Devoir de Maths - Labomath

67 downloads 63 Views 47KB Size Report
Expliquer pourquoi p1 = 0,1. Montrer ensuite ... Devoir de Mathématiques ( correction). Exercice 1. (d'après Bac France Métropolitaine juin 2011). Les résultats ...

Devoir de Mathématiques Exercice 1 Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10- 4 . Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus. On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : • La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité) • La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité) On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note V l'événement « la personne est contaminée par le virus » et T l'événement « le test est positif ». V et T désignent respectivement les événements contraires de V et T. 1. a. Préciser les valeurs des probabilités p ( V) , p V (T) , p V (T) . Traduire la situation par un arbre de probabilités. b. En déduire la probabilité de l'événement V∩T . 2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492. 3. a. Justifier par un calcul la phrase : « Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40% de « chances » que la personne soit contaminée » b. Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.

Exercice 2 Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que : • la probabilité qu'il gagne la première partie est de 0,1 ; • s 'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ; • s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6. On note, pour tout entier naturel n non nul, Gn l'événement « le joueur gagne la n-ième partie » et pn la probabilité de l'événement Gn. 1. Expliquer pourquoi p1 = 0,1. Montrer ensuite que p2 = 0,62. (on pourra s'aider d'un arbre pondéré) 2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première. 3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les 3 premières parties. 4. L'arbre pondéré ci-contre fait intervenir les Gn+1 résultats aux parties n et n + 1. …. Gn

a. Le reproduire et compléter les pointillés en inscrivant des probabilités et des probabilités conditionnelles. b. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 1 3 p n+1= p n+ . 5 5 3 . Déterminer la nature de la suite vn. 4 6. Exprimer vn en fonction de n, puis pn en fonction de n. Quelle est la limite de pn quand n tend vers +∞ ? 5. On pose v n = p n−

….

….

….

….

G n+1 Gn+1

Gn ….

G n+1

Devoir de Mathématiques (correction) Exercice 1 (d'après Bac France Métropolitaine juin 2011) Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10- 4 . Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus. On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : • La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité) • La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité) On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note V l'événement « la personne est contaminée par le virus » et T l'événement « le test est positif ». V et T désignent respectivement les événements contraires de V et T. 1. a. Préciser les valeurs des probabilités p ( V) , p V (T) , p V (T) . Traduire la situation par un arbre de probabilités. D'après l'énoncé : p ( V)=0,02 , p V (T)=0,99 , p V (T)=0,97 . T 0,99 V 0,01

0,02

T T

0,98

0,03 V 0,97 T

b. En déduire la probabilité de l'événement V∩T . p ( V∩T)= p(V)× pV (T )=0,02×0,99=0,0198 2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492. D'après le formule des probabilités totales : p (T)= p (V∩T)+ p (V∩T) . On connaît p ( V∩T) . Calculons p (V∩T) . p ( V∩T)= p (V)× p V (T)=0,98×0.03=0,0294 Finalement, p(T) = 0,0198 + 0,0294 = 0,0492. 3. a. Justifier par un calcul la phrase : « Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40% de « chances » que la personne soit contaminée » Il faut vérifier que p T (V)≈0,4 . p T (V)=

p ( V∩T) 0,0198 = ≈0,4024 . La phrase donne donc une information exacte. p(T) 0,0492

b. Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. On doit calculer p T (V) . p T (V)=

p(V∩T) 0,98×0,97 = ≈0,9998 p(T) 1−0,0492

Exercice 2 (d'après Bac Polynésie juin 2011) Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que : • la probabilité qu'il gagne la première partie est de 0,1 ; • s 'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ; • s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6. On note, pour tout entier naturel n non nul, Gn l'événement « le joueur gagne la n-ième partie » et pn la probabilité de l'événement Gn. 1. Expliquer pourquoi p1 = 0,1. Montrer ensuite que p2 = 0,62. (on pourra s'aider d'un arbre pondéré) p1 = p(G1) = 0,1 car la probabilité qu'il gagne la première partie est de 0,1 G2 0,8 G1 0,2

0,1

G2 G2

0,9

0,6 G1 0,4 G2

p2 = p(G2). D'après la formule des probabilités totales, p (G 2)= p (G 1∩G2)+ p (G1 ∩G 2 )=0,1×0,8+0,9×0,6=0,62

On a bien p2 = 0,62. 2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première. On doit calculer p G ( G1) . 2

p G (G 1 )= 2

p (G 2∩G 1 ) p (G 1∩G2 ) 0,9×0,6 54 27 = = = = ≈0,87 . p(G 2) p (G 2) 0,62 62 31

3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les 3 premières parties. Appelons E cet événement. L'événement contraire est « le joueur ne gagne aucune des 3 premières parties ». Alors p (E)= p (G1 )× pG (G2 )× pG (G3 )=0,9×0,4×0,4=0,144 . 1

2

On en déduit que p ( E )=1− p (E)=1−0,144=0,856 4. L'arbre pondéré ci-contre fait intervenir les résultats aux parties n et n + 1. 0,8.

a. Le reproduire et compléter les pointillés en inscrivant des probabilités et des probabilités conditionnelles. b. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 1 3 p n+1= p n+ . 5 5 pn+1 = p(Gn+1).

Gn+1

Gn pn ….

0,2.

1-pn

0,6.

G n+1 Gn+1

Gn 0,4.

G n+1

Appliquons la formule des probabilités totales : p (G n+1)= p(G n∩Gn+1 )+ p(G n∩G n+1)= p n×0,8+(1− pn )×0,6=0,2 p n+0,6 Finalement on a bien p n+1=

1 3 p n+ . 5 5

3 . Déterminer la nature de la suite vn. 4 3 1 3 3 1 3 1 3 1 v n +1 = p n+1− = p n+ − = pn − = p n− = v n . 4 5 5 4 5 20 5 4 5

5. On pose v n = p n−

(

)

Ceci montre que vn est une suite géométrique de raison

1 . Son premier terme est 5

3 1 3 13 v 1= p1− = − =− . 4 10 4 20 6. Exprimer vn en fonction de n, puis pn en fonction de n. Quelle est la limite de pn quand n tend vers +∞ ? 1 13 1 n−1 Comme vn est géométrique de raison q = , on a v n =v 1×q =− × 20 5 5

n−1

()

Or v n = p n−

3 3 3 13 1 , on a donc p n=v n+ = − × 4 4 4 20 5

Comme la limite de vn est 0, la limite de pn est

n−1

()

3 . 4

.