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Dec 15, 2010 - An important class of reduced models is formed b\ the five-equation ...... In fact, the Wallis formula is alread\ verified b\ the experiments and.
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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 

6RPPDLUH     %LEOLRJUDSK\.................................................................................................................................................................................9 

,QWURGXFWLRQ.................................................................................................................................................................11



6WLIIHQHGJDVHTXDWLRQRIVWDWH (26 ..............................................................................................................11



0RGHOVIRUFRPSUHVVLEOHWZRSKDVHIORZV.........................................................................................................12



6HYHQHTXDWLRQPRGHO ...............................................................................................................................................12



5HGXFHG0RGHO............................................................................................................................................................13



7KHSUHVVXUHPRGHO0L[WXUH6*(26 ...............................................................................................................13



4XDVL&RQVHUYDWLYH7UDQVSRUW0RGHO..............................................................................................................16



4XDVL&RQVHUYDWLYH7UDQVSRUW0RGHO..............................................................................................................16

 $V\PSWRWLFDQDO\VLV...................................................................................................................................................17  ([WHQVLRQWRPXOWLSKDVHIORZFDVH .......................................................................................................................21 

0RGLILHG0RGHOV .........................................................................................................................................................23

 6*03B0RGHO............................................................................................................................................................23  6*03B0RGHO............................................................................................................................................................23 

1XPHULFDO6FKHPH .....................................................................................................................................................24



9DOLGDWLRQ7HVWV .........................................................................................................................................................26



7HVW$VLPSOHWHVWZLWKDUDUHIDFWLRQZDYHDFRQWDFWGLVFRQWLQXLW\DQGDVKRFN .......................27



7HVW7UDQVSRUWRIWZRGLIIHUHQWJDVHVRQPHFKDQLFDOHTXLOLEULXP......................................................29



7HVW$VKRFNWXEHFRPSRVHGE\WZRGLIIHUHQWJDVHVZLWKDQLQLWLDOYHORFLW\.................................31



7HVW*DVZDWHUVKRFNWXEHSUREOHP .............................................................................................................33



7HVW $VKRFNLQDWZRJDVHVVKRFNWXEH ....................................................................................................35



7HVW6KRFNWXEHZLWKDVWURQJGHQVLW\JUDGLHQWEHWZHHQIOXLGJDV ..................................................37



7HVW:DWHUJDVVKRFNWXEHSUREOHP.............................................................................................................39



7HVW6RXQGVSHHGGXULQJQXPHULFDODGYHFWLRQRIDZDWHUDLULQWHUIDFH ..........................................41



7HVW:DYHSURSDJDWLRQLQDZDWHUJDVPL[WXUH ........................................................................................42

 7HVW:DWHUJDV5LFKWP\HU0HVKNRY,QVWDELOLW\....................................................................................45 

&RQFOXVLRQ......................................................................................................................................................................49

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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 

$SSHQGL[ .......................................................................................................................................................................50 $33(1',; $33(1',;

D E F

62/9(5686(')257+(&219(&7,9()/8; ................................................................................................50 6281'63((' ...............................................................................................................................................53 6RXQGVSHHGIRUWKHSXUH´VWLIIHQHGJDVµ .......................................................................................................53 6RXQGVSHHGIRU0RGHO ......................................................................................................................................54 6RXQGVSHHGIRU0RGHO ......................................................................................................................................56

 

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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

 /LVWHGHV)LJXUHV   )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV.................................................................28 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ...................................................................28 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ................................................................30 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV...................................................................30 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .................................................................32 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ...................................................................32 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ...........................................................34 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .............................................................34 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .................................................................36 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .................................................................36 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ................................................................38 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .................................................................38 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .........................................................40 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ...........................................................40 )LJXUH&RPSDULVRQRIHTXLOLEULXP UHG DQGIUR]HQ JUHHQ VSHHGRIVRXQGGXULQJQXPHULFDODGYHFWLRQRID ZDWHUDLULQWHUIDFH .................................................................................................................................................................41 )LJXUH6RXQGVSHHGRIDQDLUZDWHUPL[WXUHXQGHUDWPRVSKHULFFRQGLWLRQVIRUWKHHTXLOLEULXPDQGIUR]HQ VSHHGRIVRXQG .........................................................................................................................................................................42 )LJXUH3URSDJDWLRQRIDVPDOOSUHVVXUHSHUWXUEDWLRQLQWKHDLUZDWHUPL[WXUHLQWHUPVRIWKHDLUYROXPH IUDFWLRQIRUWKH6*030RGHO ...........................................................................................................................................43 )LJXUH3URSDJDWLRQRIDVPDOOSUHVVXUHSHUWXUEDWLRQLQWKHDLUZDWHUPL[WXUHLQWHUPVRIWKHDLUYROXPH IUDFWLRQIRUWKH6*030RGHO...........................................................................................................................................44 )LJXUH,QLWLDO&RQILJXUDWLRQRIWKHZDWHUJDV5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\ .................................................45 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV ............................................................46 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV ............................................................46 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV............................................................47 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV .............................................................47 )LJXUH/LTXLGYROXPHIUDFWLRQDWW PV (XURSOH[XV DQGPV 6DXUHOHWDO .............................48 

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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

%LEOLRJUDSK\  $EJUDOO 5   ¶+RZ WR SUHYHQW SUHVVXUH RVFLOODWLRQV LQ PXOWLFRPSRQHQW IORZ FDOFDXOWLRQV $ TXDVLFRQVHUYDWLYHDSSURDFK·-&RPS3K\VLFV  $EJUDOO 5  6DXUHO 5   ¶'LVFUHWH HTXDWLRQV IRU SK\VLFDO DQG QXPHULFDO FRPSUHVVLEOH PXOWLSKDVHPL[XWUHV·-&RPS3K\VLFV  $OODLUH * &OHUF 6  .RNK 6   ¶$ ILYHHTXDWLRQ PRGHO IRU WKH VLPXODWLRQ RI LQWHUIDFWV EHWZHHQFRPSUHVVLEOHIOXLGV·-&RPS3K\VLFV  %DHU 0 5  1XQ]LDWR - :   ¶$ WZRSKDVH PL[WXUH WKHRU\ IRU WKH GHIODJUDWLRQWR GHWRQDWLRQWUDQVLWLRQ ''7 LQUHDFWLYHJUDQXODUPDWHULDOV· ,QW-0XOWLSKDVH)ORZ9RO1R SS  %DUEHURQ 7 +HOOX\3  5RX\ 6   ¶ 3UDFWLFDO FRPSXWDWLRQ RI D[LV\PPHWULFDO PXOWLIOXLG IORZV·,QWHUQDWLRQDOMRXUQDORIILQLWHYROXPHV  %UHQQHQ & (   ¶)XQGDPHQWDOV RI 0XOWLSKDVH )ORZ· &DPEULGJH8QLYHUVLW\3UHVV,6%1   )ODWWHQ70RULQ$ 0XQNHMRUG67  ·:DYHSURSDJDWLRQLQPXOWLFRPSRQHQWIORZPRGHOV· 6,$0-RXUQDORQ$SSOLHG0DWKHPDWLFV$FFHSWHG  *DORQ 3   ¶0pWKRGH GH 9ROXPH )LQLV HQ $/( GDQV (8523/(;861RXYHOOHV 6WUXFWXUHV ,QIRUPDWLTXHV$VVRFLpHV&DVWHVWV·5DSSRUW&($'066(07'k ρ1c12 ¨ ¸ ¨ ¸  ¨ ¸ ¨ ¸ ρc2 α N ¦ k , j > k ( hkj (θ j − θ k )(T j − Tk ) ) ¸ ¨ θ N ¦ j ≠ N hNj (T j − TN ) + 2 ρ N cN © ¹ ZKHUH hij = ε H ij  H ij LV WKH KHDW WUDQVIHU FRHIILFLHQW FRQVLGHUHG DV D UHOD[DWLRQ FRHIILFLHQW DQG θi = 1 −

Γi p 1 § ∂ei · = ¨ ¸  ρi ci2 Ti © ∂si ¹ p

)RU UHDVRQV RI FODULW\ ZH FDQ UHZULWH WKH HYROXWLRQ HTXDWLRQ IRU WKH YROXPH IUDFWLRQ RI WKH FRPSRQHQWLDOVRFDOOHG´7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQµDV

& ∂α i & ∂α i ρi ci2 − ρ c 2 ∂u +u + αi ∂t ∂x ∂x ρi ci2

Γ = i2 ρi ci

§ · Γj Γk ρ c2 H ( T − T ) − h ( − )( T − T ) α ¨ ¦ j ≠i ij j i i ρ c 2 ¦ k , j >k ¨ kj ρ c 2 ρ c 2 j k ¸¸ i i k k j j © ¹

 

 

ZKHUH c LVWKHPL[WXUHVSHHGRIVRXQG +HUHLI1 HTXDWLRQ  OHDGVEDFNWRHTXDWLRQ  LQWKHWZRSKDVHIORZFDVH7KHQZHFDQ HDVLO\ H[WHQG LW WR WKH ' FDVH &RQVLGHULQJ WKDW WKHUH LV QR KHDW WUDQVIHU EHWZHHQ WKH WZR SKDVHVWKHVRFDOOHG´7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQµOHDGVWR Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 ∂α i & ρ c 2 − ρi ci2 & div ( u )  + u ∇α i = α i 2 ∂t ρi ci

 

  0RGLILHG0RGHOV   6*03B0RGHO  %HVLGHV WKH PDVV FRQVHUYDWLRQ RI HDFK SKDVH WKH PRPHQWXP DQG WKH HQHUJ\ FRQVHUYDWLRQ HTXDWLRQV DQG WKH WRSRORJ\ WUDQVSRUW HTXDWLRQ DV LQ 4XDVL&RQVHUYDWLYH 7UDQVSRUW 0RGHO  ZH DGGHGWKHPDVVFRQVHUYDWLRQHTXDWLRQIRUWKHPL[WXUHIORZ+HUHZHUHVXPHWKHQHZPXOWLSKDVH IORZPRGHODV

∂ρ &   + div ( ρ u ) = 0  ∂t & & ∂ρ u & &   + div ( ρ u ⊗ u ) + ∇p = 0  ∂t ∂ρ E &   + div ( ( ρ E + p ) u ) = 0  ∂t ∂α i ρi &   + div (α i ρi u ) = 0  ∂t ∂α i &   + u ∇α i = 0  ∂t & ZKHUH ρ = ¦ α i ρi LV WKH DYHUDJH GHQVLW\ RI WKH IORZ  6LPLODUO\ u  p  DQG E DUH WKH YHORFLW\ i

SUHVVXUHWRWDOVSHFLILFHQHUJ\RIWKHPL[WXUHIORZ7KHPL[WXUHVRXQGVSHHGLVVWLOOFDOFXODWHGDV WKH´)UR]HQ6RXQG6SHHGµ$OOWKHVHHTXDWLRQV    DUHVROYHGE\WKH+//&VROYHUGHWDLOHGLQ $SSHQGL[,WFRUUHVSRQGVWRWKHPRGHOLQ$OODLUH DOO    7KLVPXOWLSKDVHPRGHOLVLPSODQWHGDV0RGHORIWKH0DWHULDO1ƒ6*03LQ(8523/(;86   6*03B0RGHO  $V LQ WKH SUHYLRXV PRGHO ZH DGGHG WKH PDVV FRQVHUYDWLRQ HTXDWLRQ IRU WKH PL[WXUH IORZ EHVLGH WKH PDVV FRQVHUYDWLRQ HTXDWLRQ RI HDFK SKDVH WKH PRPHQWXP DQG HQHUJ\ FRQVHUYDWLRQ HTXDWLRQV IRUWKHPL[WXUHDQGWKHWRSRORJ\WUDQVSRUWHTXDWLRQDVLQ4XDVL&RQVHUYDWLYH7UDQVSRUW0RGHO )RUWKHPXOWLSKDVHIORZFDVHWKHPRGHOUHDGV

∂ρ & + div ( ρ u ) = 0  ∂t & & ∂ρ u & & + div ( ρ u ⊗ u ) + ∇p = 0  ∂t ∂ρ E & + div ( ( ρ E + p ) u ) = 0  ∂t

     

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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 ∂α i ρi & + div (α i ρi u ) = 0  ∂t ∂α i & ρ c 2 − ρi ci2 & div ( u )  + u ⋅ ∇α i = α i 2 ∂t ρi ci ZKHUH ρ =

¦α ρ i

i

   

&

LV WKH DYHUDJH GHQVLW\ RI WKH IORZ  6LPLODUO\ u  p  DQG E DUH WKH YHORFLW\

i

SUHVVXUH WRWDO VSHFLILF HQHUJ\ RI WKH PL[WXUH IORZ 7KH PL[WXUH VRXQG VSHHG LV VWLOO GHGXFHG DV   DQG   ZKLFK LV FDOOHG ´HTXLOLEULXP VRXQG VSHHGµ LQ 6DXUHO 3HWLWSDV  $EJUDOO   $OO WKHVHHTXDWLRQV    DUHVROYHGE\WKH+//&VROYHUGHWDLOHGLQ$SSHQGL[  7KLVPXOWLSKDVHPRGHOLVLPSODQWHGDV0RGHORIWKH0DWHULDO1ƒ6*03LQ(8523/(;86   1XPHULFDO6FKHPH  ,QRUGHUWRLPSODQWRXUPRGHOVLQ(8523/(;86ZHVOLJKWO\DGDSWHGWKHPLQWRWKHFODVVLFIRUP

∂U + div ( F (U ) ) = Q (U )  ∂t & ρu § ρ · § · ¨ ρ u* ¸ ¨ ρ u& ⊗ u& ¸ ¨ ¸ ¨ &¸ ZKHUH U = ¨ ρ E ¸  F (U ) = ¨ ( ρ E + p ) u ¸ DQG Q (u ) LVWKHQRQFRQVHUYDWLYHWHUP ¨ ¸ ¨ & ¸ ¨ ρiα i ¸ ¨ ρiα i u ¸ & ¨ α ¸ ¨ ¸ αiu © i ¹ © ¹

 



0 § · & ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ¨ ¸  ,QWKH6*03BPRGHO Q (u ) = 0 ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ¨ α ( ∇ ⋅ u& ) ¸ © i ¹ 0 § · & ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¸ ZKLOHLQWKH6*03B0RGHO Q (u ) = ¨ 0 ¨ ¸ ¨ ¸ 2 2 ¨ α §¨1 + ρ c − ρi ci ·¸ ( ∇ ⋅ u& ) ¸ ¨ i ¸ ρi ci2 ¹ © © ¹  :HILUVWVROYHWKHKRPRJHQRXVHTXDWLRQXVLQJ+//&VROYHUGHVFULEHGLQ$SSHQGL[7KHQWKHQRQ FRQVHUYDWLYH´WRSRORJ\WUDQVSRUWHTXDWLRQµLVVROYHGZLWKDVSHFLILFPHWKRG%\IROORZLQJ*KDQJLU

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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 1RZDNRZVNL 1LFROOHDX  0LFKHOLWVFK   IRU WKH TXDVLFRQVHUYDWLYH WUDQVSRUW PRGHO  WKH QRQFRQVHUYDWLYHWUDQVSRUWHTXDWLRQ

∂α i & + u ∇α i = 0   FDQEHUHZULWWHQDV ∂t

∂α i & & + ∇ ⋅ (α i u ) − α i ( ∇ ⋅ u ) = 0  ∂t :HLQWHJUDWHLWRYHUDFRQVLGHUHGFRQWUROYROXPH9

∂α i & & + ∇ ⋅ (α i u ) − α i ( ∇ ⋅ u ) = 0  V ∂t

³³³

 

 $WDJLYHQVWHS α i LVVXSSRVHGWREHFRQVWDQW%\XVLQJWKH2VWURJUDGVN\WKHRUHPZHKDYH

V

∂α i & & & & + ³³ α iu ⋅ ndS − α i ³³ ( u ⋅ n ) dS = 0  ∂V ∂V ∂t

&RQVHUYDWLYH 7HUP WUHDWHG LQWKH+//&VROYHU

 

1RQFRQVHUYDWLYH 7HUP WUHDWHGDVDVRXUFHWHUP



 )LQDOO\WKH´7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQµLVGLVFUHWL]HGLQWKHIROORZLQJZD\ N

∆t n α i − α i* ) ⋅ v j * S j  ( j =1 V

α in+1 = α in − ¦

 

 ZKHUH α in +1 LVWKHYROXPHIUDFWLRQDWWKHWLPHVWHSQ

α in LVWKHYROXPHIUDFWLRQDWWKHWLPHVWHSQ 9LVWKHFRQWUROYROXPH MLVWKHIDFHQXPEHURIWKHFRQWUROYROXPH S j LVWKHVXUIDFHDUHDRIWKHMIDFH

∆t LVWKHWLPHVWHSVL]H

α i* LVWKHYROXPHIUDFWLRQRIWKHDSSUR[LPDWHGVROXWLRQIRUWKH5LHPDQQ3UREOHPDWWKHLQWHUIDFH v*j LV WKH QRUPDO YHORFLW\ RI WKH VROXWLRQ DW WKH VXUIDFH IRU WKH 5LHPDQQ 3UREOHP ZKLFK LV FDOFXODWHGDVLQ-RKQVHQ &RORQLXV  

∗ n

(v )

­ uL ° ° u + S § S L − u L − 1· ¸ L¨ °° L © SL − SM ¹ =® ° u + S § S R − uR − 1· ¸ R¨ ° R © SR − SM ¹ ° °¯u R

if

SL > 0

if

SL ≤ 0 < SM

  

if

SM ≤ 0 < S R

if

SR < 0

  

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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 'HWDLOVDERXW S L  S M  S R DQGRWKHUSDUDPHWHUVFDQEHIRXQGLQ$SSHQGL[+//&VROYHU 6LVWKHVXUIDFHDUHDRIWKHLQWHUIDFH  6LPLODUO\ IRU WKH TXDVLFRQVHUYDWLYH WUDQVSRUW PRGHO  LI ZH DVVXPH WKDW WKH IORZ LV RQ WHPSHUDWXUHHTXLOLEULXPVRQRKHDWWUDQVIHURFFXUV7KHQRQFRQVHUYDWLYHWUDQVSRUWHTXDWLRQ   UHDGV

∂α i & ρ c 2 − ρi ci2 & div ( u ) ZHLQWHJUDWHLWRYHUDFRQVLGHUHGFRQWUROYROXPH9 + u ⋅ ∇α i = α i 2 ∂t ρi ci

§ ρ c 2 − ρi ci2 · ∂α i & & + ∇ − u α α ( ) ¸ (∇ ⋅ u ) = 0  i i ¨1 + 2 ³³³V ∂t ρi ci © ¹

 

$WDJLYHQVWHS α i LVVXSSRVHGWREHFRQVWDQW%\XVLQJWKH2VWURJUDGVN\WKHRUHPZHKDYH

V

§ & & ρ c 2 − ρi ci2 · & & ∂α i u ⋅ n ) dS = 0  + ³³ α i u ⋅ ndS − ¨ α i + α i ( ¸ 2 ³³ ∂V ρi ci ∂t © ¹ ∂V

&RQVHUYDWLYH 7HUP WUHDWHG LQWKH+//&VROYHU

  

1RQFRQVHUYDWLYH 7HUP WUHDWHGDVDVRXUFHWHUP



:HFDQGLVFUHWL]HLWDV

α

n +1 i

n º ∆t ª n § ρ c 2 − ρi ci2 · * » α = α − ¦ «α i ¨1 + − ⋅ v j*S j  ¸ i 2 ρi ci »¼ j =1 V « ¹ ¬ © N

n i

 

ZKHUH α in +1 LVWKHYROXPHIUDFWLRQDWWKHWLPHVWHSQ

α in LVWKHYROXPHIUDFWLRQDWWKHWLPHVWHSQ 9LVWKHFRQWUROYROXPH S j LVWKHVXUIDFH MLVWKHIDFHQXPEHURIWKHFRQWUROYROXPH ∆t LVWKHWLPHVWHSVL]H α i* LVWKHYROXPHIUDFWLRQRIWKHDSSUR[LPDWHGVROXWLRQIRUWKH5LHPDQQ3UREOHPDWWKHLQWHUIDFH

v*j LV WKH QRUPDO YHORFLW\ RI WKH VROXWLRQ DW WKH VXUIDFH IRU WKH 5LHPDQQ 3UREOHP ZKLFK LV FDOFXODWHGDV   S j LVWKHVXUIDFHDUHDRIWKHMIDFH 

 9DOLGDWLRQ7HVWV  ,Q WKLV FKDSWHU GLIIHUHQW WHVWV XVLQJ WKH ILYHHTXDWLRQV DQG WKH +//& VROYHU SUHVHQWHG LQ WKH SUHYLRXV FKDSWHU DUH FDUULHG RXW :H DUH LQWHUHVWHG KHUH LQ WHVWFDVHV DERXW WZRIOXLG FRPSUHVVLEOH IORZV $Q DQDO\WLFDO VROXWLRQ LV RIIHUHG E\ WKH H[DFW VROYHU RI WKH 5LHPDQQ 3UREOHP Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 ,YLQJV 0- &DXVRQ '0  7RUR ()   LPSOHPHQWHG E\ 0 $OEHUWR %HFFDQWLQL LQ &($ '(1 '066)0( 7KH REMHFW LV WR FRPSDUH WKH UHODWLYHO\ VLPSOH WHVWV UHVXOWV RI WKH GLIIHUHQW DSSURDFKHVQDPHO\´VKRFNWXEHµZLWKWKHVHH[DFW5LHPDQQ3UREOHPVROXWLRQV 7KH ´VKRFN WXEHµ LV D RQHGLPHQVLRQDO WHVWFDVH :H FRQVLGHU D WXEH ZLWK DQ DUELWUDU\ OHQJWK LQLWLDOO\ ILOOHG ZLWK WZR IOXLGV VHSDUDWHG E\ D PHPEUDQH :H VXSSRVH WKDW WKH PHPEUDQH EUHDNV DQGZHREVHUYHWKHHYROXWLRQ7KHLQWHUIDFHEHWZHHQERWKIOXLGVPRYHV7KHWKHUPRG\QDPLFDODQG NLQHPDWLFDOTXDQWLWLHVFKDQJH  +HUHZHSULQFLSDOO\WHVWHGWKHPRGHOVGHVFULEHGLQWKHSDUW  ¾ &RQVHUYDWLYHVFKHPHVZLWKIUR]HQPL[WXUHVRXQGVSHHGFDOOHG´6*3µ ¾ 4XDVLFRQVHUYDWLYHVFKHPHZLWKIUR]HQPL[WXUHVRXQGVSHHGQDPHG´6*03B0RGHOµ ¾ 4XDVLFRQVHUYDWLYH VFKHPH  ZLWK :RRG·V IRUPXOD VRXQG VSHHG LQ ZKLFK DQ DGGLWLRQDO QRQ FRQVHUYDWLYH WHUP IRU WKH ´7RSRORJ\ 7UDQVSRUW (TXDWLRQµ   LV LQWURGXFHG WR FRUUHFW WKH PL[WXUHVRXQGVSHHGQDPHG´6*03B0RGHOµ   7HVW$VLPSOHWHVWZLWKDUDUHIDFWLRQZDYHDFRQWDFWGLVFRQWLQXLW\DQGDVKRFN  7KLV LV D UHODWLYHO\ VLPSOH WHVW ,W LV SURSRVHG E\ 5RX\ DQG +HOOX\   7KH VKRFN WXEH LV  PHWHUVORQJ,WLVFRPSRVHGE\HOHPHQWV 7KHUHVXOWLVREWDLQHGIRU&)/ DWWLPHW  PV  ρa = 1 kg/m3 γa = 1.4

Pa = 1.2 bar P’a = 0 bar

ρb = 2 kg/m3 γb = 1.4

Pb = 1 bar

P’b = 0 bar

2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 1kg / m3 



,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 1.2bar  6RXQG6SHHG Ca = 410.3m / s   2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 2kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar  6RXQG6SHHG Cb = 263.8m / s   $OOWKHWHVWVIRUWKLV5LHPDQQ3UREOHPDUHVROYHGZLWKILUVWRUGHUDFFXUDWHVFKHPHV

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ρa = 10 kg/m3 γa = 1.4

Pa = 1 bar P’a = 0 bar

ρb = 1 kg/m3 γb = 1.1

Pb = 1 bar P’b = 0 bar

 2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 10kg / m3 



,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 1bar  6RXQG6SHHG Ca = 119.7 m / s   2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 1kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar  6RXQG6SHHG Cb = 331.7 m / s   $OOWKHWHVWVIRUWKLV5LHPDQQ3UREOHPDUHVROYHGZLWKILUVWRUGHUDFFXUDWHVFKHPHV  7KH WZR IOXLGV KDYH LQLWLDOO\ WKH VDPH SUHVVXUH DQG YHORFLWLHV $QG WKH ERXQGDU\ DOORZV DOO WKH ZDYHVWROHDYHWKHVKRFNWXEH7KHH[SHFWHGVROXWLRQLVMXVWWKDWWKHWZRIOXLGVPRYHRQDXQLIRUP YHORFLW\LQWKHVKRFNWXEH 

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γ i RI HDFKIOXLGWRHOLPLQDWHWKHSUHVVXUHRVFLOODWLRQDWWKHFRQWDFWGLVFRQWLQXLW\RULJLQDOO\SURSRVHGE\ 6DXUHO DQG $EJUDOO   /DWHO\ WKH\ VKRZHG WKDW WKH ´7RSRORJ\ 7UDQVSRUW (TXDWLRQµ LV HTXLYDOHQW WR WKH ´ γ i  WUDQVSRUW HTXDWLRQµ  7KH UHVXOWV SUHVHQWHG KHUH DUH TXLWH FORVH WR WKRVH REWDLQHGLQWKHRULJLQDODUWLFOH  ρa = 10 kg/m3 γa = 1.4

Pa = 1.1 bar P’a = 0 bar

ρb = 1 kg/m3 γb = 1.1

Pb = 1 bar P’b = 0 bar

 2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 10kg / m3 



,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 1.1bar  6RXQG6SHHG Ca = 124.1m / s   2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 1kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar  6RXQG6SHHG Cb = 331.7 m / s   7KH WZR IOXLGV KDYH WKH VDPH LQLWLDO YHORFLW\ RI  PV $V WKH SUHYLRXV WHVW WKH ERXQGDU\ FRQGLWLRQDWWKHWZRVLGHVRIWKHWXEHDOORZVDOOWKHZDYHVWRSDVVWKURXJKWKHERXQGDULHVVRWKDW QRZDYHUHIOHFWLRQZLOOFUHDWHQHZSHUWXUEDWLRQVLQWKHVKRFNWXEH7KHUHVXOWVDUHREWDLQHGDWW  PVIRU&)/ 

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 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV  Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

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|KQHU   ,W LV FKRVHQ EHFDXVH RI D VWURQJ VKRFN EHWZHHQWKHOLTXLGDQGJDV SUHVVXUHUDWLRDERXW ,WLVFDUULHGRXWLQ'IRUDPORQJ VKRFNWXEHFRPSRVHGE\HOHPHQWV7KHWXEHLVILOOHGZLWKDKLJKSUHVVXUHJDVRQWKHOHIWVLGH DQGDORZSUHVVXUHOLTXLGRQWKHULJKW  ρa = 1,271 kg/m3 γa = 1,4

Pa = 9,12e4 bar P’a = 0 bar

ρb = 0,99 kg/m3 γb = 7,0

Pb= 10 bar P’b = 3e4 bar

 2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 1.271kg / m3 



,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 9.119252 × 109 Pa  6RXQG6SHHG Ca = 9.978 × 104 m / s   2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 0.9999kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1.01325 ×106 Pa  6RXQG6SHHG Cb = 1.45 × 105 m / s   7KHGHQVLWLHVRIWKHJDVDQGWKHIOXLGDUHTXLWHFORVHGWRHDFKRWKHU%HFDXVHRIWKHKLJKSUHVVXUH UDWLREHWZHHQWKHJDVDQGWKHIOXLGDYHU\LPSRUWDQWVKRFNLVFUHDWHGWRWKHULJKW7KHUHVXOWV SUHVHQWHGKHUHDUHDWW PVIRU&)/  

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 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 $OO RI WKH UHVXOWV RI WKH WHVW PDWFK SUHWW\ ZHOO WKH DQDO\WLF VROXWLRQ DOWKRXJK WKH VW RUGHU VFKHPHV DUH D OLWWOH GLIIXVLYH $ UDUHIDFWLRQ ZDYH OHIW  D FRQWDFW GLVFRQWLQXLW\ PLGGOH  DQG D VWURQJVKRFN ULJKW DUHFDSWXUHG$OORIWKHPRGHOVJLYHWKHVDWLVIDFWRU\UHVXOWVLQWKLVWHVW

 7HVW $VKRFNLQDWZRJDVHVVKRFNWXEH  7KLVWHVWLVDELWPRUHGLIILFXOWFRPSDUHGWRWKHSUHYLRXVRQHV$QPORQJWXEHLVFRPSRVHGE\ HOHPHQWV,WLVILOOHGZLWKWZRGLIIHUHQWIOXLGV2QO\WKHIOXLGRQWKHULJKWLVJLYHQDQLQLWLDO YHORFLW\DWPV7KHERXQGDU\FRQGLWLRQLVDOVRXVHGDWWKHWZRVLGHVRIWKHWXEHVRWKDWDOOWKH ZDYHV FDQ SDVV WKURXJK WKH ERXQGDULHV DQG GRQ·W FUHDWH QHZ SHUWXUEDWLRQV LQ WKH WXEH $OO WKH FRPSXWDWLRQV DUH FDUULHG RXW ZLWK WKH ILUVW RUGHU VFKHPHV 7KH UHVXOWV DUH REWDLQHG DW W  PV ZKHQ&)/ 



ρa = 0.192 kg/m3 Pa = 10 bar γa = 1.667 P’a = 0 bar

ρb = 1.156 kg/m3 Pb = 1 bar γb = 1.4 P’b = 0 bar

   2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 10kg / m3 





,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 10bar  6RXQG6SHHG Ca = 2949.6m / s  ,QLWLDO9HORFLW\ VL = 0m / s   2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 1.156kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar  6RXQG6SHHG Cb = 328.5m / s  ,QLWLDO9HORFLW\ VR = 10m / s   

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 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV 

 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

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ρa = 10 kg/m3 γa = 1.4

Pa = 100 bar P’a = 0

ρb = 1000 kg/m3 Pb = 1 bar γb = 5.5 P’b = 4900 bar

 2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 10kg / m3 



,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 100bar  6RXQG6SHHG Ca = 1185.7 m / s   2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 1000kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar  6RXQG6SHHG Cb = 1639.5m / s   7KHUHVXOWVDUHSUHVHQWHGDWW PVIRU&)/ IRUILUVWRUGHUVFKHPHV 

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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

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—VIRU&)/   ρa = 1000 kg/m3 Pa = 10000 bar γa = 4.4 P’a = 6000 bar

ρb = 10 kg/m3 Pb = 1 bar γb = 1.4 P’b = 0

x(m) 0

0.7

 2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 1000 kg / m3 

1



,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 10.000 bars  6RXQG6SHHG Ca = 2713.2 m / s   2QWKHOHIWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHJDVFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 10 kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1 bar  6RXQG6SHHG Cb = 108.2 m / s   

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§ · S M ρ L* ¨ ¸ n* S M ( ρ u ) L + p* ¨ ¸ ¨ ¸ * t F (U L* ) = ¨ S M ( ρ v ) L1 ¸ ¨ ¸ t * S M ( ρ w ) L2 ¨ ¸ ¨ S ρ E * + p* S + v& ⋅ n& ¸ ( M Grid ) ¹ © M ( )L

   

   

   

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,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 § · S M ρ R*  ¨ ¸ n* * SM ( ρu )R + p ¨ ¸  ¨ ¸ t1 * * F (U R ) = ¨ SM ( ρ v )R ¸   ¨ ¸ t2 * SM ( ρ w)R  ¨ ¸ * ¨ S ρ E + p* S + v& ⋅ n& ¸ )R ( M Grid ) ¹ © M( 7KRVH n  t1  t2 DUHWKHQRUPDODQGWZRWDQJHQWYHFWRUVLQWKHORFDOLQWHUIDFHFRRUGLQDWH  7KHLQWHUPHGLDWHV´6WDUµVWDWHVDUHJLYHQE\ 

(

)

§ · S L − u nL ρ L ¨ ¸ ¨ S − u ( ρ u )n + ( p* − p ) ¸ L ni L L ¨ ¸ t 1 ¨ ¸ S L − unL ( ρ v ) L ¨ ¸ t2 ¨ ¸ S L − u nL ( ρ w ) L ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ S L − un ( ρ E ) − pL un + p * S M ¸ L L L © ¹ § · S R − u nR ρ R § ρ R* · ¨ ¸ ¨ ¸ n* ¨ S − u ( ρ u )n + ( p* − p ) ¸ R nR R ¨ ( ρu )R ¸ R ¨ ¸ ¨ ¸ 1 t1 * t1 * ¨ ¸ U R = ¨ ( ρ v )R ¸ = S R − u nR ( ρ v ) R ¨ ¸ S R − SM ¨ t2 * ¸ t2 ¨ ¸ S R − unR ( ρ w ) R ¨ ( ρ w)R ¸ ¨ ¸ ¨ ρE * ¸ ¨ ¸ * ( ) © ¨ S R − un ( ρ E ) − pR un + p S M ¸ R ¹ R R R © ¹ § ρi* · ¨ ¸ n* ¨ ( ρu )L ¸ ¨ 1 t* ¸ U L* = ¨ ( ρ v ) L1 ¸ = SL − SM ¨ t2 * ¸ ρ w ¨ ( )L ¸ ¨ ρE * ¸ )L ¹ ©(

(

)

( ( )

(

) )

(

(

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)

( (

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) )

   

   

)

DQG 

(

)(

)

)(

(

)

p* = ρ L unL − S L unL − S M + pL = ρ R unR − S R unRj − S M + pR  & & & un = (v − vGrid ) ⋅ n LVWKHQRUPDOYHORFLW\DWWKHLQWHUIDFH

SM =

ρ R un ( S R − u n ) − ρ L un R

R

ρ R ( S R − un

R

(S − u ) + p ) − ρ (S − u ) L

Li

L

& vGrid LVWKHYHORFLW\RIWKHJULG

nL

L

L

− pR



     

nL

 6LJQDOYHORFLWLHV S L  S R DUHGHILQHGDV

& & & S L = min ªunL − cL , (vˆ − vGrid ) ⋅ n − cˆ º  ¬ ¼ & & & S R = max ªunR + cR , (vˆ − vGrid ) ⋅ n + cˆ º  ¬ ¼

   

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&

ZLWK vˆ DQG cˆ EHLQJ5RH·VDYHUDJHYDULDEOHVIRUYHORFLW\DQGVSHHGRIVRXQG

& vˆ =

ρ L uLn + ρ R uRn ρ L cL + ρ R cR  cˆ =  ρL + ρR ρL + ρR

   

8VLQJ WKH PHWKRG LQ WKH VHQVH RI ´8SZLQGµ IRU WKH QXPHULFDO PDVV IOX[ RI WKH PL[WXUH WKH QXPHULFDOIOX[IRUWKHPDVVFRQVHUYDWLRQRIHDFKSKDVH  DQGWKHWRSRORJ\WUDQVSRUWHTXDWLRQ  RU  LVFDOFXODWHGLQWKHIROORZLQJZD\

­°( ρ uYi ) = ( ρ u ) HLLC (Yi ) HLLC L LI ( ρ u ) > 0 ® α α = ( ) ( ) °¯ i i L

  



­°( ρ uYi ) = ( ρ u ) HLLC (Yi ) HLLC R LI ( ρ u ) < 0 ® ( α i ) = (α i ) R °¯ ZKHUH ( ρ u )

HLLC

  

LV WKH PDVV IOX[ FDOFXODWHG E\ WKH FODVVLF +//& VROYHU H[SODLQHG DERYH ZKLFK

GHSHQGVRQWKHVWDWHRIVLJQDOYHORFLWLHV S L  S R DQG S M 

$SSHQGL[

6281'63(('

 +HUHZHVKRUWO\SUHVHQWKRZZHFDQJHWWKHVRXQGVSHHGIRUWKHSXUH´VWLIIHQHGJDVµDQGIRUWKH ´VWLIIHQHGJDVµPL[WXUHLQWKHTXDVLFRQVHUYDWLYHPRGHODQGPRGHO D 6RXQGVSHHGIRUWKHSXUH´VWLIIHQHGJDVµ  7KHVWDUWLQJSRLQWRIFDOFXODWLRQLVWKHHQHUJ\FRQVHUYDWLRQHTXDWLRQ  ,QRQHGLPHQVLRQDOFDVH LWFDQEHZULWWHQDV

∂ρ e ∂ ( ρ e + p ) u + =0 ∂t ∂x

 

∂ρ e ∂ ( ρ eu ) ∂u + +p = 0 ∂t ∂x ∂x

 

([WHQGLWLQWRWKHIRUP

$V  

ρ e ( P, v ) =

P + γ P∞ + ρq  γ −1

7KXVZHKDYH

∂ ( ρu ) 1 ∂p ∂ρ 1 ∂ ( pu ) 1 ∂ ( γ P∞ u ) ∂u +q + +q + +p = 0 ∂t γ − 1 ∂x ∂x ∂x γ − 1 ∂t γ − 1 ∂x

 

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p + γ P∞ · ∂u 1 § ∂p ∂p · § = 0 ¨ +u ¸+¨ p+ ∂x ¹ © γ − 1 © ∂t γ − 1 ¹¸ ∂x

 

∂p ∂p ∂u + u + γ ( p + P∞ ) =0 ∂t ∂x ∂x

 

∂p ∂p ∂u + u + ρc2 = 0 ∂t ∂x ∂x

 

ZKLFKOHDGVWR

:HDOVRKDYH  DV

7KHUHIRUHZHJHWWKHVRXQGVSHHGIRUVLQJOHSKDVH´VWLIIHQHGJDVµDV  

ρ c 2 = γ ( P + P∞ ) 

 

 E 6RXQGVSHHGIRU0RGHO  7RLQMHFWWKHHTXDWLRQ  LQWRWKHPL[WXUHLQWHUQDOHQHUJ\  ZHJHW N

N

i =1

i =1

§ p + γ i P∞i · + ρi qi ¸  © γ i −1 ¹

ρ e = ¦ ρi ⋅ α i ⋅ ei = ¦ α i ¨

 

:HKDYH

§ N · ∂ ¨ ¦ ρi ⋅ α i ⋅ ei ¸ N N N ∂ ( ρe) ¹ = α ∂ ( ρi ei ) + ρ e ∂α i + q ∂α i ρi = © i =1 ¦ ¦ ¦ i ∂t  i i i ∂t ∂t ∂t ∂t i =1 i =1 i =1 N N α ∂p N ∂α ∂α ρ =¦ i + ¦ ρi ei i + ¦ qi i i ∂t ∂t i =1 γ i − 1 ∂t i =1 i =1

  

$QG

§ N · ∂ ¨ ¦ ρi ⋅ α i ⋅ ei ¸ ∂ ( ρ eu ) ∂ ( ρe) ∂u ¹ + ρ e ∂u =u + ρe = u © i =1 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x  N N N N α ∂p ∂ρ α ∂α ∂u = u¦ i + u ¦ qi i i + u ¦ ρi ei i + ¦ α i ρi ei ∂x ∂x i =1 ∂x i =1 γ i − 1 ∂x i =1 i =1

  

 6R

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& N N ∂ρ α ∂α ∂u ∂u +u ¦ + u ¦ qi i i + u ¦ ρi ei i + ¦ α i ρi ei +p ∂x ∂x i =1 ∂x ∂x i =1 γ i − 1 ∂x i =1 i =1 N

α i ∂p



N

∂α · ∂p · N § ∂α i =¦ + u +u i ¸ ¨ ¸ + ¦ ρi ei ¨ ∂x ¹ i =1 ∂x ¹ © ∂t i =1 γ i − 1 © ∂t N ∂α ρ · N ∂u § ∂α ρ + ¦ qi ¨ i i + u i i ¸ + ¦ (α i ρi ei + p ) =0 ∂x ¹ i =1 ∂x © ∂t i =1 N



α i § ∂p

 

 

7KHWKLUGWHUPYDQLVKHVEHFDXVHRIWKHPDVVFRQVHUYDWLRQRIHDFKSKDVH  LWOHDGVWR N

¦γ i =1

α i § ∂p ¨ i − 1 © ∂t

+u

∂α ∂p · N § ∂α i +u i ¸ + ¦ ρi ei ¨ ∂x ¹ i =1 ∂x © ∂t

∂u · N ¸ + ¦ (α i ρi ei + p ) ∂x = 0  ¹ i =1

 

 ,QWKLVHTXDWLRQWKHVHFRQGWHUPFRUUHVSRQGVWRWKHOHIWVLGHRIWKH¶7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQ·  DQG   ,QWKHPRGHOWKH

∂α i ∂α + u i = 0 WKXV ∂t ∂x

α iγ i ( p + P∞i ) γ −1 ∂p ∂p ∂u + u + i =1 N i =0 αi ∂t ∂x ∂x ¦ i =1 γ i − 1 N

¦

  

 N

¦γ i =1

α i § ∂p ¨ i − 1 © ∂t

+u

∂p · § N α i ( p + γ i P∞i ) + ¸ +¨¦ ∂x ¹ © i =1 γ i −1

· ∂u =0 p¸ ¹ ∂x

 

6LQFHWKHVRXQGVSHHGIRUDVLQJOHSKDVH ρi ci2 = γ i ( P + P∞i ) 

α i ρi ci2 ¦ γ − 1 ∂u ∂p ∂p + u + i =N1 i = 0 α i ∂x ∂t ∂x ¦ i =1 γ i − 1 N

  

&RPSDUHGWR  ZHJHWWKHPL[WXUHVRXQGVSHHGIRUWKHPRGHODV  DV

α i ρi ci2 ¦ γ −1  ρ c 2 = i =N1 i αi ¦ i =1 γ i − 1 N

  



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§ ρ c 2 − ρi ci2 · N ∂p · N ∂u + =0 e ρ ¸ + ¦ (α i ρi ei + p ) ¦ ¨ ¸ ¦ i i ¨αi 2 ∂x ¹ i =1 ∂x ρi ci i =1 γ i − 1 © ∂t © ¹ i =1 P + γ i P∞i 6XEVWLWXWLRQ ρi ei = + ρi qi LQWR  ZHILQDOO\DUULYHDW γ i −1 N

N

¦γ i =1

α i § ∂p

α i § ∂p ¨ i − 1 © ∂t

+u

+u

α i ( p + γ i P∞i ) ρ c 2 − ρi ci2 · ∂u ∂p · N § α i 2 + + = 0 c ρ ¸ i i ¸ ¦¨ ∂x ¹ i =1 © γ i − 1 γ i −1 ρi ci2 ¹ ∂x

 

 

7KXV

§ αi α i ( p + γ i P∞i ) ρ c 2 − ρi ci2 · 2 ρ c + ¸ ¦¨ i i γ i −1 ρi ci2 ¹ ∂u ∂p ∂p i =1 © γ i − 1 +u + = 0 N αi ∂t ∂x ∂x ¦ i =1 γ i − 1 N

  

&RPSDUHGZLWK  ZHKDYHWKHPL[WXUHVRXQGVSHHGDV

§ αi α i ( p + γ i P∞i ) ρ c 2 − ρi ci2 · 2 c ρ + ¨ ¸ ¦ i i γ i −1 ρi ci2 ¹ i =1 © γ i − 1 2  ρc = N N

¦γ i =1

αi i

  

−1

6XEVWLWXWHRI ρi ci2 = γ i ( P + P∞i ) LQWRLWDIWHUVRPHDOJHEUDPDQLSXODWLRQVILQDOO\ZHFDQJHW  N § αi · 1 =  ¨ ¦ 2 2 ¸ ρc i =1 © ρi ci ¹

   

DVWKHPL[WXUHVRXQGVSHHGDV   

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