Devoir

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Université de Rouen. Faculté des Sciences. Licence de Mathématiques. Topologie 1993-1994. Contrôle du Devoir No 2. Aucun document n'est autorisé.

Universit´ e de Rouen Facult´ e des Sciences

Licence de Math´ ematiques. Topologie 1993-1994 Contrˆole du Devoir No 2

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Exercice 1 : Soit E un espace localement compact et Ωn



une suite d’ouverts denses dans E.  a) Montrer que si O0 est un ouvert non vide, on peut construire une suite On n∈N∗ d’ouverts non vides relativement compacts telle que ∀n ∈ N On+1 ⊂ On ∩ Ωn . \ \ b) Montrer que On 6= ∅. En d´eduire que Ωn est dense dans E. n∈N

n∈N

n∈N

c) Montrer que si E est r´eunion d´enombrable de ferm´es, alors un au moins de ces ferm´es est d’int´erieur non vide.

Exercice 2 : Soient E un espace vectoriel norm´e, A une partie compacte et B une partie ferm´ee de E. Montrer que : • A+B est ferm´e dans E. • si de plus B est compacte, alors A+B est compacte.

Exercice 3 : Soient E un espacetopologique, F un espace topologique s´epar´e et f , g deux applications continues de E dans F . Montrer que : x ∈ E/f (x) = g(x) est un ferm´e de E.

Exercice 4 : Soit E un espace m´etrique compact. Soit f une application de E dans E v´erifiant : ∀x, y ∈ E

 d f (x), f (y) ≥ d(x, y)

a) Soit x, y ∈ E. Montrer que : ∀ε > 0 ∃k ∈ N



 tel que

b) En d´eduire que f (E) est dense dans E et que ∀x, y ∈ E

 d x, f k (x) ≤ ε d y, f k (y) ≤ ε  d f (x), f (y) = d(x, y).

c) Montrer que f est une isom´etrie de E sur E. d) En d´eduire que tout sous espace de E isom´etrique `a E est identique `a E.