Quelle est l'énergie électrostatique de la charge Q placée en G dans le champ
électrique résultant des 3 autres charges ? A : 0. B : 9. 4π ε. Qq a. C : 9. 4π ε q2 a.
Electrostatique PACES
Enoncé : Soit un ensemble de 3 charges électriques ponctuelles -‐2q, +q, +q disposées aux sommets A, B et C d’un triangle équilatéral de coté a, dans l’air. 1. Calculer le potentiel V et déterminer le champ E créés par cette distribution de charges au centre de gravité G du triangle (q>0). On appellera j le vecteur unitaire dirigé de G vers A d’origine G et i le vecteur unitaire tel que (G, ) forme une base orthonormée. Potentiel :
A : 0
D :
Champ :
B :
1 q π ε 3a B :
C : −
E : −
1 q π ε 3a
1 9q 2 i 4π ε a 2
C : −
A : 0
D :
1 2q π ε 3a 2
1 2q π ε 3a 2
1 9q j 4π ε a 2
1 9q 1 9q j i E : 4π ε a 2 4π ε a 2
2. A quelle force F est soumise une charge Q=-‐3q placée en G ? 1 9q 2 B : i 4π ε a 2
A : 0
D :
27 q j 4π ε a 2
27 q 2 C : − j 4π ε a 2
E : −
9 Qq 2 j 4π ε a 2
3. Quelle est l’énergie électrostatique de la charge Q placée en G dans le champ électrique résultant des 3 autres charges ? A : 0
B :
9 Qq 4π ε a
9 Qq D : 4π ε a 2
C :
9 q2 4π ε a
9 q2 E : − 4π ε a
Electrostatique PACES
Réponses :
Figure 1. 1. Calcul du potentiel V Le potentiel est une grandeur scalaire, il suffit donc pour obtenir le potentiel en G, noté V(G), créé par les charges situées en A, B et C de sommer chacune des contributions, soit : V(G)=V(A)+V(B)+V(C) Avec : V(G) le potentiel en G créé par les charges situées en A, B et C V(A), V(B) et V(C) les potentiels créés par les charges A, B et C au point G Remarque : Le centre de gravité G du triangle ABC est le point d’intersection des trois médianes. Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
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Rappel de cours Le potentiel créé par une charge ponctuelle q, placé dans le vide, en un point M de l’espace situé à la distance r de la charge q est donné par : 1 q V(M)= 4πε 0 r ε 0 est la permittivité électrique du vide Calcul du potentiel V(A) Le potentiel V(A) est le potentiel créé par la charge située en A (-‐2q) au point G, donc : V(A)=
1 −2q 4πε AG
Avec : AG qui est la distance entre le point A et le point G
ε permittivité électrique de l’air
Remarque : le triangle ABC étant un triangle équilatéral les distances AG, BG, et CG sont égales. On pose alors : AG=BG=CG=r, d’ou : V(A)=
1 −2q 4πε r
Calcul des potentiels V(B) et V(C) Par analogie avec ce qui a été dit précédemment, on a :
On a alors : V(G)=V(A)+V(B)+V(C) V(G)=
1 −2q 1 q 1 q + + 4πε r 4πε r 4πε r
V(G)=
1 1 (-2q+q+q ) 4πε r
V(B)=
1 q 4πε r
V(C)=
1 q 4πε r
⇒V(G)=0
Electrostatique PACES
Le potentiel est nul au centre de gravité du triangle ABC
Réponse : A
Calcul du champ électrostatique E Le champ électrostatique est une grandeur vectorielle, il est donc nécessaire pour obtenir le champ en G, noté E (G), créé par les charges situées en A, B et C de faire une sommation vectorielle au point G de chacune des 3 contributions, soit : E (G)= E (A)+ E (B)+ E (C) Avec : E (G) le champ électrostatique en G créé par les charges situées en A, B et C E (A), E (B) et E (C) les champs respectivement créés par les charges A, B et C au point G Rappel de cours Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q, placé dans le vide, en un point M de l’espace situé à la distance r de la charge q est donné par : 1 q E (M)= u 2 4 πε r 0 u est un vecteur unitaire généralement choisi dirigé de q vers M (point ou l’on veut déterminer le champ). Il sert à indiquer la direction du champ électrostatique ε 0 est la permittivité électrique du vide Calcul du champ E (A) Le champ E (A) est le champ créé par la charge située en A (-‐2q) au point G, donc :
1 −2q u A E (A)= 4πε r 2 Avec : u A le vecteur unitaire dirigé de A vers G. La charge en A étant négative (-‐2q) le champ créé par A en G est dirigé de G vers A. Le vecteur E (A) est donc « négatif » compte tenue l’orientation de u A (cf. Figure 2).
ε permittivité électrique de l’air
Electrostatique PACES
Calcul des champs E (B) et E (C) Par analogie avec ce qui a été dit précédemment, on a :
Pour E (B) :
1 q uB E (B)= 4πε r 2
Avec : u B le vecteur unitaire dirigé de B vers G. La charge en B étant positive (+q) le champ créé par B en G est dirigé de B vers G. Le vecteur E (B) est donc « positif » compte tenue l’orientation de u B (cf. Figure 2).
Pour E (C) :
1 q uC E (C)= 4πε r 2
Avec : uC le vecteur unitaire dirigé de C vers G. La charge en C étant positive (+q) le champ créé par C en G est dirigé de C vers G. Le vecteur E (C) est donc « positif » compte tenue l’orientation de uC (cf. Figure 2).
Figure 2.
Electrostatique PACES
On a alors : E (G)= E (A)+ E (B)+ E (C) 1 −2q 1 q 1 q uA + u + uC Donc : E (G)= 2 2 B 4πε r 4πε r 4πε r 2 1 q −2u A + u B + uC ) E (G)= 2 ( 4πε r Le champ électrostatique E (G) dépend du choix des vecteurs unitaires u A , u B et uC , par E conséquent pour faciliter l’expression du champ (G) on l’exprimera dans la base cartésienne orthonormée (G, i , j ) (cf. Figure 3). Pour cela il suffit de projeter les vecteurs unitaires u A , u B et uC dans (G, i , j ). Projection de u A dans (G, i , j ) Le vecteur unitaire u A a une seule composante sur j , tel que : u A = − j Projection de u B dans (G, i , j ) La projection du vecteur unitaire u B sur ( i , j ) s’écrit : u B = −u B cos (α 2 ) i + u B sin (α 2 ) j avec u B qui est la norme du vecteur unitaire u B , et comme u B est un vecteur unitaire alors sa norme est égale à 1, donc : u B = − cos (α 2 ) i + sin (α 2 ) j
Projection de uC dans (G, i , j ) La projection du vecteur unitaire uC sur ( i , j ) s’écrit : uC = uC cos (α 2 ) i + uC sin (α 2 ) j avec uC qui est la norme du vecteur unitaire uC , et comme uC est un vecteur unitaire alors sa norme est égale à 1, donc : uC = cos (α 2 ) i + sin (α 2 ) j
Le champ électrique E (G) s’écrit alors dans la base (G, i , j ) : 1 q 2 j − cos (α 2 ) i + sin (α 2 ) j + cos (α 2 ) i + sin (α 2 ) j E (G)= 2 4πε r
(
)
1 q 2 j + 2 sin (α 2 ) j E (G)= 2 4πε r
(
)
Electrostatique PACES
Le triangle ABC étant équilatéral, l’angle α est égal à 60° ou π/3 rad, donc α/2=30° ou 1 π/6 rad, d’ou sin (α 2 ) = . 2
3 q j on a alors : E (G)= 4πε r 2
Figure 3. Enfin pour déterminer l’expression du champ en fonction des données du problème on exprime r en fonction de a (cf. Figure 3). On a : cos (α 2 ) =
a a , d’ou : r = 2r 2 cos (α 2 )
3 a ⎛π⎞ on a : cos (α 2 ) = cos ⎜ ⎟ = , donc : r = ⎝ 6⎠ 2 3
9 q j On obtient donc : E (G)= 4πε a 2
9 q j ⇒ E (G)= 4πε a 2
Electrostatique PACES
Le champ résultant E ( G ) est dirigé suivant j , sa norme est : 9 q E (G ) = 4πε a 2
Réponse : D Remarque : Grace aux des symétries du problème nous aurions immédiatement puis en déduire que le champ électrostatique résultant au point G, E ( G ) , avait une seule et unique composante sur l’axe des j . Les composantes des champ élémentaires s’annulant 2 à 2 suivant l’axe des i 2. Force subit par la charge Q=-‐3q placée en G Rappel de cours Une charge ponctuelle q placée dans un champ électrostatique E subit une force électrostatique de la forme : F=q E
9 q j Au point G le champ est électrostatique est : E ( G ) = 4π ε a 2 La Q, placée en G, est donc soumise à une force électrostatique du type : charge F=Q E ( G )
9 q j d’ou : F=Q 4π e a 2 −27 q 2 F= j on a Q=-‐3q, donc : 4π ε a 2
−27 q 2 ⇒ F= j 4π ε a 2 Réponse : C
La force électrostatique que subit la charge Q=-‐3q placé en G est dirigée 27 q 2 suivant la direction -‐ j , sa norme est : F = 4π ε a 2
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3. Energie potentielle électrostatique de la charge Q placée en G Rappel de cours Une charge ponctuelle q placée dans un champ de potentiel, acquière une énergie potentielle électrostatique, ou plus simplement énergie électrostatique, Ep, de la forme : Ep=q V L’énergie est une grandeur scalaire. Au point G, le potentiel électrostatique est V(G)=0. L’énergie électrostatique acquise par la charge Q étant de la forme : Ep=Q V(G), on a : Ep=0. ⇒ Ep=0 Réponse : A
L’énergie électrostatique acquise par la charge Q placée en G est donc nulle.
