Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri. 1. .... Kita masukkan ke
dalam persamaan : θ = 0. 0 θ θ ... Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah :
.
SMA - 1
Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri 1. Jika sudut α dan β lancip, cos α =
berapa nilai cos( α - β ) ?
4 24 dan cos β = , 5 25
Jawab : * diketahui cos α =
4 x ; dimana cos α = 5 r
r
y
⇒
x= 4 r=5
α
5 3
α x
r=
x2 + y2
4
r 2 = x2 + y2 y2 = r 2 - x2 = 25 – 16 =9 y = 9 = ± 3 karena sudut lancip berada di kuadran 1 maka nilai yang diambil adalah + 3
sehingga sin α =
3 y = r 5
* diketahui cos β =
24 x ; dimana cos β = 25 r
y2 = r 2 - x2 = 625 – 576 = 49 y=
49 = 7 Æ sudut lancip; sehingga sin β =
y 7 = r 25
Ditanyakan cos( α - β ) ⇒ dari rumus dijabarkan menjadi cos( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 2 masukkan nilai-nilai di atas : =
4 24 3 7 . + . 5 25 5 25
=
96 21 117 + = 125 125 125
2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm dan BC= 4 cm dan AC = 5 cm. Nilai Cos C adalah….. Jawab :
B 3 (c)
4 (a)
A
C
5 (b) gunakan aturan cosinus
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C 2 ab cos C = a 2 + b 2 - c 2 cos C =
sin 6 x + sin 4 x senilai dengan …. cos 6 x + cos 4 x
Jawab : 1 1 2 sin (6 x + 4 x) cos (6 x − 4 x) sin 6 x + sin 4 x 2 2 = 1 1 cos 6 x + cos 4 x 2 cos (6 x + 4 x) cos (6 x − 4 x) 2 2 = tan
1 10x = tan 5x 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 6 7. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah :
Jawab : untuk pemecahan soal spt ini agak sedikit banyak logika yang dipakai dibarengi dengan teori Urutan pemecahannya: - dari grafik di atas dapat ditentukan bahwa grafik adalah sinusoidal sehingga fungsinya adalah sinus atau cosinus (bukan tangen) - kita tentukan nilai maksimum dan minimum : maksimum adalah 1 dan minimum adalah -1 - kita lihat tabel sudut-sudut istimewa :
α
00
30 0
45 0
Sin
0
1
1
Cos
1
1
Tan
0
1
2 2 3
3 3
1
2
2 1
60 0 2
1
2
1
2 2 3
90 0 3
1 0 ~
kita lihat pada grafik apabila x = 15 0 menunjukkan nilai y= 0 ; karena grafik bergeser ke kanan 15 0 maka fungsi yang dipakai adalah ( x − 15) 0 (kalau bergeser kekiri fungsi yang dipakai ( x + 15) 0 ) kalau dimasukkan nilai 15 0 maka ( x − 15) 0 = 0 0 nilai yang memenuhi adalah fungsi sinus karena sin 0 0 = 0 fungsi grafik yang pertama kita dapat y=sin ( x − 15) 0 tetapi karena nilai minimumnya berada di kuadran pertama maka fungsi grafiknya pertamanya menjadi y= -sin ( x − 15) 0 . (di kuadran pertama standarnya adalah positif) WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 7 Yang perlu diperhatikan lagi pada grafik memperlihatkan ½ perioda (1 perioda adalah 360 0 sehingga persamaan terakhirnya menjadi y= -sin 2 ( x − 15) 0 Kita coba masukkan nilai perpotongan di sumbu x yaitu 15 0 , 105 0 dan 195 0 x = 15 0 → y= -sin 2 ( x − 15) 0 = -sin 0 0 = 0 Æ benar x = 105 0 → y= -sin 2 ( x − 15) 0 = - sin 180 0 = - sin( 180 0 - α ) → α = 0 0 maka - sin 180 0 = -sin 0 0 = 0 Æ benar
Nilai minimum y= -1 yaitu di x = 60 0 x = 60 0 → y= -sin 2 ( x − 15) 0 = - sin 90 0 = - 1 Æ benar Nilai maximum y= 1 yaitu di x = 150 0 x = 150 0 → y= -sin 2 ( x − 15) 0 = - sin 270 0 = - sin( 180 0 + α )= sin α = 1 Æ benar
8. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0 0 < x < 360 0 Jawab : sin x + cos x = 0 ⇔ (sin x + cos x) 2 = 0 2 ⇔ sin 2 x + cos 2 x + 2 sin x cos x = 0 ( sin 2 x + cos 2 x = 1 ; 2 sin x cos x = sin2x) ⇔ 1 + sin2x = 0 ⇔ sin2x = -1 Nilai yang memenuhi adalah 2x = 270 0 → x = 135 0 dan 2x = 630 0 → x = 315 0 (ingat sin (k. 360 0 + α ) = sin α ) (dan ingat teori mengenai nilai positif dan negative untuk setiap kuadran) Sehingga HP= { 135 0 , 315 0 }
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya