇
𝝏𝒙
𝝏𝒚 𝝏𝒚
𝝏𝟐 𝒇
𝝏
𝝏𝒇
= 𝝏𝒙𝝏𝒚 ; 𝝏𝒙
𝝏𝒚 𝝏𝒙
=
𝝏𝒚
𝝏𝟐 𝒇
𝝏
𝝏𝒚
𝝏𝒛 𝝏𝒛
; 𝟐
𝝏𝒇
=
𝝏𝟐 𝒇
(1-6)
𝝏𝒛𝟐
𝝏𝟐 𝒇
= 𝝏𝒙𝝏𝒚
(1-7)
Pour les fonctions continues et dérivables, la relation suivante est toujours vérifiée : 𝝏
𝝏𝒇
𝝏𝒚 𝝏𝒙
𝝏
= 𝝏𝒙
𝝏𝒇
(1-8)
𝝏𝒚
b) Différentielle totale La plupart des grandeurs physiques sont des fonctions de plusieurs variables. On peut citer en thermodynamique, la quantité de chaleur Q dégagée par un corps de capacité calorifique C et de masse m chauffé de 𝑇𝑖 à 𝑇𝑓 : 𝑄 = 𝑚𝐶(𝑇𝑓 − 𝑇), ou bien, en électricité, l’énergie W dégagée par une résistance électrique R traversée par un courant I pendant un temps t: 𝑊 = 𝑅𝐼 2 𝑡. La différentielle totale d’une fonction à plusieurs variables est définie par la somme des différentielles partielles : 𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝒅𝒇 = 𝝏𝒙 𝒅𝒙 + 𝝏𝒚 𝒅𝒚 + ⋯
(1-9)
Exemple 5-2 Si l’on reprend la fonction de l’exemple 5-1, on obtient : 𝑑𝑓 = 8𝑥 3 + 3𝑦 𝑑𝑥 + (3𝑥)𝑑𝑦 𝜕2𝑓 𝜕𝑥 2
= 24𝑥 2 ;
𝜕
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕2𝑓 𝜕𝑦 2
=0
𝜕2𝑓
𝜕
= 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 𝜕𝑦 8𝑥 3 + 3𝑦 = 3 ;
𝜕
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕
= 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕𝑥 3𝑥 = 3
Remarque : Pour que la forme différentielle suivante : 𝛿𝑓 = 𝐹 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝐺𝑥, 𝑦) soit une différentielle totale avec 𝐹 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓 𝜕𝑥
et 𝐺 𝑥, 𝑦 =
partielles croisées:
𝜕𝑓 𝜕𝑦
, il faut et il suffit que 𝐹 𝑥, 𝑦 et 𝐺(𝑥, 𝑦) vérifient l’égalité des dérivées
16 𝝏𝑭 𝝏𝒚
=
𝝏𝑮
(1-10)
𝝏𝒚
c) Détermination de la primitive à partir des dérivées partielles La 1ière intégrale
𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑦
𝑑𝑥 permet de déterminer 𝑓(𝑥, 𝑦) à g(y) près car, y, est supposé constant, puis, la 2ième
intégrale est utilisée pour déterminer g(y). Exemple 5-3 A partir de 𝑑𝑓 = 12𝑥𝑦𝑑𝑥 + 6𝑥 2 𝑑𝑦 , déterminer la fonction 𝑓(𝑥, 𝑦). 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑦
𝑑𝑥 =
𝜕𝑓
12𝑥𝑦𝑑𝑥 = 6𝑥 2 𝑦 + g(y) ; 𝜕𝑦
𝑥
= 6𝑥 2 + g y = 6𝑥 2 ⟹ g y = 𝐶𝑠𝑡𝑒.
Finalement, 𝑓 𝑥, 𝑦 = 6𝑥 2 𝑦 + 𝐶𝑠𝑡𝑒. d) Règles de calculs Les règles de calcul sur les dérivées de fonction sont, évidemment applicables aux différentielles. Soient deux fonctions f et g à variable réelle x, on a : 𝒅 𝒇 + 𝒈 = 𝒇 + 𝒈 ′ 𝒅𝒙 = 𝒇′ 𝒅𝒙 + 𝒈′ 𝒅𝒙 = 𝒅𝒇 + 𝒅𝒈
(1-11)
𝒅 𝒇𝒈 = 𝒇𝒈 ′ 𝒅𝒙 = 𝒇′ 𝒈𝒅𝒙 + 𝒇𝒈′ 𝒅𝒙 = 𝒈𝒅𝒇 + 𝒇𝒅𝒈
(1-12)
5-2 METHODE GENERALE DE CALCUL D’INCERTITUDES Partant du fait que Δ𝑓 ⟶ 𝑑𝑓 pour des variations infinitésimales des variables x, y, z,…, on déduit, à partir de 𝜕𝑓
𝜕𝑓
la différentielle 𝑑𝑓 = 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦 + ⋯, l’incertitude absolue de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, … ) par : 𝜟𝒇 =
𝝏𝒇 𝝏𝒙
𝜟𝒙 +
𝝏𝒇 𝝏𝒚
𝜟𝒚 + ⋯,
(1-13)
L’incertitude étant toujours positive, les dérivées partielles sont prises en valeur absolues pour prévenir les cas de dérivées partielles négatives. Exemple 5-4 On donne 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 𝑦 − 𝑥𝑦 + 1. Ecrire 𝑓 sous la forme 𝑓 ± Δ𝑓 sachant que les mesures de x et y sont 𝑥 = 1.30 ± 0.01 et 𝑦 = 2.20 ± 0.01 . 𝑂𝑛 𝑎: 𝑑𝑓 = (3𝑥 2 𝑦) 𝑑𝑥 + (−𝑥 )𝑑𝑦 ⟹ Δ𝑓 = 3𝑥 2 𝑦 Δ𝑥 + −𝑥 Δ𝑦 A.N. : Δ𝑓 = 3(1.30)2 ∗ 2.20 0.01 + −1.30 0.01 = 0.1 ⟹ 𝑓 = 3.6 ± 0.1 Remarque : Si la fonction 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 se présente sous forme de produits et quotients, les calculs sont simplifiés si l’on utilise la différentielle logarithmique. On calcule, d’abord, l’incertitude relative puis on déduit l’incertitude absolue.
17
Exemple 5-5 𝑥−𝑦
Calculer l’incertitude absolue de la fonction 𝑥, 𝑦 = 𝑥+𝑦 . On calcule d'abord : 𝑙𝑛 𝑓 = ln 𝑥 − 𝑦 − ln(𝑥 + 𝑦) ; puis:
𝑑𝑓 𝑓
=
𝑑(𝑥−𝑦) 𝑥−𝑦
−
𝑑(𝑥+𝑦) 𝑥+𝑦
Il ne faut pas passer aux incertitudes relatives à ce stade du calcul. Comme x figure à la fois au numérateur et au dénominateur, il y a un couplage entre les deux termes. Il faut, d’abord, séparer les termes en 𝑑𝑥 de ceux en 𝑑𝑦, puis passer aux valeurs absolues: 𝑑𝑓 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 2𝑦 2𝑥 = − = 2 𝑑𝑥 − 2 2 𝑓 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 𝑥 −𝑦 𝑥 − 𝑦2 ∆𝑓 2 = 2 ( 𝑦 ∆𝑥 + 𝑥 ∆𝑦) 𝑓 𝑥 − 𝑦2
VI VECTEURS 6-1 SCALAIRES VECTEURS Les grandeurs physiques présentent des natures différentes. Certaines sont scalaires telles la température, la pression, la résistance électrique ou le potentiel par exemple ; d’autres sont vectorielles telles la force, la vitesse, le champ électrique ou magnétique, etc… Une grandeur scalaire est généralement un nombre affecté d’une unité. Alors que pour la charge ou la résistance électrique la donnée d’un seul nombre scalaire suffit à les caractériser, d’autres grandeurs physiques variables dans l’espace comme le potentiel, la pression ou la température nécessitent une infinité de nombres. On utilise, alors, la notion plus générale de champ scalaire. Si les causes produisant le champ scalaire présentent suffisamment de symétrie, celui-ci est représenté par une forme analytique. On peut citer l’exemple simple du potentiel électrostatique crée par une charge ponctuelle q dans un plan: 𝑉 𝑥, 𝑦 =
𝐾𝑞 𝑥 2 +𝑦 2
; 𝐾 = 9 109 𝑆. 𝐼 est la constante de Coulomb.
Une grandeur vectorielle ne peut être définie que si l’on précise sa direction, son sens, son point d’application et l’intensité de son action. Par définition, un vecteur est un segment de droite orienté dont la longueur correspond à l’intensité de la grandeur vectorielle. La aussi, il existe des situations où la grandeur vectorielle varie dans l’espace : on parle alors de champ vectoriel. On peut citer l’exemple du champ de gravitation à la 𝑀
surface de la Terre définie par une expression analytique qui découle de la loi de Newton : 𝑔 𝑀 = −𝐺 𝑅 𝑇2 𝑛 ; −11
𝑇
𝐺 = 6.67 10 𝑆. 𝐼 est la constante de Newton, 𝑀𝑇 la masse de la Terre, 𝑅𝑇 son rayon et 𝑛 un vecteur unitaire normal (perpendiculaire), en tout point M, à la surface de la Terre. 6-2 COMPOSANTES D’UN VECTEUR ET SYSTEME DE COORDONNEES Pour représenter un vecteur dans l’espace physique, il est nécessaire de choisir un système de référence appelé repère. Celui-ci est constitué d’un système d’axes d’origine commune muni d’une base de trois vecteurs orthonormés, c’est-à-dire unitaires et perpendiculaires entre eux. La position de la base définit le
18
système de coordonnées du point. On distingue, selon la symétrie du problème étudié, différents systèmes de coordonnées. Ceux, fréquemment utilisés, sont le système cartésien, cylindrique ou polaire et sphérique. 6-2-1 Coordonnées cartésiennes
z
M 𝑘 O 𝑖
y 𝑗
x
m
Figure 1.4 : Système de coordonnées cartésiennes
Les vecteurs de base (𝑖, 𝑗, 𝑘) du repère (𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧) forment la base orthonormée directe du système (figure 61). Leurs directions sont confondues avec celles des axes du repère. Tout point M de l’espace est repéré par ses trois coordonnées x, y et z. Le vecteur 𝑂𝑀 est défini par: 𝑶𝑴 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌 ; x, y et z sont ses composantes cartésiennes.
(1-14)
La norme du vecteur 𝑂𝑀 est définie par: 𝑶𝑴 =
𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛 𝟐 .
(1-15)
6-2-2 : Coordonnées cylindriques ou polaires Les vecteurs de base (𝑒𝜌 , 𝑒𝜃 , 𝑒𝑧 ) du repère (𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧) forment la base orthonormée du système (figure 6-2). La base est repérée par rapport à (𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧) par l’angle θ que fait le vecteur unitaire 𝑒𝜌 avec l’axe des x. Cette base est utilisée dans tous les problèmes présentant une symétrie de révolution autour d’un axe que l’on fixe arbitrairement comme étant l’axe z. Tout point M de l’espace est repéré par ses trois coordonnées cylindriques ρ, 𝜃 et z. Le vecteur 𝑂𝑀 est défini par : 𝑶𝑴 = 𝝆𝒆𝝆 + 𝒛𝒆𝒛
(1-16)
La norme du vecteur 𝑂𝑀 est définie par: 𝐎𝐌 =
𝛒𝟐 + 𝐳 𝟐
(1-17)
19
Pour le cas particulier du plan z=0, on parle de coordonnées polaires (ρ, θ) et de base polaire (𝑒𝜌 , 𝑒𝜃 ). 𝑂𝑀 est défini par: 𝑶𝑴 = 𝝆𝒆𝝆
(1-18)
La norme du vecteur 𝑂𝑀 est définie par: 𝑶𝑴 = 𝝆
(1-19)
Relations entre coordonnées cartésiennes et coordonnées cylindriques: 𝒙 = 𝝆𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒚 = 𝝆𝒔𝒊𝒏𝜽
(1-20)
𝒛=𝒛
𝑒𝜌
𝑒𝜃 𝑧
y
z
𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
x
ρ
M
𝑘 𝑂 𝑖
M
𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃
θ
𝑗 𝜌 𝑒𝑧
θ
𝑗
y
O
𝑒𝜌
𝑖
x
m 𝑒𝜃 Figure 1.5 : coordonnées cylindriques
Figure 1.6 : coordonnées polaires
6-2-3 : Coordonnées sphériques 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝑟
z
M
𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 θ 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑒𝜑
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑒𝜃
O𝜑
y m
x Figure 1.7 : Système de coordonnées sphériques
20
Les vecteurs de base (𝑒𝑟 , 𝑒𝜃 , 𝑒𝜑 ) forment la base orthonormée du système (figure 6-3). Cette base est utilisée dans tous les problèmes présentant une symétrie sphérique. Tout point M de l’espace est repéré par ses trois coordonnées sphériques r, 𝜃 et 𝜑. Le vecteur 𝑂𝑀 est radial ; il est défini par : 𝑶𝑴 = 𝒓𝒆𝒓
(1-21)
La norme du vecteur 𝑂𝑀 est définie par: 𝑶𝑴 = 𝒓
(1-22)
Relations entre coordonnées cartésiennes et coordonnées cylindriques: 𝒙 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒚 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋
(1-23)
𝒛 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
6-3 PRODUIT SCALAIRE 6-3-1 Définition Le produit scalaire de deux vecteurs 𝑣1 et 𝑣2 est définie par la quantité scalaire : 𝒗𝟏 . 𝒗𝟐 = 𝒗𝟏
𝒗𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 )
(1-24)
Le produit scalaire est commutatif puisque 𝑣1 . 𝑣2 = 𝑣2 . 𝑣1 𝑣1 (𝑣1 , 𝑣2 ) est l’angle α entre 𝑣1 et 𝑣2
α
𝑣2 Figure 1.8 : Produit scalaire de deux vecteurs
En coordonnées cartésiennes, le produit scalaire s’exprime par : 𝒗𝟏 . 𝒗𝟐 = 𝒙𝟏 𝒊 + 𝒚𝟏 𝒋 + 𝒛𝟏 𝒌 . 𝒙𝟐 𝒊 + 𝒚𝟐 𝒋 + 𝒛𝟐 𝒌 = 𝒙𝟏 𝒙𝟐 + 𝒚𝟏 𝒚𝟐 + 𝒛𝟏 𝒛𝟐 Exemple 6-1 Soient 𝑣1 = 2𝑖 + 𝑗 ; 𝑣2 = 4𝑖 + 2𝑗 ⟹ 𝑣1 . 𝑣2 = 2 ∗ 4 + 1 ∗ 2 = 10 6-3-2 Applications a) Composantes d’un vecteur Les composantes 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 𝑒𝑡 𝑣𝑧 d’un vecteur 𝑣 sont obtenues par les produits scalaires respectifs 𝑣. 𝑖; 𝑣. 𝑗 𝑒𝑡 𝑣. 𝑘 .
(1-25)
21
Exemple 6-2 Les composantes du vecteur 𝑣 = 4𝑖 + 2𝑗 + 𝑘 sont : 𝑣𝑥 = 𝑣. 𝑖 = 4 ; 𝑣𝑦 = 𝑣. 𝑗 = 2 et 𝑣𝑧 = 𝑣. 𝑘 = 1 b) Vecteurs perpendiculaires Lorsque le produit scalaire de deux vecteurs non nuls 𝑣1 et 𝑣2 est égal à zéro alors les deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux. Exemple 6-3 Vérifier que les vecteurs unitaires du système de coordonnées cartésiennes sont perpendiculaires deux à deux. 𝑖. 𝑗 = 1 ∗ 0 + 0 ∗ 1 = 0 ; idem pour 𝑗. 𝑘 et 𝑘. 𝑖 c) Angle entre deux vecteurs L’angle formé par deux vecteurs 𝑣1 et 𝑣2 peut être déterminé par : 𝑐𝑜𝑠(𝑣1 , 𝑣2 ) =
𝑣1 .𝑣2 𝑣1 𝑣2
.
Exemple 6-4 Le cosinus de l’angle entre 𝑣1 = (1, 4,0) et 𝑣2 = (2, −4,1) est 𝑐𝑜𝑠(𝑣1 , 𝑣2 ) =
−14 38
CB = BA + AC CB2 = AC2 + BA2 + 2BA. AC
d) Côté d’un triangle
a2 = b2 + c 2 + 2bc cos𝛼
C b
𝐶
a2 = b2 + c 2 − 2bc cos𝐴
a 𝐴
α A
Par permutation circulaire, on obtient :
𝐵 c
B
Figure 1.9 : côté d’un triangle
b2 = c 2 + a2 − 2ca cos𝐵 c2 = a2 + b2 − 2ab cos𝐶
6-3 PRODUIT VECTORIEL 6-3-1 : Définition Le produit vectoriel de 𝑣1 par 𝑣2 est le vecteur 𝑣3 noté : 𝒗𝟑 = 𝒗𝟏 ⋀𝒗𝟐 = 𝒗𝟏
𝒗𝟐 𝒔𝒊𝒏( 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 )
(1-26)
de direction perpendiculaire à 𝑣1 et à 𝑣2 et de sens suivant le déplacement d’un tire-bouchon tournant de 𝑣1 vers 𝑣2 et dirigé perpendiculairement au plan formé par ces deux vecteurs (figures 6.8 et 6.9).
22
𝑣3 = 𝑣1 ⋀𝑣2 𝑣1
𝑣2
𝑣1
𝑣2
𝑣2
𝑣1
Figure 1.10 : produit vectoriel
Figure 1.11 : Règle du tire-bouchon
Le produit scalaire est anticommutatif : 𝑣1 ⋀𝑣2 = −𝑣2 ⋀𝑣1 En coordonnées cartésiennes le produit vectoriel s’exprime par : 𝑣1 ⋀𝑣2 = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘 ⋀ 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘 . En développant, on trouve : 𝑦1 𝑧2 − 𝑦2 𝑧1 𝑣1 ⋀𝑣2 = 𝑥2 𝑧1 − 𝑥1 𝑧2 𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 Ce résultat peut être obtenu plus facilement par la méthode des déterminants :
𝒗𝟏 ⋀𝒗𝟐 =
+
-
𝒊
𝒋
𝒙𝟏 𝒙𝟐
+
𝒌
𝒚𝟏 𝒚𝟐
𝒚𝟏 𝒛 𝟏
𝒛𝟏 = +𝒊
-𝒋
𝒚𝟐 𝒛 𝟐
𝒛𝟐
𝒙𝟏
𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒛𝟐
+𝒌
𝒙𝟏
𝒚𝟏 (1-27)
𝒙𝟐
𝒚𝟐
On peut vérifier la relation du double produit vectoriel : 𝒗𝟏 ⋀(𝒗𝟐 ∧ 𝒗𝟑 ) = (𝒗𝟏 . 𝒗𝟑 )𝒗𝟐 − (𝒗𝟏 . 𝒗𝟐 )𝒗𝟑 ou la relation du produit mixte :
(1-28a)
𝒗𝟏 . (𝒗𝟐 ∧ 𝒗𝟑 ) = 𝒗𝟐 . 𝒗𝟑 ∧ 𝒗𝟏 = 𝒗𝟑 (𝒗𝟏 ∧ 𝒗𝟐 )
Exemple 6-5 Calculer 𝑣1 ⋀𝑣2 pour 𝑣1 = 3,7,2 et 𝑣2 = 4,0,1). 𝑣1 ⋀𝑣2 = + 𝑖
7
2
0
1
−𝑗 3 2 4
1
+𝑘
3 7 = 7𝑖 − 5𝑗 + 28𝑘 4 0
(1-28b)
23
6-3-2 Applications a) Surface d’un parallélogramme et volume d’un parallélépipède La norme 𝑣3 du produit vectoriel de deux vecteurs 𝑣1 et 𝑣2 est égale à la surface du parallélogramme définie par les deux vecteurs (figure 6.10). 𝑆 = 𝑣3 = 𝑣3 = 𝑣1 . 𝑣2 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝐵𝐶. 𝐴𝐵. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝐵𝐶. 𝐵𝐹 = 𝐵𝐶. 𝐶𝐸 De la même manière, on peut déduire que la valeur absolue du produit mixte vectoriel 𝑣3 . (𝑣1 ∧ 𝑣2 ) correspond au volume du parallélépipède engendré par les 3 vecteurs (figure 6.11). 𝑉 = (𝑣1 . 𝑣2 𝑠𝑖𝑛𝛼). 𝑣3 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑣1 C
B
𝛼
𝑣2
𝑣2
𝛽 α
𝑣1
F
A
D
E
𝑣3
Figure 1.12 : Surface d’un parallélogramme
Figure 1.13: Volume d’un parallélépipède
6-4 DERIVATION VECTORIELLE La dérivée d’un vecteur 𝑂𝑀, de coordonnées cartésiennes (x, y, z), est définie par : 𝒅𝑶𝑴 𝒅𝒕
=
𝒅(𝒙𝒊+𝒚𝒋+𝒛𝒌) 𝒅𝒕
=
𝒅𝒙 𝒅𝒕
𝒅𝒚
𝒅𝒛
𝒊 + 𝒅𝒕 𝒋 + 𝒅𝒕 𝒌 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌
Exemple 6-6 Calculer la dérivée du vecteur 𝑂𝑀 = cos 𝜔𝑡 + 𝜑 𝑖 + sin (𝜔𝑡 + 𝜑)𝑗. 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡
=
𝑑(cos 𝜔𝑡 +𝜑 𝑑𝑡
𝑖+
𝑑(sin 𝜔𝑡 +𝜑 ) 𝑑𝑡
𝑗 = −𝜔 sin ωt + φ i + ω cos ωt + φ j
Exemple 6-7 Le vecteur unitaire 𝑒𝜌 tourne autour de la normale au plan formé par la base (𝑖, 𝑗).
𝑒𝜃
𝑒𝜌 = cos 𝜃 𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑗 et 𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗
𝑒𝜌 θ
Calculer
Figure 1.14 : Vecteur unitaire tournant
𝑑𝑒𝜌 𝑑𝜃
et
𝑑𝑒 𝜃 𝑑𝜃
(1-29)
24
𝑑𝑒𝜌 𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑑(𝑠𝑖𝑛𝜃) = 𝑖+ 𝑗 = −sin 𝜃 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 = 𝑒𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝒅𝒆𝝆
= 𝒆𝜽
𝒅𝜽 𝑑𝑒 𝜃 𝑑𝜃 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝜽
=
(1-30)
𝑑(−𝑠𝑖𝑛𝜃 ) 𝑑𝑡
𝑖+
𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃 ) 𝑑𝑡
𝑗 = −cos 𝜃 𝑖 − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑗 = −𝑒𝜌
= −𝒆𝝆
(1-31)
6-5 Différentielle d’un vecteur 6-5-1 Différentielle d’un vecteur en coordonnées cartésiennes 𝑌
La différentielle de 𝑂𝑀 peut être calculée directement à partir de son expression analytique.
𝑀′
𝑥
(1-32) 𝒅𝑶𝑴 = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋 + 𝒅𝒛𝒌.
x 𝐻 Elle peut, aussi, déduite graphiquement par : x 𝑀 x 𝑀𝑀′ = 𝑑𝑂𝑀 = 𝑂𝑀′ − 𝑂𝑀 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 ; pour (𝑧 = 0) 𝑂 x 𝑋 𝑑𝑂𝑀 = 𝑂𝑀′ − 𝑂𝑀 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 = 𝑥 𝑥 + 𝑑𝑥 y Figure 1.15 : Différentielle d’un vecteur en coordonnées cartésiennes
6-5-2) Différentielle d’un vecteur en coordonnées cylindriques 𝑌 𝑥
𝑒𝜌
Graphiquement, pour 𝑧 = 0, on a :
𝑀′
𝑀𝑀′ = 𝑑𝑂𝑀 = 𝑀𝐻 + 𝐻𝑀′ = 𝑑𝜌𝑒𝜌 + (𝜌 + 𝑑𝜌)𝑑𝜃𝑒𝜃 ; 𝑑𝜌
𝑒𝜃 𝐻
𝑂
est négligeable devant 𝜌 ⟹ 𝑑𝑂𝑀 = 𝑑𝜌𝑒𝜌 + 𝜌𝑑𝜃𝑒𝜃 .
𝑑𝜃 x Pour z quelconque, on a : x 𝑀 x 𝒅𝑶𝑴 = 𝒅𝝆𝒆𝝆 + 𝝆𝒅𝜽𝒆𝜽 + 𝒅𝒛𝒆𝒛 xθ 𝑋 = 𝑥 𝑥 + 𝑑𝑥 y
Figure 1.16 : Différentielle d’un vecteur en coordonnées cylindriques
Remarque : 𝑑𝑂𝑀 peut être déterminé analytiquement. Partant de la relation (6,7), on déduit : 𝑑𝑥 = 𝑑𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃
(1-33)
25
𝑑𝑦 = 𝑑𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 𝑑𝑧 = 𝑑𝑧 En remplaçant dans 𝑑𝑂𝑀 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘, on obtient : 𝑑𝑂𝑀 = 𝑑𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑖 + 𝑑𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 𝑗 + 𝑑𝑧𝑘 𝑑𝑂𝑀 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑗 𝑑𝜌 + 𝜌 −𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 𝑑𝜃 + 𝑑𝑧𝑘 Ce qui est de la forme : 𝑑𝑂𝑀 = 𝑑𝜌𝑒𝜌 + 𝜌𝑑𝜃𝑒𝜃 + 𝑑𝑧𝑒𝑧 si l’on considère :
𝒆𝝆 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒋
(1-34)
𝒆𝜽 = −𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽(𝒕)𝒋 𝒆𝒛 = 𝒌
6-5-3) Différentielle d’un vecteur en coordonnées sphériques 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃
z
𝜃 + 𝑑𝜃
r
M se déplace de : − dr quand il passe de r à r + dr ; 𝑀
M
θ
O x
y φ
′
− rdθ quand il passe de θ à θ + dθ ; −rsinθdφ quand il passe de φ à φ + dφ
𝜑 + 𝑑𝜑
m
Figure 1.17 : Différentielle d’un vecteur en coordonnées sphériques
Il est plus facile de déterminer 𝑑𝑂𝑀 graphiquement:
𝑴𝑴′ = 𝒅𝑶𝑴 = 𝒅𝒓𝒆𝒓 + 𝒓𝒅𝜽𝒆𝜽 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒆𝝋
(1-35)
𝑑𝑂𝑀 est appelé déplacement élémentaire, noté 𝑑𝑙 La différentielle 𝑑𝑂𝑀 peut être calculée directement à partir de son expression analytique mais le calcul est ardu. En effet, des égalités : 𝑑𝑥 = 𝑑𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑑𝜃𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑑𝜑𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝑦 = 𝑑𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝑑𝜃𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝑑𝜑𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝑧 = 𝑑𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑑𝜃𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃
26
En remplaçant dans 𝑑𝑂𝑀 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘, on obtient : 𝑑𝑂𝑀 = 𝑑𝑟𝑒𝑟 + 𝑟𝑑𝜃𝑒𝜃 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝜑 où : 𝑒𝑟 = 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑𝑗 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘 𝑒𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑𝑗 − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑘
(1-36)
𝑒𝜑 = −𝑠𝑖𝑛𝜑𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑗 6 4-3 Vecteur gradient d’un champ scalaire
Le gradient d’une fonction scalaire à 3 variables réelles x, y, z, est défini par le vecteur: 𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑧 𝑘
(1-37)
Le gradient peut être défini par l’opérateur nabla 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 ∇= 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ∇. 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧
(1-38)
La différentielle totale 𝑑𝑓 d’une fonction scalaire peut être exprimée par : 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . 𝑑𝑂𝑀
(1-39) 𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
En effet : 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . 𝑑𝑂𝑀 = (𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑧 𝑘). 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘 𝜕𝑓
= 𝜕𝑥 𝑑𝑥 +
𝜕𝑓 𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝑑𝑦 + 𝜕𝑧 𝑑𝑧
= 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) Le vecteur 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐𝑠𝑡𝑒. En effet, si 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 alors 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . 𝑀𝑀′ = 0 ⟹ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles puisque 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 et 𝑀𝑀′ sont non nuls. Le vecteur 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 est orienté vers les valeurs croissantes de 𝑓. En effet, si l’on suppose un déplacement de M dans le même sens que le gradient, alors 𝑑𝑓 > 0 puisque 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓. 𝑀𝑀′ > 0. Gradient en coordonnées cylindriques On a, d’une part, 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 𝑓𝜌 𝑒𝜌 + 𝑓𝜃 𝑒𝜃 + 𝑓𝑧 𝑒𝑧 et ,d’autre part, 𝑑𝑓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓. 𝑑𝑂𝑀 = (𝑓𝜌 𝑒𝜌 + 𝑓𝜃 𝑒𝜃 + 𝑓𝑧 𝑒𝑧 ). (𝑑𝜌𝑒𝜌 + 𝜌𝑑𝑒𝜌 + 𝑑𝑧𝑒𝑧 ). Soit :
27
𝑑𝑓 = 𝑓𝜌 𝑑𝜌 + 𝜌𝑓𝜃 𝑑𝜃 + 𝑓𝑧 𝑑𝑧. 𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
Par ailleurs, 𝑑𝑓 = 𝜕𝜌 𝑑𝜌 + 𝜕𝜃 𝑑𝜃 + 𝜕𝑧 𝑑𝑧 . Par identification, on obtient : 𝜕𝑓
1 𝜕𝑓
𝑓𝜌 = 𝜕𝜌 ,
𝑓𝜃 = 𝜌 𝜕𝜃 ; 𝜕𝑓
1 𝜕𝑓
𝑓𝑧 =
𝜕𝑓 𝜕𝑧
. Ainsi, on déduit :
𝜕𝑓
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 𝜕𝜌 𝑒𝜌 + 𝜌 𝜕𝜃 𝑒𝜃 + 𝜕𝑧 𝑒𝑧
(1-40)
Gradient en coordonnées sphériques En utilisant l’équation (6.19), on aboutit, avec un raisonnement analogue au précédent, à : 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 =
𝜕𝑓 𝜕𝑟
1 𝜕𝑓
1
𝑒𝑟 + 𝑟 𝜕𝜃 𝑒𝜃 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕𝑓 𝜕𝜑
𝑒𝜑
(1-41)
Exemple 6-6 Prenons l’exemple de la pression hydrostatique qui varie avec la variable z suivant : 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑝 𝑧 = −𝜌𝑔𝑧 + 𝑝0 . a) Calculer 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑝 b) Vérifier la relation générale : 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝. 𝑑𝑂𝑀 = 𝑑𝑓 c) Déduire l’équation des surfaces isobares (ensembles des points pour lesquels la pression est la même). a) 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 = −𝜌𝑔𝑘 b) 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝. 𝑑𝑂𝑀 = −𝜌𝑔𝑘. 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘 == −𝜌𝑔𝑑𝑧 = 𝑑𝑝(𝑧) c) Surface isobarique 𝑑𝑝 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝. 𝑀𝑀′ = 0 ⟹ 𝑀𝑀′ = 0 𝑐𝑎𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 est ≠ 0 𝑑𝑂𝑀 = 0 ⇒ 𝑑𝑧 = 0 ; c’est-à-dire 𝑧 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 (le gradient est perpendiculaire aux surfaces isobariques). 𝑧2
𝑝2
𝑝1 = −𝜌𝑔𝑧1 + 𝑝0 𝑝2 = −𝜌𝑔𝑧2 + 𝑝0
𝑝1
𝑧1 𝑘
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝
𝑧1 𝑧1
𝑝0
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) > 0 ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 est orienté vers les valeurs croissantes de la pression
Figure 1.18 : Direction du gradient d’une équipotentielle
6-4-4 Divergence d’un champ vectoriel La divergence d’un vecteur est définie par : 𝑑𝑖𝑣 = ∇. v =
𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑧 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
28
Exemple : 6.7 La divergence du vecteur 𝑣 = 2𝑥𝑦 3 + 1 𝑖 + 𝑦𝑧 𝑗 + (𝑥𝑧 + 1)𝑘 est : 𝑑𝑖𝑣𝑣 = ∇. v = 2𝑦 3 + 𝑧 + 𝑥 avec 𝑣𝑥 = 2𝑥𝑦 3 + 1; 𝑣𝑦 = 𝑦𝑧 et 𝑣𝑧 = 𝑥𝑧 + 1 6-4-5 Rotationnel d’un champ vectoriel Le rotationnel d’un champ de vecteur est définie par : ∂v z
𝑟𝑜𝑡𝑣 = ∇ ∧ v =
∂y
−
∂v y ∂z
∂v x
i+
∂z
−
∂v z ∂x
j+
∂v y ∂x
−
∂v x ∂y
k
(1-42)
Exemple : 6.7 Le rotationnel du vecteur 𝑣 = 2𝑥𝑦 3 + 1 𝑖 + 𝑦𝑧 𝑗 + (𝑥𝑧 + 1)𝑘 est : 𝑟𝑜𝑡𝑣 = −𝑦 𝑖 − 𝑧 𝑗 − 6𝑦 2 𝑥 𝑘 6-4-5 Relations du second ordre On démontre, aisément, à partir des relations précédentes que : 𝑟𝑜𝑡𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 0
(1-43a)
𝑑𝑖𝑣𝑟𝑜𝑡𝑣 = 0
(1-43b) 𝜕2𝑓
𝜕2𝑓
𝜕2𝑓
𝑑𝑖𝑣𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = Δ𝑓 = 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦 2 + 𝜕𝑧 2 (Δ est l′ opérateur Laplacien)
(1-43c)
6-4-6 Circulation d’un champ vectoriel La circulation 𝒞 d’un champ vectoriel 𝑉 le long du trajet 𝑀𝑀′ est définie par : 𝒞=
𝑀′ 𝑀
𝑉 . 𝑑𝑂𝑀
(1-44)
Exemple : 6.8 Entre les points O(0,O) et P(3,2), calculer la circulation de 𝑉 = 𝑥𝑦 + 2 𝑖 + (3𝑦 2 𝑥 + 3) 𝑗 le long du chemin OBP puis OAP. Le long du chemin OBP: ∁𝑶𝑩𝑷 = 2 O
B
P A 3
Figure 1.18 : Chemins OBP, OAP et OP
𝑶𝑩𝑷
𝑥𝑦 + 2 𝑑𝑥 + (3𝑦 2 𝑥 + 3)𝑑𝑦)
Segment de droite OB : 𝑥 = 0, 𝑑𝑥 = 0 ⟹
𝑃 𝑉 𝑑𝑂𝑀 𝑂
=
2 3𝑑𝑦 𝑂
Segment de droite BP : 𝑦 = 2, 𝑑𝑦 = 0 ⟹
𝑃 𝑉 𝑑𝑂𝑀 𝐵
=
3 (2𝑥 0
∁OBP = 15
=6
+ 2)𝑑𝑥 =15
29
Le long du chemin OAP: ∁𝑶𝑨𝑷 =
𝑥𝑦 + 2 𝑑𝑥 + (3𝑦 2 𝑥 + 3)𝑑𝑦) 𝑶𝑨𝑷
Segment de droite OA : 𝑦 = 0, 𝑑𝑦 = 0 ⟹
𝐴 𝑉 𝑑𝑂𝑀 𝑂
=
3 2𝑑𝑥 𝑂
=6
Segment de droite AP: 𝑥 = 3, 𝑑𝑥 = 0 ⟹
𝑃 𝑉 𝑑𝑂𝑀 𝐴
=
2 (9𝑦 2 0
+ 3)𝑑𝑦 = 30
∁OAP = 36 ∁OAP≠ ∁OBP ; on dit que la circulation dépend du chemin suivi. Remarque : Dans le cas particulier où 𝑉 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(ou bien 𝑟𝑜𝑡𝑉 = 𝑟𝑜𝑡𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = 0), la circulation de 𝑉 entre deux points A et B ne dépend pas du chemin suivi. En effet, 𝐵 𝑉 𝑑𝑂𝑀 𝐴
=
𝐵 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑑𝑂𝑀 𝐴
=
𝐵 𝑑𝑓 𝐴
𝐵 𝑉 𝑑𝑂𝑀 𝐴
=
𝐵 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑑𝑂𝑀; 𝐴
or d’après (6.25) :
= 𝑓 𝐵 − 𝑓(𝐴).
La circulation ne dépend que des coordonnées de A et B. Exemple : 6.9 Soit 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 2 𝑦 + 4𝑥𝑦 + 𝑦 et 𝑉 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = 2𝑥 + 6𝑥𝑦 + 4𝑦 𝑖 + (3𝑥 2 + 4𝑥 + 1)𝑗 Calculer la circulation du vecteur 𝑉 = 2𝑥 + 6𝑥𝑦 + 4𝑦 𝑖 + (3𝑥 2 + 4𝑥 + 1)𝑗 le long du chemin OBP puis OAP. Le long du chemin OBP : ∁𝑶𝑩𝑷 =
𝑶𝑩𝑷
2𝑥 + 6𝑥𝑦 + 4𝑦 𝑑𝑥 + (3𝑥 2 + 4𝑥 + 1)𝑑𝑦
Segment de droite OB : 𝑥 = 0, 𝑑𝑥 = 0 ⟹
𝑃 𝑉 𝑑𝑂𝑀 𝑂
=
2 1𝑑𝑦 𝑂
=2
Segment de droite BP : 𝑦 = 2, 𝑑𝑦 = 0 ⟹
𝑃 𝑉 𝑑𝑂𝑀 𝐵
=
3 (14𝑥 0
+ 8)𝑑𝑥 =87
∁𝑶𝑩𝑷 = 89 Le long du chemin OAP: ∁𝑶𝑨𝑷 =
𝑶𝑨𝑷
2𝑥 + 6𝑥𝑦 + 4𝑦 𝑑𝑥 + (3𝑥 2 + 4𝑥 + 1)𝑑𝑦)
Segment de droite OA : 𝑦 = 0, 𝑑𝑦 = 0 ⟹
𝐴 𝑉 𝑑𝑂𝑀 𝑂
=
3 (2𝑥)𝑑𝑥 𝑂
Segment de droite AP: 𝑥 = 3, 𝑑𝑥 = 0 ⟹
𝑃 𝑉 𝑑𝑂𝑀 𝐴
=
2 40 𝑑𝑦 0
=9
= 80∁𝑶𝑨𝑷 = 89. De la même façon, on
aboutit à ∁𝑂𝑃 = 89. En conclusion ∁𝑶𝑨𝑷 = ∁𝑶𝑩𝑷 = ∁𝑂𝑃 : la circulation ne dépend pas du chemin suivi.
