Formelsammlung Technische Mechanik - von Olaf Gramkow

Gleichförmige Bewegung Weg s Geschwindigkeit v

s = v ⋅t s v = =π ⋅d ⋅n t

Gleichförmige beschleunigte Bewegung 1 Bewegung ohne Anfangss = a ⋅t2 2 geschwindigkeit v = a ⋅t v = 2⋅a⋅s v⋅t s= 2

s v t d n

Weg Geschwindigkeit Zeit Durchmesser Drehzahl

m m·s-1 s m min-1

s a t v

Weg Beschleunigung Zeit Geschwindigkeit

m m·s-2 s m·s-1

F a m g µ

Kraft Beschleunigung Masse Fallbeschleunigung Haftreibungszahl

N = kg·m·s-2 m·s-2 kg m·s-2 1

ds dt dv d 2 s s = a = = dt dt 2 v = ∫ a ⋅ dt s = v =

s = ∫ v ⋅ dt

Schiefe Ebene Kraft F Gewichtskraft FG

F = m⋅a FG = m ⋅ g

Haftreibungskraft FR

FR = µ ⋅ FG FR = µ ⋅ FN

Hangabtriebskraft FH Normalkraft FN

FH = m ⋅ g ⋅ sin α FN = m ⋅ g ⋅ cos α

Arbeit F ist konstant auf geradem Weg

W = Fs ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos α = F ⋅s s2

F ist veränderlich

W = ∫ Fs ⋅ ds s1

Arbeitsformen Hubarbeit WH

WH = FG ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h 1 m ⋅ v2 2

Beschleunigungsarbeit WB

WB =

Reibungsarbeit WR

WR = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s ⋅ cosα

Erstellt von Olaf Gramkow

W Arbeit Fs Kraftkomponente in Wegrichtung F Kraft s Weg α Winkel zwischen F und s

J N

FG h m g v µ s α

N m kg m·s-2 m·s-1 1 m 1°, 1 (rad)

Gewichtskraft Höhe über Nullniveau Masse Fallbeschleunigung Geschwindigkeit Haftreibungszahl Weg Winkel der Schrägen

N = kg·m·s-2 m 1°, 1 (rad)

Seite: 1/7

Energie, Energieerhaltung 1 m ⋅ v2 2

kinetische Energie Ekin

Ekin =

potentielle Energie Epot

E pot = m ⋅ g ⋅ h

Energieerhaltung

E pot + Ekin = konstant

Ekin m v Epot g h Ekin Epot

kinetische Energie Masse Geschwindigkeit potentielle Energie Fallbeschleunigung Höhe über Nullniveau kinetische Energie potentielle Energie

J kg m·s-1 J m·s-2 m J J

P ∆W ∆t η Wab Wzu

Momentanleistung Arbeit während ∆ t Zeitintervall Wirkungsgrad abgegebene Arbeit zugeführte Arbeit

W = J·s-1 J s 1 J J

Leistung

Momentanleistung P

P=

dW ∆W = lim ∆ t → 0 dt ∆t

Wirkungsgrad η

η=

Wab Pab = Wzu Pzu

η ges = η1 ⋅η2 ⋅ ... ⋅ηn Übersetzung i

i=

nvor nnach

i Übersetzung nvor Drehzahl (Eingang) nnach Drehzahl (Ausgang)

1 min-1 min-1

ω ϕ t

Winkelgeschwindigkeit Drehwinkel Zeit

s-1 1 (rad) s

ϕ α t a s r ω v n

Drehwinkel Winkelbeschleunigung Zeit Beschleunigung Bogen Radius Winkelgeschwindigkeit Bahngeschwindigkeit Drehzahl

1 (rad) s-2 s m·s-2 m m s-1 m·s-1 min-1

FZp FZf m v r ω

Zentripetalkraft Zentrifugalkraft Masse Geschwindigkeit Radius Winkelgeschwindigkeit

N = kg·m·s-2 N = kg·m·s-2 kg m·s-1 m s-1

FG γ m r

Gravitationskraft Gravitationskonstante Masse Schwerpunktabstand

N m3·kg-1·s-2 kg m

i JZ m

Radius Massenträgheitsmoment Masse

m kg·m2 kg Seite: 2/7

iges = i1 ⋅ i2 ⋅ ... ⋅ in

Gleichförmige Kreisbewegung

Winkelgeschwindigkeit ω

ω=

ϕ = konstant t

Gleichförmige beschleunigte Kreisbewegung s ω ⋅t 1 ϕ = α ⋅t2 = = Drehwinkel ϕ 2 r 2 v π ⋅n = α ⋅t = r 30

Winkelgeschwindigkeit ω

ω=

Winkelbeschleunigung α

α = ϕ =

a ω = = konstant r t

Zentripetalkraft / Zentrifugalkraft FZp = FZf Zentripetalkraft FZp

Zentrifugalkraft FZf

FZp =

m ⋅ v2 = m ⋅ r ⋅ω 2 r

Gravitationsgesetz m1 ⋅ m2 r2

Gravitationskraft FG

FG = γ

Gravitationskonstante γ

γ = 6,67 ⋅10 −11

m3 kg ⋅ s 2

Begriff des Trägheitsradius

Trägheitsradius i Erstellt von Olaf Gramkow

i=

JZ m

Kinetik der Rotation Massenträgheitsmoment JS

Drehmoment M

J S = ∫ r 2 ⋅ dm = ∑ mi ⋅ ri 2 M = J ⋅ ϕ J A = J S + m ⋅ a2 Satz von Steiner

Begriff des Schwungmoments FG ⋅ D 2 = J Z ⋅ 4 g Schwungmoment FG·D2

kg·m2 kg m

ϕ a

Massenträgheitsmoment Masse Abstand von der Drehachse Winkelbeschleunigung Abstand Drehpkt./Schwerpkt

JZ g

Massenträgheitsmoment Fallbeschleunigung

kg·m2 m·s-2

mred reduzierte Masse JZ Massenträgheitsmoment r Radius

kg kg·m2 m

ϕ

s-2 m·s-2 m kg m·s-2 s-1 s

JS m r

s-2 m

Begriff der reduzierten Masse

reduzierte Masse mred

mred =

JZ r2

Beschleunigung

Rotationsbeschleunigung ϕ

ϕ =

x R

m2 ⋅ g m1 + m2 2 ω = ω 0 − ϕ ⋅ t Arbeit, Energie und Leistung bei der Rotation ϕ2 Arbeit W (bei konstantem W = Drehmoment) rot ∫ M (ϕ ) ⋅ dϕ = M ⋅ ϕ

Translationsbeschleunigung x

x =

ϕ1

Rotationsenergie Erot (kinetische Energie) Energieerhaltungssatz Leistung P

Sonderfall: M (ϕ ) = konst. W = M (ϕ 2 − ϕ1 ) 1 Erot = J P ⋅ ω 2 2 WrotE = WrotA + W zu − Wab P = M ⋅ω (Rotation) P = F ⋅v (Translation) JP = JS + m ⋅ r2

x R m g

ω t

Rotationsbeschleunigung Translationsbeschleunigung Radius Masse Fallbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit Zeit

Wrot Arbeit M Drehmoment ϕ Drehwinkel

J = kg·m2·s-2 N·m 1°, 1 (rad)

Erot Rotationsenergie JP Massenträgheitsmoment ω Winkelgeschwindigkeit

J kg·m2 s-1

P M ω F v JP JS m r

Leistung Drehmoment Winkelgeschwindigkeit Kraft Geschwindigkeit Massenträgheitsmoment Massenträgheitsmoment Masse Radius

W = J·s-1 N·m s-1 N = kg·m·s-2 m·s-2 kg·m2 kg·m2 kg m

xT

Abstand zwischen Drehpunkt und Angriffspunkt der Trägheitskraft FTr Massenträgheitsmoment Masse Abstand zwischen Schwerpunkt und Drehpunkt Massenträgheitsmoment Massenträgheitsmoment

m

Trägheitsmittelpunkt xT =

JZ m ⋅ rS

J Z = J S + m ⋅ rS2 JS + rS m ⋅ rS xT > rS

xT =


JP m rS JZ JS

kg·m2 kg m kg·m2 kg·m2 Seite: 3/7

Kinetik der allgemeinen ebenen Bewegung Drehpunkt ist der aC = aS + aCS Schwerpunkt aCS = aCSN + aCST

Beschleunigung – Punkt C Schwerpunktbeschleunigung aCS Beschleunigung des Punktes C bei der Drehung von S aCST Tangentialkomponente aCSN Normalkomponente aC aS

aCST = r ⋅ ϕ = r ⋅ α aCSN = r ⋅ ϕ 2 = r ⋅ ω 2

m·s-2 m·s-2 m·s-2 m·s-2 m·s-2

FRX = m ⋅ aSX FRY = m ⋅ aSY

Schwerpunktsatz Relativbewegung

a  F  FR =  RX  = m ⋅ aS = m ⋅  SX   aSY   FRY  acor = 2 ⋅ vrel ⋅ ω F

für ω ⊥ vrel

sonst: acor = 2(ω F × vrel ) acor = 2 ⋅ ω F ⋅ vrel ⋅ sin (∠ω F , vrel ) Kinetik der Relativbewegung

vCabc = vF + vrel

Festigkeitslehre F A F Schubspannung τ τ= A F σ Z = ≤ σ Zzul Zugbeanspruchung σ Z A Formänderung bei Beanspruchung auf Zug ∆l = l − l0 Verlängerung ∆l ∆l Dehnung ε ε= l0 ∆d = d 0 − d Durchmesseränderung ∆d ∆d Querkürzung ε Q εQ = d0

Normalspannung σ

Querzahl oder Poissonzahl µ

σ=

µ=

εQ ε

σ F A τ σZ

Normalspannung Kraft Fläche Schubspannung Zubeanspruchung

∆l Verlängerung l Endlänge l0 Anfangslänge ε Dehnung ∆d Durchmesseränderung d0 Anfangsbreite d Endbreite ε Q Querkürzung

µ E

Poissonzahl Elastizitätsmodul

N·m-2 N = kg·m·s-2 m2 N·m-2 N·m-2

m m m 1 m m m 1 1 N·mm2

σ = E ⋅ε N für Stahl : E = 210000 mm 2 Statische Belastung

zähe Werkstoffe

σ zul =

Re ( RP0 , 2 )

spröde Werkstoffe

σ zul =

Rm ν

ν = 2,0...4,0

σ zul =

σ Zsch ν

ν = 3,0...6,0

Schwellende Belastung


ν

ν = 1,3...2,0

Seite: 4/7

Wechselnde Belastung

σ zul =

σ Zdw ν

ν = 3,0...6,0

Beanspruchung auf Druck

σd =

F ≤ σ dzul A

∆l = l0 − l (= l0 ⋅ ∆t ⋅ α ) ∆l Stauchung ε ε= (= ∆t ⋅ α ) l0 Beanspruchung auf Abscheren F τ a = ≤ τ azul Abscherspannung τ a A

Verkürzung ∆l

Inneres Kräftesystem und Spannungsarten y σ by = σ b max ⋅ Biegespannung σ by e

F A ∆l l0 l ε

Kraft Fläche Verkürzung Anfangslänge Endlänge Stauchung

für zähe Metalle: τ a ≈ 0,8 ⋅ Rm für Grauguß: τ ab ≈ 1,1 ⋅ Rm

σ by

σ b max y e Flächenmoment 2. Grades

Biegespg. im Abstand y von der neutralen Faser maximale Biegespannung in der Randfaser Abstand von der neutralen Faser Abstand der Randfaser von der neutralen Faser

I = ∫ y 2 ⋅ dA

σ b max = axiales Widerstandsmoment

N m2 m m m 1

W=

Mb ⋅ e I

I e Mb ≤ σ bzul W Festigkeitswert  σ bB  σ bF  σ bsch  σ bw  = =  =  =  =  Sicherheitszahl  ν  ν  ν  ν 

σ b max = σ bzul

Vollkommen elastischer Stoß m1 ⋅ v1 A + m2 ⋅ v2 A = m1 ⋅ v1E + m2 ⋅ v2 E Impulserhaltungssatz p = m⋅v Impuls p p Impuls m Masse p = m⋅v v Geschwindigkeit v ⋅ (m1 − m2 ) + 2 ⋅ m2 ⋅ v2 A v1A Geschwindigkeit vor v1E = 1 A dem Stoß (Körper 1) m1 + m2 v2A Geschwindigkeit vor v ⋅ (m2 − m1 ) + 2 ⋅ m1 ⋅ v1 A dem Stoß (Körper 2) v2 E = 2 A m1 + m2 v1E Geschwindigkeit nach dem Stoß (Körper 1) v2E Geschwindigkeit nach dem Stoß (Körper 2) m1 Masse (Körper 1) m2 Masse (Körper 2) Teilweise plastischer Stoß v −v ε Stoßzahl Stoßzahl ε ε = 2 E 1E ε=0 vollkommen plastischer Stoß v1 A − v2 A ε=1 vollkommen elastischer Stoß


kg·m·s-1 kg m·s-1 m·s-1 m·s-1 m·s-1 m·s-1 kg kg 1

Seite: 5/7

v ⋅ (m1 − ε ⋅ m2 ) + v2 A ⋅ (1 + ε ) ⋅ m2 v1E = 1 A m1 + m2 v ⋅ (m2 − ε ⋅ m1 ) + v1 A ⋅ (1 + ε ) ⋅ m1 v2 E = 2 A m1 + m2

Energieverlust ∆E

∆E =

1 m ⋅m 2 ⋅ 1 − ε 2 ⋅ 1 2 ⋅ (v1 A − v2 A ) 2 m1 + m2

Wirkungsgrad η

(

η=

)

1 1 + mmab

mb > ma

v1A Geschwindigkeit vor dem Stoß (Körper 1) v2A Geschwindigkeit vor dem Stoß (Körper 2) v1E Geschwindigkeit nach dem Stoß (Körper 1) v2E Geschwindigkeit nach dem Stoß (Körper 2) m1 Masse (Körper 1) m2 Masse (Körper 2) ∆E Energieverlust ε Stoßzahl v1A Geschwindigkeit vor dem Stoß (Körper 1) v2A Geschwindigkeit vor dem Stoß (Körper 2) m1 Masse (Körper 1) m2 Masse (Körper 2) η Wirkungsgrad ma kleine Masse mb große Masse

m·s-1 m·s-1 m·s-1 m·s-1 kg kg kg·m2·s-2 1 m·s-1 m·s-1 kg kg 1 kg kg

Geometrische Körper Kreis: π A = π ⋅ r2 = ⋅ d 2 4 U = 2 ⋅π ⋅ r = π ⋅ d

Kugel:

V=

4 π 1 O3 ⋅π ⋅ r 3 = ⋅ d 3 = ⋅ 3 6 6 π

O = 4 ⋅ π ⋅ r 2 = π ⋅ d 2 = 3 36 ⋅ π ⋅ V 2 r=

1 O 3 3 ⋅V ⋅ = 2 π 4 ⋅π

3 ⋅V O = 2⋅3 π 4 ⋅π Quader: V = a ⋅b⋅c O = 2 ⋅ (a ⋅ b + a ⋅ c + b ⋅ c )

d=

d = a 2 + b2 + c2 Zylinder: V = π ⋅ r2 ⋅ h M = 2 ⋅π ⋅ r ⋅ h O = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ (r + h )


Seite: 6/7

Massenträgheitsmomente einiger Körper Hohlzylinder

(

J x = 12 ⋅ m ⋅ ra2 + ri 2

(

)

J y = J z = 14 ⋅ m ⋅ ra2 + ri 2 + 13 ⋅ l 2 dünnwandiger Hohlzylinder

JS = Jx = m ⋅ r2

(

J y = J z = 14 ⋅ m ⋅ 2 ⋅ r 2 + 13 ⋅ l 2

)

)

J x = 12 ⋅ m ⋅ r 2

Vollzylinder

J y = J z = 14 ⋅ m ⋅ r 2 + 121 ⋅ m ⋅ t 2 dünne Scheibe (l « r)

J S = J x = 12 ⋅ m ⋅ r 2

J y = J z = 14 ⋅ m ⋅ r 2 dünner Stab (l » r) unabhängig von der Form des Querschnitts

J x = 12 ⋅ m ⋅ r 2

dünner Ring

Jx = m ⋅ r2

J S = J y = J z = 121 ⋅ m ⋅ l 2 J y = J z = 12 ⋅ m ⋅ r 2

Kugel, massiv

J x = J y = J z = 25 ⋅ m ⋅ r 2

dünne Kugelschale

J x = J y = J z = 23 ⋅ m ⋅ r 2

Quader

J S = J x = 121 ⋅ m ⋅ b 2 + h 2

( ⋅ m ⋅ (l

(

J y = 121 ⋅ m ⋅ l 2 + h 2 J z = 121

2

+ b2

) )

)

Trigonometrische Funktionen Gegenkathete a sin α = = Hypotenuse c Ankathete b cos α = = Hypotenuse c Gegenkathete a = tan α = Ankathete b Ankathete b cot α = = Gegenkathete a sin 2 x + cos 2 x = 1

tan x =

sin x 1 = cos x cot x

π ⋅α 180° 180° Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß: α = ⋅x π Erstellt von Olaf Gramkow

cot x =

cos x 1 = sin x tan x

Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß: x =

Seite: 7/7