Dérivation. Terminale ST2S. Exercice 1. ST2S/Nombre-dérivé/exo-001/texte.
Dans cet exercice, f désigne une fonction définie sur un in- tervalle I dont on
donne ...
Dérivation
Exercice 1
ST2S/Nombre-dérivé/exo-001/texte
Dans cet exercice, f désigne une fonction définie sur un intervalle I dont on donne la courbe représentative ci-dessous. On admet que cette courbe, notée C , admet une tangente en chacun de ses points. • 5 B
•
Terminale ST2S
4. k est une fonction telle que l’équation k(x) = 0 admet une unique solution dans [−4; 4] et k′ (2) < 0.
Exercice 3
ST2S/Nombre-dérivé/exo-003/texte
On donne ci-dessous la courbe représentative Cg d’une fonction g définie sur l’intervalle [−3; 3] ainsi que ses tangentes aux points d’abscisses respectives −2, 1 et 2.
4 3
Cg
3
•
2 2 1
• −5
−4
−3
−2
•A 1
−1
1
2
3
4
−3
−2
1
−1
2
3
−1 −1 −2 −2 −3 −3
−4
1. Déterminer graphiquement : a) b) c) d) e) f)
•
l’intervalle I sur lequel la fonction f est définie ; l’image de −4 par f ; la (ou les) solution(s) de f (x) = 0 ; le (ou les) antécédent(s) de −3 par f ; le tableau de variations de f ; le tableau de signes de f (x).
1. Lire sur le graphique les valeurs respectives de : a) g(−2) ; c) g(1) ; e) g(2) ; b) g ′ (−2) ; d) g ′ (1) ; f) g ′ (2). 2. Sachant que g ′ (−1) = 4, tracer la tangente à Cg au point d’abscisse −1.
2. On admet que (AB) est la tangente à C en A. Déterminer une équation de (AB). En déduire f ′ (1). 3. La tangente à C au point d’abscisse −2 a pour équation y = 2x + 1. Tracer cette droite. Que vaut f ′ (−2) ? 4. Dresser le tableau de signes de f ′ (x).
Exercice 2
ST2S/Nombre-dérivé/exo-002/texte
Dans chaque cas, retrouver parmi les courbes proposées l’unique courbe compatible avec les contraintes données. Courbe 1
−4
3. Dresser le tableau de variations de g sur [−3; 3]. 4. Dresser le tableau de signes de g ′ (x) sur [−3; 3]. 5. Au vu des tableaux des deux questions précédentes, quelle conjecture peut-on émettre ?
Exercice 4
P1
Courbe 3 4
4
2
2
ST2S/Fonctions-dérivées/exo-001/texte
Un décorateur de théâtre a fait construire deux panneaux de largeur 2 m dans des plaques carrées. Ceux-ci sont schématisés ci-dessous et on les raccorde de sorte que O, A, C soient alignés et que B et D soient du même côté de (AC).
D
−4
2
−2
4
P2 2
−2
−2
−2
−4
−4
Courbe 2
−4
−4
4
Courbe 4 4
4
2
2
2
−2
4
−4
2
−2
B
4
C
2m panneau 1
O
O
A 2m panneau 2
Il s’agit d’étudier comment se raccordent ces deux panneaux sachant que les courbes P1 et P2 sont les représentations graphiques respectives de : x 6 • f définie sur [−2; 0] par f (x) = + 4 + 2 x−2 1 • g définie sur [0; 2] par g(x) = (x − 2)2 4 dans un repère orthonormal (O; #» ı , #» ) d’axe des abscisses
−2
−2
(OA), d’axe des ordonnées (OB) et d’unité le mètre.
−4
−4
1. Montrer que les points B et D coïncident lorsque l’on rapproche les deux panneaux.
1. f est une fonction vérifiant f (1) > 0 et f ′ (1) < 0. 2. g est une fonction vérifiant g(1) < 0 et g ′ (1) > 0. 3. h est une fonction telle que le maximum de h sur [−4; 4] est 4, h′ (0) = 0 et h(0) > 0.
2. Comment traduire mathématiquement que le raccordement se fait sans point anguleux ? 3. On admet que f ′ (0) = −1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à P2 en B et conclure.
