Exercice 3 (ECRICOME 2008). Pour p $ Ν", on considère les fonctions suivantes
: ( fp"x#-&$ ln"x $ p# hp"x# - x fp"x#. (famille de fonctions de la variable réelle x) ...
Prépa ECE 2 DS n 1 / Durée 4h / Le 16/09/2011
Exercice 1 (D’après ECRICOME 1993) Les produits référencés X; Y et Z se partagent le marché. un consommateur n’utilisera qu’un seul de ces produits chaque mois. On note xn ; yn et zn , la proababilité qu’il utilise les produits X; Y et Z au nieme mois, où n est un entier naturel. On observe les données suivantes : x0 = 0; 1; y0 = 0; 2 et z0 = 0; 7. Par ailleurs des sondages ont permis de déterminer les intentions des consommateurs supposées constantes : – Utilisant le produit X un mois donné, la probabilité qu’il utilise les produits X; Y et Z le mois suivant sont respectivement de : 40%; 30% et 30% – Utilisant le produit Y un mois donné, la probabilité qu’il utilise les produits X; Y et Z le mois suivant sont respectivement de : 30%; 40% et 30% – Utilisant le produit Z un mois donné, la probabilité qu’il utilise les produits X; Y et Z le mois suivant sont respectivement de : 20%; 10% et 70% 1. Exprimer xn+1 ; yn+1 et zn+1 en fonction de xn ; yn et zn . 0; 2 0; 1 xn 0; 2 ; Un = et B = . 0; 2 0; 3 yn 0; 1 Exprimer zn en fonction de yn et xn et en déduire que l’on a pour tout entier n : Un+1 = A:Un + B
2. On considère les matrices A =
3. Déterminer une matrice colonne C telle que : C = A:C + B. 4. On considère la matrice Vn = Un C. Démontrer que pour tout entier n : Vn+1 = A:Vn puis en déduire Vn en fonction de V0 . 5.
1 U : a) Soit E = U 2 M2;1 (R) = AU = 10 Montrer que E est un sous epspace de (M2;1 (R) ; +; :) :
x y
b) Soit F =
2 M2;1 (R) = A
x y
=
4 10
x y
:
Montrer que F est un sous espace vectoriel de M2;1 (R) et que 6. Soient U =
1 1
et V =
1 2
;P =
1 1
1 2
et D =
1 2
en est une base.
0; 1 0 0 0; 4
a) Montrer que (U; V ) est une base de R2 et en déduire que P est inversible. b) Montrez que AP = P D et en déduire, pour tout entier naturel n; An en fonction de P; D et P c) Calculer P
1
1
:
.
d) En déduire l’expression de An en fonction de n 2 N. 7.
a) En déduire les valeurs de xn et yn en fonction de n. b) En déduire zn en fonction de n. c) Quelle sont à long terme les probabilités d’utiliser les produits X; et Z ?
(D’après ECRICOME 93)
Exercice 2 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs et sont des réels strictement positifs …xés). 1.
a) Rappeler la dé…nition de la loi de Poisson de paramètre
et
(où
ainsi que la valeur de son espérance.
b) Calculer la variance de X (le résultat est dans le cours, mais on en demande ici la démonstration). c) On admet que la loi binômiale de longueur n et de paramètre p peut être approchée par une loi de Poisson. Quel est le paramètre de cette loi ? 2.
a) Déterminer soigneusement l’ensemble des valeurs possibles pour X + Y . b) Soit k 2 (X + Y )( ), exprimer l’événement (X + Y = k) en utilisant des événements liés aux variables X et Y . En déduire la loi de X + Y .
DS 1
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Exercice 3 (ECRICOME 2008) Pour p 2 N , on considère les fonctions suivantes : fp (x) = 1 + ln(x + p) hp (x) = x fp (x) (famille de fonctions de la variable réelle x). On note (Cp ) la courbe représentative de la fonction fp . 1. Etude de la fonction f1 a) Donner le domaine de dé…nition de f1 . b) Déterminer le développement limité en 0, à l’ordre 1, de la fonction f1 . En déduire une équation de la tangente à C1 au point d’abscisse 0. c) Etudier la position de C1 par rapport à cette tangente. f1 (x) . Donner une interprétation graphique de ces limites. d) Déterminer lim f1 (x), lim x!+1 x!+1 x 2. Etude d’une suite (
p )p2N
a) Montrer que l’équation fp (x) = x admet une unique solution pas à calculer p ). b) Déterminer le signe de hp (
p+1 )
et en déduire que la suite (
p
sur l’intervalle ]0; +1[. (On ne cherchera
p )p 1
est monotone.
c) Prouver que l’on a : 8p 2 N ; Quel est le comportement de la suite ( 3. Valeur approchée de On admet que le réel
1
p )p 1
p
1 + ln(p)
lorsque p tend vers +1 ?
1
appartient à l’intervalle [1; 3]. On dé…nit la suite (un )n2N par :
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : un
u0 = 1 8n 2 N; un+1 = f1 (un )
1.
b) Appliquer à f1 l’inégalité des accroissements …nis entre 1 et un et en déduire que pour tout entier naturel n: 1 jun ( )n 1 1j 2 c) Déterminer un entier naturel n0 de telle sorte que si n est supérieur ou égal à n0 alors jun ou égal à 10 4 .
1j
est inférieur
d) Ecrire un programme en langage Pascal permettant d’obtenir les valeurs de n0 et de un0
Exercice 4 On considère la fonction dé…nie par F (x) =
Rx 0
1
dt : 1 + t2
1. Justi…er que F est C sur R; que F est impaire (on pourra utiliser le changement de variable z = le signe de F sur R: 1 2 2. En justi…ant que 8t 2 R+ ; 6 ; montrer que 8x > 0; F (x) 6 2: 1 + t2 (1 + t)2 3. En déduire que la fonction F admet une limite L en +1 et que L 6 2: Rx dt et en déduire que L > 1: 4. Montrer que 8x > 0; F (x) > 2 0 (1 + t) 1 5. Démontrer que l’équation F (x) = admet une et une seule solution sur R: 2 6. Une identité remarquable. On pose G(x) = F (x) + F (1=x):
t) et donner
a) Justi…er que G est dérivable sur R+ et calculer G0 : Que dire de G ? b) En faisant tendre x vers +1; montrer que L = 2F (1):
