E3A Physique et Chimie MP 2008 — Corrigé

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Publié dans les Annales des Concours

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E3A Physique et Chimie MP 2008 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI), Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Mickaël Profeta (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite de différents thèmes liés à l’élaboration de l’acier. Il comporte tout d’abord un problème de chimie, séparé en deux parties. • Dans un premier temps, on discute de la structure cristalline de l’acier, qui est obtenu par insertion de carbone dans du fer. Après avoir étudié différentes cristallisations du fer, on montre comment l’insertion de carbone modifie le réseau. Seule la fin de cette partie s’éloigne un peu du cours et nécessite plus de réflexion. • L’essentiel de la seconde partie consiste à tracer le diagramme d’Ellingham du fer, pour l’exploiter ensuite dans l’optique de la purification des oxydes de fer par pyrométallurgie. L’ensemble est très proche du cours de thermochimie. Le problème de physique traite du chauffage et du traitement thermique d’une plaque d’acier. • On commence par évaluer le champ électromagnétique dans un conducteur réel, ainsi que la puissance dissipée par courants de Foucault. Cette partie d’électromagnétisme permet de revoir l’effet de peau. Elle est un peu calculatoire mais reste abordable car l’énoncé est bien détaillé. • Dans la dernière partie, on procède à l’étude thermique de la plaque dans le but d’obtenir l’acier recherché. Cette partie est plus fine, en particulier on y fait des raisonnements d’ordre de grandeur dans le but de rechercher les processus thermiques dominants. Le sujet est relativement long, souvent proche du cours sauf dans la dernière partie. Il est bien équilibré entre physique et chimie. Pour réussir un tel sujet, il faut, comme le souligne le rapport du jury, commencer par bien comprendre son cours : beaucoup de questions en sont directement inspirées et permettent à elles seules d’avoir une note honorable le jour de l’épreuve.

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Indications Partie I A.2.a Utiliser le coefficient de dilatation isobare α défini par 1 ∂V α= V ∂T P

A.2.b Le volume massique v vérifie v = 1/ρ. Utiliser la question A.1.e. A.4.a La figure de l’énoncé montre que les sites sont octaédriques. Les arêtes de l’octaèdre sont-elles de la même longueur ? A.4.b Un atome s’insère au centre de la face d’un cube. B.2.b Le nombre d’oxydation de l’espèce Fe3 O4 est fractionnaire. Que peut-on en conclure ? B.2.f Pour T = TE , ∆r G◦1 (TE ) = ∆r G◦2 (TE ). B.2.g Étudier le signe de l’enthalpie libre de réaction et en déduire celui de l’affinité chimique. Comment évolue une réaction d’affinité positive ? B.3.b Représenter schématiquement les couches successives d’oxyde qui peuvent se former au contact de l’air. Qu’en résulte-t-il en profondeur ? Partie II → − → A.1.d Le rotationnel d’un champ magnétique B = By (z) − ey s’écrit

A.1.e A.2.a

A.2.b

A.2.f

∂By − − −→ → → ex rot B = − ∂z Utiliser l’équation de Maxwell-Faraday ainsi que la question A.1.d. Écrire les deux solutions de l’équation de dispersion en séparant les parties réelle et imaginaire du vecteur √ d’onde, sachant que les racines du nombre complexe −i s’écrivent + −(1 − i)/ 2. Comment évolue l’amplitude du champ magnétique à l’infini pour chaque solution ? La composante tangentielle du champ magnétique ne peut subir de discontinuité qu’en présence de distribution surfacique de courant. Ici, la distribution est volumique. La puissance volumique cédée par le champ aux charges mobiles du conducteur → − → s’écrit P = −  · E . Attention, il faut utiliser les champs réels ! v

A.3.d Pour un ruban de section ℓ parcouru par Zun courant surfacique de vecteur → − → → − densité de courant −  s , le courant s’écrit I =  s ·d ℓ . Identifier le résultat ruban

A.4.f B.1.c

B.1.e B.3.g

obtenu avec celui de la question A.3.b. Développer le résultat de la question A.4.d en utilisant ch u ∼ 1 et sh u ∼ u pour |u| ≪ 1. Le premier principe appliqué au système constitué par le conducteur subissant un des trois transferts pendant une durée dt s’écrit dH/dt = P où P est la puissance thermique reçue par le système. L’équation de la diffusion thermique en résulte. Il y a une coquille dans l’énoncé : au dénominateur de τS , on trouve un facteur 4. Le transfert dominant est celui qui est le plus rapide. Diviser l’expression de la question B.3.a pour la température par z0 /2. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

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Traitement thermique d’une plaque d’acier I. Chimie du fer et de l’acier A.

Structure cristalline du fer et de l’acier

A.1.a Une maille élémentaire est le volume minimal permettant, par un pavage périodique de l’espace, de reconstruire le cristal. Elle est déterminée par trois vecteurs non colinéaires. Ces vecteurs sont décrits par six paramètres, les normes des vecteurs notés a, b, c et les angles entre eux α, β et γ. A.1.b La maille conventionnelle du fer α est le cube d’arête aα représenté sur la figure ci-contre. La maille élémentaire du fer α est un parallé→ − → lépipède obtenu à partir des vecteurs − a, b → et − c sur la figure.

− → − →c b

aα

− → a

A.1.c L’atome central n’appartient qu’à la maille conventionnelle. En revanche, les atomes situés aux sommets du cube appartiennent à huit mailles contiguës. En conséquence, la maille possède n atomes avec 8 n=1+ =2 atomes par maille 8 A.1.d La compacité est le rapport du volume occupé par les atomes de la maille sur celui de la maille. Elle quantifie le taux d’occupation. Pour la structure cubique centrée, dans le modèle √ 3 aα des sphères dures indéformables, deux atomes sont tangents suivant la diagonale du cube. Le rayon de chaque atome de fer vérifie alors √ 4 Rα = 3 aα Le volume de la maille est donné par V ma = aα 3

aα

Rα

Le volume occupé par les deux atomes de la maille est √ 4 3 3 V oc = 2 × π Rα = π aα 3 3 8 La compacité de la structure cubique centrée s’écrit alors V oc C cc = V ma √ 3 C cc = π = 0,68 8 La structure cubique centrée est dite pseudo-compacte. Le rapport du jury précise qu’« aucun résultat sans calcul n’a été admis. Les compacités directement issues des calculatrices n’ont donné lieu à aucun point. » Dans une copie de concours, on n’évalue pas la capacité à restituer des formules, mais celle à poser un raisonnement.

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A.1.e La masse volumique du fer α s’écrit ρα =

mma 2 m(Fe) = V ma aα 3

Or m(Fe) = M(Fe)/NA . Le paramètre de maille aα vérifie alors aα =

2 M(Fe) N A ρα

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= 287 pm

A.1.f D’après la question A.1.d, calculons le rayon d’un atome de fer √ 3 Rα = aα = 124 pm 4 A.2.a L’étude est menée à pression constante. Le coefficient thermoélastique à prendre en compte est donc le coefficient de dilatation isobare α. Par définition 1 ∂V α= V ∂T P soit, en valeur moyenne,

On conclut

α≃

α≃

1 ∆V Vmoy ∆T

v(α)910 − v(α)20 2 ≃ 4,3.10−5 K−1 v(α)910 + v(α)20 ∆T

La variation du volume avec la température étant linéaire, on vérifie ∆V ∂V = ∆T ∂T P

A.2.b Exprimons la relation existant entre le volume massique et le paramètre de maille. Sachant que v = 1/ρ, on trouve, d’après la question A.1.e, aα =

2 M(Fe) vα NA

1/3

=

287 pm 290 pm

pour pour

T = 20◦ C T = 910◦ C

A.2.c D’après la question A.1.f, pour T = 910◦ C, le rayon de l’atome de fer est R(α)910

√ 3 = a(α)910 = 126 pm 4

On comprend alors le choix de la valeur moyenne du rayon du fer α utilisée dans la suite du problème (Rα = 125 pm). Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .