1.3.4 corrigés exercices . ... 1.5 équations et inéquations avec exponentiels. ... "l'
exponentiel de x" tel que : ex est égal à l'unique nombre y tel que lny = x.
fonction exponentielle de base e
Table des matières 1 fonction exponentielle de base e 1.1 définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 valeurs remarquables et propriétés algébriques 1.2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 exercices : . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . 1.4 limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 équations et inéquations avec exponentiels. . . 1.5.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 4 5 7 7 7 7 8 8 8 8
2 fonctions avec eu 2.1 activité . . . . . 2.2 à retenir . . . . . 2.3 exercices . . . . . 2.4 liste des exercices
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
9 9 9 10 11
3 corrigé devoir maison 3.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 12
4 évaluation
12
5 corrigé évaluation
13
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
1
fonction exponentielle de base e
1.1 1.1.1
définition activité 1. résoudre chacune des équations en valeur chacune des phrases. (a) lny = 2 ⇐⇒ y = ... ... est le seul et unique nombre dont (b) lny = 0 ⇐⇒ y =... ... est le seul et unique nombre dont (c) lny = −2 ⇐⇒ y =... ... est le seul et unique nombre dont (d) lny = x où x ∈ R ⇐⇒ y =... ... est le seul et unique nombre dont
1.1.2
exacte puis en valeur décimale à 0,1 près, puis, compléter
est égal à 2 soit ln(e... ) = ...
le ...
soit ln(e... ) = ...
le logarithme est égal à ... le logarithme est égal à ... le logarithme est égal à ...
soit ...
à retenir propriété 1 : (fonction exponentielle) la fonction exponentielle associe à tout nombre réel x le nombre noté exp(x) = ex appelé "l’exponentiel de x" tel que : ex est égal ✞ à l’unique nombre ☎ y tel que lny = x autrement dit : quel que soit x ∈ R, ex = y où lny = x ✝
✆
Remarques : (a) ex est l’unique nombre dont le ... (b) ex existe ... (c) quel que soit x ∈ R, ln(e... ) = ... (d) quel que soit x ∈ R, ex est toujours un nombre de signe ...
1.2 1.2.1
valeurs remarquables et propriétés algébriques activité 1. retrouver logiquement les valeurs de e0 et e1 (a) ln1 = ... ⇐⇒ e0 =... (b) lne = ... ⇐⇒ e1 =... ≃... 2. compléter les démonstrations suivantes où a et b sont des réels quelconques. ln(ea+b ) = ... (a) =⇒ ... = ... =⇒ ... ln(ea × eb ) = ... = ... (b)
(c)
ln(
ea ) = ... eb
ln(ea−b ) = ... = ...
ln[(ea )b ] = ...
)
=⇒ ...
= ... = ... ln(eab ) = ...
(d) Soit x > 0 : y = elnx =⇒ lny = ... 1.2.2
= ...
=⇒ ...
=⇒ ...
=⇒ lny = ...
= ...
= ...
= ...
=⇒ ...
= ...
=⇒ y = ... =⇒ x = ...
à retenir propriété 2 : (fonction exponentielle)
✞
☎
✝
✆
Quels que soient les nombres réels x et y on a : e1 = e ≃ 2, 718 ✞
x y x+y ✝e × e = e
✟ ☛ ✟ ✞ ex 1 elnx = x = ex−y = e−x ✆ ey ex ✡ ✠ ✡ ✠ ✝
☎
☛
(x>0)
☎
✞
0 ✝e = 1 ✆
☎
✞
✆
✝
✞
exy = (ex )y
✝
ln(ex ) = x
☎ ✆
☎
✆ ☎ ✞ x ✝e > 0 ✆
1.2.3
exercices : exercice 1 : : simplifier les expressions suivantes : 3 e8 1. A = e8 × e−2 + eln2 + ln1 + 2 − ln(e2 ) + (e2 )3 − −6 e e 2. B = 7e6 e6a−6 (
1 a ) +6 e6
3. C = 4ln(ea ) + 9(lne)a + 6lne + 7alne − 4elna − 9eln1 − 7a où a > 0 4. D = (ex + 1)(ex − 1) − (ex+1 )(ex−1 ) exercice 2 : : 1 e0,26x et B(x) = 1 + 99e−0,26x e0,26x + 99 Montrer que A(x) = B(x) pour tout x puis calculer A(0)
1. A(x) =
3 3e1,9x et B = 1 + 125504e−1,9x e1,9x + 125504 Montrer que A(x) = B(x) pour tout x puis calculer A(1)
2. A =
1.3
dérivation
1.3.1
activité
A. compléter les démonstrations suivantes qui utilisent le fait que : (lnu)′ = ( )′ 1. ln(ex ) = x =⇒ (ln(ex ))′ = (x)′ =⇒ = ... =⇒ (ex )′ = ... ex 2. ln(eu ) = u =⇒ (ln(eu ))′ = (u)′ =⇒
eu
= ...
u′ u
=⇒ (eu )′ = ...
B. en déduire. 1. f (x) = 4x3 − 6x2 − 10x + 2 +
1 + 5lnx + 2ex =⇒ f ′ (x) = ... x
2. f (x) = e10x+2 =⇒ f ′ (x) = ... 3. f (x) = e5x 1.3.2
2 −2x+2
=⇒ f ′ (x) = ...
à retenir propriété 3 : (dérivation et fonction exponentielle) f (x)
f ′ (x)
ex
ex
eax
aeax
eax+b eu
1.3.3
aeax+b u′ eu
où a ∈ R où a ∈ R et b ∈ R
où u est une fonction dérivable
exercices exercice 3 : calculer les dérivées des fonctions suivantes 1. f (x) = x + 3 − ex
4. f (x) = (2x + 1)ex
2. f (x) = x2 − 2x + 10ex
5. f (x) =
3. f (x) = xex
6. f (x) = 2e0,5x+3 − e−x
exercice 4 : (exercice 143 page 77) soit la fonction f définie par : f (x) =
10 sur [ −10 ; 10 ] 1 + e−x
ex − 1 ex + 1
10e−x (1 + e−x )2 b. en déduire le sens de variation de f 2. a. donner un tableau de valeurs de f arrondies à 0,1 près pour les valeurs entières de x de 0 à 5. b. I(0,5) est centre de symétrie de la courbe Cf , construire la courbe de f . 3. a. résoudre algébriquement l’équation f (x) = 9 b. donner une valeur approchée à 10−2 près de la valeur α obtenue en a. c. placer sur la courbe, le point A d’abscisse α 4. on admet que f (x) est le nombre de millions de foyers équipés d’un bien ménager B à la fin de l’année (1980 + x) a. déterminer le nombre de foyers équipés en 1978 b. en quelle année le nombre de foyers équipés sera de 9 millions ?
1. a. démontrer que f ′ (x) =
1.3.4
corrigés exercices corrigé exercice 143 page 77 soit la fonction f définie par : f (x) = 1. a. f =
10 sur [ −10 ; 10 ] 1 + e−x
u u′ v − uv ′ donc f ′ = v v2
avec u = 10 =⇒ u′ = 0 v = 1 + e−x =⇒ v ′ = −e−x d’où f ′ (x) =
10e−x 0(1 + e−x ) − 10 × (−e−x ) = (1 + e−x )2 (1 + e−x )2
b. pour l’annulation et le signe de f ′ (x) : • 10 > 0 • e−x > 0 en tant qu’exponentiel • (1 + e−x )2 > 0 en tant que carré
donc f ′ (x) > 0 sur [ −10 ; 10 ]
d’où le tableau de variations x f ′ (x)
-10
10 + ≃ 9, 99
f (x)
ր ≃0
f (−10) =
10 ≃ 4, 5 × 10−4 ≃ 0 1 + e−(−10)
2. a. tableu de valeurs à 0,1 près x 0 1 2 3 4 f (x) 5 7,3 8,8 9,5 9,8
et
f (10) ≃ 9, 99
5 9,9
b. I(0,5) est centre de symétrie de la courbe Cf , construire la courbe de f . y 9
Cf
A
8 7 6 I(0, 5)
5 4 3 2 1 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
x 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. a. résoudre algébriquement l’équation f (x) = 9
f (x) = 9 ⇐⇒
10 9 = 1 + e−x 1
⇐⇒ 10 × 1 = (1 + e−x ) × 9 ⇐⇒ 10 = 9 + 9e−x 1 = e−x 9 1 ⇐⇒ ln( ) = −x 9 1 ⇐⇒ x = −ln( ) = ln9 ≃ 2, 20 9
⇐⇒
b. une valeur approchée à 10−2 près de la valeur α obtenue en a est 2,20. c. placer sur la courbe, le point A d’abscisse α 4. on admet que f (x) est le nombre de millions de foyers équipés d’un bien ménager B à la fin de l’année (1980 + x) a. nombre de foyers équipés en 1978 : x = 1978 − 1980 = −2 f (−2) =
10 ≃ 0, 192 millions de foyers 1 + e−(−2)
b. en quelle année le nombre de foyers équipés sera de 9 millions ? c’est durant l’année 1980 + 2 = 1982 que le nombre de foyers équipés dépasse 9 millions.
1.4
limites
1.4.1
activité
A. 1. compléter le tableau de valeurs suivant -100
x ex
-10
-1
0
1
10
100
2. conjecturer la valeur des limites suivantes : a.
lim ex = ...
lim ex = ...
x→+∞
x→−∞
B. 1. compléter le tableau de valeurs suivant x
1
10
50
100
ex x
ex = ... x→+∞ x
2. conjecturer la valeur de la limite suivante : lim C. 1. compléter le tableau de valeurs suivant -100
x xex
-50
-10
1
2. conjecturer la valeur de la limite suivante : lim xex = ... x→−∞
1.4.2
à retenir propriété 4 : (limites) ☛
lim ex = +∞
x→+∞
✡ ☛
✟ ☛
lim ex = 0
x→−∞
✠ ✡ ✟ ☛
✟ ✠
✟ ex = +∞ lim xex = 0 x→+∞ x x→−∞ ✡ ✠ ✡ ✠
lim
✟
☛
✟ ☛ ex lim n = +∞ lim xn ex = 0 où n ∈ N x→+∞ x x→−∞ ✡ ✠ ✡ ✠
Remarque : En −∞ et +∞, ex l’emporte sur toute puissance de x. 1.4.3
exercices exercice 5 : déterminer les limites suivantes et en déduire une caractéristique de la courbe de la fonction 1.
lim
x→+∞
100 5 + ex
4.
lim
x→+∞
4 − e−x (x + 2)2
sachant que lim 2.
lim
x→+∞
1+
ex
3 + 10
x→+∞
5.
lim
x→+∞
3 1 + 125504e−1,9x
sachant que lim
x→+∞
3.
lim
x→+∞
4 5 + e−x
6.
lim
t→+∞
e−x (x + 2)2 = 0
125504e−1,9x = 0
1 1 + 4, 9e−0,125t
sachant que lim
t→+∞
e−0,125t = 0
1.5 1.5.1
équations et inéquations avec exponentiels. activité A. résoudre les équations suivantes. 1. ex = 2 ⇐⇒ ...
⇐⇒ ...
2. ex = 0 ⇐⇒ ... 3. ex = −2 ⇐⇒ ... 4. ex = e−2 ⇐⇒ ...
⇐⇒ ...
B. résoudre les inéquations suivantes. 1. ex < 2 ⇐⇒ ...
⇐⇒ ...
2. ex > 0 ⇐⇒ ... 3. ex > −2 ⇐⇒ ... 4. ex < e−2 ⇐⇒ ... 1.5.2
⇐⇒ ...
à retenir propriété 5 : (équations et inéquations) ✞
☎
✝ ✞
✆ ☎
ex = ey ⇐⇒ x = y
pour tout x et y dans R
ex > ey ⇐⇒ x > y pour tout x et y dans R
✝ ✆ ✞ ☎ x ✝e = a ⇐⇒ x = lna ✆pour tout nombre réel a > 0 ☎ ✞
ex = 0 n’a pas de solution dans R car un exponentiel est positif strict
✝ ✞
✆
☎
ex = a où a < 0 n’a pas de solution dans R car un exponentiel est positif strict
✝ ✆ ✞ ☎ x ✝e > a ⇐⇒ x > lna ✆pour tout nombre réel a > 0 ✞ ☎ x < a ⇐⇒ x < lna pour tout nombre réel a > 0 e ✝ ✆
Remarque : cette propriété permet de résoudre des (in)équations où apparaît l’exponentiel. 1.5.3
exercices exercice 6 : résoudre les équations ou inéquations suivantes 1. 5e0,02t = 9 2.
1 = 0, 5 1 + 4, 9e−0,125t
3 = 2, 5 1 + 125504e−1,9x 1 > 0, 8 4. 1 + 99e−0,26t 3.
2 2.1
fonctions avec eu activité 1. 5. On sort un thermomètre d’un congélateur à la date x = 0, congélateur réglé sur −10◦ C On le laisse posé sur une table à la température ambiante de 20◦ C La température T indiquée par le thermomètre est donnée en fonction de x par une fonction exponentielle de la forme T (x) = 20 − 30e−0,1x (a) calculer T ′ (x) (b) en déduire le sens de variation de T (c) donner le tableau de variation de T sur [0; +∞[ en conjecturant la valeur de lim T (x) à la calculatrice x→+∞
2. Après administration d’un médicament par injection intraveineuse, la concentration de la substance médicamenteuse dans le sang C évolue en fonction du temps et peut-être décrite par une fonction du type C(t) = C0 e−Kt dans laquelle C(t) représente la concentration t secondes après l’injection, C0 > 0 la concentration initiale et K > 0, la constante d’élimination (a) calculer C ′ (t) en fonction de C0 et K (b) en déduire le sens de variation de C (c) donner le tableau de variation de C sur [0; +∞[ et essayer de justifier la valeur de lim C(t) x→+∞
2.2
à retenir propriété 6 : (dérivation et sens de variation) quelle que soit la fonction u définie et dérivable sur l’intervalle I ✞
☎
✝
✆
(1) la fonction eu : x 7−→ eu(x) est définie pour tout x ∈ I ✞
(2) (eu )′ = u′ eu
☎
✝ ✆ ✄ (3) ✂u et eu ont le même sens de variation ✁sur I
exemples : i. f (x) = e−3x+2 est définie pour ... f ′ (x) = ... le sens de variation de f est ...
√
ii. f (x) = e
x
est définie pour ...
f ′ (x) = ... le sens de variation de f est ...
2.3
exercices exercice 7 : 1. rappeler la dérivée de eu où u est une fonction dérivable définie sur un intervalle I 2. dans chaque cas (a) préciser le domaine de définition de f (b) calculer f ′ (x) (c) en déduire le sens de variation de f sur le domaine de définition i. f (x) = e−3x+4
vii. f (x) = 8e−x − 3e4x + 5e−4x
ii. f (x) = e−8+2x
viii. f (x) = 3xe−4x
iii. f (x) = e3x iv. f (t) =
ix. f (x) = (4x − 1)e2x
2 −3x+12
3 e4t −3t+2
v. f (x) = 10e−3x+4 vi. f (x) = −5e3x
2 −4x+12
x. f (x) =
x2 − 4x + 3 e0,5x
xi. f (x) =
3 e−5x + 4
xii. f (x) =
e−0,5x+2 2x
exercice 8 : 1. soit la fonction définie par f (x) = 5e−0,5x (a) calculer
f ′ (x)
2 +6x−18
pour x ∈ [0; 12]
et en déduire le tableau de variation de f pour x ∈ [0; 12]
(b) quelle est la valeur du maximum de f pour x ∈ [0; 12] et pour quelle valeur de x est-il atteint ? (c) i. combien de solutions l’équation f (x) = 4 admet-elle ? ii. déterminer à la calculatrice une valeur approchée de la (des) solution(s) éventuelle(s) à 0,1 près 2. Pour un certain hôtel qui ouvre ses portes le premier Janvier 2013, le nombre de centaines de réservations est estimé en fonction du nombre x de mois passés à compter du premier janvier 2013 par la fonction f ci dessus (a) estimer le nombre de réservations 6 mois après l’ouverture des portes (b) quel nombre maximal de réservations devrait-il faire et à quelle date ? (c) après combien de temps atteint-il les 400 réservations ? (d) que se passe t-il pour le nombre de réservations à long terme ?
2.4
liste des exercices 1. écritures : 47p57 + exercice 3 du site 2. équations : 51 et 52 p57 3. inéquations et signe : 57, 58 et 59 p58 4. dérivées : 93p61 sauf f) 5. limites : 74 à 76 p59
3 3.1
corrigé devoir maison corrigé devoir maison 1 corrigé devoir maison
4
évaluation
5
corrigé évaluation
