Dec 15, 2010 - An important class of reduced models is formed b\ the five-equation ...... In fact, the Wallis formula is alread\ verified b\ the experiments and.
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86
6RPPDLUH %LEOLRJUDSK\.................................................................................................................................................................................9
,QWURGXFWLRQ.................................................................................................................................................................11
6WLIIHQHGJDVHTXDWLRQRIVWDWH(26 ..............................................................................................................11
0RGHOVIRUFRPSUHVVLEOHWZRSKDVHIORZV.........................................................................................................12
6HYHQHTXDWLRQPRGHO ...............................................................................................................................................12
5HGXFHG0RGHO............................................................................................................................................................13
7KHSUHVVXUHPRGHO0L[WXUH6*(26 ...............................................................................................................13
4XDVL&RQVHUYDWLYH7UDQVSRUW0RGHO..............................................................................................................16
4XDVL&RQVHUYDWLYH7UDQVSRUW0RGHO..............................................................................................................16
$V\PSWRWLFDQDO\VLV...................................................................................................................................................17 ([WHQVLRQWRPXOWLSKDVHIORZFDVH .......................................................................................................................21
0RGLILHG0RGHOV .........................................................................................................................................................23
6*03B0RGHO............................................................................................................................................................23 6*03B0RGHO............................................................................................................................................................23
1XPHULFDO6FKHPH .....................................................................................................................................................24
9DOLGDWLRQ7HVWV .........................................................................................................................................................26
7HVW$VLPSOHWHVWZLWKDUDUHIDFWLRQZDYHDFRQWDFWGLVFRQWLQXLW\DQGDVKRFN .......................27
7HVW7UDQVSRUWRIWZRGLIIHUHQWJDVHVRQPHFKDQLFDOHTXLOLEULXP......................................................29
7HVW$VKRFNWXEHFRPSRVHGE\WZRGLIIHUHQWJDVHVZLWKDQLQLWLDOYHORFLW\.................................31
7HVW*DVZDWHUVKRFNWXEHSUREOHP .............................................................................................................33
7HVW $VKRFNLQDWZRJDVHVVKRFNWXEH ....................................................................................................35
7HVW6KRFNWXEHZLWKDVWURQJGHQVLW\JUDGLHQWEHWZHHQIOXLGJDV ..................................................37
7HVW:DWHUJDVVKRFNWXEHSUREOHP.............................................................................................................39
7HVW6RXQGVSHHGGXULQJQXPHULFDODGYHFWLRQRIDZDWHUDLULQWHUIDFH ..........................................41
7HVW:DYHSURSDJDWLRQLQDZDWHUJDVPL[WXUH ........................................................................................42
7HVW:DWHUJDV5LFKWP\HU0HVKNRY,QVWDELOLW\....................................................................................45
&RQFOXVLRQ......................................................................................................................................................................49
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86
$SSHQGL[ .......................................................................................................................................................................50 $33(1',; $33(1',;
D E F
62/9(5686(')257+(&219(&7,9()/8; ................................................................................................50 6281'63((' ...............................................................................................................................................53 6RXQGVSHHGIRUWKHSXUH´VWLIIHQHGJDVµ .......................................................................................................53 6RXQGVSHHGIRU0RGHO ......................................................................................................................................54 6RXQGVSHHGIRU0RGHO ......................................................................................................................................56
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86
/LVWHGHV)LJXUHV )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV.................................................................28 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ...................................................................28 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ................................................................30 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV...................................................................30 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .................................................................32 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ...................................................................32 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ...........................................................34 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .............................................................34 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .................................................................36 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .................................................................36 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ................................................................38 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .................................................................38 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .........................................................40 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ...........................................................40 )LJXUH&RPSDULVRQRIHTXLOLEULXPUHG DQGIUR]HQJUHHQ VSHHGRIVRXQGGXULQJQXPHULFDODGYHFWLRQRID ZDWHUDLULQWHUIDFH .................................................................................................................................................................41 )LJXUH6RXQGVSHHGRIDQDLUZDWHUPL[WXUHXQGHUDWPRVSKHULFFRQGLWLRQVIRUWKHHTXLOLEULXPDQGIUR]HQ VSHHGRIVRXQG .........................................................................................................................................................................42 )LJXUH3URSDJDWLRQRIDVPDOOSUHVVXUHSHUWXUEDWLRQLQWKHDLUZDWHUPL[WXUHLQWHUPVRIWKHDLUYROXPH IUDFWLRQIRUWKH6*030RGHO ...........................................................................................................................................43 )LJXUH3URSDJDWLRQRIDVPDOOSUHVVXUHSHUWXUEDWLRQLQWKHDLUZDWHUPL[WXUHLQWHUPVRIWKHDLUYROXPH IUDFWLRQIRUWKH6*030RGHO...........................................................................................................................................44 )LJXUH,QLWLDO&RQILJXUDWLRQRIWKHZDWHUJDV5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\ .................................................45 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV ............................................................46 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV ............................................................46 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV............................................................47 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV .............................................................47 )LJXUH/LTXLGYROXPHIUDFWLRQDWW PV(XURSOH[XV DQGPV6DXUHOHWDO .............................48
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86
%LEOLRJUDSK\ $EJUDOO 5 ¶+RZ WR SUHYHQW SUHVVXUH RVFLOODWLRQV LQ PXOWLFRPSRQHQW IORZ FDOFDXOWLRQV $ TXDVLFRQVHUYDWLYHDSSURDFK·-&RPS3K\VLFV $EJUDOO 5 6DXUHO 5 ¶'LVFUHWH HTXDWLRQV IRU SK\VLFDO DQG QXPHULFDO FRPSUHVVLEOH PXOWLSKDVHPL[XWUHV·-&RPS3K\VLFV $OODLUH * &OHUF 6 .RNK 6 ¶$ ILYHHTXDWLRQ PRGHO IRU WKH VLPXODWLRQ RI LQWHUIDFWV EHWZHHQFRPSUHVVLEOHIOXLGV·-&RPS3K\VLFV %DHU 0 5 1XQ]LDWR - : ¶$ WZRSKDVH PL[WXUH WKHRU\ IRU WKH GHIODJUDWLRQWR GHWRQDWLRQWUDQVLWLRQ''7 LQUHDFWLYHJUDQXODUPDWHULDOV· ,QW-0XOWLSKDVH)ORZ9RO1R SS %DUEHURQ 7 +HOOX\3 5RX\ 6 ¶ 3UDFWLFDO FRPSXWDWLRQ RI D[LV\PPHWULFDO PXOWLIOXLG IORZV·,QWHUQDWLRQDOMRXUQDORIILQLWHYROXPHV %UHQQHQ & ( ¶)XQGDPHQWDOV RI 0XOWLSKDVH )ORZ· &DPEULGJH8QLYHUVLW\3UHVV,6%1 )ODWWHQ70RULQ$ 0XQNHMRUG67 ·:DYHSURSDJDWLRQLQPXOWLFRPSRQHQWIORZPRGHOV· 6,$0-RXUQDORQ$SSOLHG0DWKHPDWLFV$FFHSWHG *DORQ 3 ¶0pWKRGH GH 9ROXPH )LQLV HQ $/( GDQV (8523/(;861RXYHOOHV 6WUXFWXUHV ,QIRUPDWLTXHV$VVRFLpHV&DVWHVWV·5DSSRUW&($'066(07'k ρ1c12 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ρc2 α N ¦ k , j > k ( hkj (θ j − θ k )(T j − Tk ) ) ¸ ¨ θ N ¦ j ≠ N hNj (T j − TN ) + 2 ρ N cN © ¹ ZKHUH hij = ε H ij H ij LV WKH KHDW WUDQVIHU FRHIILFLHQW FRQVLGHUHG DV D UHOD[DWLRQ FRHIILFLHQW DQG θi = 1 −
Γi p 1 § ∂ei · = ¨ ¸ ρi ci2 Ti © ∂si ¹ p
)RU UHDVRQV RI FODULW\ ZH FDQ UHZULWH WKH HYROXWLRQ HTXDWLRQ IRU WKH YROXPH IUDFWLRQ RI WKH FRPSRQHQWLDOVRFDOOHG´7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQµDV
& ∂α i & ∂α i ρi ci2 − ρ c 2 ∂u +u + αi ∂t ∂x ∂x ρi ci2
Γ = i2 ρi ci
§ · Γj Γk ρ c2 H ( T − T ) − h ( − )( T − T ) α ¨ ¦ j ≠i ij j i i ρ c 2 ¦ k , j >k ¨ kj ρ c 2 ρ c 2 j k ¸¸ i i k k j j © ¹
ZKHUH c LVWKHPL[WXUHVSHHGRIVRXQG +HUHLI1 HTXDWLRQ OHDGVEDFNWRHTXDWLRQ LQWKHWZRSKDVHIORZFDVH7KHQZHFDQ HDVLO\ H[WHQG LW WR WKH ' FDVH &RQVLGHULQJ WKDW WKHUH LV QR KHDW WUDQVIHU EHWZHHQ WKH WZR SKDVHVWKHVRFDOOHG´7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQµOHDGVWR Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 ∂α i & ρ c 2 − ρi ci2 & div ( u ) + u ∇α i = α i 2 ∂t ρi ci
0RGLILHG0RGHOV 6*03B0RGHO %HVLGHV WKH PDVV FRQVHUYDWLRQ RI HDFK SKDVH WKH PRPHQWXP DQG WKH HQHUJ\ FRQVHUYDWLRQ HTXDWLRQV DQG WKH WRSRORJ\ WUDQVSRUW HTXDWLRQ DV LQ 4XDVL&RQVHUYDWLYH 7UDQVSRUW 0RGHO ZH DGGHGWKHPDVVFRQVHUYDWLRQHTXDWLRQIRUWKHPL[WXUHIORZ+HUHZHUHVXPHWKHQHZPXOWLSKDVH IORZPRGHODV
∂ρ & + div ( ρ u ) = 0 ∂t & & ∂ρ u & & + div ( ρ u ⊗ u ) + ∇p = 0 ∂t ∂ρ E & + div ( ( ρ E + p ) u ) = 0 ∂t ∂α i ρi & + div (α i ρi u ) = 0 ∂t ∂α i & + u ∇α i = 0 ∂t & ZKHUH ρ = ¦ α i ρi LV WKH DYHUDJH GHQVLW\ RI WKH IORZ 6LPLODUO\ u p DQG E DUH WKH YHORFLW\ i
SUHVVXUHWRWDOVSHFLILFHQHUJ\RIWKHPL[WXUHIORZ7KHPL[WXUHVRXQGVSHHGLVVWLOOFDOFXODWHGDV WKH´)UR]HQ6RXQG6SHHGµ$OOWKHVHHTXDWLRQV DUHVROYHGE\WKH+//&VROYHUGHWDLOHGLQ $SSHQGL[,WFRUUHVSRQGVWRWKHPRGHOLQ$OODLUH DOO 7KLVPXOWLSKDVHPRGHOLVLPSODQWHGDV0RGHORIWKH0DWHULDO16*03LQ(8523/(;86 6*03B0RGHO $V LQ WKH SUHYLRXV PRGHO ZH DGGHG WKH PDVV FRQVHUYDWLRQ HTXDWLRQ IRU WKH PL[WXUH IORZ EHVLGH WKH PDVV FRQVHUYDWLRQ HTXDWLRQ RI HDFK SKDVH WKH PRPHQWXP DQG HQHUJ\ FRQVHUYDWLRQ HTXDWLRQV IRUWKHPL[WXUHDQGWKHWRSRORJ\WUDQVSRUWHTXDWLRQDVLQ4XDVL&RQVHUYDWLYH7UDQVSRUW0RGHO )RUWKHPXOWLSKDVHIORZFDVHWKHPRGHOUHDGV
∂ρ & + div ( ρ u ) = 0 ∂t & & ∂ρ u & & + div ( ρ u ⊗ u ) + ∇p = 0 ∂t ∂ρ E & + div ( ( ρ E + p ) u ) = 0 ∂t
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 ∂α i ρi & + div (α i ρi u ) = 0 ∂t ∂α i & ρ c 2 − ρi ci2 & div ( u ) + u ⋅ ∇α i = α i 2 ∂t ρi ci ZKHUH ρ =
¦α ρ i
i
&
LV WKH DYHUDJH GHQVLW\ RI WKH IORZ 6LPLODUO\ u p DQG E DUH WKH YHORFLW\
i
SUHVVXUH WRWDO VSHFLILF HQHUJ\ RI WKH PL[WXUH IORZ 7KH PL[WXUH VRXQG VSHHG LV VWLOO GHGXFHG DV DQG ZKLFK LV FDOOHG ´HTXLOLEULXP VRXQG VSHHGµ LQ 6DXUHO 3HWLWSDV $EJUDOO $OO WKHVHHTXDWLRQV DUHVROYHGE\WKH+//&VROYHUGHWDLOHGLQ$SSHQGL[ 7KLVPXOWLSKDVHPRGHOLVLPSODQWHGDV0RGHORIWKH0DWHULDO16*03LQ(8523/(;86 1XPHULFDO6FKHPH ,QRUGHUWRLPSODQWRXUPRGHOVLQ(8523/(;86ZHVOLJKWO\DGDSWHGWKHPLQWRWKHFODVVLFIRUP
∂U + div ( F (U ) ) = Q (U ) ∂t & ρu § ρ · § · ¨ ρ u* ¸ ¨ ρ u& ⊗ u& ¸ ¨ ¸ ¨ &¸ ZKHUH U = ¨ ρ E ¸ F (U ) = ¨ ( ρ E + p ) u ¸ DQG Q (u ) LVWKHQRQFRQVHUYDWLYHWHUP ¨ ¸ ¨ & ¸ ¨ ρiα i ¸ ¨ ρiα i u ¸ & ¨ α ¸ ¨ ¸ αiu © i ¹ © ¹
0 § · & ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ¨ ¸ ,QWKH6*03BPRGHO Q (u ) = 0 ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ¨ α ( ∇ ⋅ u& ) ¸ © i ¹ 0 § · & ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¸ ZKLOHLQWKH6*03B0RGHO Q (u ) = ¨ 0 ¨ ¸ ¨ ¸ 2 2 ¨ α §¨1 + ρ c − ρi ci ·¸ ( ∇ ⋅ u& ) ¸ ¨ i ¸ ρi ci2 ¹ © © ¹ :HILUVWVROYHWKHKRPRJHQRXVHTXDWLRQXVLQJ+//&VROYHUGHVFULEHGLQ$SSHQGL[7KHQWKHQRQ FRQVHUYDWLYH´WRSRORJ\WUDQVSRUWHTXDWLRQµLVVROYHGZLWKDVSHFLILFPHWKRG%\IROORZLQJ*KDQJLU
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 1RZDNRZVNL 1LFROOHDX 0LFKHOLWVFK IRU WKH TXDVLFRQVHUYDWLYH WUDQVSRUW PRGHO WKH QRQFRQVHUYDWLYHWUDQVSRUWHTXDWLRQ
∂α i & + u ∇α i = 0 FDQEHUHZULWWHQDV ∂t
∂α i & & + ∇ ⋅ (α i u ) − α i ( ∇ ⋅ u ) = 0 ∂t :HLQWHJUDWHLWRYHUDFRQVLGHUHGFRQWUROYROXPH9
∂α i & & + ∇ ⋅ (α i u ) − α i ( ∇ ⋅ u ) = 0 V ∂t
³³³
$WDJLYHQVWHS α i LVVXSSRVHGWREHFRQVWDQW%\XVLQJWKH2VWURJUDGVN\WKHRUHPZHKDYH
V
∂α i & & & & + ³³ α iu ⋅ ndS − α i ³³ ( u ⋅ n ) dS = 0 ∂V ∂V ∂t
&RQVHUYDWLYH 7HUP WUHDWHG LQWKH+//&VROYHU
1RQFRQVHUYDWLYH 7HUP WUHDWHGDVDVRXUFHWHUP
)LQDOO\WKH´7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQµLVGLVFUHWL]HGLQWKHIROORZLQJZD\ N
∆t n α i − α i* ) ⋅ v j * S j ( j =1 V
α in+1 = α in − ¦
ZKHUH α in +1 LVWKHYROXPHIUDFWLRQDWWKHWLPHVWHSQ
α in LVWKHYROXPHIUDFWLRQDWWKHWLPHVWHSQ 9LVWKHFRQWUROYROXPH MLVWKHIDFHQXPEHURIWKHFRQWUROYROXPH S j LVWKHVXUIDFHDUHDRIWKHMIDFH
∆t LVWKHWLPHVWHSVL]H
α i* LVWKHYROXPHIUDFWLRQRIWKHDSSUR[LPDWHGVROXWLRQIRUWKH5LHPDQQ3UREOHPDWWKHLQWHUIDFH v*j LV WKH QRUPDO YHORFLW\ RI WKH VROXWLRQ DW WKH VXUIDFH IRU WKH 5LHPDQQ 3UREOHP ZKLFK LV FDOFXODWHGDVLQ-RKQVHQ &RORQLXV
∗ n
(v )
uL ° ° u + S § S L − u L − 1· ¸ L¨ °° L © SL − SM ¹ =® ° u + S § S R − uR − 1· ¸ R¨ ° R © SR − SM ¹ ° °¯u R
if
SL > 0
if
SL ≤ 0 < SM
if
SM ≤ 0 < S R
if
SR < 0
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∂α i & ρ c 2 − ρi ci2 & div ( u ) ZHLQWHJUDWHLWRYHUDFRQVLGHUHGFRQWUROYROXPH9 + u ⋅ ∇α i = α i 2 ∂t ρi ci
§ ρ c 2 − ρi ci2 · ∂α i & & + ∇ − u α α ( ) ¸ (∇ ⋅ u ) = 0 i i ¨1 + 2 ³³³V ∂t ρi ci © ¹
$WDJLYHQVWHS α i LVVXSSRVHGWREHFRQVWDQW%\XVLQJWKH2VWURJUDGVN\WKHRUHPZHKDYH
V
§ & & ρ c 2 − ρi ci2 · & & ∂α i u ⋅ n ) dS = 0 + ³³ α i u ⋅ ndS − ¨ α i + α i ( ¸ 2 ³³ ∂V ρi ci ∂t © ¹ ∂V
&RQVHUYDWLYH 7HUP WUHDWHG LQWKH+//&VROYHU
1RQFRQVHUYDWLYH 7HUP WUHDWHGDVDVRXUFHWHUP
:HFDQGLVFUHWL]HLWDV
α
n +1 i
n º ∆t ª n § ρ c 2 − ρi ci2 · * » α = α − ¦ «α i ¨1 + − ⋅ v j*S j ¸ i 2 ρi ci »¼ j =1 V « ¹ ¬ © N
n i
ZKHUH α in +1 LVWKHYROXPHIUDFWLRQDWWKHWLPHVWHSQ
α in LVWKHYROXPHIUDFWLRQDWWKHWLPHVWHSQ 9LVWKHFRQWUROYROXPH S j LVWKHVXUIDFH MLVWKHIDFHQXPEHURIWKHFRQWUROYROXPH ∆t LVWKHWLPHVWHSVL]H α i* LVWKHYROXPHIUDFWLRQRIWKHDSSUR[LPDWHGVROXWLRQIRUWKH5LHPDQQ3UREOHPDWWKHLQWHUIDFH
v*j LV WKH QRUPDO YHORFLW\ RI WKH VROXWLRQ DW WKH VXUIDFH IRU WKH 5LHPDQQ 3UREOHP ZKLFK LV FDOFXODWHGDV S j LVWKHVXUIDFHDUHDRIWKHMIDFH
9DOLGDWLRQ7HVWV ,Q WKLV FKDSWHU GLIIHUHQW WHVWV XVLQJ WKH ILYHHTXDWLRQV DQG WKH +//& VROYHU SUHVHQWHG LQ WKH SUHYLRXV FKDSWHU DUH FDUULHG RXW :H DUH LQWHUHVWHG KHUH LQ WHVWFDVHV DERXW WZRIOXLG FRPSUHVVLEOH IORZV $Q DQDO\WLFDO VROXWLRQ LV RIIHUHG E\ WKH H[DFW VROYHU RI WKH 5LHPDQQ 3UREOHP Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 ,YLQJV 0- &DXVRQ '0 7RUR () LPSOHPHQWHG E\ 0 $OEHUWR %HFFDQWLQL LQ &($ '(1 '066)0( 7KH REMHFW LV WR FRPSDUH WKH UHODWLYHO\ VLPSOH WHVWV UHVXOWV RI WKH GLIIHUHQW DSSURDFKHVQDPHO\´VKRFNWXEHµZLWKWKHVHH[DFW5LHPDQQ3UREOHPVROXWLRQV 7KH ´VKRFN WXEHµ LV D RQHGLPHQVLRQDO WHVWFDVH :H FRQVLGHU D WXEH ZLWK DQ DUELWUDU\ OHQJWK LQLWLDOO\ ILOOHG ZLWK WZR IOXLGV VHSDUDWHG E\ D PHPEUDQH :H VXSSRVH WKDW WKH PHPEUDQH EUHDNV DQGZHREVHUYHWKHHYROXWLRQ7KHLQWHUIDFHEHWZHHQERWKIOXLGVPRYHV7KHWKHUPRG\QDPLFDODQG NLQHPDWLFDOTXDQWLWLHVFKDQJH +HUHZHSULQFLSDOO\WHVWHGWKHPRGHOVGHVFULEHGLQWKHSDUW ¾ &RQVHUYDWLYHVFKHPHVZLWKIUR]HQPL[WXUHVRXQGVSHHGFDOOHG´6*3µ ¾ 4XDVLFRQVHUYDWLYHVFKHPHZLWKIUR]HQPL[WXUHVRXQGVSHHGQDPHG´6*03B0RGHOµ ¾ 4XDVLFRQVHUYDWLYH VFKHPH ZLWK :RRG·V IRUPXOD VRXQG VSHHG LQ ZKLFK DQ DGGLWLRQDO QRQ FRQVHUYDWLYH WHUP IRU WKH ´7RSRORJ\ 7UDQVSRUW (TXDWLRQµ LV LQWURGXFHG WR FRUUHFW WKH PL[WXUHVRXQGVSHHGQDPHG´6*03B0RGHOµ 7HVW$VLPSOHWHVWZLWKDUDUHIDFWLRQZDYHDFRQWDFWGLVFRQWLQXLW\DQGDVKRFN 7KLV LV D UHODWLYHO\ VLPSOH WHVW ,W LV SURSRVHG E\ 5RX\ DQG +HOOX\ 7KH VKRFN WXEH LV PHWHUVORQJ,WLVFRPSRVHGE\HOHPHQWV 7KHUHVXOWLVREWDLQHGIRU&)/ DWWLPHW PV ρa = 1 kg/m3 γa = 1.4
Pa = 1.2 bar Pa = 0 bar
ρb = 2 kg/m3 γb = 1.4
Pb = 1 bar
Pb = 0 bar
2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 1kg / m3
,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 1.2bar 6RXQG6SHHG Ca = 410.3m / s 2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 2kg / m3 ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar 6RXQG6SHHG Cb = 263.8m / s $OOWKHWHVWVIRUWKLV5LHPDQQ3UREOHPDUHVROYHGZLWKILUVWRUGHUDFFXUDWHVFKHPHV
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ρa = 10 kg/m3 γa = 1.4
Pa = 1 bar Pa = 0 bar
ρb = 1 kg/m3 γb = 1.1
Pb = 1 bar Pb = 0 bar
2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 10kg / m3
,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 1bar 6RXQG6SHHG Ca = 119.7 m / s 2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 1kg / m3 ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar 6RXQG6SHHG Cb = 331.7 m / s $OOWKHWHVWVIRUWKLV5LHPDQQ3UREOHPDUHVROYHGZLWKILUVWRUGHUDFFXUDWHVFKHPHV 7KH WZR IOXLGV KDYH LQLWLDOO\ WKH VDPH SUHVVXUH DQG YHORFLWLHV $QG WKH ERXQGDU\ DOORZV DOO WKH ZDYHVWROHDYHWKHVKRFNWXEH7KHH[SHFWHGVROXWLRQLVMXVWWKDWWKHWZRIOXLGVPRYHRQDXQLIRUP YHORFLW\LQWKHVKRFNWXEH
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)LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S
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γ i RI HDFKIOXLGWRHOLPLQDWHWKHSUHVVXUHRVFLOODWLRQDWWKHFRQWDFWGLVFRQWLQXLW\RULJLQDOO\SURSRVHGE\ 6DXUHO DQG $EJUDOO /DWHO\ WKH\ VKRZHG WKDW WKH ´7RSRORJ\ 7UDQVSRUW (TXDWLRQµ LV HTXLYDOHQW WR WKH ´ γ i WUDQVSRUW HTXDWLRQµ 7KH UHVXOWV SUHVHQWHG KHUH DUH TXLWH FORVH WR WKRVH REWDLQHGLQWKHRULJLQDODUWLFOH ρa = 10 kg/m3 γa = 1.4
Pa = 1.1 bar Pa = 0 bar
ρb = 1 kg/m3 γb = 1.1
Pb = 1 bar Pb = 0 bar
2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 10kg / m3
,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 1.1bar 6RXQG6SHHG Ca = 124.1m / s 2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 1kg / m3 ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar 6RXQG6SHHG Cb = 331.7 m / s 7KH WZR IOXLGV KDYH WKH VDPH LQLWLDO YHORFLW\ RI PV $V WKH SUHYLRXV WHVW WKH ERXQGDU\ FRQGLWLRQDWWKHWZRVLGHVRIWKHWXEHDOORZVDOOWKHZDYHVWRSDVVWKURXJKWKHERXQGDULHVVRWKDW QRZDYHUHIOHFWLRQZLOOFUHDWHQHZSHUWXUEDWLRQVLQWKHVKRFNWXEH7KHUHVXOWVDUHREWDLQHGDWW PVIRU&)/
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86
)LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV
)LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S
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|KQHU ,W LV FKRVHQ EHFDXVH RI D VWURQJ VKRFN EHWZHHQWKHOLTXLGDQGJDVSUHVVXUHUDWLRDERXW ,WLVFDUULHGRXWLQ'IRUDPORQJ VKRFNWXEHFRPSRVHGE\HOHPHQWV7KHWXEHLVILOOHGZLWKDKLJKSUHVVXUHJDVRQWKHOHIWVLGH DQGDORZSUHVVXUHOLTXLGRQWKHULJKW ρa = 1,271 kg/m3 γa = 1,4
Pa = 9,12e4 bar Pa = 0 bar
ρb = 0,99 kg/m3 γb = 7,0
Pb= 10 bar Pb = 3e4 bar
2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 1.271kg / m3
,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 9.119252 × 109 Pa 6RXQG6SHHG Ca = 9.978 × 104 m / s 2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 0.9999kg / m3 ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1.01325 ×106 Pa 6RXQG6SHHG Cb = 1.45 × 105 m / s 7KHGHQVLWLHVRIWKHJDVDQGWKHIOXLGDUHTXLWHFORVHGWRHDFKRWKHU%HFDXVHRIWKHKLJKSUHVVXUH UDWLREHWZHHQWKHJDVDQGWKHIOXLGDYHU\LPSRUWDQWVKRFNLVFUHDWHGWRWKHULJKW7KHUHVXOWV SUHVHQWHGKHUHDUHDWW PVIRU&)/
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86
)LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV
)LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 $OO RI WKH UHVXOWV RI WKH WHVW PDWFK SUHWW\ ZHOO WKH DQDO\WLF VROXWLRQ DOWKRXJK WKH VW RUGHU VFKHPHV DUH D OLWWOH GLIIXVLYH $ UDUHIDFWLRQ ZDYH OHIW D FRQWDFW GLVFRQWLQXLW\ PLGGOH DQG D VWURQJVKRFNULJKW DUHFDSWXUHG$OORIWKHPRGHOVJLYHWKHVDWLVIDFWRU\UHVXOWVLQWKLVWHVW
7HVW $VKRFNLQDWZRJDVHVVKRFNWXEH 7KLVWHVWLVDELWPRUHGLIILFXOWFRPSDUHGWRWKHSUHYLRXVRQHV$QPORQJWXEHLVFRPSRVHGE\ HOHPHQWV,WLVILOOHGZLWKWZRGLIIHUHQWIOXLGV2QO\WKHIOXLGRQWKHULJKWLVJLYHQDQLQLWLDO YHORFLW\DWPV7KHERXQGDU\FRQGLWLRQLVDOVRXVHGDWWKHWZRVLGHVRIWKHWXEHVRWKDWDOOWKH ZDYHV FDQ SDVV WKURXJK WKH ERXQGDULHV DQG GRQ·W FUHDWH QHZ SHUWXUEDWLRQV LQ WKH WXEH $OO WKH FRPSXWDWLRQV DUH FDUULHG RXW ZLWK WKH ILUVW RUGHU VFKHPHV 7KH UHVXOWV DUH REWDLQHG DW W PV ZKHQ&)/
ρa = 0.192 kg/m3 Pa = 10 bar γa = 1.667 Pa = 0 bar
ρb = 1.156 kg/m3 Pb = 1 bar γb = 1.4 Pb = 0 bar
2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 10kg / m3
,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 10bar 6RXQG6SHHG Ca = 2949.6m / s ,QLWLDO9HORFLW\ VL = 0m / s 2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 1.156kg / m3 ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar 6RXQG6SHHG Cb = 328.5m / s ,QLWLDO9HORFLW\ VR = 10m / s
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86
)LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV
)LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV
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ρa = 10 kg/m3 γa = 1.4
Pa = 100 bar Pa = 0
ρb = 1000 kg/m3 Pb = 1 bar γb = 5.5 Pb = 4900 bar
2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 10kg / m3
,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 100bar 6RXQG6SHHG Ca = 1185.7 m / s 2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 1000kg / m3 ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar 6RXQG6SHHG Cb = 1639.5m / s 7KHUHVXOWVDUHSUHVHQWHGDWW PVIRU&)/ IRUILUVWRUGHUVFKHPHV
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86
)LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV
)LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV
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ρb = 10 kg/m3 Pb = 1 bar γb = 1.4 Pb = 0
x(m) 0
0.7
2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 1000 kg / m3
1
,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 10.000 bars 6RXQG6SHHG Ca = 2713.2 m / s 2QWKHOHIWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHJDVFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 10 kg / m3 ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1 bar 6RXQG6SHHG Cb = 108.2 m / s
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86
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)LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV
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§ · S L − u nL ρ L ¨ ¸ ¨ S − u ( ρ u )n + ( p* − p ) ¸ L ni L L ¨ ¸ t 1 ¨ ¸ S L − unL ( ρ v ) L ¨ ¸ t2 ¨ ¸ S L − u nL ( ρ w ) L ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ S L − un ( ρ E ) − pL un + p * S M ¸ L L L © ¹ § · S R − u nR ρ R § ρ R* · ¨ ¸ ¨ ¸ n* ¨ S − u ( ρ u )n + ( p* − p ) ¸ R nR R ¨ ( ρu )R ¸ R ¨ ¸ ¨ ¸ 1 t1 * t1 * ¨ ¸ U R = ¨ ( ρ v )R ¸ = S R − u nR ( ρ v ) R ¨ ¸ S R − SM ¨ t2 * ¸ t2 ¨ ¸ S R − unR ( ρ w ) R ¨ ( ρ w)R ¸ ¨ ¸ ¨ ρE * ¸ ¨ ¸ * ( ) © ¨ S R − un ( ρ E ) − pR un + p S M ¸ R ¹ R R R © ¹ § ρi* · ¨ ¸ n* ¨ ( ρu )L ¸ ¨ 1 t* ¸ U L* = ¨ ( ρ v ) L1 ¸ = SL − SM ¨ t2 * ¸ ρ w ¨ ( )L ¸ ¨ ρE * ¸ )L ¹ ©(
(
)
( ( )
(
) )
(
(
)
)
( (
(
) )
)
DQG
(
)(
)
)(
(
)
p* = ρ L unL − S L unL − S M + pL = ρ R unR − S R unRj − S M + pR & & & un = (v − vGrid ) ⋅ n LVWKHQRUPDOYHORFLW\DWWKHLQWHUIDFH
SM =
ρ R un ( S R − u n ) − ρ L un R
R
ρ R ( S R − un
R
(S − u ) + p ) − ρ (S − u ) L
Li
L
& vGrid LVWKHYHORFLW\RIWKHJULG
nL
L
L
− pR
nL
6LJQDOYHORFLWLHV S L S R DUHGHILQHGDV
& & & S L = min ªunL − cL , (vˆ − vGrid ) ⋅ n − cˆ º ¬ ¼ & & & S R = max ªunR + cR , (vˆ − vGrid ) ⋅ n + cˆ º ¬ ¼
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86
&
ZLWK vˆ DQG cˆ EHLQJ5RH·VDYHUDJHYDULDEOHVIRUYHORFLW\DQGVSHHGRIVRXQG
& vˆ =
ρ L uLn + ρ R uRn ρ L cL + ρ R cR cˆ = ρL + ρR ρL + ρR
8VLQJ WKH PHWKRG LQ WKH VHQVH RI ´8SZLQGµ IRU WKH QXPHULFDO PDVV IOX[ RI WKH PL[WXUH WKH QXPHULFDOIOX[IRUWKHPDVVFRQVHUYDWLRQRIHDFKSKDVH DQGWKHWRSRORJ\WUDQVSRUWHTXDWLRQ RU LVFDOFXODWHGLQWKHIROORZLQJZD\
°( ρ uYi ) = ( ρ u ) HLLC (Yi ) HLLC L LI ( ρ u ) > 0 ® α α = ( ) ( ) °¯ i i L
°( ρ uYi ) = ( ρ u ) HLLC (Yi ) HLLC R LI ( ρ u ) < 0 ® ( α i ) = (α i ) R °¯ ZKHUH ( ρ u )
HLLC
LV WKH PDVV IOX[ FDOFXODWHG E\ WKH FODVVLF +//& VROYHU H[SODLQHG DERYH ZKLFK
GHSHQGVRQWKHVWDWHRIVLJQDOYHORFLWLHV S L S R DQG S M
$SSHQGL[
6281'63(('
+HUHZHVKRUWO\SUHVHQWKRZZHFDQJHWWKHVRXQGVSHHGIRUWKHSXUH´VWLIIHQHGJDVµDQGIRUWKH ´VWLIIHQHGJDVµPL[WXUHLQWKHTXDVLFRQVHUYDWLYHPRGHODQGPRGHO D 6RXQGVSHHGIRUWKHSXUH´VWLIIHQHGJDVµ 7KHVWDUWLQJSRLQWRIFDOFXODWLRQLVWKHHQHUJ\FRQVHUYDWLRQHTXDWLRQ ,QRQHGLPHQVLRQDOFDVH LWFDQEHZULWWHQDV
∂ρ e ∂ ( ρ e + p ) u + =0 ∂t ∂x
∂ρ e ∂ ( ρ eu ) ∂u + +p = 0 ∂t ∂x ∂x
([WHQGLWLQWRWKHIRUP
$V
ρ e ( P, v ) =
P + γ P∞ + ρq γ −1
7KXVZHKDYH
∂ ( ρu ) 1 ∂p ∂ρ 1 ∂ ( pu ) 1 ∂ ( γ P∞ u ) ∂u +q + +q + +p = 0 ∂t γ − 1 ∂x ∂x ∂x γ − 1 ∂t γ − 1 ∂x
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 8VLQJWKHPDVVFRQVHUYDWLRQHTXDWLRQ WKHVHFRQGDQGWKHIRXUWKWHUPVYDQLVKWKXV
p + γ P∞ · ∂u 1 § ∂p ∂p · § = 0 ¨ +u ¸+¨ p+ ∂x ¹ © γ − 1 © ∂t γ − 1 ¹¸ ∂x
∂p ∂p ∂u + u + γ ( p + P∞ ) =0 ∂t ∂x ∂x
∂p ∂p ∂u + u + ρc2 = 0 ∂t ∂x ∂x
ZKLFKOHDGVWR
:HDOVRKDYH DV
7KHUHIRUHZHJHWWKHVRXQGVSHHGIRUVLQJOHSKDVH´VWLIIHQHGJDVµDV
ρ c 2 = γ ( P + P∞ )
E 6RXQGVSHHGIRU0RGHO 7RLQMHFWWKHHTXDWLRQ LQWRWKHPL[WXUHLQWHUQDOHQHUJ\ ZHJHW N
N
i =1
i =1
§ p + γ i P∞i · + ρi qi ¸ © γ i −1 ¹
ρ e = ¦ ρi ⋅ α i ⋅ ei = ¦ α i ¨
:HKDYH
§ N · ∂ ¨ ¦ ρi ⋅ α i ⋅ ei ¸ N N N ∂ ( ρe) ¹ = α ∂ ( ρi ei ) + ρ e ∂α i + q ∂α i ρi = © i =1 ¦ ¦ ¦ i ∂t i i i ∂t ∂t ∂t ∂t i =1 i =1 i =1 N N α ∂p N ∂α ∂α ρ =¦ i + ¦ ρi ei i + ¦ qi i i ∂t ∂t i =1 γ i − 1 ∂t i =1 i =1
$QG
§ N · ∂ ¨ ¦ ρi ⋅ α i ⋅ ei ¸ ∂ ( ρ eu ) ∂ ( ρe) ∂u ¹ + ρ e ∂u =u + ρe = u © i =1 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x N N N N α ∂p ∂ρ α ∂α ∂u = u¦ i + u ¦ qi i i + u ¦ ρi ei i + ¦ α i ρi ei ∂x ∂x i =1 ∂x i =1 γ i − 1 ∂x i =1 i =1
6R
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 & & N ∂α ∂α ρ ∂ρ e ∂ ( ρ eu ) ∂u N α i ∂p N + +p =¦ + ¦ ρi ei i + ¦ qi i i ∂t ∂x ∂x i =1 γ i − 1 ∂t i =1 ∂t ∂t i =1
& N N ∂ρ α ∂α ∂u ∂u +u ¦ + u ¦ qi i i + u ¦ ρi ei i + ¦ α i ρi ei +p ∂x ∂x i =1 ∂x ∂x i =1 γ i − 1 ∂x i =1 i =1 N
α i ∂p
N
∂α · ∂p · N § ∂α i =¦ + u +u i ¸ ¨ ¸ + ¦ ρi ei ¨ ∂x ¹ i =1 ∂x ¹ © ∂t i =1 γ i − 1 © ∂t N ∂α ρ · N ∂u § ∂α ρ + ¦ qi ¨ i i + u i i ¸ + ¦ (α i ρi ei + p ) =0 ∂x ¹ i =1 ∂x © ∂t i =1 N
α i § ∂p
7KHWKLUGWHUPYDQLVKHVEHFDXVHRIWKHPDVVFRQVHUYDWLRQRIHDFKSKDVH LWOHDGVWR N
¦γ i =1
α i § ∂p ¨ i − 1 © ∂t
+u
∂α ∂p · N § ∂α i +u i ¸ + ¦ ρi ei ¨ ∂x ¹ i =1 ∂x © ∂t
∂u · N ¸ + ¦ (α i ρi ei + p ) ∂x = 0 ¹ i =1
,QWKLVHTXDWLRQWKHVHFRQGWHUPFRUUHVSRQGVWRWKHOHIWVLGHRIWKH¶7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQ· DQG ,QWKHPRGHOWKH
∂α i ∂α + u i = 0 WKXV ∂t ∂x
α iγ i ( p + P∞i ) γ −1 ∂p ∂p ∂u + u + i =1 N i =0 αi ∂t ∂x ∂x ¦ i =1 γ i − 1 N
¦
N
¦γ i =1
α i § ∂p ¨ i − 1 © ∂t
+u
∂p · § N α i ( p + γ i P∞i ) + ¸ +¨¦ ∂x ¹ © i =1 γ i −1
· ∂u =0 p¸ ¹ ∂x
6LQFHWKHVRXQGVSHHGIRUDVLQJOHSKDVH ρi ci2 = γ i ( P + P∞i )
α i ρi ci2 ¦ γ − 1 ∂u ∂p ∂p + u + i =N1 i = 0 α i ∂x ∂t ∂x ¦ i =1 γ i − 1 N
&RPSDUHGWR ZHJHWWKHPL[WXUHVRXQGVSHHGIRUWKHPRGHODV DV
α i ρi ci2 ¦ γ −1 ρ c 2 = i =N1 i αi ¦ i =1 γ i − 1 N
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW 7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 F 6RXQGVSHHGIRU0RGHO 6WDUWLQJIURPWKHHTXDWLRQ ZHVXEVWLWXWHWKH¶7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQ· LQWRLWZH JHW
§ ρ c 2 − ρi ci2 · N ∂p · N ∂u + =0 e ρ ¸ + ¦ (α i ρi ei + p ) ¦ ¨ ¸ ¦ i i ¨αi 2 ∂x ¹ i =1 ∂x ρi ci i =1 γ i − 1 © ∂t © ¹ i =1 P + γ i P∞i 6XEVWLWXWLRQ ρi ei = + ρi qi LQWR ZHILQDOO\DUULYHDW γ i −1 N
N
¦γ i =1
α i § ∂p
α i § ∂p ¨ i − 1 © ∂t
+u
+u
α i ( p + γ i P∞i ) ρ c 2 − ρi ci2 · ∂u ∂p · N § α i 2 + + = 0 c ρ ¸ i i ¸ ¦¨ ∂x ¹ i =1 © γ i − 1 γ i −1 ρi ci2 ¹ ∂x
7KXV
§ αi α i ( p + γ i P∞i ) ρ c 2 − ρi ci2 · 2 ρ c + ¸ ¦¨ i i γ i −1 ρi ci2 ¹ ∂u ∂p ∂p i =1 © γ i − 1 +u + = 0 N αi ∂t ∂x ∂x ¦ i =1 γ i − 1 N
&RPSDUHGZLWK ZHKDYHWKHPL[WXUHVRXQGVSHHGDV
§ αi α i ( p + γ i P∞i ) ρ c 2 − ρi ci2 · 2 c ρ + ¨ ¸ ¦ i i γ i −1 ρi ci2 ¹ i =1 © γ i − 1 2 ρc = N N
¦γ i =1
αi i
−1
6XEVWLWXWHRI ρi ci2 = γ i ( P + P∞i ) LQWRLWDIWHUVRPHDOJHEUDPDQLSXODWLRQVILQDOO\ZHFDQJHW N § αi · 1 = ¨ ¦ 2 2 ¸ ρc i =1 © ρi ci ¹
DVWKHPL[WXUHVRXQGVSHHGDV
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