EXERCICES SUR LES PYRAMIDES - euclides.fr

EXERCICES SUR LES PYRAMIDES Exercice 1. Dans un cube ABCDEFGH de côté 10 cm, on découpe la pyramide EABCD. 1°) La pyramide EABCD est-elle régulière ? 2°) Tracer à l'échelle  un patron de cette pyramide. 3°) Calculer les longueurs des arêtes [EB] et [EC] de la pyramide. On arrondira au dixième. 4°) Calculer le volume de la pyramide. On arrondira à l'unité. Solution. 1°) La pyramide EABCD n'est pas régulière car le pied H de la hauteur [EA] n'est pas le centre de sa base ABCD. 2°) Pour tracer le patron on commence par la base, autour de laquelle on développe les faces latérales. A noter que les faces latérales sont quatre triangles rectangles. De plus, les arêtes qui se recollent sont de même longueurs, il n'est donc pas nécessaire de connaître les longueurs de toutes les arêtes de la pyramide. Sur le patron à l'échelle  l'arête [AB] mesurera la moitié de sa longueur réelle c'est-àdire 5 cm. 3°) Dans le triangle EAB rectangle en A, d'après le Théorème de Pythagore, on a : EB² = AE² + AB² EB² = 10² + 10² EB² = 200 EB =

 200

EB ≈ 14,1 cm. Dans le triangle EBC rectangle en B, d'après le Théorème de Pythagore, on a : EC² = BE² + BC² EB² = 200 + 100 EB² = 300 EB =

 300

EB ≈ 17,3 cm. 4°) Le volume de la pyramide est :  × aire ABCD × AE =  × 10 × 10 × 10 ≈ 333 cm3.

Exercice 2. Dans un cube ABCDEFGH on découpe deux pyramides MGHE et MABCD, le point M étant le milieu du côté [CG] du cube. 1°) Laquelle de ces pyramides est un tétraèdre ? 2°) Tracer un patron de MGHE. 3°) Ecrire le volume de la pyramide MABCD en fonction de x, le côté du cube. Calculer ce volume lorsque x = 6 cm. Solution. 1°) La pyramide MGHE est délimitée par quatre faces triangulaires, c'est donc un tétraèdre. 2°) Pour tracer le patron on commencera par exemple par la face GHE, autour de laquelle on

développera les autres faces. Notons que toutes les faces du tétraèdre sont des triangles rectangles.

3°) Le volume de la pyramide MABCD est :  × aire ABCD × MC =  × x² × x = x3. Si x = 6 cm alors le volume de la pyramide est égal à  × 63 = 6² = 36 cm3.

Exercice 3. SABCD est une pyramide de hauteur [SA] et de base rectangulaire ABCD. On donne AB = 4 cm ; AD = 3 cm ; AS = 7 cm. 1°) Calculer SB. On arrondira au dixième. 2°) Déterminer la mesure de l'angle  SBA à 1 degré près par défaut. 3°) Calculer le volume de la pyramide SABCD. Solution. 1°) Dans le triangle SAB rectangle en A, d'après le Théorème de Pythagore, on a : SB² = AS² + AB² SB² = 7² + 4² SB² = 65 SB =

 65

SB ≈ 8,1 cm. 2°) Dans ce même triangle rectangle, on a : AB cos(  SBA ) = SB 4 cos(  SBA ) =  65  SBA ≈ 60°.

3°) Le volume de la pyramide est :  × aire ABCD × AS =  × 3 × 4 × 7 = 28 cm3.

Exercice 4. La pyramide SABCD est régulière, sa base ABCD est un carrée de 3 cm de côté et de

centre H. Les arêtes latérales mesurent 7 cm. Calculer la hauteur de cette pyramide, on arrondira au dixième. Solution. Calculons le carré de la longueur de la diagonale [AC]. Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, on a : AC² = AB² + BC² AC² = 3² + 3² AC² = 18 Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu, on en déduit que AH = AC et donc AH² = AC² soit AH² = 4,5.

Calculons maintenant la hauteur SH. Dans le triangle SAH, rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore, on a : AS² = AH² + SH² 7² = 4,5 + SH² SH² = 49 − 4,5 SH =

 44,5

SH ≈ 6,7 cm.

Exercice 5. Dans un cube ABCDEFGH de côté 10 cm, on découpe la pyramide ABDE. 1°) La pyramide ABDE est-elle régulière ? 2°) Tracer à l'échelle  un patron de cette pyramide. 3°) Calculer la longueur de l'arête [BD] de la pyramide. On arrondira au dixième. 4°) Calculer le volume de la pyramide. On arrondira à l'unité.

Solution. 1°) La face BDE choisie comme base est un triangle équilatéral, car ses côtés sont les diagonales de trois faces du cube. De plus, le sommet A est équidistant des points B, D et E ; donc la hauteur issue de A passe par le centre de la base BDE. Ainsi la pyramide ABDE est régulière. 2°) Pour tracer le patron on commencera par exemple par la face BDE, autour de laquelle on développera les autres faces qui sont des triangles rectangles isocèles.

3°) Dans le triangle ABD rectangle en A, d'après le Théorème de Pythagore, on a : BD² = AD² + AB² BD² = 10² + 10² BD² = 200 BD =

 200

BD ≈ 14,1 cm. 4°) Le volume de la pyramide est :  × aire ABD × AE =  ×

10×10 × 10 ≈ 167 cm3. Pour cette 2

question il est judicieux de choisir comme base une autre face que BDE.

Exercice 6. La base d'une pyramide régulière étant un hexagone de 3 mètres de côté, calculer la hauteur de cette pyramide, sachant que son aire latérale est dix fois l'aire de sa base†. Solution. Appelons cette pyramide ABCDEFG ; sa base est l'hexagone ABCDEF, son sommet G et sa hauteur [GH]. L'aire latérale est composée de six triangles isocèles identiques ; appelons [GI] la hauteur issue de G de la face latérale GAB. La base est un hexagone régulier donc composé de six triangles équilatéraux identiques ; appelons [HI] la hauteur issue de H du triangle HAB. † D'après Rouché & Comberousse, Traité de géométrie élémentaire, Paris, 1866, page 459.

Si l'aire latérale est dix fois l'aire de sa base alors l'aire de l'une des faces latérales est dix fois l'aire de l'un des triangles équilatéraux composant la base ; ainsi : aire GAB = 10 × aire AHB GI × AI = 10 × HI × AI GI = 10 HI. D'autre part, dans le triangle GHI rectangle en H, d'après le Théorème de Pythagore, on a : GI² = GH² + HI² GH² = GI² − HI²

donc

GH² = 100 HI² − HI² GH² = 99 HI² (1) Pour trouver la hauteur GH de la pyramide, il reste à calculer HI² ; dans le triangle AHI rectangle en I, d'après le Théorème de Pythagore, on a : AH² = AI² + HI² donc HI² = AH² − AI² HI² = 3² − 1,5² HI² = 6,75 Finalement, en reportant cette valeur dans la formule (1), on trouve HG² = 668,25 HG ≈ 26 m.

Exercice 7. SABCD est une pyramide de hauteur [SA] et de base rectangulaire ABCD ; on appelle EFGH la section de la pyramide par un plan parallèle à sa base. On donne AB = 5 cm ; AD = 3 cm ; SA = 7 cm ; SE = 4 cm, E étant un point de [SA]. 1°) Calculer le volume de la pyramide SABCD. 2°) Calculer celui de la pyramide SEFGH. Arrondir au dixième. 3°) Calculer le volume du tronc de pyramide ABCDEFGH. Arrondir au dixième. Solution. 1°) Le volume de SABCD est :  × aire ABCD × AS =  × 3 × 5 × 7 = 35 cm3. 2°) La pyramide SEFGH est une 4 réduction à l'échelle k = SE ÷ SA = 7 de SBCD. Le volume de SEFGH est donc : 3

 4 7

× vol SABCD =

3

 4 7

× 35

≈ 6,5 cm3. 3°) Le volume du tronc de pyramide est : vol SABCD − vol SEFGH ≈ 28,5 cm3.

Exercice 8. On remplit deux récipients avec la même hauteur d’eau ; le premier a la forme d’une pyramide régulière inversée de hauteur 20 cm et dont la base est un carré de côté 20 cm ; le second a la forme d’un parallélépipède de hauteur 20 cm et dont la base est un carré de côté 10 cm. Y a-t-il une hauteur pour laquelle les deux volumes d’eau sont égaux ? Solution. Appelons x la hauteur d'eau dans les récipients. Le cube et la pyramide ayant une hauteur de 20 cm, on a nécessairement 0 < x < 20. Si l'on suppose que la surface de l'eau est parallèle à la base du récipient pyramidale, alors l'eau contenue dans ce récipient prend la forme d'une x pyramide qui est la réduction du récipient à l'échelle 20 . Si les volumes d'eau dans les récipients sont égaux, alors on a :

  x 20

Echelle de réduction

3

×  × 20 × 20 × 20 = 10 × 10 × x Volume de la pyramide

Volume d'eau dans le récipient parallélépipèdique

Après simplification, il vient, x² ×  = 100 ; d'où x² = 300 et par suite x =  300 ≈ 17,3 cm. Si la hauteur d'eau dans les deux récipients est d'environ 17,3 cm alors ces deux récipients contiennent pratiquement le même volume d'eau.

Exercice 9. Dans un cube ABCDEFGH de côté 10 cm, on appelle M le milieu de l'arête [AB], N celui de [AD] et P celui de [AE]. Calculer le volume du tronc de pyramide BDEMNP. Arrondir au dixième. Solution. Le volume cherché est la différence des volumes de deux pyramides, à savoir : vol BDEMNP = vol ABDE − vol AMNP AB×AD AM×AN =× × AE −  × × AP 2 2 10×10 5×5 =× × 10 −  × ×5 2 2 1000−125 = 6 875 = 6 ≈ 145,8 cm3.

Exercice 10. Il est un tronc de pyramide qui a 4 pieds de large et autant de long à l'une de ses bases ; l'autre base a 3 pieds de large et autant de long ; la hauteur de ce tronc de pyramide est de 12 pieds. On veut connaître le volume de ce solide.† Solution. Le volume cherché est la différence des volumes de deux pyramides SABCD et SEFGH. Il nous faut tout d'abord connaître la hauteur de l'une de ces pyramides. Le raisonnement fait par Chuquet est le suivant : en s'élevant de 12 pieds, le côté de la base de 4 pieds diminue de 1 pieds et on trouve 3 pieds. En s'élevant encore de 12 pieds ce côté diminue encore de 1 pieds et l'on obtiendrait 2 pieds. On en déduit que la hauteur de la pyramide est de 48 pieds. On a proportionnalité entre la hauteur du tronc de pyramide et la différence des côtés des bases. Maintenant le volume du tronc de pyramide est : vol ABCDEFGH = vol SABCD − vol SEFGH =  × 4 × 4 × 48 −  × 3 × 3 × 36 = 256 − 108 = 148. Le volume du tronc de pyramide est donc de 148 pieds carré.

 •  † D'après Nicolas Chuquet, Géométrie, 1484.