n Drehzahl m m·s. -1 s m min. -1. Gleichförmige beschleunigte Bewegung.
Bewegung ohne Anfangs- geschwindigkeit. 2 ..... Festigkeitslehre.
Normalspannung σ.
Gleichförmige Bewegung Weg s Geschwindigkeit v
s = v ⋅t s v = =π ⋅d ⋅n t
Gleichförmige beschleunigte Bewegung 1 Bewegung ohne Anfangss = a ⋅t2 2 geschwindigkeit v = a ⋅t v = 2⋅a⋅s v⋅t s= 2
J S = ∫ r 2 ⋅ dm = ∑ mi ⋅ ri 2 M = J ⋅ ϕ J A = J S + m ⋅ a2 Satz von Steiner
Begriff des Schwungmoments FG ⋅ D 2 = J Z ⋅ 4 g Schwungmoment FG·D2
kg·m2 kg m
ϕ a
Massenträgheitsmoment Masse Abstand von der Drehachse Winkelbeschleunigung Abstand Drehpkt./Schwerpkt
JZ g
Massenträgheitsmoment Fallbeschleunigung
kg·m2 m·s-2
mred reduzierte Masse JZ Massenträgheitsmoment r Radius
kg kg·m2 m
ϕ
s-2 m·s-2 m kg m·s-2 s-1 s
JS m r
s-2 m
Begriff der reduzierten Masse
reduzierte Masse mred
mred =
JZ r2
Beschleunigung
Rotationsbeschleunigung ϕ
ϕ =
x R
m2 ⋅ g m1 + m2 2 ω = ω 0 − ϕ ⋅ t Arbeit, Energie und Leistung bei der Rotation ϕ2 Arbeit W (bei konstantem W = Drehmoment) rot ∫ M (ϕ ) ⋅ dϕ = M ⋅ ϕ
Translationsbeschleunigung x
x =
ϕ1
Rotationsenergie Erot (kinetische Energie) Energieerhaltungssatz Leistung P
Sonderfall: M (ϕ ) = konst. W = M (ϕ 2 − ϕ1 ) 1 Erot = J P ⋅ ω 2 2 WrotE = WrotA + W zu − Wab P = M ⋅ω (Rotation) P = F ⋅v (Translation) JP = JS + m ⋅ r2
x R m g
ω t
Rotationsbeschleunigung Translationsbeschleunigung Radius Masse Fallbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit Zeit
W = J·s-1 N·m s-1 N = kg·m·s-2 m·s-2 kg·m2 kg·m2 kg m
xT
Abstand zwischen Drehpunkt und Angriffspunkt der Trägheitskraft FTr Massenträgheitsmoment Masse Abstand zwischen Schwerpunkt und Drehpunkt Massenträgheitsmoment Massenträgheitsmoment
m
Trägheitsmittelpunkt xT =
JZ m ⋅ rS
J Z = J S + m ⋅ rS2 JS + rS m ⋅ rS xT > rS
xT =
Erstellt von Olaf Gramkow
JP m rS JZ JS
kg·m2 kg m kg·m2 kg·m2 Seite: 3/7
Kinetik der allgemeinen ebenen Bewegung Drehpunkt ist der aC = aS + aCS Schwerpunkt aCS = aCSN + aCST
Beschleunigung – Punkt C Schwerpunktbeschleunigung aCS Beschleunigung des Punktes C bei der Drehung von S aCST Tangentialkomponente aCSN Normalkomponente aC aS
aCST = r ⋅ ϕ = r ⋅ α aCSN = r ⋅ ϕ 2 = r ⋅ ω 2
m·s-2 m·s-2 m·s-2 m·s-2 m·s-2
FRX = m ⋅ aSX FRY = m ⋅ aSY
Schwerpunktsatz Relativbewegung
a F FR = RX = m ⋅ aS = m ⋅ SX aSY FRY acor = 2 ⋅ vrel ⋅ ω F
für ω ⊥ vrel
sonst: acor = 2(ω F × vrel ) acor = 2 ⋅ ω F ⋅ vrel ⋅ sin (∠ω F , vrel ) Kinetik der Relativbewegung
vCabc = vF + vrel
Festigkeitslehre F A F Schubspannung τ τ= A F σ Z = ≤ σ Zzul Zugbeanspruchung σ Z A Formänderung bei Beanspruchung auf Zug ∆l = l − l0 Verlängerung ∆l ∆l Dehnung ε ε= l0 ∆d = d 0 − d Durchmesseränderung ∆d ∆d Querkürzung ε Q εQ = d0
Normalspannung σ
Querzahl oder Poissonzahl µ
σ=
µ=
εQ ε
σ F A τ σZ
Normalspannung Kraft Fläche Schubspannung Zubeanspruchung
∆l Verlängerung l Endlänge l0 Anfangslänge ε Dehnung ∆d Durchmesseränderung d0 Anfangsbreite d Endbreite ε Q Querkürzung
µ E
Poissonzahl Elastizitätsmodul
N·m-2 N = kg·m·s-2 m2 N·m-2 N·m-2
m m m 1 m m m 1 1 N·mm2
σ = E ⋅ε N für Stahl : E = 210000 mm 2 Statische Belastung
zähe Werkstoffe
σ zul =
Re ( RP0 , 2 )
spröde Werkstoffe
σ zul =
Rm ν
ν = 2,0...4,0
σ zul =
σ Zsch ν
ν = 3,0...6,0
Schwellende Belastung
Erstellt von Olaf Gramkow
ν
ν = 1,3...2,0
Seite: 4/7
Wechselnde Belastung
σ zul =
σ Zdw ν
ν = 3,0...6,0
Beanspruchung auf Druck
σd =
F ≤ σ dzul A
∆l = l0 − l (= l0 ⋅ ∆t ⋅ α ) ∆l Stauchung ε ε= (= ∆t ⋅ α ) l0 Beanspruchung auf Abscheren F τ a = ≤ τ azul Abscherspannung τ a A
Verkürzung ∆l
Inneres Kräftesystem und Spannungsarten y σ by = σ b max ⋅ Biegespannung σ by e
F A ∆l l0 l ε
Kraft Fläche Verkürzung Anfangslänge Endlänge Stauchung
für zähe Metalle: τ a ≈ 0,8 ⋅ Rm für Grauguß: τ ab ≈ 1,1 ⋅ Rm
σ by
σ b max y e Flächenmoment 2. Grades
Biegespg. im Abstand y von der neutralen Faser maximale Biegespannung in der Randfaser Abstand von der neutralen Faser Abstand der Randfaser von der neutralen Faser
Vollkommen elastischer Stoß m1 ⋅ v1 A + m2 ⋅ v2 A = m1 ⋅ v1E + m2 ⋅ v2 E Impulserhaltungssatz p = m⋅v Impuls p p Impuls m Masse p = m⋅v v Geschwindigkeit v ⋅ (m1 − m2 ) + 2 ⋅ m2 ⋅ v2 A v1A Geschwindigkeit vor v1E = 1 A dem Stoß (Körper 1) m1 + m2 v2A Geschwindigkeit vor v ⋅ (m2 − m1 ) + 2 ⋅ m1 ⋅ v1 A dem Stoß (Körper 2) v2 E = 2 A m1 + m2 v1E Geschwindigkeit nach dem Stoß (Körper 1) v2E Geschwindigkeit nach dem Stoß (Körper 2) m1 Masse (Körper 1) m2 Masse (Körper 2) Teilweise plastischer Stoß v −v ε Stoßzahl Stoßzahl ε ε = 2 E 1E ε=0 vollkommen plastischer Stoß v1 A − v2 A ε=1 vollkommen elastischer Stoß
Erstellt von Olaf Gramkow
kg·m·s-1 kg m·s-1 m·s-1 m·s-1 m·s-1 m·s-1 kg kg 1
Seite: 5/7
v ⋅ (m1 − ε ⋅ m2 ) + v2 A ⋅ (1 + ε ) ⋅ m2 v1E = 1 A m1 + m2 v ⋅ (m2 − ε ⋅ m1 ) + v1 A ⋅ (1 + ε ) ⋅ m1 v2 E = 2 A m1 + m2
Energieverlust ∆E
∆E =
1 m ⋅m 2 ⋅ 1 − ε 2 ⋅ 1 2 ⋅ (v1 A − v2 A ) 2 m1 + m2
Wirkungsgrad η
(
η=
)
1 1 + mmab
mb > ma
v1A Geschwindigkeit vor dem Stoß (Körper 1) v2A Geschwindigkeit vor dem Stoß (Körper 2) v1E Geschwindigkeit nach dem Stoß (Körper 1) v2E Geschwindigkeit nach dem Stoß (Körper 2) m1 Masse (Körper 1) m2 Masse (Körper 2) ∆E Energieverlust ε Stoßzahl v1A Geschwindigkeit vor dem Stoß (Körper 1) v2A Geschwindigkeit vor dem Stoß (Körper 2) m1 Masse (Körper 1) m2 Masse (Körper 2) η Wirkungsgrad ma kleine Masse mb große Masse
m·s-1 m·s-1 m·s-1 m·s-1 kg kg kg·m2·s-2 1 m·s-1 m·s-1 kg kg 1 kg kg
Geometrische Körper Kreis: π A = π ⋅ r2 = ⋅ d 2 4 U = 2 ⋅π ⋅ r = π ⋅ d
Kugel:
V=
4 π 1 O3 ⋅π ⋅ r 3 = ⋅ d 3 = ⋅ 3 6 6 π
O = 4 ⋅ π ⋅ r 2 = π ⋅ d 2 = 3 36 ⋅ π ⋅ V 2 r=
1 O 3 3 ⋅V ⋅ = 2 π 4 ⋅π
3 ⋅V O = 2⋅3 π 4 ⋅π Quader: V = a ⋅b⋅c O = 2 ⋅ (a ⋅ b + a ⋅ c + b ⋅ c )
d=
d = a 2 + b2 + c2 Zylinder: V = π ⋅ r2 ⋅ h M = 2 ⋅π ⋅ r ⋅ h O = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ (r + h )
J y = J z = 14 ⋅ m ⋅ ra2 + ri 2 + 13 ⋅ l 2 dünnwandiger Hohlzylinder
JS = Jx = m ⋅ r2
(
J y = J z = 14 ⋅ m ⋅ 2 ⋅ r 2 + 13 ⋅ l 2
)
)
J x = 12 ⋅ m ⋅ r 2
Vollzylinder
J y = J z = 14 ⋅ m ⋅ r 2 + 121 ⋅ m ⋅ t 2 dünne Scheibe (l « r)
J S = J x = 12 ⋅ m ⋅ r 2
J y = J z = 14 ⋅ m ⋅ r 2 dünner Stab (l » r) unabhängig von der Form des Querschnitts
J x = 12 ⋅ m ⋅ r 2
dünner Ring
Jx = m ⋅ r2
J S = J y = J z = 121 ⋅ m ⋅ l 2 J y = J z = 12 ⋅ m ⋅ r 2
Kugel, massiv
J x = J y = J z = 25 ⋅ m ⋅ r 2
dünne Kugelschale
J x = J y = J z = 23 ⋅ m ⋅ r 2
Quader
J S = J x = 121 ⋅ m ⋅ b 2 + h 2
( ⋅ m ⋅ (l
(
J y = 121 ⋅ m ⋅ l 2 + h 2 J z = 121
2
+ b2
) )
)
Trigonometrische Funktionen Gegenkathete a sin α = = Hypotenuse c Ankathete b cos α = = Hypotenuse c Gegenkathete a = tan α = Ankathete b Ankathete b cot α = = Gegenkathete a sin 2 x + cos 2 x = 1
tan x =
sin x 1 = cos x cot x
π ⋅α 180° 180° Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß: α = ⋅x π Erstellt von Olaf Gramkow