dasar grup

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 3 DASAR – DASAR GRUP

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup

Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan penjelasan mengenai sifat-sifat dasar suatu Grup, mahasiswa minimal 80% dapat : a. Mengidentifikasi suatu himpunan tak kosong terhadap operasi tertentu merupakan suatu Grup b. Membuktikan sifat-sifat sederhana suatu Grup c. Mengidentifikasi suatu himpunan bagian dari suatu Grup merupakan suatu Subgrup atau bukan d. Menentukan orde suatu Grup

Deskripsi Singkat : Grup merupakan struktur aljabar dengan satu operasi biner. Dalam bab ini akan dibahas mengenai sifat-sifat atau syarat-syarat suatu Grup, himpunan bagian dari Grup yang merupakan Subgrup, serta menentukan orde suatu Grup.

33


3.1. Sifat-sifat Grup Pada bab 2, telah kita pelajari konsep semigrup yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner (grupoid terhadap penjumlahan atau perkalian) yang memiliki prasyarat tertutup dan assosiatif. Sedangkan monoid adalah suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner (semigrup terhadap penjumlahan atau perkalian) yang setiap anggotanya memiliki unsur satuan atau identitas. Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari definisi atau syaratsyarat dasar dari suatu Grup dan mengaplikasikannya kedalam contohcontoh soal sederhana, baik itu terhadap penjumlahan maupun terhadap perkalian. Adapun definisi mengenai Grup adalah :

Definisi 3.1 : Suatu monoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika setiap anggotanya memliki unsur balikan atau invers, yaitu : ∀ a ∈ G ∃ a-1 ∈ G sehingga a * a-1 = a-1 * a = e

Dengan kata lain, dari definisi tersebut dapat kita ketahui syaratsyarat dari suatu Grup yaitu memenuhi sifat monoid dan setiap anggotanya memiliki unsur balikan atau invers. Adapun untuk lebih jelasnya mengenai syarat-syarat suatu Grup akan dijabarkan dalam definisi berikut ini :

Definisi 3.2 : Grupoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika memenuhi syarat-syarat : 1. Tertutup Misalkan a dan b adalah anggota G, maka a dan b tertutup bila a * b ∈G

34


2. Assosiatif Misalkan a,b,c ∈ G maka (a * b) * c = a * (b * c) 3. Adanya unsur satuan atau identitas Misalkan a ∈ G maka a * e = e * a = a 4. Adanya unsur balikan atau invers Misalkan a ∈ G maka a * a-1 = a-1 * a = e

Contoh 3.1 : Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Tunjukan bahwa G adalah suatu Grup terhadap perkalian (G, .). Penyelesaian :

Tabel 3.1. Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, .)

.

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

Dari tabel 3.1. akan ditunjukan bahwa G = {-1, 1} merupakan suatu Grup terhadap perkalian (G, .), yaitu :

35


a. Tertutup Ambil sebarang nilai dari G misalkan -1 dan 1 ∈ G -1 . 1 = -1 karena hasilnya -1 ∈ G, maka tertutup terhadap G b. Assosiatif Ambil sebarang nilai dari G misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 ∈ G (a . b) . c = (-1 . -1) . 1 = 1 . 1 = 1 a . (b . c) = 1 . (-1. -1) = 1 . 1 = 1 Sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1 maka G assosiatif c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian) Ambil sebarang nilai dari G •

misalkan -1 ∈ G -1 . e = e . (-1) = -1

•

misalkan 1 ∈ G 1.e= e.1= 1

maka G ada unsur satuan atau identitas d. Adanya unsur balikan atau invers • Ambil sebarang nilai dari G, misalkan -1 ∈ G, pilih -1 ∈ G, sehingga -1. (-1) = 1 = e, maka (-1)-1 = -1 • Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 ∈ G, pilih 1 ∈ G, sehingga 1. 1 = 1 = e, maka (1)-1 = 1 maka G ada unsur balikan atau invers Jadi, G = {-1, 1} merupakan Grup terhadap perkalian (G, .).

36


Contoh 3.2 : Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian :

Tabel 3.2. Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +)

+

-1

1

-1

-2

0

1

0

2

Berdasarkan daftar Cayley dari tabel 3.2. Operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka operasi penjumlahan

G = {-1, 1} tidak tertutup

terhadap himpunannya. Sehingga

G=

{-1,

1}

adalah

bukan

suatu

Grup

terhadap

penjumlahan (G, +).

Contoh 3.3 : Misalkan G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah merupakan himpunan dari Z6 Tunjukan bahwa G adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +).

37


Penyelesaian :

Tabel 3.3. Daftar Cayley G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap (G, +)

+

0

1

2

3

4

5

0

0

1

2

3

4

5

1

1

2

3

4

5

0

2

2

3

4

5

0

1

3

3

4

5

0

1

2

4

4

5

0

1

2

3

5

5

0

1

2

3

4

Dari tabel 3.3. akan ditunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +), yaitu : a. Tertutup Ambil sebarang nilai dari G misalkan 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ G 1+2=3 1+3=4 1+4=5 1+5=0 38


karena hasilnya 0, 3, 4, 5 ∈ G, maka tertutup terhadap G b. Assosiatif Ambil sebarang nilai dari G misalkan a = 2, b = 4 dan c = 5 ∈ G (a + b) + c = (2 + 4) + 5 = 0 + 5 = 5 a + (b + c) = 2 + (4 + 5) = 2 + 3 = 5 Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = 5 maka G assosiatif c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan) Ambil sebarang nilai dari G •

misalkan 0 ∈ G 0+e= e+0= 0

•


•


•


•


•


maka G ada unsur satuan atau identitas d. Adanya unsur balikan atau invers • Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 ∈ G, pilih 0 ∈ G, sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0 • Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 ∈ G, pilih 5 ∈ G, sehingga 1 + 5 = 0 = e, maka (1)-1 = 5

39


• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 ∈ G, pilih 4 ∈ G, sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4 • Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 3 ∈ G, pilih 3 ∈ G, sehingga 3 + 3 = 0 = e, maka (3)-1 = 3 • Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 ∈ G, pilih 2 ∈ G, sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2 • Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 5 ∈ G, pilih 1 ∈ G, sehingga 5 + 1 = 0 = e, maka (5)-1 = 1 maka G ada unsur balikan atau invers Jadi, G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan Grup terhadap penjumlahan (G, +).

Assosiatif

SEMIGRUP

∃ Identitas

GRUPOID

Tertutup

Assosiatif ∃ Identitas

MONOID

∃ Invers Assosiatif ∃ Identitas ∃ Invers

GRUP

Gambar 3.1. Bagan dari suatu Grup

40


Bila suatu Grup memenuhi sifat komutatif, dimana a * b = b * a, maka Grup tersebut dinamakan Grup Komutatif atau Grup Abelian. Adapun definisinya adalah sebagai berikut :

Definisi 3.3 : Suatu grupoid (G,*) dikatakan Grup Komutatif (Grup Abelian), jika memenuhi syarat-syarat : 1. Tertutup Misalkan a dan b adalah anggota G, maka a dan b tertutup bila a * b ∈G 2. Assosiatif Misalkan a,b,c ∈ G maka (a * b) * c = a * (b * c) 3. Adanya unsur satuan atau identitas Misalkan a ∈ G maka a * e = e * a = a 4. Adanya unsur balikan atau invers Misalkan a ∈ G maka a * a-1 = a-1 * a = e 5. Komutatif Misalkan a,b ∈ G maka a * b = b * a

Contoh 3.4 : Dari contoh 3.1, tunjukan bahwa G = {-1, 1} adalah suatu Grup Komutatif / Grup Abelian terhadap perkalian (G, .). Penyelesaian : Dari contoh 3.1, telah ditunjukan bahwa G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap perkalian (G, .).

41


Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Grup tersebut. Ambil sebarang nilai dari G : misalkan -1 dan 1 ∈ G (pada tabel 4.1.) -1 . 1 = -1 1 . (-1) = -1 sehingga -1 . 1 = 1 . (-1) = -1 Karena Grup tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Grup tersebut adalah Grup Komutatif atau Grup Abelian terhadap perkalian (G, .).

Contoh 3.5 : Dari contoh 3.3, tunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup Komutatif / Grup Abelian terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian : Dari contoh 3.3, telah ditunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +). Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Grup tersebut. Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 dan 5 ∈ G (pada tabel 4.3.) 1+5 =0 5+1=0 sehingga 1 + 5 = 5 + 1 = 0 Karena Grup tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Grup tersebut adalah Grup Komutatif atau Grup Abelian terhadap penjumlahan (G, +).

Ada beberapa sifat dari suatu Grup, yang akan dijelaskan dalam teorema berikut ini :

42


Teorema 3.1 : Misalkan (G, .) adalah suatu Grup, maka : a. Jika a ∈ G, maka (a-1)-1 = a b. Jika a, b ∈ G, maka (ab)-1 = b-1 a-1 Bukti : a. Dari sifat unsur satuan atau identitas, diketahui a-1 . a = e = a . a-1, maka dapat dikatakan bahwa a unsur balikan dari a-1. Dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (a-1)-1 = a. b. (ab) (b-1a-1) = ((ab) b-1) a-1 = (a (bb-1)) a-1 = (ae) a-1 = aa-1 = e Dengan cara yang sama didapat : (b-1a-1) (ab) = b-1 (a-1(ab)) = b-1 ((a-1a) b) = b-1 (eb) = b-1b = e Sehingga dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (ab)-1 = b-1a-1 Dalam operasi penjumlahan (+), teorema tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

Teorema 3.2 : Misalkan (G, +) adalah suatu Grup, maka : a. Jika a ∈ G, maka -(-a) = a b. Jika a, b ∈ G, maka -(a + b) = (-b) + (-a)

Teorema 3.3 : (Hukum Penghapusan) Misalkan (G, .) adalah suatu Grup dan a, b, x ∈ G, maka : a. Jika xa = xb, maka a = b (penghapusan kiri) b. Jika ax = bx, maka a = b (penghapusan kanan) Bukti : a. Misalkan xa = xb maka : x-1 (xa) = x-1 (xb) (x-1x) a = (x-1x) b

43


ea = eb sehingga : a = b (penghapusan kiri) b. Misalkan ax = bx maka : (ax) x-1 = (bx) x-1 a (x-1x) = b (x-1x) ae = be sehingga : a = b (penghapusan kanan)

Dalam operasi penjumlahan (+), teorema 4.3, dapat ditulis sebagai berikut :

Teorema 3.4 : (Hukum Penghapusan) Misalkan (G, +) adalah suatu Grup dan a, b, x ∈ G, maka : 1. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri) 2. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)

3.2. Subgrup

Pada sub pokok bahasan ini akan diperkenalkan Subgrup yang merupakan bagian dari Grup. Secara harfiah Subgrup dapat diartikan sebagai grup bagian yang mempunyai sifat-sifat dari Grup. Adapun definisinya adalah sebagai berikut :

44


Definisi 3.5 : Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan H ⊆ G. (H,*) dikatakan Subgrup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu Grup terhadap operasi yang ada dalam (G,*).

Dari definisi tersebut dapat diartikan bahwa untuk membuktikan bahwa (H,*) adalah Subgrup dari Grup (G,*), harus melalui langkahlangkah sebagai berikut : 1. Harus ditunjukan bahwa H ⊆ G 2. Harus ditunjukan bahwa (H,*) merupakan suatu Grup

Contoh 3.6 : Dari contoh 3.1, tunjukan bahwa H = {1} adalah merupakan Subgrup dari G = {-1, 1} terhadap perkalian (G, .). Penyelesaian : H = {1} merupakan himpunan bagian dari G = {-1, 1}, sehingga H ⊆ G. Dari tabel 3.1. akan ditunjukan H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu Grup : a. Tertutup misalkan 1 ∈ H dan 1 . 1 = 1 karena hasilnya 1 ∈ H, maka tertutup terhadap H b. Assosiatif misalkan a = 1, b = 1 dan c = 1 ∈ H (a . b) . c = (1 . 1) . 1 = 1 . 1 = 1 a . (b . c) = 1 . (1. 1) = 1 . 1 = 1 Sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1, maka H assosiatif c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian) Ambil sebarang nilai dari G •

misalkan 1 ∈ G

45


1.e= e.1= 1 maka G ada unsur satuan atau identitas d. Adanya unsur balikan atau invers • Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 ∈ G, pilih 1 ∈ G, sehingga 1. 1 = 1 = e, maka (1)-1 = 1 maka G ada unsur balikan atau invers Jadi, H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, .) merupakan Subgrup dari (G, .).

Contoh 3.7 : Dari contoh 3.3, tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian : H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H ⊆ G. Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup : a. Tertutup Ambil sebarang nilai dari H misalkan 0, 2, 4 ∈ H 0+0=0 0+2=2 0+4=4 2+2=4 2+4=0 4+4=2 karena hasilnya 0, 2, 4 ∈ H, maka tertutup terhadap H

46


b. Assosiatif Ambil sebarang nilai dari H misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 ∈ H (a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2 a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2 Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = 2 maka H assosiatif c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan) Ambil sebarang nilai dari G •


•


•


maka G ada unsur satuan atau identitas d. Adanya unsur balikan atau invers • Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 ∈ G, pilih 0 ∈ G, sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0 • Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 ∈ G, pilih 4 ∈ G, sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4 • Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 ∈ G, pilih 2 ∈ G, sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2 maka G ada unsur balikan atau invers e. Adanya unsur satuan atau identitas Ambil sebarang nilai dari H misalkan 4 ∈ H 4+e= 4+0=4

47


e+4=0+4=4 Sehingga : 4+e=e+4=4 maka H ada unsur satuan atau identitas f. Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 4 ∈ H 4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e (-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e Sehingga : 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e maka H ada unsur balikan atau invers Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, +) merupakan Subgrup dari (G, +).

Contoh 3.8 : Dari contoh 3.3, tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian : H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H ⊆ G. Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup : Ambil sebarang nilai dari H misalkan 2, 3 ∈ H Dari tabel 4.3. didapat : 2 + 3 = 5 5 ∈G tetapi 5 ∉H, sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +) Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

48


Contoh 3.9 : G = {-1, 1} adalah Subgrup dari (Z, .), tetapi bukan merupakan Subgrup dari (Z, +) karena operasi di Z dan di G = {-1, 1} tidak sama.

3.3. Orde Suatu Grup Misalkan G adalah suatu Grup dan a ∈ G, a merupakan unsur atau anggota atau elemen dari Grup. Unsur dari grup ini dapat membentuk atau membangun suatu Subgrup, jumlah dari unsur suatu Grup atau Subgrup tersebut disebut orde.

Definisi 3.6 : Misalkan (G,*) adalah suatu Grup. Banyaknya unsur-unsur dari Grup (G,*) disebut orde dari Grup (G,*), dilambangkan dengan |G|. (G,*) disebut Grup hingga bila |G| terhingga (finite) dan disebut Grup tak hingga bila |G| tak hingga.

Definisi 3.7 : Orde dari suatu unsur a dalam suatu Grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian hingga an = e (e = 1, untuk perkalian) dan na = e (e = 0, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga.

Contoh 3.10 : Orde dari Grup (Z, +) dan (Z, .) adalah tak hingga.

49


Contoh 3.11 : Orde dari Grup G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah 6 dan orde dari Subgrup H = {0, 2, 4} adalah 3.

Contoh 3.12 : Tentukan Subgrup dari Grup (Z4,+) dan tentukan orde dari masing-masing Subgrup. Penyelesaian : Grup Z4 = {0, 1, 2, 3}, orde dari Grup |Z4| = 4. Subgrup dari unsur-unsur Z4 adalah : Misal n = 0, 1, 2, 3 dan Ha = {na, n ∈ Z4) a=0 H0 = {0} sehingga |H0| = 1 a = 1, H1 = {1, 2, 3, 0} sehingga |H1| = 4 a = 2, H2 = {2, 0} sehingga |H2| = 2 a = 3, H3 = {3, 2, 1, 0} sehingga |H3| = 4

50


3.4. Rangkuman 1. Grupoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika memenuhi syarat-syarat : a. Tertutup b. Assosiatif c. Adanya unsur satuan atau identitas d. Adanya unsur balikan atau invers

2. Suatu Grup dikatakan Grup Komutatif atau Grup Abelian jika memenuhi syarat-syarat dari Grup dan mempunyai sifat Komutatif.

3. (H,*) dikatakan Subgrup dari Grup (G,*), bila memenuhi langkahlangkah sebagai berikut : a. Harus ditunjukan bahwa H ⊆ G b. Harus ditunjukan bahwa (H,*) merupakan suatu Grup Dengan kata lain, (G,*) adalah suatu Grup dan H ⊆ G. (H,*) dikatakan Subgrup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu Grup terhadap operasi yang ada dalam (G,*).

4. Misalkan (G,*) adalah suatu Grup. Banyaknya unsur-unsur dari Grup (G,*) disebut orde dari Grup (G,*), dilambangkan dengan |G|. (G,*) disebut Grup hingga bila |G| terhingga (finite) dan disebut Grup tak hingga bila |G| tak hingga.

5. Orde dari suatu unsur a dalam suatu Grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian hingga an = e (e = 1, untuk perkalian) dan na = e (e = 0, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga.

51


3.5. Soal-soal Latihan 1. Misalkan G = {x ∈ Z+} yang didefinisikan operasi biner pada G dengan a * b = a + b + ab, untuk semua a, b ∈ G. Tunjukan apakah (G,*) merupakan suatu Grup dan periksa apakah (G,*) juga merupakan Grup Abelian. 2. Misalkan Q+ adalah bilangan rasional positif, didefinisikan operasi biner a* b=

ab untuk a, b ∈ Q+. Buktikan apakah operasi biner tersebut 3

merupakan Grup dan periksa apakah juga merupakan Grup Abelian.

3. Misal G adalah Grup matriks 2 x 2, didefinisikan:

  0 1 1 0 0 i  i 0  G = ± , ±0 1, ± i 0, ±0 −1 − 1 0          Buktikan G adalah Grup Abelian terhadap operasi biner perkalian (G, .).

4. Misalkan (G, +) adalah suatu Grup Buktikan : a. -(-a) = a, ∀ a ∈ G b. -(a + b) = (-b) + (-a), ∀ a, b ∈ G 5. Misalkan (G, +) adalah suatu Grup dan a, b, x ∈ G Buktikan : a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri) b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)

52


6. Misalkan G adalah suatu Grup dan H ⊆ G dengan H ≠ 0 dan H terhingga. Buktikan bahwa H suatu Subgrup dari G jika H tertutup terhadap operasi yang ada dalam G.

7. Tentukan Subgrup yang dibangun oleh unsur-unsur dari Grup (Z9,+) dan tentukan orde dari masing-masing Subgrupnya.

♠♣♥♣♠

53