croissance du noyau de la chaleur et transformations de Riesz

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aoz. (1). 3C>0 tel que. [Ski k)

Ark. Mat., 32 (1994), 63-77 (~) 1994 by Institut Mittag-Leffler. All rights reserved

Isop6rim6trie, d6croissance du noyau de la chaleur et transformations de Riesz: un contre-exemple Thierry Coulhon et Michel Ledoux

1. I n t r o d u c t i o n

Si M est une vari6t6 riemannienne complete non compacte, il est maintenant bien connu que l'in~galit6 isop~rim6trique IAI (N- 1)/N < C IOAI, off A d~crit les sousensembles compacts de M ~ bord r6gulier, entra~ne sup~,ycMPt(x,y) 0 , off Pt est le noyau de la chaleur sur M ([17], voir aussi [6]). Une r6ciproque partielle ~ ce r6sultat est annonc~e dans [20]: si M est ~ g~om6trie born6e (par exemple courbure de Ricci minor6e et ~ rayon d'injectivit~ positif), et si sup~,ycMPt(X , y ) = O(t--N/2), t--+~-O0 (dans cette situation on a de toute fa~on sup~,yeMPt(X,y)= O(t--(dimM)/2), t-*O), alors IAI(N'-I)/N'0

tel que

[Skiaoz k)

N/2 arbitraires. P r o p o s i t i o n 2. Si n = N + l, la varidtd M vdrifie sup pt(x,y) = O(t-N/2), x,yEM

t --* +exP.

Preuve. Nous allons d'abord d~duire de (1) l'in~galit~

~_~(Ln_l[VOfk(O),2dO)ol~n_3)/(n_l)],

(3)

pour toute suite (fk(O)) i~ support fini de fonctions sur S '~-1, c'est-~-dire une in~galit~ de Sobolev "discr~tis~e en x" sur M. Pour cela, posons fk=ffk(O)dO. On a

[~k ( L

,~ ]l/a

\l/a

/

\

k

"

,

+

.-~lfk(o)--SkladO)

D'apr~s (1), y

~/a

Ifkl ao~ k) ~C~lSk--Sk+~l~k, k

,l,a

.

Thierry Coulhon et Michel Ledoux

68 et

Ifk--fk+ll2k

a.,j ~l/a

= (E

est satisfaite. Pour tout k > 0 , posons

Eakl/'~dil{ i>k}

\k>O~i>O

a)l

/a.

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Isop6rim6trie et d6croissance du noyau de la chaleur

E n vertu de l'in~galit~ du triangle,

(~-~ E akl/adil{ i>-k}

o)1

(

/a

\k>0'i>0

i 0

)

lie

k~0

i_~0

Finalement

,I/a ~ (E 'di'~l/a)1/a~(E 'di]2~i)1/2 (~"~i- I f~2/a'~i/2t-'i ]

-k_>0

-

-i_>0

-

\i_>o

"

"iZ0

"

par C a u c h y - $ c h w a r z . E n passant d ' u n e s o m m a t i o n sur N ~ une s o m m a t i o n sur Z par paritY, la proposition s'ensuit. Nous sommes m a i n t e n a n t en mesure de construire le poids a. C o m m e 2/a
2 tel que 2/a< ( D - 2 ) / D < 1/b. D~finissons d ' a b o r d une suite de r~els (ak)kez de la faqon suivante: a o = l , puis, p o u r / > 3 ,

ak=k D-1 si l ( k < 2 3 ,

ak ----kD-12 -(k-21)

si k = 2l,..., 2 l + / ,

ak = kD-12 k-(2z +2l)

si k = 2 z + / + l , ..., 21+2/,

:

et enfin

ak ]gD--1 a-k = ak

si k -- 2 1 + 2 / + 1 , ..., 2 z+~ p o u r k E N*.

Notons qu'il existe C > 0 tel que C-lakoak-lk2D/a(-bO~ Mais, par que ak=Jk

construction de la suite ak,

E ak--lk2D/a ~-C E kl-Dk2D/a"bC E 12--1(D--2)212D/a' k~O k~_O l~_O et la conclusion en r6sulte puisque D - 2 > 2D/a. D u point de vue des in6galit6s de Sobolev pond6r6es sur R , nous avons o b t e n u au passage:

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Thierry Coulhon et Michel Ledoux

P r o p o s i t i o n 5. Pour tout N > 2, il existe une fonction ~ sur R, C ~176 minorde par un, telle que l'indgalitd

(f+f

If(x)]2N/(N-2)O~(x)dx)(N-2)/N0,

Or, si P N-p0 _ 1 q N N b' et M a ~t~ construite de sorte qu'aucune in~galit~ du type ~ l / b ~ CO~k

n'ait lieu. Ceci ach~ve la preuve du tli~or~me.

Remarque. Le m~me type de raisonnement, appliqu~ au graphe obtenu en discr~tisant M, permet d'obtenir un r~sultat analogue an Th~or~me 3 pour les transformations de Riesz "discr~tes". H nous est agrdable de remercier Laurent Saloff-Coste, Damien Lamberton, Martine Babillot, Emmanuel Hebey, Nicholas Varopoulos et Noel Lohoud pour d'utiles conversations sur le contenu de cet article.

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Thierry Coulhon et Michel Ledoux

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[email protected] et d~croissance du noyau de la chaleur

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Thierry Coulhon [email protected] de [email protected] Universit~ de Cergy-Pontoise 8, Le Campus F-95033 Cergy France Michel Ledoux Laboratoire de Statistique et [email protected] [email protected] Toulouse III 118, route de Narbonne F-31062 Toulouse Cedex France

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