Dérivées, étude de fonction. Exercice 1: Dresser le tableau de variations complet
des fonctions suivantes. 1. f(x) = x x2 + x + 1. 2. f(x) =a - x a(a + x)o`u a ∈ R∗ ...
D´ eriv´ ees, ´ etude de fonction Exercice 1: Dresser le tableau de variations complet des fonctions suivantes x +x+1 a−x f (x) = o` u a ∈ R∗ est fix´e. a(a + x) 1 f (x) = √ 1 + x2 1 f (x) = e(1+ x ) ln(x) 3 f (x) = e−x/2 (1 − e−x/2 )2 2
1. f (x) = 2. 3. 4. 5.
e−x 1 + x2 ln(1 + x) x − 7. f (x) = ln 1+x x
6. f (x) =
x2
8. f (x) = ln(1 + x) + 9. f (x) = ln(x +
√
x 1+x
x2 + 1)
Exercice 2: Pour chacune des fonctions suivantes, d´eterminer le domaine de d´efinition, les branches infinies aux bornes du domaine de d´efinition, puis calculer leur d´eriv´ee. x x − ln(1 + x) e −1 1. f (x) = 3. f (x) = ln x x −x −x ln(x) 4. f (x) = 2. f (x) = (1 − x) ln(1 − x) 1 + x2
Exercice 3: Soit f la fonction d´efinie par f (x) = dans 1. 2. 3. 4. 5. 6.
r
x , D son domaine de d´efinition, et C sa courbe repr´esentative 2−x
un rep`ere orthonorm´e. D´eterminer D. ´ Etudier la continuit´e et la d´erivabilit´e de f sur D. Dresser le tableau de variation complet de f . Donner l’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de f au point d’abscisse 1. D´emontrer que pour tout x ∈ D, f (x) > x. Cas d’´egalit´e ? Donner l’allure de C. (On pensera `a faire apparaitre les tangentes remarquables)
Exercice 4:
√ On consid`ere la fonction f d´efinie par f (x) = x2 − x + 1. 1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f . 2. Dresser le tableau de variation complet de f . f (x) 3. Calculer lim . x→+∞ x 1 −1 x +∗ . 4. Montrer que pour tout x ∈ R , f (x) − x = q 1 − x1 + x12 + 1
1 est asymptote `a la courbe repr´esentative de f en +∞. 2 6. D´eterminer la nature de la branche infinie en −∞. 7. Tracer l’allure de la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere orthonorm´e.
5. En d´eduire que la droite d’´equation y = x −
Analyse
Page 1
TD
Correction Exercice 1: 1. D = R et f ′ (x) = x
(1 − x)(1 + x) (x2 + x + 1)2
−∞
f ′ (x)
−1
1
− ց
ր
−1
2. D = R \ {−a} et f ′ (x) = −∞
f ′ (x)
3. D = R et f ′ (x) = x
f (x)
+∞
(x2
ց
−x + 1)3/2
x −1/a
−
4. D =]0; +∞[ et f ′ (x) = x
ց
f (x)
+
f (x)
ր
x
0
−∞
f ′ (x)
+∞ f (x) −∞
2 ln 3 +
+∞ f (x)
Analyse
+∞
0
ր
ց
9. D = R et f ′ (x) = √ x
ր
1 x2
+1
−∞
f ′ (x)
−
+∞ + +∞
2/9 ց
+
ր
0 −
+∞
+∞
3 5. D = R et f ′ (x) = e−x/2 (1−e−x/2 )(3e−x/2 −1) 4 x
−1
f ′ (x)
+∞ f (x)
x+2 (x + 1)2
0
+
′
+∞
8. D =] − 1; +∞[ et f ′ (x) =
x + 1 − ln(x) (1+ x1 ) ln(x) e x2
0
0
−∞
1 0
ln(x + 1) x2
f ′ (x)
+∞
+ ր
0
0
0
f (x)
ց
7. D =]0; +∞[ et f ′ (x) =
−
−∞
f ′ (x)
+∞
0
+∞
ց −∞
+∞ −
−2 (x + a)2
−a
−1/a
−∞
f ′ (x)
ց
−
f (x)
x
− 1/3
f (x)
−e−x (x + 1)2 (1 + x2 )2
+∞
+
0
x
6. D = R et f ′ (x) =
f (x) 0
Page 2
−∞
ր
TD
Exercice 2: 1. D =] − 1; 0[∪]0; +∞[, asymptote d’´equation y = 1 en +∞, asymptote verticale d’´equation x = −1 (1 + x) ln(1 + x) − x et prolongement par continuit´e en 0. De plus f ′ (x) = x2 (1 + x) 2. D =]0; +∞[, prolongement par continuit´e en 0, asymptote d’´equation y = 0 en +∞ et (x2 − 1) ln(x) − (x2 + 1) f ′ (x) = . (x2 + 1)2 3. D = R, branche parabolique de direction la droite d’´equation y = x en +∞, branche parabolique de xex − ex + 1 direction l’axe (Ox) en −∞, et f ′ (x) = . x(ex − 1) 4. D =] − ∞; 1[, asymptote verticale d’´equation x = 1 (lim f = +∞), asymptote d’´equation y = 0 en 1
ln(1 − x) + x −∞, et f (x) = − ((1 − x) ln(1 − x))2 ′
Exercice 3: 1. D = [0; 2[. 2. f est continue sur [0; 2[ et d´erivable sur ]0; 2[. (Compos´ee et quotient de fonctions continues ou d´erivables. Attention la racine carr´ee est continue en 0 mais pas d´erivable en 0.) x 1 3. f ′ (x) = (2 − x)2
r
2−x f = +∞ : , f (0) = 0 et lim 2− x
0
f ′ (x)
+ +∞
f (x) 0
4. y = x 5. Pour tout x ∈ D on a :
6.
2
ր
f (x) > x r x >x ⇔ 2−x x x ⇔ > x2 car x > 0 et >0 2−x 2−x ⇔x > 2x2 − x3 car 2 − x > 0 2 ⇔x(x − 2x + 1) > 0 ⇔x(x − 1)2 > 0
Donc on a bien f (x) > x pour tout x ∈ D. De plus f (x) = x ⇔ x(x − 1)2 = 0 ⇔ x = 0 ou x = 1. y 1
0
Analyse
1
Page 3
x
TD
Exercice 4: 1. D = R. 2x − 1 2. f ′ (x) = √ . 2 x2 − x + 1 3.
x
−∞
f ′ (x)
1/2
+∞
−
+
+∞ f (x)
+∞ ց p
ր
3/4 √
x2 − x + 1 x p 2 x (1 − 1/x + 1/x2 ) = lim x→+∞ x p |x| 1 − 1/x + 1/x2 = lim x→+∞ x p = lim 1 − 1/x + 1/x2 = 1 x→+∞ √ √ √ 1−x ( x2 − x + 1 − x)( x2 − x + 1 + x) 2 √ 4. f (x) − x = x − x + 1 − x = =√ . 2 −x+1+x 2 −x+1+x x x p p p √ Or x2 − x + 1 = x2 (1 − 1/x + 1/x2 = |x| 1 − 1/x + 1/x2 = x 1 − 1/x + 1/x2 car x > 0. 1/x − 1 Donc f (x) − x = p . 1 − 1/x + 1/x2 + 1 1 1 5. On a donc lim f (x) − x = − et donc la droite d’´equation y = x − est bien asymptote a` la x→+∞ 2 2 courbe en +∞. 6. En −∞ on a √ x2 − x + 1 f (x) = lim lim x→−∞ x→−∞ x x p |x| 1 − 1/x + 1/x2 = lim x→−∞ x p = lim − 1 − 1/x + 1/x2 = −1 f (x) lim = lim x→+∞ x→+∞ x
x→−∞
1 1/x − 1 p donc lim f (x) + x = . 2 x→−∞ 2 − 1 − 1/x + 1/x − 1 1 La droite d’´equation y = −x + est asymptote `a la courbe en −∞. 2
De plus f (x) + x =
7.
y
1 0
Analyse
Page 4
1
x
TD
