Electrostatique et Magnetostatique: Notes du cours

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14 janv. 2013 ... (Cours d'Electromagnétisme pour L2 Sciences Physiques et Chimiques) ... LES équations principales d'électrostatique et magnétostatique.
Electrostatique et Magnetostatique : Notes du cours Evgeni Popov

To cite this version: Evgeni Popov. Electrostatique et Magnetostatique : Notes du cours. Licence. Electromagn´etisme II, Marseille, St. Charles, Univ. de Provence, 2001, pp.139.

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Electrostatique et Magnétostatique Notes du cours

Evgeni Popov

B

I

www.fresnel.fr/perso/popov/coursEM2013.pdf

Electrostatique et Magnétostatique Notes du cours (Cours d’Electromagnétisme pour L2 Sciences Physiques et Chimiques)

Auteur : Evgeni Popov, Institut Fresnel, Université d’Aix-Marseille (AMU)

Web : www.fresnel.fr/perso/popov/coursEM2013

Copyright 2013 : Evgeni Popov, AMU

AMU, 2013

Notes du Cours d’Electromagnétisme : Electrostatique et magnétostatique (L2 Physique - Chimie) E. Popov

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

1

Plan de cours Electrostatique Charge électrique, types de charges. Loi de Coulomb. Champ électrique, lignes de champ Dipôle électrostatique Flux du champ électrostatique, théorème de Gauss Energie et potentiel du champ électrostatique Théorème d’Ostrogradski, théorème de Gauss – présentation différentielle Equations de Laplace et de Poisson Discontinuité de champ électrique Type de matériels : conducteurs, isolateur et semi-conducteurs Conducteurs dans champ électrostatique. Cage électrostatique. Corona décharge Courant électrique et la loi d’Ohm Condensateurs Diélectriques dans champ électrostatique, constante diélectrique, permittivité relative, polarisabilité de milieu Magnétostatique Force magnétique, champ magnétique. Loi de Biot et Savart. Force sur charge en mouvement dans un champ magnétique, la force de Lorentz Mouvement cyclotron et aurore boréale Loi de Laplace, effet Hall Champ créé par une charge en mouvement et un courant électrique Flux de champ magnétique Dipôle magnétique Interactions magnétiques Théorème d’Ampère, théorème de Stokes LES équations principales d’électrostatique et magnétostatique Discontinuité de champ magnétique Force magnétohydrodynamique Potentiel vecteur Electromagnétisme (dynamique) L’induction électromagnétique et la première des équations de Maxwell Inductance mutuelle Courant de déplacement et la deuxième des équations de Maxwell LES équations de Maxwell et les ondes électromagnétiques Propriétés magnétiques des matériaux (diamagnétisme, paramagnétisme et ferromagnétisme) Champ H, susceptibilité et perméabilité magnétique

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

2

Pourquoi faire et à quoi ça sert ? Electrostatique 1. Courants électriques, loi d’Ohm, circuits électriques 2. Diélectriques, semiconducteurs puces intégrales

transistors, diodes

TV, PC, portables, Hi-Fi

3. Structure de la matière (atomes et molécules, propriétés chimiques) Magnétostatique 1. Boussoles, compasses 2. Aurore boréale, mouvement cyclotron, séparation d’isotopes 3. Dipôle magnétique, aimantes, magnétisation de milieu Electromagnétisme 1. Les ondes électromagnétiques : la lumière, radio et TV émissions, télécommunications 2. Micro-ondes, radiothérapie 3. Radars aériens, maritimes, radioastronomiques et policiers 4. Relativité restreinte 5. Optique et spectroscopie

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

3

Horaires : 12 cours de 2 heures 26 séances de TD (2 fois par semaine) Examen partiel en électrostatique conte pour 50% d’électrostatique (en totale – pour 25%)

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

4

Charge électrique 1. Charge

crée

force électrique

s’exerce sur les charges

2. Deux signes :

+ et

-:

deux types de forces (d’attraction et de répulsion)

1+ F21 1

F21

F12

-2 +

+

F12 2

Principe de l’action et de la réaction :

  F12 = −F21

3. Quantification des charges : électron proton +

ep+

e = -1.6 x 10-19 [C] 1 coulomb = 1A . 1 s

4. Conservation

∆Q = ∑ charges entrantes − ∑ charges sortantes

S

Q

5. Les charges sont additives :    q1′+q1″→F21=F21′+F21″

+ proton neutron

-

électron

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

5

Types de charges Dans la nature : l’électron et le proton (les quarks n’existent pas séparément) Approximations utiles : I. Charge ponctuelle :

D d

si

D observation >> d e, p

ou

D >> d source

caractéristiques : charge, position, vitesse Remarque : Une sphère chargée uniformément crée un champ comme une charge ponctuelle

ρs = cte ou ρv = cte

D d

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

6

II. Charges continues 1. Charge volumique : densité de charge volumique

  dq( r ) ρ v (r ) = [Cm −3 ] . dv

V, Q dv dq

2. Charge surfacique : densité surfacique

 ( dq r)  ρs ( r ) = [Cm − 2 ] ds

S, Q ds dq

e.g. conducteurs : Les charges libres sont repoussées jusqu’à la surface 3. Charge linéique ( D >> Φ ): densité linéique

D

Φ

dl

  dq( r ) ρ ( r ) = [Cm −1 ] d

def : un volume, une surface ou un fil sont chargés uniformément si ρ = cte et Qtotal = ρ . V, S ou L

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

Remarque : Notations :

ρ  = λ , ρS = σ ,

mais par fois l – longueur d’onde et s - conductivité

7

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

8

Loi de Coulomb

Charles Augustin de Coulomb - 1785 Règles de Coulomb : 1. Les charges similaires se repoussent, les charges opposées s’attirent. 2. L’attraction ou la répulsion s’exerce sur la ligne droite entre les charges. 3. La magnitude (la norme) de la force est proportionnelle au carré de l’inverse de la distance entre les charges. 4. La force est proportionnelle à la magnitude de chacune des charges et les charges sont additives.

0

Q Q/2 Q/2

poids

q2 q1

r

si

r → r′ 2

F→F'=F r 2 r'

Division des charges Hypothèses : 1. La force électrique créée par une petite sphère est la même que si la charge est ponctuelle. 2. L’isotropie d’une charge ponctuelle : la force ne dépend pas de l’orientation de la sphère dans l’espace. 3. L’indépendance mutuelle des forces électrique, élastique et gravitationnelle.

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

9

Expression mathématique :    r21 r2 − r1 ˆ r21 = = r r

 qq  F21 = k 12 2 rˆ21 r

q1

 F21

ˆ r21

(charge active)

 r1

q2

(charge passive, charge d’essai)

 r2

q1q 2 > 0 ⇒ F ↑↑ r21 : répulsion

q1q 2 < 0 ⇒ F ↑↓ r21 : attraction La constante de Coulomb k k = 10 −7 c 2 ≈ 8.95x109 [ Nm 2C −2 ] 1 = 4πε0 1 permittivité du vide ε0 = 9 36π10 Autre propriété de la force électrique (linéarité, principe de superposition) : Les sources différentes sommation vectorielle des forces q1′′     ′ q 2 F21 ′ F = F + F′′

q1′

 ′′ F21

21

21

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

10

Champ électrique Notion de champ électrostatique : la propriété d’une charge de modifier les caractéristiques de l’espace : chaque autre charge est soumise à une force électrostatique. Cause

résultat : charge

champ

force

1. Le champ ne dépend pas de la charge qui est soumise à la force (dite charge passive). 2. Le champ représente le ‘porteur’ d’action à distance de la charge qui le crée (dite charge active). Def. Dans une région d’espace il existe un champ électrostatique si une charge placée dans la région est soumise à une force électrostatique Propriétés : 1. Le champ est proportionnel à la force, donc vecteur 2. Le champ ne dépend pas de la magnitude de la charge passive, donc est égal à la force exercée  sur une charge passive unitaire :  F E = [NC-1], usuelle [Vm-1] q Remarque : électrostatique : les charges ne bougent pas et il n’y a pas d’influence des charges passive sur les charges actives (‘collées’ dans l’espace).

  Le champ la force : F = qE Le champ est additif (principe de superposition) :  ∑ Fj  Fj E= = ∑ ≡ ∑Ej q q

q1 q2

 E2  E1

 E

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

11

Lignes de champ Représentation graphique de champ (introduite par Faraday) : les lignes tangentes au vecteur de champ

  Si d  = (dx, dy, dz) est un élément de ligne, d  donc

dx dy dz  = = = c( r ) Ex E y Ez

   E ⇒ d  = cE

dl = (dx, dy, dz)

La densité des lignes est proportionnelle à la magnitude du champ I.

Champ d’une charge ponctuelle q 0 située à l’origine du système de coordonnées :

  E( r ) =

1 q0  1 q 0 ˆ r r = 4πε0 r 3 4πε0 r 2

radiale :

densité = N / S = N / 4πr 2 (N – nombre de lignes) E (→ ∞ ) diverge sur r (densité → ∞ )

S

0

Propriétés des lignes de champ : 1. Les lignes ne se croisent que sur les charges (le champ est unique)

E’ ou E” ?

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

12

2. Les lignes commencent sur la charge positive (pourquoi ?) et finissent sur la charge négative. Cas particuliers 1. Le champ électrostatique créé dans un point P(r) par un élément de volume dv ayant une densité volumique de charge dρ v et situé dans P’(r’) est donné par l’équation :

  1 ρ v ( r ′)dv( r ′)   ( r − r ′)   4πε 0 r − r ′ 3 Le champ créé par un volume V est obtenu par intégration tridimensionnelle sur V :   dE( r , r ′) =

  E( r ) =

=

1 4πε0 1 4πε0

∫∫∫

  ρ v ( r ' )dv( r ' )   ' (r − r )  ' 3 r−r

∫∫∫

  ρ v ( r ' )dv( r ' ) ˆ ∆r  ' 2 r−r

V

V

.

2. Champ des charges surfaciques :

  dE ( r , r ′) =

  1 ρ s ( r ′)ds( r ′)     3 ( r − r ′) et 4πε 0 r − r ′

  E( r ) =

1 4πε0

∫∫ S

  ρs ( r′)dS( r′)     3 ( r − r′) r − r′

3. Champ des charges linéiques :

  dE( r , r ′) =

  1 ρ  ( r ′)d( r ′)     3 ( r − r ′) 4πε 0 r − r ′

  E( r ) =

et

1 4πε0

∫ L

  ρ ( r′)d( r′)     3 ( r − r′) . r − r′

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

13

Remarque préliminaire : dv ∝ r 3 ⇒ ∫∫∫ ne diverge pas quand ∆ r → 0

ds ∝ r 2 ⇒ ∫∫ ne diverge pas quand ∆ r → 0

d ∝ r ⇒ ponctuelle)



diverge quand ∆ r → 0 (comme pour charge

Pourquoi ? La définition de charge ponctuelle et linéique nécessite que la distance d’observation soit beaucoup plus grand que les dimension de charge, donc on n’a pas le droit de se situer sur r → 0 .

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

14

Considérations de la symétrie Règles générales : 1. Si la distribution de charges électriques est symétrique par rapport à un point, ligne ou plan, le champ électrique à la même symétrie. 2. Si la distribution de charges électriques est antisymétrique par rapport à un point, ligne ou plan, le champ électrique à la même antisymétrie. P : plan de symétrie de Q

Exemples :

+Q

+Q

E est aussi symétrique par rapport à P

P : plan d’antisymétrie de Q

+Q

-Q

E est aussi antisymétrique par rapport à P

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

15

Conséquences : 1. Le champ électrique est contenu dans chaque plan de symétrie, hors des charges. 2. Le champ électrique est perpendiculaire à chaque plan d’antisymétrie des charges. 3. S’ils existent deux plans de symétrie non parallèles, sur l’intersection de ces plans le champ électrique est dans la direction de cette intersection. Aspects pratiques : 1. Il suffit de trouver un plan d’antisymétrie de charges pour déterminer la direction de champ électrique sur ce plan. 2. Il faut deux plans de symétrie pour déterminer la direction de champ électrique sur son intersection.

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

16

Champ d’un fil chargé uniformément charge sur axe x, observation sur y 0

 E( x )

ρ = cte, dl = dx

Ex(x)

y Ey

Ex(-x)

sinθ = x/r 1) E x = 0 :

dE x = −

ρ dl

θ

0

x

x

pour V charge ρdx sur x, la charge sur –x compense E x :

1 ρdx 1 ρdx sin θ = − x ⇒ dE x (x ) + dE x (− x ) = 0 4πε 0 r 2 4πε 0 r 3

2) dE y =

1 ρdx cos θ 4πε 0 r 2

ρ E y = dE y = 4πε 0

∫ x

=

-x

 E(− x )

ρ 4πε 0 y 0

;

y0dθ y 02 2 ; r = ; dx = 2 2 cos θ cos θ

+∞

+π / 2

−∞

−π / 2



1 ρ dx 2 cos θ = 4πε 0 r

+π / 2



dθ cos θ =

−π / 2

x = y 0 tgθ

2ρ 4πε 0 y 0



dθ cos 2 θ y0 cos θ 2 2 cos θ y 0

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

I. E = 0

Observations :

2ρ - radial 4πε 0 y 0 III. E diverge sur les charges linéiques : E → ∞ si y 0 → 0

II. E ⊥ =

17

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

18

Champ d’un plan chargé uniformément y

observation sur axe y à distance D

D

ρ = cte,

ψ

  + ∞ + ∞ E = ∫∫ dE = ∫ dz ∫ Edx

z

champ d’un fil

z

S

−∞

 E(z)

Ez(z)

 E(−z)

Ez(-z) D

-z

−∞

x et passant par z

y Ey

0

ψ

x

y0

z

1) E x = 0 2) E z = 0 pour V fil par z, le fil par –z compense E z

ρcosψ

3) dE y =dEfilcosψ= dz 2πε0y0

ρ E y = ∫ dE y = 2πε 0 x

z=Dtgψ⇒dz= Dd2Ψ cos ψ

ρ = 2πε 0

y0= D cosψ

=

ρ 2πε 0

+π / 2



−π / 2 +π / 2

cos ψ

∫ dψ =

−π / 2

+∞



−∞

cos ψ dz = y0

cos ψ Ddψ D cos 2 ψ

ρ 2ε 0

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

19

Observations : I. E = 0

ρ invariant de D 2ε 0 III. E a des directions opposées des deux côtés de la surface II. E ⊥ =

IV. E ne diverge pas V. E subit une discontinuité à la traversée de la surface chargée, égale

ρ à s. ε0

Explication physique : Si on regarde le champ créé par la surface vue dans le même angle solide à une distance différente :

E E∝

QS r2

mais QS = ρS ∝ ρ R 2 donc E Ω est indépendant de r

Ω r

R~r S ~ R2 ~ r2

S

R

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

20

Champ sur l’axe d’un fil circulaire chargé uniformément

dl

observation sur l’axe x à distance D

ϕ

r

r0

ψ

ρl = cte,

D

1) sur l’axe : symétrie seul E x ≠ 0

dE x =

ρd 4πε 0 r

2



ρ = 4πε 0

1 ρ cos ψ d ∫ 2 4πε 0 r 



∫ cos ψ 0

cos 2 ψ D

2

D cos ψ d = r0 dϕ = Dtgψdϕ r=

Dtgψdϕ



ρ sin ψ cos 2 ψ ρ sin ψ cos 2 ψ = ∫ dϕ = 2ε 0 D 4πε 0 D 0

=

Ex

cos ψ

E Ο = ∫ dE x =

ρr0 D 2ε 0  r02 + D 2   

3

=

I. D >> r 0 : D ≈ r ⇒ E Ο → II. D = 0, E = 0

QD 4πε 0 r 3 Q 4πε 0 r

2

x

Q = 2π r0 ρ r0 r D cos ψ = r

sin ψ =

- charge ponctuelle

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

21

Disque

ϕ

r

r0

ψmax

O

D

Ex

r0 = Dtgψ ⇒ dr0 = r0

E  = ∫ E Ο (~r0 )d~r0 = 0

x

ψ

D 2

cos ψ



2

ρ sin ψ cos ψ Ddψ ρ = ∫ 2ε 0 D cos 2 ψ 2ε 0 ψ

D ρ ρ  (1 − cos ψ max ) = 1− = 2ε 0 2ε 0  r02 + D 2  D → 0 ρ   I.  ou  ⇒ E  → 2ε 0 r → ∞  0 

ψ max

∫ sin ψdψ 0

   

(plan infini)

2

II. r0 → 0 , mais Q = πr0 = cte :

E

 D 1 − = 2ε 0 r02  r02 + D 2 Q

 Q → (charge ponctuelle) 2  4πε0 D 

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

22

Sphère : charge surfacique uniforme

dˆ

R0 θ

r

r0 D

R π

π

ρ r0 D E sph = ∫ E Ο dˆ = ∫ E Ο R 0 dθ = ∫ R 0 dθ 2ε 0 r 3 S 0 0 dˆ = R 0 dθ

(

)

Changement d’intégration en fonction de r : 1.

R 2 + r 2 − R 02 R 2 + r 2 − R 02 D = r cos ψ = r = 2Rr 2R

2.

R 02 + R 2 − r 2 r ⇒ sin θdθ = −d cos θ = cos θ = dr 2RR 0 RR 0

3.

r0 = R 0 sin θ π

E sph

r0

D



R 2 + r 2 − R 02 1 r D ρ ρ r0 R 0 dθ = R sin R dr =∫ θ 0 0 3 2ε 0 r 3 2ε 0 ∫ 2R sin RR θ r 0 0 r

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

23

A l’extérieur (R > R 0 ) :

E sph

ρ R 0 R + R 0 r 2 + R 2 − R 02 ρ R 0 R + R 0  R 2 − R 02  dr = dr = ∫ ∫ 1 + 2 2 2  4ε 0 R 2 R − R 0 4 ε r r 0 R R −R 0  

R 2 − R 02 R 2 − R 02  ρ R 0  = R + R0 − R + R0 − + R + R0 R − R 0  4ε 0 R 2  ρ R0 (2R 0 − R + R 0 + R + R 0 ) = 2 4ε 0 R

=

ρR 02 ε0R

centre

2

=

4πρR 02 4πε 0 R

2

=

Q 4πε 0 R

2

: comme si la charge est dans le

A l’intérieur (R < R 0 ) :

ρ R0 E sph = 4ε 0 R 2

R +R0

r 2 + R 2 − R 02 ρ R0 dr = ∫ r2 4ε 0 R 2 R 0 −R

R +R0

 R 2 − R 02  1 +  dr 2 ∫ r  R 0 −R 

R 2 − R 02 R 02 − R 2  ρ R0  = + = R + R0 − R0 + R −  0 2  4ε 0 R  R + R0 R − R0  Remarques : 1. A l’intérieur de la sphère le champ est zéro ! 2. Le champ d’une sphère ayant une distribution de charge volumique radiale (ρ V = ρ V (r ) ) peut être calculé par intégration sur r du champ des charges surfaciques de chaque sphère : le même résultat est obtenu à l’extérieur.

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

24

Dipôle électrostatique Définition : L’ensemble de deux charges ponctuelles opposées (+q et –q) à une distance d - charge de dipôle : q (attn ! charge totale : zéro !)

-q

- moment dipolaire :

 d

 p

+q

   p = qd ≡ q r+ −

1 - unité : [Cm], [D] (Debye) : 1D = 10 − 29 Cm 3 - types : permanent induit mixte

  p = αE externe

   p = p 0 + αE externe

d = cte   p = p0 Les atomes et les molécules ont des charges positives et négatives. Si les centres des charges coïncident (e.g., les molécules  symétriques), p 0 = 0 . Un champ externe ‘tire’ les charges différentes dans les directions opposées, les forces intramoléculaire s’opposent. Pour le nouvel équilibre, les centres des charges positives et négatives sont déplacés et un dipôle induit est créé, proportionnel au champ externe. La constante de proportionnalité α s’appelle polarisabilité du milieu.  Si p 0 ≠ 0 (l’eau) : deux cas en absence de champ externe - désordre chaotique (liquides, milieux amorphes, polycristaux)  p 0, total = 0 - ordre partiel : segnetoélectriques (ferroélectriques) – cristaux ayant un dipôle naturel Dans champ externe : deux cas  - les dipôles permanents ne bougent pas : p 0, total = cte  - les dipôles sont alignés partiellement parallèlement au E externe    ⇒ p = p 0 + αE externe

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

25

Champ d’un dipôle électrostatique

  q  r+ r−  = − 4πε 0  r+3 r−3   q   1 1  d  1 1  − − + r  4πε 0   r+3 r−3  2  r+3 r−3 

 E=

 r−

  1 en utilisant r± = r  d . 2

 d

-q

 r

 r+

θ

+q

r±2 = r 2  2rd cos θ + d 2

( )−3 / 2 ≈ (r 2 )−3 / 2  (− 3 / 2)(r 2 )−3 / 2−12rd cos θ

r±−3 = r±2

, d R:

E=

tige

Q 4πε0r 2

FE =

disque

qQ 4πε0r 2

r-R

FG = mg

R

en équilibre :

mg =

qQ qQ 2 = ; r ⇒ 2 4πε0mg 4πε0 r

si r < R, le disque reste sur la sphère ; quand r = R, il commence à se soulever : r=R:

E=

Q 8πε0 r 2

FE =

qQ 8πε0 r 2

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

33

Flux du champ électrostatique Flux (def. générale) la quantité de qqch. à travers une surface Le flux parallèle à une surface est nul  Le flux élémentaire d’un vecteur E à travers   dΦ = E ⋅ N SdS [Vm] d’une surface élémentaire dS : = E cos αdS N

E

α dS

 N S - la normale de dS (le signe – convention, mais attn. - continuité) surface fermée :  N S vers l’extérieur

S Observations : 1. dΦ (et Φ ) : scalaire (i.e., un nombre !) 2. Φ E= = EdS⊥ E ⊥ SdS

 3. E S ⇒ Φ = 0 4. E est S sont additifs

  Φ = ∫ E ⋅ NdS Φ est additif

S

Φ∑

e.g. champ uniforme

 dΦ = E ⋅ N S dS = EdS cos α = EdS ⊥ (pour S inclinée cosα S ⊥ )

S

  = ∑ E j ⋅ NdS = ∑ Φ j j

S⊥

j

N N⊥

E

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

34

Flux du champ d’une charge ponctuelle

dΦ =

1 dS cos α ; q 2 4πε 0 r

1 qdΩ 4πε 0 q q ⇒Φ= Ω = Ω d 4πε 0 ∫∫ 4πε 0

dS cos α

= dΩ - l’angle solide sous r  lequel on voit dS de point r = 0 2

 N

⇒ dΦ =

S

 r



Φ dépend seulement de l’angle solide et non de la surface !

α S

Donc Φ est le même pour toutes les surfaces ayant Ω constant Explication : 1. Φ 2 = Φ 2 ⊥

R2

2. S2 ⊥ ∝ R 22 ∝ r22 ;

S1 ∝ R12 ∝ r12 3. E ∝

1 R2

E S ⊥ = cte

R1 r

S1

S2⊥

S2

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

35

Surfaces fermées Tube des lignes de champ : l’ensemble des lignes qui s’appuient sur un contour fermé :

 N S vers l’extérieur L’intersection du tube et d’une surface ferme : deux surfaces S 1 et S 2 V N2

S2 N1

S1 E

Tube B Tube A

S

I. Charge à l’extérieur : Φ S1 < 0 , Φ S2 > 0 ; même tube : Φ S1 = Φ S2

Φ tube A = Φ S1 + Φ S2 = 0 pour V tube, Vrai pour tube B, ayant support S, la coupe transversale de V II. Charge à l’intérieur : L’angle solide de la sphère à l’intérieur Ω total = 4π

⇒Φ=

q q (donc 4π dans la constante de Coulomb) Ω= 4πε 0 ε0

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Théorème de Gauss

q pour un système général de charges: ε0 Φ est additif, donc pour un ensemble de charges q j :

Généralisation de Φ =

{ }

Φ S = ∑ Φ S, j = j

=0

∑ Φ S, j + ∑ Φ S, j = ∑ Φ S, j =

j∈VS

j∉VS

j∈VS

∑q j

j∈VS

ε0

=

Q int érne ε0

Le flux total de vecteur de champ électrostatique sortant d’une surface fermée est égal au quotient par ε 0 de la somme de charges électriques situées a l’intérieur. Preuve direct à partir de la loi de Coulomb pour une sphère chargée uniformément : = 4πR2

Φ=

∫∫

  E ⋅ Nds =

S

Q 4πε 0 R 2

∫∫ S

ds =

Q ε0

ds Q

R

Observations : 1. Q V = 0 ⇔ Φ S = 0 2. Φ S ne dépend de la configuration de charges ni à l’intérieur ni à l’extérieur 3. A l’intérieur d’une sphère avec des charges surfaciques uniformes

 E ≡ 0 : Soit S R avec le même centre et r < R

  Symétrie radiale ⇒ E radial ⇒ Φ = E

∫∫

SR

⇒Φ=0

 ds = 4πr 2 E ⇒ E = 0

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L’importance du théorème de Gauss 1. Il représente une forme intégrale d’une d’équations de Maxwell (on verra plus tard) 2. Il est très utile pour déterminer le champ pour les systèmes ayant une symétrie élevée. Exemple 1 : Champ d’une sphère chargée uniformément (TD)

  E R Symétrie radiale:   E = E(R ) Q Gauss : Φ = ε0 Def :

Φ=

  E⋅Nds=E(r)

∫∫ S

Donc

E=

r Q

R

∫∫

ds=4πr 2E

S

Q 4πε0r 2

Charges surfaciques uniformes Charges volumiques uniformes

En fait, il suffit d’avoir une distribution radiale de charges ρ v = ρ v (r ) pour préserver la symétrie radiale I. II.

Champ  à l’intérieur : r < R Charge surfacique : E ≡ 0 (déjà fait)

Q(r) Q(R)r3 Qtotaler3 Charge volumique uniforme : Φ= = = 3 ε0 ε0R ε0R 3

Φ=4πr 2E⇒

E=

Qtotale r 3 4πε0R

dépendance de r linéaire

E(r =R)=

Qtotale ≡E (R) 4πε0R 2 extérieur

E

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Exemple 3 : Champ d’un plan chargé

Symétrie :

E ⊥S ∂E ∂E = =0 ∂x ∂z +

E = −E

y S1 h



ρS Gauss : s = Φ = Φ1 + Φ 2 + Φ cylindre ε0 Def :

N1

= 2Φ1 = 2E + (h )S

x

S

z

S2

ρS ρS + E= ⇒ ∆E= N 2ε 0 ε0

N2

x Exemple 2 : Champ d’un fil chargé

Symétrie :

E⊥x ∂E =0 ∂x E = E(r )

S2

D

L

ρ L Gauss :  = Φ = Φ1 + Φ 2 + Φ cylindre ε0 Def. = Φ cylindre = E 2πDL ρ E= 2πε 0 D

S1

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Exemple 4 : Champ de deux plans parallèles

 q1 + 2ε 0 E1 =  q − 1  2ε 0  q2 + 2ε 0 E2 =  q − 2  2ε 0

y>d

y

y0 yd: 0 µ 0

(pour les diélectriques toujours ε ≥ ε 0 )

Dans un champ externe uniforme les lignes du champ sont attirées :

Diamagnétiques : µ < µ 0 Dans un champ externe uniforme les lignes du champ sont repousées :