Fractions. 2. L'expression du chapitre. 28. « Je ne lui en cèderai pas le tiers du
quart ! » ... Identifier une fraction comme le quotient de deux nombres entiers.
2
Fractions Histoire des arts : l’affiche
n du c L’expressio
hapitre
« Je ne lui en cèderai pas le tiers du quart ! »
L
’affiche est un support destiné à être vu dans la rue et les lieux publics. C’est une œuvre temporaire : elle n’est exposée que quelques semaines. Ici, elle s’intéresse au commerce équitable. Le commerce équitable est un partenariat commercial qui a pour but de réduire les inégalités et de permettre aux petits producteurs d’accéder aux marchés des pays développés. Par le biais du commerce équitable, les bénéfices des échanges et du commerce doivent être partagés de manière équitable par tous les pays et par toutes les couches de la population.
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Dans ce chapitre, on apprendra à : • • • • • •
Utiliser l’écriture fractionnaire comme expression d’une proportion. Comparer des proportions. Trouver plusieurs écritures pour une même fraction. Effectuer une division dont le diviseur est un nombre décimal. Additionner et soustraire deux nombres en écriture fractionnaire. Effectuer le produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire.
Pour s’y remettre Pour chaque question, trouve la (ou les) bonne(s) réponse(s) et explique ton choix.
Je sais…
Réponse A
Réponse B
Réponse C
3 5
1 1 + 4 8
3 8
4 6
4 3
Reconnaître une fraction à partir d’un partage
Pour les questions 1 et 2, l’unité est cette bande :
1
La fraction correspondant à la partie colorée est…
2
La fraction correspondant à la partie colorée est…
1+
1 3
Repérer des fractions sur une demi-droite graduée
3
L’abscisse du point P est… P 0
4
1
2
L’abscisse du point B est… B 2
3
1 5
6 5
1+
1 5
1 3
7 3
5 20 = 6 24
11 33 = 12 24
9 63 = 7 49
9 10
12 20
21 35
17 3
6
6,333
2+
1 3
Reconnaître deux fractions égales
5 6
Quelles égalités sont vraies ?
La fraction
3 est égale à… 5
Identifier une fraction comme le quotient de deux nombres entiers
7
Dans l’égalité … ⫻ 3 = 17, le nombre manquant est…
Calculer une fraction donnée d’une quantité
8
3 de 150, 5 on peut effectuer les opérations…
Pour prendre les
(150 쐦 3) ⫻ 5
150 #
3 5
(150 쐦 5) ⫻ 3
2• Fractions
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Activités 1 Exprimer une proportion Martin, Gil, Dylan et Farid disposent les pommes qu’ils ont achetées dans un cageot. Martin : « La moitié des pommes sont rouges. » 10 Gil : « La proportion de pommes rouges vaut .» 20 Farid : « Une pomme sur deux est rouge. » 1 Dylan : « La proportion de pommes rouges est . » 2 1. Les quatre garçons sont-ils d’accord ? Justifie ta réponse. 2. En t’inspirant des phrases des garçons, quelles remarques peux-tu faire sur les pommes jaunes ? 3. Et sur les pommes vertes ?
2 Comparer des proportions Marie et Léa font un concours de lancers francs. Pense à la table Elles font chacune 100 tentatives. de 3 et à la table Marie réussit 3 fois sur 5. Léa a réussi 60 paniers. de 5 !! L’entraîneur dit qu’elles ont la même proportion de réussite. 1. Écris la proportion qui traduit les succès de Marie. 2. Écris la proportion qui traduit les succès de Léa. 3. a. Que peux-tu dire de 60 par rapport à 3 ? b. Que peux-tu dire de 100 par rapport à 5 ? 60 3#f f 4. Recopie et complète les égalités suivantes : = = . 100 5#f f 5. L’entraîneur de Marie et Léa a-t-il vu juste ?
3 Tableur au supermarché Devant le rayon des brioches, Kim compare les deux offres ci-contre. Kim voudrait comparer les prix d’un kilogramme de brioche pour chaque offre. Mais ces prix ne sont pas affichés.
Je ne sais pas partager en 3,75 parts !
’ss : Brioche Larry4 € 7, 4 kg pour ier : Brioche Fasqu6,9 € r 3,75 kg pou
1. Calcule le prix d’un kilogramme de brioche Larry’s. 2. Quelle opération faut-il poser pour calculer le prix d’un kilogramme de brioche Fasquier ? Pour réussir à effectuer cette opération, Kim utilise un tableur.
3. Que calcule Kim dans les cellules C1 et C2 ? dans les cellules D1 et D2 ? 4. Sur une feuille de calcul, reproduis le tableau de Kim et saisis les formules. 5. À l’aide des nombres des colonnes C et D, recopie et complète les égalités suivantes : 6, 9 f f = = . 3, 75 f f 6. Avec les nombres de la colonne D, calcule le prix d’un kilogramme de brioche Fasquier. 7. Quelle est donc l’offre la plus avantageuse ?
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Activités 4 Des quarts, encore des quarts 1. a. Reproduis la demi-droite graduée ci-contre. b. Place sur cette demi-droite le point M d’abscisse
5 . 4
0
1 2 3 6 c. Le point N est situé sur la demi-droite à une distance de du point M. 4 Quel calcul faut-il faire pour déterminer l’abscisse du point N ? Quelle est l’abscisse du point N ? d. Place le point N sur cette demi-droite graduée. 2. Sur la demi-droite graduée ci-contre : a. Quelles sont les abscisses des points A et B ?
A 0
B 1
2
b. Quelle est la distance entre les points A et B ? c. Quel calcul as-tu fait pour déterminer cette distance ?
5 Quand les tiers et les neuvièmes s’emmêlent… 1. a. Reproduis la demi-droite graduée ci-contre.
A
b. Quelle est l’abscisse du point A ?
0 2 c. Peut-on facilement placer le point C d’abscisse ? 3 2 f d. Recopie et complète l’égalité suivante : = . 3 9 Place ensuite le point C sur la demi-droite. 5 2 2. a. Peut-on facilement placer le point D d’abscisse + ? Pourquoi ? 9 3 5 2 b. Calcule + . c. Place le point D sur cette demi-droite graduée. 9 3
1 Utilise la question 1. d. pour répondre à la question 2. b.
6 Une fraction de fraction Julie a préparé des petits feuilletés pour l’apéritif. Dans le four, elle a disposé 20 feuilletés sur 4 rangées de 5. 1. Représente rapidement sur ton cahier les rangées de feuilletés. Tous les feuilletés n’ont pas la même durée de cuisson. 3 des feuilletés dans le four. Au bout de dix minutes, Julie laisse 4 2. Entoure en bleu les feuilletés qui cuisent pendant plus de dix minutes. 2 des feuilletés restants. Cinq minutes plus tard, Julie laisse encore cuire 5 3. Entoure en vert les feuilletés qui cuisent pendant plus de quinze minutes. 4. a. Combien de feuilletés ont cuit pendant plus de quinze minutes ?
Ne fais pas de calcul. Regarde ton schéma !
b. Quelle proportion de feuilletés a cuit pendant plus de quinze minutes ? 5. La proportion de feuilletés qui a cuit pendant plus de quinze minutes est
2 3 de . 5 4
Retrouve la proportion de la question 4b à l’aide de ces deux proportions. f f f = . # 6. Avec ces trois proportions, recopie et complète l’égalité suivante : f f f
2• Fractions
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Savoir/Savoir faire 1 Différentes interprétations des fractions a. Partage d’une unité Une fraction permet de décrire le partage équitable d’une ou de plusieurs unités. Exemple :
5 exprime une quantité : c’est 5 parties d’une unité partagée 8 en huit parties égales ou encore une partie de 5 unités partagées en 8 parties égales.
La fraction
Une fraction peut être supérieure à l’unité.
b. Notion de quotient Définition
Le quotient d’un nombre entier a par un nombre entier b (différent de 0) est le nombre qui multiplié par b donne a. a a ● L’ écriture fractionnaire du quotient de a par b est . Ainsi on a : # b = a . b b ●
Exemple :
5 est l’écriture fractionnaire du quotient de 5 par 2. 2 5 5 # 2 = 5. est le nombre qui multiplié par 2 donne 5 : 2 2
La fraction
c. La fraction comme une proportion Définition
Une proportion, écrite sous forme de fraction, permet d’exprimer une quantité comparée à une quantité totale.
Application 1 : Comment trouver la proportion de briques rouges dans la pile ci-contre ? Réponse : Dans cette pile, il y a au total 22 briques dont 7 briques rouges. 7 La proportion de briques rouges dans la pile peut s’écrire . 22 Pour s’entraîner exercices 21 à 27, page 37
2 Utiliser différentes écritures d’une même fraction Définition
Dans une écriture fractionnaire, le quotient ne change pas lorsqu’on multiplie ou lorsqu’on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. Exemples : 1 1#5 5 = = ; 4 4#5 20
63 7#9 7 = = ; 27 3#9 3
20 20 쐦 5 4 = = . 35 35 쐦 5 7
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Savoir/Savoir faire Application 2 : 7 . 20 1 En 5e G, la proportion de gauchers est de . 5 Comment savoir dans quelle classe la proportion de gauchers est la plus élevée ?
En 5e F, la proportion de gauchers est de
Attention ! On ne compare pas des quantités mais des proportions !!
Réponse :
1 1#4 4 1 = = de dénominateur 20 ; . 5 5 5 # 4 20 4 En 5e G, la proportion de gauchers peut s’écrire . 20 4 7 1 ; la proportion de gauchers est donc plus élevée en 5e F. 20 20
On cherche une fraction égale à
Pour s’entraîner exercices 54 à 56, page 39 Définition
Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction qui lui est égale et dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers plus petits.
J’ai remarqué que 35 et 45 sont des multiples de 5.
Exemple : 35 35 쐦 5 7 35 7 = = . Une simplification de la fraction est . 45 45 쐦 5 9 45 9
3 Diviser par un nombre décimal Propriété
Pour effectuer une division lorsque le diviseur est un nombre décimal non entier, on commence par multiplier le dividende et le diviseur par 10 ou 100 ou 1 000…, jusqu’à ce que le diviseur devienne un nombre entier. On effectue ensuite la division.
Application 3 : 3,25 kg de pommes coûtent 7,8 €. Comment calculer le prix d’un kilogramme de ces pommes ? Réponse : Pour se ramener à 1 kg, on doit diviser 7,8 par 3,25 qui est un diviseur décimal mais pas entier. On utilise l’égalité des fractions pour se ramener à un diviseur entier : 7, 8 7, 8 # 100 780 = = . 3, 25 3, 25 # 100 325 On effectue la division 780 쐦 325 : 780,0 – 650 1 300 – 1 300 0000
325
Le quotient de la division de 780 par 325 est 2,4.
2,4
Donc le quotient de la division de 7,8 par 3,25 est aussi 2,4. Le prix d’un kilogramme de ces pommes est de 2,4 €. Pour s’entraîner exercices 65 à 67, page 39
2• Fractions
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Savoir/Savoir faire 4 Additionner et soustraire des fractions Propriété 1
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on conserve le dénominateur commun aux deux fractions. Exemples : 2 6 2+6 8 + = = ; 11 11 11 11
9 2 9-2 7 - = = ; 5 5 5 5
7 3 7+3 10 + = = . 4 4 4 4
Propriété 2
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions qui ont des dénominateurs différents, on doit d’abord les écrire avec le même dénominateur. Ensuite, quand le dénominateur est le même pour les deux fractions, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on conserve le dénominateur commun aux deux fractions.
Application 4 : Comment additionner les fractions
13 7 et ? 36 9 J’ai remarqué que 36 est un multiple de 9.
Réponse :
13 7 et n’ont pas le même dénominateur. 36 9 7 7 7#4 28 On cherche une fraction égale à de dénominateur 36 ; = = . 9 9 9#4 36 13 28 On calcule la somme de et qui ont maintenant le même dénominateur : 36 36
Les fractions
13 28 13 + 28 41 + = = . 36 36 36 36 Pour s’entraîner exercices 76 à 78, page 40
5 Multiplier des fractions Propriété
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux, et on multiplie les dénominateurs entre eux. Exemples :
2 6 2#6 12 = ; # = 11 7 11 # 7 77
2#
7 2 7 2#7 14 = # = = . 15 1 15 1 # 15 15
3 2 des animaux sont des chats et de ces chats sont angoras. 5 7 Comment peut-on connaître la proportion de chats angoras parmi tous ces animaux ? Application 5 : Dans une animalerie,
Réponse : 2 2 des chats, c’est-à-dire les des 7 7 2 3 2#3 On effectue le produit de ces deux proportions : # = = 7 5 7#5 6 Les chats angoras représentent des animaux de l’animalerie. 35
Les chats angoras représentent les
3 des animaux. 5 6 . 35
Pour s’entraîner exercices 106 à 108, page 42
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Le rendez-vous des curieux Les fractions et le nombre
r
Le nombre r est connu depuis l’Antiquité comme le quotient de la longueur d’un cercle par son diamètre. Des fractions ont servi à donner des valeurs approchées de r . En 250 avant J.-C., Archimède proposait un encadrement de r 223 22 1r1 par deux fractions : . 71 7 La partie décimale du nombre r Au Ve siècle en Chine, on approche r par comporte une infinité de chiffres. 355 Pour faire des calculs avec r , la fraction . 113 on utilise des valeurs approchées.
Marcel Pagnol et les fractions Extrait de la pièce Marius de Marcel Pagnol (Acte I, scène 2). CÉSAR – Eh bien, pour la dixième fois, je vais te l’expliquer, le picon-citron-curaçao. (Il s’installe derrière le comptoir.) Approche-toi ! (Marius s’avance et va suivre de près l’opération.) Tu mets d’abord un tiers de curaçao. Fais attention : un tout petit tiers. Bon. Maintenant, un tiers de citron. Un peu plus gros. Bon. Ensuite, un BON tiers de Picon. Regarde la couleur. Regarde comme c’est joli. Et à la fin, un GRAND tiers d’eau. Voilà. MARIUS – Et ça fait quatre tiers. CÉSAR – Exactement. J’espère que cette fois, tu as compris. (Il boit une gorgée du mélange.) MARIUS – Dans un verre, il n’y a que trois tiers. CÉSAR – Mais, imbécile, ça dépend de la grosseur des tiers. Marius – Eh non, ça ne dépend pas. Même dans un arrosoir, on ne peut mettre que trois tiers. CÉSAR (triomphal) – Alors, explique-moi comment j’en ai mis quatre dans ce verre. La pièce Marius MARIUS – Ça, c’est de l’Arithmétique. de Marcel Pagnol au théâtre.
CALCUL MENTAL 1 a. Combien y a-t-il de huitièmes dans 3 ? 4 b. Combien y a-t-il de quinzièmes dans c. Combien y a-t-il de quarts dans
7 ? 5
21 ? 12
3 Calculer. 7 3 + 4 4 1 5 d. + 2 8
a.
17 6 7 7 39 4 + e. 49 7
b.
2 7 + 5 15 6 9 f. # 7 11
c.
4 Calculer.
2 Calculer.
3 3 de 15 €. b. Les de 63 kg. 7 5 2 3 7 8 c. Les de de litre. d. Les de . 5 4 11 9 1 Une petite astuce : multiplier par 0,5 ou par est la même chose. 2
a. 20 0,5 1 d. 35 # 2
b. 38 0,5 1 e. 107 # 2
c. 17 × 0,5 7 1 f. # 5 2
a. Les
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Socle commun
Vocabulaire et maîtrise de la langue Recopier et compléter les phrases des exercices 5 et 6 à l’aide des mots suivants (en accordant au pluriel s’il le faut) : fraction ; proportion ; division ; demi.
5
Des mots mathématiques… 1. Déterminer une …………., c’est comparer une quantité à une quantité totale. 17 2. La …………….. , c’est un …………… répété 17 fois. 2
6
… et des mots de tous les jours 1. En patinage artistique, la réussite d’un saut se joue en une ………… de seconde. 2. Les négociations diplomatiques ont été reportées à demain : les ……………. étaient trop importantes entre les négociateurs des deux camps. 3. Les ……………….. finales d’une compétition réunissent les quatre dernières équipes en lice.
Les compétences du socle commun Pour chaque énoncé, répondre par vrai ou faux.
Pour chaque réponse, prépare une justification orale !
7
Laura a gagné 15 matchs de tennis sur les 32 qu’elle a disputés. 15 . La proportion de matchs gagnés par Laura est de 47
8
Dans la classe de Leia, il y a 40 élèves dont 25 filles. 15 La proportion de garçons est égale à . 40
9
Lors d’un sondage, sur 100 personnes interrogées, 47 pratiquent un sport régulièrement. Donc une personne sur deux pratique un sport régulièrement.
Vrai Faux
4 12 de sirop de fraise. Le cocktail B contient du même sirop de fraise. 9 27 Le goût de fraise est le même dans les deux cocktails.
10 Le cocktail A contient
11 Diviser 75,28 par 6,8 revient à diviser 752,8 par 68. 12 Diviser 1,25 par 3,7 revient à diviser 125 par 37. 13
8 16 = , car 8 + 8 = 16 et 7 + 8 = 15. 7 15
14
45 9 = 35 7
15
15 2 17 + = 7 7 14
16
16 8 24 + = 15 15 15
17
7 16 22 + = 12 12 12
18
27 5 22 = 17 17 17
19
11 3 7 - = 8 8 8
20
7 5 ne peut pas se calculer, car 11 – 11 = 0. 11 11
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voir l’application 1, page 32
21
Dans son emploi du temps, Camille a 25 heures de cours dont 4 heures de maths. Quelle est la proportion des heures de maths dans son emploi du temps ?
29
Pour s’entraîner
Fractions et proportions
Dans un jeu de 52 cartes : a. quelle est la proportion de carreaux ? b. quelle est la proportion de rois ? c. quelle est la proportion de cartes noires ?
22
Sur 21 élèves, 7 ont déjà utilisé un tableur. 1. Quelle est la proportion d’élèves qui a utilisé un tableur ? 2. Que peut-on dire pour résumer cette situation ?
23
Pour chaque grille, indiquer la proportion de cases blanches.
Grille A
Grille B
30 Maths et sécurité routière À Mathsville, cette année, il y a eu 570 blessés dans des accidents de voiture dont 57 mineurs. Quelle fraction choisir pour traduire clairement cette information ?
31
24
Un commerçant a fait une remise de 5 € sur un achat de 100 €. Quelle fraction du prix représente la remise ?
25
Lors d’un match de rugby, Antoine a inscrit 4 pénalités mais en a manqué 3. Quelle est la proportion des pénalités réussies ?
26
Daniel offre un bouquet qui est composé de 5 lys blancs, de 4 lys jaunes et de 12 roses. 1. Quelle proportion les lys blancs représentent-ils par rapport aux seuls lys ? 2. Quelle est la proportion de lys blancs dans ce bouquet ?
Dans un sachet de bonbons, Pierre a : 16 bonbons rouges, 14 bonbons verts, 10 bonbons jaunes et 15 bonbons noirs. Quelle est la proportion de bonbons rouges dans ce sachet ?
Fractions et droites graduées 32
Sur la demi-droite graduée suivante, lire les abscisses des points M, N, H et S. M N H S 0
1
33
27
Indiquer la proportion colorée de chaque figure.
Sur la demi-droite graduée suivante, lire les abscisses des points C et D. C
a.
b.
En 2005, chaque Français a rejeté en moyenne 360 kg de déchets ménagers. 288 kg ont fini dans une décharge ou un incinérateur, le reste étant recyclé. Quelle a été la proportion des déchets ménagers recyclés en 2005 ?
3
2
c.
28 Maths et développement durable
D 4
34
Reproduire le demi-droite graduée ci-dessous 7 et placer le point H d’abscisse , le point I d’abscisse 4 3 3 2+ et le point J d’abscisse 3 – . 4 4 0
1 2• Fractions
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Pour s’entraîner
Plusieurs écritures d’une même fraction
47
Simplifier par 7 les fractions suivantes. 42 7 77 56 b. c. d. a. 35 28 28 63
Exercices 35 à 40 : recopier et compléter chacune des égalités.
35
a.
3 21 = 7 f
b.
5 f = 6 36
c.
2 100 = 3 f
36
a.
1 9 = 9 f
b.
3 45 = 4 f
c.
13 26 = 16 f
19 f = 24 72
b.
7 f = 8 40
c.
a.
38
a. 2 =
39
a. 1 =
40
4 8 32 f f 40 = = = = = 9 f f 27 81 f
b. 3 =
11 f 35 c. 5 = f
f 7
c. 7 =
42
a.
a.
49
f 9
9 f 40 d. 8 = f
b. 3 =
Exercices 41 et 42 : recopier et compléter chacune des égalités en utilisant les critères de divisibilité.
41
9 f = 24 8
b.
18 f = 16 f
b.
15 f = 35 7
c.
27 f = 15 f
c.
63 f = 81 9 72 f = 27 f
Exercices 43 à 45 : recopier et compléter chacune des égalités. 40 f#f 5 = = 16 f#f 2 6 f#f f 21 f#f f = = = = b. c. 18 f#f 3 28 f#f 4
43
a.
44
a.
77 7 = 66 f
b.
40 5 = 56 f
c.
110 11 = 230 f
45
a.
27 f = 36 f
b.
40 f = 32 f
c.
80 f = 55 f
2 est « mal déguisé ». 5 2 est-il correct ? 2. Le « déguisement » de 3
1. Expliquer pourquoi
50 Maths et géographie
@
En 2008, 68 habitants sur 1 000 avaient accès à Internet en Afrique contre 520 en Europe et 742 en Amérique du Nord. 1. Traduire ces informations par des proportions. 2. Chercher des écritures fractionnaires simplifiées et choisir celles qui semblent les plus parlantes.
51
À quelle fraction simple d’une journée entière correspondent les durées suivantes ? a. 8 h b. 6 h c. 18 h d. 20 h e. 16 h
52
Pierre a obtenu 3,5 sur 5 à une interrogation de SVT. Théo a eu 14 sur 20 à son devoir d’histoire. Qui a eu la meilleure note ?
53 46
Écrire ces fractions sous la forme
5 40 = 6 f
37
f 20
a où a et b b sont des entiers, les plus petits possibles. 8 140 24 9 b. c. d. a. 18 210 18 36
48
Simplifier par 5 les fractions suivantes. 35 45 40 20 b. c. d. a. 25 25 55 45
1. Le cinquième de 8 est-il égal au dixième de
16 ? 2. Le neuvième de 15 est-il égal au tiers de 5 ? 3. Le quinzième de 10 est-il égal au tiers de 2 ?
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voir l’application 2, page 33
54
Brice s’entraîne aux lancers de fléchettes. Lundi, sur 24 essais, il a atteint la cible 13 fois. Mardi, sur 6 essais, il a atteint la cible 4 fois. Jeudi, sur 12 essais, il a atteint la cible 7 fois. Quel jour sa proportion de réussite a-t-elle été la plus élevée ?
55
Diviser par un nombre décimal Exercices 61 et 62 : remplacer chaque quotient par un quotient égal dont le dénominateur est entier.
61
a.
7, 3 8, 6
62
a.
4, 2 5, 31
e
En 3 A, 19 élèves sur 25 ont été reçus au brevet. En 3e B, 76 % des élèves ont été reçus. Prouver que la proportion de reçus est la même dans les deux classes.
56
Tablette 1 : 100 g dont 30 g de lait. Tablette 2 : 200 g dont 50 g de lait. Julie a choisi la tablette qui a la plus grande proportion de lait. Quelle tablette a-t-elle choisie ?
b.
25,15 98, 73
c.
54, 06 19, 21
d.
1, 957 31, 452
6, 23 10, 4
c.
6, 7 4, 207
d.
5 6, 4
b.
Pour s’entraîner
Comparer des proportions
Exercices 63 et 64 : calculer à la main les quotients.
63
a.
6, 524 0, 7
b.
88, 872 1, 2
c.
596, 64 0, 08
64
a.
7, 83 0, 3
b.
76, 4 1, 4
c.
5 210, 66 1, 3
voir l’application 3, page 33
65 57
Lors d’un sondage auprès de 150 élèves, 29 disent qu’ils n’ont pas pris de petit déjeuner. Peut-on dire qu’à peu près 1 élève sur 5 interrogés n’a pas pris de petit déjeuner ?
58
En 2005, l’agriculture mondiale a utilisé 2 400 km3 d’eau sur les 3 600 km3 prélevés dans le monde. 1. Quelle proportion du volume d’eau prélevé représente la consommation agricole ? 2 des prélèvements 3 d’eau sont dédiés à l’agriculture ?
Martin achète 1,8 kg de bœuf et paie 31,50 €. Quel est le prix d’un kilogramme de bœuf ?
66
Léo achète 3,25 kg de carottes et paie 5,85 €. Quel est le prix d’un kilogramme de carottes ?
67
Antoine achète 2,2 kg de lotte et paie 54,56 €. Quel est le prix d’un kilogramme de lotte ?
68
Combien de morceaux de tissu de 2,8 m de long peut-on couper dans un rouleau de longueur 98 m ?
69
Combien de dosettes de 2,5 cL faut-il verser pour remplir un récipient de 80 cL ?
2. Est-il correct de dire que
70
L’aire d’un rectangle est de 12 cm² et sa largeur est de 3,2 cm. Calculer sa longueur.
59
La proportion de droitiers dans le monde est d’environ 90 %. Faire un sondage dans la classe et comparer aux résultats mondiaux.
60
Le gardien de l’équipe A arrête 14 tirs sur 15 tentatives. Le gardien de l’équipe B arrête 18 tirs sur 20 tentatives. Quel gardien est le plus adroit ?
71
Un paquet de 500 feuilles blanches mesure 5,2 cm de hauteur. Un paquet de 35 feuilles bleues mesure 17,5 mm de hauteur. Comparer l’épaisseur d’une feuille blanche et d’une feuille bleue. 2• Fractions
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39
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Pour s’entraîner
Additionner et soustraire des fractions
Exercices 79 à 82 : calculer en donnant le résultat sous la forme d’une fraction. 3 1 13 2 B= 4 20 18 3 5 25 7 13 D= E= 9 63 3 12
5 1 3 9 7 13 F= 5 15
7 5 2 4 10 1 E= 18 6
5 1 9 3 7 13 F= 3 15
1 3
5 +3 3 12 +7 F= 5
79 Exercices 72 et 73 : calculer en donnant le résultat sous la forme d’une fraction.
72 73
74
1 5 + 4 4
A=
B=
29 17 40 40 5 3 C= 13 13 A=
9 6 7 7 B=
7 3 + 8 8
C=
45 20 70 70
Recopier et compléter ces tableaux.
7 + 30
13 = 30
+
–
+
11 – 30
1 = 30
=
= +
=
5 = 24
–
+
=
= –
7 24 =
=
Compléter les égalités suivantes. 2 f 5 5 8 = +g = a. + b. 7 7 7 13 13 voir l’application 4, page 34
Exercices 76 à 78 : calculer en donnant le résultat sous la forme d’une fraction.
77
78
5 74 + 10 100 3 7 C= + 2 4 3 5 E= + 8 16 A=
A=
1 1 + 2 4
4 3 + 5 10 2 8 + D= 21 7 15 2 + F= 21 3 B=
B=
81
A = 1+
82
75
76
A=
D = 7-
83
1 3 + 2 10
D=
2 1 + 3 6
E=
5 7 + 4 2
F=
7 5 + 12 3
A=
2 65 4 + + 10 100 10
B=
5 11 5 + + 2 18 3
13 7
B = 2+ E = 6+
7 10
C=
C=
4 3
17 -2 7 27 -3 E= 8 B=
20 3
C=
7 10 19 F = 55
C = 2-
Recopier et compléter le tableau suivant.
x
7 9
8 7
5 6
1
3 2
y
2 9
1 7
2 3
1 4
3 8
x+y
…
…
…
…
…
x–y
…
…
…
…
…
1 14 On ajoute une fraction à et on trouve . 3 27 Quelle est cette fraction ?
84
Exercices 85 et 86 : calculer dans chaque cas le périmètre du triangle ABC (l’unité est le mètre).
85
1 5 + 2 6
C=
B=
7 5
A = 1-
– =
=
1 1 2 6 13 1 D= 12 4
80
D = 4+
13 – 24
1 + 24
A=
A
7 – 3
2 – 3
C
B 8 – 3
86
A
3 – 4 C
5 – 8 B
7 – 8
40
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87
Le crayon Déclic participe à un triathlon. 1 de la distance totale se parcourt à la nage. 24 1 de la distance totale se fait en courant. 3 Le reste s’effectue à vélo. Quelle fraction de la distance totale est parcourue à vélo ?
92
Maryse veut enregistrer une série de quatre documentaires sur un DVD qui peut contenir 4 heures de film. Le premier documentaire dure une demi-heure. Le deuxième dure trois quarts d’heure. Le troisième dure une heure et demie. Le quatrième documentaire dure une heure et quart. La série tient-elle sur le DVD ?
Pour s’entraîner
Problèmes de fractions
93
À la cantine, ce midi, il fallait choisir parmi trois fruits. 1 des élèves a choisi une orange. 4 3 des élèves ont choisi une pomme. 20 Les autres ont choisi un kiwi. 1. Quelle proportion des élèves a choisi un kiwi ? 2. Quel fruit a été le plus choisi ce midi ?
88
Un confiseur basque prépare des sachets de bonbons en mélangeant un tiers de caramels, deux neuvièmes de kanougas, et des bonbons chocolatés. 1. Quelle fraction représentent les caramels et les kanougas réunis ? 2. Quelle fraction représentent les bonbons chocolatés ?
89
À la fin du collège, on constate que la moitié des
élèves entrent en Seconde générale et technologique, 5 des élèves entrent en Seconde professionnelle 12 et les autres élèves redoublent. 1. Calculer la proportion des élèves qui passent en classe supérieure. 2. Calculer la proportion de redoublants.
90
Trois frères (Pierre, Éric et Julien) se partagent 1 un héritage. Pierre obtient des terres familiales, 4 5 tandis qu’Éric en perçoit les . 12 1. Quelle part des terres Pierre et Éric ont-ils à eux deux ? 2. Quelle part des terres Julien a-t-il obtenue ? Simplifier le résultat si possible.
91
Au cours d’une partie de billes, François gagne 3 1 les des billes de Léa tandis qu’Abdel en gagne . 5 10 Quelle proportion de billes Léa a-t-elle gardée ?
3 Lors du cross, Gil dit que les du parcours 8 17 étaient en montée et que les du parcours étaient 24 en descente. Pourquoi se trompe-t-il ?
94
95 Maths et météorologie 1. En relevant les heures d’ensoleillement à Paris, on a obtenu la répartition suivante par trimestre. Trimestre
1er
2e
3e
4e
Proportion d’ensoleillement
1 6
1 3
…
1 6
a. Quelle est la proportion d’ensoleillement au 3e trimestre ? b. Classer les trimestres par proportion croissante d’ensoleillement. 2. On a mené la même étude à Melbourne. Trimestre
1er
2e
3e
4e
Proportion d’ensoleillement
3 5
1 10
…
1 5
a. Quelle est la proportion d’ensoleillement au 3e trimestre ? b. Classer les trimestres par proportion croissante d’ensoleillement. 3. Comparer la répartition de l’ensoleillement à Paris et à Melbourne. Quelle information peut-on en déduire sur les saisons ? 2• Fractions
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41
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Pour s’entraîner
Multiplier des fractions
Fraction de fraction voir l’application 5, page 34
Exercices 96 à 98 : calculer en donnant le résultat en écriture fractionnaire. 3 8 # 5 7
96
A=
97
A = 7#
98
A=
B=
3 5
2 5 # 9 7
C=
7 7 # 6 9
2 3
C=
6 # 30 10
C=
8 8 # 11 9
B = 4#
7 9 6 # B = # 12 15 4 5
1 des élèves vient en deux-roues. 20 2 Parmi ces deux-roues, sont des scooters. 5 Calculer la proportion d’élèves qui vient au lycée en scooter.
106
Au lycée,
107 Lors d’un match OM – Bordeaux,
5 des places 6
4 de ces places 5 ont été réservées par des supporteurs marseillais.
du stade Vélodrome sont occupées. Exercices 99 à 102 : calculer et donner une écriture fractionnaire simplifiée du résultat. 25 4 12 7 81 7 # # B= C= # 4 5 49 3 42 9
99
A=
100
A = 6#
101
A=
4 2 1 # # 3 7 4
B=
102
A=
7 7 #4# 4 3
B = 5#
103
Recopier et compléter le tableau suivant. 2 3
5 42
3 2
B = 8#
5 9
7 32
=
12 1 10 # # 5 6 7 1 #4 20
=
3 Sébastien touche les d’un héritage. Il décide 4 5 d’en dépenser les et d’économiser le reste. 6 Quelle proportion de l’héritage total a-t-il économisée ?
9 4 =
109
Exprimer en minutes. 5 3 2 4 de d’heure. b. de d’heure. a. 9 4 3 5
=
104 Calculer l’aire de ce rectangle (l’unité est le mètre). A
13 –– 14
B 5 – 8
D
105
1. Quelle est la proportion des places occupées par des Marseillais ? 2. Quelle est la proportion des places occupées par les autres spectateurs ?
108
=
12 #5 35
=
C=
C
Un champ rectangulaire a pour dimensions 2 11 km et km. 8 16 Calculer l’aire de ce champ, en fraction de km².
2 Guillaume boit chaque jour les d’une bouteille 5 3 de litre de lait. qui contient 4 Quelle quantité de lait boit-il chaque jour ?
110
111
Calculer. a. La moitié du quart d’une tablette de chocolat de 200 g. b. Le dixième des trois quarts de 540 km. c. Le cinquième de la moitié d’une demi-heure. d. La moitié des deux tiers de 27 élèves.
42
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120 European exercise 3 7 and .» 5 10 Thomas : « Zählen Sie die beiden Brüche zusammen 3 7 und .» 5 10
Dave : « Add the two fractions
112 Maths et sécurité routière En 2008, on a décompté 16 630 victimes d’accidents de cyclomoteurs en France dont 7 717 étaient des jeunes entre 14 et 17 ans. Est-il correct de dire qu’une victime d’un accident de cyclomoteur est une fois sur deux un jeune de 14 à 17 ans ?
113
Dans une boîte de conserve de thon de 400 g, il y a 280 g de thon, le reste étant de l’eau. Quelle est la proportion d’eau dans cette boîte ?
114 Maths et développement durable
2 des magazines sont des 5 6 magazines de sport, et des magazines de sport 11 s’intéressent au football. Quelle est la proportion de magazines de football dans cette librairie ?
121
Dans une librairie,
122
L’unité de longueur est le décimètre. 7 –– 15
A
En 2008, une enquête a établi 4 que des jeunes entre 9 et 14 ans 10 pratiquent le tri sélectif de déchets. Faire un sondage dans la classe et comparer aux résultats nationaux.
2 – 5
L’aire d’un rectangle est de 15,4 dm² et sa longueur est de 44 cm. Calculer sa largeur.
116
L’aire d’un rectangle est de 20,44 cm² et sa largeur est de 2,8 cm. Calculer le périmètre de ce rectangle.
117
Quelle est la proportion de cases bleues ?
118
L’unité de longueur est le décimètre. Le triangle suivant est-il constructible ? A
1 – 2 C
4 – 7
B
11 –– 15 D
115
2 –– 15
2 – 3
C
1. Calculer le périmètre du triangle ABD. 2. Calculer le périmètre du triangle BCD. 3. Calculer le périmètre du quadrilatère ABCD.
123
Au retour des vacances de Toussaint, AnneLaure, la documentaliste, fait un sondage auprès des élèves de 5e. 1 des élèves n’a lu aucun livre pendant les vacances. 6 1 des élèves a lu un livre. 3 5 des élèves ont lu deux livres. 12 1 des élèves a lu plus de deux livres. 12 Quelle est la proportion des élèves qui a lu un ou deux livres ?
B 13 –– 14
124
119
L’unité de longueur est le décimètre. Calculer le périmètre de ce pentagone.
5 – 8
Dans un bouquet, il y a des jonquilles, des tulipes rouges et des tulipes blanches. 2 des fleurs sont des tulipes blanches. 5 7 des fleurs sont des tulipes rouges. 15 1. Quelle est la proportion de tulipes dans ce bouquet ? 2. Quelle est la proportion de jonquilles ? 2• Fractions
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Pour s’entraîner
Pêle-mêle
43
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Bilan
Il y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. Trouve-les toutes ! Je sais…
Réponse A
Réponse B
Réponse C
17 42
8 25
17 25
Il y a plus de filles en 5e C.
La proportion de filles est la même.
Il y a plus de filles en 5e B.
127 La fraction 35 est égale à…
7 9
3 4
70 90
128 La fraction 28 est égale à…
14 32
2 8
7 16
750 625
1,2
7,5 쐦 6,25
3,7 쐦 14
37 쐦 14
37 쐦 1,4
Utiliser une fraction pour exprimer une proportion
125 Dans un groupe de 25 personnes, 17 ont un passeport. Cela correspond à une proportion de… Comparer des proportions
126 En 5e B, 2 élèves sur 5 sont des filles. En 5e C, il y a autant d’élèves qu’en 5e B, et 7 des élèves sont des filles. 15 Reconnaître des fractions égales
45
64
Diviser par un nombre décimal
129 Le quotient 7, 5 est égal à… 6, 25
130 Le quotient de la division de 3,7 par 1,4 est le même que celui de… Additionner des fractions
131
3 13 + est égal à… 7 7
16 14
16 7
10 7
132
3 5 + est égal à… 4 8
6 5 + 8 8
11 8
8 12
7 0
7 11
23 11
19 15 21 21
14 14
4 21
6 35
3 2 # 35 35
5 12
Soustraire des fractions
133
15 8 est égal à… 11 11
134
19 5 - est égal à… 21 7
Multiplier des fractions
3 2 # est égal à… 7 5
135
Prendre une fraction d’une quantité
136 Pour calculer les 3 de 1 580 €, on effectue… 4
137 Les 3 des 5 des peluches de Lise sont des ours. 4 7 La proportion d’ours est donc…
1 580 # 3 5 + 4 7
3 4
1 580 쐦 4 # 3 1 580 쐦 3 # 4 3 5 # 4 7
15 28
Réponses en fin de manuel, page 267
44
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142 Maths et géographie
Voici la répartition d’une classe de 5e. Filles
Garçons
Total
Externes
3
6
9
Demi-pensionnaires
8
7
15
Total
11
13
24
1. a. Calculer la proportion de garçons parmi les externes. b. Calculer la proportion de filles parmi les demipensionnaires. 2. Recopier et compléter. 13 a. des … sont des …. . 24 8 b. des … sont des … . 11
139
Recopier et compléter le tableau suivant. a
b
9 10 23 24
3 10 3 8 3 7 3 4
a+b
a–b
ab
10 7 15 8
140 Maths et santé Un aliment est considéré comme gras s’il contient 1 plus de de lipides. 10 Au Café Arrosé, le parmentier de canard pèse 350 g dont 37 g de lipides. Le parmentier de poisson pèse 350 g dont 19 g de lipides. Le steak frites est composé d’un steak de 150 g qui contient 15 g de lipides et de 200 g de frites qui contiennent 30 g de lipides. 1. Le parmentier de canard est-il un aliment gras ? 2. Le parmentier de poisson est-il un aliment gras ? 3. Le steak frites est-il un aliment gras ?
141
Pour approfondir
138
Les deux tiers des musiciens de l’orchestre de Céline sont des violonistes. Parmi ceux-ci, les cinq sixièmes sont des femmes. 1. Quelle fraction de l’orchestre représentent les femmes violonistes ? 2. L’orchestre se compose de 36 musiciens en tout. Combien y a-t-il de femmes violonistes ?
2 de la surface de la Terre sont constitués de terres 5 3 arides ou semi-arides. de ces terres sont victimes 20 de la désertification. 1 Environ des 2 milliards d’habitants en zone aride 25 sont sur des terres en voie de désertification. La population mondiale compte 6,5 milliards d’habitants. 1. Quelle fraction des terres du globe sont victimes de la désertification ? 2. Quelle fraction de la population mondiale représentent les habitants des zones arides ? 3. Quelle fraction de la population mondiale habite sur des terres en voie de désertification ? 4. Quelle fraction de la population mondiale n’habite pas sur des terres arides ?
143 Maths et énergie 1 de l’énergie solaire reçue par la Terre est réfléchie 3 1 de l’énergie solaire reçue par la Terre vers l’espace. 4 participe au cycle de l’eau (évaporation-précipitations). Le reste pourrait être utilisé par l’Homme. Quelle proportion de l’énergie solaire reçue par la Terre pourrions-nous utiliser ? 7 Dans les calendriers de La Poste, représentent 9 3 des animaux. Parmi ces animaux, sont des chats 4 3 et sont des chiens. 14 1. Calculer la proportion de calendriers qui représentent des chats. 2. Calculer la proportion de calendriers qui représentent des chiens. 3. Calculer la proportion de calendriers qui représentent des animaux qui ne sont ni des chats ni des chiens.
144
2• Fractions
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45
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Pour approfondir
145 Maths et géographie
2 Une balle rebondit, à chaque fois, aux de sa 5 hauteur de chute. 1. Quelle fraction de sa hauteur de chute initiale atteint-elle au deuxième rebond ? 2. On lâche la balle d’une hauteur de 75 cm. Calculer la hauteur atteinte au deuxième rebond. 3. À l’aide d’une calculatrice, trouver combien de fois la balle doit rebondir avant que son rebond soit inférieur à 1 cm.
150
1. Un quart de la surface de la Terre n’est pas recouverte d’eau. La moitié de cette surface n’est pas habitable. Quelle proportion de la Terre n’est pas habitable ? Quelle proportion l’est ? 2. Un quart des terres habitables peuvent produire de la nourriture (climat favorable, terres cultivables). Quelle proportion de la Terre peut produire de la nourriture ?
146 Maths et santé
Exercices 151 à 153 : calculer les distances AB, AC et BC.
151 0
Max aime un soda qui contient 30 g de sucre pour 1,5 litre de boisson. Il boit chaque jour 2 verres de 25 cL de ce soda. 1. En combien de jours, Max a-t-il avalé 1 kg de sucre en buvant du soda ?
A
B
1 – 4
5 – 8
152 0
153 0
154
B
1 – 3
7 – 9
A
B
C
1 –— 12
1 – 4
1 – 3
A
B
3 11
Placer des points I, J, L et N tels que : 1 4 AJ = AB JL = AB 2 6 2 1 JI = AB LN = AB 6 3
Exercices 148 et 149 : calculer en donnant le résultat sous la forme d’une fraction. 3 4 7 # + 4 5 5 3 3 3 n C = #d + 2 5 10
148
A=
149
A=
C=d
3 13 9 # + 7 8 8
1 5 1 + # 2 2 3 7 31 5 n#d n D=d 9 81 8 B=
B=
10 1 7 2 - n#d + n 8 4 12 3
11 7 5 + # 9 9 4
C 10 1 –— 9
Recopier et compléter le tableau suivant.
Reproduire la demi-droite graduée ci-dessous.
3 – 2
1
A
2. En une année, quelle masse de sucre a-t-il avalée ?
147
C
2 3
=
=
=
=
14 12
= =
7 4
155
Louis partage ses albums remplis de timbres entre ses trois petits-fils. 11 5 Kevin reçoit de la collection. Maxime reçoit de 36 9 la collection et Bastien reçoit le reste. Est-il vrai que l’un des petits-fils a reçu le quart du nombre de timbres reçus par un autre ? 3 Une usine italienne exporte de ses produits 5 2 vers l’Espagne et de ce qui reste vers Paris. Puis le 3 reste est distribué en Italie. Quelle proportion de produits est vendue en Italie ?
156
46
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159 1. Construire sur un papier quadrillé une demidroite graduée dont l’unité mesure 12 longueurs de carreaux. 5 2. Placer le point A d’abscisse , le point B 6 1 5 d’abscisse , le point C d’abscisse et le point D 2 4 2 d’abscisse . 3 3. Calculer les distances CB et AD. 4. Construire les figures suivantes en reportant les longueurs prises sur la demi-droite.
158 Maths et santé En 2005, d’après l’Organisation mondiale de la santé, six maladies ont causé 90 % des morts par infection : le sida, les maladies respiratoires aiguës, les maladies intestinales, la tuberculose, le paludisme et la rougeole. 1 Le sida a causé de ces morts. La tuberculose est 4 1 1 responsable de de ces morts. des morts est 6 12 1 dû au paludisme et des morts est dû à la 24 rougeole. Est-il correct de dire qu’en 2005, le sida a tué autant de personnes que la tuberculose, le paludisme et la rougeole réunis ?
Pour approfondir
Exercice de synthèse
7 7 7 + = . 6 6 3 5 5 5 b. Compléter : + = . f f 4 4 4 4 4 + + = . 2. a. Vérifier que 15 15 15 5 8 8 8 8 b. Compléter : + + = f f f 11
157 1. a. Vérifier que
5 – 4
5 – 6
1 – 2
2 – 3
5. Calculer le périmètre du rectangle. 6. Calculer l’aire du rectangle et du triangle rectangle.
Jeux et défis mathématiques 160 Devinette Arthur pense à deux fractions. Le numérateur de la première fraction est le cinquième du dénominateur de la seconde fraction Le numérateur de la seconde fraction est le triple du dénominateur de la première fraction. Quel est le produit de ces deux fractions ?
161 Difficile de s’intercaler…
163 Carré magique
1 1 et . 3 2 1 1 et . Trouver une fraction comprise entre 6 5
Recopier et compléter le carré magique ci-dessous. (Un carré est magique si la somme de ses lignes est égale à la somme de ses colonnes et de ses diagonales.)
Trouver une fraction comprise entre
162 Une journée de travail 7 Emma : « Si je reste éveillée d’une journée et 12 1 que je travaille pendant de ce temps, j’aurai travaillé 7 1 pendant de la journée. » 12 John : « Pour moi, tu auras travaillé deux heures. » Emma et John sont-ils d’accord ?
1 18 4 9 1 6
5 18
2• Fractions
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