Exercices de statique des fluides h

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cylindrique de hauteur h = 10 cm et de section s qui vient flotter, axe vertical, à la ... niveau de ces liquides n'est pratiquement pas affecté par l'introduction du ...
Exercices de statique des fluides I53. 1) Une éprouvette cylindrique de section S est graduée régulièrement en volume ; elle contient du mercure de masse volumique µm = 13 600 kg.m–3 et de l'eau de masse volumique µe = 1000 kg.m–3. On y introduit un objet de forme cylindrique de hauteur h = 10 cm et de section s qui vient flotter, axe vertical, à la surface de séparation des deux liquides. Le niveau (défini par rapport à la graduation) du mercure s'est élevé de v1 = 80 cm3 et celui de l'eau (défini aussi par rappor tà la graduation) de v2 = 240 cm3. Déterminer la masse volumique µ de ce solide. 2) Le même solide est en équilibre dans un vase beaucoup plus large contenant les mêmes liquides, si bien que le niveau de ces liquides n'est pratiquement pas affecté par l'introduction du solide. L’axe du solide reste vertical. On enfonce alors légèrement le solide. Calculer la période des oscillations lorsqu'il est abandonné à lui-même en négligeant le mouvement des liquides. 3) Si l’on tient compte du mouvement des liquides, comment celui-ci affecte-t-elle qualitativement la période d’oscillation ?

II59. La pression partielle du dioxygène dans l’air sous p0 = 1 bar à T0 = 300 K est p(O2) = 0,21 bar. Quelle est sa concentration en mol/L ? 1 bar = 105 Pa ; R = 8,314 J.mol–1.K–1. glycérine

III30. Baromètre d’Huyghens.

Masse volumique du mercure : ρ = 13600 kg.m ; de la glycérine : µ = 1050 kg.m . L’appareil est constitué d’une cuve à mercure dont la surface, à l’air libre, mesure S = 50 cm2, dans laquelle plonge un tube contenant de bas en haut du mercure, de la glycérine et le vide. La section de ce tube est S1 = 5 cm2 à l’interface entre le mercure et la glycérine et S2 = 0,25 cm2 à l’interface entre la glycérine et le vide. 1) Exprimer la pression atmosphérique H en cm de mercure en fonction des abscisses x, x1 et x2 des surfaces séparant l’air atmosphérique, le mercure, la glycérine et le vide. 2) Exprimer la sensibilité de ce baromètre dx2/dH, x2 étant l’abscisse de la surface séparant la glycérine du vide. Quel est l’intérêt de ce baromètre ? –3

–3

x2

x1 mercure x

IV40. Densimètre.

h

La densité d’un liquide ou d’un solide est le rapport de sa masse volumique à celle µ de l’eau. Un densimètre est constitué d’une tige cylindrique de section s et de hauteur hM et d’une hM boule lestée. L’ensemble a pour volume v et pour densité d0 . Lorsque le densimètre est plongé dans un liquide de densité d , une certaine hauteur h de la tige émerge. On lit directement la densité sur les graduations de la tige. v 1) Exprimer d en fonction de h, H = et d 0 . s 2) Dans quel intervalle doit se trouver d pour être mesurable ? 3) Comment peut-on agir pour augmenter la sensibilité sans changer d 0 ? 4) La variation de densité ∆d entre deux traits consécutifs de la tige est la même tout le long de la tige. Soit ∆h la distance entre deux traits consécutifs à la distance h du sommet de la tige et ∆h0 la valeur de cette distance près du ∆h sommet de la tige. Exprimer en fonction de h et H . Où les traits sont-ils les plus serrés ? ∆h 0 5) Si le densimètre reste vertical, quelle est la période de ses oscillations, en admettant que les lois de la statique des fluides restent valables ?

V18. Cloche dans l’eau (d’après ENAC pilotes 2004). 1) Une cloche cylindrique de masse m, dont l'épaisseur des parois est négligeable, est plongée verticalement dans une cuve remplie d'eau. On désigne respectivement par S et H0 la section et la hauteur du cylindre, par ρ la masse volumique de l’eau et par p0 la pression atmosphérique extérieure. La cloche s’enfonce dans le liquide en emprisonnant un volume d'air initial égal à son volume intérieur (cf. figure ci-contre). La répartition de la masse de la cloche est telle que dans son état d'équilibre final elle flotte en restant verticale.

S air air H0 h eau

DS : exercices de statique des fluides, page 1

La température est uniforme et constante partout. On négligera la masse volumique de l'air devant celle de l'eau et l'on supposera que la pression de l'air (que l'on assimilera à un gaz parfait) à l'intérieur du récipient est uniforme. Exprimer la pression p1 de l'air emprisonné dans la cloche, son volume V1 et la hauteur h de la partie immergée du récipient. 2) Une vanne située dans la partie supérieure de la cloche permet d'évacuer une quantité d'air suffisante pour que la cloche s'enfonce jusqu'à ce que la base du cylindre affleure juste la surface de l'eau dans la cuve. Calculer la pression p2 et le volume V2 de l'air dans la cloche. 3) La cloche vide est maintenant déposée à l'envers sur l'eau et elle est remplie d'un liquide de masse volumique ρ0 > ρ. Quel est le volume maximal VM de liquide que l'on peut mettre dans la cloche avant qu'elle ne coule ?

VI31. Montgolfière (d’après ENSAIT 2001). Pression au niveau de la mer P0 = 105 Pa = 1 bar ; accélération de la pesanteur P, V, Ti g = 9, 8 m . s−2 ; masse molaire de l’air M = 28, 9 g . mol−1 ; constante des gaz parfaits P,T R = 8, 31J. mol−1 . K−1 . 1) On suppose la température T = 280 K uniforme dans l’atmosphère. Exprimer l’altitude z par rapport au niveau de la mer pour laquelle la pression est P . 2) Une montgolfière comporte une enveloppe ouverte à sa base contenant de l’air ; on chauffe cet air interne, de volume V = 3000 m 3 , grâce à un brûleur à gaz, de sorte qu’il se trouve à la température Ti > T . L’enveloppe et la charge de la montgolfière ont pour masse totale m = 850 kg . Exprimer la force ascensionnelle F , résultante du poids et de la force de pression et comptée positivement vers le haut, en fonction de m, M ,V , g,T ,Ti , R et de P . 3) Calculer Ti pour que la montgolfière décolle tout juste. 4) Si Ti = 380 K , calculer la pression et l’altitude atteinte par la montgolfière. 5) Que pensez-vous de l’argumentation : l’enveloppe étant ouverte, la pression est la même à l’intérieur et à l’extérieur, chaque élément de surface de l’enveloppe subit deux forces de pression opposées sur ses deux faces, donc la force de pression sur la montgolfière est nulle. 6) Pourquoi un vol d’une montgolfière dure-t-il plus longtemps le jour que la nuit pour la même quantité de gaz ?

Réponses µ v + µe (v2 − v1 ) µh = 0, 408 s ; 3) période plus grande. = 5200 kg.m−3 ; 2) T = 2π I. 1) µ = m 1 v2 (µm − µe )g p(O2 ) = 0, 00842 mol/L . II. c(O2 ) = RT µ dx 1 III. 1) H = x1 − x + ( x 2 − x1 ) ; 2) 2 = = 7, 8 ; ce baromètre est plus sensible. S2 S2 S ⎞ µ⎛ dH ρ + + ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ S1 S S1 ⎠ ρ⎝ d0 d0 IV. 1) d = ; 2) d0 < d < ; 3) en diminuant la section, en allongeant la tige, ou en 1 − h /H 1 − hM / H

augmentant le volume de la boule terminale et la masse de lest ; 4) bas ; 5) T = 2π

(

∆h h = 1− H ∆h0

)

2

; graduations s plus serrées en

Hd0 . gd

V. 1) p1 = p0 +

mg p H S2 mgH 0 m mg m ; V1 = 0 0 ;h = ; 2) p2 = p0 + ; V2 = ; 3) + S p0S + mg S ρ p0S + mg S ρ

ρH 0S − m . ρ0 RT P ⎛ MPV VI. 1) z = − ln ; 2) F = ⎜⎜ ⎝ R Mg P0

VM =

P =

mR ⎛1 1 MV ⎜⎜ − ⎝T Ti

⎞⎟ ⎠⎟

= 86685 Pa ; z =

⎛1 1 ⎜ − ⎜⎝T Ti

⎞⎟ ⎞ 1 = 363 K ; 4) − m ⎟⎟⎟ g ; 3) Ti = mR 1 ⎠⎟⎟ ⎠ − T MPV

RT P0 ln = 1170 m ; 5) et 6) voir corrigé. Mg P

DS : exercices de statique des fluides, page 2

Corrigé I. 1) D’après l’énoncé, le volume de la partie immergée dans le mercure est v1 = 80 cm3 et le volume total est v2 = 240 cm3. Le poids équilibrant la poussée d’Archimède, la masse du corps est égale à celle des liquides déplacés, µm v1 + µe (v2 − v1 ) 13600 × 80 + 1000 × (240 − 80) soit : µv2 = µm v1 + µe (v2 − v1 ) ⇒ µ = = = 5200 kg.m−3 v2 240 2) Si le solide s’élève de x, sa poussée d’Archimède varie de (µe − µm )sxg , donc mx = (µe − µm )sxg qui est l’équation d’un oscillateur harmonique pour lequel : (µm − µe )sg (µm − µe )g µh 5200 × 0,1 = 2π ω= ω= ; T = 2π T = 0, 408 s µh m (µm − µe )g (13600 − 1000) × 9, 8 3) La période est augmentée si l’on tient compte de ce que la masse effective qui se déplace est supérieure parce qu’elle inclut aussi celle des liquides proches du corps.

II. p(O2 )V = n(O2 )RT ⇒ c(O2 ) =

n(O2 ) p(O2 ) 0, 21.105 = = = 8, 42 mol . m−3 = 0, 00842 mol/L V RT 8, 314 × 300

III.

1) Quand on se déplace dans un fluide au repos, la pression varie selon dp = −µgdz , d’où patm = ρg ( x1 − x ) + µg ( x 2 − x1 ) . µ D’autre part, patm = ρgH , d’où H = x1 − x + ( x 2 − x1 ) . ρ 2) La conservation des volumes de mercure et de glycérine s’écrit Sdx + S1dx1 = 0 et S 2dx 2 − S1dx1 = 0 , d’où : µ⎛ dH S S S ⎞ = 2 + 2 + ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟⎟ dx 2 S1 S S1 ⎠ ρ⎝ dx 2 1 1 = = = 7, 8 0,25 0,25 1050 0, 25 S S S µ ⎛ ⎞ dH 2 1− + + + 2 + ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ 5 50 13600 5 S1 S S1 ⎠ ρ⎝ dx Ce baromètre est huit fois plus sensible qu’un baromètre à mercure classique, pour lequel 2  1 . dH

(

)

IV.

1) La masse du densimètre est m = d0 µv ; quand le densimètre flotte, elle est égale à celle de l’eau déplacée : d0 m = d µ ( v − hs ) . D’où d = . 1 − h /H d0 2) d est mesurable si 0 < h < hM , soit d0 < d < . 1 − hM / H 3) Pour augmenter la sensibilité, il faut augmenter H = v / s . Cela peut se faire : • soit en diminuant la section, ce qui rend le densimètre fragile ; • soit en allongeant la tige, ce qui rend le densimètre plus encombrant ; • soit en augmentant le volume de la boule terminale et la masse de lest qu’elle contient, de façon à ne pas changer d0 ; cette solution est la meilleure.

(

)

(

1 dd d H ∆d h 2 H ∆d h ∆h 1 h = 0 ⇒ ∆ = − ∆h0 = = 1− 2 dh H (1 − h / H ) d0 H d0 H ∆h0 Les graduations sont donc plus serrées en bas du densimètre. 5) Si le densimètre monte de x , la poussée d’Archimède diminue de µsxg , d’où :

4)

d0 µvx = −d µsxg ⇒ x +

dg x =0 d 0H

ω2 =

gd Hd0

T = 2π

Hd0 . gd

V. Cloche à air. 1) La cloche est en équilibre si la somme des forces qui lui sont appliquées est nulle, soit mg . mg + p0S = p1S ⇒ p1 = p0 + S

DS : exercices de statique des fluides, page 3

). 2

Comme la transformation est isotherme, elle obéit à PV = cste

p1V1 = p0H 0S ⇒ V1 =

p0H 0S 2 . p0S + mg

dp = −ρg , dz p − p0 p0 H 0 S mg mgH 0 m = H0 − + + . p1 = p0 + ρg ( h − H ) h = H + 1 h = ρg p0 S + mg S ρg p0 S + mg S ρ mg 2) L’équilibre de la cloche implique p2S = mg + p0S ⇒ p2 = p0 + . S V m D’après la loi fondamentale de la statique des fluides p2 = p0 + ρg 2 ⇒ V2 = . ρ S

D’après la loi fondamentale de la statique des fluides

On peut aussi appliquer le théorème d’Archimède à l’ensemble de la cloche et de l’air qu’elle contient. 3) L’équilibre de la cloche a lieu si la masse de la cloche et du liquide situé dedans est égale à la masse de l’eau ρH 0 S − m . déplacée, soit m + ρ0VM = ρH 0 S ⇒ VM = ρ0

VI. Montgolfière. 1) La masse volumique µ de l’air se déduit de l’équation des gaz parfaits : PV = dP MP = −µg = − g dz RT

dP Mg =− dz P RT



RT Mg

P dP

∫P

0

P

= z =−

m m MP = . RT ⇒ µ = M V RT

RT P ln Mg P0

MPV MPV 2) La masse d’air dans la montgolfière est mi = ; elle déplace la masse d’air md = . D’où RTi RT ⎛ MPV F = ( −m − mi + md ) g = F = ⎜⎜ ⎝ R

3) F = 0

Ti =

4) F = 0

P =

z =

⎛1 1 ⎜ − ⎜⎝T Ti

⎞⎟ ⎞ − m ⎟⎟⎟ g ⎠⎟⎟ ⎠

1 1 = = 363 K 1 850 × 8, 31 1 mR − − 280 0, 0289 × 105 × 3000 T MPV mR ⎛1 1 MV ⎜⎜ − ⎝T Ti

⎞⎟ ⎠⎟

=

850 × 8, 31 = 86685 Pa ; 1 1 − 0, 0289 × 3000 × 280 380

(

)

RT P0 8, 31 × 280 100000 = = 1170 m ln ln Mg P 0, 0289 × 9, 8 86685

5) La pression est la même à l’intérieur et à l’extérieur au niveau de l’ouverture, mais elle varie plus lentement avec l’altitude à l’intérieur de la montgolfière qu’à l’extérieur, car la masse volumique de l’air interne est plus faible ; aussi, la pression est un peu plus grande dans la montgolfière qu’à l’extérieur. 6) Le Soleil chauffe la montgolfière le jour, mais pas la nuit ; aussi la consommation de gaz est plus faible le jour.

DS : exercices de statique des fluides, page 4