G r a f

Graf Oleh: Panca Mudjirahardjo

Pendahuluan

Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

1

Pendahuluan

Jaringan jalan raya di propinsi Jawa Tengah

1. Sejarah Graf

Masalah jembatan Kőnigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (1736). Masalahnya adalah: apakah mungkin melalui ketujuh buah jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke tempat semula?

2

2. Definisi Graf

Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) dimana: V

: himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) : {v1, v2,….., vn}

E

: himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul. : {e1, e2,….., en}

2. Definisi Graf (lanjutan) Graf sederhana G1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E, dimana:

V

= {1,2,3,4} E = {(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)}

3

2. Definisi Graf (lanjutan)

Graf ganda G2 adalah himpunan simpul V dan himpunan sisi E, dimana: V = {1,2,3,4} E = {(1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4)(3,4)}

2. Definisi Graf (lanjutan)

Graf semu G3 adalah himpunan simpul V dan himpunan sisi E, dimana: V = {1,2,3,4} E = {(1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4),(3,3)}

4

3. Jenis-jenis Graf

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, graf dibedakan: Graf

sederhana (simple graph) (G1) Graf tak sederhana (unsimple graph) (G2, G3)

3. Jenis-jenis Graf (lanjutan)

Berdasarkan jumlah simpul, graf dibedakan: Graf

berhingga (limited graph) Graf tak-berhingga (unlimited graph)

5


Berdasarkan orientasi arah pada sisi, graf dibedakan: Graf tak berarah (undirected graph) Graf berarah (directed graph atau digraph)


Jenis graf

Sederhana Ganda Semu Berarah Ganda berarah

Sisi

tak-berarah tak-berarah tak-berarah berarah berarah

Sisi ganda dibolehkan? tidak ya ya tidak ya

Sisi gelang dibolehkan? tidak tidak ya ya ya

6

Contoh Terapan Graf Rangkaian Listrik Isomer senyawa kimia karbon Transaksi konkuren pada basis data Pengujian program Terapan graf pada teori otomata Turnamen round-robin

Terminologi Graf

(1) Ketetanggaan (adjacent) Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung. Simpul 3 bertetangga dengan simpul 1,2, dan 4

7

Terminologi Graf (lanjutan)

(2) Bersisian (Iicidency)

Untuk sembarang sisi e = (vj,vk) dikatakan

e bersisian dengan simpul vj, atau e bersisian dengan simpul vk.

Contoh: sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4.


(3) Simpul Terpencil (Isolated Vertex) Adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. Contoh: simpul 5 adalah simpul terpencil.

8


(4) Graf Kosong Definisi graf menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Contoh: Graf kosong N5

.1 .4 .5 .2 .3


(5) Derajat (Degree) Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Notasi : d(v) Contoh: d(2) = d(3) = 3 dan d(1) = d(2) = 2

9


(5) Derajat (Degree) Jika terdapat g buah gelang dan e buah sisi bukan gelang yang bersisian dengan simpul v, d(v) = 2g + e Contoh: d(3) = 2(1)+2 = 4


(5) Derajat (Degree) Pada graf berarah dibedakan menjadi dua macam: din(v) = jumlah busur yang masuk ke simpul v dout(v) = jumlah busur yang keluar dari simpul v d(v) = din(v) + dout(v) Contoh: din(3) = 3, dout(3) = 4

10


(5) Derajat (Degree) Untuk graf berarah: ∑ din(v) =∑ dout(v)=|E| Contoh: din(1)+ din(2)+ din(3)+ din(4)= dout(1)+ dout(2)+ dout(3)+ dout(4) 3+1+3+2 = 1+2+4+2 = 9


(5) Derajat (Degree) Untuk graf sembarang: ∑ d(v) =2|E| Contoh: d(1)+ d(2)+ d(3)+ d(4)= 4 + 3 + 7 + 4 = 18 = 2(9)

11


(6) Lintasan (Path) Sederhana: lintasan dengan semua sisi yang dilalui hanya sekali Elementer: lintasan dengan semua simpul yang dilalui hanya muncul sekali, kecuali, mungkin simpul pertama & simpul terakhir Tertutup: berawal dan berakhir pada simpul yang sama Terbuka: berawal dan berakhir pada simpul yang tak sama


(7) Siklus atau Sirkuit Adalah: lintasan elementer dengan simpul pertama sama dengan simpul terakhir Contoh : Panjang sirkuit: jumlah sisi dalam sirkuit tersebut,

12

Under

construct

Terima kasih

13