Statistika

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS

1

Penyusun : Dra. Yuli Winarsih ; Ismundari Puspitasari, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. STATISTIK DAN STATISTIKA Banyak persoalan dinyatakan dan dicatat dalam bentuk bilangan atau angkaangka. Kumpulan angka-angka itu sering disusun atau disajikan dalam bentuk daftar atau tabel. Sering daftar atau tabel tersebut disertai dengan gambar-gambar, dan disebut dengan statistik. Jadi kata statistik telah dipakai untuk menyatakan kumpulan data, bilangan maupun non bilangan yang disusun dalam tabel dan atau diagram, yang menggambarkan suatu persoalan. Dari hasil pengamatan atau penelitian, dalam laporannya sering diperlukan suatu uraian, penjelasan atau kesimpulan tentang persoalan yang diamati atau diteliti. Sebelum membuat kesimpulan, keterangan atau data yang terkumpul terlebih dahulu dipelajari, diolah atau dianalisis, dan berdasarkan pengolahan data inilah baru dibuat kesimpulan. Mulai dari pengumpulan data, pengolahan data dan pengambilan kesimpulan haruslah mengikuti cara-cara yang benar dan dapat dipertanggungjawabkan. Ini semua merupakan pengetahuan tersendiri yang dinamakan dengan statistika. Jadi statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisisannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan. POPULASI DAN SAMPEL Totalitas semua nilai yang mungkin, hasil menghitung ataupun mengukur, kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifat- sifatnya disebut populasi. Sebagian yang diambil dari populasi disebut sampel. Jika kita ingin mempelajari sifat-sifat nilai matematika dari siswa SMK Bina Bangsa, maka nilai matematika semua siswa SMK Bina Bangsa merupakan populasi. Jika jumlah seluruh siswa SMK Bina Bangsa sebanyak1000 siswa, untuk mempelajari sifat-sifat nilai matematikanya tentu memerlukan waktu yang lama, dana yang tidak sedikit, tenaga yang tidak sedikit dan lain sebagainya. Untuk tetap dapat mempelajari sifat nilai matematika dari 1000 siswa tersebut dengan keterbatasan-keterbatasan yang telah disebutkan di muka, maka dilakukan dengan mengambil sebagian nilai dari 1000 siswa tersebut, yang dinamakan sampel. Pengambilan sampel ini haruslah yang representatif, dalam arti segala karakteristik populasi hendaknya tercerminkan pula dalam sampel yang diambil. MACAM-MACAM DATA Keterangan mengenai sesuatu hal disebut data atau data statistik. Data yang berbentuk kategori disebut data kualitatif sedangkan data yang berbentuk bilangan disebut data kuantitatif. Contoh data kualitatif adalah: baik, buruk, berhasil, gagal, senang, rusak, puas, dan sebagainya. Pada data kuantitatif, dari nilainya dikenal 2 golongan, yaitu data diskrit dan data kontinu. Data diskrit adalah data yang didapatkan dengan cara menghitung atau membilang, sedangkan data kontinu didapatkan dengan cara mengukur.

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan


2

Contoh data diskrit adalah sebagai berikut: 1. Sebuah keluarga mempunyai anak 3 laki-laki dan 2 perempuan. 2. Di Kecamatan Gamping terdapat 5 SMP Negeri dan 1 SMA Negeri. 3. Di kelas I-A SMK Patriot terdapat 25 siswa laki-laki dan 15 siswa perempuan. Contoh data kontinu adalah sebagai berikut: 1. Tinggi badan 5 orang siswa adalah: 160 cm, 163 cm, 159 cm, 170 cm, dan 167 cm. 2. Berat badan 3 orang siswa adalah: 45 kg, 50 kg, dan 53 kg. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL Untuk keperluan laporan atau analisis yang lain, data yang dikumpulkan, baik data dari populasi ataupun sampel, perlu diatur, disusun, disajikan dalam bentuk yang jelas dan baik. Ada 2 macam penyajian data yang sering dipakai, yaitu tabel atau daftar dan grafik atau diagram. 1) Tabel baris-kolom Hasil Ujian Nasional SMK “ A “ Tahun 2009 BANYAK SISWA

JURUSAN Listrik Elektronika Bangunan Gedung Mesin Otomotif Jumlah

LULUS

TIDAK LULUS

50 48 49 50 47 244

0 2 1 0 3 6

JUMLAH 50 50 50 50 50 250

2) Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Matematika Siswa Kelas XIIA SMK PUTRA MANDIRI Nilai Matematika

BANYAKNYA SISWA(f)

41 - 50 51-60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 - 100 JUMLAH

3 5 18 9 2 1 38

PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM 1) Diagram batang Banyak Siswa 5 SMK di Kota Baru 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200

1562 1019 818

743

432 SMK A

SMK B

SMK C

SMK D

SMK E

Berapa banyak siswa SMK D? Berapa banyak seluruh siswa SMK di kota Baru?



3

2) Diagram Garis Penggunaan Mesin Jahit di perusahaan konveksi Tahun 1971 s/d 1980 700 600 500 400 300 200 100

1971 1972

1973 1974

1975 1976 1977

1978

1979 1980

Pada tahun berapa terjadi kenaikan paling tinggi dalam penggunaan mesin jahit? 3)Diagram Lingkaran Keperluan dana masing-masing pos suatu instansi Pos E 10%

Pos F 8%

Pos A 28%

Pos D 22%

Pos C 14%

Pos B 18%

Jika dana keseluruhan Rp 540.000.000,00 maka berapa rupiah keperluan dana untuk pos B? Menyusun tabel distribusi frekuensi berkelompok berdasarkan aturan Sturgess Perhatikan nilai matematika untuk 80 orang siswa berikut ini: 79 49 48 21 81 98 87 80 80 84 90 70 91 93 82 78 70 71 92 38 56 81 74 73 68 72 85 51 65 93 83 86 90 35 83 73 74 43 86 88 92 93 76 71 90 72 67 75 30 91 61 72 97 91 88 81 70 74 99 95 80 59 71 77 63 60 83 26 60 67 89 63 76 63 88 70 66 88 79 75 Untuk membuat daftar distribusi frekuensi dengan panjang kelas yang sama, kita lakukan sebagai berikut:



4

a. Tentukan jangkauan; j = Data maks – data min = 99 – 21 = 78. b. Tentukan banyak kelas; Menurut aturan Sturgess, banyak kelas k = 1 + (3,3) log n = 1 + (3,3)log 80 = 1 + (3,3)(1,9031) = 7,2802. ≈ 8 (selalu bilangan bulat hasil pembulatan ke atas) j 78 c. Tentukan panjang interval kelas ; i = = = 9,75 ≈ 10 k 8 nilai i selalu bilangan bulat hasil pembulatan ke atas. d. Pilih ujung bawah kelas interval pertama. Untuk ini bisa diambil sama dengan data terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya harus kurang dari panjang kelas yang telah ditentukan. Selanjutnya daftar diselesaikan dengan menggunakan harga-harga yang telah dihitung. e. Dengan i = 10 dan memulai dengan data terkecil, maka int er va l kelas pertama berbentuk 21–30, kelas kedua 31–40, kelas ketiga 41–50, dan seterusnya. f. Dengan menggunakan tabulasi dapat dibuat table distribusi frekuensi berdasarkan hasil diatas. Nilai Ujian Tabulasi Frekuensi 21 – 30 /// 3 // 31 – 40 2 /// 41 – 50 3 //// 51 – 60 5 //// //// //// 61 – 70 14 //// //// //// //// // 71 – 80 22 //// //// //// //// 81 – 90 19 //// //// // 91 – 100 12 Jumlah ( ∑ ) 80 Istilah-istilah dari tabel distribusi frekuensi berkelompok diatas adalah : *Batas atas (Ba) *Kelas (k) Kelas 61 – 70 batas atasnya 70 Ada 8 kelas yaitu : 21 – 30 ; 31 – 40; Kelas 91 – 100 batas atasnya ....... .........;..........;..........; .........;..........;.......... *Tepi bawah (Ltb) *Panjang interval kelas (i) i = ..... Kelas 81– 90 tepi bawahnya 80,5 Kelas 51– 60 tepi bawahnya ....... *Banyak data (n, ∑ f ) *Tepi atas (Lta) n = ∑ f = ...... Kelas 51– 60 tepi atasnya 60,5 *Batas bawah (Bb) Kelas 91– 100 tepi atasnya ....... Kelas 51 – 60 batas bawahnya 51 Kelas 71 – 80 batas bawahnya ....... Latihan 1

Buatlah tabel distribusi frekuensi kelompok data berikut : 27 34 54 57 3 33 27 21 4 10 35 20 39 28 33 43 40 37 18 36 12 14 29 30 9 24 53 19 20 7 26 22 50 25 1 25 56 46 19 47



5

4) Histogram dan polygon frekuensi Adalah diagram dari tabel distribusi frekuensi. Histogram dari tabel distribusi frekuensi diatas adalah : Frekuensi

30 25 20 15 10 5 0

20,5

30,5

40,5

50,5

60,5

70,5

80,5

90,5 100,5

Nilai

Tengah-tengah tiap sisi atas yang berdekatan kita hubungkan dan sisi terakhir dihubungkan dengan setengah jarak kelas interval pada sumbu datar. Bentuk yangdidapat dinamakan polygon frekuensi. Frekuensi

30 25 20 15 10 5 0

20,5

30,5

40,5

50,5

60,5

70,5

80,5

90,5 100,5

Nilai

5) Ogive Poligon frekuensi yang merupakan garis patah-patah dapat didekati oleh sebuah lengkungan halus yang bentuknya sesuai dengan bentuk polygon tersebut. Lengkungan yang didapat dinamakan kurva frekuensi atau biasa disebut dengan ogive. Frekuensi

30 25 20 15 10 5 0

20,5

30,5

40,5

50,5

60,5

70,5

80,5

90,5 100,5

Nilai

RATAAN / RATA-RATA HITUNG / MEAN Rataan dari sekumpulan data adalah jumlah seluruh data dibagi banyak data. a. Untuk data tunggal : x1 , x2 , x3 , x4 , …., xn rataannya dirumuskan : x + x2 + x3 + x 4 + ..... + x n ∑ xi x= 1 = n n

b. Untuk data dalam tabel distribusi frekuensi, rataannya dirumuskan : x =


∑ f .x ∑f

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS Contoh soal 1 Tentukan rataan dari data : a. 2, 6, 7, 5, 5, 4, 10, 8, 6, 9

Jawab:

b.

b.

Nilai 6 7 8 9

Banyak siswa(Frek) 2 3 4 1

c. Berat (kg) 1–5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

a. x =

∑ xi = 2 + 6 + 7 + 5 + 5 + 4 + 10 + 8 + 6 + 9 = 6,2 10

n

Nilai(x) 6 7 8 9 ∑

Frek(f) 2 3 4 1 10

f.x 12 21 32 9 74

x=

∑ f .x = 74 = 7,4 ∑ f 10

c.

Frek 3 4 2 1

6

Berat (kg) 1–5 6 – 10 11 – 15 16 – 20 ∑

Frek(f) 3 4 2 1 10

xi 3 8 13 18

f.x 9 32 26 18 85

x=

∑ f .x ∑f

85 10 = 8,5 =

Latihan 2

Tentukan rataan dari data berikut : 1. a. Nilai lima kali ulangan Niko sbb: 8, 10, 9, 8, 8 b. Data 10 penyumbang gempa Sumbar sbb : * 5 orang masing-masing Rp 400.000,00 * 2 orang masing-masing Rp 800.00,00 * sisanya masing-masing Rp 600.000,00 2. Nilai 5 6 7 8 9 10 Frek 3 2 6 4 3 2

Nilai Frekuensi

5 2

6 p

7 3

8 5

9 4

10 2

4. Nilai 86 – 88 89 – 91 92 – 94 95 – 97 98 – 100

Frek 5 8 10 15 2

3. Jika rataan dari data berikut adalah 7,55 maka tentukan nilai p

Menentukan rataan dengan menggunakan rataan sementara dan coding Untuk menghindari perkalian yang lumayan besar, maka ada cara cepat menentukan rataan yaitu menggunakan rataan sementara dan coding. Cara rataan sementara Cara Coding x − xo ∑ f .d ∑ f .c ; x = xo + x = xo + i ⋅ dimana c = i i ∑f ∑f

Keterangan : x o : rataan sementara d : simpangan ( d = xi − x o ) i : panjang interval kelas c : coding Kedua cara tersebut mengharuskan untuk menentukan rataan sementara dulu (biasanya dipilih yang mempunyai frekuensi paling banyak untuk menghindari perkalian yang lumayan besar).


www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS Contoh soal 2 Tentukan rataan data berikut : a. Nilai Banyak siswa(Frek) 6 2 7 3 8 4 9 1 (menggunakan rataan sementara) Jawab: a. Nilai(x) Frek(f) d = xi – x0 6 2 –1 7 3 0 8 4 1 9 1 2 ∑ 10 74 c.

Nilai

Frek

xi

b. Nilai Frek 86 – 88 5 89 – 91 8 92 – 94 10 95 – 97 15 98 – 100 2 (menggunakan rataan sementara dan coding) f.d –2 0 4 2 4

Dengan menggunakan rumus x =

Misal rataan sementara x0 = 7 ∑ f .d x = xo + ∑f 4 =7+ 10 = 7,4

d = xi – x0

86 – 88 5 87 –9 89 – 91 8 90 –6 92 – 94 10 93 –3 95 – 97 15 96 0 98 – 100 2 99 3 ∑ 40 Cara rataan sementara Misal xo = 96 (karena frek paling banyak) ∑ f .d x = xo + ∑f − 117 = 96 + 40 = 93,075 ≈ 93,08

Latihan 2 Latihan3

7

f.d

x − xo c= i i –3 –2 –1 0 1

f.c

–45 –15 –48 –16 –30 –10 0 0 6 2 –117 –39 Cara coding Misal xo = 96 (karena frek paling banyak) ∑ f .c x = xo + i ⋅ ∑f − 39 = 96 + 3 ⋅ 40 = 96 − 2,925 = 93,075 ≈ 93,08

∑ f .x ; rataan sementara; ∑f

dan coding, tentukan rataan dari data berikut !

Dari ketiga cara diatas, cara manakah yang paling mudah dalam menghitung tanpa kalkulator? Berat Frek 32 – 43 13 42 – 53 15 52 – 63 17 62 – 73 12 72 – 83 13 82 – 93 14 92 – 103 11



8

MODUS (Mo) Adalah data (nilai) yang sering muncul (frekuensinya paling banyak).Nilai Modus bisa lebih dari satu nilai (Multi modus) Cara menentukan Modus :

1. Data tunggal dan Tabel distribusi frekuensi tunggal Mo = nilai (data) yang sering muncul (frek. paling banyak) 2. Tabel distrubusi frekuensi kelompok (i) Tentukan kelas modus (ii) Rumus d1 Mo = Ltb + ⋅i d1 + d 2 Keterangan : Ltb : Tepi bawah kelas modus i : panjang interval kelas d1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya Contoh soal 3 Tentukan Modus dari data : Jawab: a. 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 a. Mo = 3 b. b. Mo = 8 Nilai Frek c. Kelas Modus : 26 – 30 6 5 d1 = 20 – 10 = 10 7 10 d 2 = 20 – 5 = 15 8 15 d1 9 4 Mo = Ltb + i d1 + d 2 c. Berat (kg) Frek 10 = 25,5 + ⋅5 11 – 15 10 10 + 15 16 – 20 15 = 25,5 + 2 21 – 25 10 = 27,5 26 – 30 20 31 – 35 5 Latihan 4

Tentukan Modus dari data berikut : 1. a. 11, 12, 12, 14, 15, 15, 15, 16, 20 b. 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10 c. 1 , 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8 d. 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 9, 9 2. . Berat (kg) 11 12 13 Frekuensi 1 6 4

3. a.

14 3

15 2

Panjang (cm) 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100

Frek 10 13 15 12 5

Tinggi (cm) 21 – 23 24 – 26 27 – 29 30 – 32

Frek 4 3 4 2

b.



9

MEDIAN (Me) Adalah nilai tengah dari data urut. Cara menentukan Modus :

1. Data tunggal (i) Data diurutkan

1 ( n + 1) 2 (iii)Jika Median terletak pada urutan antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian desimalnya, maka Median dirumuskan Me = xk + δ ( xk +1 − xk ) 2. Tabel distribusi frekuensi tunggal (i) tentukan frekuensi komulatif (ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal 3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok (i) tentukan frekuensi komulatif 1 (ii) Letak : kelas yang memuat data ke = n 2 (iii) Rumus 1 n − fk Me = Ltb + 2 ⋅i f Me (ii) Letak : data ke =

Keterangan : n : banyak data (= ∑ f ) i : panjang interval kelas : data ke k xk xk + 1 : data ke k + 1 Contoh soal 4 Tentukan Median dari data : a. a. 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9 b. 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 10 c. Nilai Frek 6 2 7 5 8 10 9 11 d. Berat (kg) Frek 61 – 70 6 71 – 80 16 81 – 90 10 91 – 100 8

Ltb : tepi bawah kelas Median fk : frekuensi komulatif sebelum kelas Median fMe : frekuensi kelas Median Jawab: 1 1 1 ⋅ (n + 1) = ⋅ (10 + 1) = 5 2 2 2 1 Me = Data ke 5 + (Data ke 6 – data ke 5) 2 1 = 4 + (5– 4) = 4,5 2 1 1 b. Letak : data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (11 + 1) = 6 2 2 Me = Data ke 6 = 5 c. 1 Nilai Frek fk Data ke- Letak : data ke = ⋅ ( n + 1) 2 6 2 2 1–2 1 1 = ⋅ (28 + 1) = 14 7 5 7 3–7 2 2 8 10 17 8 – 17 1 9 11 28 18 – 28 Me = data ke14+ (data ke15–data ke14) 2 ∑ 28 1 = 8 + (8– 8) = 8 2

a. Letak : data ke =



d. Berat (kg) 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 ∑

Frek 6 16 10 8 40

fk 6 22 32 40

Latihan 5

1 1 Data ke Data ke = ⋅ n = ⋅ 40 = 20 2 2 1 – 6 Kelas Me : 71 – 80 7 – 22 1 n − fk 23 – 32 2 ⋅i 33 – 40 Me = Ltb + f Me 1 ⋅ 20 − 6 = 70,5 + 2 ⋅ 10 16 4 = 70,5 + ⋅ 10 16

Tentukan Median dari data berikut : 1. a. 8, 5, 4, 3, 7, 10, 9, 7, 6, 8, 7 b. 7, 3, 1, 5, 8, 9, 10, 3, 4, 6, 5, 8, 1, 2, 6, 7, 9, 3, 2, 5, 11, 7 2. a. Nilai Frek 6 2 7 4 8 3 9 1 b.

10

= 70,5 + 2,5 = 73 3. a. Panjang (cm) 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 61 – 65

Frek 4 6 10 18 12

Tinggi (cm) 21 – 23 24 – 26 27 – 29 30 – 32

Frek 4 3 4 2

b. Nilai 6 7 8 9 10

Frek 4 6 3 5 2

KUARTIL (Q) Adalah nilai yang membagi data urut menjadi empat bagian yang sama. Ada tiga nilai kuartil yaitu kuartil bawah (Q1) , kuartil tengah (Q2 = Me), dan kuartil atas (Q3). Cara menentukan Kuartil :


3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok (i) tentukan frekuensi komulatif c (ii)Letak : kelas yang memuat (ii) Letak : data ke = (n + 1) dimana c = 1, 2, 3 4 c data ke = n (iii) Jika Kuartil ke c ( Qc ) terletak pada urutan 4 antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian c n − fk desimalnya, maka Qc dirumuskan 4 Q = Ltb + ⋅i (iii) Rumus : Qc = xk + δ ( xk +1 − xk ) c f Qc 2. Tabel distribusi frekuensi tunggal (i) tentukan frekuensi komulatif (ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal Keterangan : c = 1, 2, 3 Qc : Kuartil ke c n : banyak data (= ∑ f ) i : panjang interval kelas : data ke k xk

xk + 1 : data ke k + 1 Ltb : tepi bawah kelas Kuartil ke c fk : frekuensi komulatif sebelum kelas Kuartil ke c fQc : frekuensi kelas Kuartil ke c


www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS Contoh soal 5 Tentukan Q1 , Q2 , Q3 dari data berikut : a. 1, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 9, 9, 10 b. Nilai Frek 6 3 7 2 8 4 9 1 Jawab:

c. Berat (kg) 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100

a. Data tunggal:1,3,3,3,4,5,5,6,6,7,9,9,10 Kuartil bawah (Q1) 1 1 1 Letak :data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (13 + 1) = 3 4 4 2

1 Q3 = Datake10 + (Data ke11 – data ke10) 2 1 = 7 + (9–7) = 8 2

b Nilai Frek fk Data ke6 3 3 1–3 7 2 5 4–5 8 4 9 6–9 9 1 10 10 ∑ 10 Kuartil bawah (Q1) 3 1 1 Letak: data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (10 + 1) = 2 4 4 4 Q1 = Data ke 2 + =6+ =6

3 (6–6) 4

3 (Data ke 3 – data ke 2) 4

Frek 8 10 11 8 3

Kuartil tengah (Q2 = Me) 2 1 1 Letak: data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (10 + 1) = 5 4 2 2

Q2 = Data ke 5 +

1 Q1 = Data ke 3 + (Data ke 4 – data ke 3) 2 1 = 3 + (3– 3) = 3 2

Kuartil tengah (Q2 = Me) 2 1 Letak : data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (13 + 1) = 7 4 2 Q2 = Data ke 7 = 5 Kuartil Atas (Q3) 3 3 1 Letak:datake = ⋅ (n + 1) = ⋅ (13 + 1) = 10 4 4 2

11

=7+


1 (8–7) = 7,5 2

Kuartil Atas (Q3) 1 3 3 Letak: data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (10 + 1) = 8 4 4 4

Q3 = Data ke 8 + =8+


1 (8–8) = 8 4

c. Berat (kg) Frek fk 51 – 60 8 8 61 – 70 10 18 71 – 80 11 29 81 – 90 8 37 91 – 100 3 40 ∑ 40 Kuartil bawah (Q1) 1 1 Data ke = ⋅ n = ⋅ 40 = 10 4 4 Kelas Q1 : 61 – 70 1 n − fk Q1 = Ltb + 4 ⋅i f Q1 1 ⋅ 40 − 8 = 60,5 + 4 ⋅ 10 10 2 = 70,5 + ⋅ 10 10 = 72,5


Data ke1–8 9 – 18 19 – 29 30 – 37 38 – 40

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS Kuartil tengah (Q2=Me) 2 1 Data ke = ⋅ n = ⋅ 40 = 20 4 2 Kelas Q2 : 71 – 80 2 n − fk 4 Q2 = Ltb + ⋅i f Q2 2 ⋅ 40 − 18 = 70,5 + 4 ⋅ 10 11 2 = 70,5 + ⋅ 10 11 = 70,5 + 1,82 = 72,32 Latihan 6

Tentukan Q1 , Q2 , Q3 dari data berikut : 1. a. 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 9, 10 b. 6, 3, 3, 10, 9, 6, 7, 5, 4, 8, 8, 7, 6, 5, 6 c. 7, 8, 1, 5, 3, 9, 3, 10, 4, 6, 5, 8, 1, 2, 6, 7, 9, 3, 2, 5, 11, 7 2. a. Nilai Frek 6 5 7 4 8 6 9 3 10 2 b. Nilai 5 6 7 8 9 10

Frek 10 4 9 7 5 5

12

Kuartil atas (Q3) 3 3 Data ke = ⋅ n = ⋅ 40 = 30 4 4 Kelas Q2 : 81 – 90 3 n − fk 4 Q3 = Ltb + ⋅i f Q3 3 ⋅ 40 − 29 = 80,5 + 4 ⋅ 10 8 1 = 80,5 + ⋅ 10 8 = 80,5 + 1,25 = 81,75 3. Panjang (cm) 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 61 – 65

Frek 30 20 10 25 15

4. Nilai Ujian masuk Frek 51 – 60 12 61 – 70 18 71 – 80 25 81 – 90 15 91 – 100 10 Tabel diatas menunjukan nilai 80 peserta ujian masuk penerimaan karyawan baru PT. Panasonic,Tbk. a. Jika perusahaan hanya menerima 55 karyawan baru, tentukan berapa nilai minimal karyawan yang diterima! b. Jika yang memiliki nilai 85 ke atas di terima tentukan berapa orang karyawan yang diterima!

DESIL (D) Adalah nilai yang membagi data urut menjadi sepuluh bagian yang sama. Ada sembilan nilai desil yaitu D1, D2,D 3, ….., D9. Cara menentukan Desil hampir sama seperti cara menentukan kuartil, yaitu : 1. Data tunggal 2. Tabel distribusi frekuensi tunggal (i) Data diurutkan (i) tentukan frekuensi komulatif c (ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal (ii) Letak : data ke = (n + 1) dimana 10 3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok c = 1, 2, 3, 4, ..., 9 (i) tentukan frekuensi komulatif (iii) Jika Desil ke c ( Dc ) terletak pada urutan c (ii) Letak : kelas yang memuat data ke = n antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian 10 desimalnya, maka Dc dirumuskan c n − fk Dc = xk + δ ( xk +1 − xk ) Dc = Ltb + 10 i (iii) Rumus : f Dc


www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS Keterangan : c = 1, 2, 3, 4, ..., 9 Dc : Desil ke c n : banyak data (= ∑ f ) i : panjang interval kelas xk : data ke k

13

xk + 1 : data ke k + 1 Ltb : tepi bawah kelas Desil ke c fk : frekuensi komulatif sebelum kelas Desil ke c f Dc : frekuensi kelas Desil ke c

PERSENTIL (P) Adalah nilai yang membagi sekumpulan data urut menjadi 100 bagian yang sama. Ada 99 Persentil yaitu P1 , P2 ,P3 , P4 , P5 , ..., P99. Cara menentukan Persentil hampir sama seperti cara menentukan Kuartil yaitu :


2. Tabel distribusi frekuensi tunggal (i) tentukan frekuensi komulatif c (ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal (n + 1) (ii) Letak : data ke = 3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok 100 (i) tentukan frekuensi komulatif dimana c = 1, 2, 3, 4, 5,..., 99 c (iii) Jika Persentil ke c ( Pc ) terletak pada urutan n (ii) Letak : kelas yang memuat data ke = antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian 100 desimalnya, maka Pc dirumuskan c n − fk Pc = xk + δ ( xk +1 − xk ) 100 i Pc = Ltb + (iii) Rumus : f Pc

Keterangan : c = 1, 2, 3, 4, 5, ..., 99 : Persentil ke c Pc n : banyak data (= ∑ f ) i : panjang interval kelas xk : data ke k Contoh soal 6 Tentukan Desil ke 3 (D3) dan Persentil ke 90 (P90) dari data berikut : Nilai Frek 5 6 6 18 7 20 8 16 9 12 10 8 Jawab : Tabel distribusi frekuensi tunggal Nilai Frek fk Data ke5 6 6 1–6 6 18 24 7 – 24 7 20 44 25 – 44 8 16 60 45 – 60 9 12 72 61 – 72 10 8 80 73 – 80 ∑ 80

xk + 1 Ltb fk f Pc

: data ke k + 1 : tepi bawah kelas Persentil ke c : frekuensi komulatif sebelum kelas Persentil ke c : frekuensi kelas Persentil ke c

Desil ke 3 (D3) 3 3 3 ⋅ (n + 1) = ⋅ (80 + 1) = 24 10 10 10 3 (Data ke 25 – data ke 24) D3 = Data ke 24 + 10 3 (7–6) = 6,3 =6+ 10

Letak: datake =

Persentil ke 90 (P90) 90 9 9 ⋅ (n + 1) = ⋅ (80 + 1) = 72 Letak:datake = 100 10 10

P90= Data ke 72 + =9+


9 (10–9) = 9,9 10


www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS Latihan 7

1. Diketahui data : 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9 Tentukan : a. Desil ke 8 (D8) b.Persentil ke 25 (P25)

2. Tentukan Desil ke 6 (D6) dan Persentil ke 40 (P40) dari data berikut : Berat (kg) Frek 51 – 60 15 61 – 70 10 71 – 80 30 81 – 90 25 91 – 100 20

SIMPANGAN RATA-RATA (SR) Cara menentukan Simpangan rata-rata :

1. Data tunggal :

SR =

∑ xi − x n

2. Data dalam tabel distrubusi frekuensi : SR =

∑ f xi − x ∑f

Keterangan : : rata-rata / rataan / mean : harga mutlak dari xi − x ( nilai positif dari xi − x )

x

xi − x

∑f

xi − x

: jumlah dari f xi − x n= ∑f : banyak data Contoh soal 7 Tentukan simpangan dari data berikut : 2, 3, 3, 4, 7, 7, 9 Jawab : ∑ xi = 2 + 3 + 3 + 4 + 7 + 7 + 9 = 5 x= 7 n

SR =

=

∑ xi − x n 2−5 + 3−5 + 3−5 + 4−5 + 7−5 + 7−5 + 9−5

3 + 2 + 2 +1+ 2 + 2 + 4 = 7

7

= 2,285 ≈ 2,29 Latihan 8

Tentukan Simpangan Rata-rata dari data : 1. Nilai Frek 6 10 7 4 8 3 9 2 10 1

14

2. Berat (kg) 1–3 4–6 7 –9 10 – 12

Frek 4 2 4 2



15

RAGAM/VARIAN (R) DAN SIMPANGAN BAKU (S) Cara menentukan Ragam dan Simpangan baku :

∑ (xi − x ) 1. Data tunggal : R =

2

; S = Ragam

n

∑ f (xi − x ) 2. Data dalam tabel distrubusi frekuensi : R = ∑f

2

; S = Ragam

Keterangan : x : rata-rata / rataan / mean

∑ (xi − x )

2

(

)2 2 f (xi − x )

: jumlah dari xi − x

∑ f (xi − x ) : jumlah dari n= ∑f : banyak data 2

Contoh soal 8 Tentukan Ragam dan Sipangan baku dari data :

Nilai Frek 6 10 7 4 8 3 9 2 10 1 Jawab : Nilai(x) Frek(f) 6 7 8 9 10 ∑

10 4 3 2 1 20

f.x

(xi − x )2

60 28 24 18 10 140

1 0 1 4 9

(

f xi − x

)2

10 0 3 8 9 30

x=

∑ f ⋅ x = 140 = 7 20 ∑f

∑ f (xi − x ) ∑f

2

R=

=

30 = 1,5 20

S = Ragam = 1,5

2.

Latihan 9

Tentukan Ragam dan Sipangan baku dari data : 1. 2, 3, 3, 4, 7, 7, 9

Berat (kg) 1–3 4–6 7 –9 10 – 12

Frek 4 2 4 2

RUMUS-RUMUS YANG LAIN diatas ada juga rumus-rumus yang lain yaitu : a.Disamping Jangkauan rumus-rumus data (j) = rentang d. Langkah (L) j = Data terbesar – data terkecil 3 L = (Q3 − Q1 ) b.Hamparan (H) = Jangkauan antar kuartil 2 H = Q3 – Q1 e. Pagar Dalam & Pagar Luar c. Simpangan Kuartil (Qd) = jangkauan Pagar Dalam = Q1 – L semi antar kuartil Pagar Luar = Q3 + L 1 f. Jangkauan Persentil Qd = (Q3 − Q1 ) 2 JP = P90 − P10



16

ANGKA BAKU (NILAI STANDART) Bimbim mendapatkan nilai ulangan Matematika 80 dengan rata-rata nilai kelas = 70 dan simpangan bakunya 8. Untuk pelajaran Akuntansi ia mendapat nilai 90 dengan rata-rata nilai kelas = 80 dan simpangan bakunya 12. Yang manakah data yang paling baik? Pada nilai pelajaran Matematika/Akuntansi? Untuk menjawab itu maka diperlukan pengubahan data mentah ke nilai baku x −x z= i (nilai standart) yang dirumuskan : s Keterangan : z : angka baku / nilai standart : data mentah/nilai mentah xi x : rataan/mean s : simpangan baku. Untuk permasalahan di atas : x − x 80 − 70 = = 1,25 (Nilai matematika menyimpang Nilai standart matematika = z = i s 8 1,25 diatas nilai rata-rata kelas) xi − x 90 − 80 = = 0,83 (Nilai akuntansi menyimpang Nilai standart akuntansi = z = 12 s 0,83 diatas nilai rata-rata kelas) Tampak bahwa nilai matematika Bimbim lebih baik dari nilai akuntansinya. KOEFISIEN VARIASI (VARIABILITAS) Untuk menentukan homogen (seragam) atau tidaknya sekumpulan data maka s dapat di lihat dari nilai koefisien variasinya. Dirumuskan : v = × 100% x Keterangan : v : koefisian variasi/variabilitas x : rataan/mean s : simpangan baku Semakin kecil nilai v, maka data semakin homogen (seragam). Sebaliknya semakin besar nilai v maka dat semakin heterogen. UKURAN KEMIRINGAN KURVA (SKEWNESS) Miring tidaknya kurva distribusi frekuensi dapat ditentukan dari koefisien kemiringan kurva (µ) yang dirumuskan : x − Mo s 3( x − Me) 2. Koefisien kemiringan Karl Pierson2 (KP2) = µ = s Q3 − 2 ⋅ Q2 + Q1 µ= 3. Koefisien kemiringan Bawley = Q3 − Q1

1. Koefisien kemiringan Karl Pierson1 (KP1) = µ =

µ = 0 kurva simetris x = Mo = Me

µ > 0 kurva positif (condong ke kanan) Mo < Me < x


µ < 0 kurva negatif (condong ke kiri) Mo > Me > x


17

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (KURTOSIS) Runcing tidaknya kurva distribusi frekuensi dapat ditentukan dari koefisien keruncingan kurva (α) yang dirumuskan : α=

Qd Q3 − Q1 = JP 2( P90 − P10 )

Q3 : Kuartil atas P10 : Persentil ke 10

Keteranga : α : koefisien keruncingan. Qd : simpangan kuartil JP : jangkauan persentil

α= 3 kurva sedang

α > 3 kurva runcing

Mesokurtis

Leptokurtis

α < 3 kurva tumpul Platikurtis

KORELASI Hubungan antara dua variabel yang menjadi pengamatan disebut korelasi. Nilai yang dapat mengukur derajat hubungan kedua variabel tersebut disebut koefisien variasi (r). Sedangkan nilai yang dapat mengukur tingkat korelasi disebut koefisien penentu (KP).

Koefisien korelasi Karl Pierson= r = Koefisien penentu (KP)

n∑ XY − (∑ X )(∑ Y )

(n∑ X 2 − (∑ X )2 )(n∑ Y 2 − (∑ Y )2 )

KP = r2 x 100%

Contoh soal 9 Matematika 7 6 5 8 9 8 6 Bahasa Inggris 5 4 6 5 8 8 7 Data nilai matematika dan Bahasa Inggris suatu kelompok belajar. Tentukan koefisien korelasi dan koefisien penentunya ! Jawab: Misal: nilai Matematika = X ; nilai bahasa Inggris = Y ; n = 7 X Y X2 Y2 XY 7 5 49 25 35 6 4 36 16 24 5 6 25 36 30 8 5 64 25 40 9 8 81 64 72 8 8 64 64 64 6 7 36 49 42 ∑ X = 49 ∑ Y = 49 ∑ X2 = 355 ∑ Y2 = 279 ∑ XY = 307

Koefisien korelasi : r=

n∑ XY − (∑ X )(∑ Y )

=

7 ⋅ 307 − 49 ⋅ 43

(n∑ X 2 − (∑ X )2 )(n∑ Y 2 − (∑ Y )2 ) (7 ⋅ 355 − 49 2 )(7 ⋅ 279 − 432 ) MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

=

42 8736

= 0,45


18

Koefisien penentu: KP = r2 x 100% = 0,452 x 100 % = 20,25 % = 0,2025 Latihan 10

1.Diketahui data sebagai berikut : 2, 3, 3, 4, 7, 7, 9 Tentukan : a. Jangkauan e. Pagar dalam & pagar luar b. Hamparan f. koefisien variasi c. Simpangan kuartil g. Angka baku dari data : 9 d. Langkah 2. Dari sekelompok data diketahui Q1 = 30 ; Q2 = 42 ; Q3 = 50. Tentukan koefisien kemiringan kurva! 3. Dari sekelompok data diketahui Mo = 34 ; s = 2 ; koefisien kemiringan = 2,5. Tentukan rata-rata data tersebut! 4. Dari sekelompok data diketahui Q1 = 20 ; Q3 = 40 ; P10 = 15 ; P90 = 48. Tentukan koefisien keruncingan kurva! 5.Tentukan koefisien korelasi dan koefisien penentu dari data berikut : Donat Cokelat 2 3 5 4 9 6 Donat keju 4 2 6 7 5 7

== oOo == DAFTAR PUSTAKA

Kusrini, Modul Statistika SMK, Depdiknas, Jakarta, 2004 Masrihani, Tuti, dkk., Matematika Program Keahlian Akuntansi dan Penjualan SMK dan MAK Kelas XII, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2008



19

Untuk apa Statistika dipelajari?

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikandata. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakanstatistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas (teori peluang). Beberapa istilah statistika antara lain: populasi,sampel, unit sampel, dan probabilitas(peluang). Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi) maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan (Artificial Intellegence)
