Exercices similitudes. Exercice1 : Déterminer la nature de chaque transformation
donnée par son écriture complexe et préciser les éléments caractéristiques . :.
Exercices similitudes Exercice1 : Déterminer la nature de chaque transformation donnée par son écriture complexe et préciser les éléments caractéristiques . :
a)
z ' = −2(1 + i ) z + (2 + i )
b) z’ = 2 z + 8
d) z ' = −3e
c) z ' = −3i z + 2(1 + i )
2i
π 3
z+5
Exercice 2: Pour tout réel m , on note Sm la similitude définie par son écriture complexe : z’ = (m + i) z + m – 1 1) Existe-t-il une valeur de m telle que Sm soit une translation ? 2) Existe-t-il une valeur de m telle que Sm soit une rotation ? si Oui , préciser l’angle et le centre . Exercice 3 : Déterminer dans chaque cas , l’écriture complexe de la similitude ainsi définie . Compléter la liste des éléments caractéristiques . a)
S est la rotation de centre C (1 ; 1) et d’angle pi/3.
b) S est la similitude directe de rapport 3 c)
2 3π et d’angle et de centre C ( 2 ; 3). 2 4
S est la similitude directe de centre C( 2 ; 1) qui transforme A d’affixe 1 en B d’affixe 2i .
d) C est un cercle de centre E( 0 ; 2) et de rayon 1 . A a pour coordonnées (2 ; 2) et S est la similitude directe qui transforme C en lui-même et O en A . Exercice 4 : Soient les points A( 4 ; -6) , B( 14 ; 0 ) , C ( -4 ; 6 ) , A1 ( 3 ; - 7 ) , B1 ( 9 ; 5 ) et C1 (-3 ; - 1 ) a) Faire une figure et tracer les triangles ABC et A1 B1 C1 . b) Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe S Telle que s(A) = A1 et S(B ) = B1 c) Vérifier que s( C ) = C1 d) Déterminer les éléments caractéristiques de S Exercice 5 : S est la similitude directe de centre W d’affixe w , de rapport 2 et d’angle
2π . 5
Déterminer en fonction de w l’écriture complexe des transformations S , S o S = S² , S 3 = SoS 2 , S 4 = SoS 3 , et S 5 = SoS 4 . Exercice 6 : S est une similitude directe d’écriture complexe : z’ = a z + b avec a < 1 . a) Expliquer pourquoi S admet un centre W . On note w son affixe. b) Soit M0 un point quelconque du plan complexe d’affixe z0 et ( Mn) la suite de points définies par Mn+1 = S( Mn) . On note zn les affixes des Mn . Définir la suite des affixes an =
z n − w . Quelle est la limite de cette suite ?
Exercice A : h est l’homthétie de centre O et de rapport 2 , s est la symétrie de centre O et r est la rotation de centre O et d’angle
2π 3
Justifier que les applications ponctuelles suivantes sont des similitudes et donner leurs éléments caractéristiques : h o s , h o r et r o s . Exercice B : S1 et S2 sont deux similitudes directes d’écriture complexe : z’ = ( 1 + i ) z - 2 i
et z’ = i z + 1 + i .
Déterminer les écritures complexes des similitudes : S1 o S2 , S2 o S1 et S1-1 o S2-1 Préciser les angles et les rapports de chacune. Exercice C : ABCD est un losange de centre O tel que ( AB, AD ) =
π 3
S est la similitude directe de centre C telle que S(A ) = B . 1) Justifier son existence et déterminer son angle et son rapport ( on ne demande pas son écriture complexe) 2) Pourquoi l’image de O est-elle le milieu de [BC] ? 3) Pourquoi l’image de D est-elle le centre de gravité du triangle BCD ? Exercice D : ABC est un triangle rectangle en A et non isocèle avec ( AB, AC ) =
π 2
H est le projeté orthogonal de A sur [BC], M est un point du segment [ AB] . La perpendiculaire en H à la droite (HM) coupe la droite (AC) en N . 1) Justifier qu’il existe une similitude directe S telle que S(B) = A et S( A )=C . ( On ne demande pas son écriture complexe) Déterminer son angle et son rapport. On note I son centre. 2) a) Pourquoi a-ton ( IA, IB ) = ( IC , IA) =
π 2
b)En déduire que le point I appartient à deux cercles C1 et C2 à préciser. c) Prouver que I =H. 3) Quelles sont les images des droites (AB) et (HM) par S ? En déduire l’image de M .
