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Baldor, A. (2). Álgebra, (2ª. reimpr. de la 2ª. Ed.). México: Grupo Editorial Patria. Pp. 446-462.
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GRUPO EDITORIAL 1
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PATRIA
~
ALGEBRA DR. AURELIO BALDOR Fundador, Director y Jefe de la Cátedra de Matemáticas del Colegio Baldor, La Habana, Cuba. Jefe de la Cátedra de Matemáticas, Stevens Academy, Hoboken, New-Jersey, U.S.A. Profesor de Matemáticas, Saint Peter's College, Jersey City, New-Jersey.
Con gráficos y 6,523 ejercicios y problemas con respuestas
SEGUNDA REIMPRESIÓN 2009
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Esta obra se terminó de imprimir en febrero del 2009 en los talleres de Compañía Editorial Ultra S.A. de C.V. Centeno No. 162 Local 2, Col. Granjas Esmeralda C.P. 09810, México, D.F.
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo Revisión técnica:Alex Polo Velázquez Diseño: Juan Bernardo Rosado Solís Ilustración: José Luis Mendoza Monroy Diagramación: Seditograf 1 Carlos Sánchez Álgebra
Derechos reservados: © Dr. Aurelio Baldor © 1983, Compañía Editora y Distribuidora de Textos Americanos, S.A. (CCEDT A) Códice Ediciones y Distribuciones, S.A. (Códice América, S.A.) © 1983, Publicaciones Cultural, S.A. de C.V. © 2000, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V. Derechos reservados: © 2004, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V . © 2007, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43 ISBN: 978-970-817-000-0 (segunda edición) ISBN: 970-24-0779-6 (primera edición) Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico
Primera edición: Publicaciones Cultural, S.A. de C.V.: 1983 Primera edición: Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V.: 2005 Segunda edición: Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.: 2007 Primera reimpresión: 2008 Segunda reimpresión: 2009
ÍNDICE PÁGINA
Capítulos
5 40 46 58 63 79 97 112 122 131
IV V VI VIl VIII IX
143 180 188 193 210 236
X XI XII XIII XIV XV
243 246 270 276 282 291 301 311 319
XVI XVII XVIII XIX XX XXI XXII XXIII
Preliminares Suma Resta Signos de agrupación Multiplicación División Productos y cocientes notables Teorema del residuo Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Descomposición factorial Máximo común divisor Mínimo común múltiplo Fracciones algebraicas. Reducción de fracciones Operaciones con fracciones Ecuaciones numéricas fraccionarias de primer grado con una incógnita Ecuaciones literales de primer grado con una incógnita Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado Fórmulas Desigualdades. Inecuaciones Funciones Representación gráfica de funciones y relaciones Gráficas. Aplicaciones prácticas Ecuaciones indeterminadas Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas
11
111
XXIV
576
BALDOR ÁLGEBRA ~'
~~
m!~!!!!!
!!I_J!
Capítulos
PÁGINA
340
XXV
Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas
356 370 376 389 401 418 437 446 460
XXVI XXVII
Problemas que se resuelven por ecuaciones simultáneas Estudio elemental de la teoría coordinatoria
XXVIII
Potenciación
467
XXIX
Radicación
XXX
Teoría de los exponentes
XXXI XXXII
Radicales
XXXIII
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
XXXIV
Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado. Problema de las luces
XXXV
Teoría de las ecuaciones de segundo grado.
Cantidades imaginarias
Estudio del trinomio de segundo grado
483 490 508 520
XXXVI
Ecuaciones binomias y trinomias
XXXVII
Progresiones
XXXVIII
Logaritmos
XXXIX
Interés compuesto. Amortizaciones. Imposiciones
529
APÉNDICE
530 532 534 536
Tabla de interés compuesto
537
11
Tabla de interés compuesto decreciente
111
Cuadro de las formas básicas de descomposición factorial Tabla de potencias y raíces
IV
Respuestas a los ejercicios del texto
Nlels Henrik Abel (1802-1829). Matemático noruego. Vivió durante toda su vida en extrema pobreza. Trató de abrirse paso entre los matemáticos del continente, pero no lo logró. Obtuvo con Jacobi el Gran Premio de Matemáticas del Instituto de Francia, por su trabajo sobre las funciones elípticas. Fue
uno de los más grandes algebristas del siglo XIX. Demostró el teorema general del binomio. Llevó a cabo la demostración de la imposibilidad de la resolución de las ecuaciones de quinto grado. Murió desconocido.
_c_aP-ítulo XXX///_ ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, es una ecuación de segundo grado.
Ecuaciones completas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax 2 + bx +e = O, que tienen un término en x2 , un término en x y un término independiente de x. Así, 2x 2 + 7x- 15 = Oy x2 - 8x = -15 o x2 - 8x + 15 = Oson ecuaciones completas de segundo grado. Ecuaciones incompletas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax 2 + e = Oque carecen del término en x.o de la forma ax 2 + bx = Oque carecen del término independiente. Así, x 2 - 16 = Oy 3x 2 + 5x = Oson ecuaciones incompletas de segundo grado.
RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces. Así, las raíces de la ecuación x2 - 2x- 3 =O son x1 = 3 y x2 = - 1; ambos valores satisfacen esta ecuación. Resolver una ecuación de segundo grado es hallar las raíces de la ecuación.
CAPÍTULO
XXXIII
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
ECUACIONES COMPLETAS MÉTODO DE COMPLETAR EL CUADRADO PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ax2 + bx + e = O Para comprender mejor este método, consideremos primero la ecuación del tipo X
2
+bX+C = 0
Podemos escribir esta ecuación del siguiente modo:
x2 +bx=-c Si observamos el primer miembro veremos que al binomio x 2 + bx le falta un término para ser un trinomio cuadrado perfecto. Tal término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término
(~r
,
o lo que es lo mismo
b: .
En efecto, formamos así un trinomio cuyo primer término es el cuadrado de x; su segundo término es el doble producto de x por coeficiente del segundo término
(~r
%;
y su tercer término es el cuadrado de la mitad del
o sea
b:. Para que no se altere la ecuación le agrega-
mos al segundo miembro la misma cantidad que le agregamos al primer miembro. Así tendremos:
2
2
)=(~) -e
x + bx +(b4
En el primer miembro de esta ecuación tenemos un trinomio cuadrado perfecto. Factorizamos:
(x +
% f = b: -e
Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros:
~(x+%f = ±~b: -e
Cuando el coeficiente de x2 es mayor que 1, el procedimiento es esencialmente el mismo, sólo que como primer paso dividimos los tres términos de la ecuación entre a, coeficiente de x2• Pondremos un ejemplo numérico.
447
448
BALDORÁLGEBRA
1) Sea la ecuación 4x 2 + 3x- 22 =O.
Transponiendo el término independiente: x2 + 3x = 22 Dividiendo por el coeficiente del primer término: x2 + ~ x = ~ Agregando el cuadrado de la mitad de
2
~:
x2 + ~ x+ (~) = ~ + {~)
2
Factorizando el primer miembro: (x + ~r = ~ + ~ Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros:
)(x+ ~r = ± J~ + ~
X+ª= + ~ 8 -..¡ 64
Resolviendo:
X=-ª ± ~
a 'V 64
X=-ª + 19
a- a
X=-ª+ 19= 16=2 1
X
2
8
8
8
X
=-ª- 19= 22=-2ª 8
8
8
4
=2
R. { x1 =-2ª 2 4
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARA RESOLVER LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO ax 2 + bx + e = O La ecuación es ---------------1~ ax 2 + bx +e= O Multiplicando por 4a: 4a 2x2 + 4abx + 4ae = O 2 Sumando b a los dos miembros: 4a 2x2 + 4abx + 4ae + b2 = b2 Pasando 4ae al 2° miembro: 4a 2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ae Descomponiendo el primer miembro, que es un trinomio cuadrado perfecto: - - - - - • (2ax + b) 2 = b2 - 4ae Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros: -+ 2ax + b = ± ~ b 2 - 4ae Transponiendo b: Despejando x:
--------------~
2ax =- b ± ~ b2 - 4ae -b±~b 2 -4ac X=--7-2a--
fórmula que me da las dos raíces de la ecuación ax 2 + bx + e = O(porque de esta fórmula salen dos valores de x según se tome ~ b2 - 4ae con signo+ o-) en función de a, coeficiente del término en x2 en la ecuación, b coeficiente del término en x y e el término independiente. Obsérvese que en la fórmula aparece el coeficiente del segundo término de la ecuación b con signo distinto al que tiene en la ecuación.
CAPÍTULO
XXXIII
449
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES COMPLETAS DE SEGUNDO GRADO SIN DENOMINADORES APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL 1) Resolver la ecuación 3x 2 - 7x + 2 =O. 2
x = - b± Jb28 - 4ac
Aplicamos la fórmula /
_
·
~uí a = 3, b = -7, e = 2, luego sustituyendo y teniendo presente que al sustituir b ;~pone con signo cambiado, tendremos: - 7± J72 - 4(3)(2) 7± ~ 7±$ 7±5 2(3) 6 _ 6_ _ _6_
X-
Entonces: X= 1
7+5= 12=2 6
X1
6
R.
X = 7-5=.?_= 1 2
6
6
{
=2
x =1 2
3
3
2 y ~ son las raíces de la ecuación dada y ambas anulan la ecuación. Sustituyendo x por 2 en la ecuación dada 3x2 - 7x + 2 = O, se tiene: ' 3(22) - 7(2) + 2 = 12-14 + 2 =o sustituyendox por l3Üf
- 7{~)+2=~- ~+ 2=0
2) Resolver la ecuación 6x - x2 - 9 = O. Ordenando y cambiando signos: i- 6x + 9 = O. Vamos a aplicar la fórmula teniendo presente que a, coeficiente de x2 es 1:
- 6± ~36 - 4(1)(9) 2(1)
X-
6± ~
2
6± JQ - 6_3 - 2- -2-
Entonces x tiene un solo valor 3; las dos raíces son iguales: x1 =X2 =3 R. Resolver las siguientes ecuaciones por la fórmula general: 1. 3x2 -5x+2 = 0 6. 5x2 - 7x-90 = 0 11 . x2 =-15x-56 2. 4X 2 + 3x-22 = 0 7. 6X 2 = X+ 222 12. 32x 2 +18x - 17=0 2 2 3. x + 11x =- 24 13. 176x=121 +64x 2 18. 105 = x+2x 2 8. x+11 = 10x 2 2 4. x = 16x - 63 9. 49x 2 - 70x + 25 = O 14. 8x + 5 = 36x 5. 12x - 4 - 9x 2 = O 10. 12x - 7x 2 +64 = 0 15. 27x 2 +12x - 7 = 0
3) Resolver la ecuación (x + 4) 2 = 2x(5x - 1) - 7(x- 2).
Para aplicar la fórmula hay que llevarla a la forma ax 2 + bx + e = O Efectuando: x2 + 8x + 16 = 1Ox 2 - 2x- 7x + 14
450
BALDOR ÁLGEBRA
x2 + 8x + 16 - 1Ox 2 + 2x + .7x - 14 = O
Transponiendo: Reduciendo: Cambiando signos: Aplicando la fórmula:
- 9x2 + 17x + 2 =O 9x 2 - 17x - 2 = O
- 17± J 172 -4(9)(-2) X2(9)
17± j289+72 18
17±1361 18
17±19 18
Entonces: X= 17+19=36=2 1
18
18
X _ 17-19 _ -2 _
1
2-~-18--9
Resolver las ecuaciones siguientes llevándolas a la forma aJl + bx + e = O y aplicando la fórmula general: 7. 7(x-3)-5(x 2 - 1)=x2 - 5(x+2) 1. x(x + 3) = 5x + 3 B. (x- 5) 2 - (x- 6) 2 = (2x- 3) 2 - 118 2. 3(3x-2)=(x+4)(4-x) 2 3. 9x + 1 = 3 (x - 5) - (x - 3)(x + 2) 9. (5x- 2) 2 - (3x + 1)2 - x 2 - 60 = O 2 4. (2x- W- (x + 5) = - 23 10. (x + 4) 3 - (x- 3) 3 = 343 5. 25(x + 2) 2 = (x- 7) 2 - 81 11. (X+2) 3 - (x-1) 3 = X(3X+4)+8 6. 3x(x- 2) - (x- 6) = 23(x- 3) 12. (5x- 4) 2 - (3x + 5)(2x - 1) = 20x(x- 2) + 27
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARTICULAR PARA RESOLVER ECUACIONES DE LA FORMA x2 + mx + n = O Las ecuaciones de esta forma como x2 + 5x + 6 = Ose caracterizan porque el coeficiente del término en x2 es 1. Estas ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general con sólo suponer en ésta que a = 1, pero existe para ellas una fórmula particular, que vamos a deducir. La ecuación es Transponiendo n: Sumando
x2 + mx+n=O x2 + mx=-n
~ alosdosmiembros: x 2 + mx+ ~ =~ - n 2
Descomponiendo el primer miembro, que es un trinomio cuadrado perfecto:
2
(x+ ~)
2
2
2
=
~ -n
Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros: x + ~ =
±)~ - n 2
. do -m.. x =- -m + ~2 liransponren -4 - n 2 2 Obsérvese que m y n aparecen en la fórmula con signos distintos a los que tienen en la ecuación.
CAPÍTULO
XXXIII
451
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
1) Resolver 3x 2 - 2x(x- 4) = x- 12 por la fórmula particular. Simplificando la ecuación: 3x 2 - 2x2 + 8x = x - 12 x2 + 7x + 12 =O Aquí m = 7, n = 12, luego aplicando la fórmula particular:
X=-~± ~ ~ -12=-~± ~ =-~±~ Entonces: X
1
X
2
=-Z+1=-ª=-3 2 2 2
R.
=-Z-1=--ª=-4 2 2 2
X1
= -3
{x
= -4
2
Resolver las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula particular: 1. x2 - 3x + 2 = O 6. x2 - (7x + 6) = x + 59 2. x2 - 2x- 15 = O 7. (x- 1) 2 + 11x + 199 = 3x2 - (x- 2) 2 2 3. X =19x-88 8. (x-2)(x+2)-7(x-1)=21 2 4. x + 4x = 285 9. 2x 2 - (x- 2)(x + 5) = 7(x + 3) 2 5. 5x(x- 1) - 2(2x - 7x) =- 8 10. (x - 1 )(x + 2) - (2x- 3)(x + 4) - x + 14 =O
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON DENOMINADORES
1) Resolver la ecuación ...!_= .1__11. 3x
5x2
60
Hay que quitar denominadores. El m. c. m. de 3x, 5x2 y 60 es 60x2• Tendremos: 20x = 84 - 11x2 Transponiendo: 11x2 + 20x - 84 = O Aplicando la fórmula se obtiene: x1 = 2, x2 =-3~ R.
Resolver las siguientes ecuaciones: x2 1. 5
x
3
- 2=10
2. 4x - .11=-ª X 2 2 3. -x - -x =3(x-5) 6 2 4. 1(x-4)+~(x-5) 4 5 = .!(x 2 -53) 5
5. .§_- - 1- =1 X X+2
2x - 3_ x- 2 9· 1- X+5 - ---:¡-¡¡
6 J..§_- 11X+5=-1 · x x2
10. x-13= 5 - 10(5X+3) x x2
7 -ª!_ +5x-1= 3 · 3x +5 X+1
x_ _ 11 · _x-2
8 _ 1_ - _ 1_ = .! ' x- 2 x-1 6
2 12 -4x - -1- 3x = -20x · x-1 4 3
x-2=~
x
2
13. 3x-1- ~ - I=o x 2x - 1 6 5x - 8 7x - 4 14 =· x- 1 X+2 15 x+3 _ 5x-1 =O · 2x -1 4x+ 7 16. _ 1_ - .! = _ 1_ 4-x 6 X+1
452
BAL DOR ÁLGEBRA
17 •
X+ 4 _ X+ 5
X+2=_!_ X + 3 24
18 _ 5_ _ _ 6_ =3~
. X2- 1
X+ 1
8
19 !..=_2 + ~ =2X+9 . X +1 X -
1
20
X +3
_3_ _ _ 1_ = _1_ X +2 X - 2 X+ 1
.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES Descomponiendo en factores el primer miembro de una ecuación de la forma x 2 + mx + n = Oo ax 2 + bx + e = Ose obtiene un método muy rápido para revolver la ecuación.
Resolver x2 + Sx - 24 = Opor descomposición en factores. Factorizando el trinomio (145), se tiene: (x + 8)(x - 3) = O
Para que el producto (x + 8)(x - 3) sea cero es necesario que por lo menos uno de estos factores sea cero, es decir, la ecuación se satisface para x + 8 = Oy x - 3 = O. Podemos, pues, suponer que cualquiera de los factores es cero. Si x + 8 = O, se tiene que x = -8 y si x - 3 = O, se tiene que x = 3 Lo anterior nos dice que x puede tener los valores -8 o 3. Por tanto, -8 y 3 son las raíces de la ecuación dada. x1 =-8 R. { 3 X2= Por tanto, para resolver una ecuación de segundo grado por descomposición en factores:
1) Se simplifica la ecuación y se pone en la forma x2 + mx + n = Oo ax2 + bx + e = O. 2) Se factoriza el trinomio del primer miembro de la ecuación. 3) Se igualan a cero cada uno de los factores y se resuelven las ecuaciones simples que se obtienen de este modo.
Resolver por descomposición en factores: 1. x2- x-6 = 0
10. x(x -1)- 5(x -2)=2 11. (x-2) 2- (2x +W=- 80
4. x 2 = 108 5. 6. 1.
8. 9.
12.
3x
2x 2 + 7x - 4 = O 6x 2 = 10 - 11x 20x 2- 27x = 14 7x = 15 - 30x2 60 = 8x 2 + 157x
_§__Q=_i 2 x
x
3
13. X+ +X=~
4
17. (x -2)
X+1
3
i= _§_ 12
X
-
(x - 3) 3 = 37 3
X+
3
X
2 2 5
14. (X+2) - \- = 3 15 _ _ x_ +X=3x +15
x-2
X-
18. !..=2 -2=
2
X
16. - 6- -
4
19
_ 4x - 1= 2X+ 1
2x +3
6x + 5
20 _ 3x +2= 5 - 9x+14
4
12x
C A PÍTULO
XXXIII
453
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
ECUACIONES LITERALES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones literales de segundo grado pueden resolverse, como las numéricas, por la fórmula general o por descomposición en factores. En muchas ecuaciones literales la resolución por factores es muy rápida, mientras que por la fórmu la resulta mucho más laboriosa. 1) Resolver la ecuación 3a - 2x = 1. x
a
Quitando denominadores
3a 2 - 2x 2 =ax 2x 2 + ax - 3a 2 =O Aplicando la fórmula. Aquí a = 2, b = a, e = -3a2, luego: 2 -a±__,__4 Ja2-___:. 4(2)(-3a _ _)
X =- _
- a ±~ -a± ~ -a±5a 4
4
4
=a X =-'ª-a 2 2
X1
R. {
5a 6a 3 x2 = -- a-4 -=--= - -2 a 4
2) Resolver la ecuación 2x2 - 4ax + bx = 2ab . La solución de las ecuaciones de este tipo por la fórmula es bastante laboriosa; sin embargo, por descomposición en factores es muy rápida. Para resolver por factores se pasan todas las cantidades al primer miembro de modo que quede cero en el segundo. Así, en este caso, transponiendo 2ab, tenemos: 2x2 - 4ax + bx - 2ab = O Descomponiendo el primer miembro (factor común por agrupación), se tiene: 2x(x- 2a) + b (x- 2a) =O (x- 2a) (2x + b) =O
o sea
Igualando a cero cada factor, se tiene: Si x - 2a=0, x = 2a 2x+b =O,
Resolver las ecuaciones: 1. x2 + 2ax - 35a 2 = O 2. 1Ox 2 = 36a 2 - 33ax 2 2 2 3. a x + abx - 2b = O 4. B9bx = 42x 2 + 22b 2
X=- º
x1 =2a R.
2
5. x2 + ax = 20a 2 6. 2x 2 = abx + 3a 2b2 1. b2x2 + 2abx = 3a 2 8. x2 + ax - bx = ab
b
{ X=-2 2
x2 - 2ax = 6ab - 3bx 10. 3(2x 2 - mx) + 4nx - 2mn =O 11 . x2 - a2 - bx - ab = O 9.
12. abx 2 - x(b - 2a) = 2
454
BALDOR ÁLGEBRA
13. x2 - 2ax + a2 - b2 = O 14. 4x(x- b) + b 2 =4m 2 15. x2 - b2 + 4a 2 - 4ax = O 16. x2 - (a + 2)x
= - 2a x2 + 2x(4- 3a) = 48a 18. x2 - 2x = m2 +2m 19. x2 + m2x(m- 2) = 2m 5 17.
20. 6x 2 - 15ax = 2bx - 5ab
24.
__i__ =_t_ x-1
2(a - 2)
2bx-b 2
2x-b
22.-2- =~
26. 2x - b _ _ x_ = 3.: b
X+b
4b
ECUACIONES INCOMPLETAS Las ecuaciones incompletas de segundo grado son de la forma ax 2 + e = O, que carecen del término en x, o de la forma ax 2 + bx = O, que carecen del término independiente.
ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax 2 +e = O Si en la ecuación ax 2 +e = Opasamos e al 2° miembro, se tiene:
ax 2 =-e :.x 2 =-%:.x=±R Si a y e tienen el mismo signo, las raíces son imaginarias por ser la raíz cuadrada de una cantidad negativa; si tienen signo distinto, las raíces son reales. A igual resultado se llega aplicando la fórmula general a esta ecuación ax 2 +e= Oteniendo presente que b = O, ya que el término bx es nulo. Se tiene:
X=±~-4ac=±~-4ac=± 2 4a
2a
G 'ra
2
1) Resolver la ecuación x2 + 1= 7~ + 3. Suprimiendo denominadores: Transponiendo:
9x2 + 9 = 7x2 + 27 9x2 - 7x2 = 27 - 9 2x2 =18 x2 = 9
Extrayendo la raíz cuadrada:
X= ±.f9 X= ±3 R.
Las dos ralees +3 y -3 son reales y racionales. 2) Resolver la ecuación x2 + 5 =7. Transponiendo y reduciendo:
x2 = 2
X= ±.J2 R. Las dos ralees .[2 y -
.[2 son reales eirracionales.
CAPÍTULO
XXXIII
455
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
3) Resolver la ecuación 5x2 + 12 = Jx2- 20. Transponiendo: 5x2 - 3x2 = -20 - 12 2x2 =-32 x2 =-16
X= ±~-16
Extrayendo la raíz cuadrada:
R.
X= ±4J"=i = ±4í
Las dos raíces son imaginarias.
Resolver las ecuaciones: 1. lr=48
9. (2x-1)(x+2) - (x+4)(x-1)+5=0 10 __§_ _ _1 = ]_
2. 51 - 9 =46
· 2x 2 6x 2 12
=o 2 4. 9t-a =o 3. 71+ 14
11 _ 2x-3=x-2 x-3 x-1 2 x -5 4x 2-1 14x2- 1 12. - - + - - - - - =0
5. (x + 5)(x- 5) =- 7
3
6. (2x- 3){2x + 3) - 135 = o
15
13. 2x-3- =-7 x-2 3 14. 3- 4x2- 1=2
7. 3(X+2)(x - 2)=(x-4) 2 +8x 8.
5
2 X +1
(x+~)(x-~)=~
ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax 2 + bx = O Vamos a resolver la ecuación ai + bx = Opor descomposición. Descomponiendo se tiene: x(ax +b) =O
x= O
Igualando a cero ambos factores:
ax+b=O:.X=-1¿ a
Se ve que en estas ecuaciones siempre una raíz es cero y la otra es el coeficiente del término en x con signo cambiado partido por el coeficiente del término en t. Igual resultado se obtiene aplicando la fórmula general a esta ecuación teniendo presente que e = O. Se tiene: y de aquí
R
X_ -b±Ñ _ -b±b --2-a----¿a--
·
-b+b X= - =-o = o 1
2a
2a
-b-b 2a
- 2b
X= - - = 2
2a
b
=- a
456
BALDOR ÁLGEBRA
1) Resolver la ecuaci9n 5x 2 = - 3x. Transponiendo: Descomponiendo: Igualando a cero:
5x 2 + 3x =O x(5x + 3) =O X= O 5X+3=0:.X= -ª5
Las raíces son Oy -~.
R.
2) Resolver la ecuación 3x -1 = Quitando denominadores: Transponiendo y reduciendo: Descomponiendo:
5 2 ;: . 2
(3x- 1) (x- 2) = 5x + 2
3x2 - 7x + 2 = 5x + 2 3x2 -12x=0 3x(x- 4) =o 3x-O ..· x-Q-3- o X-4=0 :. X= 4
Las raíces son Oy 4.
R.
-x - 9 = ~ 6. ~ 3 6 2 3.x 2
= 3x 2 - 4x 4. 5x + 4 = 2{x + 2} -
3x
7. {4x - 1}{2x + 3}
= (x + 3}{x -1}
2
5. (x- 3} 2 - {2x + 5} 2 = - 16
ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A SEGUNDO GRADO. SOLUCIONES EXTRAÑAS Las ecuaciones con radicales se resuelven como sabemos, destruyendo los radicales mediante la elevación de los dos miembros a la potencia que indique el índice del radical. Cuando la ecuación que resulta es de segundo grado, al resolverla obtendremos las dos raíces de la ecuación, pero es necesario hacer la verificación con ambas raíces en la ecuación dada, comprobar si ambas raíces satisfacen la ecuación dada, porque cuando los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia generalmente se introducen nuevas soluciones que no satisfacen la ecuación dada. Estas soluciones se llaman soluciones extrañas o inadmisibles. Por tanto, es necesario en cada caso hacer la verificación para aceptar las soluciones que satisfacen la ecuación dada y rechazar las soluciones extrañas. Al hacer la verificación se tiene en cuenta solamente el valor positivo del radical.
CAPÍTULO
XXXIII
457
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
1) Resolverla ecuación ~4x-3- ~ x-2= ~3x-5. Elevando al cuadrado:
o sea
4x - 3- 2~ 4x 2 -11x + 6 + x - 2= 3x - 5
Aislando el radical: Reduciendo: Dividiendo por -2: Elevando al cuadrado: Transponiendo y reduciendo: Descomponiendo: Igualando a cero:
-2~ 4x 2 -11x +6 =3x -5-4x +3-x +2 -2~ 4x 2 -11x+6 =-2x
~ 4X 2 -11X+6 =X 4x2 - 11x + 6 = x2 3x2 - 11x + 6 = O (x - 3)(3x - 2) = O X- 3 = 0 :. X= 3 3x-2=0 :. X = ~
Haciendo la verificación se ve que el valor x =3 satisface la ecuación dada, pero el valor x =~ no satisface la ecuación. Entonces, x =~ es una solución extraña, que se rechaza. la solución correcta de la ecuación es x = 3. R.
Resolver las ecuaciones siguientes haciendo la verificación con ambas raíces: 1.
X+ ~ 4X+1=5
2. 2x - ~ x - 1=3x - 7
9.
~2x+ ~4x - 3 =3
10.
~ X+3+ ~= 5 -y X+3
3. ~ 5x - 1+ ~ x + 3 = 4 4. 2..[X - ~ X +5 =1
5. ~ 2x-1+ ~ X+3 =3 6.
~ X - 3+ ~ 2X+1-2..fX= O
7. ~ 5x -1-b-x=J2X 8. ~3X +1+fsX= ~16X+1
11
FX+_i_= 5
· " ){ .JX
12. 2..[X = ~ X+ 7 + ~ -y X+7
13.
~ X+ ~ X + 8=2..fX
14. ~ 6 -X+ ~ X+7 - ~ 12X+1=0
REPRESENTACIÓN Y SOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Toda ecuación de segundo grado con una sola incógnita en x representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje de las ordenadas.
458
BALDOR ÁlG EBRA
1) Representar y resolver gráficamente la ecuación x2 - 5x + 4 =O El primer miembro de esta ecuación es una función de segundo grado de x. Haciendo la función igual ay, tendremos:
y= x2 - 5x + 4 A cada valor de x corresponde un valor de la función. Demos valores ax (Fig. 70). Para
X= O, X= 1, X= 2, X=2 1
Y= 4 Y= o Y=-2 Y=-2 1
X= 3, X= 4, X= 5, X= 6, X=-1 ,
Y=-2 Y= o Y= 4 Y= 10 y = 1O, etcétera
2
--1 Figura 70
4
Representando estos valores de y correspondientes a los que hemos dado a x, obtenemos la serie de puntos que aparecen señalados en - el gráfico. Uniendo estos puntos por una curva suave se obtiene la parábolaABC, que es la representación gráfica del primer miembro de la ecuación dada. El punto inferior de la curva, en este caso corresponde al valor x =2~ .
El punto inferior de la curva (o el superior según se verá después) se obtiene siempre cuando a x se le da un valor igual a - ~ . En esta ecuación que hemos representado
b=-5ya =1, yportanto -b=-ª=21 2a 2 2" Las abscisas de Jos puntos en que la curva corta al eje de las x son las raíces de la ecuación. En este caso la curva corta al eje de las x en dos puntos cuyas abscisas son 1 y 4 y éstas son las raíces de la ecuación x2 - 5x + 4 = O. Véase que en la tabla de valores anterior para x = 1 y x = 4, y= O. Las raíces anulan la ecuación. Cuando ambas ralees son reales y desiguales la curva corta al eje de las x en dos puntos distintos. Por tanto, para resolver gráficamente una ecuación de segundo grado en x basta hallar los puntos en que la curva corta el eje de las x.
CAPÍTULO
XXXIII
459
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
2) Representar y resolver gráficamente la ecuación x2 - 6x + 9 = O. Tendremos:
y= x2 - 6x + 9 Demos valores ax (Fig. 71). Para
--1 Figura 11 1 - - - - - - - - -
Y=9 Y=4 Y=1 Y=O Y=1 Y=4
X=O, X= 1,
X=2, X= 3, X=4, X=5, X=6,
y = 9, etcétera.
Representando estos puntos y uniéndolos resulta la parábola ABC que es tangente al eje de las x. Esta curva es la representación gráfica del primer miembro de la ecuación x2 - 6x + 9 = O. La curva toca al eje de las x en un solo punto 8 cuya abscisa es 3, luego las dos raíces de la ecuación son iguales y valen 3. Obsérvese que en la tabla de valores x = 3 anula la función.
NOTA Cuando al aplicar la fórmula a una ecuación de segundo grado la cantidad subradical de
~ b2 - 4ac es negativa, las raíces son complejas conjugadas. La parábola que representa una ecuación de segundo grado cuyas raíces son complejas conjugadas no corta al eje de las x.
Representar gráficamente las funciones: 1.x2 +3x-4
3.
2. x2 + 3x + 2
4.
x2 - 5x + 6 x2 + 2x- 8
5. x2 - 2x- 8 6. x2 - 9
1. x2 - 8x+ 16 8. x2 + 4x + 4
10.
3x 2 - 4x- 7
Resolver gráficamente las ecuaciones: 11. x2 -4x +3=0
14. X2 +4X+3=0
12. x2 - 6x + 8 = O 13. x2 - 2x - 3 = O
15.
x2 = 6 -x
16.
x = 2x -1 2
17. X2 +8x+16=0 18.
x2 - 4 =O 2
19. X = 3X +1 0
20. x2 - 4x = - 4
21. 2x 2 - 9x + 1O= O 22. 2x 2 - 5x - 7 = O
Potsdam
Koenigsberg
Karl Gustav Jacobl (1804-1851). Matemático alemán. Profesor de Matemáticas en las universidades de Berlín y Koenigsberg. Compartió con Abel el Gran Premio del Instituto de Francia por su trabajo sobre las funciones eHpticas. Fue el primero en aplicar estas funciones elípticas a la teorla de
~P-ítulo
los números. Su obra sobre ecuaciones diferenciales inicia una nueva etapa en la Dinámica. Es famosa en este campo la ecuación Hamilton-Jacobi. Ideó la forma sencilla de los determinantes que se estudian hoy en el Álgebra.
XXXIV
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. PROBLEMA DE LAS LUCES Cuando el planteo de un problema da origen a una ecuación de segundo grado, al resolver esta ecuación se obtienen dos valores para la incógnita. Solamente se aceptan como soluciones del problema los valores de la incógnita que satisfagan las condiciones del problema y se rechazan los que no las cumplan. A es dos años mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Hallar ambas edades.
x = la edad de A
Sea Entonces
x - 2 = la edad de 8
x2 + (x - 2)2 = 130 Simplificando, se obtiene: x2 - 2x - 63 = O
Según las condiciones: Resolviendo:
(x - 9)(x + 7) = O XX+
9 = 0 :. 7 = 0 :.
X= X=
9 -7
Se rechaza la solución x = - 7 porque la edad de A no puede ser - 7 años y se acepta x = 9. Entonces A tiene 9 años y 8 tiene x - 2 = 7 años. R.
CAPÍTULO
XXXIV
Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado...
461
A compró cierto número de latas de frijoles por $240. Si hubiera comprado 3 Jatas más por el mismo dinero, cada lata le habría costado $4 menos. lCuántas Jatas compró y a qué precio?
x = el número de latas que compró
Sea
Si compró x latas por $240, cada lata le costó $ 240 . X Si hubiera comprado 3 latas más, x + 3 sacos, por el mismo dinero, $240, cada lata saldría a $ 240 , pero según las condiciones el precio de cada una de estas latas, X+ 3
$4 menor que el precio de cada una de las latas anteriores,
240 ; X
240 X+ 3
, sería
luego, se tiene la ecuación:
240 = 240 +4 X X+3
Resolviendo esta ecuación se obtiene x = 12 y x = -15 Se rechaza la solución x = -15 y se acepta x = 12; luego, compró 12 latas y cada lata le costó 2 ~0 =~~o= $20. R. La longitud de un terreno rectangular es doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno.
x =el ancho del terreno
Sea Entonces
2x
El área del terreno es x x 2x =
= la longitud del terreno
2i.
Aumentando la longitud en 40 m, ésta sería (2x + 40) m, y aumentando el ancho en 6 m, éste sería (x + 6) m. El área ahora sería (2x + 40) (x + 6) = 2x 2 + 52x + 240 m2, pero según las condiciones esta nueva área sería doble que la anterior 2x 2; luego, tenemos la ecuación: 2x 2 + 52x + 240 = 4x 2 Transponiendo y reduciendo: - 2x2 + 52x + 240 = o Cambiando signos y dividiendo entre 2: x2 - 26x - 120 = O Resolviendo esta ecuación se halla x = 30 y x =-4. Aceptando la solución x = 30, el ancho del terreno es 30 m y la longitud es 2x= 60 m. R. Una persona vende una pelota en $24, perdiendo un % sobre el costo de la pelota igual al número de pesos que le costó la pelota. lCuánto le había costado la pelota? Sea
x = el número de pesos que le había costado la pelota
Entonces, x = % de ganancia sobre el costo.
BALDORÁLGEBRA
462
La pérdida obtenida es el x% de $x. En Aritmética, para hallar el 6% de $6 procedemos 2
l . d $ . x x x_x as1... 6 x 6_36 , 1uego, .e x0110 e x sera . 100 100 100 100
Entonces, como la pérdida L es la diferencia entre el costo x y el precio de venta $24, 100 se tiene la ecuación: x2
100 =X -24
Resolviendo esta ecuación se halla x = 40 y x = 60. Ambas soluciones satisfacen las condiciones del problema; luego, la pelota habrá costado $40 o $60. R.
1. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Hallar los números. 2. Un número positivo es los ~ de otro y su producto es 2, 160. Hallar los números. 3. A tiene 3 años más que 8 y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de la edad de 8 equivale a 317 años. Hallar ambas edades. 4. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1,800. Hallar los números.
5. El cuadrado de un número disminuido en 9 equivale a 8 veces el exceso del número sobre 2. Hallar el número. 6. Hallar dos números consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda en 57 al triple del menor. 7. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumenta en 4 m el área será doble. Hallar las dimensiones de la sala.
8. Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por 1,000,000 bolívares. Si hubiera comprado 1Osacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5,000 bolívares menos. ¿cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno? 9. Un caballo costó 4 veces lo que sus arreos. Si la suma de los cuadrados del precio del caballo y el
precio de los arreos es 86,062,500,000,000 sucres, ¿cuánto costó el caballo y cuánto los arreos? 10. La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184.
Hallar los números. 11. La suma de las edades de A y 8 es 23 años y su producto 102. Hallar ambas edades. 12. Una persona compró cierto número de libros por $1 ,800. Si compra 6 libros menos por el mismo
dinero, cada uno le cuesta $1 Omás. ¿cuántos libros compró y cuánto le costó cada uno? 13. Una compañía de 180 hombres está dispuesta en filas . El número de soldados de cada fila es 8 más
que el número de filas que hay. ¿cuántas filas hay y cuántos soldados en cada una? 14. Se vende un reloj en 75 nuevos soles ganando un% sobre el costo igual al número de nuevos soles
que costó el reloj. Hallar el costo del reloj.
