I. Nombres complexes - EmmanuelMorand.net

Sup Tsi - Travaux Dirigés de mathématiques

I. Nombres complexes

Exercice 1 Dans le plan complexe, déterminer l’ensemble des points d’affixe z vérifiant (2 + i)z + (2 − i)z = 2.

Exercice 2 Dans le plan complexe, déterminer l’ensemble des points d’affixe z vérifiant |1 + i + z| = 2.

Exercice 3 Simplifier |z + 1|2 + |z − 1|2 pour z un nombre complexe de module 1.

Exercice 4 Simplifier

sin(3x) cos(3x) π − pour x 6= k , k ∈ Z. sin x cos x 2

Exercice 5 1. Linéariser (cos x)3 puis (sin x)3 en utilisant les relations d’Euler. π π 2. Linéariser sin + x sin − x en utilisant les relations d’Euler. 3 3 3. Factoriser cos(3x) + cos(5x) en utilisant les relations d’Euler.

Exercice 6 1. Résoudre dans R l’équation cos x + cos(2x) = 0. √ 2. Résoudre dans R l’équation cos x + 3 sin x = −2. π 3. Résoudre dans R l’inéquation cos x + cos x + > 0. 3

Exercice 7 √ √ Déterminer la forme trigonométrique de 1 − i 3, en déduire la forme algébrique de (1 − i 3)5 .

Exercice 8 Résoudre dans C l’équation z 3 = z.

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Exercice 9 Calculer dans C les racines cubiques de −8.

Exercice 10 Résoudre dans C l’équation z 2 − (1 + i)z + 5i = 0.

Exercice 11 Résoudre dans C l’équation z 4 + 8iz 2 − 25 = 0.

Exercice 12 Caractériser les nombres complexes a et b tels que l’inverse de leur somme soit égale ` a la somme de leurs inverses. Interpréter géométriquement dans le plan complexe.

Exercice 13 ´ Etant donné z ∈ C, on considère les points d’affixes 1, z et z 2 dans le plan complexe. Déterminer une Condition Nécessaire et Suffisante sur z pour que ces points soient alignés.

Exercice 14 Dans le plan complexe, on considère les points A et B d’affixes respectives 1 et −i. Montrer qu’un point M d’affixe z appartient ` a la droite (AB) si et seulement si (1 + i)z + (1 − i)z = 2.

Exercice 15 Dans le plan complexe, on considère un triangle ABC. Montrer que l’isobarycentre des points A, B et C est situé au deux-tiers de la médiane issue de A ` a partir du sommet.

Exercice 16 Dans le plan complexe, déterminer la nature des applications associées aux écritures suivantes : z 7→ 1 − i + iz. 1 z 7→ (z − z). 2

Exercice 17 Dans le plan complexe, déterminer la nature du triangle formé par les points d’affixe les solutions de l’équation 2z 3 + 3z + 5 = 0.

Exercice 18 Dans le plan complexe, déterminer le lieu géométrique formé par les points d’affixe z vérifiant |z| = z +z. www.emmanuelmorand.net

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Probl` eme 1 (Entiers de Gauss) En utilisant le module d’un nombre complexe, démontrer que si deux nombres sont somme de deux carrés de nombres entiers alors leur produit est encore une somme de deux carrés de nombres entiers. Exprimer 6885 comme somme de deux carrés de nombres entiers.

Probl` eme 2 (Polynˆ omes de Tchebychev) 1. Exprimer cos 2θ sous la forme d’un polynˆ ome en X = cos θ. 2. Développer (cos θ+i sin θ)3 , en déduire l’expression de cos 3θ sous la forme d’un polynˆ ome en X = cos θ. 3. Exprimer cos 4θ sous la forme d’un polynˆ ome en X = cos θ.

Probl` eme 3 (Somme et produit des racines n-i` emes de l’unit´ e) Montrer que les racines n-ièmes de l’unité forment une progression géométrique dont on déterminera la raison, en déduire leur somme ainsi que leur produit.

2π Probl` eme 4 (Valeur exacte de cos ) 5 En calculant la somme des racines 5-ièmes de l’unité, montrer que cos 2π déduire la valeur exacte de cos . 5

2π 5

+ cos

4π 5

1 = − , en 2

Probl` eme 5 (Caract´ erisation d’un carr´ e) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct, on considère quatre points A, B, C et D deux ` a deux distincts d’affixes respectives a, b, c et d. Montrer que le quadrilatère ABCD est un carré direct si et seulement si a + c = b + d et a + bi = c + di.

Probl` eme 6 (Caract´ erisation d’un triangle ´ equilat´ eral) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct, on considère trois points A, B et C deux 2iπ ` deux distincts d’affixes respectives a, b et c. On note j = e 3 . a 1. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si a + bj + cj 2 = 0. 2. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. √ 3. En choisissant un repère adapté et en utilisant l’irrationnalité de 3, démontrer qu’il n’existe aucun triangle équilatéral dont les coordonnées des sommets dans un repère orthonormal direct du plan sont des entiers.


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Probl` eme 7 (Droite d’Euler d’un triangle) − → Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O, → u,− v ), on considère trois points A, B et C deux ` a deux distincts sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. On note a, b et c les affixes respectives de points A, B et C. On appelle I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB]. 1. Faire une figure. 2. Déterminer l’affixe du centre de gravité G du triangle ABC en fonction de a, b et c. −− → −−→ 3. On considère le point H d’affixe a + b + c, comparer les angles orientés de vecteurs (AB; CH) et −− → −−→ (AB; OK), en déduire que le point H est l’orthocentre du triangle ABC. −−→ −−→ 4. Démontrer que OH = 3OG.

Probl` eme 8 (Th´ eor` eme de Napol´ eon) B′

Dans le plan complexe, on considère un triangle ABC quelconque et on construit extérieurement les triangles équilatéraux A′ BC, AB ′ C et ABC ′ .

C′

− → v

G2

G3

On appelle respectivement G1 , G2 et G3 les centres de gravité de ces triangles. − − On considère le repère orthonormal direct (B, → u ,→ v) et on note ρ et θ les coordonnées polaires du point A.

A

B

− → u

C

G1

Démontrer que le triangle G1 G2 G3 est équilatéral. A′


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R´ eponses Exercices 1) Droite d’équation réduite y = 2x − 1.

2) Cercle de centre d’affixe −1 − i et de rayon 2.

3) |z + 1|2 + |z − 1|2 = 4 si zz = 1. sin(3x) cos(3x) 4) − = 2. sin x cos x π π 3 cos x + cos(3x) 3 sin x − sin(3x) 1 + 2 cos 2x 5) (cos x)3 = et (sin x)3 = ; sin + x sin −x = ; 4 4 3 3 4 i3x i5x i4x ix −ix cos(3x) + cos(5x) = 2 cos(x) cos(4x) en remarquant e + e = e (e + e ). √ π π 6) cos x + cos 2x = 2(cos x)2 + cos x − 1 d’o` u x = π[2π] ou x = ± [2π] ; cos x + 3 sin x = 2 cos x − 3 3 2π π π √ 2π π d’o` u x = − [2π] ; cos x + cos x + = 3 cos x + d’o` u− + 2kπ < x < + 2kπ, k ∈ Z. 3 3 6 3 3 √ 5 √ √ −i 2π u (1 − i 3) = 16(1 + i 3). 7) 1 − i 3 = 2e 3 d’o` 8) 0,i, −1, −i et 1 en utilisant l’écriture trigonométrique. √ √ 9) −2, 1 + i 3 et 1 − i 3.

10) 2 − i et −1 + 2i.

11) −1 + 2i, 1 − 2i, −2 + i et 2 − i. 2π b b 12) On montre que est solution de X = (1 + X)2 soit = e±i 3 . Le triangle OAB est équilatéral. a a z2 − 1 = z + 1 ∈ R donc z doit être un nombre réel. 13) z = 1 ou z−1 z+i 14) Pour z 6= 1, le nombre complexe est réel donc égal ` a son conjugué. z−1 2 → = z− → o` 15) On montre que z− u I est le milieu du segment [BC]. AG 3 AI π 16) Rotation de centre le point d’affixe 1 et d’angle ; projection orthogonale sur l’axe des imaginaires 2 purs. 1 + 3i 1 − 3i 17) Les solutions de l’équation sont −1, et , le triangle est rectangle isocèle. 2 2 18) On considère les points O(0), M (z) et R(2Re(z)). Le triangle OM R est isocèle en M et O donc π équilatéral. Le point M est situé sur une demi-droite partant de l’origine et formant un angle de ± 3 avec l’axe des réels.

Probl` emes 1) (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = |(a + ib)(c + id)| = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 ; 6885 = 632 + 542 = 812 + 182 car 6885 = 92 × 5 × 17 et 9(2 + i)(4 + i) = 63 + 54i et 9(2 − i)(4 + i) = 81 − 18i.

2) T2 (X) = 2X 2 − 1 ; T3 (X) = 4X 3 − 3X et T4 (X) = 8X 4 − 8X 2 + 1. 2π n 2π 2π 2 2π n−1 1 − ei n 2π = 0. 3) Si n > 1, 1 + ei n + ei n + · · · + ei n = 1 − ei n

2π 2π 2 2π n−1 2π 0+1+2+···+(n−1) 2π (n−1)n 2 1 × ei n × ei n × · · · × ei n = ei n = ei n = ei(n−1)π = (−1)n−1 .


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2π 4π 6π 8π 2π 4π 4) On a 1 + cos + cos + cos + cos = 0 soit 1 + 2 cos + 2 cos = 0; 5 5 5 5 5 5 √ 2π 1 2π 5−1 2 est solution de l’équation 2X + X − = 0 donc cos = . cos 5 2 5 4 5) Les diagonales se coupent en leur milieu équivaut ` a a + c = b + d, les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur équivaut ` a a + bi = c + di. a−c 6) Le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si = −j ; le triangle ABC est équilatéral b−c si et seulement si (a + bj + cj 2 )(a + cj + bj 2 ) = 0 ; on se ramène ` a un triangle équilatéral direct avec a = 0 et on montre qu’alors c = −jb ou c = −j 2 b. −→ −→ → −−→ a + b + c −− a+b 7) En utilisant la relation AG = 2GI on obtient zG = ; (AB; CH) = arg [2π] et 3 b−a −− → −−→ a+b (AB; OK) = arg [2π] or O est le point d’intersection des médiatrices du triangle ABC donc b−a −− → −−→ π (AB; OK) = ± [2π] ; zH = 3zG . 2 π π π π π zG3 − zG1 8) On montre que zA′ = e−i 3 , zB ′ = 1 − e−i 3 + ρei(θ− 3 ) , zC ′ = ρei(θ+ 3 ) d’o` u = ei 3 . zG2 − zG1


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