Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel m > 0, l'unique solution a de
... Définition 2 On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui, à tout ...
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Jean Chanzy Université de Paris-Sud
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∗
Définition de la fonction « ln » :
Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel m > 0, l’unique solution a de l’équation ex = m. On note cette solution a = ln(m). Définition 2 On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui, à tout réel x > 0 associe le réel ln(x), tel que : x > 0 et y = ln(x) ⇔ ey = x . Propriétés de la fonction ln : 1. Relations fonctionnelles : ∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, ∀n ∈ Z, ∀p ∈ N∗ , ln(1) = 0 et ln(e) = 1 a = ln(a) − ln(b) ln b
ln(a × b) = ln(a) + ln(b) ln(an ) = n ln(a)
1 ln = − ln(b), b √ 1 ln( p a) = ln(a). p
2. Identités : (a) ∀x ∈ R, ln(ex ) = x, (b) ∀x > 0, eln(x) = x.
On peut définir la fonction ln d’une autre manière : Conséquence de la définition 2 et définition 3 Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur ]0, +∞[ telle que ∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, f (a × b) = f (a) + f (b), et f ′ (1) = 1. Cette fonction est la fonction logarithme népérien. Démonstration : Remarquons d’abord que ∀a ∈ ]0, +∞[, f (a × 1) = f (a) + f (1), donc f (1) = 0. Soit la fonction définie sur ]0, +∞[ telle que g(x) = f (ax)−f (x), avec ∀a > 0. g(x) = f (a)+f (x)−f (x), donc g est constante. Comme g est dérivable, g ′ (x) = af ′ (ax) − f ′ (x) = 0, d’où af ′ (ax) = f ′ (x). Pour x = 1, 1 on obtient af ′ (a) = f ′ (1) = 1. Donc f ′ (a) = , ∀a > 0. Si on pose u(x) = f (x) − ln(x), ∀x ∈ ]0, +∞[, a u′ (x) = 0, et u est une fonction constante. Comme u(1) = f (1) − ln(1) = 0, u = 0, et ∀x ∈]0, +∞[, f (x) = ln(x). Réciproquement, la fonction ln vérifie les conditions de l’énoncé. 2
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Étude de la fonction logarithme népérien : On considère la fonction : ln : ∗ Université
]0, +∞[→ R x 7→ y = ln(x) tel que x = ey
de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex
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1. Ensemble de définition : La fonction ln est définie sur ]0, +∞[. 2. Limites et asymptotes : Pour la fonction ln, on a les limites suivantes, ∀n ∈ N : lim ln(x) = −∞
x→0+
lim x ln(x) = 0
x→0+
lim ln(x) = +∞ x→+∞
ln(x) =0 x ln(x) =0 lim x→+∞ xn lim
x→+∞
lim xn ln(x) = 0
x→0+
On retiendra la règle suivante : à l’infini, toute fonction puissance l’emporte toujours sur la fonction logarithme népérien et impose sa limite. ln(1 + x) On a aussi lim = 1, ce qui découle du calcul du nombre dérivé en 0 de la fonction ln. Pour x→0 x x6=0
x suffisamment petit, ln(1 + x) est donc très proche de x, ce que l’on peut écrire ln(1 + x) ∼ x. On constate également que l’axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonction ln en −∞. 1 3. Sens de variation : La fonction ln est définie, continue et dérivable sur ]0, +∞[. On a ln′ (x) = , x ∀x ∈ ]0, +∞[, donc ∀x ∈ ]0, +∞[, ln′ (x) > 0, et ln est une fonction strictement croissante sur ]0, +∞[. x
+∞
0
ln′ (x)
+ +∞
ln(x)
−∞
4. La bijection ln : Comme la fonction ln est continue sur ]0, +∞[, puisque dérivable sur ]0, +∞[, et qu’elle est strictement croissante sur ]0, +∞[, c’est une bijection de ]0, +∞[ sur R, et on a alors : ln(x) = 0 ⇔ x = 1 ∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, ln(a) = ln(b) ⇔ a = b (bijection), ln(x) > 0 ⇔ x > 1 ∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, ln(a) > ln(b) ⇔ a > b (croissance), ln(x) < 0 ⇔ 0 < x < 1 ∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, ln(a) < ln(b) ⇔ a < b (croissance). 5. Tangente particulière : En x = 1, le nombre dérivé de ln est 1, donc l’équation de la tangente à la courbe en x = 1 est y = x − 1.
6. Courbe représentative :
y y = ln(x) ~j ~i x
O
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Logarithme décimal :
Définition 4 On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log qui, à tout réel x > 0 ln(x) associe le réel log(x) = . ln(10) Propriétés de la fonction log : 1 . 1. La fonction log est définie et dérivable sur ]0, +∞[, et log′ (x) = x ln(10) 2. La fonction log est strictement croissante sur ]0, +∞[, car ln(10) > 0. 3. Relations fonctionnelles : ∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, ∀n ∈ Z, ∀p ∈ N∗ , log(1) = 0 et log(10) = 1 a log = log(a) − log(b) b
log(a × b) = log(a) + log(b) log(an ) = n log(a)
1 = − log(b), b √ 1 log( p a) = log(a). p log
4. Pour tout réel A, 10n ≤ A < 10n+1 équivaut à n ≤ log(A) < n + 1.
5. Identités :
(a) ∀x ∈ R, log(10x ) = x, (b) ∀x > 0, 10log(x) = x.
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Fonctions composées avec ln :
Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R. On considère la fonction composée g = ln ◦u. Propriétés u′ (x) 1. La fonction g est définie, dérivable sur I et g ′ (x) = . Le signe de g ′ (x) est le même que celui u(x) de u′ (x). 2. Les fonctions u et g = ln ◦u ont les mêmes variations sur I.
3. Soit a un nombre réel donné, ou +∞, ou −∞, et soit b ∈ R+ : (a) Si lim u(x) = +∞, alors lim ln(u(x)) = +∞, x→a
x→a
(b) Si lim u(x) = 0+ , alors lim ln(u(x)) = −∞, x→a
x→a
(c) Si lim u(x) = b, alors lim ln(u(x)) = ln(b). x→a
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x→a
Fonctions exponentielles de base a :
Définition 5 Soit a un réel strictement positif et différent de 1. On appelle fonction exponentielle de base a la fonction g qui, à tout x ∈ R associe le réel ax = ex ln(a) . g(x) = ax = ex ln(a) . Propriétés 1. Pour tout réel x, ln(ax ) = x ln(a), ax = ax−y , (ax )y = axy , ay 3. La fonction g est dérivable sur R et g ′ (x) = ax ln(a), 2. Pour tous réels x et y, ax × ay = ax+y ,
4. (a) Si a > 1, lim g(x) = +∞ et x→+∞
lim g(x) = 0, x→−∞
3
(b) Si 0 < a < 1, lim g(x) = 0 et x→+∞
lim g(x) = +∞. x→−∞
5. Variations de g : (a) Si a > 1, x
+∞
−∞
g ′ (x)
+ +∞
g(x)
0
(b) Si 0 < a < 1, x
+∞
−∞
g ′ (x)
− +∞
g(x)
0 y
y = ax
y = ax
0 0. Le réel
1 1 √ n x se note aussi x n ou e n ln(x) . La fonction h qui, à tout x > 0
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associe le réel e n ln(x) est la fonction « racine n-ième ». Propriétés 1. la fonction « racine n-ième » est définie, dérivable et strictement croissante sur ]0, +∞[, et sa 1 1 dérivée est h′ (x) = x n −1 , n 2. lim h(x) = +∞ et lim h(x) = 0. x→+∞
x→0+
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