EXERCICE. -EXERCICE 26.1-. • ENONCE : ... demande de calculer le potentiel
électrostatique en M; comparer au cas du dipôle et ... EXERCICE. • CORRIGE :.
Physique
ELECTROMAGNETISME EXERCICE
-EXERCICE 26.1• ENONCE : « Quadrupôle électrostatique » On considère la distribution de charges suivante : M
rA r A
O
(-q)
(2q) a
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θ
rB B (-q)
Des charges (-q) sont placées aux points A et B, tandis qu'une charge (2q) est placée en O. Dans le cadre de l'approximation dipolaire, on demande de calculer le potentiel électrostatique en M; comparer au cas du dipôle et conclure. Calculer le champ électrostatique.
a
Christian MAIRE
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• CORRIGE : « Quadrupôle électrostatique » • Par superposition, nous pouvons écrire :
V (M ) =
q 2 1 1 ( − − ) 4πε 0 r rA rB
• Un développement limité au 1er ordre conduirait à :
rA = [(r cos θ + a ) 2 + (r sin θ ) 2 ]1/ 2 = [ r 2 + 2ar cos θ + a 2 ]1/ 2 et: rB = [(r cos θ − a ) 2 + (r sin θ ) 2 ]1/ 2 = [r 2 − 2ar cos θ + a 2 ]1/ 2 ⇒ a cosθ a cos θ a ) et: rB ! r (1 − ) , car ( )2 est du 2ème ordre ; ainsi : r r r θ θ 1 a cos 1 a cos rA−1 = (1 − ) et: rB−1 = (1 + ) ⇒ V (M ) = 0 r r r r rA ! r (1 +
• Il faut donc pousser le développement limité au 2ème ordre ; il vient alors :
1 1 2a cos θ a 2 −1 −3 1 2a cos θ a 2 2 1 a cos θ a 2 3 a cosθ 2 rA−1 = [1 − × ( + 2 ) + ( × × )( + 2 ) ] ! [1 − + 2+ ( ) ] ; r 2 r r 2 2 2 r r r r 2r 2 r De même :
1 1 2a cos θ a 2 −1 −3 1 −2a cosθ a 2 2 1 a cosθ a 2 3 − a cosθ 2 rB−1 = [1 + × ( + 2 ) + ( × × )( + 2 ) ] ! [1 + + 2+ ( ) ]. r 2 r r 2 2 2 r r r r 2r 2 r V (M ) =
D’où :
qa 2 [1 − 3cos 2 (θ )] 4πε 0 r 3
1/ r 3 , donc plus vite que dans le cas du dipôle ; pour une distribution 4 5 plus « compliquée », on obtient des termes en 1/ r , 1/ r … : c’est le développement
Rq : le potentiel décroît en
«multipolaire » d’une distribution de charges. • Le champ électrostatique est obtenu grâce à la relation
"""""# # E = − gradV exprimée en coordonnées
polaires ; on a :
Er = −
∂V 3qa 2 = [1 − 3cos 2 (θ )] et : 4 ∂r 4πε 0 r
1 ∂V −3qa 2 −3qa 2 θ θ Eθ = − × = (2 cos × sin ) = sin(2θ ) r ∂θ 4πε 0 r 4 4πε 0 r 4
Rq : logiquement, le champ décroît également plus vite que pour un dipôle.
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Christian MAIRE
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