Introduzione. 69. 2. Equazioni lineari. 70. 3. Esempi introduttivi. 72. 4. Vettori
colonna. 77. 5. Sistemi lineari e matrici. 80. 6. Metodo di eliminazione di Gauss.
86.
Indice generale
Prefazione
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1 Spazio euclideo e vettori 1 Introduzione 2 Richiami di geometria euclidea nello spazio 3 Dalla geometria all’algebra dei vettori 4 Sistemi di riferimento e coordinate 4.1 Sistema di riferimento in un piano 4.2 Sistemi di riferimento nello spazio 5 Coordinate cartesiane nello spazio 6 Proiezioni ortogonali e prodotto scalare 7 Prodotto vettoriale e prodotto misto 8 Geometria analitica di rette e piani nello spazio 8.1 Equazioni parametriche di una retta 8.2 Equazione cartesiana di un piano 8.3 Equazioni cartesiane di una retta nello spazio 8.4 Equazioni parametriche di un piano nello spazio 8.5 Distanza di due punti. Equazione di una sfera 8.6 Distanza tra un punto e un piano 8.7 Distanza tra un punto e una retta nello spazio 8.8 Distanza tra due rette
2 Sistemi lineari 1 Introduzione 2 Equazioni lineari 3 Esempi introduttivi 4 Vettori colonna 5 Sistemi lineari e matrici 6 Metodo di eliminazione di Gauss 6.1 Operazioni elementari sulle righe 6.2 L’algoritmo di Gauss 6.3 Rango di una matrice. Teoremi di Cramer e Rouch´e-Capelli
69 69 70 72 77 80 86 90 91 96
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Indice generale
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3 Algebra delle matrici 119 1 Introduzione 119 2 Somma e prodotto per uno scalare 121 3 Il prodotto righe per colonne 122 4 Matrici invertibili 128 5 Matrice trasposta. Matrici simmetriche 133 6 L’algoritmo di Gauss-Jordan e il calcolo dell’inversa 137 7 Fattorizzazione LU 141 7.1 La fattorizzazione nel caso non siano necessari scambi di righe 141 7.2 La fattorizzazione nel caso generale 147 8 Prodotto di matrici a blocchi 150 4 Spazi vettoriali 1 Introduzione 2 Assiomi ed esempi 3 Sottospazi 4 Combinazioni lineari 5 Indipendenza lineare 6 Basi e Dimensione 7 Coordinate 8 Rango di una matrice 9 Equazioni cartesiane di un sottospazio 10 Operazioni sui sottospazi
153 153 154 158 163 168 173 184 191 202 205
5 Applicazioni lineari 1 Introduzione 2 Applicazioni lineari 3 Nucleo, fibre e immagine 4 Algebra delle applicazioni lineari 5 Il teorema di rappresentazione 6 Teorema di nullit` a pi` u rango e applicazioni
217 217 219 226 232 240 255
6 Determinante 1 Introduzione 2 Determinante e mosse di Gauss 3 Determinante di matrici di permutazione 4 Formula esplicita per il determinante 5 Sviluppi di Laplace 6 Il teorema di Binet e il determinante di un’applicazione lineare 7 Determinante e rango 8 Complementi
261 261 262 266 271 280 289 292 295
7 Autovalori e autovettori 1 Introduzione 2 Autovettori e autovalori di un’applicazione lineare 3 Autovettori e autovalori di una matrice 4 Ricerca di autovalori e autovettori
301 301 301 307 311
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Matrici simili Il problema della forma canonica
Indice generale
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331 339
8 Spazi euclidei 1 Introduzione 2 Spazi euclidei 3 Il teorema di Pitagora e la disuguaglianza di Schwarz 4 Basi ortonormali e matrici ortogonali 5 Proiezioni ortogonali e algoritmo di Gram-Schmidt 6 Equazioni normali e il metodo dei minimi quadrati 7 Matrici di proiezioni ortogonali 8 Il caso complesso 9 Complementi 9.1 Il teorema di Eulero sulle rotazioni dello spazio 9.2 Riflessioni ortogonali
363 363 364 370 377 389 404 412 416 425 425 427
9 Teoremi spettrali e forme quadratiche 1 Introduzione 2 Teorema spettrale 3 Forme quadratiche 4 La decomposizione ai valori singolari 5 Il caso complesso 6 Matrici normali reali 7 Quadriche
