INFORME FINAL.pdf - Universidad Nacional del Callao.

ÍNDICE Í N DI CE DE C UA DR OS Í N DI CE DE F IG UR AS Í N DI CE DE F ÓR M U LA S

5 9 13

RE SU MEN I N TRO DUC CI ÓN

15 16

C AP . I : I N TR ODU CC IÓ N A LA TOPO GR A FÍ A 1. 1. I NT RO DU CC I ÓN

17 17

1. 2. DE FIN I CI ÓN DE TOP OGR A FÍ A 1. 3. I MPO R TA NC I A DE LA TOP OGR A FÍ A

19 20

C AP . I I : I NS TRU ME NTOS TOPOG R Á FIC OS 2. 1. I NS TRU MEN TOS S I MP LE S

22 22

2. 2. I NS TRU MEN TOS P RI NC IP A LES

30

C AP . I I I : LEV AN TA M IEN TOS DE C A MPO

42

3. 1. I NT RO DU CC I ÓN 3. 2. RE QUI S I TOS DE U N BUE N R EG IS TRO

42 43

3. 3. L I BRE T AS DE C A MP O 3. 4. C L ASES DE AN O TA CI ONES

44 45

3. 5. DI SP OS IC IÓ N DE LAS ANO TA C IO NES 3. 6. SU GERE NC I AS P A R A E L REG I S TRO DE C A MPO

47 50

C AP . I V : C Á L CUL OS DE G A BI NE TE 4. 1. I N TRO DUC CI ÓN

52 52

4. 2. C ON SI DER A CI ONES BÁS IC AS 4. 3. C A LCU LA DOR AS E LEC TRÓ NI C AS DE BO LS ILL O

52 53

4. 4. U NI D ADES DE ME DI D A

54

4. 5. U NI D ADES EN TOPOG R A FÍ A 4. 6. S IS TE MA I N TER N AC IO NA L DE UN I DA DES (S I )

56 59

4. 7. C I FR AS S I GNI FI C A TI V AS 4. 8. PR O BLE M AS RE LA CI ONA DOS CO N CI FR A S S IG NI FI C A TI VAS

59 60

4. 9. RE DO NDE O DE N ÚMERO S 4. 10 . COMP RO BAC IO NES

61 62

4. 11 . P RO BLE M AS P ROPUE S TOS

63

C AP . V : E RR ORE S EN LOS LE V A NT A MI E N TO S DE C A MP O

64

5. 1. I NT RO DU CC I ÓN 5. 2. E RR ORES EN LAS

64 65

MED ID AS

5. 3. C LA SES DE E RR ORES EN L AS ME DI D AS 4. 4. T IPOS DE E R ROR ES

66 67

5. 5

MA G NI TU D DE LOS ER RO RES

68

5. 6. A PA R IC IÓ N DE L OS ER RO RES 5. 7. CÁ L CU LO DE ER RO RES

70 70

5. 8. PR O BLE M AS PR OPUES TOS

78

C AP . V I : MED ID A DE DI ST A NC I AS

83

6. 1. I N TRO DUC CI ÓN

83

1

6. 2. C I N TA S 6. 3. A C CESO RI OS DE MED I CI ÓN

83 83

6. 4. C A LI BRA CI ÓN 6. 5. PR OCE DI MI EN TO DE MED IC IÓ N CON CI N T A

84 85

6. 6. MED I CI ÓN E N P E ND IEN TE

85

6. 7. C OR R EC C IO NE S EN LAS MED I CI ONES CO N CI N TA 6. 8. MED I CI ÓN I ND IR E C TA DE D IS T AN CI AS

87 92

6. 9. MED I CI ÓN I ND IR E C TA DE D IS T AN CI AS I NCLI N A DAS 6. 10 . P RO BLE M AS P ROPUE S TOS

93 94

C AP . V II : N I VE LAC IÓ N CO MPUE S TA 7. 1. I N TRO DUC CI ÓN

96 96

7. 2. A LGU N AS DE FI NI CI ONE S 7. 3. C URV A TU R A Y RE F R AC CI ÓN

96 99

7. 4. C LA SES DE NI VE LAC IÓ N 7. 5. I NS TRU MEN TO Y A CCES OR IOS DE N IV E LAC I ÓN 7. 6. OR DE NES DE P RE CI SI ÓN

1 00 1 01 1 03

7. 7. TÉC N IC AS DE NI V E LA CI ÓN 7. 8. PR O BLE M AS PR OPUES TOS

1 04 1 09

C AP . V II I : NIVE LA CI ÓN DE C IR CU I TO CER RA D O

1 15

8. 1. I N TRO DUC CI ÓN

1 15

8. 2. C OMPR O BA C IÓN DE CO TAS 8. 3. C LA SES DE NI VE LAC IÓ N SE GÚ N E L E RR OR DE CIE RRE

1 16 1 16


1 17

C AP . I X : MED ID A Y TR AZ A DO DE PE R F I LES 9. 1. N IVE LA CI ÓN DE P E R FI LES LO NG ITUD IN A LES.

1 22 1 22


1 25

C AP . X : ME DI CI ONES A NG U LA RE S

1 28

10. 1 . I NTRO DU CC IÓ N 10. 2 . DE TER M IN A CI ÓN DE U N Á NGU LO

1 28 1 28

10. 3 . C LASES DE Á NGU LOS H OR IZ ON TALES

1 29

10. 4 . DI RE CC IÓ N DE UN A LÍ NE A 10. 5 . AZ I MU T

1 31 1 32

10. 6 . RU MBOS 10. 7 . COMP AR A CI ÓN DE AZ I MU TE S Y R UMBOS

1 33 1 34

10. 8 . C Á LCU LO DE A ZI MU TE S 10. 9 . C A LCU LO DE RU M BOS

1 35 1 36

10. 1 0. PR O BLE MAS P ROP UES TO S

1 38

C AP . X I : P OL IG ONA CI ÓN

1 42

11. 1 . I NTRO DU CC IÓ N 11. 2 . TÉC N IC AS DE LEV A N TA M IEN TO CO N TEO DO LI TO R A DI AC IÓ N

1 42 1 44

11. 3 . COOR DEN AD AS R E C TA NGU LA RES

1 46

11. 4 . LA TI TUDES Y A LE JA M IEN TO S 11. 5 . C Á LCU LO TI PO DE U N A PO LIG ON A L 11. 6 . P RO BLE M AS P ROPUE S TOS

1 47 1 49 1 63

C AP . X II : LEVA N TA MIE N TO DE P RED IOS I RRE GU L ARES

1 75

2

12. 1 . I NTRO DU CC IÓ N 12. 2 . TÉ CN IC A DE L TR APEC I O

1 75 1 75

12. 3 . TÉC N IC A DE L A REG LA DE S I MPSO N 12. 4 . TÉC N IC A DE COO RDE N AD AS

1 76 1 78


1 85

C AP . X II I : LEV A N TA MIEN T O DE PRE DI OS LI G A DOS

1 89

13. 1 . I NTRO DU CC IÓ N 13. 2 . C Á LCU LO TIP O DE U N PRE D IO LIG A DO

1 89 1 89

13. 3 . PR O BLE M AS PR OPUES TOS

1 99

C AP . X IV : F R AC C IO NA MIE NT O PO R LÍNE A

2 07

14. 2 . LO S D A TOS DE P A R TID A 14. 6 . PR O BLE M AS PR OPUES TOS

2 07 2 23

C AP . XV . F R AC CI ONA M IEN TO P OR P U NTOS 15. 1 . I NTRO DU CC IÓ N

2 32 2 32

15. 2 . LOS D A TOS DE P AR TID A 15. 3 . LA REP RE SEN TAC I ÓN G R Á FI CA DE LO S D A TO S

2 32 2 33

15. 4 . C Á L C U L O S D E L F R A C C I O N A MI EN T O C O N D A T O S D E L S U B P R E D I O 1 15. 5 . P RO BLE M AS P ROPUE S TOS

2 33 2 40

C AP . XV I : T RI AN GU LAC IÓ N 16. 1 . I NTRO DU CC IÓ N

2 50 2 50

16. 2 . S IS TE MAS DE TR I AN GU LAC IÓ N 16. 3 . C A LC I FI CA CI ÓN DE L A TR I AN GU LAC I ÓN

2 50 2 53

16. 4 . REC ON OC I MIE N TO 16. 5 . ME DI CI ONE S Y CO RRE CC IO NES DE LA S BASES

2 54 2 55

16. 6 . A JUS TE DE Á NG U LOS

2 56

16. 7 . TRI A NGU LA CI ÓN DE P O LÍ GONOS 16. 8 . P RO BLE M AS P ROPUE S TOS

2 57 2 64

C AP . XV II : TR I LA TER AC IÓ N

2 72

17. 1 . I NTRO DU CC IÓ N

2 72

17. 2 . C Á LCU LOS Y VE RI FI C AC IO NES 17. 3 . COMP AR A CI ÓN CO N LA TR I A NGU L A CI Ó N

2 72 2 73

17. 4 . C Á LCU LO TI PO DE U N A RED DE P O LÍ GON OS 17. 5 . P RO BLE M AS P ROPUE S TOS

2 74 2 83

C AP . XV II I : LE VA N T AMIE NTOS COM BIN A DOS

2 92


2 92

18. 2 . C Á LCU LO DE L S IS TE M A C O MBI N AD O 18. 3 . P RO BLE M AS P ROPUE S TOS

2 92 3 25

C AP . X IX : CUR V AS DE SUPER F I C IE

3 37


3 37

19. 2 . 19. 3 . 19. 4 . 19. 5 .

3 37 3 39 3 41 3 43

TIPOS DE CURV AS HO RIZ ON TA LE S E LE ME N TOS DE U N A CUR VA SI MP LE FO R MU L AS DE LA CU RV A S I MP LE S O LU CI ÓN DE UN A CUR VA S IMP LE


3 46

3

C AP . XX : CU RV AS DE N IVE L 20. 1 . I N TRO DUC CI ÓN

3 47 3 47

20. 2 . C URV AS DE N IVE L 20. 3 . TIP OS DE CUR VA DE N IVE L

3 47 3 48

20. 4 . MA R CA C I ÓN DE UN A CU RV A DE N I VE L

3 49

20. 5 . DES AR RO LL O DE LA MAR C AC I ON DE U N A C URV A DE NI VE L 20. 6 . P RO BLE M AS P ROPUE S TOS

3 51 3 53

C AP . XX I : LEV A N TA M IEN TOS HI DR OG R Á F IC OS

3 56

21. 1 . GE NER A LI D A DES

3 56

21. 2 . C A R AC TE RÍ S TIC AS DE L LEVA N T A MIE NTO HI D ROGR Á F IC O 21. 3 . LEV A N TA MIE NT OS TOP OG RÁ FI CO S Y DE COST AS

3 57 3 59

21. 4 . EQU IPO PA R A HI DR OG RA F Í A 21. 5 . OPE R AC IO NES DE SONDE O

3 60 3 62


3 65

C AP . XX I I : C URV AS DE NI VE L HI DR OGR Á FI C AS

3 67

22. 1 . I NTRO DU CC IÓ N 22. 2 . S IS TE MA A

3 67 3 67

22. 3 . S IS TE MA B 22. 4 . S IS TE MA C

3 69 3 70

22. 5 . S IS TE MA D

3 71

22. 6 . I NTE RP OL A CI ÓN DE CU RV AS DE N IVE L 22. 7 . P RO BLE M AS P ROPUE S TOS

3 71 3 73

C AP . XX I I I : LE VA N T A MIE NTO P A RA O BR AS Y CON S TRU CC IO NES

3 75

23. 1 . I N TRO DUC CI ÓN 23. 2 . A LINE A M IEN TO

3 75 3 76

23. 3 . R AS AN TE

3 76

23. 4 . TR AZO DE E DI FI C IOS 23. 5 . A LC AN TAR I L LAS

3 78 3 80

23. 6 . LAS C A LLES 23. 7 . S IS TE MA DE D RE NA JE Y DE TU BE RÍ AS

3 81 3 81

FU EN TE S DE I N FOR M AC IÓ N

3 83

4

ÍNDICE DE CUADROS N Ú M E RO Y D EN O M I N A C I Ó N D E C U A D RO S

C U A D R O N ° 4. 1 . C I F R A S

60

S I G N I F I C A TI V A S

C U A D R O N ° 5. 1 . E J E M P L O C U A D R O N ° 5. 3 . C Á L C U L O

73

D E C Á LC U L O E R R O R E S

C U A D R O N ° 5. 2 . O TR O E J E M P L O

PÁ G .

D E C Á L C U L O E R R OR E S

D E M E D I D A S P ON D E R A D A S

74 78

C U A D R O 7. 1 . R E G I S TR O

D E C A M P O P A R A LA N I VE L A C I Ó N D I F E R E N C I A L

10 6

C U A D R O 7. 2 . C Á L C U L O

D E LA S E L E V A C I O N E S

10 7


DE L


D E LA

D E S N I VE L

10 8

C OMP R OB A CI ÓN

DEL

DE SNI VE L

10 8

C U A D R O 8. 1 . R E G I S TR O

D E U N A N I VE L A C I ÓN D E C I R C U I T O C E R R A D O

11 5


D E C OT A S D E U N C I R C U I T O C E R R A D O

11 5


D E C OT A S C O R R E G I D A S

11 6

C U A D R O N ° 9. 1 . R E G I S TR O

DE C A MP O DE U N PE RF IL L ONGI TU D I N A L

C U A D R O N ° 9. 2 . C Á L C U L O

DE

DES NI V EL

DE L PE RF IL L ONGI TU D I N A L

C U A D R O N ° 9. 3 . C OM P R O B A C I ÓN

DEL

C U A D R O N ° 10 . 1. C OM P A R A C I Ó N

E NT RE A ZIM U TE S Y R UM BOS

C U A D R O N ° 11 . 1. D A T O S

DE SNI VE L

C U A D R O N ° 11 . 3. R U M B OS

D E Á N G U L O S I N T E R N OS

D E L A P O L I G ON A L

C U A D R O N ° 11 . 4. C Á L C U L O

DE A LE J A MIE N TOS Y LA TI T UD E S

C U A D R O N ° 11 . 5. C OR R E C C I Ó N C U A D R O N ° 11 . 6. T A B U LA C I Ó N C U A D R O N ° 11 . 7. C Á L C U L O C U A D R O N ° 11 . 9. C Á L C U L O

D E A L E J A M I E N T OS Y L A T I T U D E S

12 4 13 5 15 0 15 4 15 4 15 9 16 0

COMPLETA

DE C OOR D E NA D A S

C U A D R O N ° 11 . 8. T A B U LA C I Ó N

12 4

15 0

DE CA MP O

C U A D R O N ° 11 . 2. C OR R E C C I Ó N

12 3

16 0 16 2

VERTICAL

DE L ÁR E A D EL P R E D I O

16 3

C U A D R O N ° 12 . 1. D A T O S

D E L A P A R TE R E G U L A R

18 0

C U A D R O N ° 12 . 2. D A T O S

D E L A P A R TE I R R E G U L A R

18 0

C U A D R O N ° 12 . 3. C Á L C U L O


C U A D R O N ° 12 . 4. C OM P E N S A C I Ó N

DE A LE JA MIE N TOS Y L AT IT U DE S

18 1 18 1

C U A D R O N ° 12 . 5. C Á L C U L O

D E L A S M E D I D A S C OR R E G I D A S

18 2

C U A D R O N ° 12 . 6. C Á L C U L O

D E A B S C I S A S Y OR D E N A D A S

18 3

C U A D R O N ° 12 . 7. C Á L C U L O

DE L ÁR E A D EL P R E D I O I R RE G U LAR

18 4

C U A D R O N ° 12 . 8. R E S U M E N

D E Á R E A S D E L P R E D I O I R R E G U LA R

18 4

C U A D R O N ° 13 . 1. D A T O S C U A D R O N ° 13 . 2. D A T O S

D E L A P O L I G O N A L D E A P OY O

19 0

DE LA L IG AS

19 1

C U A D R O N ° 13 . 3. C Á L C U L O


C U A D R O N ° 13 . 4. C OR R E C C I O N E S

D E A L E J A M I E N T OS Y LA TI TU D E S

19 2 19 2

C U A D R O N ° 13 . 5. C Á L C U L O

D E M E D I D A S C OR R E G I D A S

19 3

C U A D R O N ° 13 . 6. C Á L C U L O C U A D R O N ° 13 . 7. C Á L C U L O

D E A L E J A M I E N T O S Y L A T I T U D E S D E LI G A S

19 4

D E L A C O R R E C C I ÓN D E L I G A S

19 4

C U A D R O N ° 13 . 8. C Á L C U L O

D E L A S C O OR D E N A D A S D E L I G A S

19 4

C U A D R O N ° 13 . 9. C Á L C U L O

D E L A S C O OR D E N A D A S D E P R E D I O

19 7

C U A D R O N ° 13 . 10. C Á L C U L O

D E A LE J A M I E N T OS Y L A T I T U D E S D E L P R E D I O

5

19 8

C U A D R O N ° 13 . 11. C Á L C U L O

DE R U MB O S Y D I ST A NC IA S D E L PR E D I O

19 8

C U A D R O N ° 13 . 12. C Á L C U L O

DE L A S UP E R FI C IE D E L PR E D I O

19 8

C U A D R O N ° 14 . 1. D A T O S C UA DR O

N°

1 4. 2.

20 7

DE P A RT I D A D EL F R A C C I O NA MI E N TO

C ÁL CU L O

DE

A LE JA MIE N TOS

Y

L A TI T U D E S

DEL

DI ST AN CIA S

DEL

R E L A TI V A S

DEL

F RA CC I ONA MI E N TO

C UA DR O

N°

14. 3 .

T A B U L A C I ÓN

DE

R U M B OS

Y


C UA DR O

N°

1 4. 4.

TAB ULA CIÓN

DE

C O OR D EN A DA S


C U A D R O N ° 1 4. 5. M A TR I Z

VE R T I C A L

DE

C O OR D E N A DA S

R E LA T I V A S

DEL

Y

D EL


C UA DR O

N°

1 4. 6.

C Á LC U L O

DE

D OBLE S

ÁR EA S

ÁRE A


C U A D R O N ° 14 . 7.

ME DID AS DE L S UB PR E DI O

C U A D R O N ° 14 . 8. C Á L C U L O 1 C UA DR O

N° 1

14 . 9.

1

A LE JA MIE NTO S

Y

LA T IT U DES

DEL

S UB P RE DI O

C U A D R O N ° 14 . 10. L E Y

1

DE S E N OS P A R A E L SU B PR ED I O

C U A D R O N ° 14. 1 1. C OM P R O B A C I ÓN 1

21 2 21 3 21 4 21 5 21 6

D E A L E J A M I E N T O S Y LA T I T U D E S D E L S U B P R E D I O

C OM P R O B A C I Ó N

20 9

21 7 21 8 21 9

D E A LE J A M I E N T OS Y L A T I T U D E S D E L

S UB P RE DI O

22 1

C U A D R O N ° 14 . 12. C Á L C U L O

DE L ÁR EA DE L SU B P R ED I O

1

22 2

C U A D R O N ° 14 . 13. C Á L C U L O

DE L ÁR EA DE L SU B P R ED I O

2

22 3

C U A D R O N ° 14 . 14. R E S U M E N

DE Á R EA S D E L P RE D I O

C U A D R O N ° 15 . 1. D A T O S C UA DR O

N°

1 5. 2.

22 3 23 2

D E P A R T I D A D E L F R A C C I O N A M I E N T O P OR P U N T OS

C ÁL CU L O

DE

A LE JA MIE N TOS

Y

L A TI T U D E S

DEL

F R A C C I O N A M I E N T O P O R P U N T OS

C U A D R O N ° 1 5. 3. C OM P R O B A C I Ó N

DE

A LE JA M I E NTO S

Y

L A TI T U D E S

DEL


C UA DR O

N°

15 . 4.

CÁLCULO

DE L

ÁRE A

DEL

1

SU BP RE D I O

DEL


C U A D R O N° 1 5. 5. C Á L C U L O

D E LA DI S T AN C IA Y R UM B O DE L A L ÍN E A D E L


C U A D R O N ° 1 5. 6 . C OM P R O B A C I Ó N

D E L A L Í N E A D E F R A C C I O N A M I E N T O P OR

P U N T OS

23 4 23 6 23 6 23 8 23 9

C U A D R O N ° 15 . 7. C Á L C U L O

D E L Á R E A D E L F R A C C I ON A M I E N T O P O R P U N T O S

24 0

C U A D R O N ° 15 . 8. R E S U M E N

DE ÁR E AS D E L FR A C C I ON AM I E NT O P OR PU NT OS

24 0

C UA DR O

N°

1 6. 1.

NOR M AS

DE

E XA CTI TU D

Y

LA S

E SP EC IF I CA CI ON ES

G E N E R A LE S D E L A TR I A N G U L A C I Ó N

C U A D R O N ° 16 . 2. D A T O S

25 3 25 7

DE LA F I G UR A D E P UN T O C EN TR A L

C U A D R O N ° 16 . 3. C ON VE R S I Ó N

A DE CIM ALES DE GR ADO

25 8

C U A D R O N ° 16 . 4. O R D E N A C I ÓN

D E L O S Á N G U L OS P A R E S E I M P A R E S

25 9

C U A D R O N ° 16. 5 . C Á L C U L O

DE

L OS

S E N OS

DE

L OS

ÁNGUL OS

P AR ES

E

IMP AR ES

C U A D R O N ° 1 6. 6. C Á L C U L O

DE

LA S

PA RTE S

P R OP OR C I ON A L E S

DE

L OS

S E N O S D E L O S Á N G U L OS P A R E S E I M P A R E S

C UA DR O

N°

16. 7 .

CÁLCULO

DE

LOS

Á N G U L OS

PARES

E

CORR EG IDOS

C U A D R O N ° 16 . 8. C Á L C U L O

DE DI S TA N C I AS D E LA TR IA N G U LA C I ÓN

6

IMP AR ES

25 9 26 0 26 1 26 2

C UA DR O

N°

1 6 . 9.

C ÁL CU LO

DE

RUM BOS

Y

DIS TA NCIAS

DE

LA

TRIANGULACIÓ N

C U A D R O N ° 16 . 10. C Á L C U L O

DE

A LE J A M I E N T OS

Y

D I S TA N C I A S

DE

LA

TRIANGULACIÓ N

C U A D R O N ° 16 . 11. C Á L C U L O C U A D R O N ° 17 . 1. M E D I D A S

C U A D R O N ° 17 . 2. C OM P R O B A C I Ó N DE

27 4 27 6

D E L O S Á N G U L O S I N T E R N OS L OS

ÁNGU LOS

I N T E R N OS

D EL

S EG UN D O

TRIÁNGULO

C U A D R O N ° 17 . 4. C Á LC U L O

DE

L OS

Á NG UL O S

I N T E R N OS

DEL

TE R C E R

DE

L OS

Á N G U L OS

IN TE RN OS

DE L

CUAR TO

DE

LOS

ÁNG UL OS

I N T E R N OS

TRIÁNGULO

C U A D R O N ° 1 7. 5. C Á LC U L O TRIÁNGULO

C U A D R O N ° 17 . 6. C Á L C U L O

DE L

QUI NT O

TRIÁNGULO

C U A D R O N ° 1 7. 7 . C Á L C U L O

DE

L OS

Á NG U L OS

I NT ER N OS

DE L

S EX TO

TRIÁNGULO

C U A D R O N ° 1 7. 8. C Á L C U L O

DE

LOS

Á NG U LOS

I NTE R N OS

DE L

S É P TI M O

TRIÁNGULO

C U A D R O N ° 17 . 9. C Á L C U L O

DE

L OS

ÁNG ULO S

I N T E R N OS

DE L

ÚLTIMO

TRIÁNGULO

C U A D R O N ° 17 . 10. Á N G U L O S C UA DR O

N°

17. 1 1.

I N T E R N OS

C OR REG IDO S

DEL

S IS TEM A

T R I L A TE R A D O

C U A D R O N ° 17 . 12. R U M B O S

C UA DR O

N°

1 7. 1 4.

Y L A T I T U D E S D E L S I S TE M A T R I LA T E R A D O

ALE JA M IE NTO S

Y

L AT ITUDES

COMP E NS AD OS

DEL

S IST E M A TR I LA TE RA DO

C U A D R O N ° 17 . 15. Á R E A

27 7 27 7 27 8 27 8 27 8 27 9

28 0 28 1

Y D IS T AN C IAS DE L SI STE MA TR I LA TER AD O

C U A D R O N ° 17 . 13. A L E J A M I E N T O S

27 7

27 9

I N TE R N O S D E L S I S T E M A T R I L A TE R A D O

ÁNGU LOS

26 3 26 3

D E L Á R E A D E L A T R I A N G U LA C I Ó N

DE L SIS TE MA T RILA TE RAD O

C U A D R O N ° 17. 3 . C Á L C U L O

26 3

28 1 28 2 28 2

DE L SIS TE MA TR ILA TE R AD O

C U A D R O N ° 18 . 1. M E D I D A S

D E L SI S T E MA C O M BI N AD O

29 3

C U A D R O N ° 18 . 2. M E D I D A S

D E L P O LÍ G ON O C O M B I N A D O

29 3

C U A D R O N ° 18 . 3. M E D I D A S

DE L P RIME R TRI ÁNG UL O COM BINAD O

29 4

C U A D R O N ° 18 . 4. M E D I D A S

D E L S E G U N D O TR I Á N G U L O C O M B I N A D O

29 4

C U A D R O N ° 18 . 5. M E D I D A S C U A D R O N ° 18 . 6. M E D I D A S

DE L TE R CER TR IÁ NG U LO COM BI NA DO

29 4

D E L C U A DR IL Á T ER O C O M BI N A D O

29 6

C UA DR O

N°

18 . 7.

C OR R E C C I Ó N

DE

ME DI D AS

DE L

C UA DR I LÁ TE R O

CO MBIN A DO

C U A D R O N° 18 . 8. C OR R E C C I Ó N

D E P A R E S OP U E S T OS D E L C U A D R I L Á T E R O

CO MBIN A DO

C U A D R O N ° 18. 9 . O R D E N A C I Ó N

EN

Á N G U L OS

P AR ES

E

IMPARES

DEL

CU AD RI LÁ T E R O C OM BI NA D O

C U A D R O N ° 18 . 10. C Á L C U L O

DE S E N OS D E Á N GU LOS P AR E S E I M PA RE S D E L


C U A D R O N ° 1 8. 11 . C Á L C U L O

D E S E N OS D E L A S P A R T E S P R O P OR C I ON A L E S

D E L O S Á N G U L OS P A R E S E I M P A R E S D E L C U A D R I LÁ TE R O C OM B I N A D O

C U A D R O N ° 18 . 12. C O R R E C C I Ó N

DE

ÁNGULOS

PARE S

E

I MPAR E S

DEL


C UA DR O

N°

18 . 14.

C ÁL CU L O

DE

DIS TA N CI AS

CO MBIN A DO

7

DE L

C U A D R I LÁ T E R O

29 6 29 8 29 8 29 9

30 0 30 1 30 2

C U A D R O N ° 18. 15 . C Á L C U L O

DE

DE C IM AL E S

DE

GR ADO

DE L

POLÍGONO

CO MBIN A DO

C U A D R O N ° 18 . 16. C O R R E C C I ÓN C U A D R O N ° 18 . 17.

G E OM ÉT RI CA DE L P OLÍ G ON O C OM BI NA D O

OR DE NA C I ÓN

EN

Á N G UL OS

PARE S

E

IMPARES

DEL

P OL ÍG ON O COM BIN ADO

C U A D R O N ° 18 . 18. C Á L C U L O

DE S E N OS D E Á N GU LOS P AR E S E I M PA RE S D E L


C U A D R O N ° 1 8. 19 . C Á L C U L O

D E S E N OS D E L A S P A R T E S P R O P OR C I ON A L E S

DE Á NG UL OS P ARE S E I MP A RE S D E L P OLÍ G ON O C O MB IN A D O

C UA DR O N °

18. 2 0 .

C OR R E C C I Ó N

TR I G O N OM É TR I C A

DE

Á N G U L OS

DEL


C U A D R O N ° 18 . 21.

I N T E R N OS

DE L

P RI MER

TR IÁN GUL O

DEL

TR I Á NG U L O

D EL

TR IÁN GUL O

DEL

S IST E M A CO MBI N A D O

C U A D R O N ° 1 8. 2 4 . Á N G U L OS

INTERNOS

DEL

S EG UND O


C U A D R O N ° 18. 2 4. Á N G U L OS

I NT ER N OS

DE L

TE R C E R


C U A D R O N ° 18. 2 5. C OR R E C C I ÓN

D E Á N G U L O S I N TE R N OS Y D I S T A N C I A S D E L

P O L Í G O N O D E A P OY O D E L S I S T E M A C O M B I N A D O

C U A D R O N° 1 8. 2 6. R U M B OS

Y DI ST AN C IA S DE L P OL ÍG ON O DE AP O Y O D E L


C U A D R O N ° 1 8. 27 . A LE J A M I E N T OS

Y LA T I T U D E S D E L P O L Í G O N O D E A P OY O

DE L SI S TE MA C OM B I N A D O

C U A D R O N° 1 8. 28 . C O O R D E N A D A S

Y Á RE A D E L P OL ÍG ON O DE A P OY O D E L


C U A D R O N ° 18 . 29. A L E J A M I E N T O S

Y LA TI TU DE S DE L AS L IG A S D EL S I ST EM A

CO MBIN A DO

C U A D R O N ° 18. 3 0. C O M P E N S A C I Ó N

D E A L E J A M I E N T O S Y LA TI TU D E S D E L A S

LI GA S D E L S IS T E M A C OM BI NA D O

C U A D R O N ° 18 . 31. C O OR D E N A D A S

D E LAS LI GA S D E L S IS T E MA C O M BI N A D O

C U A D R O N ° 18. 3 2. C O O R D E N A D A S

DE LAS LIG AS Y D E A P OY O D E L S I S TEM A

CO MBIN A DO

C U A D R O N ° 18 . 33. C O OR D E N A D A S C U A D R O N ° 18 . 34. M A T R I Z C U A D R O N ° 18 . 35. Á R E A

L A T I TU D E S

DEL

F R A CC I ONA MIE N TO


F R A C C I O N A M I E N T O D E L S I S TE M A C O M B I N A D O

C U A D R O N ° 18. 3 9. C OM P R O B A C I ÓN


P R I M E R P R E D I O D E L S I S T E M A C OM B I N A D O

C U A D R O N ° 18. 4 0. C O OR D E N A D A S

Y

ÁRE A


8

31 1 31 1 31 2 31 3 31 3 31 4 31 4 31 5 31 6 31 6 31 7

32 0

DE L SI S TE MA C OM B I N A D O

C U A D R O N ° 18. 3 8. C OM P R O B A C I ÓN

30 8

31 9

DE L S IS TE MA C OMB I NA D O Y

30 7

31 8

D E L S I S T E M A C OM B I N A D O

C U A D R O N ° 18. 3 7. A L E J A M I E N T O S

30 6

31 8

DE L SI S TE MA CO MBIN A DO

D E L S IS T E M A C OM BI N AD O

C U A D R O N ° 18 . 36. M E D I D A S

30 5

31 0

DEL POLÍGONO COMBINADO

C U A D R O N ° 1 8. 2 3. Á N G U L OS

30 4

30 8

Á N GU LOS C EN TR AL ES DE L P OL ÍG ON O C OM B I NA D O

C U A D R O N ° 18 . 22. D I S T A N C I A S

30 3

DE L

PR IME R

PR E DIO

D EL

32 1 32 2 32 4 32 4

ÍNDICE DE FIGURAS N Ú M E RO Y D E N O MI N A C I Ó N D E F I G U R A S

F I G U R A N ° 2 . 1. C A L I B R A C I Ó N

DE

PÁ G .

CIN TA S MÉ TR I CA S

23

F I G U R A N ° 2 . 2. P L O M A D A M E TÁ LI C A

23

F I G U R A N ° 2 . 3. T E N S I ÓM E T R O

24

F I G U R A N ° 2 . 4. J A L Ó N

24

F I G U R A N ° 2 . 5. C OR TE E S QU E M Á T I C O F I G U R A N ° 2 . 6.

F I G U R A N ° 2 . 7. T I P O S

DE

B R ÚJU L A

DE U NA

25

B R Ú J U LA

26

M I R A S T O P OG R Á F I C A S

28

P A R TE S D E U N A

F I G U R A N ° 2 . 9. M I R A H OR I Z O N T A L

29

F I G U R A N ° 2 . 10. T E O D O L I T O

30

F I G U R A N ° 2 . 11. L E C TU R A

DE L

F I G U R A N ° 2 . 12. E S C A L A

DEL

F I G U R A N ° 2 . 13. E S C A L A

DE

TEODOLIT O

TEODO LITO

31

C OI N CI DE N CI A

F I G U R A N ° 2 . 14. O T R A E S C A L A F I G U R A N ° 2 . 15. E J E S

31

DE

T E ODOL IT O

DE L

C OIN C I DE N C IA

DEL

32

T E OD OL IT O

32

TEODOL IT O

DE UN

33

F I G U R A N ° 2 . 16. T E O D O L I T O E L E C T R Ó N I C O

34

F I G U R A N ° 2 . 17. E S T A C I Ó N T OT A L E L E C T R Ó N I C A

35

F I G U R A N ° 2 . 18. N I VE L T U B U L A R

37

F I G U R A N ° 2 . 19. P A R T E S

DEL

NIV EL

DE

INGENIER O

F I G U R A N ° 2 . 20. N I VE L

DE

INGE NIER O

F I G U R A N ° 2 . 21. N I VE L

DE

A LT A P R E C I S I Ó N

38 38 39

F I G U R A N ° 2 . 22. D I S T A N C I Ó M E T R OS E L E C TR Ó N I C OS F I G U R A N ° 3 . 1. R E P R E S E N T A C I Ó N F I G U R A N ° 3 . 2. T A B U LA C I Ó N F I G U R A N ° 3 . 3. B O S QU E J O

L IB RE TA DE

LA

DE

DE

F I G U R A N ° 3 . 7. B R I G A D A

DE

CAMP O

DE L

F I G U R A N ° 4 . 2. U N I D A D E S

45 46 EN

CLIMA

LA

L I BR E T A

DE

47 48 49 49

I N S TR U M E N T O DE

BOLS IL LO

P R I M I T I VA S D E M E D I D A

F I G U R A N ° 4 . 3. R E D O N D E O

44

CAMP O

CAMP O

E I DE NT IF I C A C I Ó N DE L

F I G U R A N ° 5 . 1. C L A S E S

DE

CAMP O

AN OTA CI ONE S

F I G U R A N ° 4 . 1. C A L C U L A D O R A E LE C T R Ó N I C A

F I G U R A N ° 5 . 2. T I P O S

L IBR E TA

H ORA D E IN I CI O Y T E RM I N AC I ÓN DE L T R A BA J O

F I G U R A N ° 3 . 6. C ON D I C I O N E S F I G U R A N ° 3 . 8. T I P O

L IBR ET A

E N LA

EN LA

F I G U R A N° 3. 4 . D I S TR I B U C I ÓN CAMP O F I G U R A N ° 3 . 5. F E C H A ,

GR ÁF I CA DE L A

41

50 53 55 62

D E N Ú M E R OS

DE E RR O RE S E N LAS ME DI D AS

D E E R R O R E S E N LA S M E D I D A S

10 68

F I G U R A N ° 5 . 3. M A G N I T U D E S

D E L O S E R R OR E S

69

F I G U R A N ° 5 . 4. I N D I C A D O R E S

MÁ S U S U A LES DE ER RO RE S

71

F I G U R A N ° 7 . 1. E L E M E N T OS F I G U R A N ° 7 . 2. C L A S E S

D E U N A N I VE L A C I ÓN

97 10 1

D E N I VE LA C I Ó N

9

F I G U R A N ° 7 . 3. I N S T R U M E N T OS F I G U R A N ° 7 . 4. O R D E N E S

D E P R E C I S I ÓN D E L A N I V E L A C I Ó N

F I G U R A N ° 7 . 5. N I V E L A C I Ó N F I G U R A N ° 9 . 1. T R A Z O

Y A C C E S OR I OS D E N I V E L A C I Ó N

10 3 10 7

COMP UE S TA

12 4

DE U N P ER F I L L ON G IT U DI N A L

F I G U R A N ° 1 0. 1. D E T E R M I N A C I Ó N

10 2

12 9

DE U N Á N G UL O

F I G U R A N ° 1 0. 2. Á N G U L OS

H O R I Z O N T A L E S I N T E R I OR E S Y E X T E R I O R E S

13 0

F I G U R A N ° 1 0. 3. Á N G U L OS

HOR IZ ON TA LE S A LA I ZQU IE R DA Y A LA DER EC HA

13 0

F I G U R A N ° 1 0. 4. Á N G U L OS

HOR IZ ON TA LE S DE DE F LEX I ÓN

13 1

F I G U R A N ° 1 0. 5. M E R I D I A N O

VER DA DER O Y MAG N ÉTICO

13 2

F I G U R A N ° 1 0. 6. R E P R E S E N T A C I Ó N

G R Á FI C A DE A ZI M U TES

13 3


G R Á F I C A D E R U M B OS

13 4

F I G U R A N ° 1 0. 8. U B I C A C I ÓN

D E L O S Á N G U L O S A Z I M U T A LE S

13 6

F I G U R A N ° 1 0. 9. U B I C A C I ÓN

D E L O S R U M B OS D E U N A P OL I G O N A L

13 7

F I G U R A N ° 1 0. 10 . E J E M P L O

D E C Á LC U L O D E A Z I M U TE S

13 7

F I G U R A N ° 1 1. 1. E J E M P L O

DE UN A RE D DE A P O Y O

14 2

F I G U R A N ° 1 1. 2. E J E M P L O

DE UN R E L LE N O

14 3

F I G U R A N ° 1 1. 3. T É C N I C A

D E R A DI A C I ÓN

14 4

F I G U R A N ° 1 1. 4. T É C N I C A

DE INTER S E CCIÓ N

14 5

F I G U R A N ° 1 1. 5.

R EP RE SE NT AC I ÓN GR Á F I CA DE C OO RD E N A D AS

F I G U R A N ° 1 1. 6. C Á LC U L O

D E A LE J A M I E N T OS Y L A T I T U D E S


G R Á FI C A DE L A POL IG ONA L

F I G U R A N ° 1 1. 8. C Á LC U L O

DEL RUMBO DE

BC

F I G U R A N ° 1 1. 9. C Á LC U L O

DEL RUMBO DE

CD

14 8 14 9 15 1 15 2

F I G U R A N ° 1 1. 10 . C Á L C U L O

DE L R UM B O DE

F I G U R A N ° 1 1. 11 . C Á L C U L O

DE L R UM B O DE C OMP R OB A C I Ó N

F I G U R A N ° 1 1. 12 . R E P R E S E N T A C I Ó N

14 6

DA

15 2

GRÁ F I CA DE LOS E RR ORE S DE C IE RR E

15 3 15 6


D E L A TÉ C N I C A D E L T R A P E C I O


D E L A TÉ C N I C A D E


D E L A TÉ C N I C A D E C O O R D E N A D A S

17 8


D E L P RE DI O I R R EG U L AR

17 9


G R Á FI C A D E A BS CI S AS Y OR D EN A DA S

18 2


G R Á FIC A DE L P RE DIO

19 1


G R Á F I C A D E C O O R D E N A D A S D E A P OY O

19 3

10

S IMP S ON

17 6 17 7


G R Á F I C A D E L A LI G A

AP

19 5



FS

19 5



CQ

19 6



DR

19 6


D E L AS C O OR D EN A DA S D E L P RE DI O

19 7


G R Á FI C A DE L F RA CCI O NA MI E N TO

20 8


G R Á FI C A D E L S UB P RE DI O

F I G U R A N° 14 . 3. R E P R E S E N T A C I Ó N S UB P RE DI O 1 F I G U R A N ° 1 4. 4. R E P R E S E N T A C I Ó N D E L T R I Á N G U L O N MC FI GUR A

N ° 1 4. 5. 1

GRÁFICA

DEL

1

21 6

TR I Á N G U L O

NM C

DEL

G R Á F I C A D E L OS Á N G U L O S I N T E R N OS

REP RE SE NTACIÓN

G R ÁF IC A

DE

L AS

ME DI D AS

DEL

S UB P RE DI O


G R Á FI C A D E L S UB P RE DI O

F I G U R A N ° 1 5. 1. R E P R E S E N T A C I ÓN

2

N°

15. 2 .

G R Á F I C A D E L F R A C C I O N A M I E N T O P OR

R E PR ES EN TA CI Ó N

GR ÁF ICA

DEL

SUBP R ED IO

1

DEL


F I G U R A N ° 15 . 3. R E P R E S E N T A C I Ó N S U B P R E D I O 1 D E L F R A C C I ON A M I E N T O F I G U R A N ° 15. 4 . C Á L C U L O

GR ÁF I CA D E L TRI ÁN G U L O

MNN’

DEL

1

D EL

P O R P U NT OS

DE Á NGU L O I N TER N O

N’

21 9 22 1 22 2

P U N T OS

FI GUR A

21 8

DE L S U B PR ED I O


23 3 23 4

23 7

23 8

F I G U R A N ° 1 6. 1. C A D E N A

D E T R I Á N G U L OS S E N C I L L OS

25 1

F I G U R A N ° 1 6. 2. C A D E N A

D E C U A D R I LÁ T E R O S

25 2

F I G U R A N ° 1 6. 3. C A D E N A

DE FI GU R AS DE PU NT O CE NTR A L

25 3

F I G U R A N° 16. 4 . R E P R E S E N T A C I Ó N

GR ÁF I CA

DE

LA

TR I A N G U L A C I Ó N

DE

F IG U RA DE PU NT O CE N TRA L


G RÁ F I C A DE L P R IME R T RIA NG U LO D E L

P OL ÍG ON O

F I G U R A N ° 1 7. 1. R E P R E S E N T A C I Ó N FI GUR A

N°

17. 2 .

G R Á FI C A DE L S IST E M A TR I LA TE RA DO

RE P RE SE NT ACI ÓN

GR ÁF I CA

DE L

P R IME R

TR I Á NG UL O

T R I L A TE R A D O

25 7 26 2 27 4 27 5


G R Á FIC A DE L P RE DIO TR ILA TER A DO

28 0


G R Á F I C A D E L P R E D I O C OM B I N A D O

29 2

FI GUR A

N°

18. 2.

R E PR ES EN TA CI Ó N

GR Á F I CA

DEL

CU A DR I LÁ TE R O

CO MBIN A DO

F I G U R A N ° 1 8. 3. R E P R E S E N T A C I Ó N F I G U R A N ° 18 . 4 R E P R E S E N T A C I Ó N

30 2

D E L P OL Í G O N O C O M B I N A D O DE L PR IME R

CO MBIN A DO

11

TR I Á N G U L O

29 5

DE L SI STE MA

31 0

F I G U R A N ° 18. 5 R E P R E S E N T A C I Ó N

D E L SE G UN D O TRIÁ NG U LO DE L S I ST EM A

CO MBIN A DO

F I G U R A N ° 18 . 5 R E P R E S E N T A C I Ó N

DE L TER CE R TR IÁ N G U L O DE L SI S TE MA

CO MBIN A DO

F I G U R A N ° 18. 6 R E P R E S E N T A C I ÓN

GR ÁF I CA DE L P OL ÍG ON O DE A P OY O D E L



GRÁFICA

DE

LAS

LIG AS

G R ÁF ICA

DEL

GRÁ FI CA

DE L P RE DI O

DE L S I S TE MA

CO MBIN A DO

F I G U R A N° 18 . 8 R E P R E S E N TA C I Ó N

F RA CCI ONA MI E N T O

DEL



1

DE L SI S TE MA

CO MBIN A DO


G RÁF IC A DE LA DIS TA N CIA

N’N

DEL

N’

DEL


FI GUR A

N°

18. 1 1

REP RE SE NT A CI ÓN

G RÁ FICA

DE L

Á NG U LO


31 1 31 2 31 2 31 5 32 0 32 1 32 3

32 3


G R Á FI C A DE U NA CUR VA SI M PL E

33 8


G R Á FI C A DE U NA CUR VA COMP U E ST A

33 8

F I G U R A N ° 1 9. 3. E LE M E N T O S F I G U R A N ° 1 9. 4. G R A D O

D E C U R V A T U R A D E U N A C U R V A S I M P LE

F I G U R A N ° 1 9. 5. S OL U C I Ó N

G R Á F I C A D E C U R VA S D E N I VE L

F I G U R A N ° 2 1. 2.

DE L A OPE RA CI ÓN DE S OND E O

L OC A L I Z A C I Ó N D E S ON D E O S P O R A L I N E A C I Ó N Y Á N G U L O

D E S D E LA C O S T A

F I G U R A N ° 2 1. 3.

L O C A L I Z A C I Ó N D E S O N D E O S P O R D OS Á N G U L O S D E S D E

U N A L A N C HA

F I G U R A N ° 2 2. 1. C U A D R Í C U L A S F I G U R A N ° 2 2. 2. C U R V A S

E S TA C A D A S P A R A E L S I S TE M A

B A TI M É T R I C A S T I P O S I S T E M A

F I G U R A N ° 2 2. 3. C U A D R Í C U L A S

A

A

E S TA C A D A S P A R A E L S I S TE M A

B

B A TI M É T R I C A S T I P O S I S T E M A

F I G U R A N ° 2 2. 5. E S C A L A

P A R A I N T E R P O L A C I ÓN D E C U R V A S D E N I VE L

F I G U R A N ° 2 3. 2. O T R O

B

B A SE P AR A E L TR A Z A D O DE U N ED I F I C I O

T RAZ A D O DE LÍ NE AS B A SE DE U N ED IF IC I O

12

36 2 36 3 36 5 36 8 36 8

F I G U R A N ° 2 2. 4. C U R V A S

F I G U R A N ° 2 3. 1. L Í N E A S

34 8 35 1

MA RC A CI ÓN D E LA S C UR VAS DE NI VE L


34 1 10

DE U NA CUR VA SI MP L E

F I G U R A N ° 2 0. 1. R E P R E S E N T A C I Ó N F I G U R A N ° 2 0. 2.

34 0

D E U N A C U R VA S I M P L E

36 9 37 0 37 2 37 9 38 0

ÍNDICE DE FÓRMULAS N Ú M E RO Y D EN O M I N A C I Ó N D E FÓ R MU L A S

PÁ G .

F O R M U L A N° 5. 1. C Á LC U L O

D E L ER R OR E S TÁ N D AR DE UN A S OLA ME D ID A

71


D E L ER R OR E S TÁ N D AR DE LA ME DIA

71


D E L E R R O R P R O B A B LE D E U N A M E D I D A

72


D E L E R R O R P R O B A B LE D E L A M E D I A

72


DE L ER R OR R E LATIV O

75


DE L ER R OR T EM IBLE

76


D E L VA L O R M Á S P R O B A B L E

76


D E U N A M E DI DA P ON D E RA D A

76


D E L VA L O R M E D I O U N A S E R I E D E M E D I D A S

77


D E LA PE N DI E N TE

1


D E LA PE N DI E N TE

2


D E C OR R E C C I Ó N D E L A P E N D I E N T E

87


D E M E D I D A S I N C LI N A D A S A H O R I Z O N T A L E S

87


D E L A C OR R E C C I Ó N P OR TE M P E R A T U R A

89


D E L A C OR R E C C I Ó N P OR C A T E N A R I A

90

86 86


D E L A C OR R E C C I Ó N P OR TE N S I Ó N

91


D E D I S T A N C I A S C O N E S TA D I A

93


D E D I S T A N C I A S V E R T I C A LE S C O N E S T A D I A

F O R M U L A N° 6. 10 . C Á L C U L O

94

D E D I S TA N C I A S H O R I Z ON T A L E S C O N E S T A D I A

94

F Ó R M U L A N° 7. 1. C Á LC U L O

D E L A D E S V I A C I Ó N V E R TI C A L


DE LA REFRACCIÓN

10 0

99


C OM BI NA D O DE C U R V AT URA Y RE FR A CC I ÓN

10 0

F Ó R M U L A 8. 1. C Á L C U L O

D E L E R R O R D E U N A N I VE L A C I ÓN R Á P I D A

11 6


D E L E R R O R D E U N A N I VE L A C I ÓN O R D I N A R I A

11 6


D E L E R R O R D E U N A N I VE L A C I ÓN P R E C I S A

11 7

F Ó R M U L A N° 11. 1 . C Á L C U L O

D E LA C OO R DE N A DA X

14 6


D E LA C OO R DE N A DA Y

14 6


D E L A T I TU D E S

14 7


DE A LEJ AM I E NT OS

14 8


DE L E RR OR LI N E A L D E CIE RR E

15 5


D E L E R R O R A N G U LA R D E C I E R R E

15 5


D E E R R O R R E LA TI V O D E C I E R R E

15 7


D E LA C OR RE C CI ÓN D E A LEJ AM I E NT OS

15 7


D E LA C OR RE C CI ÓN D E LA TI TU D ES

15 8

F Ó R M U L A N° 11. 1 0. C Á L C U L O

DE L R UM B O C ORR E GI D O

15 9


D E LA D I S T A N C I A C OR R E G I D A

15 9


DE L Á R E A

16 2


C O N LA TÉ C N I C A D E L T R A P E C I O


C O N LA R E G L A D E

F ÓRMULA N° 14.1. C ÁLCULO F ÓRMULA

N°

14.2.

17 5

S IMPS ON

17 6

DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO

C ÁLCULO

DEL

ERROR

FRACCIONAMIENTO

13

A NGULAR

DE

CIERRE

DEL

20 9 20 9

F ÓRMULA

N°

14.3.

C ÁLCULO

DE

LA

CORRECCIÓN

DE

ALEJAMIENTOS

DEL

FRACCIONAMIENTO

F ÓRMULA

N°

14.4.

C ÁLCULO

DE

LA

C ORRECCIÓN

DE

LATITU DES

DEL

CORREGIDAS

DEL

FRACCIONAMIENTO

F ÓRMULA N° 14.5. C ÁLCULO

DE

RUMBOS

Y

DISTANCIAS

FRACCIONAMIENTO


DE DISTANCIAS CORREGIDAS DEL FRACCIONAMIENTO


DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL SUBPREDIO


DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL SUBPREDIO


1

N°

15.2.

1

DEL

ERROR

A NGULAR

DE

CIERRE

DEL

FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

F ÓRMULA N° 15.3. CÁLCULO

DE LA DISTANCIA

NN’

DEL FRACCIONAMIENTO P OR

PUNTOS


DE LA DISTAN CIA DE LA LÍNEA FRACCIONAMIENTO P OR

PUNTOS


DEL RUMBO

21 1 21 1

21 7

DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO

C ÁLCULO

21 0

21 7

POR PUNTOS

F ÓRMULA

21 0

A DE LA LÍNEA FRACCIONAMIENTO POR

PUNTOS

23 5 23 5 23 7 23 9 23 9

F ÓRMULA N° 16.1. C ORRECCIÓN

DE LA BASE DE LA TRIANGULACIÓN

25 6

F ÓRMULA N° 16.2. C ORRECCIÓN

UNITARIA DE LOS ÁNGULOS DE LA TRIANGULACIÓN

26 0

F ÓRMULA N° 17.1. L EY

27 2

DE COSENOS


DE ÁNGULO INTERNO

A

CON LA

L EY

DE COSENOS

F ÓRMULA N° 17.3. C ÁLCULO F ÓRMULA N° 17.4. C ÁLCULO

DE ÁNGULO INTERNO

B

CON LA

L EY

DE COSENOS

27 5

DE ÁNGULO INTERNO

C

CON LA

L EY

DE COSENOS

27 6


27 5

DE

LA CORRECCIÓN

UNITARIA DE

ÁNGULOS

DEL

DE

LA CORRECCIÓN

UNITARIA DE

ÁNGULOS

DEL

CUADRILÁTERO COMBINAD O

F ÓRMULA N° 18.2. C ÁLCULO POLÍGON O COMBINADO


DE

DISTANCIAS

PERIMETRALES

DEL

POLÍGONO

COMBINADO


30 0 30 7 30 9

DE COORDENADAS ESTÉS SISTEMA COMBINADO

31 7

F ÓRMULA N° 18.4 C ÁLCULO

DE COORDENADAS NORTES SISTEMA COMBINADO

31 8


DE ALEJAMIENTOS DEL SISTEMA COMBINADO

31 9


DE LATITUDES DEL SISTEMA COMBINADO

31 9


DE LA DISTANCIA N ’ N DEL FRACCIONAMIENTO DEL

SISTEMA COMBINAD O

32 2


D E L R A DI O DE U NA C UR VA SI MP LE

34 2


D E LA SU BT AN G E N T E DE UN A C UR VA

34 2


D E L A L O N G I TU D D E U N A C U R V A S I M P L E

34 2


D E L P U N T O D E I N I C I O D E U N A C U R VA S I M P L E

34 2


D E L P U NT O F IN A L DE UN A C UR V A S IM P LE

34 2


DE LA EX TER N A D E U NA CUR VA SI M PL E

34 2

F Ó R M U L A N ° 19 . 7. C Á L C U L O

DE

LA

OR D E N A D A

M E DIA

DE

U NA

CU R VA

S IMP LE

F Ó R M U L A N ° 19. 8 . C Á L C U L O

D E L Á N G U L O D E D E F L E X I Ó N D E U N A C U R VA

S IMP LE

14

34 3 34 3

RESUMEN El

pres en te

tex to

un iversitario

T O P OG R A F Í A

de

APLI CAD A

I N G E N I E R Í A P E S QU E R A Y A S I S T I D A P O R C O M P U T A D O R A ,

A

LA

complem en ta

los li bros de texto de topografía u tilizados en univers idades y en es cu elas técnicas y es un bu en complemen to de cu alquiera de los textos m ás im portan tes qu e se u tilizan en cu rs os elem en tales de in gen iería civil. L a m ejor form a de res olver problemas de topografía c on sis te en res olver u n a gran can tidad de problem as , por ello, pres en tamos la s olu ción

detallada

problem as h abitu ales .

de

propu es tos L os

u na

gran

qu e

diferen tes

no

can tidad se

tipos

de

ellos

en cuentran de

en

y

m u ch os

los

probl emas

textos

res ueltos ,

con centrán don os en el método de solu ción , h acen m ás s en cilla la com prens ión de las diferen tes técn icas topográficas con tribu yen a as egu rar el éxito de los es tu dian tes . En

el

pres en te

adelan tos

en

la

texto

u nivers itario

tecn ología

de

pres en tam os

fabricación

los

del

n otables

in s trum en tal

topográfico y en la aplicación de las com pu tadoras para proces ar y repres en tar

gráficamente

los

datos

que

h an

c am biado

drás ti camen te los procedim ientos tradicion ales y h an redu cido el tiem po de los cálcu los laboriosos ,

h a llevado a la precis ión a

n iveles n o im agin ados en el pas ado y qu e n os permi ten hacer pos ible s u rápida represen tación gráfica y difu sión en m edios virtu ales . El tex to pres en ta u na ex plicación con cis a y directa de los as pectos es en ciales de cada un o de l os capítulos , los procedim ien tos de cálcu los es tan dariz ados para su proces am ien to y gráfi cación con com pu tadoras y la in cl usión de una gran can tidad de problem as propu estos res catados de las prácticas de campo realizadas con los alu mn os en los ú ltim os semes tres académ icos .

15

INTRODUCCIÓN Hemos

preparado

el

presente

Tex to

Univ ersi ta ri o

“TO POG RA FÍ A

A P L I C A D A A L A I N G E N I E R Í A P E S Q U E R A Y A S I S T I D A P OR C O M P U T A D O R A ” , a p ro b a d o

por

2 2/ Oc t / 20 0 9 ,

conteni do

estru cturados es tu dian tes

Resolución

y

de

Rectoral : en

23

s is tematiz ados in gen ierí a

e

No .

1 1 0 1 - 09 - R

capí tul os,

para

pon er

al

debidamente, alcan ce

in ves tigadores , u n

del

de

los

ins trum en to

de

carácter práctico en form a de manual. L os lectores

en con trarán en el

pres en te trabajo, u n excelente

m edi o para s u pli r a falta de pu blic acion es es pec ializadas s obre el tema o que s e en cu en tran en obras de circulaci ón res trin gida o n o es tá alcan ce de todos los in teresados o que s e requiere revis ar u n a gran can tidad de fuentes . As imis mo, el trabajo i n ten ta su plir la debilidad en la form ación m atemátic a y gráfica de los alu mn os , fu n damen talmen te, por el bajo acces o a fu en tes es pecializadas y qu e en el pres en te trabajo s e tratan con la debida com plejidad académi ca sin qu itarle s u es enc ialidad. En el texto h a s ido elaborado ten ien do en cu en ta qu e cu alqu ier alusión s eria a la Topografía pas a por tratar la toma de decis ion es para s eleccion ar el ins trum en tal topográfico, el levan tamien to de las

m ediciones

direc tamen te

en

el

cam po,

la

revis ión

y

proces ami ento de los datos u tilizando s oftware es pecializado, la elaboraci ón

de

pl anos

ori gin ales

y

definitivos

con

los

datos

rec olectados y, fin alm en te, con el señ alamien to y m onu men tación del predio m edido. Fin almen te, el pres en te texto qu eda j us tificado, porqu e: es un im perativo en las actu ales c on di cion es económ icas y n ivel de des arrollo tecn ológico de nu es tra Univers idad, para n o qu edar a la zaga

en

la

aplicación

de

l as

c om pu tadoras

para

regis tro,

proces ami ento, dis eñ o y gráficación de datos topográfi cos ; por ello, la elaboración del texto un ivers itario es un a con tribu ción al m ejoram iento de la tran sferen cia de in formaci ón del docen te a los alum nos

qu e

in cremen tarán

la

ens eñ an za-apren dizaje. 16

eficien cia

del

el

proceso

CAPÍTUL O I

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

1.1. INTRODU CCI ÓN L os

orígen es

de

la

Topografía

se

con fun den

con

los

de

la

as tron omía, la as trología y las m atem áticas . L os registros m ás an tigu os qu e hay en existen cia, y qu e tratan directam en te de la topografía, in dican qu e es ta cien cia tu vo s u prin cipio en Egipto. Herodoto dice qu e Ses ortris (alrededor de 1400 a. C.), dividió las tierras

de

Egipto

en

predios

para

fin es

de

im pu es tos .

L as

inu n dacion es del Nilo hicieron desaparecer porci on es de es tos lotes , y s e des ign aron topógrafos , es decir, m edidores de tierras , para repon er los l ím ites . Ten ien do com o bas e es tos trabajos , l os prim eros fil ós ofos griegos des arrollaron la cien cia de la geometría. Herón fue el prim ero en aplicar la geometría a la topografía, alrededor de 120 a.C. Fue au tor del tratado " La Di optra " , en el cu al relaci on ó los m étodos de m edi ción de u n terreno, el trazo de un

plan o y los

cálculos

res pec tivos . Tam bién des cribe en es ta obra u n o de los prim eros ins tru m en tos topográficos de qu e s e tien en n oticia, el llam ado preci s am en te dioptra . L os

rom an os

para

cons tru ir

sus

gran des

obras ,

des arrollaron

s ign ificativamente la topografía. L a topografía n eces aria para es tas con stru ccion es origin ó la organ ización de u n gremio o as ociación de topógrafos y agrim ens ores . Usaron y des arrollaron in genios ins tru m en tos . Entre es tos s e en cu entran los llam ados : groma , qu e s e us ó para vis ar; libella , que era un bas tidor en form a de A con u n a plom ada, para la n ivelación ; y chorobates , qu e era u na regla h ori zon tal, de u n os 20 pies (6 m etros ) de largo, con patas de s oporte y un a ranu ra en la parte s u perior para s er llenada con agu a, y el cu al s ervía de nivel. En la edad media, la c ien cia de los griegos y los rom an os fu e m an teni da viva por los árabes . En el s iglo XIII, Von Pis o es cribió 17

Practic a Geom etría, qu e con tenía ins tru cci ones s obre los m étodos topográficos . Tam bién es cribió la obra Liber Quadratorum , que trataba

prin cipalmen te

del

cuadran te,

qu e

era

un

bas ti dor

cu adrado de latón con un án gu lo de 90° y es calas gradu adas . Otros in s trum en tos de es ta época fu eron el as trol abi o, u n círcu lo m etálico con un ín dice articulado en su cen tro y s os tenido por un an illo

en

la

parte s u perior,

y

el

bácu lo

de

cru z

(o

jalón

de

agrim ens or), qu e era un a pértiga de m adera de un os 4 pies (1.20 m ) de lon gitu d, con u n a cru ceta trans vers al ajus table, en án gu lo rec to

con

la

regla.

L as

lon gitu des

con oci das

de

los

brazos

perm itían m edir dis tan cias por proporcion es y án gulos . L as

pri meras

s u perfi cie

civilizacion es

plan a.

La

his toria

s u poní an

qu e

la

Tierra

regis tra

qu e

un

griego

era

una

llamado

Eratóstenes , qu e vivió alrededor del año 200 a.C., m idió las dim ens ion es de la Tierra. Determinó el án gu lo qu e s u bten día el arc o de m eridian o u bic ado en tre Si ena y Alejan dría en Egipto, m idien do las s om bras proyectadas del Sol en es tas ciu dades . L u ego cálcu lo la lon gitu d del arco mu ltiplican do el nú mero de días de

caravan a

en tre

Sien a

y

Alejan dría

por

la

dis tan cia

media

rec orrida diari amen te. A partir de las m edidas del án gu lo y el arco, y aplican do la geometría elem en tal, Eratós ten es cal culó que la circu n feren ci a de la Tierra m edí a alrededor de 25,000 m illas (u n os 40,000 Km .). L as medidas geodés icas su bsecu en tes qu e se han h echo, us an do mejores ins trumentos y técnica geométricam en te equ ivalen te a la de Eratóstenes , han dem os trado qu e su val or, au n qu e ligeram ente m ayor, es as om bros am en te cerc an o al valor aceptado. En los s iglos XVIII y XIX s e des arrolló rápidam ente la topografía. L a n eces idad de m apas y la fij ación de lin deros n aci on ales hicieron qu e In glaterra y Fran cia realizaran ex tens os levan tam ien to qu e requ erían de trian gu lacion es de precisi ón . El aumen to del valor de las tierras y la im portan cia de la exactitu d de los lin deros , aun ados a las m ejoras pú blicas en los s ervicios de camin os , can ales y ferrocarriles , llevaron a la topografía a u na pos ición prominente. 18

Ac tu almen te, el gran volum en de la cons tru cción

gen eral, las

n um eros as particion es de tierra, la nec es idad de m ejores regis tros y las dem an das plan teadas por los program as de exploración y es tu dio ecológico h an i mplic ado un des arrollo c recien te de los trabajos de topografía. L a topografía es aun el sign o del progres o en el fom en to y la u tiliz ación de los recu rsos n atu rales de la Tierra.

1.2. DEFI NICI ÓN DE TOPOGRAFÍA L a Topografía s e define como la cien ci a y el arte de efectu ar m edi ciones n ec es ari as para determin ar las pos iciones relativas de pu n tos s itu ados arriba, s obre, o debajo de la su perficie de la Tierra, o de s ituar tales pun tos en u n a posición es pec ificada. Las operaciones topográficas n o es tán lim itadas a tierra firm e. Se real izan s obre vas tas extensiones de agu a as í com o en el es pacio extraterrestre. En

general

partes :

el

trabajo

del

topógrafo

pu ede

dividirs e

en

cin co

1

a) Tom a de decis ion es . Selección del m étodo de levan tam iento, del ins trum en tal, de la u bi cación más probable de vértices , etc. b) Trabajo

de

cam po

o

adquis i ción

de

datos .

Realiz ación

de

m ediciones y regis tro de datos de cam po c) Cálcu lo o proces am ien to de Datos . Elaboración de cálculos con bas e en los datos registrados para determinar u bicaciones , áreas , volú m en es , etc. d) Elaboración de plan os o mapas (repres en tación gráfica de los datos ). Di bu j o o repres entación de las m edidas para obten er u n plan o, un m apa o un gráfico, o para trans cribir datos de u n form ato n umérico o de com pu tadora e) Señ alamien to. Colocación de s eñ ales (moj on eras y es tacas ) para del in ear o marcas lin deros , o bien , gui ar trabajos de 1

BRINKER,

R.

y P.

W OLF,

Topografí a

1992; p p. 3.

19

M o d e r n a,

Ed.

H ar l a,

M é xi co ,

c ons tru cci ón .

1.3. IM PORTANCIA DE L A TOPOGRAFÍA L a topografí a es un a de las artes m ás an tigu as e im portan tes de practic a el h ombre, porque des de los tiem pos antigu os h a sido n eces ario

m arcar

topografía

se

lími tes

u tiliza

y

dividir

terren os .

extens amente.

L os

Actu al mente

resu ltados

de

la los

levan tam ien tos topográficos de nues tros días se em plean , por ejem plo, para: a) Elaborar plan os de la s u perfic ie terres tre, arriba y abajo del n i vel del mar; b) Trazar cartas de n avegación para us o en el ai re, en tierra y en el m ar; c) Es tablecer lím ites en terrenos de propiedad privada y pú blica; d) Con s tru ir ban cos

de datos

con

in formación s obre recu rs os

n atu rales y de u tiliz ación de la tierra, para a yu dar a la mejor adm in is tración y aprovech am ien to de nu es tro am bien te fís ico; e) Evalu ar

datos

sobre

tam año,

form a,

gravedad

y

c am po

m agn ético de la Tierra; y f) La

Obten er regis tros as tronómi cos de la L un a y de los plan etas . tipografía

m u ch as

tien e

ram as

de

un la

papel

extremadamen te

in geniería,

por

im portan te

ejem plo,

se

en

requieren

levan tam ien tos topográficos : a) An tes , du ran te y des pués de l a con s tru cción de carreteras , vías férreas , s is tem as viales de tránsito, edificios , puen tes , tún eles , c anales ,

obras

fraccion am ien to

de

irrigación ,

de

presas ,

terren os

sis tem as

u rban os ,

de

dren aje,

s is tem as

de

aprovis ion amien to de agu a potable, elimin ación de agu as de n egras , tiros de M in as , gas odu ctos , lín eas de transm isión b) Para la in stalación de lín eas de en sam ble in dus trial dis positivos de fabri cación 20

y otros

c) Para el arm ado y m on taje de equi po y m aquin aria de gran tam añ o d) Para es tablecer el Con trol aerofotográfico e) En las actividades de la geología, la s elvi cu ltu ra, arquitectu ra de pais aje y la arqu eología f)

En obras de in geniería m ilitar

g) En el alin eam ien to de m aqu in aria de m ecánica y de taller.

21

CAPÍTU L O II

INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS

2.1. INS TRU MENT OS SIM PL ES CINTAS M ÉTRICAS Y ACCESORIOS M edir una l on gi tud cons iste en determ in ar, por comparación , el n úm ero de veces qu e u n a u nidad patrón es con ten ida en dich a lon gitu d. L a un idad patrón u tilizada en la mayoría de los país es del mun do es el m etro, defi nido (des pu és de la Con feren cia In tern acion al de Pes os y M edidas celebrada en París en 1889) como la lon gitu d a 0ºC del prototipo in tern acion al de platino e iridio qu e s e cons erva en Sévres (Fran cia). Es ta definici ón se m an tu vo h as ta la Con feren cia General de Pes os y M edidas celebrada en la mis m a ciu dad en 1960, en don de s e definió al metro com o 1’650.763,73 veces la lon gitu d de on da en el vacío de radiac ión an aran jada del criptón 86. En octu bre 20 de 1983 el m etro fue redefin i do en fun ción de la velocidad de la lu z (c=299'792.792 m /s ) com o la lon gitu d del trayecto rec orrido por la lu z en el vacío du ran te un in tervalo de tiem po de 1/299’ 792.458 de s egu n do.

Una cinta métri ca es la reprodu cción de un nú mero determin ado de veces (3, 5, 30, 50,100) de la u nidad patrón . En el proceso de m edida, las cin tas s on s om etidas a diferen tes tens iones y tem peratu ras , por lo qu e depen dien do del material con el que h an s i do cons truidas , s u tam añ o origi nal vari ará. Por es ta razón , las cin tas vien en calibradas de fábrica para qu e a una

tem peratu ra,

tens ión

y

con dicion es

lon gitu d s ea igu al a la lon gitu d n om in al.

22

de

apoyo

dadas ,

su

F I GU RA N° 2.1. C A LI BR A CI ÓN DE C I N TA S M ÉTR IC AS

L as cin tas métricas em pleadas en trabajos topográficos deben s er de acero, res is ten tes a es fu erzos de ten sión y a la corros ión . Com ún m en te, las cin tas métricas vien en en l on gi tudes de 30, 50 y 100 m , c on un a sección trans versal de 8 m m x 0,45 mm para trabajos fu ertes en c on di cion es s everas o de 6 m m x 0,30 m m para trabajos en con dicion es n ormales .

P LO MAD A METÁL IC A Ins trumento

con

forma

de

c ono,

cons trui do

generalm en te

en

bron ce, con u n pes o qu e varía en tre 225 y 500 gr, qu e al dejarse colgar librem en te de la cu erda s igue la dirección de la vertical del lu gar, por lo qu e con su au xilio podem os proyectar el pu nto de terren o s obre la c in ta métrica. F I GU RA N° 2.2. P LO M AD A M E TÁ L I CA

23

T E NS IÓ ME TR O Es un dis pos itivo qu e se coloca en el ex trem o de la ci n ta para as egu rar qu e la tens ión aplicada a la c in ta s ea igual a l a tens ión de c al ibraci ón , evi tan do de esta m anera la corrección por tens ión y por caten aria de la di stan cia medida. F I GU RA N° 2.3. T E NSI Ó ME TR O

J AL ONES Son tu bos de m adera o alu minio, con un diámetro de 2.5 c m y u n a lon gitu d que varía de 2 a 3 m . L os jalones vien en pintados con fran jas altern as rojas y blan cas de u n os 30 cm y en su parte fin al pos een u na pun ta de acero. El

jalón

se

u sa

com o

ins tru men to

au xiliar

en

la

dis tan cias , localiz ando pun tos y trazan do alin eacion es . F I GU RA N° 2.4. J A LÓ N

24

medida

de

F I C H AS Son varillas de acero de 30 cm de l on gi tu d, con un diámetro φ=1/4” , pin tados en franjas alternas roj as y blan cas . Su parte s u perior termin a en forma de an illo y s u parte in ferior en form a de pu n ta. Gen eralm en te vienen en ju egos de on ce fichas jun tas en un an illo de ac ero. L as fichas s e u s an en la m edi ción de dis tanc ias para marcar las pos icion es fin ales de la cin ta y llevar el con teo del n úm ero de cin tadas en teras qu e s e h an efectu ado.

BRÚ J UL A Gen eralm en te

un

fu n damen talmen te

ins tru m en to en

la

de

m an o

determin ación

del

que n orte

se

u tiliza

m agn ético,

direc ciones y án gu los h orizon tales . Su aplicación es frecu en te en divers as ram as de la in gen iería. Se em plea en recon ocimien tos prelimin ares

para

el

trazado

de

carreteras ,

levan tamien tos

topográficos , elaboración de m apas geológicos , etc.

F I GU RA N° 2.5. C OR TE E S QUE MÁ TIC O DE UN A B RÚ JU LA

L a figu ra mu es tra el corte es quem ático de u n a brú ju la. L a brú ju la con sis te de un a aguj a magn ética [A] qu e gira s obre un pivote agu do de acero du ro [B] apoyado s obre u n soporte cón ico u bicado 25

en el cen tro de l a aguja. L a agu ja m agn ética es tá u bicada den tro de u n a caja [C], la cu al, para m edir el ru m bo, con tien e un circu lo gradu ado [D] gen eralm en te dividido en cu adran tes de 0o a 90o , m arcan do los cu atro pun tos cardinales ; ten ien do en cu en ta qu e debido al m ovimien to aparen te de la agu ja los pun tos Este y Oeste es tén interc am biados .

F I GU RA N° 2.6. P AR TE S DE U N A B R ÚJ U LA

Al gun as brú julas ll amadas brú julas azimu tales , tien en el círculo h ori zon tal dividido en 360°. Coin ci di en do con la alin eación norte – s u r poseen u n dis positivo de colim ación A objeto de con trarres tar l os efec tos de la in clin ac ión magn ética, la agu ja posee un pequeño c ontrapeso de bron ce [E] y su u bicación depende de la latitu d del lu gar. En zon as l ocalizadas al norte del ecu ador, el con trapes o es tará u bicado en el lado su r de l a aguja, y en z onas localizadas al su r del ecu ador el con trapes o es tará u bicado en el lado n orte de la agu ja. 26

Para proteger el pivote s obre el cu al gira la aguja, las brúju las pos een un dis pos itivo elevador [F] qu e separa la aguja del pivote cu an do las brújulas n o es tán s ien do u tilizadas . En el in terior se u bica u n pequ eñ o nivel es férico de bu rbu ja [G]. Un vidrio u bicado en la parte s u perior de l a caja [H] sirve para proteger la aguja, el círcu lo y el nivel es férico. Para h acer coi nc idir el eje de rotación de la agu ja con la vertical del vértice don de se es tá efectu an do la m edi da, algun as brújulas s e utilizan con plom ada [I] y otras s e apoyan s obre u n bas tón de m adera. A fin

de corregir la declin aci ón m agn ética del

lu gar, algu n as

brú ju las pos een un arco de declin ación [J ] gradu ado en grados , cu yo

cero

con ocien do

coin c ide la

con

la

declin ación

alineac ión del

lugar,

n orte,

de

m edian te

manera un

qu e

dis positivo

es pecial, s e pu ede hacer girar el circu lo h orizon tal h as ta h acer coin cidir la lec tu ra con el valor de la decl in ación del lu gar; de esta m anera, el ru mbo m edido con la brú ju la es el ru m bo real. Es im portante m en cion ar, debido a s u popu laridad, el Teodolito – Brú jula Wil d T0 por ser un ins tru men to mu y u tili zado tan to en la determ in ación de ac imu tes m agn éticos com o en la medición de án gulos en levan tamien tos de pun tos de rellen o por taqu im etría.

M IRAS VERTICAL ES Son

regl as

gradu adas

en

m etros

y

decím etros ,

generalmente

fabricadas de m adera, m etal o fibra de vidrio. Us u almen te, para trabajos n ormales , vien en gradu adas con precisión de 1 cm y apreci ac ión de 1 m m . Común m en te, se fabrican con lon gitu d de 4 m divididas en 4 tram os plegables para facilidad de trans porte y alm acen am ien to. Exis ten tam bién miras teles cópicas de alum inio qu e facilitan el alm acen am ien to

de

las

mis mas .

A

fin

de

evitar

los

errores

ins tru m en tal es qu e s e gen eran en los pun tos de u nión de las m iras plegables y los errores por dilataci ón del m aterial, s e fabrican m iras con tinu as de un a s ola pieza, con gradu aciones s obre un a cin ta de m aterial cons ti tu ido por u na aleación de acero y n íqu el, 27

den omin ado

INVAR

por

su

bajo

coeficien te

de

variación

lon gitu dinal, s u jeta la cin ta a u n resorte de tens i ón qu e com pens a las deformaci ones por variación de la tem peratu ra. Es tas m iras con tinu as s e apoyan s obre un soporte metáli co para evitar el deterioro por corros ión produ ci do por el con tac to con el terren o y evitar, tam bién , el asen tam iento de la m ira en las operacion es de n ivelación . F I GU RA N° 2.7. T IPOS DE M I R AS T OPOG RÁ FI C AS

L as miras vertic ales s e us an en el proc es o de n ivelación y en la determ in ación

in directa

de

dis tancias .

L as

m iras

deben

s er

verticalizadas con el au x ilio de un nivel esférico generalmente s ujeto en la parte pos terior de la mira.

28

M I RAS H OR IZ ONT AL ES La

m ira

h orizon tal

de

INVAR es un ins tru men to

de

precis ión

em pleado en la m edición de dis tan cias h orizon tales . L a mira es tá cons truida de u n a al eación de acero y n íquel c on u n coeficien te

term al

de

variación

de

l on gitud

mu y

baj o,

práctic amen te i nvari able , característica qu e da origen al n ombre

de MIRAS DE INVAR . L a mira h orizon tal de INVAR , m ostrada en la fi gu ra, posee dos braz os c on m arcos o señ ales s eparados entre sí 2 m [A], u n a base con

3

tornillos

n i velan tes

[B]

y

un

n ivel

es féri co

[C]

para

h ori zon talizarla. Cerca del centro de la mira s e u bica u n colim ador [D] con u n a marca trian gu lar [E] qu e s irve para cen trar la mi ra, as egu ran do que la visu al del teodoli to s ea perpen di cular a la mi ra. A u n lado del colim ador s e pu ede obs ervar el com probador [F], el cu al, al s er vis u aliz ado des de el teodolito, permite com probar la ori entac ión de la mira. L a mira debe s er cen trada en el pu nto s obre u n trípode [G]. Para poder medir un a dis tan cia h orizon tal con m ira de INVAR , es n eces ario medir el án gu lo h orizon tal con un teodoli to con precisión de por lo m en os de 1” .

F I GU RA N° 2.9. M IR A H OR IZ ON TA L

29

L a aparic ión de los distan ciómetros electrónicos , m ás rápidos y preci s os en la medición de distan cias , h a i do des plazan do el us o de las miras INVAR .

2.2. INS TRU MENT OS PRINCIPAL ES TEODOL ITOS El teodolito es un

ins trum en to u tiliz ado en l a m ayoría de las

operaciones qu e se realizan en los trabajos topográficos . Directa o in directam en te, con el teodolito s e pueden medir án gu los h ori zon tales , án gulos verticales , distan cias y desn iveles .

F I GU RA N° 2.10. T EO DO LI TO

L os teodolitos difieren en tre sí en cuan to a los si stemas y m étodos de lec tura. Exis ten teodolitos con s istem as de lectu ra s obre vernier y

n on ios

de

visu al

directa,

m icros copios

lectores

de

m icrómetros ópticos , s is tem as de lectu ra de coin c idenc ia. 30

es cala

F I GU RA N° 2.11. L E C TUR A DE L T EOD O LITO

F I GU RA N° 2.12. E SC A LA DE L T E ODOL I TO

31

F I GU RA N° 2.13. E SC A L A DE C OI NC IDE NC I A DE L T E OD O LI T O

F I GU RA N° 2.14. O T R A E SC A LA DE C OI NC I DEN CI A DE L T E ODO LI TO

En cu an to a l os métodos de lectu ra, los teodolitos s e clasific an en repetidores y reiteradores , s egún podam os o n o prefi jar lectu ra s obre el circulo h oriz ontal en cero y su mar án gulos repeti dam en te 32

con el m ism o aparato, o medi r i ndepen dientemente N veces u n án gulo s obre diferen tes s ectores del cí rcu lo, tom an do como val or fin al el prom edio de las m edidas . Au n qu e

c om o

se

ha

m en cion ado

previam en te,

los

teodolitos

difieren en forma, s is tem as de lec tu ra y precis ión , básicamen te sus com pon en tes s on igu ales , por lo qu e en el pres en te capítu lo s e des criben las partes básicas de u n teodolito. L a fi gu ra s e mu es tra los tres ej es de u n teodolito; •

Eje vertical “ V-V” o eje de rotación de la alidada

•

Eje h orizon tal “H-H” o eje de rotación del círc ulo verti cal

•

Eje de colim ación “C-C”

FIGURA N° 2.15. EJES DE UN TEODOLITO

33

TEODOL ITOS EL ECTRÓNICO S El des arrollo de la electrónica y la aparición de l os mic rochips h an h echo

posible

la

cons tru cción

de

teodolitos

electrónicos

con

s is tem as di gi tales de l ec tura de ángu los s obre pan talla de cris tal líqu ido, facilitan do l a lec tu ra y la toma de datos m edi an te el u so en libretas

electrónicas

de

campo

o

de

tarjetas

m agnéticas ;

elim in an do los errores de lectu ra y an otación y agi lizan do el trabajo de cam po. L a figu ra

mu es tra

el

teodolito

electrón ico DT4 de

SOKKIA. FIGURA N° 2.16. TEODOLITO ELECTRÓNICO

34

ESTACI ÓN TOT AL EL ECTRÓNIC A La

in corporación

de

m icroproces adores

y

dis tan ciómetros

electrón icos en los teodolitos electrón icos , h a dado pas o a la con stru cción de l as Es taciones Totales . Con un a estación total electrónica s e pu eden m edir dis tan cias verticales

y

h oriz on tales ,

án gu los

verticales

y

h orizon tales ;

e

in ternamen te, con el mi cro procesador program ado, calcu lar las coorden adas topográficas (n orte, es te, elevación ) de los pu n tos vis ados . Es tos ins tru m en tos pos een tam bién tarjetas magn éticas para alm acen ar datos , los cual es pu eden ser cargados en el com pu tador

y

u tilizados

con

el

program a

de

aplicación

s eleccion ado. L a figu ra mu es tra la es tación total Wild T-1000 con pan talla de cris tal líquido, tarjeta de mem oria m agn ética para la toma

de

datos

y

program as

de

aplicación

in corporados

para

cálcu lo y replan teo. Un a

de

las

caracterís ticas

im portan tes

tan to

los

teodolitos

electrón icos com o las estacion es totales , es que pu eden medir án gulos h orizon tales en am bos sen tidos y án gu los verticales con el cero en el horizon te o en el zenit. FIGURA N° 2.17. ESTACIÓN TOTAL ELECTRÓNICA

35

ESTACIONES ROB ÓTICAS A prin cipios de los añ os n oven ta, Geotron ics AB in trodujo en el m ercado el Geodimeter Sys tem 4000, pri mer m odelo de es tación total robótica. El s is tem a con s is te en un a es tación total con s ervo m otor de ras treo y un a u nidad de con trol rem oto de posicion am ien to qu e con trol a la es taci ón total y fu n cion a com o em is or y recolector de datos . Tanto la es tación com o la u nidad de con trol rem oto s e con ectan por m edio de on das de radio, por lo qu e es pos ible trabajar en la os cu ridad. Un a

vez

pu es ta

en

estación ,

la

es tación

total

es

orien tada

colim an do un pun to de referen cia con ocido y por medio de u n botón se trans fiere el con trol de la es taci ón a la un idad de con trol rem oto de pos icion am ien to. A partir de es te m omen to, el operador s e pu ede des plazar den tro del área de trabajo con la un idad de con trol remoto recolectan do los datos . L as es taciones robóticas vien en con program as de aplic ación in corporados , qu e ju nto con las caracterís ticas m en cion adas previam en te, permi ten , tan to en los

trabajos

de

levan tamien to

como

en

los

de

replan teo,

la

operación del s is tema por u na sola pers on a

NIVEL ES

El nivel tubular o nivel tórico , es un trozo de tu bo de vi drio de s ección circu lar, gen erado al h acer rotar u n cí rcu l o alrededor de un cen tro O, tal y com o se m u es tra en l a fi gu ra. L a s u perficie es s ellada en sus extrem os y su in terior s e l len a parcialm en te c on un líqu ido

muy

volátil

(com o

éter

sul fú rico,

alc oh ol

etc.)

qu e

al

m ezclars e con el aire del es pacio res tan te form a un a bu rbuja de vapores cu yo cen tro coin cidirá s iempre con la parte m ás alta del n ivel.

36

FIGURA N° 2.18. NIVEL TUBULAR

L a parte s u peri or de u n nivel tórico vien e dividida gen eralmente en in tervalos de 2 m m de am pl itu d. L a s ens ibilidad S de un n ivel s e defin e com o el án gulo cen tral, en s egu n dos , que s u btien de el arco corres pon dien te a un a divis ión . El n ivel va protegido por u n a caja m etálica [A] y se fi ja a la bas e del ins trum ento mediante un a articu lación [B] y u n torn il lo de correcci ón [C]. El eje o tan gen te cen tral del nivel se loc aliza en el pu n to m edio de tan gen cia, cu an do la bu rbu ja es tá cen trada. Gen eralm en te,

los

niveles

uti lizados

en

los

ins trum en tos

topográficos tienen s ens ibilidad de 10”, 20” , 30”, 40” y 75”, de acu erdo a la precis ión requ erida.

N I V E L DE I NGE NIE RO En las operacion es de nivelación , don de es nec es ari o el cálcu l o de las diferen cias verticales o des niveles en tre pu n tos , al nivel tórico s e le an exa un teles copio, un a base con torn illos nivelan tes y u n trí pode. L os

niveles

difieren

en tre

sí

en

aparien cia,

de

acu erdo

a

la

preci sión requerida y a los fabrican tes del ins tru mento. En la fi gu ra s e repres en tan los com pon en tes básicos de un nivel.

37

FIGURA N° 2.19. PARTES DEL NIVEL DE INGENIERO

FIGURA N° 2.20. NIVEL DE INGENIERO

En la figu ra s e mu es tra el nivel Wild N2 con n ivel tórico de doble cu rvatu ra. L a s igu ien te figu ra mu es tra el n ivel de alta precisi ón PL 1 de Sok ki a, em pleado en nivelacion es de prim er orden . Es te tipo de n ivel posee un pris ma de placas plan o paralelas y u n m icrómetro óptico qu e permiten , con el em pleo de u n a mira INVAR, au m en tar la precis ión de las lectu ras a la mira a 1/ 10 de m m. U n ejemplo de lectu ra con nivel de pl ac as plan o paralelas y mic rómetro óptico s e m u es tra en la b (a) (b)

38

FIGURA N° 2.21. NIVEL DE ALTA PRECISIÓN

En todas las operacion es de nivelación es neces ari o, an tes de efectuar las l ectu ras a la m ira, chequ ear la horizon talidad del eje de colim ación . En

algu nos

proyectan do

n iveles , la

es te

bu rbuja

del

proces o n ivel

se

realiza

tórico

s obre

ópticam en te el

len te

de

colim ación , com o se mues tra en la figu ra 2.30, de m an era de h acer la veri fi cación al m omen to de tom ar la lec tu ra. En cas o de qu e n o s e verifiqu e la coin ciden cia de l a bu rbuja, s e us a un torn illo bas culan te qu e permite, m edian te pequ eñ os m ovim ien tos , corregir u n a even tu al in clin ación del eje de colim ación .

DIST ANCI OM ETROS ELECTRONI COS Au n qu e parezca un proces o s en cillo, la m edición dis tan cias con cin tas m étricas es un a operación no s ol o com plicada sin o larga, tedios a y cos tos a. Com o

se

m en cion ó

previ amen te,

las

cin tas

se

fabrican

con

lon gitu des de h as ta 100 m , sien do las de 50 m las de mayor us o en los trabajos de topografía. 39

Cu an do las lon gitu des a m edir exceden l a lon gi tu d de la cin ta m étrica u tili zada, se h ace n eces ario dividir la lon gitu d total en tram os men ores o igu ales a l a lon gitu d de la cin ta, in crementan do la probabilidad de com eter errores de procedimien to tales com o errores de alin eación , de l ec tu ra, de trans c ripción, etc. Diferentes métodos y equ i pos s e han im plemen tado a lo largo de los añ os para m edicion es de dis tan cias rápidas y precisas . A

fin ales

de

la

GEODÍM ETRO,

década

prim er

del

40,

se

des arroll ó

ins trumen to

de

m edi ción

en

Su ecia

electrón ico

el de

dis tan cias capaz de m edir dis tan cias de h as ta 40 Km m edi an te la trans ición de on das lu minosas , con l ongi tudes de on da con ocida m odul ados con en ergía el ectrom agnética. a. Em is or de rayos lás er b. Detector de rayos Un os

diez

añ os

TEL URÓM ETRO,

m ás capaz

tarde,

en

sur

África,

de m edir dis tan ci as

se

des arrolló

de h as ta

el

80 Kms

m edi an te la em isi ón de micro on das . Reci en temen te, con la in trodu c ción de los mic roproces adores se h an des arroll ado n uevos ins trum en tos , m ás pequ eñ os y livian os , capaces de m edir rápidam en te dis tan cias de h as ta 4 Km con preci sión de ± [1mm + 1 parte por m illón (ppm)] en don de ± 1 mm corres pon de al error ins trum en tal el cu al es in depen dien te de la dis tan cia

m edia.

L os

dis tan cióm etros

clasificar en Gen eradores

electrónicos

de micro on das

se

pu eden

(on das de radio) y

Gen eradores de on das lu minosas (rayos lás er e in frarrojos ). L os

dis tan ciómetros

de micro

ondas

requ ieren

trans mis ores

y

rec eptores de on da en ambos extrem os de la dis tan cia a medir m ien tras qu e l os ins trum en tos basados en la em isión de on das lum in os as requ ieren un emis or en un extrem o y u n pris m a reflec tor en el extrem o contrari o.

40

FIGURA N° 2.22. DISTANCIÓMETROS ELECTRÓNICOS

41

CAPÍT UL O III

LEVANTAMIENTOS DE CAMPO

3.1. INTRODU CCIÓN L as n otas de cam po s on el ún ico regis tro perm anen te del trabajo topográfico que s e realiza en u n lu gar. Si s on in completas o in correctas , o si s e des tru yeran , podría perderse gran parte del tiem po in vertido en h acer las mediciones precis as , o todo él. Por tan to, el trabajo del en cargado del regis tro de cam po es , con frecu en c ia,

el

m ás

im portan te

y

difícil

en

una

brigada

de

topografía. L os datos de los regis tros de cam po los us a normalmen te el pers on al de gabin ete u ofic in a para h acer dibujos y cálcu los . De m anera

que

es

es en cial

qu e

las

n otas

sean

in teligibles

para

cu alqu ier en terado, si n ten er qu e mediar expli cacion es verbales . Es recomen dable el empleo de letras in clin adas , tipo Rein h ardt, por s u claridad y rapi dez de es critura; es te tipo de letras requ iere del mí nimo nú mero de trazos s im pl es para formar u na letra. L as libretas de campo s on documentos legales y pueden ser u tilizados en los ju zgados para es tablecer l ím ites de propiedades , de m odo que deben ser conservadas en form a adecu ada, es deci r, bajo llave y gu ardadas en cajas a pru eba de in cen di os . L as an otacion es ori gin ales s on las qu e s e tom an al m om en to de h acer

las

m edi ciones .

Cu alquier

an otación

h ech a

con

pos teri oridad, es un a copia y deberá an otars e como tal. L as copias de u n a libreta de cam po carecen de val idez en un ju zgado, porqu e s e pres tan a cu es tionamien to por l as equ ivoc ac ion es u omis ion es com etidas durante s u "copia". L os es tu diantes tienen la ten den cia de an otar s us regis tros en h ojas s u eltas para des pués pas arlas a la li breta en forma lim pia y n ítida. Es ta prác tica es con traprodu cente y n ulifica el trabajo de

42

cam po y el ins tru ctor debe es tar vigilan te para qu e n o s u ceda es ta m ala práctica. L as n otas de cam po deben es cribirs e c on un lápiz bi en afilado y n o s e permiten borraduras de los datos an otados . Si se regis trara in correctam en te u n nú mero, se cruzará l uego con un a pequ eñ a as pa y a con ti nuac ión s e an otará la correcta. Si s e tien e qu e cam biar toda u n a págin a, s e trazará lín eas diagon ales en tre las es qu in as y s e es cribirá la palabra CANCEL ADA, expli can do las raz on es .

3.2. REQU ISITOS DE U N BUEN REGI STRO L os requis itos para u n bu en regis tro en las libretas de cam po s on :

a) PRECISIÓN Se

an otarán

las

cu idado para n o form a,

se

mediciones

h echas

com eter errores n i

anotarán

los

datos

en

el

cam po,

con

s um o

equivocaci on es . De igu al

com pletos

sin

redon deos

ni

es tim acion es .

b) L EGIBILIDAD L as n otas o regis tros de cam po tien en valor si s on legibles . L a pres en tación de un regis tro legible acredita a u n buen es tu di ante o topógrafo.

c) I NTEGRIDAD L a omis ión de un a s ola m edida o detalle pu ede nu lific ar los regis tros de campo para el dibujo o cálcu l o. Debe verificarse cu idados am ente las n otas para n o ten er que regresar al campo y repetir el levan tam ien to. Nu n ca deben s er al terados los datos para m ejorar la calidad del levan tam iento.

43

d) ADECU ACIÓN Deben

s er

u tilizadas

diferen tes

arreglos

de

la

libreta

qu e s e

adecu en c onvenien tem en te para el tipo de trabajo que s e ejecuta.

e) CL ARIDAD Se debe s elecci on ar u n correcto procedimien to de cam po para que las

an otaciones y croqu is mu es tren

claridad así s e hará más

eviden te las equ ivocaciones u om isi ones .

3.3. L IBRETAS DE CAM PO L as libretas de cam po por con tener datos valios os , estar expu es tas u so ru do, debe s er u n docu men to de n atu ralez a permanen te. Por tan to, las em pastadas en form a de libro, con cu adernillos cosidos , de

pas ta

du ra

y

rí gi da

y,

las

hojas

in tercam biables

s on

las

adecu adas u u tilizadas . Todas

las

h ojas

de las

libretas

de

c am po

con tien en

rayados

es peciales de colum n as y filas para s atis facer las n eces idades particu lares

en

levan tam ien tos

de

n ivelación ,

levan tam ien tos

con figu ración

con

y determin ación

teodolito,

de s eccion es

trans vers ales . Ejem pl o: FIGURA N° 3.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LIBRETA DE CAMPO

44

3.4. CL ASES DE ANOTA CI ONES Hay tres tipos generales de an otacion es ; en la práctica s e u tiliza com ún men te un a com bin ación de es tos tres tipos , qu e s on los s igu ien tes :

a) TA BUL ACIONES L as

m edicion es

n um éricas

se

regis tran

en

colum n as

de

ac uerdo a u n plan pres crito qu e depen de del ins trum en to qu e s e us e, del orden de precis ión del levan tamien to y del tipo de m edida. Ejem plo:

FIGURA N° 3.2. TABULACIÓN EN LA LIBRETA DE CAMPO

ESTACIÓN

LECTURA ATRÁS (m)

ALTURA DEL LECTURA DISTANCIAS INSTRUM ENTO ADELANTE (m) (m)

A

0.954

0.000

0.000

B

1.365

3.652

132.580

C

2.654

3.124

108.450

D

3.657

2.259

75.380

E

1.654

1.654

132.520

F

1.234

1.028

109.480

G

3.124

2.145

85.620

H

3.029

0.758

63.250

I

2.954

0.956

45.950

J

2.654

0.857

65.850

K

3.265

0.856

121.650

L

0.000

1.526

75.640

COTAS (m)

826.420

45

b) B OSQU EJ OS L os

bos qu ejos

aclaran las

an otacion es

de cam po y deben

u s ars e con abun dan cia. Se pu eden dibu jar a es cala real o aproxim ada

o

exagerada

para

lograr

m ayor

claridad.

L as

m ediciones deben es cribirs e directam ente s obre el bos qu ejo, o m acarse en clave en algun a form a, para datos tabu lares . L a l egi bi lidad

es

un

requ is ito

mu y

im portan te

en

cu alqu ier

bos quejo.

FIGURA N° 3.3. BOSQUEJO EN LA LIBRETA DE CAMPO

c) DESCRIPCIO NES L as

tabulaciones

c omplem en tars e

con con

c ons is tir en un as

dos

o

s in

bos quej os

des cripciones .

U na

tam bién des cripción

palabras para avalar las

pu eden pu ede

medicion es

regis tradas , o pueden s er expos icion es bas tan te amplias , si h a de us ars e en el fu tu ro, posiblem en te añ os des pués , para u bicar u n m onu m en to. Cu an do ex is ta duda s obre la n eces idad de 46

i n form ación , in clu yes e és ta y h ágase u n bos qu ejo. Es preferible c ontar con información en exceso que tener mu y poca.

FIGURA N° 3.4. DISTRIBUCIÓN DE LA ANOTACIONES EN LA LIBRETA DE CAMPO

3.5. DISPO SI CIÓN DE L AS ANOTACI ONES L os es tilos y form atos de las an otac ion es depen den de l as n orm as particu lares u oficiales y de la pref eren cia pers on al. Usu almen te, las págin as del l ado iz qui erdo y las del lado derech o de un a libreta de campo s e utiliz an s iem pre en pares y llevan el m ism o núm ero. El tí tul o del levantam ien to deberá esc ribirs e en la parte su perior de la página del lado izquierdo y con frecu en ci a s e extien de h as ta la págin a del lado derech o. L os títu los pu eden abreviarse en las págin as siguien tes para el m is mo proyecto de levan tamien to. L a u bicación y tipo de operación se an otan bajo el tí tul o.

47

En págin a izquierda h ay por lo general un rayado de seis colum n as des tin adas

a

tabu lación

s olam ente.

La

págin a

derech a

es

cu adri culada y s e des tin a a los c roqu is . L os en cabezados de las colum n as s e col ocan en tre las dos prim eras líneas horizon tales en la parte su perior de la página iz quierda, y s e es criben de iz qui erda a derech a en el orden an ticipado de lectu ra y an otación . L a parte s u perior de la págin a iz qui erda o de la derech a debe con ten er cu atro in dicaciones :

a) FECHA, HORA DEL DÍA Y HORA DE INI CIO Y TERMINACI ÓN DEL TRABAJ O. Es tos datos son n ecesarios para docum entar las n otas

y

diferen tes

con s titu ir

un

trabaj os .

itin erario, L as

así

com o

obs ervac iones

para s obre

rel acionar precis ión ,

dificu ltades en con tradas u otros h ech os pu eden irs e reunien do a m edida qu e progres a el trabajo.

F I GUR A N° 3.5. F EC H A , HORA DE I NI C IO Y TE R MI N AC IÓ N DE L T RA BA JO

b) C ON DICIONES

DEL

CL IMA.

La

in tens idad

del

vien to,

la

tem peratu ra am bien te y divers os fen ómen os m eteóricos , com o l lu via, n ieve, brillan tez s olar y niebla, tienen un efecto decisivo en la exactitu d de los trabajos de topografía. Un medidor de dis tan cias n o puede h acer bien su trabajo cu an do s opla u n fu erte vien to o cu an do h ay aguac ero. Por ello, los detalles s obre l as

con dicion es

del

tiem po

atm osférico

s on

im portan tes

al

revi s ar n otas de campo, así com o para aplicar correcc ion es a l as lon gitu des m edidas con cin ta, por variación de tem peratu ra y por otros con ceptos .

48

FIGURA N° 3.6. CONDICIONES DEL CLIMA

c) BRIGAD A DE CAM PO. Con viene an otar el apel lido y l as i niciales n eces arias del n om bre de cada uno de los miem bros de u n a brigada, as í como su s cargos , para docu m en tación y referen cia fu tu ra.

L as

fun cion es

de

cada

un o

pu eden

in dicars e

con

s ím bolos o l etras , com o: Para el operador del ins trum en to, O Para un ayu dan te, Ay Para el portador de la mira, Pm Para el an otador, A Para el J efe de Brigada, J

F I GU RA N° 3.7. B RI GA D A DE C A MPO

c) TIPO

E

IDENTIFICACIÓN

DEL

INSTRUM ENT O.

El

tipo

de

ins tru m en to u tilizado y s u aju ste afectan la exacti tu d de u n levan tam ien to. L a iden tificación del equipo es pecíficam en te u tilizado ayu da a localizar los errores en algun os cas os .

49

F I GU RA N° 3.8. T I PO E I DEN TI FI CA C IÓN DE L I NS TRU ME N TO

Brújula Brunton Cinta de lona

3.6. SU GERENCIAS PARA EL REGISTRO DE CAM PO Si s e s igu en las s u geren cias qu e s e in dican podrán elim in ars e algun as deficien cias y equivocaciones frecu en tes en regis tros de cam po: a) El n om bre y dirección del propietario debe s er es crito en la págin a de la libreta y en la tapa, preferen temen te con tin ta c h in a. b) U s e un lápiz bien afilado o us e portam in as . c) Com ien ce el trabajo de cada día en u n a página nu eva. d) I nmediatam en te

des pu és

de

h acer

u na

medición ,

an ótela

s iem pre directamente s obre la libreta de regis tro, y n o en u na h oja s u elta de papel para copiarla más tarde. e) No borre n in gún dato regis trado. Cru ce con u n a pequ eñ a as pa el valor in correcto (pero cons ervan do su legibilidad), y an ote el valor correcto debajo de aqu el. Can cele un a págin a trazan do diagon ales en tre las es quinas de la págin a. f)

L l eve c ons igo un a reglilla para trazar rectas y un pequ eñ o trans portador para trazar án gu los .

g) U tilice croquis en lu gar de tabulaciones cu an do h aya du da. h ) Haga los dibujos según proporcion es generales , en vez de trazarlos a es cala exacta o s in plan algun o. i)

Ex agere l os detalles en los es qu emas s i se m ejora con ello la c laridad, o bien , trace diagramas por s eparado.

j)

An ote

las

des cripcion es

y

dibujos

n um éricos corres pon dien tes . 50

en

lín ea

con

los

datos

k ) Evite el am on ton amien to de n otas . l)

U tilice

notas

expli cativas

cu an do

s ea

perti nen te,

tenien do

pres en te siem pre el obj eto del trabajo de topografía y las n eces idades de person al que trabajará en la oficin a. m ) Procu re que el n orte qu ede en la parte s uperior o al lado i zquierdo en todos los croquis . Es in dis pens able s eñalar la dirección del m eridiano. n ) Repita en voz alta los valores qu e le dicten para an otar. Por ej emplo, an tes de regis trar u n a distan cia de 124.24, diga en voz alta "u n o, dos , cu atro, pun to, dos , cu atro" para verificar la l ectura con el que dio la medida. o) Es c riba s iem pre u n cero an tes del pu n to decim al en cas o de n úm eros men ores de 1, es decir an ote 0.45 en vez de .45. p) I ndiqu e

la

precisión

de

l as

m edidas

por

medio

de

cifras

s ign ificativas . Por ejem plo, an ote 4.60 en vez de 4.6 s i la l ectura se determin ó realm en te h as ta los centés im os . q) No s obres c riba n in gún nú mero s obre otro n i s obre las líneas de c roqu is y n o trate de trans form ar una cifra en otra, com o un 3 en u n 5. r)

Haga todas las com probacion es aritm éticas posibles en las n otas , y regís trelas , an tes de retiras e del cam po.

s ) Calcu le

todos los

cierres

y relacion es

m ien tras

es tá en el

c ampo. t)

Es c riba s u apellido con la in icial de s u nombre en la es qu in a i n ferior derech a de la págin a en todos los regis tros origin ales

51

C A P ÍT U LO IV

CÁLCULOS DE GABINETE

4.1. I NT RO DUCC IÓ N L a práctica de la topografía com prende trabajos de cam po y de gabin ete.

El

trabaj o

de

cam po

in clu ye

prin cipalm en te

a

la

obtenc ión de datos y el trazado de elem en tos de cons tru cción . El trabajo de gabinete se refiere a los trans form ar las m edicion es

cálcu los n ecesarios

para

de campo de modo que s atis fagan el

propós ito d es tu dio. Por ej emplo, en las m edicion es de predios , u n o de los objetivos im portantes es la determin ación del área. L os con ceptos cómputos y cálculos se con s ideran s in ón im os . Sin em bargo, aqu í c omputadora significa un m ecan ism o de cóm pu to digital, de alta velocidad y de gran capacidad de almacen am ien to. El termin o calculadora s e u s ará tan to para des ign ar a la maquin a electrón ica portátil o de bolsillo como a la de es critorio.

4.2. C O NS I DER AC IO NES B Á SI C AS L a lim pieza y u n iformi dad del m étodo s on tan es en ci ales en los cálcu los com o en la elaboración de los regis tros de campo. El arreglo de las operaciones en la secu en ci a lógic a de la s olu ción n o s olo ayu da al cal culis ta, sin o que tam bién facilita el trabajo del revis or. La

m ayoría

de

los

organism os

de

in genierí a

y

topografía

ha

diseñ ado form as de c álculo para fines gen erales y para problem as es pecíficos . Un a

caracterís tica

muy

con venien te

del

formato

de

cálculo,

es pecialm en te para el trabajo de es tu dian tes , es la s u bdivis ión del cálcu lo en tres partes prin cipales , con los s igu ientes títulos : a) D A T OS .

Se

an otará

un a

des cri pc ión

in form ación o datos dis ponibles . 52

con cis a

o

tabla

de

la

b) I N CÓGN IT AS . Se in dicará lo que debe calc u lars e o lo que debe obten ers e. c) S O L UC I ÓN . Compren derá la des cripción com pleta de todos los pas os que con du z can a los resu ltados des eados . Todos los res ultados de los cálcu los de in gen iería s e consi deran provis ion ales has ta qu e h ayan si do com probados . M ás adelan te, cu an do

sea

neces ario,

se

adicion an

diversas

form as

de

verificación .

4.3. C A L CUL A DOR AS E L E CTR ÓN I CA S DE B OL SI L LO L a in trodu cción de la pequeña calcul adora cien tífica de bols illo h a provocado u n a drás tica modificac ión de los métodos de cálcu lo topográfico. L a calculadora electrónica de bols illo es rápida, fácil de us ar, ex ac ta y mu y vers áti l. L as caracterís ti cas de operación y las capacidades relativas de las diferen tes m arc as y m odelos varían m uch o en u n am plio ran go de precios .

F I GUR A N° 4.1. C A L C U LAD ORA E L E C TRÓNIC A DE B O LS I L LO

53

L a calculadora de la figu ra permite res olver problem as cien tíficos y de in geniería. Da las fun cion es trigon ométricas m ás us u ales : sen o, cós en os

y

tan gente;

s exagesim ales

sus

fun cion es

in vers as ,

tan to

en

grados

decim alizados , como en grados centes im ales

y

radian es ; pu ede con vertir coorden adas rectan gulares coorden adas polares ,

y

vi cevers a.

Con

una

s ola

tecla

calcu la

recíprocos ,

cu adrados y raí ces cu adradas , y tien e fun cion es es tadís ticas para determ in ar medias y des viacion es es tán dares . La cal culara de la ilus tración tiene múl ti ples regis tros de m em orias qu e perm iten el alm acen am ien to

au tom ático

de

resu ltados

i n term edios

para

rec u perarlos des pu és . Se le la llama c alcular program able porqu e pu ede retener y repetir un program a de u n cierto n úm ero de pas os . U n programa es , sen cillamen te, u n a s ecuen c ia de teclazos qu e recu erda la calculadora. Cu an do h ay qu e realizar un cálcu lo iterati vo con datos diferen tes , la calcu ladora lo efectú a s in m ayor in terven ción del calculis ta. No pu ede detallars e aqu í la am plia gam a de aplicaci on es . El m anu al del propi etario proporcion ado por el fabrican te es la m ejor fu en te de inform ación res pec to a los procedim ien tos de operación . La

calcu ladora

elec trónica,

ya

s ea

de

bolsillo

o

d

es cri torio,

repres en ta u n gran avan ce en cu an to a la velocidad, con fiabilidad y

facilidad

de

los

cálcul os

de

cam po

y

de

gabin ete.

Ha

in crem entado l a produ ctividad del pers on al de oficin a, h a h ech o pos ible efectu ar cálculos prelim in ares de cam po con el fi n de des cu brir

equivocacion es

en

las

m edidas

y,

en

general,

ha

redu ci do el cos to del trabajo de gabin ete en la topografía.

4.4. U N I DA DES DE M E D I DA Para

in ves tigar

el

origen

de

las

u nidades

h oy

aceptadas

de

m edi ción lin eal, c om o el m etro y el pie, s e recu rre in variablemen te al es tu dio de la m etrología, que s e define como la cien cia de las pes as y las medidas . L a in ves tigación de la evol uc i ón de varias u nidades

lin eales

comien za

con 54

los

regis tros

es critos

de

los

pri meros metrólogos , y con el exam en y es tu dio de l as ru in as de varias civi lizaciones an tigu as , como las pirámides de Egipto, el Partenón de Atenas , y Ston ehen ge en In glaterra. U no de los m ás n otables dis pos iti vos de medición utilizados por las civilizacion es pas adas fue el Nilóm etro, qu e s ervía para determ in ar las altu ras de las in un dacion es a lo largo del Nilo. L as u nidades lin eales m ás prim itivas s e derivaban de la lon gitu d de ciertas partes del cu erpo h um ano. El dígito era la an chu ra del pri mer nu dillo del dedo ín dice; la cuarta era l a lon gitu d de la m an o exten dida, des de el pu l gar hasta el m eñique; el pie era l a lon gitu d del pie hum ano, y el codo era la distan cia a lo largo del an tebrazo des de la articu lac ión del codo h as ta la pun ta del dedo medio.

F I GU RA N° 4.2. U N I DA DES P RI MI TI VAS DE ME DI D A

L as un idades lin eales m odern as tu vi eron su origen en la yarda y pie britán icos de 1855, y en la tois e fran ces a, de 1766, que ten ía u n a lon gitu d de cerca de 6.4 pies in gleses . L a un idad de lon gitu d m ás im portan te, el m etro, es tá asociada con el des arrollo de un am plio sis tema m étri co. El m etro fue ori gin almen te definido com o la diezmillon és im a parte de u n cu adran te del m eridi ano terres tre. Des pués de la realización de es tu dios de ex actitu d geodés ica, y de las

deliberaci ones

de

geodes tas 55

des tacados ,

un

tratado

in ternacion al

determin ó

la

creación ,

en

1875,

de

un a

Oficin a

In tern aci on al de Pesas y Medidas . En la primera con feren cia, en 1889, s e adoptaron nu evas n ormas para el s is tem a m étrico. El m etro fue redefin ido en términos de dis tan cia en tre dos m arcas s obre un a barra de platino-iridio, a 0° C. A és ta s e le c onoc e como el M etro Patrón In tern acion al. En Octu bre de 1960, en la Con feren cia General s obre Pes as y M edidas (CGPM ), Es tados Uni dos y otras 35 n acion es acordaron redefin ir el metro en fun ción de la longitu d de on da de u n a ci erta clase de lu z. En la actualidad, el m etro es igu al a la lon gitu d de 1'650,763.73 on das de la lu z roj o-an aranjada produ cida por la com bus tión del elem ento k riptón (Kr 86). L a lon gitu d de on da de la lu z rojo-an aranjada del k riptón es u na con s tan te real, m ien tras que h ay cierto ries go de in es tabilidad en la barra patrón de m etal. Si la CGM P hu biera ten ido lu gar un añ o des pu és , el rayo l ás er podría h abers e u til izado para fijar la n orm a en vez de la lu z de k riptón . El m etro, el pie, la yarda y otras u n idades de lon gitu d, n o cam bian ya en realidad, pu es el stan dard de lon gi tudes de on da y el s tan dard s ólido de m etal están en acu erdo s atis fac torio, au n qu e algun as medi das dis crepan tes es tán s ien do verific adas todaví a.

4.5. U N I DA DES E N T OPO GR AF Í A a) U N I DA DES DE L O NGI T UD L as u nidades básicas de lon gitu d m ás empleadas s on el pie y el m etro.

El

pie

(foot

=

ft)

es

de

origen

an glos ajón

y

es

u nivers alm en te u tili zado en los países de h abla in gles a. El m etro (m ) es de origen fran cés , y s e h a con vertido en la un idad adoptada para u s o in tern acion al y cien tífico. Con el trans cu rs o del tiem po, el m etro des plazará gradu alm en te al pie, en todos los cam pos de la in gen iería. De la m ille passu m de los ejércitos rom anos , s e derivaron n ues tros térm in os "m illa" y "pas o"; también la pértica roman a, qu e significa 56

perch a o varilla para medir. L a perch a s e u tilizó am pliam en te com o

unidad

de

lon gitu des

en

la

m edición

de

predios .

Sin

em bargo, pron to s e reconoc ió la n eces idad de es tan darizar la lon gitu d

de

la

perch a

y,

gen eralm en te,

se

recom en daba

el

s igu ien te método: "Un a

perch a

deberá

s er

determin ada

de

m an era

correcta y legal, y de acu erdo con la práctica cien tífica, de es ta manera: diecis éis h om bre, bajos y altos , u n o des pu és de otro, com o vayan s alien do de la igles ia, deberán col oc ar, cada un o, un zapato en fila; y s i s e toma u n a lon gitu d será un a perch a verdadera" En tre l as u nidades de lon gitu d qu e s e us aron en levan tamien tos an tigu os y qu e s e em plean tam bién en l a actu alidad en Es tados Un idos , s e en cu en tran las s igu ien tes: 1 pie

(', ft) = 12 pu lgadas (sím bolo: plg, ", in )

1 pu lgada (pl g) = 25,4 m m 1 yarda ( yd) = 3 pi es (s ím bol o: pie) 1 m etro (m ) = 39,37 pl g = 3,2808 pie 1 pértiga = 16,5 pie ( rod, pole o perch ) 1 vara

= 33 plg (un idad es pañ ola an tigu a qu e s e u tilizó en el

s u does te de U SA) 1 caden a Gun ter = 66 pies = 100 es labon es = 4 pérti gas 1 m illa (terres tre) = 5280 pie = 80 caden as Gun ter 1 m illa (n áu tica) = 6076,10 pie 1 k ilóm etro (Km ) = 0,62137 millas

b) U N I DA DES DE S UPE R F I CIE El ager, o área de terren o qu e podía s er arada en un dí a por u n a yu n ta bu eyes , derivó el acre. El acre es l a u nidad m ás comú n de 57

área en USA y es equ ivalen te a 10 caden as c uadradas Gun ter. En con secuen cia, un acre con tiene 43 560 pies cu adrados . En tre las un idades de s u perficie que s e us aron en l evan tamien tos an tigu os

y

qu e

se

em plean

tam bién

en

la

actu alidad,

se

en cuentran las s iguien tes : 1 h ectárea (Ha) = 10 000 metros cuadrados (m 2 ) 1 h ectárea = 2,471 ac res 1 acre = 43 560 pies c uadrados (pie 2 ) 1 acre = 4 046,856 metros cu adrados 1 m etro cuadrado = 10,76 pies cu adrados 1 m m cu adrado = 0,00155 plg cu adradas (plg 2 )

c) U N I D ADES A N GU LARES L a u ni dad an gu lar qu e m ás s e us a en topografía es el grado (s exagesim al), qu e s e defin e com o el án gu lo

s u bten dido

por

1/360 avo de un a circun feren cia. Se h an u sado tam bi én otros m étodos para s ubdividir un a circu n feren cia, com o por ejem plo, en 400 grados cen tesi mal es (400g). El

radian

(rad) es

el án gu lo

cen tral s u bten dido por u n arco de circu nferen c ia de lon gitu d igu al al radio. En tre las u nidades an gu lares que s e us aron en levan tam ien tos an tigu os

y

qu e

se

em plean

tam bién

en

la

actu alidad,

en cuentran las s iguien tes : 1 grado s exagesim al

(1°) = 60 m in u tos sexages im al

1 m in uto s exages im al (1') = 60 s egu n dos s exagesi mal 1 grado cen tes imal (1g) = 100 minu tos g. 1 m in uto centes im al (1c) = 100 s egu n dos cc. 1 radian (rad) = 57° 17' 44,8" 1 radian = 57,2958° 1 grado s exagesim al = 0,01745 rad 58

se

4.6. S I ST E MA I NT E RN AC IO N AL DE U NI D AD ES (SI) Ac tu almen te,

todos

l os

país es

es tán

adoptan do

el

Sis tem a

In tern aci on al de Unidades , que s e con oce gen eralmen te como SI. Es te s is tem a, que n o im plic a cam bio algun o en las dimensiones ni en los valores , s erá u n medio para n ormal izar y s im plificar las u nidades de m edida en todo el mundo. L as u nidades SI de m ayor im portan cia para los topógrafos (s us sím bolos n ormales s e in dican en tre parén tesis ) s on : El metro (m) para dis tan cias El metro cu adrado (m 2 ) para su perfici es El radián (rad) para án gulos planos y, tam bién , El grado sexages im al (1°) para án gulos plan os El metro cú bico (m 3 ) para volú men es El k ilómetro (Km) = 1000 m El milí metro (mm)

= 0,001 m

El cen tím etro (cm) = 0,01 m El decím etro (dm ) = 0,1 m

4.7. C I F R AS S I GN I F I C ATIV AS Cu an do s e regi stran medi das , de cu alqu ier clas e, u na in dicación de

la

ex actitu d

lograda

es

el

n úm ero

de

dígitos

(cifras

s ign ificativas ) qu e s e registran . Por definici ón , el nú mero de cifras s ign ificativas

en

cu alqu ier

valor

in clu ye

los

dí gitos

pos itivos

(s egu ros ) m ás un o (s olam en te un o) qu e es u n dígito es tim ativo, y por tan to, cues tion able. Por ejem plo: un a dis tan cia regis trada com o 875,52 s e dice qu e tien e cin co cifras s i gnificativas ; en es te c as o, los cuatro prim eros dígitos s on segu ros y el últim o es cues tion able.

59

A menu do s e con fu n de el nú mero de cifras significativas con el n úm ero de cifras decimales . A con tin u ación algu n os ejem plos :

C U A DR O N° 4.1. C I F R AS SI GN I FI CA T IV AS CIFRAS

EJ EMPL OS

SIGNIFICATIVAS

Con

DOS CIFRAS

24; 2,4; 0,24; 0,0024; 0,024

TRES CIFRAS

365; 45,6; 0,0000456; 0,0560

CUATRO CIFRAS

3465; 45,67; 0,0006785; 25,00

el fin

de acl arar el

con cepto de las

cifras s ign ificativas ,

res u ltan ú tiles las siguien tes reglas . i)

Todos los dígitos diferen tes de cero s on si gni ficativos

ii)

L os ceros al prin cipio de u n nú mero in dican s olo la posición del pu n to decimal. No son significativos .

iii) L os ceros entre otros dígitos si s on s ignificativos iv) L os

c eros

al

fin al

de

un

nú m ero

con

decimales

si

s on

s i gn ificativos .

4.8. P R O BLE MA S R EL AC IO N ADO S CON C IF R AS S I GN I F I CAT IV A S a) L as

m edidas

de

cam po

se

presen tan

con

un

nú mero

es pecífico de cifras significativas , con lo c u al s e in dica el n úm ero corres pon diente qu e debe ten er u n valor calcu lado. En el cam po es práctica comú n llevar por lo m en os un dígito más de los qu e s e requieren, y l uego redon dear la res pues ta al n úm ero correcto de cifras s i gn i ficativas . Si se u s an

logaritm os

o

fu n cion es

trigon ométricas

n atu rales ,

deben tener si empre un a cifra m ás qu e el núm ero de cifras 60

s ign ificativas que se des ee tener en la res pu es ta. b) Pu ede h aber un núm ero im plíci to de ci fras s ign ificativas . Por ejem plo, la lon gitu d de cierto cam po deportivo pu ede es tar es pecificada como de 100 yardas . Pero al delimitar el cam po

en

el

terren o,

tal

di stan cia

se

mediría

probablem en te al cen tés im o de pie m ás próxi mo, y n o a la m edia yarda m ás cercana. c) Cada

factor

pu ede

ocas ion ar

u na

variación

igual.

Por

ejem plo, s i s e va a corregir u n a cinta de acero de 30,00 m de lon gitu d por u n cam bi o de tem peratu ra de 10°C, u n o d es tos nú meros tien e cu atro cifras significativas m ien tras qu e el otro s ólo tien e dos . Sin em bargo, u n a variación de 10°C en la tem peratu ra cam bi a la lon gitu d de l a cin ta en 0,002 m . Por tan to, para este tipo de datos s i s e j us tifica una

lon gitu d

ajus tada

de

la

cin ta

a

cuatro

cifras

s ign ificativas .

4.9. R E DO NDEO DE N ÚME ROS Redon dear un n úmero es s u primir u n o o m ás dígitos para qu e la res pues ta

s ólo

con ten ga

aqu ellos

que

sean

s ignificativos

o

n eces arios en cálculos s u bsecuen tes . Al redon dear números de cu alqu ier grado es n ecesario de exactitu d, s e debe s eguir el procedim ien to siguien te: a) Cu an do el dígito a des preci ar s ea men or que 5, s e es cribirá sin es e dígito. Así, 76,454 s e trans form a en 76,45. b) Cu an do el dígito a des preciar s ea exactam en te 5, se u sará el s igu ien te nú m ero par para el dígito preceden te. As í , 56,875 s e trans form a en 56,88, y 56,885 se redon dea tam bién a 56,88. c) Cu an do el dígito a des preciar s ea m ayor qu e 5, s e es cribirá el n úm ero con el dígito precedente aumentado en u na un idad. Así, 32,576 s e con vierte en 32,58. 61

F I GU RA N° 4.3. R ED ON DEO DE NÚ ME R OS

4.10. C O MPR O BA C I ONES En los cálcu los de gabinete s e en fatiza la gran n ecesidad de es tar s iem pre alerta para evitar la in trodu cción de errores notables o equ ivocacion es . En particu lar, es im portan te que los datos s ean bien

digitados

en

la

calcul adora

y

que

los

resu ltados

s ean

trans critos de manera correcta a las form as de cálcu lo. Por lo gen eral, en el au la de clase o en un a oficina de in geniería, los res ul tados de l os cálc ulos de ruti n a los com pru ebe un revis or, qu e u tiliza las h ojas de cálcu lo ori gi n ales . La com probación m ás efectiva s ería u n cál cu lo in depen dien te por parte de u n a s egun da pers on a, quien de preferen cia, us ará fórm ulas dis ti n tas . Cu an do u n cálculo de com probaci ón aparen tem ente revele errores o

equivocac ion es

en

los

cálcu los

origin ales ,

es

neces ario

as egu rarse qu e la com probación es tá correcta an tes de aceptar s us resu ltados . En

todo

trabajo

de

gabin ete,

en

es pecial

el

realizado

por

apren dices , siem pre es acons ejable qu e, al con cluir el problem a, el calcu lis ta s e pregu n te s i el res u ltado parece raz on abl e.

62

4.11. PROBL EM AS PROPUESTOS a)

As ign ar la can tidad de cifras s ignificativas tien en los s igu ientes n úm eros : 4,4; 56.4; 87,65; 0,44; 0 ,00000524; 0,474; 0,452; 85.624; 635.0024; 0,5324; 0,623587; 4253;001

b)

Redon dear a s olo dos decim ales : 23.365; 0,32578; 63.2584; 21,365; 5324,45287; 63.254

c)

Redon dear a s ol o tres decim ales : 0,2536; 23.2554; 6332,8557; 0,535; 12,4565; 5632,8524; 0,00052

d)

Redon dear a s olo s eis decim ales : 52,3265254; 0, 3254875; 6325,8525487; 52,3254588; 3.45283333

63

C A P ÍTU LO V

ERRORES EN LOS LEVANTAMIENTOS DE CAMPO

5.1. INTRODU CCIÓN Toda con stru cción es la culminación de los proces os de diseño y plan eación ; con ella s e com pleta y term in a un proyecto. Pu ede tratars e de u n edificio, camin o, carretera, pu en te, can al, pres a, un parqu e in dus trial, un a s u bdivisión de predio. El proyecto, elaborado con el propós ito de util izarlo para determ in ado fin y en un l u gar particu lar, debe trazars e tenien do en c u en ta el lu gar es pecificado; alin ears e correctam en te c on res pecto a l as es tru ctu ras adyacen tes y la obra debe con s truirse de acu erdo a las dimens i on es , form as y caracterís ti cas requeridas . Para ejecu tar c orrectam en te el trazo s obre el terren o, es indi s pens able h acer m ediciones . En el cam po, las dis tan cias horizon tales s e miden con cin tas , varillas , reglas o aun con es tacas m arcadas . L as diferen cias de elevación s e determin an com ún men te por m edio de n iveles de bu rbu ja y u n a regl a gradu ada o es tadal. Cas i sin ex cepción los án gulos s e miden c on la ayu da de u n teodolito o tráns ito, au n qu e m u ch as

vec es

pueden

cons egu irs e

res ul tados

s atis factorios

u san do ins tru men tos m en os precis os, com o la brúju la. L as

m edicion es

pu eden

h acerse

directa

o

in direc tam en te.

Se

efectúa un a m edición in di recta cuan do n o es pos ible aplicar el ins tru m en to de m edida directamen te a la distan ci a o án gu lo que debe m edirse. Por tan to, s e determ in a la res puesta por s u relación con algú n otro valor con oci do. As í, la dis tan cia a través de u n río pu ede en con trarse midiendo la lon gitu d de u na línea trazada s obre u n a orill a, el án gulo de cada extrem o de es a h as ta u n pun to s itu ado al otro lado, y c al cu lan do lu ego la dis tan cia des eada por m edi o de un a de las formu las clás icas de tri gon om etría.

64

5.2. ERRORES EN L AS M EDIDAS Se denomin a error a la di feren cia en tre el valor obs ervado o calcu lado de u n a can tidad y el valor verdadero o i deal. Cu an do s e m ide un a dis tan cia con u na cinta divi di da en décim os de m etro, la dis tan cia podrá leers e s ól o h as ta el c entés im o de metro (por in terpolac ión ). Si s e dis pone de un a c in ta gradu ada en cen tés im os de m etro, la mis ma dis tan cia podría es tim ars e h as ta el mil ésim o. Y con

un a

cin ta gradu ada en

mil ésim os

de

metro

será posible

obtener u na lectu ra h as ta el milés im o m etro. Es obvio que la exactitu d de las medidas depen de del tamañ o de la divis ión , de la con fiabilidad del equ i po em pleado y de las li mi tac iones h um an as para apreciar l a divis ión de la es cala. Por ello, podemos es tablecer in con dicion almente que: a) Nin gun a medida es exacta b) Toda m edida con tiene errores c) Nu n ca s e pu ede c on ocer el valor verdadero de un a dim ens ión , y por tan to, d) El val or exacto qu e h ay en cu alqu ier medida siem pre s erá des c on oc ido. L as equ ivocacion es s on fallas , pu ra y s im plem en te, y n o s e pu eden perdon ar; ocu rren por un a m ala com prensión del problem a, por des cu ido o por u n criterio deficien te. A las gran des equ ivocacion es s e las llam a errores garrafales , y n o s e tratan com o errores . L as equ ivocacion es s e detectan m edian te la comprobación sistemática de todo trabajo, y s e elim in an reh aciendo parte del m ism o, o bien , todo él. Es m u y difícil des cu brir equ ivocacion es pequeñ as porqu e se

as ocian

pequ eñas

con

errores .

Cu an do

no

s on

equivocacion es

pu eden

tratars e,

detectadas ,

es tas

por

com o

tan to,

errores , y afectarán a los diversos ti pos de es tos . En

ejecu ci ón

m edi ciones

de

sean

un a

obra

con fiables

es y

fu n dam en tal

no

con ten gan

que

todas

l as

equivocaciones .

M ien tras avan za la obra, la verificación repetida de las medidas por m edio de divers os procedim ien tos proporcion a la con fian za 65

requ erida, pero s e n eces ita pon er mu cho cu idado en com probar con stantemen te

los

res ultados

y

ten er

un

alto

sen ti do

de

res pon sabilidad.

5.3. CL ASES DE ERRORES EN L AS M EDIDAS L os errores qu e aparecen en las medidas s on de tres clas es :

F I GU RA N° 5.1. C LASES DE E RR ORES EN L A S ME DI DA S

a) ERRORES NATU RAL ES Son ocas ion ados por vari ac ion es del vien to, la tem peratu ra, la h um edad, la refracción , la gravedad y la decli n ac ión magn ética. Por

ejem plo,

la

longitu d

de

un a

cin ta

de

acero

varí a

al

pres en tars e cam bios de tem peratu ra am bien tal.

b) ERRORES INST RU M ENTAL ES Resu ltan de cu alqu ier im perfección qu e haya en l a cons tru cción o el ajus te de los ins tru men tos , y del m ovimien to de s us partes . Por ejem plo, las gradu aciones pin tadas en u n es tadal o m ira de n i velación pu eden no es tar perfectam en te es paciadas , o el es tadal podría es tar com bado. El efecto de la m ayor parte de l os

errores

procedim ien tos

ins trum en tales topográficos

c orreccion es calcu ladas .

66

pu ede

redu cirs e

adecu ados

y

adoptan do aplican do

c) ERRORES PE RSONAL ES Nacen de las lim itacion es de los s en tidos hu man os de la vis ta, el tacto y el oído. Por ejem plo, exis te un error pequ eñ o en el valor m edido de u n ángul o cuan do el hilo vertical de la retícu la del anteojo de un teodolito n o qu eda perfectam en te alin eado s obre un objetivo, o c u an do la parte s u perior de u n es tadal n o es tá vertical al s er vi s ada.

4.4. TIPOS DE ERRORES L os errores qu e con tien en las medidas s on de dos ti pos : errores s is tem áticos y errores acc iden tal es .

a) ERRORES SISTEM ÁTICOS Son aquellos cu yas m agnitu des y s ign os s e relacion an en form a directa con las con dicion es qu e rodean a las medicion es . Se aj us tan a las leyes físicas con ocidas y s on sus ceptibles de determ in ars e

m atem áticam en te.

c ondic ion es s e

ven

acompañ ados

L os por

cam bios los

en

las

c orres pon dien tes

c ambios en la magn itu d, y a vec es en el s ign o, del error resu ltan te.

L os

errores

s is tem áticos

s on

acu mu lativos

y

c ons tantes , cuan do la m agn itu d y el s ign o del error son igu al en toda la s erie de medic iones . L os errores sistemáticos pu eden calcularse y elimin arse s us efectos . Por ejem plo, un a cin ta de 50 metros qu e ti en e u n a l ongi tu d m ayor de 0,006 m , in trodu ci rá u n error positivo de 0,006 m (o de 6 m m) c ada vez q u e se u ti liza. El cam bio de l ongi tu d de u n a cin ta de acero que res u lta de u na diferen cia de tem peratu ra

puede

calcu lars e

por

m edio

s im ple, y efectu ars e fácilm en te la correcc ión .

67

de

una

formu la

b) ERRORES ACCIDE NTAL ES Son los errores qu e qu edan des pués de h aber elim in ado las equ ivocacion es y los errores s is tem áticos . Son ocas ionados por factores qu e qu edan fu era del con trol del obs ervador, obedecen a leyes de l a probabilidad y rec iben tam bién el n om bre de errores aleatorios . Es tos errores es tán presentes en todas las m ediciones topográficas . L as m agn itu des y los s ign os de algebraicos de los errores al eatorios s on res ultados del az ar, y n o h ay m an era abs olu ta al gun a de cal cu larlos n i de elimin arlos . A l os errores aleatorios s e les con oce tam bi én c omo errores compens ativ os , porqu e tienden a can celars e parc ialmen te en tre sí en u n a s erie de m ediciones .

F I GU RA N° 5.2. T IPOS DE E R R ORE S EN LA S ME DI DA S

LAS MAGNITUDES Y SIGNOS SE RELACIONAN EN FORMA DIRECTA CON LAS CONDICIONES QUE RODEAN A LAS MEDICIONES. SON SUSCEPTIBLES DE DETERMINARSE Y ELIMINARSE MATEMÁTICAMENTE. PUEDEN SER AUTOCONPENSATORIOS

SON LOS QUE QUEDAN DESPUÉS DE HABER ELIMINADO LAS EQUIVOCACIONES Y LOS ERRORES SISTEMÁTICOS. SON OCASIONADOS POR FACTORES QUE QUEDAN FUERA DEL CONTROL DEL OBSERVADOR, OBEDECEN A LEYES DE LA PROBABILIDAD, POR TANTO, SON ALEATORIOS

5.5 M AGNITUD DE L OS ERRORES L os térm in os s igu ien tes s e en cu en tran as ociadas a l a m agnitu d de los errores : a) DISCREPANCIA Es

la

diferen cia

en tre

dos

val ores

medidos

con

la mism a

c antidad. Es tam bién la diferen cia entre el valor medi do y el valor con ocido de u n a cantidad. L a dis crepan cia pequ eñ a entre dos

valores

in dica

qu e

probablem en te 68

no

hay

n in gu n a

equ ivocación y qu e los errores al eatorios s on pequeñ os . Sin em bargo, n o revela la m agn itu d de los errores s is tem áticos . Por ej emplo, al m edir con cinta, de ida y vu elta, un a l ín ea base de 300 m de l argo podría produ cirs e u na dis crepan cia de 0,012 m , pero s i n o s e calcularan las

correc ciones por pen dien te y

tem peratu ra, am bas m edicion es podrí an es tar errón eas .

b) C ONCORD ANCIA Es

la

precisión

en tre

dos

valores

m edidos

c on

la

mis ma

c antidad. Pero n o as egu ra exactitu d. Por ejem plo, dos medidas de u na dis tan ci a h ech as con un a cin ta qu e s e su pone tiene 50,000 m de lon gitu d pero qu e en realidad tiene 50,007 m , podrían res ultar s er 135,980m y 135,982 m. Es tos valores s on precis os

pero

no

exactos ,

pu es

hay

un

error

de

aproxim adam ente 0,021 m en cada un o.

c ) IN CERTIDU M BRE Es l a diferen cia vaga en tre el valor verdadero y l a can tidad m edida. Por ejem plo, la in certidumbre de u n án gulo es +-15", es u na expres ión vaga y, n in gú n obs ervador podrá determin ar el error en un in tervalo tan gran de.

F I GU RA N° 5.3. M AG NI TUDES DE L OS E RR ORE S

DISCREPANCIA CONCORDANCIA INCERTIDUMBRE EXACTITUD PRECISIÓN

69

d) PRECISIÓN Es el grado de posibilidad de repetici ón en tre varias m edidas de la m ism a can tidad, y s e bas a en el refinamien to de las m ediciones y en el tam añ o de las dis crepan cias . El grado de precisi ón alcan z able depen de de la s ens ibilidad del equ i po y de l a des treza de obs ervador.

e) EXACTITU D Es la abs olu ta cercanía al verdadero valor de un a medida. Un l evan tam ien to pu ede s er preci so sin s er ex acto.

5.6. APARICIÓN DE L OS ERRORES L o qu e caracteriza a un a m edición es qu e, s iem pre, con tien e error. El tam añ o del error pu ede redu cirs e por refin am ien to del equ ipo y aplican do un procedim ien to cu idados o. En gen eral, se pu eden es tablecer l os siguien tes : a) L os errores pequ eñ os ocu rren con m ayor frecu en ci a qu e los gran des , es decir, s on m ás probables . b) L os errores gran des ocu rren con poca frecu en cia y s on , por tan to, m en os probables . c) L os errores posi tivos y n egativos de la m is ma m agni tu d ocu rren c on igu al frecu en cia; es decir, s on i gualmen te probables .

5.7 CAL CU LO DE ERRORES A fin de com parar l a calidad relativa de varias s eries de m edidas fís icas de la mis ma can tidad, con vien e calcular un ín di ce num érico de la precisión de las obs ervaciones. Dos in dicadores mu y us u ales s on el error están dar y el error probable. 70

F I GU RA N° 5.4. I N DI C AD ORES MÁS USU AL ES DE E RR ORE S

a) ERROR ESTÁNDAR Tam bién llam ado des viación es tán dar o error m edio cu adrático, se

u tiliza

para

la

in terpretación

de

datos

biológicos ,

s ociológicos , psicol ógi cos , as í como datos relaci on ados , y en grado cada vez m ayor, para la va loración de obs ervaciones topográficas . L as ecu acion es los defin en son las s igu ien tes .

F O R MU L A N° 5.1. C Á LCU L O DE L E RRO R ES T ÁN D AR DE U N A S O LA MED ID A

σs = ±

∑v

2

(n − 1)

Tam bién :

F O R MU LA N° 5.2. C Á LCU LO DE L E RROR ES TÁN D AR DE L A ME DI A

σm = ±

71

∑v

2

n (n − 1)

As im is mo: F OR MU LA N° 5.3. C Á LCU LO DE L E RRO R PR O BABLE DE UN A ME DI D A

Es = ±0.6745σs

F O R MU LA N° 5.4. C Á L CU LO DE L E R ROR PR O BABLE DE L A ME DI A

Em = ±0.6745σm

Dón de: σ s = Error es tán dar de un a s ola m edida σ m = Error es tán dar de la media E s = Error probable de u na s ola m edida E m = Error probable de la media v

= res idu o

n

= n ú mero de medicion es

El error probable de u n a medida que form a parte de u na s erie es la m edian a o valor cen tral de todos los errores , o residu os , c u an do s e le agru pa en orden n umérico. Pu es to que el nú mero de errores m ayores que el error probable es igu al al de errores m enores qu e és te, la probabi lidad de qu e u n error exceda al probable es igual a l a qu e un error sea in ferior a és te, porqu e la probabilidad total es la u nidad. En con secuen cia, puede definirse el error probable com o la c antidad

que, su m ada o res tada del valor m ás probable, fija

l os l ím ites den tro de los cuales existe la m is ma probabi lidad de qu e s e h alle el val or verdadero de la can tidad m edi da.

72

C U A DR O N° 5.1. E JE MP LO DE C Á L CU LO ER RO RES N o.

Valor (m )

v

v2

1

2544.364

0.046

0.0021252

2

2544.252

-0.066

0.0043428

3

2544.481

0.163

0.0266016

4

2544.128

-0.190

0.0360620

5

2544.282

-0.036

0.0012888

6

2544.184

-0.134

0.0179292

7

2544.245

-0.073

0.0053144

8

2544.366

0.048

0.0023136

9

2544.425

0.107

0.0114704

10

2544.452

0.134

0.0179828

Prom edio

2544.318

M ED I C I Ó N

0.1254309

Reem plazan do: a) σ s =Error es tán dar de un a s ola m edida

σs = ±

∑v

2

(n − 1)

=

0.125430 = 0.118 (10 − 1)

b) Es =Error probable de un a s ola medida

E s = ± 0.6745 σ s = 0.6745 (0.118 ) = 0.080

c) σ m =Error están dar de la media σm = ±

∑v

2

n (n − 1)

=

0.125430 = 0.037 10 (10 − 1) 73

d) Em = Error probable de la m edia E m = ± 0.6745σ m = 06745 (0.037 ) = 0.025

RESPU ESTAS V P = Val or m ás probable

2544.318 m

= Error es tán dar de un a s ola m edida

±0.118 m

Es = Error probabl e de un a sola m edida

±0.080 m

σ m = Error están dar de l a media

±0.037 m

Em = Error probable de la m edia

±0.025 m

σs

Cu adro N° 5.2. O TR O E JE MP LO DE C Á LC U LO E R RORE S N o.

ÁNGULO MEDID O

M ED I C I Ó N G R A D MI N S E G

v

v2

D EC I M A L

1

359 59 12

359 .98 6 667

-0 .0 05092

0 .0000 26

2

359 59 24

359 .99 0 000

-0 .0 01759

0 .0000 03

3

359 59

359 .98 5 556

-0 .0 06203

0 .0000 38

4

359 59 36

359 .99 3 333

0 .001 5 74

0 .0000 02

5

359 59 54

359 .99 8 333

0 .006 5 74

0 .0000 43

6

359 59 45

359 .99 5 833

0 .004 0 74

0 .0000 17

7

359 59 32

359 .99 2 222

0 .000 4 63

0 .0000 00

8

359 59 54

359 .99 8 333

0 .006 5 74

0 .0000 43

9

359 59 18

359 .98 8 333

-0 .0 03426

0 .0000 12

10

359 59 45

359 .99 5 833

0 .004 0 74

0 .0000 17

11

359 59 24

359 .99 0 000

-0 .0 01759

0 .0000 03

12

359 59 12

359 .98 6 667

-0 .0 05092

0 .0000 26

8

359 .99 1 759 74

0 .0002 31

Reem plazan do: a) σ s =Error es tán dar de un a s ola m edida σs = ±

∑v

2

(n − 1)

=

0.0002306 = 0.004579 (12 − 1)

b) Es =Error probable de un a s ola medida E s = ± 0.6745σ s = 0.6745 (0.004579 ) = 0.003088

c) σ m =Error están dar de la media σm = ±

∑v

2

n (n − 1)

=

0.002306 = 0.001322 12 (12 − 1)

d) Em = Error probable de la m edia E m = ± 0.6745σ m = 06745 (0.01322 ) = 0.000892

RESPU ESTAS V P = Valor m ás probable

2544.318 m

= Error es tán dar de un a s ola m edida

±0.04579°

Es = Error probable de un a sol a m edida

±0.003088°

σ m = Error es tán dar de la medi a

±0.001322°

Em = Error probable de la m edia

±0.000892°

σs

b) ERROR REL ATIVO

F O R MU LA N° 5.5. C Á LCU L O DE L E RRO R RE L A TIVO

Er = 75

σs Ma

c) ERROR TEM IBLE

F O R MU L A N° 5.6. C Á LCU L O DE L E RRO R TE MI BLE

E t = 3Er

d) V AL OR M AS PROBABL E

F O R MU L A N° 5.7. C Á L CUL O DE L V A LOR M Á S P RO BA BLE

Vmp =

∑ serie n

e) M EDICI ONES PO NDERADAS Has ta ah ora se ha s u pu es to qu e todas las m ediciones s e h an h echo bajo

las

mis m as

con diciones

y qu e s on

de igu al

calidad. Sin em bargo, a veces un a obs ervación de u n a s erie pu ede s er m ás con fiable que otra. Es a observac ión debe ejercer m ayor influ en ci a s obre el c ál cu lo de resul tados . Al grado de con fiabilidad s e le den omina pon deración o peso de la medici ón . Es el valor relativo de es a obs ervación res pecto a las dem ás de la s erie. Se ex presa com o un n úm ero y, s iendo del todo relativo, pu ede mu ltiplicars e por cu alqu ier fac tor, s iem pre y cu an do todos los dem ás de la serie s e mu ltipli quen por la m ism a can tidad. L a ecuación gen eral para u na media pon derada, es :

F O R MU LA N° 5.8. C Á L CU LO DE U NA ME DI D A P ONDE R AD A

Mp =

w1M1 + w2M2 + w3M3 + .... + wnMn w1 + w 2 + w3 + .... + wn 76

L a asign ación de pesos depen de en gran m edida del criterio, bas ado

en

la

ex perien ci a

y

en

el

con ocimien to

de

las

con dicion es de cam po y en el m om en to en que s e efec tu aron las lectu ras y m edicion es Al Calcular el valor medio de algu n a can ti dad a partir de dos o m ás s eries de m edidas , es lógi co con siderar la precis ión calcu lada de cada un o de l os conju n tos o s eries . Se tom an los pes os in vers amente proporcion ales al cu adrado del error probable (o d del error es tán dar), o sea:

F O R MU L A N° 5.9. C Á L CUL O DE L V A LOR M ED IO UN A SER I E DE ME DI D AS

w1 w2

=

E22 E12

Ejem plo: Para ilus traci ón de un ajus te por ponderación , s u pón gas e qu e s e regis tran cu atro medidas de un a dis tan cia: 482.16, 482.17, 482.20 y 482.18, y qu e s e les dan pes os relativos de 1, 2, 2 y 4, res pectivam en te, por parte del J efe de Gru po (o bri gada) de topografía. L a m edida pon derada s e h alla mu ltiplican do cada

medida

por

su

pes o,

sum an do

l os

produ ctos

y

dividien do el total en tre la sum a de las pon deracion es . En es te caso, la m edia pon derada es :

Mp =

482.16(1) + 482.17(2) + 482.20(2) + 482.18(4) = 482.18m 1+ 2 + 2 + 4

Otro ejem plo: 77

Com o

s egu n da

il us traci ón,

c on sidéres e

que

los

án gul os

m edidos de un ci erto tri an gu lo s on : A = 49° 51’ 15”, pes o 1; B = 60° 32’ 08”, pes o 2; y C = 6 9° 36’ 33”, peso 3. L os án gulos

s e ajus taran

en

proporción

in vers a a sus

pes os

relativos , com o en la tabulación que se s igu e. El án gu lo C con el pes o m áxim o de (3), tien e la c orrección m ás pequeñ a, 2x; B recibe 3x; y A, 6x .

C U A DR O N° 5.3. C Á LCU L O DE MED ID AS PO NDE R AD AS

VÉR TIC E

ÁNGULO MEDIDO

PO N D E RA C I Ó N C O R R E C C I Ó N

C ORREC CIÓN

A NG U LO

CA LC U LA D A

C ORREG IDO

A

49 .8 54 167

1

6

0 .000 6 06

49 .854 773

B

60 .5 35 556

2

3

0 .000 3 03

60 .535 859

C

69 .6 09 167

3

2

0 .000 2 02

69 .609 369

179 .9 9 8889

6

11

0 .001 1 11

1 80 .00 0000

SU M A DEF ECT O

0 .0 011 11

0 .0001 01 0

5. 8 PROBL EM AS PROPUESTOS a) Con l os datos que mu es tran , calcular el error es tán dar de u n a s ola m edida,

el error es tán dar de la media, el error probable

de u na sola m edida y el error probable de la m edi a. Núm .

GRAD

MIN

SEG

1

12 5

36

12

12 5

36

12 5

36

2 3

78

24 33

4 5 6 7 8 9 10

12 5

36

12 5

36

12 5

36

12 5

36

12 5

36

12 5

36

12 5

36

36 54 23 32 43 18 45

b) Con l os datos que mu es tran , calcular el error es tán dar de u n a s ola m edida,


de u na sola m edida y el error probable de la m edi a. Núm .

GRAD

MIN

SEG

1

53 9

58

12

2

53 9

58

45

3

53 9

58

33

4

53 9

58

54

5

53 9

58

54

6

53 9

58

23

7

53 9

58

12

8

53 9

58

43

9

53 9

58

18

10

53 9

58

23

c) Con l os datos que mu es tran , calcular el error es tán dar de u n a s ola m edida,


de u na sola m edida y el error probable de la m edia.

79

Núm .

GRAD

MIN

SEG

1

1 ,280

15

12

2

1 ,280

15

35

3

1 ,280

15

33

4

1 ,280

15

54

5

1 ,280

15

26

6

1 ,280

15

23

7

1 ,280

15

56

8

1 ,280

15

43

9

1 ,280

15

15

10

1 ,280

15

23

d) Corregir las m edidas del polígon o que m ues tra V ÉRTIC E

Á N G U L O ME D I D O

PO N D E RA C I Ó N

A

49 .854 1 67

1

B

60 .535 5 56

2

C

69 .609 1 67

3

D

179 .99 88 89

6

e) Corregir las m edidas del polígon o que m ues tra V ÉRTIC E



A

71.635400

2

B

82.132400

2

C

102.240000

4

D

104.129260

1

80

f)

Corregir las m edidas del polígon o que m ues tra V ÉRTIC E



A

85 .3 45 542

2

B

101 .2 5 2069

5

C

170 .1 3 6601

4

D

85 .5 48 786

1

E

95 .5 97 724

4

F

182 .2 6 6917

3

g) Corregir las m edidas del polígon o que m ues tra V ÉRTIC E



A

178.775050

2

B

89.132452

4

C

91.617760

4

D

175.104794

2

E

94.828609

4

F

90.313052

1

h ) Corregir las m edidas del polígon o que m ues tra V ÉRTIC E



A

88 .518 8 69

1

B

100 .71 66 48

5

C

167 .83 53 87

4

81

i)

D

90 .053 0 64

2

E

93 .425 6 06

6

F

178 .82 68 97

1

Corregir las m edidas del polígon o que m ues tra V ÉRTIC E



A

176 .37 92 07

1

B

88 .270 3 84

5

C

94 .869 8 26

3

D

173 .66 03 53

2

E

93 .623 9 03

3

F

93 .062 8 63

3

82

C A P ÍT U LO VI

MEDIDA DE DISTANCIAS

6.1. INTRODU CCIÓN La

m edición

m ayoría

de

de

dis tan cias

los

trabajos

es

un

elem ento

topográficos .

La

im portante dis tan cia

en

la

puede

determ in ars e a pas os , median te podóm etro, odóm etro, es tadia vertical

y

h orizontal,

tri an gul ación,

trilateración

y

dis pos itivos

electrón icos , pero la m edición con cin ta es todavía el prin cipal m étodo para efec tu ar m edicion es de dis tan cia.

6.2. CI NTAS L as cin tas topográficas m ás com un es se fabrican de fleje de acero de s ección cons tan te, con gradu acion es a in tervalos regu lares . Otras s e h acen de un a al eación de acero o de tela metálica o n o m etálica.

Exis te

una

gran

diversidad

de

cin tas

en

cu an to

a

lon gitu des , an ch os y m odos de gradu ación .

6.3. ACCESORIOS DE MEDICIÓN Su ele u tilizars e divers o equ ipo acces orio con las cin tas a fin de real izar l a medición de dis tan cias .

a) FICHAS DE CADENERO L os alfileres de acero con argolla en u n extrem o y pun ta en el otro se den om in an , tam bién , FL ECHAS DE CADENAM IENTO. Se u tilizan para m arcar los extrem os de l a cin ta s obre el terren o y

83

para s eñalar el nú mero de lon gitudes de cin ta en un a línea dada.

b) DINAM ÓM ETRO DE RESORTE Se u tiliza para aplicar la tensi ón apropiada a la cinta cu an do van a realizar m edicion es mu y cu idados as .

c ) M ORDAZA Se em plea para aprision ar el fleje plan o de la cin ta de acero sin torcerlo, cu an do s e mide m en os de u na lon gitu d com pleta de c in ta.

6.4. CAL IBRACIÓN L a calibración es la comparación de u n ins tru m en to o dis pos itivo con

un

patrón

para

determin ar

el

valor

del

ins trumento

o

dis positivo en términ os de u na u nidad adoptada. Se considera qu e u n a cin ta es tá calibrada cu an do la dis tan cia entre sus m arcas extremas s e determin ó m edi an te la com paración de és ta, bajo con dicion es pres critas , con un patrón qu e represen ta a dicha u nidad. Todas las c in tas de acero para topografía es tán bien gradu adas por el fabri can te bajo con dicion es con troladas de tem peratu ra, tens ión

y

apoyo.

Pero

cu an do

se

trabaja

en

el

cam po,

las

con dicion es s on diferentes . Para trabajos de baja exactitu d, podría des preciars e el m on to del error

en

prom edio,

la

lon gitu d

pero

para

de

la

cin ta,

m edicion es

en de

con diciones más

alta

de

calidad

cam po podría

res u ltar im pres cin dible con ocer la lon gitu d exacta de la cin ta. Para fines de com paraci ón , el patrón puede ser un a cin ta m aes tra qu e 84

n o s e u tilice en el cam po, a fin de protegerla c on tra dañ os , o bien , u n a lín ea Bas e local, con la lon gitud de la cin ta, c uyos extrem os es tén

s ólidam en te

m onu men tados

y

cu ya

lon gi tud

se

h aya

determ in ado h as ta el diezmill on és im o de m etro con un a cin ta m aes tra.

6.5. PROCEDIM IENTO DE M EDICIÓN CON CINTA L os

m étodos

son

variables

debi do

a

diferen cias

en

los

requ erim ien tos del proyecto, en el terren o, en la cl as e de cin ta y en otros factores com o las preferencias pers on ales de los jefes de bri gada

y

las

prácti cas

es tablecidas

de

las

organi zaciones

topográficas . En gen eral, exis ten dos métodos básicos para m edir dis tan cias con cin ta;

se

den ominan

M EDICIÓN

CON

CI NTA

HORIZ ONTAL

y

M EDICIÓN CON CINTA INCL INADA. En el primer m étodo, la cin ta s e coloca horizon talmen te y las posicion es de las marcas fin ales o in termedias s e trans fieren al terren o. En l a m edici ón con cin ta in clin ada, se determin a la pen diente de l a cin ta, y s e calcula la dis tan cia h orizon tal corres pon dien te. Para la m edición correcta por cu alquier m étodo s e requi ere la s ujeción

adecu ada

aplicación

de

plom adas

y colocación

factores

la

de la

–com o

tens ión

cinta, s u correcta,

cuidados o la

alin eamien to, la

h abilidad

en

el

us o

de

de fich as , y el c on oci mi en to de otros

la tem peratu ra-

qu e afectan

la

calidad

de la

m edi ción .

6.6. M EDICIÓN EN PENDIENTE Siempre qu e la c in ta pueda s er colocada con veni entem en te en el terren o –no im porta qu e tan pron un ciada sea la pen dien te- deberá preferirse as í, ya qu e, es te método es m ás exacto y rápido que 85

tratar de s os ten er h orizon talm en te y bajar los pun tos al terren o con plom adas . L a ún ica diferen cia entre es te m étodo y el de medición s obre terren o plan o es qu e debe aplicars e un a corrección , cu ya m agni tud s e cons iderará en seguida. De la figu ra, resulta eviden te qu e el valor de la correcc ión C g es la diferen ci a en tre s y h , la hipoten us a y el cateto horizon tal del tri ángu lo rectán gu lo cu yos lados s on s, h y v. La

rel ac ión

de

l os

v/h

se

den omina

PENDIENTE,

y

s u ele

expres ars e en porcen taje; o s ea, la elevación o caí da en un a dis tan cia de 100 m etros . Así un a pen dien te de 1% es aquella para la cu al el desn i vel v es de u n m etro, en u na dis tan cia h oriz on tal de 100 metros . L a pen dien te s e expres a en veces de grados de arco, in dican do

el

án gu lo

vertical

en tre

la

h orizon tal

y

el

terren o

in clin ado, pero es ta prácti ca n o es com ún en las mediciones con cin ta. Segú n se vio, la c orrección C g es igu al a la diferen cia s -h , qu e pu ede dedu cirs e del trián gulo rectángu lo c omo s igu e: s 2 = h 2 + v 2 , o bien , s 2 - h 2 = v 2 , de lo cu al:

F O R MU LA N° 6.1. C Á LCU LO DE LA PE ND IE NTE 1

(s − h ) (s + h ) = v 2 o tam bién : F O R MU LA N° 6.2. C Á LCU LO DE LA PE ND IE NTE 2

v2 (s − h ) =

s +h

Por lo regu lar, s e des ea obten er el valor de C g cu an do s e con oce el valor de v (m edido en el cam po) y la dis tan ci a inc lin ada es de 20 m ; as í , h es la in cógnita. En el miembro derech o de la ecu ación , la rel ación v 2 /(s+h) es usu al men te u n nú mero pequeño, y com o s y h 86

cas i igu ales en m agn itu d, el error qu e s e in trodu zca s erá tam bién pequ eño si s e s u pon e qu e s y h s on igual es . Con es te su puesto la ecu ación qu eda:

F O R MU LA N° 6.3. C Á LCU LO DE COR RECC I ÓN DE LA PE ND IEN TE

v2 2s

Cg =

debe n otars e que l as m edicion es inclin adas pu eden con vertirs e a h ori zon tales m edian te el án gulo vertical de in clin ación del terrenoα, obtenido con u n Teodolito o clis ím etro y aplican do la expres ión :

F O R MU LA N° 6.4. C Á LCU LO DE MED I DAS I NC LIN A DA S A HOR I Z ONT A LES

h = s(cos α ) Es te método produ ce res ultados s atis factorios y es fácil de aplicar cu an do el án gulo h orizon tal pu ede medirs e bien .

6.7. C ORRECCIO NES EN L AS M EDICIO NES CON CINTA La

exactitu d

relativa

pres crita

para

una

m edición

con

cin ta

determ in ará el cu idado con el que se realice el trabajo de c ampo, y

con dici onará

tam bién

el

grado

de

refin amien to

de

las

correcci on es qu e se apli qu en a los datos origin ales u obs ervados . En gen eral, toda m edici ón deberá corregirs e a fin de obtener la lon gitu d

verdadera

o m ejor,

porqu e la

cin ta

tien e

l a lon gitu d

correcta (c alibrada) s olo bajo con dici ones es pecíficas de tensión , temperatu ra y apoyo. Adem ás , cuan do los pun tos de apoyo n o es tán en la m is ma elevación , será n eces aria un a corrección por pen dien te. L as prin cipales fu en tes de error en el trabajo de medic ion es con cin ta

pueden

iden tificars e

en

correcci on es : 87

térm in os

de

las

sigui en tes

a) CORRECCIÓN POR LONGITUD L a lon gitu d de un a cin ta varía con la tem peratu ra, tens ión y m odo de apoyo. L a diferen c ia en tre la lon gitu d n omi nal de un a ci n ta y s u lon gitu d real bajo las con dicion es de calibración s e con oce como corrección por lon gitu d, C l . L os cálcu los de las correccion es en las m edicion es con cin ta s iem pre comien zan con la lon gitu d n om in al. En ton ces , las con dicion es de us o en el cam po

determ in an

la

m agn itu d

y

el

sign o

de

las

demás

correccion es por aplicar a los valores obs ervados . As í, al com parar con u n patrón se h alla qu e la lon gitu d real de u n a cin ta es de 20.005 m , el verdadero val or s erá de 20.005 m, au n qu e la dis tan cia regis trada s ea 20.000 m . En cons ecuen cia, s i la cin ta es m ás larga, la correcci ón deberá su m ar a la l on gitu d an otada. Por ejemplo, s i va a m edirs e u n a dis tan cia con dich a cin ta y s e h all a qu e es de 200.76 m , el error res ultan te s erá 10 x 0.005 = 0.05 m , y por tan to, la lon gitu d corregida s erá 200.76 + 0.05 = 200.81 m .

b) CORRECCIÓN POR TEM PERATU RA. La

lon gitu d

calibrada

de

u na

cinta

es

tal

lon gitu d

a

un a

tem peratu ra de 20 °C (68°F). Cu an do la temperatu ra de un a ci n ta de ac ero s ea men or de 20 °C, la lon gitu d de la cin ta s erá m enor qu e s u lon gitu d cali brada e, in vers amente, cuan do la tem peratu ra excede de 20°C, la longitu d de la cin ta será m ayor qu e la calibrada. L a corrección C t qu e debe aplicars e a la l on gitu d

obs ervada

de

una

línea

debido

al

efecto

de

la

tem peratu ra s obre la cin ta de acero pu ede evalu ars e m ediante l a expres ión :

88

F O R MU L A N° 6.5. C Á L CUL O DE LA CO RREC C IÓ N PO R TE MPER A TU RA C t = 0.0000116 (T1 − To ) L

Don de

0.0000116

es

el

coeficien te

de

di latación

térm ica

lon gitu dinal del acero por cada 1°C, T 1 es la tem peratu ra en el cam po, T o es la tem peratura de calibración , y L es la lon gi tu d de la línea. Por ejem pl o, s i T o = 20°C y T 1 = 28.3°C, la corrección por tem peratura para un a cinta de acero de 20 m s ería:

Ct = 0.0000116 (T1 − To ) L

Ct = 0.0000116 (28.3 − 20 ) 20 = 0.0019m

c) CORRECCIÓ N POR PENDIENTE Cu an do se

efectúa

un a m edición

con

la

cin ta

en

posi ción

in cl in ada, la dis tan cia in clin ada s erá s iem pre m ayor qu e la dis tan ci a h orizon tal proyectada. L as equi vocacion es al tratar de s uj etar h orizontalm en te la c in ta, o al determ in ar la pen dien te, produ cirán errores cu ya m agnitu d pu ede calculars e como ya s e expli có.

d) CORRECCIÓN POR AL INEAM IENTO El efecto de la in exactitu d al colocar la cin ta en línea es el m is mo en n atu raleza y m agnitu d que el debido a la pen dien te. Sin em bargo, pu ede con trolarse c on m ayor facilidad qu e es te ú ltim o, y los errores resu ltan tes s uelen s er pequ eñ os

89

Por ejem plo, qu é error resu lta s i se tiene el extremo de un a cin ta de 30 m , 0.80 m más abajo. 2

Error =

(0.8) v2 = = +0.011m 2s 2x30

e) CORRECCIÓN POR CATENARIA U n a cin ta apoyada s olo en los extrem os form ará en el c en tro u n a caten aria cu yo tamañ o es fun ción de s u pes o por u nidad de lon gitu d y de tensión . El efecto acortador de la caten aria es , es en cialm en te, l a diferen ci a en tre la lon gitu d de l a cu rva qu e form a la cinta y la de la cu erda en tre los extrem os . L a caten aria h ace que la dis tan cia regis trada s ea m ayor qu e la l on gitu d real m edida. Cu an do la cin ta es tá apoyada en su pun to m edio, el efecto de la caten aria en los dos claros s erá mu ch o men or qu e cu an do está apoyada n ada m ás qu e en los extremos L a c orrección por caten aria, C s , pu ede calculars e median te la ecu ación :

F OR MU LA N° 6.6. C Á LCU LO DE L A CORR EC C IÓ N POR CA TE N AR IA

Cs =

W2L 24P2

Dón de: W es el pes o de la cin ta en tre apoyos ; L es el in tervalo en tre apoyos ; y, P es l a tens ión de la cin ta Ejem plo. Un a cin ta de acero de 20 m pes a 0.75 Kg. y es tá apoyada en los extremos s olam en te, con un a ten sión de 5 k g. Halle la correcci ón por caten aria.

Cs =

W2L 0.752 x20 = = −0.019m 24P2 24x52

90

Otro. Un a cin ta de acero de 30 m pes a 0.336 Kg. y es tá apoyada a l os 0, 15 y 30 m , con una tens ión de 5 k g. ¿Cu ál es la corrección por caten aria?

 (0.168)2 15  W2L  2 = −0.001m Cs = =  2  24P2 24 5 ( )  

f)

CORRECCIÓN POR TENSIÓN

Pu es to que la cin ta de acero es elás tica en cierto grado, su lon gitu d s e modifi cará por variacion es en la tens ión aplicada. Es te cam bio de lon gitu d n o s e refiere al efecto sobre caten aria debido

a

variaciones

en

la

tens ión ,

s in o

m ás

bien

a

la

deform ación elás tica de la cin ta. L a corrección pu ede es tim ars e median te la expres ión

F O R MU LA N° 6.7. C Á LCU LO DE L A CO RREC C IÓ N PO R TEN SI ÓN

Cp =

(P1 − Po )L AE

Dón de: Cp =

Al argam ien to de la cinta de lon gitu d L , en metros

P1 =

Tens ión aplicada, en k ilogram os

Po =

Tens ión de calibrac ión , en k ilogram os

A =

Área trans vers al de la cin ta, en cen tím etros cu adrados

E =

M odulo de elas ticidad del material de l a cin ta (para el acero es de 2’ 100000), en k ilogram os por cen tím etro cu adrado

91

Ejem plo. Un a cinta de acero de 20 m con un área trans vers al de 0.030 cm 2 tien e la lon gitu d correcta bajo un a tensión de 5 k g. Calcu le el alargamiento debido a u na tens ión de 10 k g.

Cp =

(P1 − Po ) L AE

=

(10 − 5) 20 = +0.0016m (0.030)(2100000)

6.8. M EDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS Tradi cion almente, las dis tan ci as s e h an medi do por comparación direc ta con algun a u nidad de lon gitu d es tablecida, com o en las m edi ciones con caden a o cin ta. Pero pu eden em plears e otros procedim ien tos qu e im plican la medición de magnitu des de las qu e s e obtien e la dis tan cia en form a in directa, median te cálculo.

TAQUIM ETRÍA L a palabra taquim etría s e deriva del griego y s ign ifica “m edición rápida” . Gen eralmen te

se aplica

a la

obten ción

de

dis tan cias

des de u n a pos ición del ins trum en to – por lo regu lar, u n teodolitom edi an te la m edición de un án gu lo pequ eñ o, opu es to a s u bas e con ocida. L os prin cipios m atemátic os de la taqu im etría fu eron es tablecidos en 1639 por el astrón om o in glés Will iam Gas cogine. L os ins trum en tos taquimétricos pu eden tener bas e den tro de s í, o h acer us o de un a bas e extern a.

M ÉTODO DE ESTADIA Es un método rápido de medici ón de dis tan cias y s us res ultados s uficientemente con fiables para ci ertos trabajos topográficos . Si las con dicion es s on favorables , el error n o exc ederá de 1/500. En los l evantamien tos con cin ta de acero, pu ede em plears e a fin de

92

detectar

equi vocaciones .

En

com bi n ación

con

la

m edi ción

de

án gulos verticales , perm ite calcu l ar desn iveles . El método de es tadia s e em plea en levantam ien tos topográficos e h idrográficos aun qu e, en general, su us o h a venido redu cién dos e por

los

n otables

avan ces

logrados

en

c iertos

cam pos

de

la

topografía, com o la c artografía aérea. El equipo requ erido para las mediciones con estadia cons is te en u n es tadal y un teodolito cu yo teles copio es tá provis to de dos hilos d estadia. Es tos s e hallan en el anillo de la retícula, un o arri ba y otro abajo del hilo h orizon tal c entrado. El es tadal es tá graduado en m etros , decím etros y cen tím etros dispu es tos en varias form as . L as lectu ras s e hacen fi jan do el h ilo in ferior s obre un a m arca de m etro cerrado y observan do don de el hi lo s u perior corta al es tadal. L a diferen cia en tre l as dos lectu ras s e den om in a INTERVAL O, y con stitu ye un a medida de la dis tan cia del ins trum en to al es tadal. Para m edir dis tan cias in directam en te, u tiliz an do es tadal y teodolito, s e u tiliza la ecu ación :

F O R MU LA N° 6.8. C Á LCU LO DE DIS T A NC IA S CO N ES TAD I A

D = kr Dón de: D =

Dis tan cia in directa

k =

Factor por el qu e h ay qu e multi pl icar cada diferen ci a de lectu ra. Se le denom in a, tam bién , coeficien te de es tadia o con stante de es tadia del ins trum en to

r =

Diferen cia de la lectu ra su peri or y la lectu ra in ferior

6.9. M EDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS I N CL INADAS En l a práctica es poco frecu en te ten er visu ales h orizon tales al m edi r

con

es tadia.

Por

tanto,

con vien e

ex ten der

las

con sideraciones teóric as al cas o de vis u ales in cl in adas . En terren o 93

in clin ado,

se

pu eden

obtener

las

distan cias

h orizon tales

y

el

desn ivel en tre dos pun tos , por el m étodo de es tadia, s i s e lee, además del in tervalo en el estadal, el án gulo de in clin ación de la vis u al en el círculo vertical. En con diciones normal es s e obten drán res u ltados su ficien tem en te s atis factorios , aplican do las ecu acion es :

F Ó R MU LA N° 6.9. C Á LCU LO DE DI S TA NC IA S VE R TI C A LE S CON E S TAD I A

V = k .r (sen.α )

F Ó R MU L A N° 6.10. C Á LCU L O DE D IS TANC I AS HO RI ZON TA LE S C ON ES TA D IA

H = k .r .(cos α )

EJ EMPL OS: Dados r = 0.966, k = 100, y α = 4°20’, calcu l ar H y V.

H = k .r (cos α ) = 100x 0.966x 0.997141 = 96.3239m V = .k .r (senα ) = 100x 0.966x 0.075559 = 7.2990m

6.10. PROBL EM AS PROPUESTOS a. Calcu lar el valor de la corrección para u n a cin ta de acero de 50 m etros , s í T o = 20°C y T 1 = 28.3°C. b. Cu ál es el error resulta si se tien e el extrem o de un a cin ta de 20 m , 0.85 m m ás abajo. c. Calcu le el alargamien to debido a u na ten sión de 12 k g de un a c in ta de acero de 30 m qu e tiene un área trans vers al de 0.030 c m 2 s í tien e la lon gitu d correcta bajo u n a tensión de 6 k g. d. Calcu lar la dis tan cia vertical y la dis tan cia h orizon tal sí, r = 0.978, k = 100, y α = 4°28’ .

94

e. Calcu lar el valor de la corrección para u n a cin ta de acero de 100 m etros , s í T o = 22°C y T 1 = 25.3°C. f.

Cu ál es el error resulta si se tien e el extrem o de un a cin ta de 75 m , 0.58 m m ás abajo.

g. Calcu le el alargamien to debido a u na ten sión de 15 k g de un a c in ta de acero de 50 m qu e tiene un área trans vers al de 0.036 c m 2 s í tien e la lon gitu d correcta bajo u n a tensión de 10 k g. h . Calcu lar la dis tan cia vertical y la dis tan cia h orizon tal sí, r = 0.678, k = 100, y α = 2°28’ . i.

Calcu lar el valor de la corrección para u n a cin ta de acero de 100 m etros , s í T o = 20°C y T 1 = 29.5°C.

j.

Cu ál es el error res ulta s i s e tiene el extrem o de u n a cinta de 100 m , 0.78 m m ás abajo.

k . Calcu le el alargamien to debido a un a tens ión de 10k g de un a c in ta de acero de 100 m qu e tiene un área tran s vers al de 0.140 c m 2 s í tien e la lon gitu d correcta bajo u n a ten sión de 10 k g. l.

Calcu lar la dis tan cia vertical y la dis tan cia h orizon tal sí, r = 1.648, k = 100, y α = 6° 36’ .

95

C A P ÍTU LO VII

NIVELACIÓN COMPUESTA

7.1. INTRODU CCIÓN L a ni velación , es un término gen eral qu e aplica a cualqu iera de los divers os procedim ien tos altimétricos por m edio de los c uales se determ in an elevacion es o n iveles de pu n tos , o bien , di feren cias de elevación o desn iveles , es u n a operaci ón vital para obtener los datos

neces arios

con figu rac ión

y

para en

la

elaboración

proyectos

de

de m apas

obras

de

o

plan os

i ngen iería

y

de de

con stru cción . Los res ultados de la nivelación s e u tilizan : a) En los proyec tos de c arreteras , ví as férreas y can ales qu e h an de ten er pen dien tes qu e s e adapten en form a óptim a a la topografía existen te; b) Situ ar

obras

de

c on s tru cci ón

de

acu erdo

a

el evaciones

plan eadas ; c) Calcu lar volú men es de terracerías ; d) I nves tigar las caracterís ticas de es cu rrim iento y dren aje de regiones ; y e) Elaborar mapas y plan os qu e mu es tren la con figu raci ón gen eral del terren o.

7.2. AL GU NA S DEFINICIONES Se defin en a con tinu ación los con ceptos bás icos qu e s e em plean en la nivelación y s e ilu s tran en la figu ra.

a) L ÍNEA VERTICAL Recta qu e va h as ta el cen tro de la Tierra des de cu alquier pun to dado, e in dica la dirección de la gravedad. Com ú n men te s e c ons idera m aterializada por el hil o de un a plom ada. 96

b) SU PERFICIE DE NIVEL Su perficie

c u rva

qu e

en

cada

uno

de

sus

pun tos

es

perpen dicu lar a la vertical res pectiva. Las su perficies de nivel s on

de

form a

aproximadamen te

es férica

o

es feroidal.

La

s u perficie libre de un a mas a de agu a tran qu ila reprodu ce un a de tales s u perficies . En topografía plana s e cons i dera a u na s u perficie de n ivel com o un a su perficie plan a.

F I GU RA N° 7.1. E LE MEN TO S DE UNA N IV ELA C IÓ N

c) L ÍNEA DE NIVEL L ín ea conten ida en un a su perfici e de n ivel y qu e es , por tan to, c u rva.

d) PL ANO HORIZO NTAL Plan o perpen dicular a la vertical de un lu gar.

97

e) L ÍNEA HORIZONTAL Recta perpen dicul ar a la vertical.

f)

SU PERFICIE DE REFERENCIA Su perficie de nivel a la cu al s e refieren las elevaciones (por ej emplo, el nivel m edio del m ar). Se le llam a a veces pl an o dato o plan o de com paración , aun qu e real men te n o s ea un pl an o.

g) NIVEL M EDIO DEL M AR (NMM ). Altu ra media de l a s u perficie del m ar según todas las etapas de m area en un periodo de 19 añ os . Se determin a por lectu ras tom adas gen eralm en te a in tervalos de un a h ora.

h ) EL EVACIÓN O C OTA Dis tan cia vertical m edida des de un pl an o o n ivel de referen cia h as ta un pun to o plan o dados . Si la elevación del pun to A es de 456.674 m, se dice qu e la cota de A es 456.674, res pecto de al gún plan o de referen ci a. La elevación de u n pun to s obre el n i vel medio del mar es s u coorden ada geográfi ca llamada al ti tud.

i)

BANC O DE NIVEL (BN) Objeto n atu ral o artificial relativamen te perman en te, qu e tien e u n pu n to fijo m arc ado cu ya elevación arriba o abajo de un plan o de

referen cia

adoptado,

se

conoce

o

se

s u pon e.

Algun os

ej emplos de ban c os de nivel s on di s cos de m etal fij ados en c onc reto, rocas gran des , partes no m ovibles de bu zones de des agü e o bordes de aceras o ban qu etas .

98

j)

NIVEL ACIÓN Proces o alti métrico qu e se s igu e para determi nar elevacion es de pu n tos , o bien , diferen cias de elevaci ón en tre pun tos .

k ) CON TROL VERTICAL Serie de ban cos de n ivel u otros pun tos de cota con ocida que se

es tablecen

para

un

trabajo

de

topografía

o

geodesia;

tam bién s e llam a con trol básico de ni vel.

7.3. CURV ATU RA Y REFRACCIÓN Por las definicion es de su perficie de nivel y de lín ea horiz on tal , es eviden te qu e es ta úl tima s e s epara de u na su perfici e de ni vel a cau sa de la cu rvatu ra de la Tierra. En la figu ra 7.1. la des viación vertical DB de u n a línea h orizon tal qu e pas a por el pun to A, es tá expres ada aproxim adam en te por la fórmul a:

F Ó R MUL A N° 7.1. C Á L CU LO DE LA DES V IA C IÓ N VE R TI C A L C = 0.0785 K 2

en la cu al el alejamien to de u n a su perfi cie de nivel res pecto a un a lín ea h orizon tal es C en m etros y K s us dis tan cia en k ilómetros . Com o los pu n tos A y B es tán s obre u n a lín ea de n ivel , tien en la m is ma elevación . Si la vis u al fu era h orizon tal, la cu rvatu ra de la Tierra

oc as ion arí a

qu e

la

lectu ra

en

un

es tadal

(o

m ira

de

n ivelación ) pu es to en B es taría au m en tada en la m agn itu d BD. L os rayos de lu z qu e atravies an la atm ós fera de la Tierra s on des viados o refractados h acia la s uperfici e de la mism a, como s e ilus tra en la figu ra. As í, un a vis u al teóricamente h orizon tal, como AH en la figu ra, s e des vía de la trayectoria cu rva AR. El resu ltado es qu e u n objeto situ ado en R parece es tar en H, y la lectu ra qu e 99

s e toma en un es tadal em plazado en R se ve dism inu i da en la dis tan cia RH. El efecto de l a refracción , qu e h ace qu e los objetos parezc an m ás altos de lo qu e en reali dad están (y com o con s ecu en cia, que las lectu ras de es tadal sean m en ores de lo qu e deberían s er). El des plaz amien to an gular que resu lta de la refracc ión es variable. Depen de de las con dicion es atm os féricas y del án gul o de un a línea vis u al forme con la verti cal. En el cas o de u n a vis ual h oriz ontal , la refracción R

en m etros , es tá expres ada aproxim adamen te por la

fórm ula:

F Ó R MU LA N° 7.2. C Á L CU LO DE LA RE FR AC C IÓ N R = 0.011 K 2 Es te val or es c asi l a s étima parte del efecto de la c urvatu ra de la Tierra, pero de sen tido con trario. El efecto com bin ado de la cu rvatu ra y la refracci ón , h

en m etros ,

es aproximadam en te:

F Ó R MU L A N° 7.3. C Á L CUL O CO M BIN AD O DE C URV A TU RA Y RE FR AC CI ÓN h = 0.0675 K 2

7.4. CL ASES DE NI VEL ACIÓN Por lo gen eral, las n ivelaciones pu eden s er directas e in directas . a) NIVEL ACIÓN DIRECTA Es la operación de determ in ar desn iveles mi dien do dis tan cias verti cales s obre un es tadal gradu ado, median te un i ns trum en to de

ni velación .

En

el

pas ado

es ta

técnica

se

den ominaba

n i velación de bu rbu ja, ja porqu e un tubo de n ivel lleno de éter o

100

de alcoh ol cons titu ía el medio es en cial para hacer h orizon tal la vis u al.

b) NIVEL ACIÓN INDIRECTA Qu e

a

su

vez ,

pu de

s er

barom étri ca

y

trigon om étrica.

La

n i velación barométrica s e apoya en el fen óm en o de qu e las diferen cias de elevación s on proporcion al es a las diferen cias en la

presi ón

baróm etro

atmos férica. en

varios

Con form e pun tos

de

a

el lo, la

las

lectu ras

su perficie

del

terres tre

proporcion an un a medida de las elevacion es relativas de tales pu n tos . La n ivelación tri gon om étrica s e bas a en la relac ión qu e ex is te en tre los án gu los verticales obs ervados y las distan cias h orizon tales o in clin adas medidas .

F I GU RA N° 7.2. C LAS ES DE N IVE L AC IÓ N

DIRECTA

INDIRECTA

7.5. INS TRU MENT O Y ACCESORIOS DE NIVEL ACIÓN El ins tru m en to básico us ado para m edir desn iveles es el n ivel de in gen iero. iero Aun que los h ay de mu ch os tipos y dis eñ os , consis te es en cialm en te en un teles copio para vis ar y u n dis pos itivo de n ivelación para m an ten er la visu al en pos ición h ori z on tal . Es te dis positivo pu ede s er un tu bo de alcoh ol, c u ya bu rbu ja debe cen trarse, o un pén dulo. Cu an do s e n ivela, cui dados amen te, el ins tru m en to y s e h ace gi rar alrededor de s u eje vertic al, la visu al 101

gen era aparen temen te un plan o h orizon tal. En ton ces , a partir de la elevación

de

la

vis u al

pu ede

determin ars e

la

elevación

de

cu alqu ier pun to cercan o qu e esté bajo es a visu al h as ta un des nivel igu al a la lon gitu d del es tadal. L os

trabajos

de

n ivel ación

requieren

del

us o

de

diversos

acces orios . En tre los más importan tes tenem os : al trípode, qu e s os tiene la plataforma o base del n ivel de in gen iero y m an tiene es table du ran te la obs ervacion es ; el es tadal es , es en cia, u na regla gradu ada qu e s e s os tiene en form a vertical y s irve para m edir un a dis tan cia vertical (diferen cia en elevación o desni vel) en tre un a vis u al y un pun to es pecífico qu e es té abajo o arriba de ella. E l pu n to pu ede s er u na es tación permanen te como un ban co de n ivel o u n a s u perficie n atu ral o artificial; la m iras de es tadal, s e us an cu an do

algu n as

con dicion es

n atu rales

entorpecen

l as

lectu ras

directas y es u n acces orio qu e s e m on ta s obre el estadal

y

con tiene un vernier qu e facilita las m edi ciones hasta el m ilés im o de m etro; las n iveletas , s e fijan s obre el es tadal y s on niveles qu e s irven para ayu dar a m an ten er verticalm en te al es tadal; los pu n tos de liga, s on pequeños trípodes que se colocan a ras del su elo para s ervir de apoyo es table al es tadal.

F I GU RA N° 7.3. I NS T RU ME NT OS Y A C CESO R IOS DE NI VE LA CI ÓN

102

7.6. OR DE NE S DE P RE CISIÓN La

n ivelaci ón

se

clasifica

en

tres

órden es

de

precisión .

La

clasificaci ón y las es pecificacion es fu eron elaboradas en U SA, por el Federal Geodetic Con trol Com mittee (FGCC) y pu bl icadas en 1974. L a calidad de la nivelación s e ju zga por los errores de cierre de lín ea o de circuito o por la diferen cia máxim a perm isible en tre las corridas h acia adelan te y h acia atrás de un tram o de un a línea n ivelada. Un er ror d e cierre de lín ea es la diferen cia en tre el des nive l m edido en tre dos pun tos de elevación fija y el desnivel corres pon dien te a las elevacion es es tablecidas de es os pu ntos . Un error de cierre de circu ito

es

la

m agn itu d

por

la

qu e

no

cierra

un

n ivelación . Pu es to qu e en la nivelación

todos los

acciden tales

el

en

cu anto

a

s us

efectos ,

error

circu ito

de

e rrores s on de

cierre

es

proporcion al a la raíz cu adrada del nú m ero de lectu ras . P or lo tan to, s u pon ien do qu e el n úm ero de lectu ras por ki l óm etro s erá s iem pre más o m enos el mis m o, la exactitu d o el val or del m áxim o error perm isible en el trabajo de nivelación se expres a com o un coeficien te multiplicado por la raíz cu adrada de la dis tan cia, en k ilóm etros , den otada en es te trabajo por K. Com o s e in dica en el Cu adro, los órden es de precisión de la calidad del trabajo de n ivelación para circuitos o lín eas s e es tablecen en términos de error de cierre m áxim o perm is ible. F I GU RA N° 7.4. O R DENES DE P REC IS I ÓN DE L A NIVE LA CI ÓN

FU E N T E : Fe d e r a l G e o de t i c C on t r o l C om m i t t e e, U S A , 1 9 7 4 .

103

L as

n ivel aciones

geodés ica,

y

su

de

prim er

estu dio

y

es tá

s egu n do fuera

del

o rden

s on

alcan ce

del

de

ín dole

pres en te

trabajo. En cam bio la n ivelación de tercer o rden s e asocia m ás com ún men te con los trabajos de in gen iería y es aquí de particular im portan cia.

Algun os

procedimientos

de

nivel ac ión ,

com o

la

barom étrica, se con sideran de cu arto orden , o men or. No exis ten n orm as es pecí fi cas para es te orden de precisión .

7.7. TÉC NICAS DE NIVEL ACIÓN a) NIVEL ACIÓN DIFERENCIAL Es la técn ica m ás us ada para determ in ar desn iveles . Con sis te, es en cialm en te, en u tilizar un nivel de in geniero con un a bu rbuja s ens ible, en el que es tablece un a lín ea vis u al h ori z on tal. Al n i velars e el ins trum en to, la lín ea vis ual se ajus ta de tal modo qu e s ea paralela al eje del nivel. Sí és te s e n ivel a, la visu al del i ns tru m en to, forma un plan o h orizon tal si el aparato s e gira al rededor de s u eje vertical. A las técnicas de nivel ación es tán as ociados u n a s erie de térm in os com únm ente em pleados , a algunos de ellos , pasam os a defin irlos brevemen te:

Ban co de Niv el. el (BN) Es un objeto perm an en te de elevación conocida. Debe es tar bien defin ido y local izado don de tenga la m en or pos ibilidad de s ufrir alteraci ones . Como ejem plos pu eden citars e un pos te de m etal o con creto fijado en el terreno, u n es calón cortado en la raíz de u n árbol , u n a cuñ a metálica clavada en u n árbol o pos te, un a es quina definida de un puente o edificio, o u n bu zón de des agü e.

104

P UNT O DE L I GA . (PL ) Es un objeto definido, firme, qu e cons erva tem poralm en te un a el evación du ran te el proces o de n ivelación en tre ban cos . A veces , un pu n to m arcado con tiza s obre u na ban qu eta s ervirá c omo un pun to de liga. Nu n ca debe us arse el cés ped y objetos débiles o m óvi les com o pun tos de liga.

V I ST A H A CI A A T R ÁS . (+) Es un a lectu ra de es tadal h echa sobre u n ban co de nivel o pu n to de liga de elevación con ocida. Es , pu es , la dis tan cia verti cal des de el ban co o pu n to de liga h as ta la vi su al.

A LT U R A DEL I N ST RU ME NTO . (- ) Es la elevación de l a vis ual. Se determ in a sum an do la lectu ra h aci a atrás de l a elevación del pun to s obre el que s e toma la l ectura. Algun as veces s e le llama elevación del in strum en to (EI).

V I ST A H A CI A A DEL A NTE . (-) Es u na l ectu ra de es tadal s obre un pu n to de liga u otro objeto c u ya elevación s e des con oce. Es , pu es , la dis tan cia vertic al de l a visu al al pu n to obs ervado. EJ EMPL O: Dada la figura, la elevación del ban co de n ivel 36 es de 278,349 m . La lectu ra h ac ia atrás (+) es 2,871 m . La lectu ra hacia adelan te (-) del pun to de liga es 0,448 m. L a lectu ra h aci a atrás (+) del pu n to de liga es 0,103 m , y l a lectu ra h aci a adelante (-) del ban co de nivel 37 es 0,887 m. Calcular la c ota del BN 37. E LEV AC IÓ N DE L BN 36

278.349 m

L E C TU RA H A CI A A TR ÁS DE L BN 36 (+) 105

2.871 m

A L TU R A DE L I NS TRU ME NT O

281.220 m

L E C TU RA H A CI A ADE LA N TE (PL ) (-) C O TA DE L PUN TO DE LI GA 1

0.448 m 280.772 m

L E C TU RA H A CI A A TR ÁS DE L PL (+) A L TU R A DE L I NS TRU ME NT O

0.103 m 280.875 m

L E C TU RA H A CI A ADE LA N TE (PL ) (-) E LEV AC IÓ N DE L BN 37

0.887 m 279.988 m

El regis tro de cam po para la n ivelación del ejem pl o, es el s igu ien te:

C U A DR O 7.1. R E G IS TR O DE C A MPO PA R A LA N IV E LAC IÓ N DI FE RE NC I A L

E ST A C I Ó N

L EC T U RA

A LTU RA

L EC T U RA

E L E VA C I Ó N

A TRÁ S

I N ST R U M EN T O

A D EL A N T E

(COTA)

BN 36

2.871

PL 1

0.103

278.349 0.448

BN 37

0.887

106

F I GU RA N° 7.5. N IVE L A CI ÓN C OMP UES TA

Calc ulan do en la Tabla C U A DR O 7.2. C Á L CULO DE LA S E LEV AC IO NES L EC T U RA

A LTU RA

L EC T U RA

ELEVACIÓN

A TRÁ S

I N ST R U M EN T O

A DELA NT E

( C O TA )

BN 36

2.871

281.220

PL 1

0.103

280.875

E ST A C I Ó N

BN 37 SU M AS

2.974

278.349 0.448

280.772

0.887

279.988

1.335

107

C U A DR O 7.3. C Á LCU LO DE L D E S NIVE L Cota Fin al (BN 37)

279.988 m

Cota Inicial (BN 36)

278.349 m

Des nivel (BN 36 - BN 37)

1.639 m

C U A DR O 7.4. C Á L CU LO DE LA C O MP RO BA C IÓ N DE L D ES N IV E L COM PROBACIÓN: Total de Lectu ras (+)

2.974 m

Total de Lectu ras (-)

1.335 m

Desn ivel Com probado

1.639 m

b) NI VEL ACIÓN RECIPROCA Cu an do u n a l ín ea cru za u n cu erpo de agu a exten so o u na h on don ada refracción

es y

afectada

desajus te

por

del

los

efectos

ins trum ento.

En

de

cu rvatu ra,

tal

cas o,

es

recomen dable ejecutar u na n ivelación recíproca. Es ta técnica s e ejecu ta fijan do el ins trum en to en m edi o de los pun tos cu yo desn ivel

se

reciprocas

des ea s erá

el

con ocer.

La

media

de

las

des n ivel

entre

los

pun tos

o

lectu ras ban cos

m edidos .

EJ EMPL O: En la figu ra 6.5., la elevación del BN 120 es 226,427 m . Si tu ado el n ivel de in geniero en la m argen i zqu ierda, la lectu ra h acia atrás fue de 1,442 m y la lectu ra h aci a adelan te de 1,911 m. En l a s egu n da pos ición (s obre la m argen derecha), la lectu ra h acia atrás fu e de 1,795 m y h acia adelan te de 2,326 m . Calc ular la el evaci ón del BN 121. 108

El desn ivel m edido es :

(1.442m − 1.911m) + (1.795m − 2.326m) 2

= − 0.500m

Por lo tan to, la elevación del BN 121 es :

2 2 6 .4 2 7m − 0 .5 0 0 m = 2 2 5 .9 2 7m

7.8. PROBL EM AS PROPUESTOS 1.

Con

los

datos

que s e mu es tra en

la tabla. Calcul ar los

desn iveles en tre las es tacion es de n ivel ac ión .

ESTA CI Ó N

2.

LECTU RA

A L T U RA D E L

L EC T U RA

A T RÁ S

I N S T RU M E N T O

A D EL A N T E

(m)

( m)

( m)

DISTA NC IA S

CO TA S

(m)

(m)

A

2.356

0.000

B

3.254

1.025

56.320

C

1.985

0.985

62.350

D

2.654

0.759

45.210

E

1.752

1.320

35.940

F

0.000

1.024

45.620

Con

los

datos


0.000 524.120



ESTA CI Ó N

LECTU RA

A L T U RA D E L

L EC T U RA

A T RÁ S


A D EL A N T E

(m)

( m)

( m)

A

1.035

0.000

B

0.965

1.654

109

DISTA NC IA S

CO TA S

(m)

(m)

0.000 125.480 121.320

3.

C

1.024

2.654

98.560

D

1.128

2.957

75.630

E

0.968

3.248

102.540

F

0.000

2.457

56.840

Con

los

datos




E ST A C I Ó N

4.

LECTU RA

A L T U RA D E L

L EC T U RA

A T RÁ S


A D EL A N T E

(m)

( m)

( m)

DISTA NC IA S

COTAS

(m)

(m)

A

3.254

0.000

B

2.125

2.354

56.310

C

1.058

1.254

24.870

D

2.654

3.325

45.970

E

3.365

2.654

85.640

F

0.000

3.254

106.450

Con

los

datos qu e s e mu es tra en

0.000 536.280

la

tabla.

Calc ular los

desn ivel es en tre las es tacion es de n ivelación .

ESTA CI Ó N

LECTU RA

A L T U RA D E L

L EC T U RA

A T RÁ S


A D EL A N T E

(m)

( m)

( m)

DISTA NC IA S

CO TA S

(m)

(m)

A

3.254

0.000

B

3.027

3.654

132.540

C

2.351

3.054

128.150

D

2.035

2.654

97.520

E

1.257

2.102

132.550

110

0.000 234.450

F

5.

Con

0.000

los

1.324


121.260

la

tabla.

Calc ular los


ESTA CI Ó N

6.

LECTU RA

A L T U RA D E L

L EC T U RA

A T RÁ S


A D EL A N T E

(m)

( m)

( m)

DISTA NC IA S

CO TA S

(m)

(m)

A

0.954

0.000

B

1.365

3.652

132.580

C

2.654

3.124

108.450

D

3.657

2.259

75.380

E

1.654

1.654

132.520

F

0.000

1.028

109.480

G

3.124

0.000

0.000

H

3.029

0.758

63.250

I

2.954

0.956

45.950

J

2.654

0.857

65.850

K

3.265

0.856

121.650

L

0.000

1.526

75.640

Con

los


0.000 826.420

la

tabla.

Calc ular los


ESTA CI Ó N

LECTU RA

A L T U RA D E L

L EC T U RA

A T RÁ S


A D EL A N T E

(m)

( m)

( m)

A

1.032

0.000

B

0.856

2.635 111

DISTA NC IA S

CO TA S

(m)

(m)

0.000 542.640 63.520

7.

C

1.024

3.024

56.650

D

1.632

3.124

66.540

E

0.965

2.965

54.850

F

0.000

2.856

62.310

Con

los


la

tabla.

Calc ular los


ESTA CI Ó N

8.

Con

LECTU RA

A L T U RA D E L

L EC T U RA

A T RÁ S


A D EL A N T E

(m)

( m)

( m)

DISTA NC IA S

CO TA S

(m)

(m)

A

0.864

0.000

B

0.964

3.965

121.250

C

1.654

2.564

96.650

D

2.594

1.254

123.250

E

3.954

2.957

122.540

F

0.000

3.125

112.540

los


0.000 425.860

la

tabla.

Calcu lar los


E ST A C I Ó N

L EC T U RA

A LTU RA DE L

L EC T U RA

A TRÁ S

I N ST RU M EN T O

A DELA NT E

( m)

(m)

(m)

D I ST A N C I A S

COTAS

(m)

( m)

A

3.254

0.000

B

0.625

0.654

86.320

C

2.957

3.452

96.320

D

0.325

1.254

79.540

112

0.000 428.240

9.

Con

E

1.624

3.654

84.250

F

0.000

3.965

86.360

G

3.124

0.000

0.000

H

3.029

0.758

63.250

I

2.954

0.956

45.950

J

2.654

0.857

65.850

K

3.265

0.856

121.650

L

0.000

1.526

75.640

los


la

tabla.

Calc ular los


ESTA CI Ó N

LECTU RA

A L T U RA D E L

L EC T U RA

A T RÁ S


A D EL A N T E

(m)

( m)

( m)

DISTA NC IA S

CO TA S

(m)

(m)

A

1.032

0.000

B

0.856

2.635

63.520

C

1.024

3.024

56.650

D

1.632

3.124

66.540

E

0.965

2.965

54.850

F

0.000

2.856

62.310

G

0.864

0.000

0.000

H

0.964

3.965

121.250

I

1.654

2.564

96.650

J

2.594

1.254

123.250

K

3.954

2.957

122.540

L

0.000

3.125

112.540

113

0.000 542.640

10.

Con

los


la

tabla.

Calc ular los


E ST A C I Ó N

L EC T U RA

A L T U RA D E L

L EC T U RA

A TRÁ S

I N ST RU M EN T O

A DELA NT E

( m)

(m)

(m)

D I ST A N C I A S

COTAS

(m)

( m)

A

3.254

0.000

B

0.625

0.654

86.320

C

2.957

3.452

96.320

D

0.325

1.254

79.540

E

1.624

3.654

84.250

F

0.000

3.965

86.360

114

0.000 428.240

C A P ÍT U LO VII I

NIVELACIÓN DE CIRCUTO CERRADO

8.1. INTRODU CCIÓN Es la determ in ación del perfil de u n ci rcui to, es decir, qu e la es tación de partida, tam bién , es la es tación de llegada. Por tan to, el error de cierre del circu ito perm is ible debería ser c ercan o a cero. Com o los errores de ci erre se bas an en la lon gitu d de las lín eas o en el nú mero de es tacion es del circu ito, es lógico que el ajus te de las cotas deba bas arse tan to en la lon gitu d de las lín eas de liga c omo en el nú mero de es tacion es . EJ EMPL O: C U A DR O 8.1. R EG IS TR O DE U NA NI VE LACI Ó N DE C IR CU I TO CER R AD O ESTACIÓN

LECTURA ATRÁS (m)

ALTURA DEL INSTRUMENTO (m)

LECTURA ADELANTE (m)

DISTANCIAS (m)

A

2.325

0.000

B

1.654

2.654

86.540

C

3.257

1.957

96.540

D

2.354

2.658

75.640

E

1.654

3.254

86.540

A

0.000

0.744

68.540

COTAS (m)

0.000 532.240

C U A DR O 8.2. C Á LCU LO DE CO TAS DE UN CI R CUI TO CER RA DO ESTACIÓN

LECTURA ATRÁS (m)

ALTURA DEL INSTRUMENTO (m)

LECTURA ADELANTE (m)

DISTANCIAS (m)

COTAS (m)

A

2.325

534.565

0.000

0.000 532.240

B

1.654

533.565

2.654

86.540 531.911

C

3.257

534.865

1.957

96.540 531.608

D

2.354

534.561

2.658

75.640 532.207

E

1.654

532.961

3.254

86.540 531.307

A

0.000

532.217

0.744

68.540 532.217

-0.023 115

8.2.

COM PROBACI ÓN DE C OTAS

C U A DR O 8.3. C Á L CULO DE COT AS C OR REG ID AS ESTA CIÓN

LECTURA A TRÁ S (m)

A LTURA DEL INSTRUM ENTO (m)

LECTURA A DELA NTE (m)

DISTA NCIA S (m)

COTA S (m)

DISTA NCIA S CORRECCIÓN COTA S A CUM ULA DA S DE COTA S CORREGIDA S (m) (m) (m)

A

2.325

534.565

0.000

0.000 532.240

0.000

0.000 532.240

B

1.654

533.565

2.654

86.540 531.911

86.540

0.005 531.916

C

3.257

534.865

1.957

96.540 531.608

183.080

0.010 531.618

D

2.354

534.561

2.658

75.640 532.207

258.720

0.014 532.221

E

1.654

532.961

3.254

86.540 531.307

345.260

0.019 531.326

A

0.000

532.217

0.744

68.540 532.217

413.800

0.023 532.240

11.267

-0.023

11.244

0.000

-0.023

8.3.

CL ASES DE NIVEL ACIÓN SEGÚ N EL ERROR DE CIERRE

1. NIVEL ACIÓN RÁPIDA. Es cu an do el error de cierre m áxim o obedece al error qu e in di ca l a s igu ien te ecu ación :

F Ó R MU LA 8.1. C Á LCU LO DE L E R RO R DE U N A NI VE LA CI ÓN R ÁPI D A

Ec = ±0.10 K

K, expres ado en Ki lóm etros

2. NIVEL ACIÓN OR DINARIA. Cu an do el error de cierre alcan za com o m áxim o el valor dado por la sigu ien te ecu ación :

F Ó R MU LA 8.2. C Á LCU LO DE L E R RO R DE U N A NI VE LA CI ÓN OR D IN AR I A

Ec = ±0.02 K

K, expres ado en Kil ómetros

3. NIVEL ACIÓN PRECISA. Cu an do el error de cierre m áxim o es tá dado por la s igu ien te ecuación :

116

F Ó R MU LA 8.3. C Á LCU LO DE L E R RO R DE U N A NI VE LA CI ÓN P RE C IS A

Ec = ±0.01 K

K, expres ado en Kilóm etros

8.4. PROBL EM AS PROPUESTOS 1. Con los datos qu e s e m u es tra en la tabla. Calcular l as cotas corregidas

en tre

las

es tacion es

de

n ivelación

de

circu ito

cerrado.

E S TA C I Ó N

LECTURA ATR Á S ( m)

A L TU R A D E L

LECTURA

I N S TR U M E N T O

A D E L A N TE

(m)

(m)

DI S TA N CI A S

COTAS

(m)

(m)

A

2.325

0.000

0.000 532.240

B

1.654

2.654

86.540

C

3.257

1.957

96.540

D

2.354

2.658

75.640

E

1.654

3.254

86.540

A

0.000

0.744

68.540

2. Con los datos qu e s e m u es tra en la tabla. Calcular l as cotas corregidas

en tre

las

es tacion es

de

n ivelación

de

circu ito

cerrado.

E S TA C I Ó N

LE C T U R A A TR Á S ( m )

AL TURA DE L

LE CT UR A

IN S TR U ME N T O

A DE LA N TE

(m)

(m)

D I S TA N C I A S

C OTAS

( m)

( m)

A

1.365

0.000

B

3.624

0.965

102.350

C

3.625

1.254

123.520

D

0.965

3.654

96.540

E

1.214

3.965

89.690

117

0.000 254.450

A

0.000

0.980

108.320


en tre

las

es tacion es

de

n ivelación

de

circu ito

DI S TA N C I A S

C O TA S

(m)

(m)

cerrado.

E S T A C I ÓN

LECTURA ATR Á S ( m )

ALTUR A D EL

LECTURA


ADE L ANTE

(m)

(m)

A

0.966

0.000

0.000 632.540

B

1.028

3.597

84.250

C

1.654

2.245

86.250

D

2.658

1.324

79.850

E

3.564

1.063

79.280

A

0.000

1.674

88.670


en tre

las

es tacion es

de

n ivelación

de

circu ito

cerrado.

E S T A C I ÓN

LE C T U R A A TR ÁS (m )

ALTUR A D EL

LECTURA


A D E L A N TE

(m)

(m)

D I S TA N C I A S

COTAS

(m)

(m)

A

2.325

0.000

B

3.652

3.254

231.250

C

1.658

3.564

198.650

D

3.654

1.965

212.630

E

1.034

1.324

209.640

A

0.000

2.244

186.640

118

0.000 724.360


en tre

las

es tacion es

de

n ivelación

de

circu ito

cerrado.

E S T A C I ÓN


ALTUR A D EL

LECTURA


A D E L A N TE

(m)

(m)

D I S TA N C I A S

C OTAS

(m)

(m)

A

3.564

0.000

0.000

B

0.654

0.854

168.650

C

2.864

3.864

209.640

D

1.231

1.021

189.640

E

3.758

3.254

125.640

A

0.000

3.054

235.640

632.320


en tre

las

es tacion es

de

n ivelación

de

circu ito

cerrado.

E S T A C I ÓN


ALTUR A D EL

LECTURA


A D E L A N TE

(m)

(m)

D I S TA N C I A S

C OTAS

(m)

(m)

A

0.324

0.000

0.000

B

0.864

3.758

86.950

C

1.654

3.125

128.640

D

2.654

1.757

206.470

E

3.864

0.524

213.640

A

0.000

0.224

215.860

119

864.320


en tre

las

es tacion es

de

n ivelación

de

circu ito

cerrado.

E S T A C I ÓN


ALTUR A D EL

LECTURA


A D E L A N TE

(m)

(m)

D I S TA N C I A S

C OTAS

(m)

( m)

A

0.325

0.000

0.000

B

3.965

3.569

108.630

C

0.635

1.325

125.640

D

3.858

3.584

136.540

E

0.864

0.635

153.210

A

0.000

0.565

208.340

832.420


en tre

las

es tacion es

de

n ivelación

de

circu ito

cerrado.

E S T A C I ÓN


AL TUR A DE L

LE CT UR A

I NS TR U ME N TO

A D E L A N TE

(m)

(m)

DIS TA N C I AS

C OTAS

(m)

(m)

A

3.864

0.000

0.000

B

3.254

3.321

206.340

C

3.023

3.657

186.640

D

2.856

1.564

214.330

E

2.542

3.858

186.640

A

0.000

3.123

147.660

120

726.360

9.

Con los datos qu e s e mu es tra en la tabla. Calcular las cotas corregi das

en tre

las

estacion es

de

n ivelación

de

circu ito

cerrado.

E S TA C I Ó N

LECTURA ATR Á S ( m)

ALTUR A DEL I N S TR U M E N T O (m)

LE C T U R A

D IS TA N CI A S

COTAS

ADE L ANTE (m )

(m)

(m)

A

2.856

0.000

0.000

B

2.965

0.954

45.630

C

1.584

1.024

65.620

D

2.548

1.254

42.210

E

2.354

1.021

85.620

F

0.000

0.987

87.320

236.520


en tre

las

es tacion es

de

n ivelación

de

circu ito

cerrado.

E S T A C I ÓN

LECTURA ATR ÁS (m )

AL TUR A DE L

LE CT UR A

I NS TR U ME N TO

A D E L A N TE

(m)

(m)

D I S TA N C I A S

COTAS

(m)

(m)

A

1.035

0.000

0.000

B

0.965

0.958

63.250

C

1.024

1.024

86.520

D

1.128

2.365

54.320

E

0.968

2.954

63.650

F

0.000

3.654

52.630

121

452.640

C A P ÍT U LO IX

MEDIDA Y TRAZADO DE PERFILES

9.1. NI VEL ACI ÓN DE PERFILES L ONGITUDI NAL ES. Es

la

determ in ación

de

el evación ,

de

pun tos

del

terren o

a

in tervalos regulares a lo largo de una línea dada. An tes del dis eñ o y l a con s tru cción de redes de drenaj e, carreteras , vías férreas , y obras sem ejan tes , s e fijan estacas a cada 20 m a l o largo del eje. Es tos pun tos a cada 20 m s e denom in an es tacion es . L os pun tos en tre estacion es com pletas se llam an pu ntos in termedios . Un a es taca s itu ada, por ejem plo, a 240 m del pu n to de i nicio s e iden tificará com o "2 + 40" . Es acons ejable as ign ar un n úm ero de es tación de, digam os , 2 + 00, al pu nto i nicial de u n a ru ta. El perfil lon gitu din al del terren o es el trazo de l a in ters ección de u n plan o vertical im aginario con la superfi cie del terren o. Es us ual dibu jar el perfil en papel es pecial, con la es cala vertical mu ch o m ayor qu e la h orizon tal, y en es te plan o se efectú an diversos es tu dios relativos a determ in ación de pen dientes y es tim ación de cos tos . Su poni endo qu e ya s e h a efectu ado el trazo sobre el terren o con es tacas a cada 20 m , la brigada de nivelación determina prim ero, m edi an te el

procedimien to n ormal de n i velación diferen cial, la

altu ra del ins tru men to, el cu al deberá ins talars e con ven ien temen te cerca del traz o. En s egu ida, s e h acen lectu ras h acia adel an te con el es tadal s obre el

terren o, en cada es tac a y en los

pu ntos

in termedios don de ocu rra u n cam bio n otable de la pen dien te del terren o. En el cu adro 9.1., pu ede apreciarse qu e el regis tro de la nivelación de perfiles es sim ilar al de la n ivelación diferen cial , s alvo qu e se in clu ye un a colum na m ás , con el en cabezado de PQ. (Pu ntos de Qu iebre), iebre) para las lectu ras del es tadal s obre el terren o, y qu e s erá preci s o regis trar varias de es tas lectu ras en tre pu n tos de liga, dependien do de las con dicion es de cam po. 122

EJ EMPL O 1: C U A DR O N° 9.1. R EG IS TR O DE CA MP O DE U N PE R F I L L ON GI T UD IN A L

E ST A C I Ó N

BN

L EC T U RA

A L T U RA

L EC T U RA

PUNTO

A T RÁ S

I N ST R U M E N T O

A DELA NT E

Q U I EB R E

0.352

169.926

E L E VA C I Ó N

169.574

O+280

0.450

169.476

O+300

1.410

168.516

PL 1

0.126

167.732

2.320

167.606

O+308

0.970

166.762

0+320

1.250

166.482

0+334

1.350

166.382

0+335

2.630

165.102

0+336

1.310

166.422

0+340

1.230

166.502

0+360

0.890

166.842

PL 2

1.952

169.264

0.420

167.312

0+380

1.020

168.244

0+388

1.240

168.024

0+392

2.020

167.244

0+400

1.700

167.564

0+408

0.700

168.564

0+420

0.740

168.524

PL 3 COM PR. F U EN T E:

2.430

0.648

168.616

3.388

-0.958

F U N D A M EN T A L S O F SU R V E YI N G , d e S c h m i d t y R ay n e r , U S A , 1 9 78 .

123

C U A DR O N° 9.2. C Á LCU L O DE D ES NI VE L DE L PER FI L LO NG I TU DI N A L Cota Fin al

(0 0 + 420 )

168.616 m

Cota Inicial ( 0 + 280 )

169.574 m

Desn ivel (0 0 + 280 a 0 + 420 ) - 0.958 m

C U A DR O N° 9.3. C O MPR O BA CI ÓN DE L D ES NIVE L Total de Lectu ras (+)

2.430 m

Total de Lectu ras (-)

3.388 m

Desn ivel Com probado

-0.958 m

F I GU RA N° 9.1. T RA ZO DE U N PE R F I L L ON G IT UD IN A L

124

9.2. PROBL EM AS PROPUESTOS 1. Con

los

datos

qu e

se

mu es tra

en

la

tabla.

Calcu lar

las

elevacion es de cada es tación del perfil lon gitu dinal.

E ST A C I Ó N

L EC T U R A A T RÁ S ( m )

A L T U RA

L E C T U RA

I N ST RU M EN T O

A D EL A N T E

( m)

(m9

BN1

2.178

PL 1

4.162

3.689

PL 2

5.458

7.169

BN19

3.721

9.215

BN20

4.633

7.345

PL 3

6.523

5.207

BN21

4.528

2.151

PL 4

5.812

6.178

PL 5

6.218

3.724

BN20

7.083

10.448

PL 6

5.578

4.171

BN19

9.511

4.856

PL 7

8.235

6.321

los

( m)

30.476

BN1

2. Con

E L E VA C I Ó N

3.139

datos

qu e

se

mu es tra

en

la

tabla.

Calcu lar


ESTA C IÓ N

BN7

L EC T U RA

A L T U RA

A T RÁ S ( m ) I N S T R U M E N T O ( m )

2.587

LECTU RA A D EL A N T E (m9

ELEVACIÓN (m)

40.476 125

las

0+0

4.2

0+50

5.6

1+0

6.2

1+50

7.7

PL 1

3.655

2+0

8.9

2+31

9.1

2+50

10.0

PL 2

6.006

3+0

10.9

+050

11.2

BN19

3. Con

los

datos

qu e

se

mu es tra

en

la

tabla.

Calcu lar


ESTA C IÓ N

L EC T U RA

A L T U RA



BN20

2.761

PL 1

4.470

3.850

BN11

5.120

7.150

BN12

5.610

7.102

ELEVACIÓN (m)

15.610

PF

3.527

126

las

4. Con

los

datos

qu e

se

mu es tra

en

la

tabla.

Calcu lar

las


ESTA C IÓ N

A L T U RA

L EC T U RA


LECTU RA A D EL A N T E

BN28

1.39

PL 1

3.29

7.50

PL 2

4.91

8.53

los

(m)

(m9

74.81

BN29

5. Con

ELEVACIÓN

5.12

datos

qu e

se

mu es tra

en

la

tabla.

Calcu lar


ESTA C IÓ N

L EC T U RA

A L T U RA



BN28

1.69

PL 1

3.48

6.50

PL 2

3.91

1.53

ELEVACIÓN (m)

457.84

BN29

4.12

127

las

C A P ÍTU LO X

MEDICIONES ANGULARES

10.1. INTRODU CCIÓN Fu n damen talm en te, el objetivo de u n levan tam ien to topográfico es la determ in ación de la pos ición relativa de pu n tos sobre o cerca de la s u perficie de la tierra. Para es tablecer la pos ición de u n pun to, por lo gen eral s e requ ieren medicion es tanto de dis tan cias com o án gulos . L as

m edicion es

an gul ares

pueden

ser h oriz ontales

o

verticales , dependi en do del plano en qu e s e miden , y comú n m en te s e ejecutan con teodolitos . Los án gulos h ori zon tales m edi das

bás icas

qu e s e neces itan

son las

para determin ar ru m bos

y

acimu tes . L os án gu los s e miden directamen te en el cam po o bien pueden traz ars e direc tamen te s obre la h oja de trabaj o de u n a plan ch eta. Sin em bargo, un án gu lo tam bi én puede medirs e en form a in directa con

un

lon gím etro

y

calcul ars e

su

valor

por

la

relación

de

can tidades con ocidas de un trián gulo o de otra figu ra geométrica s im ple.

10.2. DETERM INACIÓN DE UN Á NGUL O Un án gulo pu ede determ in ars e por tres con ceptos bás icos : a) La lí nea de referen cia, b) El sen tido del giro y c) L a am plitu d

128

FIGURA N° 10.1. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO

SENTIDO DEL GIRO +

AMPLITUD

LÍNEA DE REFERENCIA

10.3. CL ASES DE ÁNGU L OS HORIZ ONT AL ES L os án gulos h oriz on tal es , es decir, los án gu los medidos en el plan o h orizon tal pueden ser: a) Án gu los in teriores y exteriores ; b) Án gu los a la derech a y án gulos a la iz qu ierda; y c) Án gu los de deflexión . L os Á NGU L OS I NT ER IO RES s on l os án gu los qu e quedan den tro de u n polígon o cerrado. Se m iden s igu ien do el borde o límite de un a figu ra h as ta c errar con el pu n to de partida. Los án gulos i nteriores pu eden ser leídos com o án gu los a la derech a o án gul os a la izquierda. L os Á NG UL OS E XT ER IO RES , s on los qu e qu edan fuera del polígon o cerrado y s on su plem en tos de los án gulos in teriores . Es tos án gulos , h abitu alm en te n o se mi den , s alvo qu e s e usen com o comprobación , ya qu e la s um a de los án gu los interior y exterior, en cu alquier es tación , deben ser igu al a 360°. 129

FIGURA N° 10.2. ÁNGULOS HORIZONTALES INTERIORES Y EXTERIORES

L os Á N GU LOS A L A DE RE C HA s e m iden en el s entido de las m an ecillas del reloj y de l a es tación de atrás a l a es tación de adelan te. Los Á N GULO S H A CI A L A I ZQ UI ER D A ,

se m iden en sen tido con trario a las

m anecillas del reloj y tam bién de l a es taci ón de atrás a la es tación de adelan te. En el campo es recom en dable m edir los án gu los h acia la iz qu ierda sí s e dis pon e de u n teodolito qu e de lectu ras direc tas hacia l a iz quierda. FIGURA N° 10.3. ÁNGULOS HORIZONTALES A LA IZQUIERDA Y A LA DERECHA C B

ÁNGULO A LA IZQUIERDA

ÁNGULO A LA DERECHA

A

E 130

D

L os Á N GUL OS DE DE FLE X IÓ N , s e m iden ya s ea h acia la derech a (s egún las m an ecillas del reloj) o h acia la iz qu ierda (contra las m anecillas del reloj) a partir de la prolon gación de la lín ea de atrás y h acia la es tación de adel an te. L os án gulos de deflexión s on s iem pre men ores a 180°, y debe es pecificars e en s en ti do del giro en qu e s e miden . As í la deflex ión a la derech a es D y la deflexión a la izqu ierda es I .

FIGURA N° 10.4. ÁNGULOS HORIZONTALES DE DEFLEXIÓN

10.4. DIRECCIÓ N DE U NA L ÍNEA L a dirección de un a línea es s u ángu lo horizon tal m edido des de una

lín ea

de

referen cia

es tablecida,

a

la

qu e

se

den omin a

m eridian o de referen cia. cia El m eridiano m agn ético es el qu e adopta gen eralm en te. Si n o s e dis pone del m eridian o de referen cia, pu ede s eleccion ars e un m eri dian o s u pu es to o arbitrario, arbitrario para es tablecer pos teri orm en te su relación con la línea m eridian a.

131

F I GU RA N° 10.5. M E RI DI A NO V ER DA DERO Y MAG NÉ TI CO

El meridian o verdadero para cu alqu ier pu n to de la s u perficie de la Tierra es el círculo m áxim o que pas a por los polos geográficos n orte y s u r. L a dirección de un meridian o magn ético s e defin e por m edio de u n a agu ja magn ética s us pen dida librem ente, y bajo l a in fluen cia s ólo del cam po m agn étic o de la Tierra. U n polo magn ético es el cen tro de con vergen cia de los meridian os m agn éticos . Para es tablecer un meridiano s u pu es to, debe as ign ars e a un a lín ea rec ta, la con dición de línea norte-su r verdadera. L a dirección de todas las demás l ín eas , s e determinan con relación a és ta.

10.5. AZIM UT El azimu t de u n a línea es el án gulo h orizon tal m edi do en el s en tido de

las

m anecillas

del

reloj

des de

cu alquier

meridian o

de

referen cia, a partir de 0° h as ta 360° y n o requi eren de letras para iden tificar

al

cu adran te.

Cada

línea

tien e

dos

azim u tes ,

dependien do de la pos ición en que s e en cu en tre el obs ervador. Por ejem plo, s i s e tiene un a lín ea AB, el azim ut s e rá directo, sí se 132

m ide de A á B y, s erá in vers o sí s e m ide de B á A. Así mism o, u n azimu t directo pu ede con vertirse en in vers o, y vic evers a, sí s e le s um a o res ta 180°.

F I GU RA N° 10.6. R EPRES E N TA CI ÓN G RÁ FI C A DE AZ I MU TE S

L os acim u tes pu eden s er v erdaderos , magn éticos , de cu adrícu la o s u pu es tos , depen dien do del meridian o de referen cia que u se. En topografía plan a, el azimu t s e mide gen eralm en te a partir del Norte M agnéti co.

10.6. RUM BOS El rum bo de un a línea es el án gulo h orizon tal com pren dido en tre u n meridian o de referen cia y la lín ea. L os rum bos s e miden a favor o en con tra de las m an ecillas del reloj, depen dien do del cu adran te, a partir de la lín ea n orte o su r y s u valor jam ás s u pera los 90°.

133

F I GU RA N° 10.7. R EPRES E N TA CI ÓN G RÁ FI C A DE RU M BOS

Para iden tificar un

ru mbo, s e n om bra primero el extrem o del

m eridian o a partir del cu al s e m ide ( N orte o S u r), lu ego, el valor del án gu lo, y fin almen te, la dirección ( E s te ú O es te) qu e form a a partir del m eridian o. Por ejemplo, un a lín ea qu e es tá en el III Cu adran te, form an do u n án gu lo de 37° 40' 30" con el m eridiano s u r de referen cia, tien e un rum bo de S 37° 40' 30" W . L os

rum bos ,

m agn étic os ,

com o de

los

acimu tes ,

c uadrícu la

o

pu eden

s u pu es tos ,

s er

verdaderos ,

depen dien do

del

m eridian o de referen cia que us e. En topografía pl an a, el ru mbo s e m ide gen eralmen te a partir del Norte M agnétic o.

10.7. C OM PARACI ÓN DE AZIM U TES Y RU M BOS Com o los rum bos y los acimu tes se en cuentran en la m ayoría de las operaci ones topográficas , es n eces ario resu mir y com parar su s propiedades .

134

C U A DR O N° 10.1. C OMPA R AC IÓ N E NT RE A Z I MU TES Y RU MBO S A Z I M U T E S

R U M B O S

Varían de 0° a 360° Requ ieren

un

s ólo

Varían de 0° a 90° valor

n um éri co.

Requ ieren dos letras y u n valor n u mérico.

Pu eden

s er

m agn éticos ,

verdaderos , su pu es tos ,

Igu al qu e los acim utes

directos o in vers os Sólo s e miden en el s entido de las m an ecillas del reloj.

Se

m iden

a

favor

o

en

con tra de las man ecillas del reloj.

Sólo s e miden a parti r del

Se miden a partir del n orte

n orte.

o su r.

10.8. CÁL CUL O DE AZIM U TES L os cálcu los de acimu tes com o de ru m bos , s e h acen mejor con la ayu da de u n es qu em a (gráfico o dibu jo). En la tabla 8.2. Se pres en ta l os cálcu los para todos los acimu tes de la figu ra 8.7. Obs érves e que nu evamen te s e logra u n a verific ación recalcu lan do el azimu t del lado de partida utilizando el últim o án gu lo.

C UA DR O N° 10.2. C Á LCU LO DE A Z I MU TES

V ÉRTIC E

Á N G U LO

LA DO

I N T E RN O

AZIMUT ( °)

A

115.166667

AB

311.500000

B

118.866667

BC

12.633333

C

135.700000

CD

56.933333

D

132.500000

DE

104.433333

135

E

88.583333

EF

195.850000

F

129.183333

FA

246.666667

TOTAL

720.000000

F I GU RA N° 10.8. U BI C AC IÓ N DE LOS Á NGU LOS AZ I MU TA LES

10.9. CAL CUL O DE RU M BOS Es

en

las

poligonales

en

don de

se

requieren ,

con

m ayor

n eces idad, de los rum bos . Es tos deben calcul ars e cui dados amen te para

evitar

pos ibles

errores

person ales .

L os

án gu l os

de

las

poligon ales tienen que ajus tars e al total geom étrico correc to antes de

calcu lar ru m bos . Com o los án gulos in teriores de un a poligon al

cerrada deben s er igu ales al valor ( n -2)180°, el ru m bo original y el calcu lado para com probación deben s er igu ales . 136

F I GU RA N° 10.9. U BI C AC IÓ N DE LOS RUMBOS DE UN A P O LI GONA L NM

B

NM

NM

C

A NM

D

El ru mbo de cu alqu ier lín ea de partida debe recalculars e com o com probación us an do el ú ltim o ángu lo. T oda dis crepan cia in dica u n error aritm ético, o bien , qu e no s e ajus taron correctamente los án gulos an tes de cal cu lar los rum bos . F I GU RA N° 10.10. E JE MP LO DE CÁ LCU L O DE AZ I MUTES

137

10.10. PROBL EM AS PROPUESTOS a) Se tien e la lín ea BC con ru m bo S 81° 36' E. Se gira u n án gu lo a l a izqu ierda (en sentido con trario al de las m aneci llas del reloj) en el pun to C, con valor de 92°35'. Calcú les e el ru m bo de la l ín ea CD. b) Se tiene la l ín ea CD con rumbo S 05° 49' W. y u n án gulo gi rado h aci a la izqu ierda en D, de 134° 30'. Calcú les e el ru m bo de la l ín ea DE. c) Se tiene la lín ea DE con rum bo S 51° 19' W; án gu lo DEF = 134° 42' m edido h acia l a izqu ierda en E. Calcú lese el rum bo de la l ín ea EF. d) U n a lín ea EF c on rum bo N 83° 23' W y u n án gulo izqu ierdo de 115° 51' en F. Calcúl es e el ru m bo de la línea FA. e) Se tien e el azim ut de la lín ea BC = 98° 24' el án gulo C = 92° 35' a la iz qu ierda. Calc ular el azimut de CD. f)

El lado AB de u n polígon o de c in co lados está en la dirección n orte precis am en te. L a es tación

C s e h alla al

es te

de

B.

c alcú les e l os ru m bos y tabule los acimu tes de cada lado para l os án gu los in teriores medidos en el s enti do del reloj . A = 141° 16',

B = 110° 31',

C = 86° 01 ', D = 51° 46' y D = 150° 26'.

g) El lado AB de u n polígon o de c in co lados está en la dirección n orte precis am en te. L a es tación

C s e h alla al

es te

de

B.

c alcú les e l os ru m bos y tabule los acimu tes de cada lado para l os án gu los in teriores medidos en el s enti do del reloj . A = 166° 50',

B = 42° 21 ',

C = 97° 33 ', D = 134° 07' y D = 99° 09'.

h ) El lado AB de u n polígon o de c in co lados está en la dirección n orte precis am en te. L a es tación

C s e h alla al

es te

de

B.

c alcú les e l os ru m bos y tabule los acimu tes de cada lado para l os án gu los in teriores medidos en el sen tido del reloj. A = 62° 10', i)

B = 136° 27',

C = 130° 52 ', D = 81° 35' y D = 128° 56'.

El lado AB de u n polígon o de c in co lados está en la dirección n orte precis am en te. L a es tación

C s e h alla al

es te

de

B.

c alcú les e l os ru m bos y tabule los acimu tes de cada lado para 138

l os án gu los in teriores medidos en el s enti do del reloj . A = 118° 28', j)

B = 82° 13',

C = 106° 43 ', D = 72° 58' y D = 159° 58 '.

Calcu lar los rum bos y tabu lar los ac imu tes de un hexágon o regu lar, con ocien do el rum bo de partida de AB = N 45° 45' E. L a es tación C es tá al oes te de B.

k ) Calcu lar l os rum bos del predio cu yas medidas s e m uestran en l a tabla adjun ta, si el rum bo de parti da, medido en el lado AB, es S 10.624500° E V ÉRTIC E

l)

Á N G U L O ( °)

A

96.123600

B

93.254500

C

103.454200

D

137.254300

E

110.224100

Calcu lar l os rum bos del predio cu yas medidas s e m uestran en l a tabla adjun ta, si el rum bo de parti da, medido en el lado AB, es N 72.364500° W VÉR TIC E

Á NG U LO ( °)

A

91.245200

B

89.235400

C

90.251200

D

72.541600

E

196.312500

m ) Calcu lar l os rum bos del predio cu yas medidas s e m uestran en l a tabla adjun ta, si el rum bo de parti da, medido en el lado AB, es N 28.124600° E 139

VÉ RTI C E

Á N G U L O ( °)

A

91.254300

B

195.864200

C

71.452400

D

91.245600

E

89.864500

n ) Calcu lar l os rum bos del predio cu yas medidas s e m uestran en l a tabla adjun ta, si el rum bo de parti da, medido en el lado AB, es N 5.236400° E VÉR TIC E

Á NG U LO ( °)

A

135.254600

B

102.456200

C

92.568400

D

98.425800

E

111.664500

o) Calcu lar los acimu tes del predio cu yas m edidas se m uestran en l a tabla adjun ta, s i el azim u t de partida, m edi do en el lado AB, es 180.000000° VÉ RTI C E

Á N G U L O ( °)

A

83.240000

B

92.340000

C

92.240000

D

92.840000

140

p) Calcu lar los acimu tes del predio cu yas m edidas se m uestran en l a tabla adjun ta, s i el azim u t de partida, m edi do en el lado AB, es 53.245600° VÉ RTI C E

Á N G U L O ( °)

A

98.360000

B

84.210000

C

96.240000

D

80.840000

q) Calcu lar los acimu tes del predio cu yas m edidas se m uestran en l a tabla adjun ta, s i el azim u t de partida, m edi do en el lado AB, es 125.647500° VÉR TIC E

r)

Á N G U L O ( °)

A

91.125000

B

89.365000

C

86.245000

D

93.545000

Calcu lar los acimu tes del predio cu yas m edidas se m uestran en l a tabla adjun ta, si el azimu t de partida, m edido en el l ado PQ, es 325.642500° VÉ RTI C E

Á N G U L O ( °)

P

88.455000

Q

82.455000

R

100.845000

S

88.645000

141

C A P ÍT U LO XI

POLIGONACIÓN

11.1. INTRODU CCIÓN L os levan tamien tos con teodolito tienen por objeto: 1.

Situ ar determin ados detalles en la con figu ración del terreno

2.

Señ alar

o

replan tear

pun tos

o

alin eacion es

de

lon gi tu d

y

di rección dadas , qu e han de servir de bas e para el proyec to de ciertas obras o aplicacion es L os trabaj os con teodolito pueden dividirs e, en gen eral, en dos gru pos : 1.

Es tablecimien to

de

una

red

de

poligon ales

median te

un

s is tem a de es taciones y alin eaciones , que s e llam a red de

apoy o. F I GUR A N° 11.1. E JE MP LO DE U N A RED DE AP OY O

2.

Situ ación , con res pecto a es ta red de apoyo, de todos los detall es

del

terren o

qu e

levan tam ien to.

142

cons titu yen

el

relleno

del

F I GU RA N° 11.2. E JE MP LO DE U N RE LLEN O

En al gunos trabajos apenas es n eces ario tom ar detalles , com o s u cede al levan tar los lin deros de un a fin ca, don de el teodoli to s e es tacion a generalm en te en las es qu in as o vértices del perím etro, y sí

las

lín eas

s on

rectas

no

h ay

qu e

tom ar

detalle

algun o

propiam en te dich o. En cam bi o, hay otros trabajos en qu e los detalles , tom ados des de la red de apoyo, con s ti tuye el prin cipal objetivo prin ci pal del levan tamien to, para poder repres entar la con figu rac ión del terreno y dibu jar el plan o corres pon di en te. En algun os levantamien tos s e van toman do los detalles a m edida qu e s e es tablece la red de poligon ales ; en otros s e observa pri mero la red y des pu és de com probada s e procede al relleno de detalles . Es te últim o procedim iento es el qu e s e s i gu e cuan do s e opera s obre un a extens ión con s iderable de terren o y cu an do las técn icas y los ins tru m en tos empleados para la poli gon aci ón n o s on los mism os que para el relleno.

143

11.2. TÉCNICAS

DE

L EVANTAM IENTO

C ON

TEODOL ITO

RADIACI ÓN Es la técnica m ás s en cilla para operar con teodolito y cin ta. Con sis te en hacer un a sola es tación con aquel y tomar des de ella los án gulos y distan cias a los pu n tos as equibles . Es tos pu ntos se s uelen llam ar des tacados o radiados . Para h acer un levan tamien to con esta técnica es precis o que la

su perficie

Gen eralm en te,

objeto se

del

m is mo

em plea

sea

para

de

poca

s itu ar

extens ión .

detalles

en

levan tam ien tos m ás extens os .

F I GU RA N° 11.3. T É CN IC A DE RA D IA CI ÓN

INTERSECCIÓN También es un a técn ica mu y s en cilla. Con s is te en tom ar dos es tacion es , cu ya lín ea de un ión s e llam a bas e; des de c ada un a de las es tacion es se dirigen visuales a los pun tos qu e s e qu ieren s itu ar y s e an otan los án gu los res pectivos . De este modo, un pu nto cualqu iera queda situ ado por dos án gulos leídos des de los extrem os de la bas e y por la lon gitu d de es ta úl tima. Se em plea en levan tamien tos de pequ eñas su perficie y para el rellen o de plan os levan tados con teodolito. As im is mo, n o se 144

apli ca en el levan tamien to de lin deros , n o s olo por los m u ch os cálcu los qu e su us o en trañ a, s in o por la ins egu ridad de los valores res ultan tes cu an do los triángu los tien en án gu los mu y agu dos . F I GUR A N° 11.4. T É CNI C A DE IN TE RS EC CI Ó N

POL IGO NACI ÓN Es ta

técn ica

se

(partien do

de

pu n tos

líneas

o

aplica

es taciones

para

s itu ar

detalles

con

teodoli to)

previamen te

medi dos

clasifica, a su vez, en : Poligon al cerrada Poligon al abierta Poligon al con ángu l os de deflexi ón Poligon al con ángu l os acimu tales Poligon al con ángu l os in teriores Poligon al con ángu l os exteriores 145

o

para

del

terreno

determin ar

(replan teados ).

Se

11.3. C OORDE NADAS RECT ANGU L ARES En la práctica de la Topografía s e acos tu m bra defini r la posición de u n pun to con referen cia dos lín eas qu e s e in tersecan en án gulos rec tos

en

algún

pu nto

seleccion ado.

L as

c oorden adas

rec tan gulares plan as de un pun to s on las dis tan cias al pu n to des de es e par de ejes mu tu amen te perpen diculares . La dis tan cia des de el ej e X s erá la coordenada Y y la distan cia des de el eje Y s erá la coorden ada X . F Ó R MU L A N° 11.1. C Á LCU L O DE LA COOR DE NA D A X

∆ X = L.senα F Ó R MU L A N° 11.2. C Á LCU L O DE LA COOR DE NA D A Y

∆Y = L.cos β F I GU RA N° 11.5. R EP RESE N TA CI ÓN G RÁ FI C A DE COORDE N AD AS

∆X

ÁNGULO DEL RUMBO ∆Y

LONGITUD

146

Con venc ion alm en te, s e as ign a al

eje

Y

la

dirección

al eje X la di rección es te-oes te, y

n orte-s u r.

Por

ello,

en

la

prác ti ca,

las

coorden adas x crecen h acia el es te y las y h acia el norte. Con frecu en c ia

se

den omina

a

tales

c oorden adas

E

y

N,

res pec tivam ente. Con el fin de evitar valores n egati vos , el origen ( x = cero e

y = cero) s e u bic a bas tan te lejos al s ur y al oes te del

área por levan tar.

11.4. L ATITUDES Y AL EJ AM IE NT OS El

us o

de

con ven ien te

las

coorden adas

para

expres ar

rectan gulares las

pos icion es

es

la

técnica

horizon tales

m ás

de

los

pu n tos de u n levan tam iento. Las coorden adas de un pun to defin en de m anera ún ica su posición respecto a cu alqu ier otro pun to localizado en el m ism o sistema. L as coorden adas s e em plean para m u ch os fin es , en tre ellos el dibujo topográfic o y el c álcu lo de áreas de predios . L os términ os lati tud y al ej ami ento se us an frecu en tem en te en los cálcu los de coorden adas rectan gu lares . Se defin en com o sigue: L a latitu d de un a lín ea es s u proyecci ón s obre el meridian o de referen cia El alejam ien to s e u n a lín ea es s u proyección s obre la lín ea es teoes te perpen dicular al m eri di an o de referen cia. Es eviden te qu e la latitu d aqu í definida n o es lo mis m o qu e la latitu d geográfica. L as expres ion es bás icas para calcular latitu d y al ejamien to s on :

F Ó R MU LA N° 1 1.3. C Á LC U LO DE LA T I TUDES

Latitu d = Lo n gitu d(co s α ) 147

F ÓR MU LA N° 1 1.4. C Á LC U LO DE A LE JA MI EN TO S

Alejamiento = Longitud(senα ) α = án gu lo del rum bo

F I GU RA N° 1 1.6. C Á LCU LO DE A LE J A MIE NT OS Y LA TI TU DES

L as latitu des son Norte, o posi ti vas , cu an do las lí neas tienen ru mbo n orte; y s u r, o n egati vas cu an do las lín eas tien en rumbo s u r. L os alejam ien tos s on es te, o positivas , cu an do las lín eas tien en rum bo este; y oes te, o n egati vas , cu an do las líneas tien en rum bo oes te. A las latitu des también se les llaman proyeccion es en Y, y a los alejam ien tos , proyecciones en X.

148

11.5. CÁL CUL O TIPO DE U NA POL IGO NAL El cálculo tí pi co de un a poli gonal abarca con ceptos fun dam en tales am pliamente u tili zados en varios cálc u los topográficos . Adem ás , la s ecu en cia progresiva de l as operac iones cons titu ye un excelen te ejem plo

de

procedimien to

orden ado

de

cálcu lo,

seguido

con

frecu en c ia en la s olu ción de un problem a típico dado. El cálcu lo de u n a poligon al cerrada, in clu yen do la determin ación de su área, com pren de

la

ejecu ci ón

de

u na

orden ada

s ecu en cia

operaciones , qu e s e mu es tra a contin uación . 1. EL GRÁFICO

F I GU RA N° 1 1.7. R EPR ESE N TAC IÓ N G R Á FI CA DE LA PO LI GO NA L

149

de

2. L OS DATOS

C U A DR O N° 11.1. D A TO S DE C A MP O VÉR TIC E

3.

Á N G U L O I N T E RN O

D I ST A N C I A

A

86.632400°

1,377.680 m

B

91.014800°

808.620 m

C

94.134500°

1,371.250 m

D

88.416400°

881.140 m

Determin ar si la poligon al m edida es cons is ten te, es decir, s i cu mple con la fun ción lados . Reem plazan do,

∑ ∑

ai

ai

= 180°(n − 2) , sien do

n = n úm ero de

= 180°(4 − 2) = 360° . Com o la s umatoria

de los án gul os in tern os es 360.198100°, la poligon al NO es con sis ten te. 4.

Por tan to, procedem os a calcular la corrección an gular c on el objeti vo qu e la s uma de los án gulos in tern os de la poligon al s ea, ex ac tamen te, 900.000000°.

C U A DR O N° 11.2. C OR REC CI ÓN DE Á NGU LOS IN TE RN OS

VÉR TIC E


CORRECCI ÓN


(°)

G EO M É T RI C A ( ° )

C ORRE GIDO (°)

A

86.632400

-0.049525

86.5828750

B

91.014800

-0.049525

90.9652750

C

94.134500

-0.049525

94.0849750

D

88.416400

-0.049525

88.3668750

S UM A T O R IA S

360.198100

I NC O N S I ST E N C I A

-0.198100

C OR R E C C IÓ N U N IT A R I A

360.0000000

-0.049525

150

5.

Lu ego, c al cu lam os los valores y con sign am os las res pectivas orientacion es

de

los

ru m bos

de

cada

uno

de

los

lados ,

comenz ando por el rum bo de partida m edido en el lado AB = S 74.364800° W. Es neces ario recalcu lar el ru m bo de partida con los

ú ltimos

res ultados

del

cálcu lo,

s olo

as í

es tarem os

con di cion es de ten er con fian za en los rum bos c alcu l ados .

F I GU RA N° 11.8. C Á LCU LO DE L RU MBO DE BC

151

en

F I GUR A N° 11.9. C Á LCU LO DE L RU MBO DE CD

F I GU RA N° 11.10. C Á LC U LO DE L RU MBO DE DA

N6

°E 50 45 1 3 9.

88.366875°

Rumbo DA

DA = 88.366875° - 69.314550° = S 19.052325° E

152

F I GU RA N° 11.10. C Á LC U LO DE L RU M BO DE C OMPRO BA CI ÓN

F I GU RA N° 11.11. C Á LC U LO DE L RU M BO DE C OMPRO BA CI ÓN

52 9.0 S1 °E 325

6.6 N1 004 75° W

153

C U A DR O N° 11.3. R U MBOS DE LA PO LIGO N A L LA DO S

R U M B O S (°)

A B

S

74.364800 W

B C

N

16.600475 W

C D

N

69.314550 E

D A

S

19.052325 E

R UM B O

74.364800 C OM PRO B ADO

5.

Segu idam en te

se

procede

a

calcu lar

sus

res pectivos

al ejamien tos y latitu des de cada lado, u tilizan do l as s igu ien tes fu n cion es : Al ejamiento = lon gitu d x sen o del ángu lo del rum bo L atitu d = lon gitu d x cos en o del án gu lo del rum bo

C U A DR O N° 11.4. C Á L CULO DE A LE J A MI E NTOS Y LA TI TU DES LA DOS

DISTA NCIA S (m)

RUM B OS (°)

A LEJA M IENTOS (m9 ESTE

LA TITUDES (m)

OESTE

NORTE

SUR

AB

S

74.364800 W 1,486.540

0.000

1,431.534

0.000

400.640

BC

N

16.600475 W

0.000

279.800

938.540

0.000

CD

N

69.314550

E

1,442.360 1,349.376

0.000

509.495

0.000

DA

S

19.052325

E

1,108.240

0.000

86.3650003

6.

979.360

361.764

5,016.500 1,711.141

0.000 1,047.532

1,711.333 1,448.036 1,448.171

En cu alqu ier poligon al cerrada, las s um as algebraicas de los al ejamien tos

y de las

latitu des

debían

s er iguales

a cero

porqu e el l evan tamiento s e inicia y term in a en el mis m o pu n to. No

obs tan te,

lin eales

y

por

l os

an gu lares ,

inevitabl es es tas

errores

condicion es

en

las

cas i

s atis farán ex ac tamen te. L os cálculos , in dican qu e: 154

medicin es nun ca

se

a) ERROR L INEAL DE CIERRE

FÓRMULA N° 1 1.5. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE ELC =

(∑ Alejs.)2 + (∑ Lats.)2

ELC =

(1711.141− 1711.333)2 + (1448.036 − 1448.171)2

ELC =

(− 0.192)2 + (− 0.135)2 = 0.235m

b) ERROR ANGU L AR DE CIERRE

FÓRMULA N° 1 1.6. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE EAC = (tgα) =

ERRORAlej. ERRORAlej.

E AC = (tg α ) =

− 0.192 = 1.421361 − 0.135

Arctg(tgα) = EAC = Arctg(1.421361)

E AC = Arctg(1.421361) = 54.871664 o E AC = N54.871664 o E F

155

FIGURA N° 1 1.12. R EP RESE N TA C I ÓN G RÁF I C A DE LOS ER RORE S DE C IER RE

7.

El cálculo del error relativo de c ierre, da u n mejor ín dice de la calidad de un a poligon al qu e el error li neal de cierre. Com o es obvio, u n a poligon al de 4 Km de l argo qu e ten ga u n error lin eal de cierre de 1.40 m s erá m ás precis a qu e un a poligon al de s olo 2 Km de largo con el mis m o error de c ierre. Por tanto, es práctica c omú n calcular el error relativo de cierre, qu e es el error

lineal

divido

entre

la

lon gitu d

de

la

poligon al.

Natu ralmen te am bas can tidades deberán es tar en las m ism as un idades . El resu ltado se expres a en form a de qu ebrado con la un idad com o nu m erador. En cons ecu en cia, el error relativo de cierre (E R C ) de nu es tra poli gonal , es : 156

FÓRMULA N° 11.7. C Á L CU LO DE E RR OR RE L A TI VO DE CIE RRE ELC

ERC =

Perímetro

=

0.235m 1 = 5,016.500m 21,321.801

Es te resu ltado s ign ific a qu e, en prom edio, s e gen eró un error de u n m etro por cada 21,231.801 m de poligon al.

8.

Des pués de determinar el error rel ativo de cierre y de con firmar qu e s u

valor satis face las

levan tam ien to,

la

es pecificacion es

poligon al

debe

ser

de calidad del

c ompens ada.

La

operación de com pens ar s e refiere a la dis tribu ción equ itativa y lógi ca de las correccion es a los alejam ien tos y latitu des , de modo qu e s us s umas algebraicas s e igu alen a cero. Es te procedim ien to

hará

qu e

la

poligon al

sea

una

figu ra

matem áticam en te cerrada. El procedimien to más u tilizado es el qu e s e con oce com o la REGLA

DE

LA

BRÚJ UL A,

llam ada,

tam bién , la

BOWDITCH

en

h on or

emin ente

m arin o

Nath aniel

al

REGL A

DE

n orteam erican o

Bowditch (1773-1838), a qu ien s uele atribuírs ele.

Su pon e qu e la cal idad de las m edicion es lin eales y an gu lares es aproxim adam en te la mism a que las correcci on es a los al ejamien tos

y

latitu des

varían

en

proporción

directa

a

la

corrección

al

lon gitud del lado. La

Regla

de

la

Brúju la

es peci fica

que

la

al ejamien to (o l a latitu d) de u n l ado es el error total en los al ejamien tos (o las latitu des ) com o la lon gitu d del lado es a la lon gitud de la poligon al. Por tan to, con referenc ia al lado AB, la corrección al alejam ien to se calcula con la siguien te relación :

FÓRMULA N° 11.8. C Á LCU LO DE L A COR RE C CI ÓN DE A LE JA MIE N TOS C Alej.(AB ) E Alej.

=

Lado AB Perím etro 157

C Alej.( A B)

=

− 0.192m

1, 486.540m 5, 016.500m

C Alej.( AB) = − 0.057m

As im ism o, con referen cia al lado AB, la corrección a la latitu d s e calcula con la s igu ien te relación :

FÓRMULA N° 11.9. C Á L CU LO DE LA CO R REC C IÓ N DE L ATI TUDE S

CLat.(AB) ELat.

=

CLat.(AB) −0.135m

LadoAB Perímetro

=

1, 486.540m 5, 016.500m

CLat.(AB) = −0.040m

9.

Las c orreccion es deben apl icars e en form a apropiada. As í, para el cas o pres en te, la s um a de los alejam ien tos es te es menor que los alejamien tos oes te. Por tan to, las correccion es a los

alejamien tos

es te

serán

pos itivas ,

y

n egativas

a

los

al ejamien tos oes te. Asimis m o, la sum a de las latitu des n orte es menor que las latitu des su r. Por cons igu ien te, las correccion es a las latitu des n orte s erán pos itivas , y n egativas a las latitu des s u r. El

cálcu lo

tabu lado

completo,

cu adro:

158

se

m u es tra

en

el

siguien te

CUADRO N° 11.5. C O RRE CC IÓ N DE A LE JAM IE N TOS Y L A TI TUDE S LA DOS

10.

C O R R E C C I O N E S (m) VA LOR

A LEJA M IENT

AB

-0.057 -1,431.477

BC

-0.038

VA LOR

LA TITUDES

-0.040

-400.599

-279.762

0.026

938.567

CD

0.055 1,349.432

0.039

509.534

DA

0.043

361.807

-0.030 -1,047.502

0.000

0.0000

Para calcu lar los ru mbos corregidos , es decir, u tiliz an do los alejamien tos y latitu des com pens adas , se debe APL ICAR la m is ma ecu ación us ada para calcul ar el Error An gu lar de Cierre (E A C ), as í :

FÓRMULA N° 11.10. C Á LC U LO DE L RU MBO C OR REG IDO

RUMBO AB = (tgα AB ) =

RUMBO AB = (tg α AB ) =

Alej.AB Lat.AB

− 1, 431.477 = 3.573336 − 400.599

Arctg(tg α AB ) = RUMBO AB = Arctg(3.573336)

RUMBO AB = α AB = Arctg(3.573336) = 74.365697o RUM BO AB = S74.365697o W

11.

As im ism o, las distan cias corregidas s e calc ulan con la m ism a ecu ación que u tilizam os para calcu lar el Error L in eal de Cierre (E L C ), as í:

FÓRMULA N° 11.11. C Á LC U LO DE L A D IS TA N CI A CO R REGI D A Dis tan cia Corregida A B = D C ( A B ) = 159

(∑ Alej.AB )2 + (∑ Lat.AB )2

DC( AB) =

12.

(−1, 431.477m)2 + (−400.599m)2 = 1, 486.474m

L a tabulación com pl eta es la s iguien te:

CUADRO N° 11.6. T A BU LAC IÓ N CO MP LE TA LA DOS

DISTA NCIA S (m)

RUM B OS (°)

C O R R E C C I O N E S (m) A LEJA M IENT

AB

S

74.364800

W 1,486.540 -1,431.477

BC

N

16.600475

W

C D

N

69.314550

E

1,442.360 1,349.432

D A

S

19.052325

E

1,108.240

86.3650003

13.

979.360

5,016.500

-279.762

LA TITUDES

-400.599

M EDIDA S CORREGIDA S RUM B OS (°)

DISTA NCIA S (m)

74.365697

1,486.474

938.567 -16.597927

979.375

69.313880

1,442.426

361.807 -1,047.502 -19.054907

1,108.226

0.000

509.534

0.0000

5,016.5000

L a primera coorden ada de u na es tación de poligon al, o de partida, es igu al a cero. L as dem ás coorden adas s e obtien en m edian te la s u ma algebraic a su cesiva de las latitu des y los alejamien tos com pen sados con las coorden adas del pun to an terior. L as operacion es aritm éticas quedarán com probadas s í las coorden adas del pu nto de parti da, determ in adas a partir del ú ltim o pun to, quedan igu ales a los valores origin ales dados , como s e mu es tra en el s igu ien te cu adro:

CUADRO N° 11.7. C Á LC U LO DE CO OR DENA D AS LA DOS

CORRECCIONES (m) A LEJAM IENT

LA TITUDES

COORDENA DA S (m) ESTES

NORTES

AB

-1,431.477

-400.599

0.000

0.000

BC

-279.762

938.567

-1,431.477

-400.599

CD

1,349.432

509.534

-1,711.239

537.967

361.807 -1,047.502

-361.807

1,047.502

D A

0.000

0.0000

160

14.

Uno

de

los

prediales

prin cipales

es

obten er

objetivos los

de

datos

los

levantamien tos

neces arios

para

la

determin ación de áreas . El procedimien to para calcu lar el área de cu alquier figu ra plan a cerrada, limitada por líneas rectas , puede expres ars e com o: REGL A : El área es igual a la mitad de la suma algebrai ca de

los productos de cada ordenada por la diferencia entre las dos

abscisas

adyacentes,

restando

s iempre

la

abscisa

anterior de la siguiente. Es ta

regla

puede

algebraicam en te

dedu cirs e

las

áreas

de

con los

facilidad

trapecios

s um an do

formados

al

proyectarlas los dos lados de la pol igonal s obre u n meridian o de referen cia al oes te del terren o.

Al aplicar la regla an terior

a la práctic a de la topografía, se su stitu yen los térm in os de orden ada y abs cis a por las coorden adas corres pon dien tes , ESTE y NORTE. Ya con es tas s us ti tu cion es , us an do las letras E y N in dicar

las

s igu ien te vértice

en

coordenadas ,

man era: form a

se de

la

regla

es criben quebrado,

las

pu ede

aplic ars e

coorden adas

con

la

abs cis a

para de

de E

la

cada en

el

n um erador y la orden ada N en el den ominador. L u ego, la s erie de quebrados as í escritos s e di vide m edian te lín eas prim er

verticales

in terrum pidas . Enton ces ,

n um erador,

E1,

por

la

diferen cia

se m ulti pli ca el en tre

los

dos

den omin adores adyacen tes , N 2 y N 4 , res tan do s iempre la abs cis a anterior, N 4 , de l a siguien te, N 2 . Para in dicar es ta operación , s e es cribe el den omin ador de la últim a fracción s itu ada a la derech a, N 4 , fuera de la lín ea in terru m pida, a la izquierda del

primer qu ebrado. Igu almen te, s e es cri be el

den omin ador del prim er qu ebrado, N 1 , fu era de la lín ea in terrum pida, a la derech a del ú ltim o qu ebrado. El arreglo com pleto qu eda com o s igu e:

161

N4

E1

E2

E3

E4

N1

N2

N3

N4

N1

En ton ces , el área es tará dada por la ec u ac ión :

FÓRMULA N° 11.12. C Á LC U LO DE L Á RE A

A=

1 E (N − N4 ) + E2 (N3 − N1) + E3 (N4 − N2 ) + E4 (N1 − N3 ) 2 1 2

Con el fin de determ in ar el área que en cierra la poligon al de n uestro problem a, los

qu ebrados

tabu lados verticalmente,

qu edan com o s igu e:

CUADRO N° 11.8. T A BU LAC IÓ N VE R TI C A L N4

1,047.502

E1

N1

0.000

0.000

E2

N2

-1,431.477

-400.599

E3

N3

-1,711.239

537.967

E4

N4

-361.807

1,047.502

N1

0.000

162

15. El área del predio, tabul ada, es :

CUADRO N° 11.9. C Á LC ULO DE L Á REA DE L P RED I O COORDENA DA S (m)

LA DOS

ESTES

NORTES

DOBLES AREAS

AB

0.000

0.000

0.000

BC

-1,431.477

-400.599

-770,087.860

CD

-1,711.239

DA

-361.807

537.967 -2,478,046.840 1,047.502

194,640.354

2A -3,053,494.347 ÁREA

1,526,747.173


Calcu lar el error an gu lar de cierre y el error lin eal de cierre del predio, s í el rum bo de partida medido en el lado AB es N 10.12° W. L as lon gitu des de los lados , s on : LADOS

DISTANCIA (m)

AB

671.4500

BC

1092.5600

CD

732.3200

DA

1184.3000

Calcu lar los rum bos y dis tan cias c orregidos del predio Calcu lar las coordenadas del predio Calcu lar el área del predio

2.

Calcu lar el área del predio cu yas m edi das s e mues tran a con tinu ación .

163

LA DO

3.

DISTA NCI A S

RU M BO S ( ° )

(m)

M N

S

84.000000 E

366.8000

N O

S

3.143515 E

377.2800

O Q

S

26.208039 O

233.1800

Q R

N

87.826143 O

301.3000

R P

N

5.794273 O

201.7400

P M

N

5.399057 E

414.7000

Calcu lar la poligon al del predi o cuyo gráfico y m edidas se m u es tran a c on tinu ación . El rum bo de partida, m edido en el lado AB, es N 28.322400° E

VÉ RTI C E

Á NG U LO

LA DO

INTERNO (°)

D I ST A N C I A (m)

A

70.254200

A B

871.2400

B

94.623600

B C

555.3600

C

85.224000

C D

716.7400

D

110.252400

D A

584.8800

B C

A

D

164

4.

Calcu lar la poligon al del predi o cuyo gráfico y m edidas se m u es tran a c on tinu ación . El rum bo de partida, m edido en el lado AB, es S 76.325400° E

VÉ RTI C E

Á NG U LO

D I ST A N C I A

LA DO

INTERNO (°)

(m)

A

114.324500

A B

695.3200

B

80.624500

B C

702.6500

C

77.324500

C D

818.0700

D

87.217800

D A

427.0800

A B

D

C

5.

Calcu lar la poligon al del predi o cuyo gráfico y m edidas se m u es tran a c on tinu ación . El rum bo de partida, m edido en el lado AB, es S 64.123600° W

VÉ RTI C E

Á NG U LO INTERNO (°)

LA DO


A

94.235800

A B

716.2500

B

101.061200

B C

794.4500

C

69.621500

C D

927.3100

D

95.326400

D A

629.2400

165

6.

Calcu lar la poligon al del predi o cuyo gráfico y m edidas se m u es tran a c on tinu ación . El rum bo de partida, m edido en el lado AB, es N 81.364500° W

V ÉRTIC E

ÁNGULO

LADO

I N T E RN O ( ° )


A

103.251400

A B

718.6200

B

81.653400

B C

704.1800

C

83.457800

C D

761.5800

D

91.452400

D A

515.8700

C

D

B

A

166

7.

Calcu lar la poligon al del predi o cuyo gráfico y m edidas se m u es tran a c on tinu ación . El rum bo de partida, m edido en el lado AB, es N 28.324500° E Á NG U LO

VÉ RTI C E

LA DO

INTERNO (°)


A

71.635400

A B

801.3600

B

82.132400

B C

611.4500

C

102.240000

C D

504.1400

D

104.129260

D A

678.1400

B C

A

D

8.


VÉR TIC E

Á NG U LO INTERNO (°)

LA DO

D I ST A N C I A S (m)

A

90 .93 6 400

A B

743 .15 0

B

136 .84 2400

B C

329 .24 0

C

127 .53 5400

C D

632 .45 0

D

84 .42 8 400

D E

949 .63 0

E

100 .42 1200

E A

668 .45 0

167

9.


V ÉRTIC E

Á NG U LO

LADO

I N T E RN O ( ° )


A

74.823400

A B

751.420

B

96.864500

B C

1007.420

C

101.124800

C D

709.670

D

77.524200

D E

769.880

E

189.628400

E A

469.650

168

10.


VÉ RTIC E

ÁNGULO I N T E RN O ( ° )

LADO


A

95.424200

A B

998.270

B

143.821400

B C

489.450

C

131.124500

C D

1079.220

D

90.214800

D E

1638.120

E

79.324200

E A

1520.240

169

11.

Calcu lar la poligon al del predi o cuyo gráfico y m edidas se m u es tran a c on tinu ación . El rum bo de partida, m edido en el lado AB, es N 10.424500° E

VÉ RTIC E

Á N G U LO

LA DO

I N T E RN O ( ° )


A

85.125400

A B

653.230

B

90.568400

B C

906.450

C

75.748800

C D

241.030

D

215.459600

D E

369.450

E

73.245200

E A

989.480

170

12.


VÉ RTIC E

Á NG U LO IN TERNO ( °)

LA DO


A

59.323400

A B

639.470

B

81.135600

B C

807.340

C

101.265400

C D

449.340

D

80.264800

D E

583.120

E

218.165400

E A

276.040

171

13.


VÉR TIC E

Á NG U LO

LA D O

I N T E RN O ( ° )

D I ST A N C I A S ( m)

A

71.762500

A B

818.320

B

88.426400

B C

690.450

C

102.852400

C D

781.640

D

65.425400

D E

444.560

E

211.423600

E A

432.320

172

D

2 A E

C

B

14.

Calcu lar el área del predio mostrado en el gráfico, s í s u ru m bo de partida, m edido en el lado AB, es S 12.242500° E.

VÉR TIC E

Á N G U LO I N T E RI O R ( ° )

LA DO

DISTA N CIA (m)

A

148.012400

A B 309.520

B

153.324500

B C 271.870

C

147.856200

C D 265.210

D

142.325600

D E 280.270

E

162.122400

E F 411.220

F

158.326400

F G 291.750 173

G

151.312200

G H 257.480

H

169.425400

H I 198.070

I

163.685800

I J 149.720

J

151.754200

J K 188.320

K

145.326500

K L 169.420

L

164.324500

L M 285.520

M

161.323200

M N 337.720

N

162.724500

N O 281.920

O

158.325400

O A 265.250

M N

L K

O

J

A E 500° .242 S 12

I

B H

G

C

F D E

174

C A P ÍTU LO XII

LEVANTAMIENTO DE PREDIOS IRREGULARES 12.1. INTRODU CCIÓN L as

áreas

de

predios

con

l in deros ,

o

cu rvos ,

usu alm en te s e

determ in a es tablecien do un a lín eas bas e cerca y m idien do las dis tan cias , a in tervalos regulares o irregu lares , de és ta al lin dero. L as técnicas m ás us u ales s on tres : la técn ica del trapecio, la regla de Sim ps on y la técnica de coorden adas

12.2. TÉC NICA DEL TRAPECIO Si se dis pone de las extrem os de las orden adas al lin dero están u nidos por lín eas rec tas , s e form a u n a s erie de trapecios , cu yas bas es s on las dis tan cias y las altu ras s on el i n terval o comú n , b . En con secuen cia,

el

área

del

prim er

trapecio

es

b( h1 + h 2 ) / 2,

del

s egu n do es b( h2 + h3 ) / 2, etc. Su man do todas estas áreas , s e obtiene la s iguien te ecu ación para el área total A, en la qu e n es i gu al al n úm ero de orden adas .

FORMULA N° 12.1. C Á L CU LO C ON LA TÉCN I CA DE L TR APE C IO

 h + hn  A = b 1 + (h2 + h3 + ... + hn−1)  2 

175

FIGURA N° 12.1. R EPR ESE NTA CI ÓN DE L A TÉC N IC A DE L T RAPE CI O

EJ EM PL O: Calcu lar el área s i el in tervalo comú n es de 5 m y las ordenadas s on

9.02,

8.60,

10.45,

12.65,

12.07,

8.29

y

5.61

m,

res pec tivam ente. Solu ción  9.02 + 5.61  A = 5 + (8.60 + 10.45 + 12.65 + 12.07 + 8.29  = 296.87m2   2

12.3. TÉC NICA DE L A REGL A DE SIMPSON L a regla de Sim ps on , de un

tercio, pu ede aplic ars e a áreas com o

la que s e mu es tra en el gráfico, en don de las orden adas ti enen un in tervalo com ún

b, s iem pre que s e tom e u n

nú mero

n on

de

orden adas . L a regla pu ede aplicarse c om o sigue: el área es igu al a u n tercio del in tervalo com ún en tre orden adas , m ultiplican do por la su m a de la prim era y ú ltim a orden adas , más dos veces la sum a de las otras orden adas n ones , m ás cu atro vec es la s u ma de las orden adas pares ; o s ea qu e, si n es el núm ero de orden adas :

FORMULA N° 12.2. C Á LCU LO C ON LA RE GL A DE S I MPS ON

A=

b h + hn + 2(h3 + h5 + ... + hn−2 ) + 4(h2 + h4 + ... + hn−1) 3 1 176

FIGURA N° 12.2. R EPRE SE NTA CI ÓN DE LA T ÉC N IC A DE S I MP SO N

h1

h2

h3

h4

h5

h6

h7

Es ta regla s e bas a en el su pues to de qu e la cu rva qu e pas a por los extremos de las prim eras tres orden adas es un a parábol a; lo m is mo para l a cu rva qu e pas a por los extremos de las orden adas 3, 4 y 5, y por los extrem os de las orden adas 5, 6 y 7, etc. Se s u pon e qu e es ta seri e de cu rvas parabólicas s e apegará m ás al lin dero qu e las lín eas rectas y qu e, por lo tan to, produ cirá un valor m ás exacto para el área.

EJ EM PL O: Calcu lar El área de l a figu ra s i el in tervalo com ú n es de 5 m, y las orden adas s on de 13.50, 12.80, 12.01, 10.55, 8.75, 6.80 y 4.45 m , res pec tivam ente. Solu ción : Pu es to qu e hay u n núm ero n on de distan cias , la regla pu ede aplic ars e a toda el área, como s igu e:

177

A =

5 [13.50 + 4.45 + 2(12.01 + 8.75) + 4(12.80 + 10.55 + 6.80)] = 300.12m2 3

12.4. TÉC NICA DE C OORDENADA S Si el lin dero de un área perm ite tomar m ejor las orden adas a in tervalos irregu lares , el área pu ede calcu lars e como u n a s erie de trapecios

separados ,

o

por

coorden adas .

Es ta

técnica

ya

se

explicó en el capítu lo anterior.

FIGURA N° 12.3. R EP RESE NTA CI ÓN DE L A TÉC N IC A DE COO RDE N AD AS

b6

h1

h2

h3

h4

h5

h6

b1

b2

b3

b4

b5

b6

b1

EJ EM PL O: Un ins tru ctor de Topografía, para calcu lar la s u perficie de un predio colin dan te con el cu rs o irregu lar de u n camin o, decide ejecu tar el

levan tam ien to bas án dos e en el 178

lado de

apoyo de

m anera

qu e el

lado

BC

del

polígon o

irregu lar. Tom an do com o bas e el lado in tervalos

irregu lares ,

18

cu erdas

quede BC

des de

B

cerca

del

orden a h acia

cu rs o

m edir, a los

bordes

irregu lares del cam in o, m idien do asim is mo, el án gu l o de elevación des de l a alineación BC hacia l os pu n tos de cada cu erda. L as m edi adas , regis tradas en la L ibreta de Cam po, s e in dican en los cu adros adjun tos .

FIGURA N° 12.4. R E PRESE NT A CI ÓN DE L PRE D IO I R REGU LA R

B EL GRÁFICO

ÁREA IRREGULAR

C A

ÁREA REGULAR

D

179

1.

L os datos de la parte regular

CUADRO N° 12.1. DATOS DE LA PARTE REGULAR LA DOS

2.

RUM B OS

DISTA NCIA S

AB

N 22.540000

E

920.220

BC

S 68.480000

E

1605.080

CD

S 24.520000

O

970.120

DA

N 66.680000

O

1570.850

L os datos de la parte irregu lar

CUADRO N° 12.2. DATOS DE LA PARTE IRREGULAR A LINEA CION CUERDA

A NGULO

+

DISTA NCIA (m)

B

1

3.540000

55.250

B

2

6.250000

112.250

B

3

8.250000

185.240

B

4

9.230000

212.240

B

5

12.420000

360.250

B

6

9.650000

420.150

B

7

7.650000

485.320

B

8

7.420000

542.840

B

9

6.250000

642.540

B

10

7.250000

745.120

B

11

10.210000

942.540

B

12

13.240000 1,012.650

B

13

16.320000 1,145.240

B

14

15.210000 1,234.560

B

15

13.850000 1,355.550

B

16

10.420000 1,462.420

B

17

6.470000 1,564.120

B

18

3.450000 1,584.410

180

2.

Cálcu lo de Alejam ien tos , latitu des , error lin eal de cierre y error an gular de ci erre

C U A DR O N° 12.3. C Á L CU LO DE A LE JA MI E NTOS Y LA TI TU DES LA DOS

RUM B OS

DISTA NCIA S

AB

N 22.540000

E

920.220

BC

S 68.480000

E

CD

S 24.520000

O

970.120

DA

N 66.680000

O

1570.850

A LEJ A M IEN T OS ESTE

OESTE

L A T IT U D E S NORTE

SUR

352.746

0.000

849.926

0.000

1605.080 1493.189

0.000

0.000

588.785

402.610

0.000

882.631

0.000 1442.525

621.846

0.000

0.000

5066.270 1845.936 1845.135 1471.773 1471.416

0.801

0.356

3. Com pens ación de alejam ien tos y latitu des

C U A DR O N° 12.4. C O MPENS AC IÓ N DE A LE J A MI EN TOS Y LA T I TUDES LA DOS

C O M P E N S A C IO N E S CORR. A LEJ.

A LEJA M IEN.

CORR. LA T.

AB

-0.145

352.601

-0.065

849.862

BC

-0.254

1492.936

0.113

-588.898

CD

0.153

-402.764

0.068

-882.699

DA

0.248 -1442.773

-0.111

621.736

0.000

LA TITUDES

0.000

181

4. Cál cu lo de las m edidas corregidas , de las coorden adas y del área de la parte regular

C U A DR O N° 12.5. C Á LCU LO DE LA S ME D ID AS C OR REG ID AS LADOS

C O R R E C C ION E S A NGULOS

DISTA NCIA S

C OORD ENA D A S ESTE

NORTE

AB

22.533181

920.104

0.000

0.000

0.000

BC

-68.472928

1,604.885

352.601

849.862

92,016.041

C D

24.526565

970.246 1,845.536

D A

-66.687285

1,571.034 1,442.773

260.964 -2,715,886.592 -621.736

5066.270

-376,511.295 -3,000,381.846

ÁREA

6.

DOB LES A REAS

1,500,190.923

L as com pon en tes (ordenadas y abs cisas ) de la parte irregular

F I GU RA N° 12.5. R EPRESE NTA CI ÓN GR Á FI C A DE A BSC I S AS Y O RDE NA D AS Abscisa 7 = (CUERDA B− 7 )(CosCUERDA B − 7 ) Abscisa 7 = (826.640m)(Cos12.325400°) = 807.587m

Ordenada 7 = (CUERDA B− 7 )(SenCuerda B− 7 )

Ordenada7 = (826.640m)(Sen12.325400 °) = 176.457m

182

C U A DR O N° 12.6. C Á LCU LO DE A BS C ISAS Y O RDE N AD AS A LINEA CION CUERDA

A NGULO

+

DISTA NCIA (m)

C OM P ONEN T ES A BSCISAS

ORDENA DA S

B

O

0.000000

0.000

0.000

0.000

B

1

3.540000

55.250

55.145

3.411

B

2

6.250000

112.250

111.583

12.220

B

3

8.250000

185.240

183.323

26.581

B

4

9.230000

212.240

209.492

34.043

B

5

12.420000

360.250

351.819

77.481

B

6

9.650000

420.150

414.205

70.429

B

7

7.650000

485.320

481.001

64.606

B

8

7.420000

542.840

538.294

70.103

B

9

6.250000

642.540

638.721

69.951

B

10

7.250000

745.120

739.163

94.033

B

11

10.210000

942.540

927.615

167.071

B

12

13.240000 1,012.650

985.733

231.928

B

13

16.320000 1,145.240 1,099.095

321.814

B

14

15.210000 1,234.560 1,191.314

323.896

B

15

13.850000 1,355.550 1,316.138

324.493

B

16

10.420000 1,462.420 1,438.302

264.497

B

17

6.470000 1,564.120 1,554.158

176.250

B

18

3.450000 1,584.410 1,581.539

95.346

B

C

0.000000 1,604.885 1,604.885

0.000

183

7.

Cálcu lo de las coorden adas de la parte irregul ar y del área del predio irregular

C U A DR O N° 12.7. C Á LCU LO DE L Á RE A DE L P RED IO I RRE GU L AR A LINEA CION CUERDA

A NGULO

+

DISTA NCIA (m)

C OM P ON EN T ES A B SCISA S

ORDENA DA S

COORDENA DA S ESTE

DOB LES A REA S

NORTE

B

O

0.000000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

B

1

3.540000

55.250

55.145

3.411

55.145

3.411

673.884

B

2

6.250000

112.250

111.583

12.220

111.583

12.220

2,585.278

B

3

8.250000

185.240

183.323

26.581

183.323

26.581

4,000.580

B

4

9.230000

212.240

209.492

34.043

209.492

34.043

10,663.277

B

5

12.420000

360.250

351.819

77.481

351.819

77.481

12,801.468

B

6

9.650000

420.150

414.205

70.429

414.205

70.429

-5,332.792

B

7

7.650000

485.320

481.001

64.606

481.001

64.606

-156.841

B

8

7.420000

542.840

538.294

70.103

538.294

70.103

2,877.115

B

9

6.250000

642.540

638.721

69.951

638.721

69.951

15,284.637

B

10

7.250000

745.120

739.163

94.033

739.163

94.033

71,787.507

B

11

10.210000

942.540

927.615

167.071

927.615

167.071

127,912.820

B

12

13.240000 1,012.650

985.733

231.928

985.733

231.928

152,535.346

B

13

16.320000 1,145.240 1,099.095

321.814 1,099.095

321.814

101,082.093

B

14

15.210000 1,234.560 1,191.314

323.896 1,191.314

323.896

3,190.675

B

15

13.850000 1,355.550 1,316.138

324.493 1,316.138

324.493

-78,177.718

B

16

10.420000 1,462.420 1,438.302

264.497 1,438.302

264.497 -213,218.284

B

17

6.470000 1,564.120 1,554.158

176.250 1,554.158

176.250 -262,887.533

B

18

3.450000 1,584.410 1,581.539

95.346 1,581.539

95.346 -278,745.665

B

C

0.000000 1,604.885 1,604.885

0.000 1,604.885

0.000 -153,019.087

DOBLE AREA -486,143.239 2

AREA m

8.

243,071.619

El área total (parte regu lar y parte irregu lar), es .

C U A DR O N° 12.8. R E SU ME N DE Á R E AS DE L P RED IO I RRE GU LAR

ÁREA DE LA PARTE REGULAR

1,500,190.923 m2

ÁREA DE LA PARTE REGULAR

243,071.619 m2 1,743,262.542 m2

ÁREA TOTAL DEL PREDIO

184


Calcu lar

la

s u perficie

repres en taci ón

gráfica

de y

la

s us

parcela res pectivas

irregu lar. medidas

La se

m u es tran a con tin uación . El lado irregu lar s e en cuen tra s obre CD. RUM B OS (°)

LA DO

DISTA NCIA m

CUERDA

Á NGULO DE ELEVA CIÓN (°)

DISTA NCIA m

AB

S

80.425400 W

1478.260

1

0.965400

52.630

BC

N

15.416400 W

844.520

2

2.365400

132.250

CD

N

76.412400 E

1489.270

3

3.355200

253.320

DA

S

14.326400 E

947.463

4

6.645800

356.280

5

7.263500

456.280

6

6.548700

703.280

7

4.596700

936.280

8

2.654800

1121.240

9

1.326400

1332.580

185

2.

Calcu lar la su perficie de l a parcela irregu lar. L a repres en tación gráfica y su s res pectivas m edidas se mu es tran a con tinu ación . El lado irregular s e enc uentra bajo el lado CD. RUM BOS (°)

LA DO

DISTA NCIA m

CUERDA

Á NGULO DE DEPRESIÓN (°)

DISTA NCIA m

AB

S

83.623400 E

1457.250

1

1.253100

41.625

BC

S

6.225800 W

963.530

2

2.865400

124.360

CD

N

83.225600 W

1495.630

3

3.358700

232.250

DA

N

8.554800 E

954.220

4

5.623400

362.540

5

4.362500

532.960

6

5.624000

861.360

7

3.659800

1025.640

8

2.635400

1236.540

9

1.025400

1402.380

186

3.

Calcu lar la su perficie de l a parcela irregu lar. L a repres en tación gráfica y su s res pectivas m edidas se mu es tran a con tinu ación . El lado irregular s e enc uentra bajo el lado CD. RUM B OS (°)

LA DO

DISTANCIA m

CUERDA

ÁNGULO DE DEP RESIÓN (°)

DISTA NCIA m

AB

S

72.442500 W

1399.250

1

1.326500

63.240

BC

N

16.624400 W

952.560

2

3.326500

156.350

CD

N

76.624500 E

1492.680

3

5.265400

365.240

DA

S

10.452800 E

850.240

4

6.325400

512.640

5

4.362500

723.540

6

3.632500

936.250

7

4.326400

1095.320

8

2.036400

1254.580

9

1.032400

1395.640

187

4.

Calcu lar la su perficie de l a parcela irregu lar. L a repres en tación gráfica y su s res pectivas m edidas se mu es tran a con tinu ación . El lado irregular s e enc uentra s obre el lado CD. RUM B OS (°)

LA DO

DISTA NCIA m

CUERDA

Á NGULO DE ELEVA CIÓN (°)

DISTA NCIA m

AB

N

88.442500 E

1453.120

1

1.232500

52.350

BC

S

7.624400 E

764.280

2

2.654800

121.320

CD

S

87.624500 W

1494.260

3

5.236500

235.360

D A

N

4.452800 W

782.110

4

7.352400

412.250

5

4.265400

632.540

6

3.365400

845.270

7

2.525400

1005.640

8

3.654800

1265.280

9

1.584700

1395.240

188

C A P ÍT ULO XI II

LEVATAMIENTO DE PREDIOS LIGADOS

13.1. INTRODU CCIÓN M u ch as veces , al efectu ar el levan tamien to de un predio, es m u y difícil medir directam en te a lo largo de los lin deros por la pres en cia de obs tru ccion es (cortin a de árbol es , paredes , cercos vivos , etc.) En es te cas o, las lon gitu des y ru m bos de los lin deros s e calcu lan m edi an te un a poligon al au xiliar (den tro o fu era del predio) cu yas es tacion es deben u bicarse en lu gares acces ibles y cercanos a los vértices del predio. Des de cada u n a de las es taciones de la poligonal au xiliar s e liga cu idados am ente

el

vértice

m ás

cercan o

mediante

án gu lo

y

dis tan cia. El cálcul o de l a poligon al dará las coorden adas de las es tacion es de

la

poligon al

au xiliar,

y

és tas

perm itirán

determi nar

las

coorden adas de l os vértices del predi o. Lu ego s e res uelve el problem a in vers o para obten er las lon gitu des y ru mbos de los lin deros del predio.

13.2. CÁL CUL O TIPO DE U N PREDIO L IGAD O 1. L os datos de la poligon al de apoyo

189

C U A DR O N° 13.1. D A TO S DE LA PO LIG ONA L DE APOY O LADOS

RUMBOS

DISTANCIA

AB

N

4.500000 E

1,830.6200

BC

N

65.120000 O

348.3200

CD

N

71.840000 E

1,203.4500

D E

S

30.240000 O

408.5400

EF

S

21.450000 E

1,957.0500

FA

S

83.360000 O

1,492.0000 7,239.9800

2. L os datos de las ligas .

CUADRO N° 13.2. DATOS DE LA LIGAS LIGAS

RUMBOS

DISTANCIAS

AP

S

31.50000 O

78.120

CQ

N

63.50000 O

82.240

D R

N

23.16000

E

86.520

FS

S

65.20000

E

52.650

190

3. El gráfico

F I GU RA N° 13.1. R E PRESE N TA CI ÓN GRÁ F I C A DE L P RED IO

R Q

D C

E B

F A

S P

191

4. Cálcu lo de alejam ien tos y latitu des de apoyo

C U A DR O N° 13.3. C Á LCU LO DE A LE JA M IE NTOS Y L A TI TU DE S LADOS

RUMBOS

AB

N

BC

4.500000

ALEJAMIENTOS

DISTANCIA

ESTE

LATITUDES

OESTE

NORTE

SUR

E

1,830.6200

143.629

0.000

1,824.977

0.000

N

65.120000 O

348.3200

0.000

315.993

146.545

0.000

CD

N

71.840000

E

1,203.4500

1,143.506

0.000

375.081

0.000

DE

S

30.240000 O

408.5400

0.000

205.750

0.000

352.947

EF

S

21.450000

1,957.0500

715.672

0.000

0.000

1,821.499

FA

S

83.360000 O 1,492.0000

0.000

1,481.992

0.000

172.521

7,239.9800

2,002.807

2,003.735

2,346.603

2,346.967

E

-0.928

-0.364

5. Cálcu lo de las correccion es de al ejami en tos y de latitu des del polígon o de apoyo

C UA DR O N° 13.4. C OR REC CI ONES DE A LE JA M IEN TOS Y L A TI TUDES LADOS

C O R R E C C I O N E S CORR. ALEJ. ALEJAMIEN.

CORR. LAT.

LATITUDES

AB

0.235

143.864

0.092

1,825.069

BC

-0.045

-315.948

0.018

146.562

CD

0.154

1,143.660

0.061

375.142

DE

-0.052

-205.698

-0.021

-352.927

EF

0.251

715.923

-0.098

-1,821.400

FA

-0.191

-1,481.801

-0.075

-172.446

0.000

6. Cálcu lo

de

las

medi das

0.000

corregidas ,

apoyo y el área de apoyo.

192

las

coorden adas

de

C U A DR O N° 13.5. C Á LCU LO DE ME D ID AS CO RRE GI DA S LADOS

MEDIDAS CORREGIDAS ANGULOS

DISTANCIAS

COORDENADAS DE APOYO ESTE

DOBLES

NORTE

ÁREAS

AB

4.507097

1,830.730

0.000

0.000

0.000

BC

-65.114294

348.287

143.864

1,825.069

283,645.801

CD

71.839551

1,203.615

-172.085

1,971.631

-89,777.244

DE

30.235104

408.496

971.576

2,346.773

21,583.602

EF

-21.457892

1,957.050

765.878

1,993.846

-1,665,269.138

FA

83.362014

1,491.801

1,481.801

172.446

-2,954,483.067

7,239.980

0.000

0.000

-4,404,300.046

ÁREA

2,202,150.023

F I GU RA N° 13.2. R E PRESE N TA CI ÓN GRÁ F I C A DE COO RDE N AD AS DE APOY O

E = 971.576 m N = 2,346.773 m

D

E = -172.085 m N = 1,971.631 m

C E = 143.864 m N = 1,825.069 m

E

E = 765.878 m N = 1,993.846 m

B

F E = 1,481.801 m N = 172.446 m

A E = 0.000 m N = 0.000 m

193

7. Cálcu lo de los alejamien tos y latitu des de las ligas

C U A DR O N° 13.6. C Á L CU LO DE A LE J A MI E NTOS Y LA TI TU DES DE LIG AS LIGA S

RUM BOS

ALEJA M IENTOS

DISTA NCIAS

ESTE

LA TITUDES

OESTE

NORTE

SUR

AP

S

31.50000 O

78.120

0.000

40.818

0.000

66.608

CQ

N

63.50000 O

82.240

0.000

73.599

36.695

0.000

DR

N

23.16000 E

86.520

34.028

0.000

79.547

0.000

FS

S

65.20000 E

52.650

47.794

0.000

0.000

22.084

8. L as ligas , al n o es tar u nidas en tre s í, n o s e corri gen

C U A DR O N° 13.7. C Á LCU LO DE LA COR RE C CI ÓN DE LI GA S C O R R E C C IO N E S

LIGAS CORR. A LEJ.

A LEJA M IEN.

CORR. LA T.

LATITUDES

AP

0.000

-40.818

0.000

-66.608

CQ

0.000

-73.599

0.000

36.695

DR

0.000

34.028

0.000

79.547

FS

0.000

47.794

0.000

-22.084

9. Calcu lo de las coorden adas de las ligas

C U A DR O N° 13.8. C Á LCU LO DE LA S C OOR DE NA D AS DE LI GAS

LIGA S

C O R R E C C IO N E S A LEJA M IEN.

LA TITUDES

COORDENA DA S DE LAS LIGAS ESTES

NORTES

AP

-40.818

-66.608

-40.818

-66.608

CQ

-73.599

36.695

-73.599

36.695

DR

34.028

79.547

34.028

79.547

FS

47.794

-22.084

47.794

-22.084

194

F I GU RA N° 13.3. R EPRE SE N TA CI ÓN G RÁ FI C A DE L A LIG A AP NM

E = 0.000 m N = 0.000 m

A

EP = -40.818 m NP = -66.608 m

Alej. = -40.818 m

P F I GU RA N° 13.4. R EPRES E N TA CI ÓN G RÁ FI C A DE L A LIG A FS NM

E = 1,481.801 m N = 172.446 m

F S6 5.2 00 00 0°

E, 52 .65 0

m

Alej. = 47.794 m

S

195

ES = 1,529.595 m NS = 150.362 m

F I GU RA N° 13.6. R EP RESE N TA CI ÓN G RÁ FI CA DE LA LI GA CQ

N

63 .5 00 00 0°

W

,8 2. 2

40

m

N

196

Lat. = 79.547 m

23 .1 60 00 0° E, 8

6. 52 0

m

F I GU RA N° 13.7. R EPR ESE N TA CI ÓN G RÁ FI C A DE LA LIG A DR

10.

Cálc ulo de las coorden adas del predio

C U A DR O N° 13.9. C Á LCU LO DE LA S COOR DE NA D AS DE PRE DI O LIGAS

COORDENA DA S DE LA S LIGA S ESTES

COORDENADAS DEL AP OYO

NORTES

ESTES

COORDENADAS DEL PREDIO

NORTES

ESTES

NORTES

AP

-40.818

-66.608

0.000

0.000

-40.818

-66.608

CQ

-73.599

36.695

-172.085

1,971.631

-245.684

2,008.327

DR

34.028

79.547

971.576

2,346.773

1,005.604

2,426.320

FS

47.794

-22.084

1,481.801

172.446

1,529.595

150.362

F I GUR A N° 13.8. R EP RESE N TA CI ÓN DE LA S COOR DE NAD AS DE L P RE DI O

RE

R = 1,005.604 m NR = 2,426.320 m

Q

EQ = -245.684 m NQ = 2,008.327 m

ED = 971.576 m ND = 2,346.773 m EC = -172.085 m NC = 1,971.631 m

C

D

E

B

E = 1,481.801 m N = 172.446 m

F

E = 0.000 m N = 0.000 m

ES = 1,529.595 m NS = 150.326 m

A EP = -40.818 m NP = -66.608 m

S

P

197

11. Cálcu lo de los alejamien tos y latitu des del predio C U A DR O N° 13.10. C Á LCU LO DE A LE JA MI EN TO S Y L A TI TUDE S DE L PRE DI O LIGA S

COORDENA DA S DEL P REDIO ESTES

COM PONENTES DEL P REDIO

NORTES

A LEJA M IENTOS

LA TITUDES

PQ

-40.818

-66.608

-204.866

2,074.935

QR

-245.684

2,008.327

1,251.288

417.994

R S

1,005.604

2,426.320

523.991

-2,275.959

SP

1,529.595

150.362

-1,570.413

-216.970

SUMAS

0.0000

0.0000

12. Cálcu lo de rum bos y dis tan ci as del predio C U A DR O N° 13.11. C Á LCU LO DE RU M BOS Y D IS TAN C IAS DE L PRE DI O LA DOS

COM P ONENTES DEL P REDIO A LEJA M IENTOS

M EDIDA S DEL P REDIO

LA TITUDES

A NGULOS

DISTA NCIA S

PQ

-204.866

2,074.935

-5.638760

2,085.0240

QR

1,251.288

417.994

71.528060

1,319.2576

RS

523.991

-2,275.959

-12.965213

2,335.4989

SP

-1,570.413

-216.970

82.133751

1,585.3304

0.0000

0.0000

7,325.1108

13. Cálcu lo de la su perficie del predio C U A DR O N° 13.12. C Á LCU LO DE LA S UPER FI C I E DE L PR E D IO LA DOS

COORDENA DA S DEL P REDIO ESTES

DOB LES

NORTES

A REA S

PQ

-40.818

-66.608

-75,837.646

QR

-245.684

2,008.327

-612,472.635

RS

1,005.604

2,426.320

-1,868,377.046

SP

1,529.595

150.362

-3,813,171.895 -6,369,859.222

ÁREA

198

-3,184,929.611


Com pens ar la poli gonal de apoyo, calcular las coordenadas de apoyo, las coorden adas de ligas y las del predi o; y, reportar s u res pecti va s u perficie, las medidas y dibu jar el plan o del predio ligado qu e s e mu es tra.

POLIGONAL DE AP OYO LA DO

LÍNEA S DE LIGA DISTANCIA S HORIZONT (m)

RUM B OS (°)

LIGA

DISTA NCIAS HORIZONT (m)

RUM B OS (°)

12

N

39.254600 E

501.420

1A

S

77.126500 W

55.320

23

S

58.424500 E

794.630

2B

N

2.452800

E

92.540

34

S

26.427500 W

530.230

3C

N

78.852400

E

112.640

41

N

56.451200 W

910.140

4D

S

12.568400

E

175.640

B

2

A

1 3

4

D

199

C

2.

Com pens ar la poli gonal de apoyo, calcular las coordenadas de apoyo, las coorden adas de ligas y las del predi o; y, reportar s u res pecti va s u perficie, las medidas y dibu jar el plan o del predio ligado qu e s e mu es tra. P OLIGONA L DE A P OYO LA DO

RUM B OS (°)

LÍNEA S DE LIGA DISTA NCIA S HORIZONT (m)

LIGA

RUM B OS (°)

DISTA NCIA S HORIZONT (m)

12

S

70.254600 E

825.640

1A

S

18.126500 E

95.230

23

S

31.424500 W

1120.640

2B

S

74.452800 W

162.380

34

N

55.427500 W

729.680

3C

N

11.852400 W

152.480

41

N

26.451200 E

916.450

4D

N

68.568400 E

85.640

200

3.


P OLIGONA L DE AP OYO LA DO

LÍNEA S DE LIGA

RUM B OS (°)


LIGA


RUM B OS (°)

12

N

19.254600 W

569.340

1A

N

23.126500

E

85.230

23

N

68.424500 E

963.450

2B

S

89.452800

E

72.280

34

S

22.427500 E

710.120

3C

S

12.852400 W

52.480

41

S

76.451200 W

1006.540

4D

N

76.568400 W

135.640

3

C

2

B

D 4

A

1

4.

Com pens ar la poli gonal de apoyo, calcular las coordenadas de apoyo, las coorden adas de ligas y las del predi o; y, reportar s u res pecti va s u perficie, las medidas y dibu jar el plan o del predio ligado qu e s e mu es tra. 201

P OLIGONA L DE A POYO LADO

5.

RUM B OS (°)

LÍNEAS DE LIGA DISTA NCIA S HORIZONT (m)

LIGA


RUM B OS (°)

12

N

6.254600 E

677.960

1A

S

52.126500 W

165.230

23

S

79.424500 E

968.320

2B

N

33.452800 W

131.280

34

S

6.427500 W

490.120

3C

N

61.852400

E

98.480

41

S

89.451200 W

970.540

4D

S

38.568400

E

65.640


202

P OLIGONA L DE A P OYO LA DO

RUM B OS (°)


LIGA


RUM B OS (°)

12

N

2.926400 E

871.250

1A

S

45.325800

W

162.450

23

S

86.863400 E

1374.420

2B

N

48.635900

W

149.340

34

S

9.251400 E

667.760

3C

N

52.254800

E

283.240

45

N

86.324500 W

796.530

4D

S

51.364800

E

155.630

51

S

75.632400 W

752.560

6.


203

P OLIGONAL DE A POYO LADO

RUM BOS (°)

LÍNEA S DE LIGA DISTANCIA S HORIZONT (m)

LIGA


RUM B OS (°)

12

N

13.246400 E

1039.560

1A

N

54.825400

E

147.540

23

S

81.425800 E

1676.240

2B

S

10.754800

E

333.250

34

S

3.526400 W

1040.340

2C

S

68.362500

E

430.240

41

N

81.425500 W

1852.130

3D

S

75.725800

W

310.560

4E

N

48.362800

W

315.430

7.


204

P OLIGONA L DE A P OYO LA DO

RUM B OS (°)


LIGA


RUM B OS (°)

12

N

87.425600 W

1501.180

1A

S

45.425900

E

152.520

23

N

18.125800 W

317.880

2B

S

60.324800

W

278.360

34

N

12.362400 E

412.180

4C

N

35.421200

W

248.630

45

N

86.236400 E

1448.820

5D

N

44.589700

E

150.360

51

S

4.254800 E

869.770

8.


205

POLIGONA L DE A POYO LA DO

LÍNEAS DE LIGA

RUM BOS (°)


LIGA

DISTANCIAS HORIZONT (m)

RUM BOS (°)

12

S

81.932500 W

1866.810

1A

N

55.724500

W

147.360

23

N

4.253200 W

1033.140

2B

N

62.241500

E

242.650

34

N

80.126600 E

1693.080

3C

S

26.245700

E

441.370

41

S

13.654700 E

1089.110

3D

S

80.368400

E

329.520

4E

S

33.524800

W

155.420

4

E 3 D

C

A 1 B

2

206

C A P ÍT U LO XIV

FRACCIONAMIENTO POR LÍNEA

14.1. INTRODU CCIÓN El cálculo tipo de un a parc ela para frac cion am ien to en s u bparcelas por

u na

lín ea

de

di rección

dada,

in corpora

con ceptos

fu n damen tales ya u tiliz ados y aplic ados en la s olu c ión de varios problem as topográficos . El éxito depen de, fu n damen talm en te, de la adopc ión de las s iguien tes operacion es orden adas de cálcu lo: Represen tar

gráficam en te

los

datos

de

partida

(au n qu e

el

alum no pu ede cons iderar irrelevante esta rec omen dación , el éxito

en

el

fraccion am ien to

es tá

determin ado

por

la

con stru cción , a es cala, de la res pectiva repres en tac ión gráfica) Com probar el cierre geom étrico y la con sis tenc ia de los datos Calcu lar los ru m bos de partida (s í n o s on los de partida) y com probar el últim o rum bo por u n a ru ta de cálc ulo diferen te a s u es tablecim ien to. Com pens ar y calcular la su perfi cie la parcela o predio. Frac cion ar en dos su bparcelas qu e s um en la su perfi cie de la parcel a o predio.

14.2. L OS DATOS DE PARTIDA C U A DR O N° 14.1. D A TO S DE PA R TI D A DEL F R A CCI ON A MIE N TO LA DOS

RUM B OS (°)

DISTA NCIA S (m)

AB

S

66.6484 O

877.800

BC

N

33.00256 O

386.550

CD

N

4.332480 E

339.550

DE

N

69.56512 E

833.020

EA

S

19.08664 E

639.720 207

b) L A REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL PREDIO

F I GU RA N° 14.1. R E PRESE N TA CI ÓN GRÁ F I C A DE L F R A CC IO NA MIEN T O

SUBPREDIO 2: NDEM

W 00° 248 4.1 7 S N= A, M E ID C O IBL ON SC NC O IÓ N G ECC CO DIR DE RO A E E LÍN ,P IDA OC N O SC DE M C_ SUBPREDIO EA LÍN ABCNM

4. C OM PENSACIÓ N DE L A POL IGONAL a) Cálcu lo de alejam ien tos y latitu des

208

1:

C U A DR O N° 14.2. C Á LCU LO DE A LE JA M IE NTOS Y L A TI TU DE S DE L FR A C C IO NA M IEN TO LA DOS

A LEJA M IENTOS

DISTA NCIA S (m)

RUM B OS (°)

ESTE

LA TITUDES

OESTE

NORTE

SUR

AB

S

66.6484 O

877.800

0.000

805.899

0.000

347.936

BC

N

33.00256 O

386.550

0.000

210.545

324.179

0.000

CD

N

4.332480 E

339.550

25.651

0.000

338.580

0.000

D E

N

69.56512 E

833.020

780.598

0.000

290.843

0.000

E A

S

19.08664 E

639.720

209.187

0.000

0.000

604.552

3,076.640

1,015.436

1,016.444

953.601

952.487

-1.008

1.114

b) Com o en cual quier poligon al cerrada, las su m as algebraicas de los alej ami en tos y de las l atitu des debían s er i gu ales a cero, porqu e el levan tamien to s e inic ia y term in a en el mis mo pun to. No obs tan te, por los in evitables errores en las medici nes

lin eales

y

an gulares ,

es tas

con dicion es

casi

nu nc a s e s atis farán exactamen te. L os cálcu los , in di can qu e:

c)

ERROR LINEAL DE CIERRE

FÓRMULA N° 14.1. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO

ELC = (∑ Alejs.)2 + (∑ Lats.)2 ELC = (−0.008)2 + (1.114)2 = 1.503m

d)

ERROR ANGU L AR DE CIERRE

FÓRMULA N° 14.2. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO EAC = (tgα ) =

ERRORAlej. ERRORLat.

E AC = (tg α ) =

− 0.008 = 42.152836 ° 1.114 209

e)

Des pués de determin ar los errores lin eal y an gu lar de cierre, la

poligon al

debe

ser

compens ada.

La

operación

de

compens ar se refiere a la dis tribu ción equ itativa y l ógi ca de las correcciones a los alejam ientos y latitu des , de m odo qu e s us

s umas

algebraicas

procedim ien to

hará

se

qu e

la

igu alen poligon al

a

cero.

s ea

un a

Este fi gu ra

matem áticam en te cerrada. f)

El procedim ien to qu e em plearem os es L A REGL A DE L A BRÚJ UL A, ésta su pon e que la calidad de las m ediciones lin eales y an gu lares es aproximadam ente la mis m a qu e las correccion es proporción

a

los

di recta

alejamien tos a

la

l on gi tu d

y

latitu des del

lado.

varían

en

As im is mo,

es pecifica que la corrección al alejam ien to (o l a latitu d) de un lado es el error total en los alejam ien tos (o las latitu des ) como la lon gitu d del lado es a la lon gitu d de la poligon al. Por

tan to,

con

referen cia

al

lado

AB,

la

correc ción

al

al ejamien to s e cal cula con la s igu iente relaci ón :

FÓRMULA N° 14.3. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE ALEJAMIENTOS DEL FRACCIONAMIENTO

C Alej.( AB)

=

E Alej. C Alej.( AB )

− 1.008m

Lado AB Perím etro

=

877.800m 3, 076.640m

C Alej.( AB) = − 0.288m

As im is mo, con referen cia al lado AB, la corrección a la latitu d s e cal cula con l a s igu ien te relación : FÓRMULA N° 14.4. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE LATITUDES DEL FRACCIONAMIENTO

CLat.( AB) ELat.

=

LadoAB Perímetro

210

CLat.(AB) 1.114m

=

877.800m 3, 076.640m

CLat.(AB) = 0.318m

g)

Las correccion es deben aplicars e en form a apropiada. As í, para el cas o pres en te, la s um a de los alejamientos es te es menor

qu e

correccion es

los a

los

alejamien tos alejamien tos

oes te. es te

Por serán

tan to,

las

positivas ,

y

negativas a los alejam ien tos oes te. As im is mo, la s um a de las

latitu des

n orte es

men or

qu e las

latitu des s u r.

Por

con siguien te, las correcciones a l as latitu des n orte serán pos itivas , y n egativas a las latitu des s u r.

5. CÁL CU L O DE RUM BOS Y DISTA NCIAS CORREGIDOS a)

Para calcu lar l os ru m bos corregidos, es deci r, u tilizan do los al ejamien tos y latitu des com pens adas , se debe APL ICAR la mis ma ecu ación us ada para calcular el Error An gu lar de Cierre (E A C ), as í:

FÓRMULA N° 14.5. CÁLCULO DE RUMBOS CORREGIDOS DEL FRACCIONAMIENTO

RUMBO AB = (tgα AB ) =

RUMBO AB = (tg α AB ) =

b)

As im is mo,

las

Alej.AB Lat.AB − 805.612 = 66.621908 ° − 348.254

dis tan cias

corregidas

se

calcu lan

con

la

mis ma ecu ación qu e u ti lizam os para calcular el Error Lineal de Cierre (E L C ), as í:

211

FÓRMULA N° 14.6. CÁLCULO DE DISTANCIAS CORREGIDAS DEL FRACCIONAMIENTO

∑ Alej

2

Dis tan cia Corregida A B = D C ( A B ) =

DC( AB ) =

+ ∑ Lat2

(−805.612m)2 + (−348.254m)2 = 877.662m

c) L a tabulac ión c ompleta es la siguien te:

C U A DR O N° 14.3. T A BUL A CI ÓN DE RU MBO S Y DI STA NC I AS DE L FR A C C IO NA M IEN TO

LA DO

RUM BOS

DISTANCIA S

AB

S

66.621908 O

877.662

BC

N

32.998108 O

386.364

C N

N

4.352779 E

69.125

NM N

74.124800 E

942.013

MA

19.097598 E

320.004

S

2,595.167

6. CÁL CU L O DE C OORDENADAS L a primera coorden ada de un a es tación de poligon al , o de partida, es igu al a c ero. L as demás coorden adas s e obtien en m edi an te la s u ma algebraica s u ces iva de l as latitu des y los alejamien tos

com pens ados

con

las

coorden adas

del

pu nto

an terior. L as operaciones aritméticas quedarán com probadas sí las coorden adas del pun to de parti da, determin adas a partir del ú ltim o pun to, qu edan igu ales a los val ores origin ales dados , com o s e mu es tra en el s igu ien te cu adro:

212

C U A DR O N° 14.4. T A BU L A CI ÓN DE CO ORDE N AD AS RE L A TI VA S DE L FR A C C IO NA M IEN TO

LADOS

C O R R E C C IO N E S A LEJA M IENT

COORDENADA S RELA TIVAS

LA TITUDES

ESTES

NORTES

AB

-805.612

-348.254

0.000

0.000

BC

-210.418

324.039

-805.612

-348.254

CD

25.762

338.457

-1016.030

-24.215

DE

780.871

290.541

-990.267

314.242

EA

209.397

-604.783

-209.397

604.783

0.000

0.000

El procedim ien to para calcu lar el área de cu alqu ier fi gu ra plan a cerrada, lim itada por lín eas rectas , es igual a la mitad

de la suma algebraic a de los productos de cada ordenada por la diferencia entre las dos abscisas adyacentes, restando siempre la abscisa anterior de la siguiente. Es ta

regla

pu ede

algebraicam en te

dedu cirs e

las

áreas

de

con los

facilidad

trapecios

s um an do

form ados

al

proyectarlas los dos l ados de l a poligon al s obre un meridiano de referen cia al oes te del terreno. Al aplicar l a regla an terior a la práctica de la topografía, s e s u stitu yen los términ os de orden ada y abs cis a por las coorden adas corres pon dien tes , ESTE y N ORTE. Ya con es tas s us titu cion es , us an do las letras E y N in dicar

las

s igu ien te vértice

en

coorden adas ,

m an era: forma

se de

la

regla

es criben quebrado,

las

pu ede

aplicars e

c oorden adas

con

la

abs cis a

para de

de E

la

cada en

el

n um erador y la orden ada N en el den ominador. L u ego, la s erie de qu ebrados así es critos se divide m edian te lín eas prim er

verticales

in terrum pidas .

num erador,

E1,

por

la

En ton ces , diferen cia

se

mu l ti plica

en tre

los

el

dos

den ominadores adyacen tes , N 2 y N 7 , res tan do siem pre la abs cis a an terior, N 7 , de la s iguiente, N 2 . Para in dicar es ta operación , s e es cribe el den ominador de la ú lti ma fracción 213

s itu ada a la derech a, N 7 , fu era de la lín ea in terrum pi da, a la izquierda

del

den ominador

primer del

quebrado.

prim er

Igu alm en te,

qu ebrado,

N1 ,

se

fu era

es cri be de

la

el

lín ea

in terru m pida, a la derech a del ú ltim o qu ebrado. El arreglo com pl eto qu eda com o s igu e: Con el fin de determ in ar el área que en cierra la poligonal de n uestro

problema,

los

quebrados

tabu lados

vertical men te,

qu edan com o s igu e:

C U A DR O N° 14.5. M A TRIZ VER TI CA L DE C OORDE NAD AS RE LA TIV AS DE L FR A C C IO NA M IEN TO

604.783

N5

E1

N1

0.000

0.000

E2

N2

-805.612

-348.254

E3

N3

-1016.030

-24.215

E4

N4

-990.267

314.242

E5

N5

-209.397

604.783

N1

0.000

777777777777777.

7. CÁL CU L O DE LA SUPERFICIE DEL PREDIO El área del predi o, tabulada, es :

214

C U A DR O N° 14.6. C Á LCU LO DE DO BLE S Á RE AS Y ÁRE A DE L FR A C C IO NA M IEN TO

LA DOS

COORDENA DA S RELA TIVAS ESTES

DOB LES A REA S

NORTES

AB

0.000

0.000

0.000

BC

-805.612

-348.254

19,507.740

CD

-1016.030

-24.215

-673,115.039

DE

-990.267

314.242

-622,876.086

EA

-209.397

604.783

65,801.180 -1,210,682.204

ÁREA

8. CÁL CU L OS

DEL

605,341.102

FRACCI ONAM IEN TO

CON

DAT OS

DEL

SUB_PREDIO 1 a) Ten ien do

en

cuen ta

qu e

la

línea

de

fraccion amiento

com ien za en M qu e es tá a la mitad del lado AB del predio y term in a en el N qu e perten ece al alineamiento CD. b) As im ism o, ten ien do en cu en ta, qu e l a dirección de l a lín ea de frac cion am ien to M N es conocida por h aber sido dada; y, c ) Como s e des c on oc e la ubic ación de N, alin eam os el pun to M c on el vértic e C. Este alin eam iento es des con ocido pero es cogn os cible, s i lo cons ideram os com o un error de cierre. d) As í, la repres en tación gráfica y los datos del polígono M ABC, s on los s i guientes :

215

F I GU RA N° 14.2. R E PRESE N TA CI ÓN GRÁ F I C A DE L S UBP RED IO 1

4 .00 m

DE

G

0 32 ° E;

M

CI

CO

E I BL

N 32 .9 1 98 08 86 ;3 °W

S6

8 90 21 6 . 6

°W

77 ;8

2m .66

.3 64 m

C U A DR O N° 14.7. MED I DAS DE L SU BPRED I O 1 LA DO

RUM B OS

DISTA NCIA

AB

S

66.621908 O

877.662

BC

N

32.998108 O

386.364

CM MA

S 19.0975978

E

598 97 9.0 S1

C_ EA N Í L

O ON SC

O ER ,P A D

SC NO

320.004

216

C U A DR O N° 14.8. C Á LCU LO DE A LE JA M IE NTOS Y L A TI TU DE S DE L SU BP RED IO LA DO

RUM B OS

1

A LEJAM IENTOS

DISTA NCIA

ESTE

LA TITUDES OESTE

NORTE

SUR

AB

S

66.621908 O

877.662

0.000

805.612

0.000

348.254

BC

N

32.998108 O

386.364

0.000

210.418

324.039

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

320.004

104.698

0.000

0.000

302.392

1,584.029

104.698

1,016.030

324.039

650.645

CM MA

S 19.0975978

E

-911.331

c)

-326.606

Com o cu alqu ier poligon al cerrada, las s umas al gebraicas de los al ejami en tos y de las latitu des debí an ser igu ales a cero porqu e el levan tamien to se in icia y term in a en el m ism o pu n to. Pero en el presen te cas o n o dis ponemos de las medidas del lado M C; por lo qu e, el error lineal y an gular s on ,

precis amen te,

las

medidas

del

lado

faltan te.

L os

cálcu los , in dican qu e: d)

ERROR L INEAL DE CIERRE DE CF

FÓRMULA N° 14.7. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL SUBPREDIO 1 ELC =

(∑ Alejs.)2 + (∑ Lats.)2

ELC = (−911.331)2 + (−326.606)2 = 968.089m

e)

ERROR ANGU L AR DE CIERRE DE CF

FÓRMULA N° 14.8. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL SUBPREDIO 1

EAC = (tgα) =


E AC = (tg α ) =

− 911.331m = 70.283142 ° − 326.606m 217

f)

El error lineal de cierre, 968.089 m es , precis amente, la lon gitud de M C y el error an gular de cierre, N 70.283142° E, es su rum bo.

CUADRO N° 14.9. COMPROBACIÓN ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL SUBPREDIO 1 LADO

RUM B OS

A LEJA M IENTOS

DISTANCIA

ESTE

LA TITUDES OESTE

NORTE

SUR

AB

S

66.621908 O

877.662

0.000

805.612

0.000

348.254

BC

N

32.998108 O

386.364

0.000

210.418

324.039

0.000

CM

N 70.2831419

E

968.089

911.331

0.000

326.606

0.000

MA

S 19.0975978

E

320.004

104.698

0.000

0.000

302.392

2,552.118

1,016.030

1,016.030

650.645

650.645

0.000

g)

0.000

Segu idam en te, repres en tam os el trián gulo M CN y los datos con ocidos :

FIGURA N° 14.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL TRIÁNGULO NMC DEL SUBPREDIO 1

MN

RCM = N 32.6 Long itud = 21908° W ; ?

R

o um b

mb Ru

oC

M

74.1 =S

=

N

70

2

. 28

Lo n g ° W; 4800

4 31

2°

L E;

itud

d= it u g on

9

=?

.0 68

89

m

h ) En la repres en tación gráfica an terior, com o des con ocem os los án gu los in tern os del trián gulo MCN, con ocem os l as tres 218

direcciones del mism o y la lon gitud de dos de s us l ados ; es tam os en con dicion es de apl icar l a L ey de Sen os para con ocer las l ongi tu des qu e faltan , s iem pre que con ozcam os los valores de los án gulos in tern os del Trián gulo M CN. i)

L a L ey de s en os relacion a, s iem pre, las lon gitu des de u n trián gu lo con su res pectivo án gul o in tern o opu es to. Para el cas o del trián gulo CFG, es tas relacion es s on :

CUADRO N° 14.10. LEY DE SENOS PARA EL SUBPREDIO 1

j)

C_ N

N_M

M _C

Sen o M

Sen o C

Sen o N

Para c al cu lar los án gulos in tern os del trián gu lo M CN, es recom en dabl e repres en tarlo gráficam ente a es cala, as í:

FIGURA N° 14.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL TRIÁNGULO

NMC

90.000000° - 74.124800° = 15.875200°

N = 180.000000° - 74.124800° + 4.352779° = 110.227979° 74.124800°

N 4.3 5277

9° E

. S 74

ngit ; Lo 00° W 8 4 2 1

N

? ud =

m 89 8.0 6 ; 9 °E 42 1 3 .28 70

M = 90.000000° - 70.283142° - 15.485200° = 3.841658°

90.000000° - 70.283142° = 19.716858°

C = 90.000000° - (19.716858° + 4.352779°) = 65.930333°

219

70.283142°

k ) L a s u matoria de los án gulos in ternos del trián gu lo M CN, s i es tu vieran bien calcu lados , deben sum ar 180.000000°, com o es en el pres en te c as o. l)

Segu idam en te, reem pl azam os los valores de los án gul os in tern os de M CN para aplicar la L ey de s en os , as í: CALCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE CNM CN

NM

4.352779 65.930363

CM

SUMA

74.124800 70.2831419 110.227979

C

N

3.841658 180.000000 M

m ) Obten ien do los valores de los s en os y reemplaz an do la lon gitu d con ocida de M C = 968.089 m , ten emos : CN

NM

MC

sen M

sen C

sen N

CN

NM

0.066999

0.913050

n ) Res olvien do

las

968.089 0.938324

relacion es

de

la

L ey

de

Sen os ,

lon gitu des de CN y M N, s on :

C Á L CUL O DE L A L ONGI T UD CN LCN =

(SenN)(MC) SenN

=

(Sen65.930333°)(968.089m) Sen3.841658°

= 69.625m

C Á L CUL O DE L A L ONGI T UD CN LMN =

(SenC)(MC) SenN

=

(Sen110.227979°)(968.089m) Sen3.841658°

220

= 942.013m

las

o) Ah ora lo repres en tamos gráficam en te.

FIGURA N° 14.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS MEDIDAS DEL SUBPREDIO 1

69.125 m

m 04 0.0 32

N 4.352779° E;

; 7° E 59 97 9.0 S1

N 8° 10 98 .9 32 ; W 4 36 6. 38

6 S6

.62

1

7 ; 8 W 8° 0 9

6 7.6

2m

m

p) Si l as lon gitu des de CG y GA s on correctas , la figu ra debe cerrar perfectamente, así:

CUADRO N° 14.11. COMPROBACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL SUBPREDIO 1 LA DOS

RUM B OS

ND

N

D E

4.352779

DISTA NCIA S

A LEJA M IENTOS ESTE

LA TITUDES

OESTE

NORTE

SUR

E

270.311

20.516

0.000

269.532

0.000

N

69.591110 E

833.171

780.871

0.000

290.541

0.000

E M

S

19.097598 E

320.004

104.698

0.000

0.000

302.392

MN

S

0.000

906.085

0.000

257.681

906.085

906.085

560.073

560.073

74.124800 O 942.0135 2,365.499

0.000

221

0.000

q)

Segu idam en te, calcu lam os las coorden adas y la s u perficie del Su b-predio 1. C UA DR O N° 14.12. C Á LCU LO DE L Á RE A DE L SU B P RED IO 1

r)

Lu ego,

c alcu lam os

la

su perfici e

del

Su b-predio

2

para

comprobar qu e las áreas de los dos Su b-predios s um en , ex actamen te, el área total del predio. FIGURA N° 14.6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL SUBPREDIO 2

9 S1 . 09 75 97 0 32 ° E; .00

N 4.352779° E;

(339.436 - 69.125) = 270.31 1m

4m

222

C UA DR O N° 14.13. C Á LCU LO DE L Á RE A DE L S UBP RED IO 2 LA DOS

RUM B OS

COORDENADA S RELA TIVA S

DISTA NCIA S

ESTES

DOB LES A REA S

NORTES

ND

N

4.352779

E

270.311

0.000

0.000

0.000

D E

N

69.591110

E

833.171

20.516

269.532

11,490.383

EM

S

19.097598

E

320.004

801.387

560.073

-9,496.759

MN

S

906.085

257.681

-507,473.386

74.124800 O 942.0135 2,365.499

-505,479.762 Á REA

252,739.881

s ) Fi n almente, presentam os el res u men de su perficies :

C U A DR O N° 14.14. R E SU MEN DE Á R E AS DE L P RE DI O AREA TOTAL m2

605,341.102

ÁREA SUB PREDIO 1

252,739.881

ÁREA SUB PREDIO 2

352,601.221

ÁREA (1+2)

605,341.102

2

0.000

DIFERENCIA m


Calcu lar

la

su perfici e

y

la

dis tan cia

de

la

lín ea

de

fraccion am ien to del predio qu e s e mu es tra. L a direcci ón de la lín ea de frac cion am iento M N es S 76.442800° E

223

LA DOS

RUM B OS

DISTA NCIA S

AB

S

29.232800 E

204.960

BC

S

24.154200 O

850.640

CD

N

70.421600 O

678.540

DE

N

19.128500 E

821.320

EA

S

85.457200 E

620.220

E A

SUBPARCELA 1 B

M MN

=S 76.4 4280

0° E

N

SUBPARCELA 2

D

C

2.

Calcu lar

la

su perficie

y

la

distan cia

de

la

lín ea

de

fracci on amien to del predio qu e s e m u es tra. L a dirección de la lín ea de fraccion am iento M N es N 69.425400° E

224

LADOS

RUM B OS

DISTANCIAS

AB

S

19.254800 E

496.330

BC

S

68.864700 O

1011.320

CD

N

21.462800 O

679.570

D E

N

62.425400 E

781.640

EF

S

26.364800 E

270.140

FA

N

69.362900 E

230.530

225

3.

Calcu lar

la

su perficie

y

la

distan cia

de

la

lín ea

de


LA DOS

RUM B OS

DISTA NCIA S

AB

N

16.125400 E

263.440

BC

N

16.327400 O

348.750

CD

N

77.524800 E

1041.480

D E

S

6.452400 E

770.080

EA

S

87.452400 O

1080.160

D

SUBPARCELA 1 C

MN = N 89.451200° E

M

N

B

SUBPARCELA 2

E A

226

Calcu lar

la

su perficie

y

la

distan cia

de

la

lín ea

de

fracci on amien to del predio qu e s e m u es tra. L a dirección de la lín ea de fraccion am iento M N es S 18.222400° W LADOS

RUM BOS

DISTANCIA S

S

72.329700

E

996.320

BC

S

9.452600

O

323.640

CD

S

64.362800

E

153.950

DE

S

28.426500

O

392.450

EF

N

68.954200

O

1140.120

FA

N

19.128400

E

660.320

18.8 2240 0° W

AB

MN =S

4.

227

5.

Calcu lar

la

su perfici e

y

la

dis tan cia

de

la

lín ea

de

fraccion am ien to del predio qu e s e mu es tra. L a direcci ón de la lín ea de frac cion am iento M N es N 17.225400° E

LADOS

RUM BOS

DISTA NCIAS

AB

N

79.235600 W

1373.250

BC

N

5.935400 E

634.250

CD

S

80.357200 E

349.250

DE

N

16.825400 E

217.160

EF

S

77.235400 E

1079.150

FA

S

12.425400 W

817.540

E N C D F

SUBPARCELA 1 SUBPARCELA 2

B

M

A

6.

Calcu lar

la

su perfici e

y

la

dis tan cia

de

la

lín ea

de

fraccion am ien to del predio qu e s e mu es tra. L a direcci ón de la lín ea de frac cion am iento M N es S 17.225400° E 228

LA DOS

RUM B OS

DISTA NCIA S

AB

N

79.254800 E

1431.530

BC

S

11.241800 E

788.630

CD

S

79.124800 W

1139.120

D E

N

12.825800 W

251.320

EF

S

79.363200 W

340.070

FA

N

5.435400 W

542.140

MN 22 17. =S 0° E 540

7.

Calcu lar

la

su perficie

y

la

distan cia

de

la

lín ea

de


229

LA DOS

RUM B OS

AB

S

1734.230

BC

S

8.935400 W

722.650

CD

N

87.357200 W

471.270

DE

S

42.825400 W

353.120

EF

N

81.235400 W

1022.850

FA

N

6.425400 E

945.450

MN = N 10.6 2240 0° E

85.235600 E

DISTA NCIA S

8.

Calcu lar

la

su perficie

y

la

distan cia

de

la

lín ea

de

fracci on amien to del predio qu e s e m u es tra. L a dirección de la lín ea de fraccion am iento M N es S 10.622400° E

230

LA DOS

RUM B OS

DISTANCIA S

AB

N

84.365400 E

1713.350

BC

S

5.625800 E

820.250

CD

S

87.254700 W

1058.750

DE

S

68.365200 W

414.640

EF

N

49.954200 W

383.340

FA

N

4.664200 W

606.940

B M A

SUBPARCELA 2

SUBPARCELA 1

F C N

D

E

231

C A P ÍTU LO XV


15.1. INTRODU CCIÓN El cálc ulo tipo de un a parcel a para fraccion am ien to por pu ntos en s u b_parcelas

de

igu al

su perficie,

in corpora

con ceptos

fu n damen tales ya u tiliz ados y aplic ados en la s olu c ión de varios problem as topográficos . El éxito depen de, fu n damen talm en te, de la adopc ión de las s iguien tes operacion es orden adas de cálcu lo: Represen tar

gráficam en te

los

datos

de

partida

(au n qu e

el

alum no pu ede cons iderar irrelevante esta rec omen dación , el éxito en el fraccion am ien to es tá determ in ado por la realización del res pectivo gráfico) Com probar el cierre geom étrico y la con sis tenc ia de los datos Calcu lar los ru m bos de partida (s í n o s on los datos de partida) y com probar el ú l timo rum bo por ru ta de cálc ulo diferen te a su es tablecimien to. Com pens ar y calcular la su perfi cie la pol igon al Frac cion ar en dos su bparcelas de igu al su perfici e

15.2. L OS DATOS DE PARTIDA

CUADRO N° 15.1. DATOS DE PARTIDA DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS LADOS

R U M B O S (°)

DISTA NCI A S ( m)

A B

N

4.234933 W

974.412

B C

N

86.467627 E

2055.647

C D

S

6.036318 E

1061.057

D A

S

88.815788 W

2091.811

232

15.3. L A REPRESENTACI ÓN GRÁFI CA DE L OS DAT OS FIGURA N° 15.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

15.4.

CÁL CU L OS

DEL

FRA CCIONAM IENT O

C ON

DAT OS

DEL

SU BPREDIO 1 e) Ten ien do en cu en ta qu e l a lín ea de fraccionamien to com ien za

en M

(qu e se

en cu en tra

en la

mitad del

alineam ien to de AB) y term in a en N (en el alin eam ie n to de CD). f)

Com o s e des con oce la u bicación de N, tom am os el pu n to N’ u bicado a u na dis tan ci a es tim ada de 500.000 m , m edido des de D. Así , la figu ra s e con vierte en un n uevo

polígon o

de

cu atro

lados ,

de

los

cu ales

se

des con oce el ru mbo y dis tan cia de MN’ . L as m edidas faltan tes de M N’ lo calcu lam os com o s i fu eran errores lin eal y an gu l ar de cierre. L a repres entación gráfi ca es 233

la si gu i en te:

FIGURA N° 15.2. REPRESENTACIÓN

GRÁFICA DEL SUBPREDIO

1 DEL


°E S 6.036318

°W N 4.234933

CUADRO N° 15.2. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

LADO

AM

A L E J A M IE N T O S

RUM BOS

N

4.234933

DISTANCIA O

487.206

M N'

ESTE

L A T IT UD E S

OESTE

NORTE

SUR

0.000

35.978

485.876

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

N' D

S

6.036318

E

500.000

52.579

0.000

0.000

497.228

DA

S

88.815788

O

2091.811

0.000

2091.365

0.000

43.231

3079.017

52.579

2127.343

485.876

540.459

TOTALES

-2074.763

c) Com o

cu alqu ier

poli gon al

c errada,

-54.583

las

su mas

algebraicas de los alejamien tos y de las lati tu des debían s er igu ales a cero porqu e el levan tam ien to s e inic i a y 234

term in a en el m ism o pun to. Pero en el pres en te cas o n o dis pon em os de las m edidas del lado M N’ ; por lo qu e, los

errores

lin eal

y

an gu lar

son ,

precis am en te,

las

m edidas del lado faltan te. L os cálc ulos , in dican que:

d) ERROR L INEAL DE CIERRE

FÓRMULA N° 15.1. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

ELC =

(∑ Alejs.)2 + (∑ Lats.)2

ELC =

(−2074.763)2 + (−54.583)2 = 2, 075.481m

e) ERROR ANGUL AR DE CIERRE

FÓRMULA N° 15.2. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

EAC = (tgα) =


E AC = (tg α ) =

− 2, 074.763 − 54.583

Arctg(tg α ) = E AC = Arctg(

t)

− 2.074.763 ) = N88.492998 °E − 54.583

El error l in eal de cierre, 2,074.481 m es , precis amen te, la

lon gitu d de

M N’

y el

error an gu lar de

cierre,

N

88.492998° E, es s u rum bo. Por lo qu e procedemos a calc ular el área del polí gono ABM N’ .

235

CUADRO N° 15.3. COMPROBACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

LADO


RUM BOS

DISTANCIA

ESTE

L A T IT UD E S

OESTE

NORTE

SUR

AM N

4.234933 O

487.206

0.000

35.978

485.876

0.000

M N' N

88.492998 E

2075.481

2074.763

0.000

54.583

0.000

N' D

S

6.036318

E

500.000

52.579

0.000

0.000

497.228

DA

S

88.815788 O

2091.811

0.000

2091.365

0.000

43.231

TOTALES

5154.499

2127.343

2127.343

540.459

540.459

0.000

0.000

CUADRO N° 15.4. CÁLCULO DEL ÁREA DEL SUBPREDIO 1 DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

LA DO

COM P ENSA CIONES DE ALEJ. Y LAT. ALEJA M IEN.

LA TITUDES

COORDENADAS ESTE

DOBLES AREAS

NORTE

AM

-35.978

485.876

0.000

0.000

0.000

M N'

2074.763

54.583

-35.978

485.876

-19,444.812

N' D

52.579

-497.228

2038.785

540.459

-902,456.803

DA

-2091.365

-43.231

2091.365

43.231

-1,130,296.858

0.000

0.000

0.000

0.000

-2,052,198.473

ÁREA

1,026,099.236

u ) El área de 1,026,099.236 m 2 corres pon de al polígon o ABM N’ , es m en or en 27,518.989 m 2 qu e el área m edia de 1,053,618.226 m 2 qu e le corres pon de a la s u bpredio 1. Por tan to, la pos ición de N’ s e en cu en tra un poco m ás alejada h acia la C de la que h abíamos c on siderado, es tim ativamen te, de 500.000 m . Es ta pequ eñ a dis tan cia, N’ N,

se

calcul a

aplican do

la

m is ma

ecuación

(ligeramente m odificada) us ada para calcular el área de u n trián gu lo, as í:

236

FÓRMULA N° 15.3. CÁLCULO DE LA DISTANCIA NN’ DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

N'N =

2 (MN ' N) MN ' (senN ')

v) An tes de aplicar la ecu aci ón , con ocemos la su perficie del

pequ eñ o

trian gu lo

M N’ N

(27,518.989

m 2 ),

la

dis tan ci a de M N’ (2,075.481 m ) y s olo ign oram os el valor del án gulo in terno de N’ pero di s pon emos de datos s uficientes para con ocerlo. Para facilitar l a obs ervación de los datos , pres en tamos a con tinu ación , la figu ra qu e la reprodu ce:

FIGURA N° 15.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL TRIÁNGULO MNN’ DEL SUBPREDIO 1 DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

N'N =

2 (MN ' N) MN ' (senN ')

N TO MIEN IONA C C A R DE F LADO

2 89 m 27,518.9

N’

m 075.481 98° E, 2, N 88.4929

M SUB PREDIO 1 1,026,099.236 m2

D

1m S 88.815788° W, 2,091.81

A

w) De la

ecu ación , para calcul ar NN’ , s olo

con ocer pequ eñ o

el

valor

trián gulo

del

án gu lo

M NN’ ,

N’

por

qu e lo

requ erim os

corres pon de

qu e

procedem os

calcu larlo, bas án don os en la s igu ien te figu ra: 237

al

FIGURA N° 15.4. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO N’ DEL SUBPREDIO 1 DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

NM

N O IENT NAM IO ACC E FR OD LAD 1.507002°

998° N 88.492

M

481 m E, 2,075.

8

N’

8° 99 2 9 4 8.

N' = 90 o − 6.036318o + 1.507002o = 85.470684 o

N'N =

2 (MN ' N) MN ' (senN ')

=

2 (27.518.989m2 ) 2,075.481m (sen85.470684°)

= 26.601m

x) Ah ora adicion am os la dis tan cia de NN’ , de 26.601 m , a los 500.000 m es tim ados (26.601 m + 500.000 m = 526.601 m )

y com probam os si

efectivam en te s e h a

logrado fraccion ar la parcela en dos su bpredios de igu al s u perficie, as í:

CUADRO N° 15.5. CÁLCULO DE LA DISTANCIA Y RUMBO DE LA LÍNEA DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

LADO

AM


RUM BOS

N

4.234933

DISTANCIA O

487.206

MN

ESTE

OESTE

L A T IT UD E S NORTE

SUR

0.000

35.978

485.876

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

ND

S

6.036318

E

526.601

55.377

0.000

0.000

523.681

DA

S

88.815788

O

2091.811

0.000

2091.365

0.000

43.231

3105.619

55.377

2127.343

485.876

566.913

TOTALES

-2071.966

238

-81.037

y) ERROR L INEAL DE CIERRE

FÓRMULA N° 15.4. CÁLCULO DE LA DISTANCIA DE LA LÍNEA FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

ELC = (∑ Alejs.)2 + (∑ Lats.)2 ELC =

l)

( ′2071.966)2 + ( ′81.037)2 = 2, 073.550m

ERROR ANGUL AR DE CIERRE

FÓRMULA N° 15.5. CÁLCULO DEL RUMBO A DE LA LÍNEA FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

EAC = (tgα) =

ERRORAlej. ERRORLat.

E AC = (tg α ) =

− 2071.966m = N87.760235 °E − 81.037m

CUADRO N° 15.6. COMPROBACIÓN DE LA LÍNEA DE FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS LADO

A L EJ A M IEN T O S

RUM BOS

AM

N

4.234933

MN

N

87.760235

N D

S

6.036318

D A

S

88.815788

DISTANCIA O

ESTE

OESTE

LA T IT UD ES NORTE

SUR

487.206

0.000

35.978

485.876

0.000

2073.550

2071.966

0.000

81.037

0.000

E

526.601

55.377

0.000

0.000

523.681

O

2091.811

0.000

2091.365

0.000

43.231

5179.169

2127.343

2127.343

566.913

566.913

E

TOTALES

0.000

239

0.000

CUADRO N° 15.7. CÁLCULO DEL ÁREA DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS LA DOS

COM P ENSA CIONES DE ALEJ. Y LA T. A LEJA M IEN.

COORDENADA S

LA TITUDES

ESTE

DOB LES A REA S

NORTE

AM

-35.978

485.876

0.000

0.000

0.000

MN

2071.966

81.037

-35.978

485.876

-20,396.574

ND

55.377

-523.681

2035.988

566.913

-901,218.568

D A

-2091.365

-43.231

2091.365

43.231

-1,185,621.309

0.000

0.000

0.000

0.000

-2,107,236.451

Á REA

1,053,618.226

m ) Fin almen te, el res um en de s u perficies del s u bpredio 1, s e m uestran a con tinu ación .

CUADRO N° 15.8. RESUMEN DE ÁREAS DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

15.5. 1.

ÁR EA D EL PRED I O

2,107,236.451 m 2

ÁR EA M EDI A

1,053,618.226 m 2

ÁR EA DEL SU BPR ED I O 1

1,053,618.226 m 2

D I F ER ENC I A

0.000 m 2

PROBL EM AS PROPUESTOS Doña Lu is a An dróm eda Aliens propietaria del predio ru ral "El Otero

Gran de"

con trata

los

s ervicios

del

topógrafo

Ju an

Sin tierra para qu e realice el levantam ien to y el res pectivo fracc ion amien to

en

dos

su bpredios

de

igu al

área

para

legarl os a sus dos h ijas . El topógrafo, lu ego de observar las 240

con dicion es del predio y tenien do en cu en ta qu e s e en c uen tra s em brado

de

altos

naranjos ,

decide

medirl o

des de

el

exterior, basán dos e en el polígon o de apoyo 1234, trazado fu era de los lin deros del predio, des de l os que

los li ga los

vértices del predio ABCD. El

topógrafo, as im ism o, recibe

ins tru cciones

precis as

de

doñ a An drómeda para in iciar el fraccion am ien to en M que se en cuentra, exactam en te, a la mitad de B_C y term ina en el pu n to N que s e en c uen tra en D_ A. L as medidas li neales y an gulares del polígon o de apoyo 1234 y de las ligas , reportadas por don J u an Sin tierra, son :

LA DO

AZIMUT (°)

1 2

18.370600

699.410000

2 3

103.123300

937.430000

3 4

196.299700

719.940000

4 1

284.456000

960.850000

LI G A S

AZIMUT ( °)

DISTA NCIA ( m)

D I ST A N C I A ( m )

1 A

34.500000

17.540

2 B

143.550000

16.650

3 C

222.540000

12.870

4 D

321.360000

16.650

CAL CUL AR: 1. L os ru m bos , s in c orregir, del polígono de apoyo 2. L os

ru m bos

y

dis tan cias ,

apoyo 3. L as coorden adas de apoyo 241

corregidas ,

del

polígon o

de

4. L as coorden adas del predio 5. L as m edidas (ru m bos y dis tan ci as ) del predio 6. El área del predio 7. L a dis tan cia de N_A 8. El rumbo y dis tan cia de M _N 9. L as m edidas (ru m bos y dis tan ci a del s u b_ predio 1

2.

U n a brigada de topografía al m an do de don Ju an Sin tierra es con tratada para fraccion ar, en dos s u b_ parc elas de áreas igu ales , el predio PQRS de propiedad de doñ a An drómeda Aliens qu ien des ea legar com o an ticipo de h eren cia a sus dos h ijas . Don Ju an , des pu és de obs ervar las con dicion es del predio, que es tá rodeada de un cerco vivo y qu e los vértices n o s on in tervisibles , decide realizar el l evan tam ien to median te la técn ica de li gas . Para ello traza el polígon o de apoyo ABCDC den tro de l os lin deros del predio y lu ego, des de cada u n o de l os vérti ces del ABCD, liga l os vértices PQR S del predio. As im ism o, don Ju an recibe las s igu ien tes ins tru cci on es de la propietaria: El fracci on amien to debe com en zar en el pu n to M qu e s e en cuentra a la m itad de la alin eación QR (és te lado colin da con

una

fin alizar

carretera en

el

de

pun to

recien te N

y

con s tru cción )

compartir

un

y

pu n to

debe de

la

alin eación SP y las dos s u b_ parc elas fraccion adas deben ten er l a mis ma área. Don Ju an , por m otivos aj en os , n o logra fin alizar el enc argo y dej a las s iguien tes m edidas para qu e cada u n o de los in tegran tes de la brigada, es decir, us ted; calcule las m edidas de las dos su b_parcelas . L as coorden adas del polígon o de apoyo

242

C O O RD E N A D A S D E A PO YO ( m ) VÉR TIC E E ST E

NORT E

A

0.000

0.000

B

-85.977

-515.959

C

-1,309.230

-446.357

D

-1,254.152

115.319

L as m edidas de l as ligas

4.

Si

R

A P

N

42.325000 E

65.2100

B Q

S

48.545000 E

85.2300

C R

S

32.545000 O

51.2800

D S

N

53.245000 O

45.6400

us ted

U

M

B O

D I ST A N C I A

LA DO S

rec ibiera

S

el

( m)

en cargo

de

frac cion ar,

en

dos

s u b_parcelas de áreas igu ales , el predio ABCD de propiedad de doñ a L uis a An dróm eda quien des ea legar com o an ti cipo de h eren cia a s us dos hijas , en tran ce de cas am iento. Doñ a L uis a des ea qu e la lín ea de fraccion amien to debe comen zar des de M qu e se en cu en tra, exactam ente, a la mitad de la alin eación AB y qu e colin da con un a carretera de recien te con stru cción y deben fin alizar en N qu e, a su vez, pertenece a la alin eación CD. Calcu lar el ru m bo y lon gitu d de la lín ea divis oria partien do de las coorden adas del predio qu e s e m ues tra en el gráfico.

243

C O O RD EN A D A S LADOS ESTE

A B

0.0000

0.0000

B C

-1,631.2583

188.1121

C D

-1,515.6935

896.0357

D A

113.3255

746.0271

0.0000

0.0000

SU MA

5.

NORT E

Doña Lu is a An drómeda Aliens propietaria del predio "Cris tal de Oro" con trata los servicios del topógrafo J u an Sin tierra para qu e proc eda al levan tamiento del predio para lu ego proceder

a

la

división .

Las

h ijas

cas aderas ,

Eu terpe

y

Caliope, recibirán l os su bpredi os en con dición de h eren cia. Ellas

plan ean

ins talar

s en das

Pis cigranj as

para

cu ltivar

Camarón “J um bo” y lan gos tin os . L a propietaria con vien e con s us h ijas , in iciar l a divi sión a los 900.00 m etros de la alin eación PQ y term in ar a los 900.00 m etros de la alineaci ón RS. El topógrafo, l uego de obs ervar las con dicion es del predio, decide medirlo bas án dos e en el polígon o de apoyo y con ligas a los vértices . Por ello traza, den tro de los lin deros del predio, el polí gon o de apoyo ABCD y mide las ligas AP, BQ, CR y DS. El polígon o de apoyo l o m ide u tilizan do la técn ica de trian gu lación . El azimu t de partida, m edi do en el lado AB, es de 9.160000°. L as m edidas an gu lares del polí gono de apoyo ABCD y de las ligas , reportadas por Don J uan Sin tierra, s on :

244

N U M.

LADO

ÁNGULO

1

37,640000

2

32,240000

3

58,300000

4

53,300000

5

40,120000

6

42,160000

7

43,640000

8

52,840000

RU M BO

RU MBO S

DISTA NCIA

A P

S

O

18,840000

234,300

B Q

N

O

45,300000

201,150

C R

N

E

61,120000

328,400

D S

S

E

31,120000

152,100

L a bas e, medida en el lado AE, es de 862.15 metros . CAL CUL AR: 1

L os

valores

de

los

án gulos

c orregidos

del

polígon o de apoyo ABCD 2

L os ru m bos del polígon o de apoyo

3

L as

dis tan cias

perimetrales

del

polígon o

apoyo 4

El error lineal de cierre del polígon o de apoyo

5

L as coorden adas de las ligas

6

L os ru m bos del predio

7

L as dis tan cias del predio 245

de

6.

Calcu lar

la

orien tación

y

dis tan ci a

de

la

lín ea

de

fraccion am ien to M N de la parcela que se m ues tra para qu e las su perficies de las s u bparcelas 1 y 2 s ean igu ales . LA DO

RUM B OS

DISTANCIA

AB

N

86.324200

E

1,368.250

BC

S

3.813300

W

642.350

CD

N

88.988100

W

304.520

DE

S

15.317100

W

275.240

EF

N

85.908700

W

1,049.140

FA

N

7.814500

E

745.530

LÍNEA DE FRACCIONAMIENTO

7.

Calcu lar

la

orien tación

y

dis tan ci a

de

la

lín ea

de

fraccion am ien to M N de la parcela que se m ues tra para qu e las su perficies de las s u bparcelas sean igu ales .

246

LA DOS

8.

RUM B OS

AB

N

3.824200

BC

S

CD

DISTA NCIA S

W

616.350

87.307400

E

888.520

S

9.536600

E

231.690

DE

S

89.038800

E

272.390

EF

S

1.568700

W

407.870

FA

N

86.612200

W

1,147.640

Calcu lar

la

orien tación

y

dis tan ci a

de

la

lín ea

de

fraccion am ien to M N de la parcela que se m ues tra para qu e las su perficies de las s u bparcelas 1 y 2 s ean igu ales .

247

LA DOS

9.

RUM B OS

DISTANCIA S

AB

S

18.624200

W

653.280

BC

N

75.216500

W

1,137.450

CD

N

13.144900

E

398.950

DE

S

76.121840

E

267.420

EF

N

25.539000

E

227.840

FA

S

76.837800

E

882.470

Calcu lar

la

orien tación

y

dis tan ci a

de

la

lín ea

de

fraccion am ien to M N de la parcela que se m ues tra para qu e las su perficies de las s u bparcelas sean igu ales . 248

LA DOS

RUM B OS

DISTA NCIA S

AB

N

1.524200

E

632.060

BC

S

87.770800

E

1,679.850

CD

S

5.068700

E

930.240

D E

N

88.7926000 W

1,304.060

EF

N

12.446600

W

342.070

FA

S

89.818800

W

400.270

249

C A P ÍT U LO XVI

TRIA TRI A NGULACIÓN

1 6 .1. INTRODU CCIÓN Trian gul ación

es

u na

téc nica

topográfica

para

determinar

las

pos icion es h orizon tales de pun tos sobre la su perficie terres tre. Es u n procedimien to mu y eficaz para realizar levan tami en tos de áreas extens as porqu e evita tener qu e m edir las lon gitu des de todas las alin eaciones .

Un

sis tema

de

trian gu lación

con sis te

fu n damen talmen te en u n conju nto de trián gu los c u yos án gulos se h an medido en form a directa. L os lados cu yas l on gitu des s e miden se

con ocen

como

bas es

o

líneas

bas e.

Los

pun tos

de

levan tam ien to o es tacion es de trian gulaci ón s e localizan en los vértices de l os trián gulos . A partir de los án gulos y bas es m edidos , pu eden

determin ars e

s u ces ivam en te,

por

trigon om etría,

las

lon gitu des de todos los dem ás lados in terconec tados . Además , se con ocen las coordenadas horizon tales de un pu n to, as í com o el azimu t de otra es tación , es pos i ble calcu lar las c oorden adas de todos los demás pu ntos y l os acimu tes de las líneas res tantes . Trilateración

es

un

procedim iento

para

ex ten der

el

con trol

h ori zon tal fun dado en la m edición directa de las lon gitu des de todas las lín eas de u na figu ra geom étrica y en el s u bs ecu en te cálcu lo de los án gu los .

1 6 .2. SISTEM AS DE TRIANGUL ACIÓN L a trian gu lación logró predom in ar porque redu jo l a tedios a y difícil tarea de m edi r directam en te las dis tan ci as c on ci nta para ex ten der el control horizon tal, s obre todo realizar levan tamien tos en terren o acciden tado. En gen eral, la tri an gul ación , su ele referirs e a redes am plias qu e com pren den gran des áreas , lín eas largas , m edicion es de precisión 250

y

com plejos

cálcu l os

con

sus

corres pon dien tes

ajus tes .

L as

ven tajas de empl earla para trabajos catas trales y de in geniería ci vil a nivel loc al , con s is tem a

de

frecu en ci a todavía s e des precian . Cu alquier

trian gulación

cons is te

en

una

s erie

de

trián gulos

ligados que s e añ aden o s e tras lapan .

a) CADENA DE TRIÁNGUL OS SENCIL L OS Es u n s is tem a rápido y econ ómico para cu brir u n a faj a de terren o es trech a com o por ejem plo, la cu en ca de un rí o. No es tan exacta como otros s istemas , y es n ec es ari o ir i n tercalan do bas es m ás cercanas s i n o s e desea qu e la acum ulación de errores se vu elva excesiva. En es te s is tem a n o debe permitirs e án gulos

pequ eñ os ,

de

men os

tri angu lación de alta calidad

de

20°.

L os

sis temas

de

n o con tienen trián gulos s en cillos

com o un i dades de un a caden a de figu ras .

FIGURA N° 16.1. CADENA DE TRIÁNGULOS SENCILLOS

251

b) CADENA DE CU ADRIL ÁTEROS L os

c uadriláteros

in tegran

un

gran

s istema,

porqu e

las

lon gitu des calcu ladas de los lados pu eden irs e propagan do a través de los s is tem as m edian te diferen tes com binacion es de lados y án gu los ; se in crem enta así l a ex actitud de los res ultados y s e tien en frecu entes c om probaciones de los cálcu l os .

FIGURA N° 16.2. CADENA DE CUADRILÁTEROS

c) CADENA DE FIGU RAS DE PUNT O CE NTRAL Si s e va a cu brirse un a z on a am plia con u n a dis tri bu ción de pu n tos relativamen te dens a, c omo en el c as o de un a gran tri angu lación para un área metropolitana, s e u tilizan figu ras de pu n to cen tral

252

FIGURA N° 16.3. CADENA DE FIGURAS DE PUNTO CENTRAL

1 6 .3. CAL CIFICACI ÓN DE L A TRIANGU L ACIÓ N L a bas e fun damental para cl asificar la trian gu lación , es la exactitu d rel ati va con la que pu ede propagars e la pos ición h orizon tal entre dos pun tos directam en te con ectados . La Exten sión y propós ito del levan tam ien to sirven tam bién para definir los divers os ran gos de trabajo. En el cu adro, qu e s e mu es tra a con tin u ación , s e tabu lan las n orm as de ex actitu d y las es pecificacion es gen erales , en form a abreviada,

como

las

pu blicó

Com m ittee en 1974.

253

el

Federal

Geodetic

Con trol

CUADRO N° 16.1. N O R MAS DE EX AC TI TUD Y LAS E SPEC I FI C A CI ONE S GE NE R A LES DE LA TR IA NGU L A CI ÓN S EG U N D O O R D EN

P RI M E R

U SO P RI N C I PA L

ERR O R ESTÁ NDA R D E L A BA S E N O M A YO R DE

O R D EN

CLA SE I

RED

REFU ER ZO

P R I MA RI A

DE LA RED

NA CIONAL

NACIONAL

TE RC E R O RD EN

CLASE II

CLASE I

CLASE II

COMPLEME

L E V.

L E V.

NTO D E LA

LO CA L ES

LO C A L E S

RED

DE

DE

NACIONAL

C O N T RO L

C O N T RO L

1 PA R T E EN 1 PA R T E EN 1 PA RT E EN 1 PA R T E EN 1 PA RT E EN 1 ' 0 0 0, 0 00

9 0 0, 0 0 0

8 0 0, 0 0 0

5 0 0, 0 0 0

2 5 0, 0 0 0

1 . 0"

1 . 2"

2 . 0"

3 . 0"

5 . 0"

3 . 0"

3 . 0"

5 . 0"

5 . 0"

10.0"

ERRO R D E CI ERRE D E U N T RI A NG U LO P RO M E D I O , N O M A Y O R DE ERRO R D E CI ERRE D E U N T RI A NG U LO MÁXIMO, N O D EBE EX C ED E R D E ERRO R D E C I ERRE L I N E A L , N O M A YO R D E

1 PA R T E EN 1 PA R T E EN 1 PA RT E EN 1 PA R T E EN 1 PA RT E EN 1 0 0, 0 0 0

50,000

2 0, 0 0 0

1 0, 0 0 0

5,000

1 6 .4. RECO NOCIMIENTO Todo

trabajo

de

trian gu lación ,

in clu so

de

menor

magn itu d,

u su almen te va precedido por un es tu dio preliminar de c ampo, llam ado recon ocim ien to, en cam in ado a selec cion ar los mejores s itios

para

las

es tacion es .

Los

criteri os

para

determin ar

la

localización y dis tribu ción de las es taciones son la in tervis ibilidad y la ri gi dez de la figu ra. Debe com probars e la in tervisibilidad de las es taciones an tes de iniciar el program a de obs ervación de án gu los . En ciertos cas os , todo lo que s e requ iere es un aprueba vis ual de l as líneas en la vis ita prelim in ar al sitio de las estación

254

L a rigidez de la figu ra es el efecto de la form a del trián gu lo s obre la exactitu d con la qu e pu ede calculars e la lon gitu d de u n lado. En cu alqu ier sis tema de trian gu lación , las lon gitu des de los lados de los trián gu los s e calcul an por la ley de los Sen os . L os datos h ín cales s on l a lon gitu d medida de u n a línea, llamada base, y los án gulos h orizontales en los vérti ces de los trián gu los . Pu es to qu e, para u n a in c ertidu m bre dada en el án gu lo, los s en os de los án gulos pequeñ os cam bian más rápidam en te

que los de los

án gulos gran des , es eviden te que el error porcen tu al en el lado calcu lado de un trián gulo s erá m ayor s i el lado es ta opu es to a u n án gulo pequ eñ o que s i es ta opuesto a un án gu lo m ás gran de. Se s u pon e

qu e

la

exactitu d

con

la

qu e

se

mide

un

án gu l o

es

in depen diente de su tamañ o.

1 6 .5. M EDICIONES Y C ORRECCIO NES NE S DE L AS BASES En la trian gu lación es frecu en te determ inar lon gitu des de las bas es m idien do, varias veces , directam en te con cinta y con ins trum en tos EDM para qu e la bas e m edida sea lo más precis a pos ible. Des pués de la m edición , es n eces ario calcular y apl icar varias correcci on es a la lon gitu d obs ervada, con el fin de obten er el m ejor valor de la lon gitu d de l a bas e. Tratán dose de un a bas e m edida con cin ta, es tas c orrecciones s on , fu n damen talmen te: a)

Correc ción por lon gitu d de la c in ta

b)

Correc ción por tem peratu ra

c)

Correc ción por pen dien te

d)

Correc ción por caten aria

e)

Correc ción por redu cción a ni vel del m ar.

Con

res pec to a l a corrección por redu cción

a n ivel del

m ar,

s u pón gas e qu e C es la c orrección qu e debe res tars e de la lon gitu d m edi da, L , que tien e un a elevación H s obre el nivel del m ar. 255

En tonc es , com o para un án gulo dado los arcos s on proporcion ales a su s res pectivos radios , puede es cribirs e la siguien te relación :

FÓRMULA N° 16.1. CORRECCIÓN DE LA BASE DE L A TR IA NGU LA CI ÓN

C=

LH R

Com o el valor prom edio del radio de la Tierra pu ede tom ars e 6’ 372,200 m ó 20’ 906,000 pies

1 6 .6. AJ U STE DE ÁNGUL OS Cu an do un arco de trian gu lación es tá form ado por u n a caden a de tri ángu los , el ajus te an gular cons is te en aplicar a cada án gu l o un a correcci ón igu al a un tercio del error de cierre. En el cas o de un cu adrilátero, además de s atis facer la CONDICIÓ N GEOMÉTRICA, o s ea, que la su m a de los án gu los de cada trian gulo s e i gu ale a 180° exactam ente, deberá cu m plirse tam bién u n a CONDICIÓN

TRIGO NOM ÉTRICA.

correcci ón de los án gu los ,

256

Es ta

impli ca

u na

s egun da

1 6 .7. TRIANGUL ACIÓN DE POL ÍGONOS a)

El gráfico

FIGURA N° 16.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA TRIANGULACIÓN DE FIGURA DE PUNTO CENTRAL

b)

L os datos CUADRO N° 16.2. DATOS DE LA FIGURA DE PUNTO CENTRAL ÁNGULO NUM. Gr. Min 1

78

15

2

48

36

3

37

32

4

44

54

5

53

48

6

52

15

7

44

36

8

57

54

9

62

48

10

59

15

257

Ru m bo de partida, AB = S 3.662400° E. Bas e AF = 536.450 m etros

c) Al i gu al qu e en l a trian gulación de cu adriláteros , com o en es te cas o, los án gu los in tern os de la figu ra que n o deben c ontradecir a la ecu ac ión

∑ ang _ int = 180o (n − 2) ,

es

decir n o debe exc eder los 540° por tratars e de u n polígon o de cin co lados . En el c as o de qu e exis ta error por defecto (com o el pres en te) o por exces o, debem os com pens ar

el

polí gono;

res tán dole

a

cada

án gu lo

m edido, el error por exces o dividido por di ez , qu e s on el n úm ero de án gu los in tern os medido en el polígon o, es decir, 0.116667°/10 = 0.011667°. L os cálcu los tabu lados s e m uestran a con tinu ación

C UA DR O N° 16.3. C ONV ERS IÓ N A DEC I MA LES DE G R AD O

NUM.

ÁNGULO

ANGULO DECIMAL

CORREC. B ANG. COMP.

Gr.

Min

1

78

15

78.250000

78.261667

2

48

36

48.600000

48.611667

3

37

32

37.533333

37.545000

4

44

54

44.900000

44.911667

5

53

48

53.800000

53.811667

6

52

15

52.250000

52.261667

7

44

36

44.600000

44.611667

8

57

54

57.900000

57.911667

9

62

48

62.800000

62.811667

10

59

15

59.250000

59.261667

Sumatoria 539.883333

540.000000

Defecto

0.116667

Defecto/10

0.011667

d) Para proceder a l a com pens ación trigon om étrica de los án gulos

del

polígon o,

procedemos

a

orden ar

los

án gulos ; primero los pares y lu ego los im pares . A l os 258

pares les den om in aremos án gulos α y a los impares , án gulos β .

C U A DR O N° 16.4. O R DEN AC IÓ N DE LOS Á N GU LOS P A RES E I MP ARE S

ANG. ORDENADOS

CORREC. B ANG. COMP.

NUM.

NUM.

VALOR

1

78.261667

2

48.611667

2

48.611667

4

44.911667

3

37.545000

6

52.261667

4

44.911667

8

57.911667

5

53.811667

10

59.261667

6

52.261667

1

78.261667

7

44.611667

3

37.545000

8

57.911667

5

53.811667

9

62.811667

7

44.611667

10

59.261667

9

62.811667

540.000000

540.000000

d) L u ego, calcu lam os los s en os de los án gulos orden ados , lo

multipl icam os

n egativos ,

por

obten em os

100 sus

para

evitar

res pectivos

logaritmos

logaritm os

s um am os pares e im pares ; así: C U A DR O N° 16.5. C Á LCU LO DE LOS SENO S DE LOS Á NGU LOS P A RE S E ANG. ORDENADOS NUM.

VALOR

I MP A RE S SUMATORIAS DE ANGULOS α y β SENO ANG.

x 100

LOG.x 100

2

48.611667

0.750246

75.024571

1.875204

4

44.911667

0.706016

70.601579

1.848814

6

52.261667

0.790814

79.081422

1.898074

8

57.911667

0.847230

84.723011

1.928001

10

59.261667

0.859511

85.951050

1.934251

1

78.261667

0.979087

97.908692

1.990821

3

37.545000

0.609384

60.938434

1.784891

5

53.811667

0.807081

80.708056

1.906917

7

44.611667

0.702298

70.229802

1.846521

9

62.811667

0.889509

88.950943

1.949151

Σ pares (α)

9.484345

Σ impares(β)

9.478301

540.000000

259

y

c) Segu idam en te, calcu lam os las parte proporc ion al es (pp) de los án gulos orden ados α y β e in crementados en un s egu n do, así.

CUADRO N° 16.6. CÁLCULO DE LAS PARTES PROPORCIONALES DE LOS SENOS DE LOS ÁNGULOS PARES E IMPARES ANG. ORDENADOS NUM.

VALOR

SUMATORIAS DE LAS PARTES PROPORCIONALES (pp) DE INCR. 1 SEG

SENO INC..

x 100

LOG.x 100

yβ DIFERENCIA

2

48.611667

48.611944

0.750249

75.024892

1.875205

0.000002

4

44.911667

44.911944

0.706019

70.601922

1.848817

0.000002

6

52.261667

52.261944

0.790817

79.081719

1.898076

0.000002

8

57.911667

57.911944

0.847233

84.723268

1.928003

0.000001

10

59.261667

59.261944

0.859513

85.951298

1.934252

0.000001

1

78.261667

78.261944

0.979088

97.908790

1.990822

0.000000

3

37.545000

37.545278

0.609388

60.938818

1.784894

0.000003

5

53.811667

53.811944

0.807083

80.708342

1.906918

0.000002

7

44.611667

44.611944

0.702301

70.230147

1.846524

0.000002

9

62.811667

62.811944

0.889512

88.951165

1.949152

0.000001

Σ Dif. Tab.( )

0.000008

Σ Dif. Tab.(β)

0.000008

540.000000

d) P ara calcu lar la corrección un itari a a cada u n o de los 10 án gulos del polígon o u tilizam os la s igu iente ecu aci ón : FÓRMULA N° 16.2. CORRECCIÓN UNITARIA DE LOS ÁNGULOS DE LA TRIANGULACIÓN

C=

∑ log.sen(α) − ∑ log.sen(β) ∑ pp(α) + ∑ pp(β)

Σ pares (α)

9 .4843 45

Σ D i f. Tab . ( α )

0 .00 00 08

Σ im pares (β)

9 .4783 01

Σ D i f. Tab . ( β)

0 .00 00 08

Reem plazan do

C° =

9.484345 ° − 9.478301 ° 0.006044 = = 0.104255o 0.000008 + 0.000008 0.000016 260

Com o l a s u matoria de los án gu los pares (α) son m ayores qu e la sum atoria de los án gul os impares (β ); aplicam os u n a corrección

un itaria n egativa de 0.104255° a los

pares y pos itiva a los im pares . El cálculo s e mu es tra en la si gu i en te tabla:

CUADRO N° 16.7. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS PARES E IMPARES CORREGIDOS ANG. ORDENADOS NUM.

VALOR

ANGULOS CORREGIDOS

2

48.611667

48.507411

4

44.911667

44.807411

6

52.261667

52.157411

8

57.911667

57.807411

10

59.261667

59.157411

1

78.261667

78.365922

3

37.545000

37.649255

5

53.811667

53.915922

7

44.611667

44.715922

9

62.811667

62.915922

540.000000

540.000000

g) Para calcular las dis tan cias peri metrales del cu adrilátero, s e aplica la L ey de s en os . Es ta relacion a, bási camente, los lados

de

un

trián gulo

con

su

án gul o

opues to.

En

con secuen cia, n os perm ite calcu lar, u n a de las lon gi tudes de un

trián gulo, con oci endo

án gulos i n tern os

la l on gi tu d

base y al

menos

2

adyacen tes , tal com o s e m ues tra en la

s igu ien te figu ra.

261

FIGURA N° 16.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRIMER TRIANGULO DEL POLÍGONO

AB AF = sen2 sen11

AB =

AFxsen2 536 .450 xsen44.807411 ° = = 572.920m sen11 53.126667 °

L as demás lon gitu des s e mu es tran en la siguien te tabla.

CUADRO N° 16.8. CÁLCULO DE DISTANCIAS DE LA TRIANGULACIÓN BASE en el lado AF = 536.450 metros LAD_DESCON ANG. OPUEST LAD_CONOC

ANG. OPUEST

DISTANCIA

A B

11

536.450

2

572.920

B F

1

572.920

11

701.468

B C

12

701.468

4

986.763

C F

3

986.763

12

608.003

C D

13

608.003

6

739.819

D F

5

739.819

13

622.211

D E

14

622.211

8

717.753

E F

7

717.753

14

517.313

E A

15

517.313

10

510.559

9

510.559

15

536.450

COMPROBACION A E

262

Ru m bos y distan cias del polígon o

CUADRO N° 16.9. CÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS DE LA TRIANGULACIÓN LADO

RUMBO S

DISTANCIAS

AB

S

3.662400

E

572.920

BC

N

89.819067

O

986.763

CD

N

8.542400

O

739.819

DE

N

74.584267

E

717.753

FA

S

46.139067

E

510.559

CUADRO N° 16.10. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y DISTANCIAS DE LA TRIANGULACIÓN LADO

RUMBO S

ALEJ AMIENTO S

DISTANCIAS

ESTE

OESTE

AB

S

3.662400

E

572.920

36.597

0.000

BC

N

89.819067

O

986.763

0.000

CD

N

8.542400

O

739.819

0.000

DE

N

74.584267

E

717.753

FA

S

46.139067

E

510.559 3527.8143

LATITUD ES NORTE

SUR

0.000

571.750

986.758

3.116

0.000

109.894

731.612

0.000

691.930

0.000

190.794

0.000

368.125

0.000

0.000

353.772

1096.652

1096.652

925.521

925.522

0.000

0.000

CUADRO N° 16.11. CÁLCULO DEL ÁREA DE LA TRIANGULACIÓN LADO

MEDIDAS CORREGIDAS ANGULOS

DISTANCIAS

COORDENADAS ESTE

NORTE

DOBLES AREAS

AB

-3.662400

572.9198

0.000

0.000

0.000

BC

-89.819067

986.7634

36.597

-571.750

-20,810.084

CD

-8.542400

739.8191

-950.162

-568.634

-698,110.258

DE

74.584267

717.7529

-1060.055

162.978

-977,800.848

FA

-46.139067

510.5591

-368.126

353.772

59,996.355

3527.8143

0.000

0.000

-1,636,724.835

AREA

263

818,362.418


Calcu lar la su perficie del predio triangu lado qu e s e mu es tra sí s u rumbo de partida, m edido en el lado AB, es S 86.224500° E y la bas e, de 682.240 m etros , ha sido m edida en el lado AG.

Á NG U LO S

Á NG U LO S NUM.

NUM. Gr.

Min

Gr.

Min

1

46

58

13

48

12

2

41

54

14

49

12

3

43

15

15

40

18

4

44

45

16

45

36

5

51

18

17

49

42

6

39

42

18

46

24

7

38

24

19

42

24

8

54

24

20

38

15

SE BA :6 0 .24 82 m

264

2.

Calcu lar la su perficie del predio triangu lado qu e s e mu es tra sí s u rumbo de partida, m edido en el lado AB, es S 74.524500° W y la bas e, de 518.240 m etros , ha s ido m edida en el lado AG. Á NG U LO S

Á NG U LO S

NUM.

NUM. Gr.

Min

Gr.

Min

1

47

4

13

47

45

2

43

12

14

49

32

3

42

6

15

40

42

4

44

18

16

45

36

5

51

6

17

50

14

6

41

14

18

45

24

7

40

8

19

41

48

8

51

12

20

39

15

E 16

D

17

15 6 7 14

C

5 4

22 21

H 23 24

11 10

G

12

9 BA S

18 E: 51 8.2 40

19 m

8

13 20

1

A

3 2

RUMB

O DE

PA RTID

A: S

°W 4500 74.52

B

265

F

3.

Calcu lar la su perficie del predio triangu lado qu e s e mu es tra sí s u rumbo de partida, m edido en el lado AB, es N 13.142400° E y la bas e, de 568.180 m etros , ha sido m edida en el lado AG. Á NG U LO S NUM.

Á NG U LO S N U M.

Mi n

Gr.

Mi n

1

40

12

13

42

45

2

46

8

14

43

18

3

53

12

15

43

42

4

41

18

16

41

24

5

44

6

17

47

24

6

49

14

18

43

24

7

43

4

19

45

48

8

43

6

20

52

36

RUMBO

DE PA RT

IDA:

N 13.1 42400 °

E

Gr.

266

Calcu lar la su perficie del predio triangu lado qu e s e mu es tra sí s u rumbo de partida, m edido en el lado AB, es S 13.842400° E y la bas e, de 695.240 m etros , ha sido m edida en el lado AG. Á NG U LO S NUM.

Á NG U LO S NUM.

Gr.

Min

Gr.

Min

1

40

14

13

42

36

2

46

24

14

40

42

3

52

14

15

43

12

4

40

12

16

42

42

5

45

14

17

47

12

6

49

14

18

44

38

7

42

8

19

46

15

8

44

24

20

52

36

RUMBO TIDA : DE PAR

BA SE: 695 .24 0m

4.

S 13.8 ° 42400 E

267

5.

Calcu lar la su perficie del predio triangu lado qu e s e mu es tra sí s u ru m bo de partida, m edido en el lado AB, es S 1.234600° W y la bas e, de 812.680 metros , h a si do m edida en el lado AG.

Á NG U LO S NUM.

Á NG U LO S NUM.

Min

Gr.

Min

1

42

21

13

42

42

2

42

45

14

51

15

3

51

15

15

42

45

4

42

42

16

42

21

5

39

32

17

43

18

6

50

45

18

47

12

7

47

12

19

50

45

8

43

24

20

39

32

RUMBO DE PART

IDA: N

0.433200° E

Gr.

268

6.

Calcu lar la su perficie del predio triangu lado qu e s e mu es tra sí s u rumbo de partida, m edido en el lado AB, es N 89.647500° W y la bas e, de 725.240 m etros , ha s ido m edida en el lado AG. Á NG U LO S NUM.

Á NG U LO S NUM.

Gr.

Min

Gr.

Min

1

40

24

13

49

24

2

38

22

14

48

54

3

47

12

15

38

24

4

49

28

16

41

32

5

40

45

17

46

22

6

45

24

18

48

28

7

51

25

19

46

18

8

46

54

20

40

32

A

2

1 8 BA

SE

:7

65

.0

90

C

16

RUMBO DE PARTIDA: N 89.244600° E

17

B 15 3 14

m

22 9

21

12 G 10

H 23 24

11

18 19

7

F

13

6 5

4

20

E

269

D

7.

Calcu lar la su perficie del predio triangu lado qu e s e mu es tra sí s u ru m bo de partida, m edido en el lado AB, es S 8.324500° W y la bas e, de 794.520 metros , h a si do m edida en el lado AG.

Á NG U LO S NUM.

Á NG U LO S NUM.

Gr.

Min

Gr.

Min

1

45

15

13

50

14

2

49

12

14

39

24

3

47

34

15

42

36

4

41

21

16

51

28

5

48

12

17

42

48

6

47

8

18

41

24

7

39

8

19

44

16

8

42

18

20

47

52

RUMBO 50 3. 2 80 BA SE :

200° W 11.433

m

TIDA: N DE P AR

270

8.

Calcu lar la su perficie del predio triangu lado qu e s e mu es tra sí s u rumbo de partida, m edido en el lado AB, es N 84.525400° W y la bas e, de 815.540 m etros , ha s ido m edida en el lado AG. Á NG U LO S NUM.

Á NG U LO S NUM.

Gr.

Min

Gr.

Min

1

48

24

13

49

52

2

46

16

14

47

45

3

41

45

15

38

14

4

38

32

16

40

26

5

48

45

17

46

32

6

49

28

18

51

18

7

40

32

19

45

24

8

46

26

20

40

28

D

B

3

4

2

16

C

15

17

5 14

22

10 9

G

21

11

H 23 24

BA

SE :

71 8.

63 0

m

12

18 19

1

A

6 13

8 7

F

271

20

E

C A P ÍTU LO XVII

TRILATERACIÓN

17.1. INTRODU CCIÓN El prin cipio de tril ateración es u ti lizado para ex ten der el control h ori zon tal. Cons is te, básicam en te, en la medición directa de las lon gitu des de los lados de los triángulos y en el su bs ecuen te cálcu lo de los án gu los . Con s titu ye u na altern ativa a la triangu laci ón y debe vérs ele como com plementaria de los métodos de poligon ación y trian gu lación para proveer con trol. L as mis m as cons ideraciones qu e originaron la adopción de los m étodos de trian gu lación , o s ea, la posibil idad de trans ferir con exactitu d l as pos i cion es de pu n tos sobre terren o acciden tado, h an apoyado el em pleo de la trilateraci ón. Tan to la trian gu lación com o la tril ateración tien en en com ún , la rigidez de la figu ra y la in tervisibili dad en tre las es tacion es .

17.2. CÁL CUL OS Y VERIFICACIONES L os

án gulos

calcu ladora dis tan cias

se

determinan

electrón ic a, deben

es tar

fácilm ente

us an do redu cidas

la a

ley

con

la

de

los

n ivel

de

ayu da

de

un a

cos en os .

Las

m ar;

don de

las

dis tan cias a, b y c s on los lados de los trián gu los opu es tos a los án gulos A, B y C, res pectivam en te.

FÓRMULA N° 17.1. LEY DE COSENOS

cos A =

b2 + c2 − a 2 2bc

272

L a s uma de l os án gu los calculados deben s er exactam en te 180° y deben cons iderars e a los án gulos com o plan os y n o es féri cos . Sin em bargo, al s atis facer la con dición geom étri ca s olo s e verifica qu e el cálculo de los án gulos es correcto. Por ell o, debe efectu ars e algun as comprobacion es extern as midien do de vez en cu an do algun os án gulos , com paran do aci mutes calcu lados y obs ervados a lo largo de lín eas s eleccion adas , y con los errores de cierre de pos ición , can do se h agan li gas con otro con trol de orden igu al o s u perior.

17.3. C OM PARACIÓN C ON L A TRIANGU L ACIÓN L as evalu acion es con firm an la con ven ien cia de la utilización de la tri lateración para exten der el con trol h orizontal, s iempre y cu an do s e res peten las recomen daciones de la con figu ración geom étrica y de las lon gitu des de las líneas . Tam bi én

puede

con s iderárs ele

com o

un

au xiliar

para

la

tri angu lación . Sin em bargo, cu an do s e trata de redes de pequ eñ as figu ras , la tri lateración aven taja a la trian gu laci ón por la n otable facilidad y rapidez con

qu e pu eden

tom ars e m ediciones

muy

preci s as de distan cias con ins tru men tos de lectu ra au tom ática, en com paración con el trabajo qu e repres en ta h acer obs ervaciones de án gulos .

273

17.4. CÁL CUL O TIPO DE U NA RED DE POL ÍGONOS a) El gráfico y las medicion es de los lados del sistema

FIGURA N° 17.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL SISTEMA TRILATERADO

CUADRO N° 17.1. MEDIDAS DEL SISTEMA TRILATERADO

LADO


LADO

D I ST A N C I A ( m)

AB

720.82

BG

576.61

BC

759.90

CG

533.79

CD

785.85

FG

432.12

DE

819.45

CF

815.82

EF

800.30

FH

656.50

FA

718.14

CH

603.59

AG

617.77

DH

499.49

EH

533.74

274

b) Represen tación gráfica del trián gulo ABG

F I GU RA N° 17.2. R EPR ESE N TA CI ÓN G RÁ FI CA DE L P RI ME R TR I ÁN GULO T R I LA TER A DO

2

11

1

d)

b

=

AG

=

62

0.

0 29

m

Las ecu acion es de la Ley de Cos en os para los tres án gulos in tern os del trián gulo ABG

FÓRMULA N° 17.2. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO A CON LA LEY DE COSENOS

cos A =

b 2 + g2 − a 2 2bg

FÓRMULA N° 17.3. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO B CON LA LEY DE COSENOS

cos B =

a 2 + g2 − b 2 2ag

275

FÓRMULA N° 17.4. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO C CON LA LEY DE COSENOS

cos G =

e)

a 2 + b 2 − g2 2ab

Reem plazan do en las ecu aciones con los val ores m edi dos en campo y reportados en la tabla.

e)

cos A =

b 2 + g2 − a 2 617.770 2 + 720.820 2 − 576.610 2 = = 50.312182° 2bg 2(617.770)(720.820)

cos B =

a 2 + g 2 − b 2 576.610 2 + 720.820 2 − 617.770 2 = = 55.534480° 2ag 2( 576.610)(720.820)

cos G =

a 2 + b 2 − g 2 576 .610 2 + 617 .770 2 − 720 .820 2 = = 74.153338 ° 2ab 2( 576.610 )( 617.770 )

Si los c álculos s on correctos la sum atoria de los tres án gu los in tern os deben s um ar, exac tam en te, 180°.

CUADRO N° 17.2. COMPROBACIÓN DE LOS ÁNGULOS INTERNOS V ÉRTIC E

Á NG U LO

A

50.312182°

B

55.534480°

G

74.153338° 180.000000°

f)

Los valores de los dem ás trián gulos , s on :

276

C U A DR O N° 17.3. C Á LCU LO DE LOS Á NGU LOS I NTE RN OS DE L S EG UNDO T R I ÁN GULO S EG U N D O T RI Á N G U L O : BC G

LADOS


NÚM

VÉ RTIC E

ÁNGULOS (°)

BC

759.900

3

B

44.504549

CG

533.790

4

C

49.217671

GB

576.610

12

G

86.277781 180.000000

C U A DR O N° 17.4. C Á LCU LO DE LOS Á NGU LOS IN TE RNOS DE L TER CE R T R I ÁN GULO T E R C E R T RI Á N G U L O : C FG

LADOS


NÚM

VÉRTIC E

ÁNGULOS (°)

CF

815.820

5

C

28.725585

FG

432.120

6

F

36.419668

GC

533.790

13

G

114.854747 180.000000

C U A DR O N° 17.5. C Á L CU LO DE LOS Á NGU LOS IN TE RN OS DE L CU AR TO T R I ÁN GULO C U A RT O T RI Á N G U L O : FA G

LADOS


NÚM

VÉRTIC E

ÁNGULOS (°)

FA

718.140

7

F

58.875309

AG

617.770

8

A

36.783219

GF

432.120

14

G

84.341473 180.000000

277

C U A DR O N° 17.6. C Á LCU LO DE LOS Á NGU LOS IN TE RN OS DE L Q UI N TO T R I ÁN GULO Q U I N T O T RI Á N G U L O : FC H

LADOS


NÚM

VÉRTIC E

ÁNGULOS (°)

FC

815.820

15

F

46.875811

CH

603.590

16

C

52.547112

HF

656.500

23

H

80.577077 180.000000

C U A DR O N° 17.7. C Á LCU LO DE LOS Á NGU LOS IN TE RNOS DE L SEX T O T R I ÁN GULO S EX T O T R I Á N G U L O : C D H

LADOS


NÚM

VÉ RTIC E

ÁNGULOS (°)

CD

785.850

17

C

39.463941

DH

499.490

18

D

50.179813

HC

603.590

24

H

90.356247 180.000000

C UA DR O N° 17.8. C Á LCU LO DE LOS Á NGU L OS IN TE RN OS DE L SÉP TI MO T R I ÁN GULO S ÉPTIMO TRIÁNGULO: DE H

LADOS


NÚM

VÉRTIC E

ÁNGULOS (°)

DE

819.450

19

D

39.008064

EH

533.740

20

E

36.088869

HD

499.490

25

H

104.903067 180.000000

278

C U A DR O N° 17.9. C Á LCU LO DE LOS Á NGUL OS IN TE RN OS DE L Ú LTI MO T R I ÁN GULO Ú L T I MO T RI Á N G U L O : E F H

LADOS


NÚM

VÉRTIC E

ÁNGULOS (°)

EF

800.300

21

E

54.642456

FH

656.500

22

F

41.533246

HE

533.740

26

H

83.824298

759.900

180.000000

g) L os án gu los internos del predio ABCDEF, s on :

C U A DR O N° 17.10. Á NGU LOS IN TE RN OS DE L S IS TE MA TR I LA TER AD O V ÉRTIC E

Á N G U L O ( °)

A

87.09540

B

100.03903

C

169.95431

D

89.18788

E

90.73132

F

183.70403

SUM A

720.71197

279

FIGURA N° 17.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PREDIO TRILATERADO

h)

Los án gu los in tern os corregidos , geométricam en te, del predio ABCDEF, s on :

CUADRO N° 17.11. ÁNGULOS INTERNOS CORREGIDOS DEL SISTEMA TRILATERADO V ÉRTIC E

Á NG U LO ( °)

A

86.976739

B

99.920366

C

169.835647

D

89.069215

E

90.612662

F

183.585372

SU M A

720.000000

280

i)

L os ru m bos y dis tan ci as , partien do del ru m bo de partida AB = N 5.232600° E, del predio ABCDEF, s on :

CUADRO N° 17.12. RUMBOS Y DISTANCIAS DEL SISTEMA TRILATERADO LADOS

j)

R U M B O S (°)

D I ST A N C I A S ( m )

A B

N

5.232600 E

720.820

B C

N 85.312234 E

759.900

C D

S 84.523413 E

785.850

D E

S

6.407373 O

819.450

E F

N 84.205289 O

800.300

F A

N 87.790662 O

718.140

TOTAL

4604.460

L os alejam ien tos y latitu des del predio ABCDEF, s on :

CUADRO N° 17.13. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL SISTEMA TRILATERADO A L E J A M I E N T OS LA D O

R U M B O S

LA TI T U D E S

D I S TA N C I A E S TE

O E S TE

N OR T E

SUR

A B

N

5 . 2 3 2 6 00

E

7 2 0. 8 2 0

65.738

0.000

7 17 . 8 1 6

0.000

B C

N

85.312234

E

7 5 9. 9 0 0

7 5 7. 3 5 8

0.000

62.103

0.000

C D

S

84.523413

E

7 8 5. 8 5 0

7 8 2. 2 6 3

0.000

0.000

75.001

D E

S

6 . 4 0 7 3 73

O

8 1 9. 4 5 0

0.000

91.448

0.000

8 14 . 3 3 1

E F

N

84.205289

O

8 0 0. 3 0 0

0.000

7 96 . 2 1 0

80.802

0.000

F A

N

87.790662

O

7 1 8. 1 4 0

0.000

7 17 . 6 0 6

27.685

0.000

4 60 4. 4 60

1 60 5 . 3 5 9

1605.265

8 88 . 4 0 6

8 89 . 3 3 2

0.094

281

-0. 92 6

k)

Los alejamien tos y latitu des com pens ados del predio ABCDEF, s on :

CUADRO N° 17.14. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES COMPENSADOS DEL SISTEMA TRILATERADO C OMP E NS A CI ON E S LAD O

R U M B O S

D I S TA N C I A ALE JA MIE N .

l)

L A TI T U D E S

A B

N

5. 23 2 60 0 E

7 20. 8 2 0

65. 7 2 3

717 . 9 61

B C

N

85. 31 22 3 4 E

7 59. 9 0 0

757. 3 42

62 . 25 6

C D

S

84. 52 34 1 3 E

7 85. 8 5 0

782. 2 47

- 74 . 843

D E

S

6. 40 7 37 3 O

8 19. 4 5 0

- 91. 4 65

- 814 . 16 7

E F

N

84. 20 52 8 9 O

8 00. 3 0 0

- 796. 2 2 7

80 . 96 3

F A

N

87. 79 06 6 2 O

7 18. 1 4 0

- 717. 6 2 1

27 . 82 9

46 0 4. 46 0

0. 0 00

0 . 000

L as medidas corregidas , las coorden adas , las dobles áreas y el área del predio, ABCDEF, s on : CUADRO N° 17.15. ÁREA DEL SISTEMA TRILATERADO DI S TA N CI A S LADO

C O OR D E N A D A S

R U M B O S (°)

D OBLE S Á RE AS (m)

ES TE

N OR TE

A B

N

5.230380 E

720.963

0.000

0.000

0.000

B C

N

85.300654 E

759.897

65.723

717. 961

51, 278.555

C D

S

84.534771 E

785.818

823. 066

780. 217

-10, 359.524

D E

S

6.409826 O

819.288 1605. 313

705. 375

-1,427,137.750

E F

N

84.193945 O

800.333 1513. 848

-108.792

-1,067,829.717

F A

N

87.779193 O

718.160

717. 621

-27.829

78, 071.414

TOTA L

4604.460

0.000

0.000

-2,375,977.022

Área (m 2 )

1,187,988.511

282


Calcu lar la su perfici e de la red trilaterada qu e se m uestra s í el ru m bo de parti da, medido en el lado AB, es N 22.124800° E

LA DO


A B

586.240

B C

685.320

C D

724.080

D E

651.270

E F

710.540

F A

653.080

A G

552.390

B G

502.640

C G

448.640

F G

356.270

C F

665.980

F H

572.640

C H

512.320

D H

438.210

E H

432.150

283

E

22 .12 48 00 ° :N ID A RT

PA DE O MB

RU

2.

Calcu lar la su perfici e de la red trilaterada qu e se m uestra s í el rum bo de parti da, medido en el lado AB, es S 81.324500° E

LA DO


A B

1247.70

B C

1156.90

C D

1228.00

D E

1122.60

E F

1074.30

F A

1132.60

A G

804.20

B G

873.10

C G

884.60

D G

840.80

D A

1175.10 284

3.

D H

741.90

E H

839.00

F H

885.90

A H

740.10

Calcu lar la su perfici e de la red trilaterada qu e se m uestra s í el ru m bo de parti da, medido en el lado AB, es N 14.524800° E

LADO


A B

855.50

B C

1057.10

C D

1063.20

D E

960.70

285

1112.60

F A

971.90

A G

826.30

B G

754.10

C G

672.90

F G

562.20

F A

1031.60

F H

868.90

C H

791.20

D H

648.30

E H

648.20

RUM

BO DE

PAR

TIDA :N

14.5 248 0

0° E

E F

4.

Calcu lar la su perfici e de la red trilaterada qu e se m uestra s í el rum bo de parti da, medido en el lado AB, es S 82.124800° W

286

LADO


A B

1087.950

B C

858.270

C D

1069.780

D E

971.050

E F

800.570

F A

984.510

A G

663.570

B G

733.220

C G

702.690

D G

696.580

D A

915.980

D H

600.110

E H

706.140

F H

708.530

A H

605.780 E 14

D 6

C 4

15

13 7 20

5

21 24

H

22

23 11 10

G

12

9 16 17

8 1

19 18

A 3

B

2

RUMBO

DE

W 24800° : S 82.1 ARTIDA

P

287

F

Calcu lar la su perfici e de la red trilaterada qu e se m uestra s í

DISTA NCIA S (m)

AB

1074.040

BC

973.940

CD

1038.520

DE

1196.540

EF

1034.860

FA

943.630

AG

848.640

BG

801.750

CG

735.840

FG

627.580

CF

1195.630

FH

884.520

CH

850.640

DH

690.570

EH

761.240

DE

LADO

PARTIDA: S 1.722300° E

el rum bo de partida, m edido en el lado AB, es S 1.722300° E

RUMBO

5.

288

6.

Calcu lar la su perfici e de la red trilaterada qu e se m uestra s í el rum bo de parti da, medido en el lado AB, es S 85.522400° E LA DO

DISTA NCIA S (m)

AB

1256.570

BC

1129.240

CD

1220.630

DE

1132.560

EF

1055.640

FA

1126.520

AG

811.670

BG

867.540

CG

870.280

DG

835.270

D A 1171.630 DH

750.640

EH

833.510

FH

873.420

AH

736.540

289

7.

Calcu lar la su perfici e de la red trilaterada qu e se m uestra s í el rum bo de partida, m edido en el lado AB, es N 9.622300° E LA DO

DISTANCIA S (m)

912.930

BC

827.840

CD

882.740

DE

1017.050

EF

879.630

FA

802.150

AG

721.340

BG

681.480

CG

625.460

FG

533.440

CF

1016.380

FH

751.840

CH

723.040

DH

586.980

EH

647.050

RUMBO

DE

PARTID

A:

N 9.62 2300°

E

AB

290

8.

Calcu lar la su perfici e de la red trilaterada qu e se m uestra s í el rum bo de parti da, medido en el lado AB, es S 87.722400° W LA DO

DISTA NCIA S (m)

AB

954.990

BC

858.220

CD

927.670

DE

860.740

EF

802.280

FA

856.550

AG

616.860

BG

659.330

CG

661.410

DG

634.860

DA

890.420

DH

570.480

EH

633.460

FH

663.790

AH

559.770

291

C A P ÍT U LO XVIII

LEVANTAMIENTOS COMBINADOS

18.1. INTRODU CCIÓN Un sis tem a mú ltiple cons is te fun dam entalm en te en un conjun to de tri ángu los , cu adriláteros y polígon os trian gu lados o trilaterados que deben calc ulars e in depen dien tem en te para lu ego s er in tegrados en el s is tema; cu yos án gulos , bas es o dis tan cias s e h an medido en form a

directa.

Es

un

procedimiento

mu y

eficaz

para

realizar

levan tam ien tos de áreas extens as porqu e evita ten er qu e m edir las lon gitu des de todas las alin eaciones (trian gulación ) o los án gulos in ternos (tri lateración ). L os pun tos de levan tamien to o es tacion es de trian gulación o de trilateración se localiz an en los vértices de los

trián gulos .

A

partir

de

los

án gulos

y

bas es

m edidos ,

se

determ in an s u cesi vam ente, por trigon ometría, las l ongitu des de todos los demás l ados in tercon ectados .

1 8 .2. CÁL CUL O DEL SISTEM A COMBIN ADO FIGURA N° 18.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PREDIO COMBINADO

292

CUADRO N° 18.1. MEDIDAS DEL SISTEMA COMBINADO

C U A D R I L Á T E R O PQ R W Á NG U LO NUM. G r ad o s

Mi n u t os

1

33

24

2

36

52

3

51

35

4

58

41

5

36

28

6

31

14

7

56

36

8

54

38

Ru m bo de partida: PQ = N 5.245000° W. Bas e: AC = 1,038.240 metros

CUADRO N° 18.2. MEDIDAS DEL POLÍGONO COMBINADO PO LÍ G O NO W RS X V Á NG U LO NUM. G r ad os

Mi n u t os

9

41

38

10

36

42

11

49

35

12

59

26

13

49

17

14

55

42

15

71

12 293

16

49

53

17

57

51

18

69

24

CUADRO N° 18.3. MEDIDAS DEL PRIMER TRIÁNGULO COMBINADO T RI Á N G U L O T RI L A T E RA D O V X U LA D O S


VX

504.540

XU

782.230

UV

919.420 CUADRO N° 18.4. MEDIDAS DEL SEGUNDO TRIÁNGULO COMBINADO

T RI Á N G U L O T RI L A T E RA D O U X T LA D O S


UX

782.230

XT

754.680

TU

943.520 CUADRO N° 18.5. MEDIDAS DEL TERCER TRIÁNGULO COMBINADO

T RI Á N G U L O T RI L A T E RA D O X ST LA D O S


XS

572.640

ST

768.820

TX

754.680

Ten ien do en cu en ta l a figu ra debem os es tablecer la s igu ien te es trategia para res olverlo: a) Cálcu lo del cu adrilátero PQRW b) Cálcu lo del polígon o WRSXV c) Cálcu lo de los tres trián gu los trilaterados 294

d) I ntegración de las cin co figu ras básicas para determ in ar las m edidas del polígono de apoyo, PQRSTU VW. e) Cálcu lo de las ligas del polífon o de apoyo h acia los vértices del predio f)

Cálcu lo de las m edidas del predio ABCD

g) Fraccion am ien to del predio en dos su bpredios de igu al área.

TRI ANGU L ACIÓN DEL CU ADRIL ÁTERO PQRW a) L A F IGU R A FIGURA N° 18.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CUADRILÁTERO COMBINADO

B

A

S

E,

W

Q

=

1 ,0 38

.2 4

0

m

295

b) LO S D A TOS CUADRO N° 18.6. MEDIDAS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO

ÁNGULO N U M. Grados

Minu t os

1

33

24

33.400000

2

36

52

36.866667

3

51

35

51.583333

4

58

41

58.683333

5

36

28

36.466667

6

31

14

31.233333

7

56

36

56.600000

8

54

38

54.633333

TOTAL

e)

Á N G U LO D EC I MA L

359.466667

Com pens an do los án gulos in tern os de la figu ra qu e n o deben con tradecir a la ecu ación

∑

ang _ int

= 180 o (n − 2) , es decir n o debe

ex ceder los 360° por tratars e de un cu adrilátero. En error ex is ten te por defecto, s e com pens a sum án dole a cada án gulo medido, el error por defecto dividido por oc h o, qu e son el nú mero de án gu los intern os m edido en el cu adrilátero, es deci r, 0.533333°/8 = 0.0666667°. L os cálcu los tabulados s e mu es tran a con tinu ación

CUADRO N° 18.7. CORRECCIÓN DE MEDIDAS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO Á NG U LO NUM.

ÁNGULO

CORREC. B

DECI MAL

A N G . C O MP .

Gr.

Min.

1

33

24

33.400000

33.466667

2

36

52

36.866667

36.933333

3

51

35

51.583333

51.650000

296

f)

4

58

41

58.683333

58.750000

5

36

28

36.466667

36.533333

6

31

14

31.233333

31.300000

7

56

36

56.600000

56.666667

8

54

38

54.633333

54.700000

SU M A

359.466667

360.000000

D EFEC TO

0.533333

D E F EC T O / 8

0.06666667

Por tratars e de un cu adrilátero, cu yos vértice se h an uni do con di agon ales , tam bién , debe s atis fac er la con dición de igualdad de pares opu es tos , es decir, 1+ 2 = 5 + 6 y 3 + 4 = 7 + 8 . Reem plazan do, primero en 1 + 2 = 5 + 6 : 70.400000° = 67.833333° Hay u n a diferen cia de 2.566667° en la sum a de los pares opu es tos . Para com pens arlo, procedem os a dividir el error en tre el nú m ero de ángul os (4), as í : 2.566667°/4 = 0.641667°. Por lo tan to, com o l a s um a de 1 + 2

es m ayor;

s e aplica u na

corrección de -0.641667° a los án gulos 1 y 2; y, de +0.566667° a los án gu los 5 y 6. As im is mo, reem plazan do en 3 + 4 = 7 + 8 : 110.400000° = 111.366667° Ah ora la diferen cia es de 0.966667° en la s um a de los pares opu es tos . Para com pens arlo, tam bién , procedem os a dividir el error

en tre

el

nú mero

de

án gu los

(4),

as í:

0.966667°/4

=

0.241667°. Por cons igu ien te, ten iendo en cu enta qu e la s um a de 3 + 4 es m en or s e aplica un a corrección de +0.241667° a los án gul os 3 y 4; y, de -0.241667° a los án gu los 7 y 8.

297

La tabulación es la s igu iente:

CUADRO N° 18.8. CORRECCIÓN DE PARES OPUESTOS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO Á NGULO DECIM A L

NUM .

CORREC. B Á NG. COM P.

SUM A DE LOS P ARES OPUESTOS DE Á NGULOS

1+2

CORREC. C Á NG. COM P.

1

33.400000

33.466667

5+6

32.825000

2

36.866667

36.933333

70.400000

3

51.583333

51.650000

4

58.683333

58.750000

5

36.466667

36.533333

3+4

7+8

37.175000

6

31.233333

31.300000

110.400000

111.366667

31.941667

7

56.600000

56.666667

DIFERENCIA

-0.966667

56.425000

8

54.633333

54.700000

DIF/4

0.241667

54.458333

67.833333

36.291667

DIFERENCIA

2.566667

51.891667

DIF/4

-0.641667

58.991667

359.466667 360.000000

g)

Para

proceder

a

la

360.000000

com pen sación

trigon ométrica

de

los

án gulos del cu adrilátero, procedemos a orden ar los án gulos ; prim ero

los

pares

y

lu ego

los

im pares .

A

los

pares

les

den omin aremos án gu los α y a los impares , án gulos β .

CUADRO N° 18.9. ORDENACIÓN EN ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL CUADRILÁTERO COMBINADO

NÚM.

CORRE C. C Á N G . C O M P.

Á N G . O RD E N A D O S NÚM.

VA LO RE S

1

32.825000

2

36.291667

2

36.291667

4

58.991667

3

51.891667

6

31.941667

4

58.991667

8

54.458333

5

37.175000

1

32.825000

298

6

31.941667

3

51.891667

7

56.425000

5

37.175000

8

54.458333

7

56.425000

360.000000

h)

360.000000

Lu ego, calculamos los s en os de los án gulos orden ados , lo multipl icam os

por

100

para

evitar

logaritm os

n egativos ,

obten em os sus res pectivos logaritmos y su mam os pares e impares ; as í:

CUADRO N° 18.10. CÁLCULO DE SENOS DE ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL CUADRILÁTERO COMBINADO A NG. ORDENA DOS NÚM .

VALORES

SUM ATOIA S DE A NGULOS α y β SENO ANG.

x 100

2

36.291667

0.591896 59.189595

1.772245

4

58.991667

0.857092 85.709238

1.933028

6

31.941667

0.529056 52.905558

1.723501

8

54.458333

0.813693 81.369300

1.910461

1

32.825000

0.542075 54.207492

1.734059

3

51.891667

0.786845 78.684527

1.895889

5

37.175000

0.604252 60.425151

1.781218

7

56.425000

0.833163 83.316262

1.920730

Σ pares α

7.339235

Σ impares β

7.331896

360.000000

i)

LOG_1

Segu idam en te, calcu lam os las parte proporci on al es (pp) de los án gu los orden ados

α

s egu n do, así.

299

y

β e in crem en tados en u n

CUADRO N° 18.11. CÁLCULO DE SENOS DE LAS PARTES PROPORCIONALES DE LOS ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL CUADRILÁTERO COMBINADO ANG. ORDENADOS NÚM .

VA LORES

SUM ATORIAS DE LA S P ARTES P ROPORCIONALES (pp) DE α y β INCR. 1SEG

SENO INC..

x 100

LOG_2

2

36.291667 36.291944

0.591900

59.18999

1.772248

0.000003

4

58.991667 58.991944

0.857095

85.70949

1.933029

0.000001

6

31.941667 31.941944

0.529060

52.90597

1.723505

0.000003

8

54.458333 54.458611

0.813696

81.36958

1.910462

0.000002

1

32.825000 32.825278

0.542079

54.20790

1.734063

0.000003

3

51.891667 51.891944

0.786848

78.68483

1.895891

0.000002

5

37.175000 37.175278

0.604255

60.42554

1.781221

0.000003

7

56.425000 56.425278

0.833165

83.31653

1.920731

0.000001

Σ Dif. Tab. Α

0.000009

Σ Dif. Tab.b

0.000009

360.000000

h)

DIFERENCIA

Para calcular la corrección u nitaria a cada u no de los 8 án gu los del cu adrilátero u tilizam os la siguien te ecu ación :

FÓRMULA N° 18.1. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN UNITARIA DE ÁNGULOS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO

C=

∑ log.sen(α) − ∑ log.sen(β) ∑ pp(α) + ∑ pp(β) Σ pares (α)

7.339235

Σ Dif. Tab. (α)

0.000009

Σ im pares (β)

7.331896

Σ Dif. Tab. (β )

0.000009

Reem plazan do

C seg =

7.339235 − 7.331896 0.007339 = = 0.112605o 0.000009 + 0.000009 0.000018

Com o la s um atoria de los án gu los pares (α) s on m ayores qu e la

s um atoria

de

l os

án gu los

300

impares

(β);

aplicam os

un a

corrección u nitaria n egativa de 0.112605° a los pares y positiva a los impares . El cálculo s e m ues tra en la s iguien te tabla:

CUADRO N° 18.12. CORRECCIÓN DE ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL CUADRILÁTERO COMBINADO A NG. ORDENA DOS NÚM .

i)

Á NGULOS CORREGIDOS

VA LORES

2

36.291667

36.179062

4

58.991667

58.879062

6

31.941667

31.829062

8

54.458333

54.345729

1

32.825000

32.937605

3

51.891667

52.004271

5

37.175000

37.287605

7

56.425000

56.537605

360.000000

360.000000

Para calcu lar las dis tan cias perim etrales del cu adrilátero, s e aplica l a Ley de s en os . Es ta relacion a, bás icamen te, los lados de un trián gu lo con s u án gulo opu es to. En cons ecuen c ia, n os perm ite

calc ular,

un a

de

las

longitu des

de

un

trián gu lo,

con ocien do la lon gitu d bas e y al m enos 2 án gulos in tern os adyacen tes .

301

CUADRO N° 18.14. CÁLCULO DE DISTANCIAS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO DISTANCIAS DEL CUADRILÁTERO PQRW BA SE en el lado WQ = 1,038.240 metro s LAD_DESCON

A NG. OPUEST

LA D_CONOC

A NG. OP UEST

DISTA NCIA

WP

sen 2

1038.24

sen 1+8

613.574

PQ

sen 7

613.5738

sen 2

867.124

QR

sen 1

867.1241

sen 4

550.741

RW

sen 3

550.7410

sen 6

822.954

822.9540

sen 3

1038.240

COMPROBACIÓN WQ

sen 4+5

TRI ANGU L ACIÓN DEL POLÍGONO WRSXV c)

El gráfico F I GU RA N° 18.3. R EPRESE N TA CI ÓN DE L PO LÍ GON O CO MBI N AD O

S 12

R

13 11 10

Y 20

14 21

19

15

22

23

9 16

18

17

W

V 302

X

d)

Los datos

CUADRO N° 18.15. CÁLCULO DE DECIMALES DE GRADO DEL POLÍGONO COMBINADO Á NGULO

NÚM .

Á NGULO DECIM AL

GRADOS M INUTOS

e)

9

41

38

41.633333

10

36

42

36.700000

11

49

35

49.583333

12

59

26

59.433333

13

49

17

49.283333

14

55

42

55.700000

15

71

12

71.200000

16

49

53

49.883333

17

57

51

57.850000

18

69

24

69.400000

Al igu al qu e en la trian gulaci ón de cu adriláteros , com o en es te cas o, los án gulos in tern os de la figura n o deben con tradecir a la ecu ación

∑ang _ int = 180o (n − 2) ,

es decir n o debe exceder l os 540°

por tratars e de un polígon o de cin co l ados . En el cas o de qu e ex is ta error por exces o (com o el pres en te) com pens am os el polí gono; res tán dole ex ces o in tern os

dividido

por

m edido en

a cada án gul o m edido, el diez, el

qu e

son

polígon o, es

el

núm ero

decir,

de

error por án gu los

0.666667°/10

0.066667°. L os cálculos tabulados se m ues tran a con tinu ación

303

=

CUADRO N° 18.16. CORRECCIÓN GEOMÉTRICA DEL POLÍGONO COMBINADO Á NGULO

NÚM .

Á NGULO DECIM AL

GRA DOS M INUTOS

CORRECIÓN GEOM ÉTRICA

9

41

38

41.633333

41.566667

10

36

42

36.700000

36.633333

11

49

35

49.583333

49.516667

12

59

26

59.433333

59.366667

13

49

17

49.283333

49.216667

14

55

42

55.700000

55.633333

15

71

12

71.200000

71.133333

16

49

53

49.883333

49.816667

17

57

51

57.850000

57.783333

18

69

24

69.400000

69.333333

540.666667 540.000000 -0.666667

e)

Para

proceder

a

la

compen s ac ión

án gulos

del

polígon o, procedemos

prim ero

los

pares

y

lu ego

los

trigon om étrica a

orden ar los

im pares .

A

los

los

án gulos ; pares

den ominaremos án gu los α y a los impares , án gu los β .

304

de

les

CUADRO N° 18.17. ORDENACIÓN EN ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL POLÍGONO COMBINADO

NÚM .

Á NGULOS ORDENA DOS

CORRECIÓN GEOM ÉTRICA

NÚM .

VA LOR

9

41.566667

10

36.633333

10

36.633333

12

59.366667

11

49.516667

14

55.633333

12

59.366667

16

49.816667

13

49.216667

18

69.333333

14

55.633333

9

41.566667

15

71.133333

11

49.516667

16

49.816667

13

49.216667

17

57.783333

15

71.133333

18

69.333333

17

57.783333

540.000000

540.000000

f) L u ego, calcu lam os los s enos de los án gu los orden ados , lo m ultiplicam os

por

100

para

evi tar

logaritm os

n egativos ,

obtenemos s us res pectivos logaritm os y s umam os pares e im pares ; as í :

305

CUADRO N° 18.18. CÁLCULO DE SENOS DE ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL POLÍGONO COMBINADO Á NGULOS ORDENA DOS NÚM .

VA LOR

SUM A TORIA S DE Á NGULOS α y β SENO Á NG.

x 100

10

36.633333

0.596692

59.669183

1.775750

12

59.366667

0.860446

86.044573

1.934723

14

55.633333

0.825442

82.544204

1.916687

16

49.816667

0.763984

76.398375

1.883084

18

69.333333

0.935650

93.564952

1.971113

9

41.566667

0.663491

66.349105

1.821835

11

49.516667

0.760595

76.059485

1.881153

13

49.216667

0.757185

75.718510

1.879202

15

71.133333

0.946274

94.627365

1.976017

17

57.783333

0.846038

84.603812

1.927390

540.000000

f)

LOG.x 100

Σ pares (α)

9.481357

Σ impares(β)

9.485597

Segu idam en te, cal culam os las parte proporcion ales (pp) de los án gulos orden ados

α

y

β e in crementados en u n s egun do,

as í.

306

CUADRO N° 18.19. CÁLCULO DE SENOS DE LAS PARTES PROPORCIONALES DE ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL POLÍGONO COMBINADO Á NGULOS ORDENA DOS NÚM .

VALOR

SUM A TORIA S DE LAS PA RTES PROP ORCIONA LES (pp) DE α y β INCR. 1 SEG

SENO INC..

x 100

LOG.x 100

DIFERENCIA

10

36.633333 36.633611

0.596696 59.669572

1.775753

0.000003

12

59.366667 59.366944

0.860448 86.044820

1.934725

0.000001

14

55.633333 55.633611

0.825445 82.544478

1.916688

0.000001

16

49.816667 49.816944

0.763987 76.398688

1.883086

0.000002

18

69.333333 69.333611

0.935651 93.565123

1.971114

0.000001

9

41.566667 41.566944

0.663495 66.349468

1.821837

0.000002

11

49.516667 49.516944

0.760598 76.059800

1.881155

0.000002

13

49.216667 49.216944

0.757188 75.718826

1.879204

0.000002

15

71.133333 71.133611

0.946275 94.627521

1.976017

0.000001

17

57.783333 57.783611

0.846041 84.604071

1.927391

0.000001

540.000000

j)

Σ Dif. Tab.(α)

0.000008

Σ Dif. Tab. (β)

0.000008

P ara calcular la c orrección u nitaria a cada un o de los 8 án gulos del polígon o u tilizam os la s igu ien te ecu aci ón :

FÓRMULA N° 18.2. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN UNITARIA DE ÁNGULOS DEL POLÍGONO COMBINADO

C=

∑ log.sen(α ) − ∑ log.sen(β) ∑ pp(α) + ∑ pp(β) Σ pares (α)

9.481357

Σ Dif. Tab.(α)

0.000008

Σ im pares (β)

9.485597

Σ Dif. Tab.(β)

0.000008

R eem plazan do

C =

9.48 1357 − 9.485597 0 .004 240 = = 0.073035 o 0 .000 009 + 0.00 0009 0 .0000 16 307

j) Com o la s um atoria de los án gu los pares ( α ) s on men ores qu e la

su matoria

correcci ón

de

los

un itari a

án gu los

positiva

im pares

de

( β );

0.073035°

apl icamos a

l os

u na

pares

y

n egativa a los im pares . El cálculo se m u es tra en la siguien te tabla:

CUADRO N° 18.20. CORRECCIÓN TRIGONOMÉTRICA DE ÁNGULOS DEL POLÍGONO COMBINADO Á NGULOS ORDENA DOS NÚM .

VA LOR

A NGULOS CORREGIDOS

10

36.633333

36.706369

12

59.366667

59.439702

14

55.633333

55.706369

16

49.816667

49.889702

18

69.333333

69.406369

9

41.566667

41.493631

11

49.516667

49.443631

13

49.216667

49.143631

15

71.133333

71.060298

17

57.783333

57.710298

540.000000

540.0000000

CUADRO N° 18.21. ÁNGULOS CENTRALES DEL POLÍGONO COMBINADO VA L O R E S D E L O S NUM

Á N G U LO S C EN T RA L E S

19

101.800000

20

71.116667

21

75.150000 308

j)

22

59.050000

23

52.883333

∑

360.000000

Para calcu lar las dis tan cias perim etrales del cu adrilátero, s e apli ca la Ley de s en os . Es ta relacion a, bás icam en te, los lados de u n trián gulo con s u án gulo opues to. En cons ecu en cia, n os perm ite

calcu lar,

una

de

las

lon gi tu des

de

un

trián gu lo,

con oc ien do l a l on gitu d bas e y al m enos 2 án gu los in tern os adyacen tes , tal com o s e mu es tra en l a s igu ien te figu ra.

FÓRMULA N° 18.3. CÁLCULO DE DISTANCIAS PERIMETRALES DEL POLÍGONO COMBINADO

RY sen9 = WR s en1 9

Reem plazan do

RY =

k)

822.954m (sen41.493631o ) W Rsen9 = = 557.008m sen19 sen (101.800000 o )

Las dem ás lon gitu des s e mu es tran en la siguien te tabl a.

309

CUADRO N° 18.22. DISTANCIAS DEL POLÍGONO COMBINADO DISTANCIAS DEL POLIGONO WRSXV B ASE en el lado WR = 822.954 metro s LA D_DESCON

ANG. OPUEST

LAD_CONOC

ANG. OP UEST

DISTA NCIA

RY

sen 9

822.9540

sen 19

557.008

RS

sen 20

557.0083

sen 12

612.046

SY

sen 11

612.0465

sen 20

491.463

SX

sen 21

491.4633

sen 14

575.007

XY

sen 13

575.0072

sen 21

449.936

XV

sen 22

449.9355

sen 16

504.536

VY

sen 15

504.5362

sen 22

556.450

VW

sen 23

556.4503

sen 18

474.008

WY

sen 17

474.0079

sen 23

502.511

502.5108

sen 10

822.954

COMPROBACIÓN WR

sen 19

FIGURA N° 18.4 REPRESENTACIÓN DEL PRIMER TRIÁNGULO DEL SISTEMA COMBINADO

X 25

24

26

U

V

310

CUADRO N° 18.23. ÁNGULOS INTERNOS DEL PRIMER TRIÁNGULO DEL SISTEMA COMBINADO TRILATERACIÓN DEL TRIÁNGULO VXU LADO

DIST (m)

CUA DRA DO

NÚM

VERT

COSENO

Á NGULO

VX

504.536

254556.7618

25

V

0.526004

58.264146

XU

782.230

611883.7729

26

X

0.026741

88.467670

UV

919.420

845333.1364

27

U

0.836112

33.268184

SUMA 180.000000

FIGURA N° 18.5 REPRESENTACIÓN DEL SEGUNDO TRIÁNGULO DEL SISTEMA COMBINADO

CUADRO N° 18.24. ÁNGULOS INTERNOS DEL SEGUNDO TRIÁNGULO DEL SISTEMA COMBINADO TRILATERACIÓN DEL TRIÁNGULO UXT LADO

DIST (m)

CUA DRA DO

NÚM

VERT

COSENO

ÁNGULO

UX

782.230

611883.7729

28

U

0.631781

50.818337

XT

754.680

569541.9024

29

X

0.246637

75.721424

TU

943.520

890229.9904

30

T

0.595380

53.460238

SUMA 180.000000

311

FIGURA N° 18.5 REPRESENTACIÓN DEL TERCER TRIÁNGULO DEL SISTEMA COMBINADO

S

T 31

32

30

X CUADRO N° 18.24. ÁNGULOS INTERNOS DEL TERCER TRIÁNGULO DEL SISTEMA COMBINADO TRILATERACIÓN DEL TRIÁNGULO XST LA DO

DIST (m)

CUADRA DO

NÚM

VERT

COSENO

Á NGULO

XS

572.640

327916.5696

31

X

0.354469

69.239120

ST

768.820

591084.1924

32

S

0.396880

66.616695

TX

754.680

569541.9024

33

T

0.717589

44.144185

SUMA 180.000000

l)

El polígon o de apoyo y los valores de los án gu los in tern os del s is tem a, qu edan , as í: F I GUR A N° 18.6 R E PRESE N TA CI ÓN G RÁ F I C A DE L PO L ÍGONO DE A POY O DE L S I S TEM A CO MBIN A DO

312

CUADRO N° 18.25. CORRECCIÓN DE ÁNGULOS INTERNOS Y DISTANCIAS DEL POLÍGONO DE APOYO DEL SISTEMA COMBINADO VÉRTICES

Á NGULOS

Á NG. CORREGIDOS

LA DOS

DISTA NCIA S (m)

P

87.283333

87.307693

PQ

867.124

Q

88.183333

88.207693

QR

550.741

R

182.316667

182.341027

RS

612.046

S

175.200029

175.224389

ST

768.820

T

97.604423

97.628784

TU

943.520

U

84.086521

84.110881

UV

919.420

V

165.864146

165.888506

VW

474.008

W

199.266667

199.291027

WP

613.574

1079.805120

1080.000000

TOTAL

TOTAL

5749.253252

0.194880

CUADRO N° 18.26. RUMBOS Y DISTANCIAS DEL POLÍGONO DE APOYO DEL SISTEMA COMBINADO

LA DOS

RUM BOS

DISTA NCIA S

PQ

N

5.245000

O

867.124

QR

N

86.547307

E

550.741

RS

N

84.206280

E

612.046

ST

N

88.981891

E

768.820

TU

S

8.646892

E

943.520

UV

S

87.242226

O

919.420

VW

N

78.646280

O

474.008

WP

S

82.062693

O

613.574

313

CUADRO N° 18.27. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL POLÍGONO DE APOYO DEL SISTEMA COMBINADO

LA DOS

RUM BOS

DISTA NCIA S

ALEJA M IENTOS ESTE

LATITUDES

OESTE

NORTE

SUR

PQ

N

5.245000

O

867.124

0.000

79.268

863.493

0.000

QR

N

86.547307

E

550.741

549.741

0.000

33.168

0.000

RS

N

84.206280

E

612.046

608.920

0.000

61.784

0.000

ST

N

88.981891

E

768.820

768.699

0.000

13.661

0.000

TU

S

8.646892

E

943.520

141.853

0.000

0.000

932.796

UV

S

87.242226

O

919.420

0.000

918.355

0.000

44.237

VW

N

78.646280

O

474.008

0.000

464.732

93.316

0.000

WP

S

82.062693

O

613.574

0.000

607.696

0.000

84.728

5,749.2533

2,069.213

2,070.051

1,065.422

1,061.760

-0.838

3.662

CUADRO N° 18.28. COORDENADAS Y ÁREA DEL POLÍGONO DE APOYO DEL SISTEMA COMBINADO

LA DOS

C O R R E C C I O N E S A LEJA M IENT

LA TITUDES

COORDENADA S RELATIVAS ESTES

DOB LES Á REA S

NORTES

PQ

-79.142

862.941

0.000

0.000

0.0000

QR

549.822

32.817

-79.142

862.941

-70,891.7335

RS

609.009

61.395

470.680

895.758

44,343.6224

ST

768.811

13.171

1,079.689

957.153

80,507.6700

TU

141.991

-933.397

1,848.500

970.324

-1,701,036.7342

UV

-918.221

-44.822

1,990.490

36.927

-1,947,135.0976

VW

-464.663

93.014

1,072.269

-7.895

51,674.3811

WP

-607.606

-85.119

607.606

85.119

4,797.0255

0.000

0.000

SUMA

-3,537,740.8664

2

1,768,870.4332

AREA m

314

CÁL CU L OS CON L AS L IGAS a) El gráfico

F I GUR A N° 18.7 R E PRESE N TA CI ÓN G RÁ F I C A DE LAS LI G AS DE L S IS TE MA C OMBI NA DO

g)

Las m edidas de las ligas n o tienen nin gu na relación un as con otras (n o form an figu ra algun a y de n in gun a m an era s erán calcu ladas en column as ), tal com o se obs erva en la figu ra y s olo razon es pu ram en te di dác ticas h ace qu e lo presen tem os en u na s ola tabla. Así, los alejam ientos y latitu des de las ligas , s on : CUADRO N° 18.29. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DE LAS LIGAS DEL SISTEMA COMBINADO

LADOS

R UM B O S

DISTA NCIAS

A LEJA M IENTOS ESTE

OESTE

LATITUDES NORTE

SUR

PA

S

48.245000

O

82.3200

0.000

61.411

0.000

54.821

QB

N

45.125000

O

76.5200

0.000

54.226

53.990

0.000

TC

N

43.645000

E

101.2400

69.875

0.000

73.260

0.000

UD

S

39.125000

E

62.5400

39.464

0.000

0.000

48.517

315

c) L as ligas , al n o es tar u nidas en tre s í, n o se corri gen . Por tan to, los

alej amien tos

y

lati tudes

se

orden an

en

sus

res pectivas

colum n as res petan do s u s si gn os . Sí s e obvian es tos últim os los cálcu los si gui en tes s erán erróneos .

CUADRO N° 18.30. COMPENSACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DE LAS LIGAS DEL SISTEMA COMBINADO

LA DOS

COM P ENSA CIONES A LEJA M IEN.

LA TITUDES

PA

-61.411

-54.821

QB

-54.226

53.990

TC

69.875

73.260

UD

39.464

-48.517

d) L os alejamien tos y latitu des de las ligas in dican l a posición de los vértices del predi o des de los vértices de la poli gon al de apoyo, por lo qu e, s e con vierten en coorden adas directamente s iem pre qu e s e res pete sus s ign os . Así: CUADRO N° 18.31. COORDENADAS DE LAS LIGAS DEL SISTEMA COMBINADO LADOS

f)

COM PENSACIONES A LEJA M IEN.

LA TITUDES

COORDENA DA S DE LIGA S ESTE

NORTE

PA

-61.411

-54.821

-61.411

-54.821

QB

-54.226

53.990

-54.226

53.990

TC

69.875

73.260

69.875

73.260

UD

39.464

-48.517

39.464

-48.517

Debem os precis ar que las coordenadas de las ligas s olo s on de cada vértice de apoyo h as ta el vértice del perímetro, pero no

s on

l as

coorden adas

del

perím etro,

es tas

deberán

calcu larse s um an do algebraicam ente las coordenadas de la 316

poli gonal de apoyo y las coorden adas de las ligas . L as su m as al gebraicas de las coorden adas de apoyo y de las ligas n o cambian así la poligon al de apoyo s e en cu en tre den tro (com o el pres en te) o fu era del perím etro del predio. As im is mo, el núm ero de lados de la poligon al de apoyo y del predio pueden s er diferen tes , pero la can tidad de ligas

y

vérti ces perim etrales s iem pre s erán igu ales . En el pres en te cas o el n úm ero de lados de apoyo son och o (8) y el n ú mero de vérti ces perim etrales son cuatro (4); por lo qu e, des de dos vérti ces de apoyo (R, S, V y W) n o se h an trazado l iga algun a. Por tan to, las coorden adas de apoyo qu e pertenecen a és tos vérti ces (R, S, V y W B y F ) n o s on tom ados en cuen ta y s u s res pectivas

posi cion es

s on

ocu padas

coorden adas . L a tabu lación de

por

las

siguien tes

lo expres ado s e mues tra a

con tinu ación .

CUADRO N° 18.32. COORDENADAS DE LAS LIGAS Y DE APOYO DEL SISTEMA COMBINADO LA DOS

COORDENA DA S DE LIGAS

COORDENA DA S DE A P OYO

ESTE

NORTE

ESTE

NORTE

PA

-61.411

-54.821

0.000

0.000

QB

-54.226

53.990

-79.142

862.941

TC

69.875

73.260

1848.500

970.324

UD

39.464

-48.517

1990.490

36.927

h ) Para calcu lar las c oorden adas de los vértices del perím etro del predio, se su m an las coordenadas de la poligonal de apoyo c on las coorden adas de las l igas qu e con ecta con los vértices del predio, así:

FÓRMULA N° 18.3. CÁLCULO DE COORDENADAS ESTÉS SISTEMA COMBINADO CPREDIO( ESTE) = CLIGA( ESTE) + C APOYO( ESTE)

317

FÓRMULA N° 18.4 CÁLCULO DE COORDENADAS NORTES SISTEMA COMBINADO

CPREDIO(NORTE ) = CLIGA( NORTE ) + C APOYO( NORTE )

Reem plazan do CPREDIO(ESTE) = ( −61.4107) + ( 0.000) = −61.4107m CPREDIO(NORTE) = ( −54.8207) + ( 0.000) = −54.8207m

i)

L a tabulac ión c ompleta, es la siguien te

CUADRO N° 18.33. COORDENADAS DEL SISTEMA COMBINADO COORDENA DA S DE LIGA S

LA DOS

k)

ESTE

NORTE

COORDENA DA S DE A P OYO ESTE

NORTE

COORDENA DA S DEL P REDIO ESTE

NORTE

PA

-61.411

-54.821

0.000

0.000

-61.411

-54.821

QB

-54.226

53.990

-79.142

862.941

-133.367

916.931

TC

69.875

73.260

1848.500

970.324

1918.374

1043.584

UD

39.464

-48.517

1990.490

36.927

2029.954

-11.589

La m atriz vertical para calcular el área del predio completo, ya con es tas s us titu cion es , us an do las letras E y N las coorden adas , qu eda como si gu e: CUADRO N° 18.34. MATRIZ DEL SISTEMA COMBINADO N4

-1 1. 58 94

E1

N1

-6 1. 4107

-5 4. 82 07

E2

N2

-1 33 .3673

916 .93 07

E3

N3

1 ,918 .374 4 104 3.5 84 2

E4

N4

2 ,029 .953 9

N1

-1 1. 58 94 -5 4. 82 07

318

para in dicar

j)

El área del predi o, es :

CUADRO N° 18.35. ÁREA DEL SISTEMA COMBINADO LA DOS


DOB LES Á REA S

NORTE

PA

-61.411

-54.821

-57,021.032

QB

-133.367

916.931

-146,491.317

TC

1918.374

1043.584

-1,781,249.177

UD

2029.954

-11.589

-2,229,711.377 -4,214,472.903

Área

2,107,236.451

k ) Para calcu lar los com ponen tes del predio, alejam ien tos y latitu des ; s e procede in vi rtien do la s ecu en cia del n orm al

de

alejami en tos

y

latitu des .

Para

el

cálculo

cálcu lo

de

coorden adas s e s um an algebrai camente l os alejamien tos o latitu des , pero para el cálcu lo de alejamien tos y latitu des , partien do

de

coorden adas ,

se

res tan

la

coorden ada

de

adelan te m en os la coorden ada de la lín ea, así:

F Ó RM U L A N° 18 .5 C Á L C U L O

D E A L EJ A M I EN T O S D E L S I S T EM A C O M BI N A D O

Alej.AB = CESTE( B) − CESTE( A )

F Ó RM U L A N° 18 .6 C Á L C U L O

D E L A T I T U D E S D E L S I S T EM A C O M BI N A D O

Lat.AB = CNORTE( B) − CNORTE( A )

Reem plazan do: Alej .AB = (− 133 .3573 ) − (− 51 .4107 ) = − 71 .9567 m

Lat .AB = (916 .9307 ) − (− 54 .8207 ) = 971 .7514 m

319

CUADRO N° 18.36. MEDIDAS DEL SISTEMA COMBINADO LA DOS


NORTE

M EDIDA S DEL P REDIO A LEJA M IEN

LA TITUDES

RUM B OS

DISTA NCIA S

LA DOS

PA

-61.411

-54.821

-71.957

971.751

-4.234933

974.412

AB

QB

-133.367

916.931

2051.742

126.654

86.467627

2055.647

BC

TC

1918.374

1043.584

111.579

-1055.174

-6.036318

1061.057

CD

UD

2029.954

-11.589

-2091.365

-43.231

88.815788

2091.811

DA

0.000

0.000

6182.927

CÁL CU L OS DEL FRACCIONAM IENT O h)

Tenien do en cu en ta que la línea de frac cion ami en to comien za en M (que se en cuen tra en la mitad del alin eam ien to de AM ) y term in a en N (en el alin eam ien to de CD); s e cons tru ye la s igu ien te repres en tación gráfica:

F I GUR A N° 18.8 R E PRESE N TA CI ÓN G RÁ F I C A DE L F RA CC IO NA MIE N TO DE L S IS TE MA C OM BI NA DO

320

i)

Com o s e des con oce la u bi cación de N, tom am os el pun to N’ ubic ado a u n a dis tan cia es tim ada de 500.000 m , medi do des de D. As í, l a figu ra se con vierte en un polígon o de cu atro lados , de los cu ales s e des conoce el rum bo y dis tan cia de M N’ . L as medidas faltan tes de M N’ lo calculam os com o s i fu eran errores lin eal y an gu lar de cierre. L a repres en tación gráfi ca es la s igu ien te:

F I GU RA N° 18.9 R EPRESE N TA CI ÓN GRÁ F I C A DE L P RED IO 1 DE L S IS TE MA C OMBI NA DO PUNTO TENTATIVO. TOMADO A 500.000 m MEDIDO DESDE D

PUNTO CONOCIDO. SE ENCUENTRA A IDO 487.206 m ONOC D ES C O DE A Ó DE B D A L

M

TENT IENTO NAM IO C C A DE FR LÍNEA

CIERR R DE ERR O O MO C E L LAB CALCU PE R O

N’

E

ATIVO

SUB PREDIO 1

D

1m S 88.815788° W, 2,091.81

A

CUADRO N° 18.37. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA COMBINADO

LA DOS

RUM BOS

A LE J A M IEN T O S

DISTA NCIAS

ESTE

AM

OESTE


SUR

N

4.234933

O

487.206

0.000

35.978

485.876

0.000

N' D

S

6.036318

E

500.000

52.579

0.000

0.000

497.228

DA

S

88.815788

O

2091.811

0.000

2091.365

0.000

43.231

3079.017

52.579

2127.343

485.876

540.459

M N'

TOTA LES

-2074.763

321

-54.583

j)

El error lineal de ci erre, 2075.481 m es , precisam en te, la lon gitu d de M N’ y el error angu lar de cierre, 88.492998° es su ru m bo. P or lo qu e procedem os a calcul ar el área del polígon o AM N’ D.

CUADRO N° 18.38. COMPROBACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA COMBINADO

LA DOS

RUM BOS


DISTA NCIAS

ESTE

AM

N

4.234933

O

M N'

N

N' D

S

6.036318

E

500.000

DA

S

88.815788

O

L A T IT UD E S

OESTE

NORTE

487.206

0.000

35.978

485.876

88.492998 E 2075.4813

2074.763

0.000

54.583

0.000

52.579

0.000

0.000

497.228

2091.811

0.000

2091.365

0.000

43.231

5154.499

2127.343

2127.343

540.459

540.459

TOTA LES

0.000

k)

SUR

0.000

0.000

El área de 1026,099.236 m 2 correspon de al polí gon o AM N’ D, es m en or en 27,518.9892 m 2 al área media de 1053,618.226 m 2 qu e le c orres pon de al s u bpredio 1. Por tan to, la pos ici ón de N’ se en cuentra u n poco m ás alejada de l a que h abíam os con siderado, es tim ativam en te, de 500.000 m . Es ta pequeñ a di s tan cia,

N’ N,

se

calcu la

aplican do

la

m ism a

ecuación

(ligeramente modificada) us ada para calcu lar el área de un trián gu lo, así: FÓRMULA N° 18.7. CÁLCULO DE LA DISTANCIA N’N DEL FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA COMBINADO

N'N = l)

Para

2 (MN ' N) MN ' (senN ')

faci litar

la

obs ervaci ón

de los

datos ,

con tinu ación , l a figu ra qu e las reprodu ce:

322

presentam os

a

F I GU RA N° 18.10 R EP RESEN TA CI ÓN GR ÁFI C A DE LA D IS T AN CI A N’ N DE L FR AC C ION A MIE NT O DE L S IS TEM A COM BI N AD O

N' N =

2(MN' N) MN' (senN' )

m ) De la ecu ación , para calcu lar NN’ , s olo requerimos con ocer el valor del

án gulo N’ qu e corres pon de al

pequeño trián gulo

MNN’ , por lo que procedemos calcu larlo, bas án don os en la s igu ien te fi gu ra: FIGURA N° 18.11 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ÁNGULO N’ DEL FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA COMBINADO 18° 363 6.0

63 .03 S6 E 18°

N' = 90o − 6.036318o + 1.507002o = 85.470684o

N'N =

2 (27.518.989m2 ) 2 (MN'N) = = 26.601m MN' (senN') 2,075.481m(sen85.470684°)

323

n)

Ah ora sum amos la dis tan cia de NN’ , de 26.6012 m , a los

o)

500.000 m es tim ados y com probam os si efectivamente s e h a logrado fraccion ar el predio en dos su bpredios de igu al área, as í:

CUADRO N° 18.39. COMPROBACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL PRIMER PREDIO DEL SISTEMA COMBINADO

LA DOS

RUM BOS


DISTA NCIAS

ESTE

AM

N

4.234933

O

MN

N

ND

S

6.036318

E

DA

S

88.815788

O

487.206


SUR

0.000

35.978

485.876

0.000

2071.966

0.000

81.037

0.000

526.601

55.377

0.000

0.000

523.681

2091.811

0.000

2091.365

0.000

43.231

5179.169

2127.343

2127.343

566.913

566.913

87.760235 E 2073.550

TOTALES

OESTE

0.000

0.000

CUADRO N° 18.40. COORDENADAS Y ÁREA DEL PRIMER PREDIO DEL SISTEMA COMBINADO

LA DOS

COM P ENSACIONES ALEJAM IENTOS

LATITUDES

COORDENADAS ESTE

DOB LES Á REA S

NORTE

AM

-35.978

485.876

0.000

0.000

0.0000

MN

2071.966

81.037

-35.978

485.876

-20,396.5740

ND

55.377

-523.681

2035.988

566.913

-901,218.5683

D A

-2091.365

-43.231

2091.365

43.231

-1,185,621.3091

0.000

0.000

0.000

0.000

-2,107,236.4514

324

ÁREA

1,053,618.2257

ÁREA M EDIA

1,053,618.2257

DIFERENCIA

0.0000


Calcu lar: 1) L os án gulos in tern os y las dis tan cias del polígon o de cada u n o de las figu ras geom étricas del polígon o de apoyo; 2) In tegrar el s is tem a; 3) Calcular las coorden adas del s is tem a; 4)

Calcu lar

las

coorden adas

de

apoyo;

5)

Calcu lar

las

coorden adas del predio; 6) El área del predio; 7) Las medidas del

predio;

y,

8)

Repres en tar,

gráficam en te,

m os trado.

MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS ÁNGULO

SISTEMA

DEL

ÁNGULO NUM.

NUM. GRAD

MIN

1

47

28

2

48

3

ÁNGULO NUM.

GRAD

MIN

GRAD

MIN

9

44

14

21

41

14

24

10

37

16

22

36

32

43

10

11

43

32

23

47

24

4

41

42

12

41

36

24

57

36

5

52

12

13

42

24

25

59

24

6

41

32

14

49

14

26

62

48

7

38

24

15

48

48

27

64

32

8

47

18

16

53

8

28

53

36

29

56

28

30

60

18

MED IDAS

DE LAS LIGAS DE L SIS TEMA

LADOS

RUMBOS

DISTANCIAS

MA

N

45.523600º

O

182.640 m

PB

N

38.526400º

E

280.160 m

RC

S

74.725400º

E

307.390 m

UD

S

45.124500º

O

187.410 m

325

el

predio

2.


Calcu lar

las

coorden adas

de

apoyo;

5)

Calcu lar

las


predio;

y,

8)

Repres en tar,

gráficam en te,

m os trado. MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS ÁNGULO NUM.

DEL

SISTEMA

ÁNGULO NUM.

GRAD

MIN

1

46

32

2

49

3

ÁNGULO NUM.

GRAD

MIN

GRAD

MIN

9

43

42

21

45

12

14

10

37

16

22

34

15

43

28

11

44

42

23

46

32

4

42

12

12

41

42

24

58

12

5

51

48

13

42

36

25

55

24

6

41

12

14

50

14

26

58

8

7

38

38

15

47

48

27

61

46

326

el

predio

8

47

MED IDAS

10

16

52

8

28

64

15

29

57

12

30

59

16


LADOS

RUMBOS

DISTANCIAS

MA

S

20.523600º

E

142.310 m

PB

S

53.526400º

O

206.640 m

RC

N

47.725400º

O

311.760 m

UD

N

65.124500º

E

167.670 m

EA

LÍN

BA = SE 60 5 .3 72 m

3.


Calcu lar

las

coorden adas

de

apoyo;

5)

Calcu lar

las

coorden adas del predio; 6) El área del predio; 7) Las medidas 327

del

predio;

y,

8)

Repres en tar,

gráficam en te,

m os trado.

MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS ÁNGULO

DEL

SISTEMA

ÁNGULO

NUM.

NUM. GRAD

MIN

1

46

54

2

48

3

ÁNGULO NUM.

GRAD

MIN

GRAD

MIN

9

43

24

21

44

12

32

10

38

14

22

43

32

43

24

11

43

24

23

41

14

4

42

28

12

41

32

24

64

48

5

51

18

13

43

22

25

55

24

6

41

24

14

48

16

26

55

12

7

38

45

15

48

38

27

74

45

8

47

12

16

53

12

28

44

42

29

57

8

30

59

15

MED IDAS


LADOS

RUMBOS

DISTANCIAS

MA

S

30.252400º

E

120.990 m

PB

S

48.526400º

O

170.180 m

RC

N

67.725400º

O

165.190 m

UD

N

22.124500º

E

125.410 m

328

el

predio

4.


Calcu lar

las

coorden adas

de

apoyo;

5)

Calcu lar

las


predio;

y,

8)

Repres en tar,

gráficam en te,

m os trado.

MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS ÁNGULO NUM.

SISTEMA

DEL

ÁNGULO NUM.

GRAD

MIN

1

46

18

2

40

3

42

ÁNGULO NUM.

GRAD

MIN

GRAD

MIN

9

36

20

21

37

12

8

10

44

8

22

39

15

15

11

53

15

23

54

18

329

el

predio

4

51

12

12

47

24

24

59

32

5

43

24

13

50

18

25

52

24

6

43

15

14

42

14

26

62

42

7

47

28

15

41

24

27

62

52

8

46

12

16

45

8

28

63

12

29

63

12

30

45

10

MED IDAS


LADOS

RUMBOS

DISTANCIAS

MA

S

20.123600º

O

115.890 m

NB

N

52.526400º

O

122.060 m

QC

N

34.725400º

E

207.530 m

SD

S

67.124500º

E

190.170 m

C RUMBO DE PARTIDA: MN = N 2,658500° W LÍNEA BASE, MO = 722,590 m

Q

B

24

N

P 23 12 13 22

3 2

25

O 11 4 5 10

26 32 33

R

27

W 34 31 35

18 17 V 19 20

28 29

14 15 6 9

1 M

8

7

S

21 30

T

D

16

U

A

5.

Calcu lar: 1) L os án gulos in tern os y las dis tan cias del polígon o de cada u n o de las figu ras geom étricas del polígon o de apoyo; 330

2) In tegrar el s is tem a; 3) Calcular las coorden adas del s is tem a; 4)

Calcu lar

las

coorden adas

de

apoyo;

5)

Calcu lar

las


predio;

y,

8)

Repres en tar,

gráficam en te,

m os trado.

M ED I D A S

DE LOS

ÁNGU LOS

INT ERNO S D EL

ÁNGULO NUM.

S I S T E MA

ÁNGULO NUM.

GRAD

MIN

GRAD

MIN

1

51

18

9

42

16

2

53

24

10

56

14

3

37

34

11

38

12

4

37

54

12

42

46

5

47

44

13

61

14

6

57

10

14

37

24

7

41

24

15

39

32

8

33

28

16

42

30

M ED I D A S

D E L A S L I G A S D EL SI S T E M A

LADOS

RUMBOS

DISTANCIAS

MA

S

37.252400

W

236.640

NB

N

61.526400

W

229.940

PC

N

53.725400

E

411.270

QD

S

52.124500

E

277.420

331

el

predio

= N 2.3535 00° E RUMBO DE PARTIDA: MN

6.


Calcu lar

las

coorden adas

de

apoyo;

5)

Calcu lar

las


predio;

y,

8)

Repres en tar,

gráficam en te,

m os trado.

MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS ÁNGULO NUM.

DEL

SISTEMA

ÁNGULO NUM.

GRAD

MIN

GRAD

MIN

1

33

28

9

9

56

2

41

24

10

10

42

3

57

32

11

11

42

4

47

42

12

12

39

5

37

42

13

13

37

332

el

predio

6

37

16

14

14

61

7

53

24

15

15

42

8

51

28

16

16

38

MEDIDAS DE LAS

LIGAS DEL SISTEMA

LADOS

RUMBOS

DISTANCIAS

MA

N

41.252400

W

147.820

OB

N

49.526400

E

160.740

PC

S

58.725400

E

255.590

RD

S

54.124500

W

206.810

B

A O 12 RUMBO DE PARTIDA: MN = N 88.35350

M 8

1 LÍN

EA

BA

SE ,

MQ

=8 28

.58

0° E

2

13

N 11 3 10

0m

14 15 4 5 7

R

9

P

16

Q

6

C

D

7.


Calcu lar

las

coorden adas

de

apoyo;

5)

Calcu lar

las

coorden adas del predio; 6) El área del predio; 7) Las medidas 333

del

predio;

y,

8)

Repres en tar,

gráficam en te,

m os trado.

M ED I D A S

DE LOS

ÁNGU LOS

INT ERNO S D EL

ÁNGULO

S I S T E MA

ÁNGULO NUM.

NUM. GRAD

MIN

GRAD

MIN

1

42

28

9

57

28

2

39

18

10

47

42

3

37

24

11

37

54

4

61

18

12

37

34

5

42

48

13

53

24

6

38

10

14

51

16

7

56

14

15

33

28

8

42

16

16

41

24

M ED I D A S


LADOS

RUMBOS

DISTANCIAS

RA

N

40.252400

W

237.590

NB

N

45.526400

E

272.040

OC

S

56.725400

E

413.770

QD

S

58.124500

W

234.430

334

el

predio

8.


Calcu lar

las

coorden adas

de

apoyo;

5)

Calcu lar

las


predio;

y,

8)

Repres en tar,

gráficam en te,

m os trado.

M ED I D A S

DE LOS

ÁNGU LOS

INT ERNO S D EL

ÁNGULO NUM.

ÁNGULO NUM.

GRAD

MIN

GRAD

MIN

1

51

28

9

42

38

2

53

14

10

56

12

3

37

24

11

38

16

4

37

44

12

42

32

5

47

36

13

61

32

6

57

32

14

37

22

7

41

22

15

39

24

8

33

28

16

42

14 335

S I S T E MA

el

predio

M ED I D A S


LADOS

RUMBOS

DISTANCIAS

S

40.252400

W

137.700

NB

N

56.526400

W

135.020

PC

N

58.725400

E

237.310

QD

S

40.124500

E

151.130

RUMBO DE P

ARTIDA:

MN = N 6.3 53500° E

MA

336

C A P ÍT U LO XIX

CURVAS DE SUPERFICIE

1 9 .1. INTRODU CCIÓN L as cu rvas de s u perficie pueden s er h ori zon tales y verticales . L as cu rvas h orizon tales pu eden ser s imples , compu es tas , in vers as o es pirales . L as cu rvas com pu es tas e in vers as s e e es tu dian com o u n a com binación de dos o m ás curvas s im ples , m ien tras qu e la cu rva es piral resul ta de radios variables . L as cu rvas qu e tien en radi os c ortos (gen eralmen te men ores que la lon gitu d de u na cin ta), pueden trazars e en cam po s osten ien do un extremo de la ci n ta en el cen tro del circu lo y des cribien do u n arco con la mis m a, al tiem po que se m arcan en el terren o tan tos pu ntos com o

se

des ee.

A

m edida

que

la

lon gitu d

de

la

cu rva

se

in crem enta, la ci nta ya n o es práctica para el traz o y el in geniero topógrafo debe us ar otros m étodos para estos trabaj os , com o efectuar la m edición de án gu los y dis tan cias s obre lín eas rectas por m edio de los cu ales pueden u bicars e pu tos selectos llamados es tacion es , localizados s obre la circu n ferencia del arco.

1 9 .2. TIPOS DE CU RVAS H ORIZONTAL ES A con tinu ación s e des criben brevemen te los cu atro tipos de cu rvas h ori zon tales : 1. CU RVA SIM PL E. Es un arco de cí rcu l o. L a radi o del círculo determ in a lo cerrado o abierto de la cu rva. A m ayor radi o, la cu rva es más abi erta. Es te es el tipo de cu rva m ás u tilizado.

337

FIGURA N° 19.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA CURVA SIMPLE

2. CU RVA COM PU ESTA. Frecu en tem ente s e n eces ita adaptar al terren o un a c urva com pues ta. Cons ta gen eralmen te de dos cu rvas sim ples unidas , del m is mo sen tido. F I GU RA N° 19.2. R EPRESE NTA CI ÓN GR Á FI C A DE U N A C URV A C O MPUES TA

338

3. CU RVA IN VERSA. Con s is te en dos cu rvas s im ples jun tas , de diferen te s en tido. Por razones de s egu ridad este tipo de cu rva s e us a m u y poco en c arreteras , ya qu e provoca qu e u n au tomóvil tien da a s alirse del camin o. 4. CU RVA ESPIRAL . Es un a cu rva cu yo radio varía en form a con tinu a. Se us a en

ferrocarriles y en

algu n as

carreteas

m odern as . Su propós ito es proporcion ar u na trans ici ón de la tan gen te a un a cu rva sim ple o en tre las cu rvas s im ples qu e form an un a cu rva com puesta.

1 9 .3. EL EM ENTOS DE U NA CURVA SIM PL E A con tin u aci ón s e m en cion an los elemen tos prin cipales de un a cu rva s im ple. 1. PU NTO DE INTERSECCI ÓN. El pu n to de In ters ección (PI) es el pu n to don de s e in ters ectan la tan gen te de atrás o de en trada y l a tan gen te de adelan te o de salida. Es un a de las es taciones c orres pon dien tes a la poligonal preliminar. 2. ANGU L O DE INTERSECCIÓN. El án gu lo de in tersección (I) es el án gulo de deflex ión en el PI. Su valor s e calcu la a partir de los án gulos de es tación de la poligon al prelim in ar, o bien , s e mide en el cam po. 3. RADIO. El radio (R), es el radio del círcu lo del cu al la c urva es u n arco. 4. PRINCIPIO DE CURVA. Es u n pun to don de com ien z a la cu rva. L a tan gente de atrás es tan gen te a la c u rva en es te pu n to (PC). 5. PRINCIO DE TANGE NTE. El PT m arca el fin al de la cu rva. L a tan gen te de adelan te es tan gen te a la cu rva en es te pu n to. 6. L ONGITUD DE CURVA. L a lon gitu d de cu rva (L ) es la dis tan cia en tre el PC y el PT, m edi da s obre la cu rva. 7. SU BTANGENTE. L a s u btan gen te (ST) es la dis tan c ia, m edida s obre a tan gen te, del PI al PC o al PT. Estas dis tan cias s on i gu al es en un a cu rva s im ple. 339

F I GUR A N° 19.3. E LEME NTOS DE UN A CUR V A S IMP LE

PI

T S

S

I

T

CUERDA

L

SUBCUERDA

C M

C

C C2

1

PC

C

PT

S Á

G G

G

d1

d2

ID E D AL E S T N DE E G O N A TE N A L

E T N EN E E G D N A T O

E

E

T

R T A A D A R T

D A

D

R

A

I o

ELEMENTOS

DE UNA

CURVA CIRCULAR SIMPLE

8. ANGU L O CENTRAL. El án gu lo cen tral (∆), es el án gulo qu e se form a en tre dos radios que u nen el c entro del círc ulo (O) con el PC y el PT. El án gulo cen tral es igu al en valor al án gu lo de i n tersecc ión o deflexión de las tan gen tes (∆ = I). 9. CU ERDA L ARGA. L a cuerda larga (CL ) es la cuerda qu e u ne el PC con el PT. 10. EXTERNA. L a extern a € es la dis tancia que h ay del P I al pun to c entral de la cu rva. L a ex terna bis eca el án gulo in terior PI. 11. ORDENADA M EDIA. L a orden ada media (M ) es la dis tan cia del pu n to central de la cu rva al pun to locali zado a la mitad de la c u rva larga. L a prolon gación de la ordenada media bis eca al án gulo cen tral. 340

12. GRADO DE CU RVATURA. El grado de cu rvatu ra (G) define s i la c u rva es cerrada o abierta. Hay dos defin icion es com un es para el grado de c urvatu ra: defin ición de cu erda y definici ón de arco.

R

R

F I GU RA N° 19.4. G RA DO DE CU RV A TUR A DE U NA CU RV A S I MP LE

13. ANGU L OS DE DEFL EXIÓN. L os ángu los de defl exión s on los án gulos que se form an en tre l a tangen te y los extrem os de las c u erdas , con el PC com o vértice. Se u s an para determin ar la dirección en la qu e s e trazan las cu erdas . La su m a de los án gulos

de

i n tersecc ión

deflexión de

las

es

i gu al

tan gen tes

a

la ଵ

( I). ଶ

m itad es ta

del

án gu lo

de

sirve

de

su m a

c omprobación de los án gulos de deflex ión c al culados .

1 9 .4. FORM U L AS DE L A CU RVA SIMPL E Para el cálcu lo de un a cu rva s imple se u tilizan las siguien tes form ulas , las cu ales s e aplican tan to para las defin iciones de arco com o para las de cu erda, con ex cepción de aquellas qu e ten gan u n a n ota al res pecto.

341

F ÓR MU LA N° 19.1. C Á LCU LO DE L RA DI O DE U NA CU RV A S I MP LE 20 ‫ܩ‬° = 2ߨܴ 360°

1145.62 ‫ܩ‬

ܴ=

(Definición de 20 m de arco) ܴ=

10 1 ‫ ݊݁ݏ‬2 ‫ܩ‬

(Definición de 20 m de cuerda)

F Ó R MU LA N° 19.2. C Á LCU LO DE LA SU BTA N GEN TE DE UN A C URV A S I MP LE

1 ܵܶ = ܴ. ‫ܫ ݊ܽݐ‬ 2

F Ó R MU LA N° 19.3. C Á L CU LO DE LA L ONG I TU D DE UN A CU RV A S I MP LE

‫ = ܮ‬20

‫ܫ‬ ‫ܩ‬

Don de L = lon gitu d de arco (exacta) para la definición de arco y es la distan cia aprox imada s obre la cu erda, para la definición de cu erda. F Ó R MU LA N° 19.4. C Á LCU L O DE L PU N TO DE IN IC I O DE UN A CU RV A S I MP LE ܲ‫ ܫܲ = ܥ‬− ܵܶ

F Ó R MUL A N° 19.5. C Á L CU LO DE L PU N TO F I N A L DE U N A C URV A SI MP LE ܲܶ = ܲ‫ ܥ‬− ‫ܮ‬

F ÓR MU LA N° 19.6. C Á LCU LO DE L A EX TE R N A DE U NA C URV A SI MP LE

‫=ܧ‬

ܴ −ܴ 1 ‫ ܱܵܥ‬. ‫ܫ‬ 2 342

1 ‫ܴ = ܧ‬. ݁‫ ܿ݁ݏݔ‬. ‫ܫ‬ 2

F ÓR MU LA N° 19.7. C Á LCU LO DE LA ORDE NA D A MED I A DE UN A CU RV A S I MP LE

1 ‫ܴ = ܯ‬. ‫ ݎ݁ݒ݊݁ݏ‬. ‫ܫ‬ 2 Án gulos de deflexión

F Ó R MU L A N° 19.8. C Á LCU L O DE L ÁN GU LO DE DE FL EXI ÓN DE UN A CU RV A S I MP LE

݀=

‫ܥ ܩ‬ ൬ ൰ 2 20

Dón de: d = An gu lo de deflexión en minu tos C = Lon gitu d de la cu erda en m G = Grado de cu rvatu ra

1 9 .5. SOL U CIÓN DE U NA CURVA SIM PL E Para res olver u na cu rva s im ple deben con ocers e tres elemen tos : el pu n to de in tersección (PT), el án gu lo de in ters ec ción o de deflexión de las tan gen tes I y el grado de cu rvatu ra. Es te úl tim o es un dato de las es pecifi cacion es del proyecto, o bien , s e calcu la a partir de algun o de los el emen tos qu e h aya s ido limitado por el terren o. El Pi e I se determin an gen eral men te a partir de la poligon al del trazo prelimin ar del c ambio o del proyecto qu e s e estu die, au n qu e pu eden determ in arse por trian gulación cu an do PI es in acc es ible.

343

EJ EMPL O. Su pón gas e qu e s e con ocen los siguien tes datos de un a cu rva: PI = 18 + 00, I = 75° y G = 15°.

F I GU RA N° 19.5. S O LUC IÓ N DE U NA CU RV A S I MP LE

S

T

344

a) res olu ción de la cu rva aplican do la defin ición de arc o. ܴ=

1145.62 1145.62 = = 76.37 ݉ ‫ܩ‬ 15

1 ܵܶ = ܴ. ‫ = ܫ ݊ܽݐ‬76.37ሺ0.767327ሻ = 58.60݉ 2 ܲ‫ ܫܲ = ܥ‬− ܵܶ P I= 18+00.00 -ST = - (0+58.60) PC = 17+41.40

‫ = ܮ‬20

75° ‫ܫ‬ = 20 = 100݉ 15° ‫ܩ‬ ܲܶ = ܲ‫ ܥ‬− ‫ܮ‬

PC =

17+41.40

L = +(1+00.00) PT = 18+41.40

1 ‫ܴ = ܧ‬. ݁‫ ܿ݁ݏݔ‬. ‫ = ܫ‬ሺ76.37ሻሺ0.260472ሻ = 19.89݉ 2

1 ‫ܴ = ܯ‬. ‫ ݎ݁ݒ݊݁ݏ‬. ‫ = ܫ‬ሺ76.37ሻሺ0.206647ሻ = 15.78݉ 2 ‫ = ܥܮ‬2ܴ. ‫݊݁ݏ‬. ‫ = ܫ‬2ሺ76.37ሻሺ0.608761ሻ = 92.99݉

b) Res olu ción de la cu rva aplican do la definición de c uerda. ܴ=

10 10 = = 76.61 ݉ 1 ‫ ܩ ݊݁ݏ‬0.130526 2

1 −ܵܶ = ܴ. ‫ = ܫ ݊ܽݐ‬76.61ሺ0.767327ሻ = 58.79݉ 2 ܲ‫ ܫܲ = ܥ‬− ܵܶ

345

PI = 18+00.00 ST = -(0 +58.79) PC = 17+41.21

‫ = ܮ‬20

‫ܫ‬ 75° = 20 = 100݉ ‫ܩ‬ 15° ܲܶ = ܲ‫ ܥ‬− ‫ܮ‬

PC =

17+41.21

L = +(1+00.00) PT = 18+41.21

1 ‫ܴ = ܧ‬. ݁‫ ܿ݁ݏݔ‬. ‫ = ܫ‬ሺ76.61ሻሺ0.260472ሻ = 19.96݉ 2

1 ‫ܴ = ܯ‬. ‫ ݎ݁ݒ݊݁ݏ‬. ‫ = ܫ‬ሺ76.61ሻሺ0.206647ሻ = 15.83݉ 2 ‫ = ܥܮ‬2ܴ. ‫݊݁ݏ‬. ‫ = ܫ‬2ሺ76.61ሻሺ0.608761ሻ = 93.28݉

19.6. PROBL EM AS PROPUESTOS a) Calcu lar l os elem en tos de un a cu rva si mple, sí s e con ocen los s igu ien tes datos : PI = 22 + 00, I = 45° y G = 12°. b) Calcu lar l os elem en tos de un a cu rva si mple, sí s e con ocen los s igu ien tes datos : PI = 324 + 00, I = 55° y G = 11°. c) Calcu lar l os elem en tos de un a cu rva si mple, sí s e con ocen los s igu ien tes datos : PI = 00 + 00, I = 66° y G = 15°. d) Calcu lar l os elem en tos de un a cu rva si mple, sí s e con ocen los s igu ien tes datos : PI = 125 + 00, I = 32° y G = 20°. e) Calcu lar l os elem en tos de un a cu rva si mple, sí s e con ocen los s igu ien tes datos : PI = 420 + 00, I = 56° y G = 18°.

346

C A P ÍTU LO XX

CURVAS DE NIVEL

20.1. INTRODU CCIÓN El s igu ien te trabajo trata s obre curvas de n ivel, trazadas en el terren o,

u tiliz an do

h erramien tas

para

ello

res pectivam en te.

di s tin tos Pudién dose

procedimien tos en con trar

y

divers as

form as y m an eras de realizar l as medicion es ya s ea por m étodos m ilen arios o m odern os ; con el objeto de realizar cu rvas de n ivel , a fin de m ejorar las con di cion es fís icas y qu ímic as del terren o; para obtener de es ta m an era un m ejor aprovech ami en to y ren dim iento del s uelo. Así podrem os apu ntar a u n a mej or produ cción ya sea pis cícola, agrícola o forestal.

20.2. CURVAS DE NIVEL Se den om in an cu rvas de nivel a las lín eas qu e marcadas s obre el terren o des arrollan u na trayectori a qu e es h oriz on tal. Por lo tan to podemos defin ir que un a lín ea de nivel repres en ta l a in ters ección de un a su perficie de nivel con el terren o. En un pl an o las cu rvas de n ivel se dibu jan para repres en tar in tervalos de altu ra que s on equ idis tantes sobre u n plan o de referen ci a. Es ta diferen ci a de altu ra en tre cu rvas recibe la den om in ación de “equi dis tan cia” De

la

definición

de

las

cu rvas

podem os

citar

las

si guientes

caracterís ti cas : 1. L as c urvas de n ivel n o s e c ru zan en tre s í. 2. Deben s er líneas cerradas , au nque es to n o su ceda den tro de l as lín eas del dibujo. 3. Cu an do s e acercan en tre si in dican u n decl ive m ás pron un ciado y vicevers a. 4. L a dirección de máxim a pen dien te del terren o queda en el án gulo recto con la cu rva de n ivel

347

FIGURA N° 20.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS DE NIVEL

300 310 320 330 340

20.3. TIPOS DE CU RVA DE NIVEL 1. C U RV A C L IN OG RÁ F IC A : Diagrama de cu rvas qu e represen ta el valor m edi o de las pen dientes en los diferen tes pun tos de u n terren o en fu n ci ón de las altu ras corres pon dien tes . 2.

C U R VA D E CO NF IG UR A CI Ó N : Cada un a de las lín eas u tilizadas para dar u na i dea aproxim ada de las form as del reli eve s in i n di cación nu mérica de altitu d ya q u e n o ti en en el s oporte de l as medidas precis as .

3. C U RV A

DE

DEP RES I ÓN :

Cu rva

de

n ivel

qu e

median te

lín eas

dis con tinu as o pequ eñ as n orm ales es u tiliz ada para s eñ alar las áreas de depres ión topográfica. 4. C U RV A D E NI VEL : Línea qu e, en un mapa o plan o, un e todos los pu n tos de igu al dis tan ci a vertical, altitu d o cota. Sin ónimo: i sohipsa.

348

5. C U RV A

DE

GE NER AL :

P EN D IENTE

Diagram a

de

cu rvas

qu e

repres en ta la i nclin ación de un terren o a parti r de las dis tan cias en tre las cu rvas de n ivel. 6. C U RV A H IP SO MÉTR I CA : Diagram a de cu rvas u tili zado para in dicar l a proporción de su perficie con relación a la altitu d. Sin ón im o c omplem en tario:

c urva

h ips ográfica.

Nota:

El

eje

vertical

repres en ta las altitu des y el eje h orizon tal las s u perficies o sus porcen tajes de s u perficie. 7. C U RV A I NTE RC AL AD A : Cu rva de n ivel qu e se añ ade en tre dos c u rvas de n ivel norm al cu an do la separación en tre és tas es mu y gran de para u n a repres en tación cartográfica clara. Nota: Se s uele repres en tar con u na lí nea m ás fin a o dis contin u a. 8. C U RV A MAE STR A : Cu rva de n ivel en l a qu e las cotas de la mis m a s on mú ltiples de la equidis tan ci a.

20.4. M ARCACIÓ N DE U NA CU RVA DE NIVEL El

relieve

de

la

s u perficie

terres tre

se

s u ele

repres en tar

m étricam en te s obre u n plan o a través de las c u rvas de nivel, un as isolíneas qu e un en pu ntos s itu ados a la m is ma al titu d y qu e s e traz an gen eralm en te con un in tervalo determin ado y equidis tan te para todo el terren o a cartografiar. U n a de cada cu atro o cin co cu rvas

s e dibu ja

con u n

mayor gros or y s e rotu la s u

altitu d

corres pon dien te; son las llam adas cu rvas m aes tras y, en tre ellas , s e des criben las cu rvas de nivel in termedias . Actualm en te, las cu rvas s e trazan a parti r de las fotografías aéreas , consiguien do u n a precis ión m u ch o m ayor qu e cuan do tenían qu e delinears e en el cam po con la ayu da de un a red de cotas . A pes ar de que las cu rvas de nivel n o proporc ion an una im agen visu al del relieve tan clara

com o

la

técn ica

del

s ombreado,

su

anális is

fac ilita

tal

can tidad de in form ación qu e h ace qu e sea el m étodo m ás ú til de repres en tación del relieve en los m apas topográficos . Cu rvas de nivel, líneas que, en un mapa, u nen pun tos de la mis m a altitu d, por en cim a o por debajo de un a su perficie de referen cia, 349

qu e gen eralmen te coin cide con la lí nea del n ivel del m ar, y tien e el fin de m os trar el relieve de un terreno. L as cu rvas de nivel s on u n o de l os variados métodos qu e s e u tilizan para reflej ar la form a tri di mens ional de la s u perficie terrestre en u n m apa bidimension al. En

los

modern os

m apas

topográficos

es

mu y

frecu en te

su

u tilización , ya qu e proporcion an in form ación cu an ti tati va sobre el rel ieve. Sin em bargo, a men u do s e com binan con métodos m ás cu alitativos

com o

el

col orear

zonas

o

s om brear

coli n as

para

facilitar la l ec tu ra del m apa. El es paciado de l as cu rvas de n ivel depende del in tervalo de cu rvas de nivel s eleccion ado y de la pen dien te del terren o: cu anto m ás em pin ada s ea la pen dien te, m ás próxim as en tre s í aparecerán las cu rvas de ni vel en cu alqu ier in tervalo de cu rvas o es cala del m apa. De es te m odo, l os m apas con c urvas de n ivel proporcion an u n a im presi ón gráfica de la form a, in clin ación y altitu d del terreno. L as cu rvas de nivel pu eden con struirse in terpolan do un a serie de pun tos de altitu d c onocida o a parti r de la m edición en el terren o, u tilizan do l a técn ica de la n ivelación .

Si n

em bargo,

los

m apas

de

c urvas

de

nivel

m ás

m odern os se realizan u tilizan do la fotogram etría aérea, la cien cia con

la

qu e s e

pu eden

obtener m ediciones

a partir de pares

es tereos cópicos de fotografías aéreas . El términ o is olíneas pu ede u tilizarse cu an do el prin ci pi o de l as cu rvas de n ivel s e aplica a la real ización dis tribuidos

de de

m apas forma

de

otros

tipos

de

datos

cu an titativos ,

c on tinu a,

pero,

en

es tos

c as os ,

s u ele

preferirse u tili zar términ os más es pecializ ados con el prefijo is o(qu e

significa

igu al),

com o

is obatas

para

cu rvas

de

nivel

s u bm arinas , o is obaras para las líneas qu e un en pu ntos que tien en la mis m a presión atm os férica. El operador comien za a nivelar partien do de un a cota con ocida, efectuan do

u na

n ivelación

com pues ta,

des de

la

es tación

de

arran qu e debe m arcar los pun tos del terren o que tienen igu al lectu ra

de

mira.

Cu an do

c ambia

la

es tación

tom ara

com o

diferen ci a el últim o pu n to de la estación anterior y efectu ada la lectu ra de mira s e procede a bus car s obre el terren o pun tos de igu al c ota qu e proporc ion en la mism a lectu ra y as í h asta termin ar 350

con es a cu rva. De es ta man era s e marca s obre el terren o u n a lín ea de n ivel, es decir qu e n o s u be n i baja, para es to s e van colocan do es tacas de madera las qu e demarcan su trayectoria.

FIGURA N° 20.2. MARCACIÓN DE LAS CURVAS DE NIVEL

300 310 320 330 340

20.5. DESARROL L O DE L A M ARCACIÓN DE U NA CURVA DE NIVEL El trazado de u n a cu rva de n ivel en el terren o, s e pu ede realizar con un n ivel óptico, un teodoli to, con un a m an gu era, etc. Nos otros tomarem os el cas o del nivel óptico, ya qu e con él, h em os realizado las prácticas con el profes or. Para em plear el n i vel n ecesitam os u na “mira parlante”, s obre la cu al realiz arem os la lectu ra. El n ivel s e afirm ará s obre el terren o, s obre u n trípode el cu al tien e en la parte su perior un tipo de ros ca para qu e el n ivel s ea ajus tado. El n ivel tien e dos bu rbujas , un a en la parte s u perior y otra en el cos tado, las cu ales s irven para qu e el n ivel es té nivel ado con res pecto al su elo.

351

Tam bi én tien e un a lente a través de l a cual realizaremos la lectu ra de m ira. Ti en e u n a perilla al cos tado qu e aclara la im agen que ten drem os de la mira parlan te. Un a perilla permite acercar o alejar la imagen qu e ten gamos . En la parte in ferior del n i vel, h ay un a es pecie

de

ros ca

para

girar

el

n ivel

hacia

una

dirección

determ in ada, la c u al n os permite m edir án gu los , para en cu adrar u n a plantación . El operador ten drá qu e ten er en cu en ta qu e los n úm eros de la m ira parlan te es tán al revés , ya qu e al m irar por la lente del nivel s e in vertirán los m ism os . Los nivel es ópticos sirven para distin tos fin es c omo por ejem pl o: La marcación para u n a plan tación determ in ada, para en cuadrarla y determ in ar as í su s án gulos etc.

36

0

35 0 34

0

330 320

310

PASOS A SEGUIR PARA LA M ARCACIÓN DE U NA CU RVA DE NI VEL Para h acer la m arcación de un a cu rva de n i vel, se procede: 1º Se debe determin ar la zon a de des agü e.

352

2º Se elige la zon a de mayor pen dien te, debido a qu e es te l ugar es el de m ayor deterioro, por la acción directa de las llu vias y s e s aca la pen dien te promedio, para ello9 se recu rre a u n a tabla de intervalos verticales y horizon tales . El in tervalo vertical es la diferen cia de n ivel que exis te en tre un a c urva y otra. El i n terval o horizon tal es l a dis tan cia qu e ex is te entre un a cu rva y otra. 3º Se realiza la tabla de i nterval os verticales y h orizon tales . 4º Se h ace la m arcación de arran qu e, qu e es el lu gar don de n ace l a cu rva de nivel, cu ya m arc ación s e realiza por el l ado opu es to de la zon a de des agü e. 5º Se reali za la prim er lectu ra para s aber en qué lu gar es tam os , operan do a este valor s e le su m a 3cm la qu e común m en te s e den omin a pen di en te del 3x mil y s e des plaza 10m cortan do la pen dien te y as í s u ces ivam en te. 6º Su avi zación de las cu rvas y s e h ace para qu e la cu rva s ea m ás o m en os proporcion al . 7º Es la cons tru cción de camellones . L a cu rva de n ivel evita que l os s uelos s e deterioren y de es ta form a s e pu eden aprovech ar l os terrenos con m u ch a pen dien te.

20.6. PROBL EM AS PROPUESTOS a) Represen tar gráficam en te las cu rvas de nivel 200, 202, 204, 206 y 208; cu ya m arcación s e mu es tra en la siguien te figu ra.

353

b)

Repres en tar gráficamen te las cu rvas de n ivel 200, 202, 204, 206 y 208; cu ya m arcaci ón s e mu es tra en la siguien te figu ra.

354

c) Represen tar gráficam en te las cu rvas de nivel 400, 402, 404, 406 y 408; cu ya m arcación s e mu es tra en la siguien te figu ra.

355

C A P ÍT U LO XXI

LEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOS

21.1. G E NER AL ID A DES Un

levan tamien to

hidrográfico

tien e

com o

prin cipal

fin alidad

rec abar in form ación relativa a las carac terístic as fís icas de área cu biertas por agu a. L a in formación es es en cial para la elaboración de

cartas

n áu tic as

modern as ,

qu e

mu es tran

profu n didades

dis pon ibles , can ales m ejorados , rompeolas , mu elles , ayu das a la n avegación , declin acion es m agnéticas , ru tas de n avegación y otros detalles de in terés para los m ari nos e i ngeni eros pes queros . Un levan tam ien to h idrográfi co podría referirs e a varios otros tipos de in ves tigacion es su bacu áticas qu e s e realizan con el fi n de obtener la in form ación n eces aria para la con stru cci ón , des arrollo y m ejoram iento de ins talacion es portu arias y pes queras ; para el proyecto

de

m uelles

y

otras

estru ctu ras

s u bacu áti cas ;

para

determ in ar la pérdida de capacidad de lagos o pres as debida a la azolvez 2; y para calcu lar la can tidades de m aterial dragado. L os prin cipios fun dam en tales de ejecu ción de los levan tam ien tos h idrográficos de un puerto o l ago i nterior, s on básicamen te los m is mos qu e s e em plean para ejecutar el levan tamien to com pleto de un gran es tero o para s on dear u n a vas ta zon a oceánica, pero exis ten m arc adas diferen cias en las em barc ac ion es , en el equ ipo y en las técni cas de m edición . Es ta s ección del texto u nivers itario s e refi ere a los procedim ien tos bás icos para ejecu tar levan tam ientos h idrográficos de alcan ce limitado, relativos a la práctica de la in gen iería civi l y pes qu era en as pectos tales c omo mej oram ien to de las vías acu áticas , cons tru cci ón de diques y pu ertos , con trol de eros ión en playas y dis posición de res idu os de dren aje. 2

az olv ar v t r 1 T apa r u o bst ru ir lodo o ba s u ra algú n con du ct o o can a l, de modo qu e imp ide el pa so del a gu a 2 Deposita r las corr ien te s mar in as o flu v ia le s aren a y ot ros mat er iale s en el fon do, dis min u y en do su profu n didad. 356

21.2. C A RA CTE R ÍST IC AS DE L L EV ANT A MIE NTO H I DR OGR Á FI CO L os

levan tamien tos

h idrográficos

se

caracteri zan

por

las

m edi ciones y obs ervac ion es qu e s e llevan a cabo para determin ar y,

pos teriorm en te,

represen tar

la

topografía

s u bm arin a

y

s u bacu ática, as í como para locali zar divers os ras gos m aríti mos de in terés

para

el

n avegante.

A

con tinu ación

se

mencionan

las

pri nc ipales carac terís ti cas de un levan tamien to h idrográfi co: 1. R EC ON OCI MIE N TO . Au nqu e la prin cipal fin alidad del levan tam ien to h idrográfi co es la obten ción de la h idrografía o la realiz ación de s on deos ,

no

pu ede

llevars e a cabo has ta qu e se

h ayan

ciertas

efectu ado actividades

prelim in ares . L a

pri mera

de ellas es el cu idados o recon ocim ien to

del

área

con el fin de seleccionar la forma más expedita de realizar el levan tamien to y plan ear todas las operacion es para qu e los trabajos s e ejecu ten s atis factoriamen te, con forme a las ins tru cciones generales y es pecific acion es qu e los rigen . El us o de fotografías áreas pu ede ser de gran utilidad es es te es tu dio prelim in ar.

2. C O NT RO L H OR IZ ON T A L . Es la s igu ien te etapa y consis te en el es tableci mi ento

del

con trol

h ori zon tal,

o

s ea,

el

marco

de

referen cia m ediante el cu al l os rasgos terres tres y m arin os s e repres en tan

en

su

verdadera

pos ición

relativa.

El

con trol

h orizon tal s e proporcion a com ún men te por trian gulación y, en m enor grado, por poligon ación . No es pos ible defin ir, en form a gen eral, la precis ión de dich o control.

357

En

levan tamien tos

origin ales

de

gran des

cu erpos

de

agu a,

podría requ eri rs e un a trian gu lación de s egu ndo o tercer orden . Para levan tamien tos ais lados de pres as pequeñ as o alejadas , podría resu ltar s atis factorio un s is tema de c on trol com bin an do m étodos de es tadia y de trian gulación gráfica con pl an cheta. El con trol fijado previam en te es un a ven taj a mu y i mportan te en cu alqu ier

levan tamien to

h idrográfico.

Deben

obten ers e

y

u tili zars e los datos de l evan tam ien tos an teriores del área. A veces se podría locali zar u n nú mero su ficien te de es tacion es para

s atis facer

los

requ erimientos

de

un

es tu dio

de

actu aliz ación , y n o s erá n ec es ario es tablecer u n nu evo c on trol h orizon tal.

3. C O NT RO L VE R TI CA L antes de iniciar los trabajos de s on deos , es es en cial ej ecu tar el con trol vertical , a fin de con ocer la elevación del área cuan do s e h agan los s on deos . Tales datos de con trol tam bién s e requieren para la poca topografía qu e mues tran todas las cartas n áu ticas . Cu an do se trabaja en cu erpos de agu a s uj etos a m areas , cu yo n i vel de marea baja n o s e conoce, es n eces ario es tablecer un a es tación de m areógrafo y obs ervar las flu ctu aciones de la m area, a fin de defin ir u n plan o de referen cia

358

para los s on deos . Lu ego s e l iga es te datu m 3 a u na o m ás ban cos de n ivel cercan os , median te n ivelación . 4. L E V A NT A MIE NTO TOPO GR Á FI CO . Se levan ta la franja costera qu e aparecerá

en

n avegan te

está

pu dieran

el

plan o en

existir en

los el

o

carta.

ras gos

Com o

el

prom in en tes

ún ic o del

área, s ólo s e mues tra

in terés terren o

del que

un a fran ja de

topografía relativamen te es trech a. 5. H I D ROGR A F Í A . L a m edi ción de tirantes de gu a es la operación m ás im portan te en la cartografía náu tica y en l os estu dios h idrográficos de in geniería. 6. E LA BOR A CI ÓN DE L P LA NO H ID RO GR Á FI CO con stitu ye u su almen te el

O C A R TA N ÁU TIC A .

produ cto fin al

del

Es te

levan tam ien to

h idrográfico. En el cas o de levan tamientos s u bacu áticos para fines de in gen iería, el produ cto fin al podría s er el cál cu lo de can tidades de s edim en to dragado, o el dibujo de los perfiles n eces arios para la con stru cción bajo el agua.

2 1 .3. L EVANTAM IENT OS T OPOGRAFIC OS Y DE COSTA S Au n qu e en un a carta n áu tica los datos más im portan tes s on las profu n didades del agu a, l os ras gos topográficos de la c osta m arin a o de u n lago s on in dis pens ables para orien tar al marino y m ejorar la 3

aparien cia

del

plan o.

Los

l evan tam ien tos

topográficos

E n geodes ia un dat u m es u n c on jun to de pun t os de refe re n cia en la s u perf icie t e rres t re en base a los cu ales las med idas de la pos ició n son t oma das y u n mode lo as ociado de la f orma de la t ie rra ( e lip so ide d e refe ren c ia) para def in ir el s is te ma de coorden ada s geográfico. Da tu ms h o rizon t ales son u t ilizado s pa ra de scr ib ir u n pu n t o sobre la su pe rfic ie t erre st re. Dat u ms v e rt icales mid e n ele v acio n es o profu n didades . En in gen ie ría y d raft in g, u n datu m es u n pu n t o de referen cia, su perfic ie o ejes s obre u n objet o con los cua les las med ida s son to madas . Un datu m de referen cia ( mo de lo m at emát ico) es u na su perfic ie co n st an t e y con o cida u t iliza da pa ra de scrib ir la localización de p u n t os s obre la tie rra. Dad o qu e dife ren t es dat u ms t ien en dife ren t es rad ios y pu n t os cen t rales, u n pun t o me dido con dife ren t es dat u ms pu ede t en e r co orden adas diferen t es. E xist en cien t os de dat u ms de refe ren c ia de sarro lla dos p ara ref eren ciar pu n tos en det er min a das á rea s co n ven ien t es para es a área. Dat u ms c on t emporán eos est án diseñ a dos pa ra cu brir área s má s gran des . 359

s uminis tran esta in formación . En el pas ado, la m ayoría de es os trabajos s e h acía con plan ch eta y, a veces , con es tadia. Pero en la actu alidad, tales m étodos de topografía terres tre s e u tilizan s olo en es tu dios hidrográficos de lim itada extensión , o para obten er la in formación n ec es ari a para actu alizar periódicam en te los ras gos cu ltu rales del área cos tera repres entada en u n a carta o plan o. En los

es tu dios

h idrográficos

rec ien tes de

cierta m agn itu d, el

m étodo aerofotogram étrico h a des plazado a los procedim ien tos cartográficos terres tres , por las n otables econ omí a en tiem po y en cos to qu e h a produ cido s u aplicación . As im ism o, h a facilitado la detección de arreci fes y ban cos de aren a, median te el exam en de fotografía áreas por parte de un experto en fotoin terpretación .

2 1 .4. EQUIPO PARA HIDROGRAFÍA L os

m odernos

com pletamen te pers on al

de

s on

pl an tas

au tosu ficien tes .

neces arios

h idrográfica, ejecu ción

barcos

para

in clu yen do con trol

Llevan

efectuar

la

la

obten ción

h orizon tal

c artográficas

y

cons igo mis ión

de

m óviles ,

el de

equi po

cartografía

fotografías

vertical,

el

y

áreas ,

desarrollo

de

la la

h idrografía y la reprodu cción de los plan os termin ados . En los s igu ien tes párrafos n os limitarem os a des cribir brevem en te los tipos de equ ipos qu e s e requ erirían para realizar operacion es de s on deo en un lago, pres a o pu erto, con un pequ eñ o bote o lan ch a, y n o los usu ales en un barco d es tu dios hi drográficos qu e su elen operar a varios kilómetros de l a cos ta. L ANCHAS. Se u tilizan varios tipos de lan ch as y botes pequ eñ os . L a m ayoría de las embarcacion es de peca o de trabaj o resu ltan s atis factorias

por

su

bu enas

con dicion es

de

flotación ,

com portamien to con fiable del m otor a bajas velocidades , y porqu e pu eden adaptars e a las divers as operaciones inh eren tes a los es tu dios

hidrográfi cos .

Para

levantam ien tos

limitados

a

áreas

protegidas pu eden us ars e botes pequ eños , com o los s al vavidas . 360

Es tos tienen fon do redon deado y su ficien te qu illa para man tener un cu rs o di recto. Pu eden ac cion ars e c on m otores fuera de borda. BAL IZA DE SONDEAR. En profu n didades de agu a hasta de 3,50 m etros , los s on deos pueden efectuars e fácilm en te con un a baliza de

s on dear.

Es ta

pu ede

h acers e

con

u na

vara

de

m adera

redon deada, de 4 cen tím etros de diám etro y de 4,50 m etros de largo, con graduacion es pin tadas a i n tervalos de un metro y 1º cen tím etros , y con u na pata de m etal en cada extrem o, para poder h un dirla c on rapidez. Sondalez a. Cons is te en un a cu erda de bu en a calidad y lon gitu d adecu ada, en cu yo ex trem o s e col oca un a pes a o plom o de s on dear. L a s on daleza pu ede es tar gradu ada en brazas o metros , de vari os m odos , para qu e n o s e dificu lte leer el n ivel del agu a. En los trabajos de s on deo, se aja la pes a h as ta que toca el fon do, y u n a vez qu e la cuerda este vertical y tens a, s e determina la profu n didad m ediante s u gradu ación. In clus o un a cu erda bien tem plada cam biara de lon gitu d com o res u ltado del us o n ormal . Por tan to, h abrá qu e veri ficar s u lon gitu d a in tervalos regulares , com parán dola con una cin ta de acero y, si es nec es ari o, deberán aplicarse las correccion es apropiadas a las profu n didades observadas . ECOSO NDA.

En

im portan cia,

las

es tu dios

hidrográficos

medic ion es

de

la

m odern os

profun didad

del

de

cierta

agu a

se

efectúan con un in stru mento den omin ado ecos on da. El ecos on deo es un m étodo para determ in ar profun didades de agu a midi en do el tiem po qu e requ ieren las on das de s on ido viajar de un pun to cercan o a l a su perficie del agu a h as ta el fon do, y de regreso. La ecos on da es tá dis eñ ada para gen erar u n a s eñal, trans mitirla h acia abajo, recibir y am plificar el eco, m edir el in tervalo de tiem po trans cu rrido y con vertir au tomáticamen te es te intervalo en metros o braz as de profun didad. L a ecoson da pu ede in dicar la profu n didad en forma digital o graficarla en un rollo de papel es peci al. En él cada lí nea de ecoson deo proporcion a u n perfil dl fondo del lago o pu erto bajo el cu rs o de la lan ch a, au n cu an do es ta avan ce a toda 361

velocidad. L as profun didades del agu a pueden medirs e a es cala en la gráfica resu ltan te.

FIGURA N° 21.1. REPRESENTACIÓN DE LA OPERACIÓN DE SONDEO

2 1 .5. OPERACIO NES DE SONDE O L os

trabajos

de

s on deo

cons tituyen

el

elem ento

bás ico

del

levan tam ien to hidrográfico. Sin embargo, la determi n ación de la profu n didad

res ultará

in ú til

a

m en os

qu e

se

obten ga

s imu ltán eam en te la pos i ción h oriz ontal del pu nto de medición . Au n qu e puede recu rrirs e a u na gran diversidad de métodos para localizar los s on deos , solo s e m en cion aran aqu í a tres de los pri nc ipales .

362

1. Por alin eación y un án gulo des de la cos ta. L a figu ra adju n ta es qu em atiza

un

m étodo

comú n

para

localizar

s on deos

en

lagun as . L a em barcaci ón se m an tien e s obre un a línea, dirigida por s eñ ales des de la cos ta, y s e obtienen lectu ras a in tervalos regu lares en los m ism os ins tan tes en qu e la proa del bote o cu alqu ier otra parte adecu ada de és te sea ” cortada” por u n a vis u al de teodoli to des de la es tación cos tera, A.

FIGURA N° 21.2. LOCALIZACIÓN DE SONDEOS POR ALINEACIÓN Y ÁNGULO DESDE LA COSTA

Es precis o qu e el operador del teodolito y la brigada de la lan ch a s in cronic en

sus

relojes

an tes

de inic iar los

trabaj os ,

y que

obs erven y regis tren la h ora de cada lectu ra. Sol o as í podrá iden tificarse

la

pos ición

de

cada

s on deo

cu an do

an otars e las profundidades en la libreta del teodoli to.

363

vayan

a

2. Por dos án gulos des de la cos ta. Don de es di fícil es tablecer direc ciones

porque

la

cos ta

pres en ta

fu erte

pen dien te

trans vers al o es mu y bos cos a, o don de las corrien tes del río dificu lten m an tener la an ch a en u na línea, la pos iciones de los son deos pu ede determ in ars e m edi an te án gu los leí dos s imu ltán eam en te des de dos es tac ion es de teodolito, en la cos ta. A un a señ al con ven iente de la bri gada de la lan ch a, am bos operadores de teodolito visan algún objeto definido s obre la em barcación –al operador de la s on da por ejem ploy leen cada un o el án gulo h orizon tal. 3. Por dos ángu los des de la lan ch a. U n método i mportan te y m u y us u al para localizar l a pos ici ón de on deos , es el qu e s e con oce com o in ters ección de los tres pu tos con sextan te. Es te procedimien to im plica la m edición s imu ltán ea, a bordo de la lan ch a de s on deo, de dos án gulos h orizon tales en tre tres s eñ ales de posici on es conocidas , u bicadas en la cos ta. L os án gulos s e m iden c on sextantes en el mism o mom en to en que s e m ide la profu n didad. En s egu ida s e determin an la pos ición de la em barcación con un trans portador de tres braz os qu e resu elve gráficam en te el problema de los tres pu n tos . L a ven taja de es te m étodo radican en que todas las operaciones dl levan tamiento hi drográfico s e realizan aborde de la l an ch a; la frecu en cia de las lectu ras y s u cu bri mi en to de áreas s on fácilmen te defin ibles , y la lan ch a pu ede s er dirigida a aqu ellos pun tos del lago, rio o pu erto en que parezca n eces ario un trabajo hidrográfico adicion al.

364

FIGURA N° 21.3. LOCALIZACIÓN DE SONDEOS POR DOS ÁNGULOS DESDE UNA LANCHA

2 1 . 6 . PROBL EM AS PROPUESTOS a) Represen tar

gráfic am en te

las

m edidas s e m ues tran en la fi gu ra

365

curvas

batimétricas ,

cu yas

R3

R5

121.15 121.25

R7

R9

121.56

121.85

123.12

123.36

123.85

123.02

125.63

125.43

124.35

123.35

122.34

121.84

125.96

125.98

124.12

124.63

122.25

121.25

B A R4

b) Represen tar

R8

R6

gráfic am en te

R10

las

curvas

batimétricas ,

m edidas s e m ues tran en la fi gu ra

121.25

124.63

125.98

122.25

124.12

125.96

121.84

123.35

125.43

122.34

124.35

125.63

123.02 123.85

121.85

123.36

123.12

121.56

366

121.25 121.15

cu yas

C A P ÍTU LO XXII

CURVAS DE NIVEL HIDROGRÁFICAS

2 2 . 1. I NT RO DU C CIÓ N Al elab ora r u n plan o h idrog ráfi co , se pu eden t ra zar l as cu rv as de n i vel

si

se

con o cen

la

pos ición

h o rizon t al

y

la

ele vación

de

al gu n os pu n tos del fond o m a ri n o c on ven i en tem en te es co gidos . L a m an era de obten e r los datos n eces ari os es l a bas e pa ra defin ir cu at ro s is tem as

de

pu n tos

pa ra el

traz o de cu r vas .

Son

las

s igu ien tes :

2 2 . 2. S IS T E MA A. Es te s is tem a c ons is te en u n a cu ad ri cu la es ta ca da en el fon do a cu áti co. Se d eterm in an las ele vaci on es de las es qu in as para f orm a r un s is tem a de pu n t os de c oo rden a das a p arti r de los cu ales pu e den di bu ja rs e las cu rvas d e n i vel.

367

F I G U R A N° 2 2.1 . C U A D R Í C U LA S ES TA C A D A S P A R A E L S I S TE MA A

9

08

9 06

90 4

90 2

90 0

F I G U R A N° 2 2.2 . C U R V A S BA TI MÉ TR I C A S TI P O S IS T E MA A

368

2 2 . 3. S IS T E MA B. Si s e lo caliza en el ter ren o o fon do a cu áti co u n a s erie de pu n tos c on l a m is m a ele vaci ón y s e dibu jan en u n plan o, la lín ea qu e l os u n e s erá u n a cu rva de n i vel. Po r lo tan t o, s i s e di bu ja u n a s erie de pu n tos qu e ti enen

qu e tien en la ele v ación , po r ejem plo, 914

m etros , la cu rv a de n i vel 914 s e de te rm in a u n ien d o l os pu n tos con u n a lín ea c on tin u a.

F I G U R A N° 2 2.3 . C U A D R Í C U LA S E S TA C A D A S P A R A E L S I S TE MA B

910

910

912

912 910

912

912 912 912 914

914

914 914

914 914 914

369

F I G U R A N° 2 2.4 . C U R V A S BA TI MÉ TR I C A S TI P O S IS T E MA B

22.4. S IS T E MA C. Au n qu e el s is tem a B proporcion a cu rvas de nivel mu y precisas , requ iere de l a localizaci ón de m u ch os pun tos . Si n o s e neces ita tan ta

precis ión

pu ede

em plearse

un

m étodo

m ás

rápido

con sis ten te en localizar algu n os pu n tos de con trol, y des pu és in terpolar las cu rvas para represen tar l a s u perficie del terren o. Tales

pun tos corres pon den a cimas , depresion es , cambios de

pen dien te,

y

es pecialm en te

pun tos

parteagu as .

370

a

lo

largo

de

cau s es

y

22.5. S IS T E MA D. En

este

sis tema

prim ero

se

traza

un a

poligon al

de

tráns ito,

clavan do trompos a cada 20 m etros s obre los qu e s e efectú an n ivelaciones

de perfil. En

es tos

pu n tos s e levan tan

s eccion es

trans vers ales para localizar los puntos para la con figu ración , los fon dos de los es cu rrideros , etc. A partir de es te sistema de pu n tos ya es posible dibujar las cu rvas de nivel.

22.6. I NT E RP OLA CIÓN

DE

C U RV A S

DE

N I VE L

En los s is temas A y C, es neces ari o in terpolar en tre los pun tos dibu jados

para

localizar

l as

pos icion es

de

las

cu rvas .

Es ta

in terpolac ión pu ede h acerse por es tim ación , por cálcu lo o por m étodos gráficos . a) Por Es timación . Se u tiliza es te método cu an do n o s e requ iere ex actitu d,

cu an do

regu lares ,

y

las

cu an do

la

formas es cala

del del

terreno plan o

es

s on

bas tan te

intermedia

o

pequ eñ a. b) Por cálculo. cálculo Se u tiliza es te m étodo cu ando se requi ere obtener gran exactitu d, y cu an do la es cal a del plan o es in term edia o gran de. c) Por el método gráfico. Se van a h acer m u chas in terpolaciones y s e preten de obten er un a exac ti tud relativam ente alta, resu l tará m ás

rápido

y

c on veniente

us ar

u na

es cala

proporcion al

m edian te la cu al pu eden interpolarse los pas os de l as cu rvas . 371

Es ta

es cal a

m arcan do

se

en

c on s titu ye ell a

lín eas

en

tela

paralelas

o

papel (a

trans paren te,

cualqu ier

es cala

adecu ada) para repres en tar el in tervalo requ eri do en tre cu rvas de n ivel.

F I G U R A N° 2 2.5 . E S C A L A P A R A I N TE RP OL A C I ÓN D E C U RV A S DE N I VE L

372

22. 7 . PROB LE MAS PROP UESTOS a) Rep resent ar gráficamente las curvas cuyas cuadriculas se muestran en la figura.

373

b) Represent ar g ráficament e las curvas cuyas cuadriculas se muestran en la figura.

914 914 914 914 914 914 912

914

912

912 912

910

912 912 910

910

374

Capítulo XIII

LEVANTAMIENTO PARA OBRAS Y CONSTRUCCIONES

2 3 .1. INTRODU CCIÓN L os trabajos topográfi cos para obras y con s tru cc ion es in clu yen gen eralm en te:

1) un l evan tamiento topográfic o del

lu gar,

para

u tilizarse en la preparación de los plan os de las es tru ctu ras ; 2) el es tablecimien to en el terren o de u n s is tem a de es tacas o de otras m arcas , tan to en plan ta c omo en elevacion es , de las cu ales se pu eden tom ar m edidas para las terracerías y para las es tru ctu ras por el pers on al en cargado de la c ons tru cción ; 3) dar lín ea y ni veles s egú n s ea n eces ario, para reponer las es tacas m ovidas por la con stru cción

o para

localizar

pun tos

adicion ales

en

la m ism a

es tru ctu ra; y 4) h acer las medidas n eces arias para comprobar la pos ición

de

volu m en

las

de

(gen eralm en te

partes

trabajo cada

de la

es truc tu ra

ejecu tado m es ),

com o

a una

y para determ in ar el

una

fech a

bas e

para

determinada el

pago

al

con tratis ta. En conexión con la cons tru cción , a m enu do es n eces ario h acer levan tam ien tos de los linderos como base para la adquis ición de terren os

o

derec h os

de

vía.

L os

m étodos

detallados

qu e

se

em plean en los levan tamien tos para la con stru cción varían mu ch o con

el

tipo,

preferen cia

situación ,

que ten gan

y

tam añ o

las

de

la

organizaciones

es tru ctu ra

y

con

la

de in geni ería y de

con stru cción . Mu ch o depen de de la pericia del topógrafo con el objeto de qu e s e dé la in formación correcta s in con fus ión ni es fu erzo inn ecesari os . El levan tamien to topográfico del lu gar de la es tru ctu ra

debe

in clu ir

terren os

adyacen tes

qu e

ten gan

la

probabilidad de u tilizarse para la plan ta de c ons tru cci ón , camin os , o es tru ctu ras au xiliares . L as fotografías aéreas s on au xiliares ú tiles para la plan eación de la cons tru cción . 375

2 3 . 2 . AL INEAM IENT O Gen eralm en te s e clavan estacas y otras marcas tem porales en los vértices de la es tru ctu ra propu es ta, com o un a guí a aproximada para em pez ar la exc avación . Fu era de los límites de la mis m a, o de don de se pu edan m over, pero lo s uficien temen te cerc a para qu e res ulten cóm odas , se colocan es tacion es perm an en tes bien referidas . Pu eden pon ers e s eñ ales perm anen tes o marc as para ori entar cóm odam en te el tráns ito en las lín eas prin cipales de la es tru ctu ra y para vis ar a lo largo de es as lín eas a ojo. Se colocan es tacas u otras señ ales en todas las lín eas i mportan tes para m arcar con claridad los lí mites de la obra. En mu ch os c as os , la lín ea y la ras an te se dan más cóm odam ente en tablas clavadas en es tacas qu e con es tacas . Es as tablas s on , gen eralm en te, de 2.5 X 15 cm clavadas en un os pos tes fuertes (generalm en te, con u na s ección de 5 X 10 cm ) con la tabla h orizon tal es tan do su can to s u perior a un n úm ero en tero de m etros arriba o debaj o de la ras an te. El alineamien to s e fija clavan do u n clavo en el can to s u perior de la tabla. Entre cada dos de es tas tablas s e es tira u n a cu erda fuerte o alam bre para marcar la l ín ea y la ras an te. A m enu do, n o es pos ible es tablecer señ ales perm an en tes en la lín ea de la es tru ctu ra. En es te cas o, la lín ea del levan tam ien to s e traza paralel a a la de la es tru ctu ra, tan cerca como s ea posible a u n a dis tan cia qu e sea un núm ero en tero de m etros .

2 3 .3. RASA NTE Se es tablece un s is tem a de ban cos de n ivel cerca de la es tru ctu ra, en lu gares

favorabl es , qu e probablemen te n o es tén s uj etos

a

cam biars e. Se tomaran todos los cu idados pos ibles para conservar los banc os de n ivel de los levan tamien tos es tatales o federales , si du ran te la cons tru cción es n ecesario qu itar es os ban cos s e deberá n otificar

a

la

depen den cia

corres pon dien te

y

l os

ban cos

se

cam biaran de acu erdo con s us ins tru cción . L as diferen tes ras an tes 376

y elevacion es s e defin en en el terren o por m edio de trom pos y de tablas cl avadas en pos tes , com o guías para los trabajadores . L os trom pos qu e marcan las ras an tes pueden o n o ser los m is mos que s irvan para dar lín ea. Cu an do s e us an es tacas , se pu eden tomar las m edidas verti cales de la cabeza de la es taca, de u n a m arc a de crayón o de u n clavo pu es to de un cos tado de la es taca, o (para excavación ) de la su perficie del terren o don de s e enc u entra la es taca; para evitar equivocacion es, s olamente s e em pleará u n s is tem a de pu n tos de referen cia para las m edidas en c ada clase de trabajo. Cu an do s e u tilizan

tablas

clavadas

en

pos tes

las

m edi das vertic ales s e toman del canto su peri or de la tabl a, cu an do es h orizon tal. L as es tacas o las tablas s e pueden colocar a la ras an te. Cu an do s e va a clavar u n a es taca de m an era qu e su cabeza qu ede a u na elevación dada, el es tadalero comien za a clavarla y lu ego coloca el es tadal sobre la es taca. El nivelador lee el es tán dar y, di ce la dis tan ci a en qu e debe en cajars e la es taca para qu e llegu e a la ras an te. El es tadal ero clava l a estaca la can tidad deseada, y se tom a u n a s egun da lectu ra de es tadal; con tinu an do de es ta m an era el proces o h as ta qu e la lectu ra del es tadal s ea igual a la diferen cia en tre la altu ra de ins trum en to y la elevación des eada. Se puede u tili zar u na m arca o un clavo en u n o de los cos tados de la es taca en vez de la cabez a de la m is ma. En algun os c as os , s e corta con un s errote a la elevaci ón des eada. Si la elevación de la ras an te es tá a corta distan ci a de la elevación del terren o, a m en u do s e hac e u n h oyo en el terren o para colocar la es taca a la ras an te.

377

2 3 .4. TRAZO DE EDIFICIOS Al em pezar la excavación , s e m arcan las es qu in as del edificio con es tacas , que por ci erto s e perderán al pros egu ir l a excavación . Se pon drán

lín eas

de

referen cia

en

c ada

uno

de

los

lados

del

perím etro de cons truc ción y en las lín eas de las column as , de preferen cia en la lín ea que pas e por el cen tro de l as paredes o colum n as . En cada extremo de los lados del perím etro de cons tru cción s e pon drá un a tabla clavada en pos tes aprox imadamente a un metro de la orilla de la exc avación . Si el terren o lo perm ite, los can tos s u periores de todas las tablas s e pon drán a la m ism a elevación ; en cu alqu ier cas o, las tablas qu e van en l os extrem os opuestos de u n a lín ea dad (o porción de la m is ma) se colocan a la mis m a elevación de m an era qu e u n a cuerda ten dida en tre ellas qu ede a n ivel. L as elevaciones s e eligen en u n nú m ero en tero de m etros arriba del fon do de la excavaci ón , gen eralm en te del pis o, en vez del des plan te de los cimientos . Cu ando s e h a clavado la tabla a los pos tes , s e clava un clavo en le c an to su perior de l a tabla siguien do la lín ea de cons tru cción , qu e s e obtien e con el tránsi to. Hilos ten didos en tre tablas opu es tas definen tanto la lín ea como la pen dien te,

y

los

trabajadores

pu eden

tom ar

m edidas

cóm odam en te para la excavación , para colocar moldes , y para alin ear la m am pos tería o las estru cturas .

378

FIGURA N° 23.1. LÍNEAS BASE PARA EL TRAZADO DE UN EDIFICIO

BASE AUXILIAR

MIRA

REFERENCIA

Si el es pacio alrededor del edi ficio es tá obs truido de manera que n o es pos ible poner tablas clavadas en pos tes , s e recu rre a otros m edi os

para

afrontar

la

situ ación .

Cu an do

se

term in a

la

excavación , s e dan los niveles para las zapatas de los m u ros y de las colu mn as con trom pos clavados a la elevación requerida ya s ea para la coron a de las z apatas o para la parte s u perior del piso. L as bas es de las colu mn as y para los mu ros las pon e a su n ivel direc tam en te el n ivelador. Las bas es de las colum n as y para los m u ros las pon e a su n ivel directam en te el n ivelador.

379

FIGURA N° 23.2. OTRO TRAZADO DE LÍNEAS BASE DE UN EDIFICIO

LÍNEA BASE AUXILIAR

PERÍMETRO DEL EDIFICIO

2 3 .5. AL CANT ARILL AS En la in ters ección del eje de la alcan tarilla con l a lín ea localizada, s e mide el án gulo de in ters ección , y la lín ea que defin e la dirección de la alcantarilla s e traza un a lín ea qu e defin a la boquill a y s e refi ere. Si es n eces ario hac er can alizacion es en el cau ce, s e 380

es taca de m an era sem ejan te a la de un corte de terrac ería. Se pon en ban cos de nivel cerca, y pu n tos de liga para n ivelar con com odidad la alcan tarilla. Se dan líneas y n i veles según lo requ iera el tipo de es tru ctu ra de qu e s e trate.

2 3 .6. L AS CAL L ES Para la cons tru cción de calles el procedim ien to topográfico es s em ejan te qu e s e u tiliza para las carreteras . Ordin ariamen te se con stru ye primero la guarnición . La lín ea y la ras an te de la parte s u perior de cada gu arn ic ión se in dica por m edio de trom pos clavados jun to a la lín ea exterior de la gu arnic ión , gen eralmen te, a in tervalos

de 10 m . lu ego s e m arca el

pavim en to

en

la

cara

de

la

gu arn ici ón

n ivel

de la oril la del

termin ada.

Se

clavan

trom pos en el terreno en la lín ea c en tral del pavi men to, ya s ea al n ivel

de

la

su bras an te

term in ada

o

con

el

c orte

o

terraplén

in dicados en el trom po s obre un a es taca adyacen te. Cu an do la calle es an ch a, s e pu ede trazar una h ilera interm edia de trom pos en tre la línea cen tral y la gu arnición . Gen eralmen te, es neces ario retrazar los trom pos des pu és de que s e h a h ech o la terracería de la calle. Cu an do no es posible clavar es tacas por exis tir pavim en to o terren o du ro, s e pu eden clavar clavos o pijas o s e pu eden labrar o pin tar m arcas en su s u perficie. L os levan tam ien tos para trazar o con struir

c alles

deben

determinar

la

situ ación

de

todas

las

ins talacion es s u perficial es y s u bterrán eas qu e puedan afectar el proyecto, y s e n otificaran los cambios n eces arios con la debida an ticipación .

2 3 .7. SISTEM A DE DRENAJ E Y DE TU BERÍA S L a línea cen tral de u n a alcan tarilla propu es ta s e l ocaliza en el terren o con es tacas u otras m arcas colocadas gen eralmen te a in tervalos de 10 m don de las pen dien tes son uni form es , y hasta 5 m en las cu rvas verticales . A un lado de esta lín ea, a un a distan cia 381

s uficiente para que n o s e mu eva duran te la cons tru cción , s e traza u n a lí nea paralela de es tacas . Se pon e un testigo al lado de cada trom po, con c ara es crita h acia la línea; en el lado más l ejan o de la lín ea se m arca el nú mero de la es tación y la dis tan cia, y en el lado m ás

cerc ano

a

la

línea

se

marca

el

corte.

En

l as

calles

pavim en tadas o en los cam in os du ros don de es i mpos i ble clavar es tacas y trom pos , la lín ea y la ras an te s e m arcan con pijas (en cajadas h as ta quedar al ras ), marcas con cin cel , o de pintu ra. Cu an do s e h a excavado la cepa, s e colocan tablas trans vers ales clavadas

en

pos tes

a

los

in tervalos

que

se

em plean

en

el

caden ami en to. El can to su perior de la tabla s e c oloca a un nú m ero com pleto de m etros arriba de la cu beta de la alcan tarilla (la s u perficie in terior del fon do de la alcantarilla); y s e prepara u n bas tón de la mis m a lon gitu d. Se clava un clavo en el canto s u perior de cada tabla para definir l a lín ea. Al ir cons tru yen do la al can taril la, s e es ti ra un a cu erda en tre es tos clavos , y el extrem o libre de cada tu bo s e pone a l a dis tan ci a correcta determ in ada por la m edida del bas tón . Si la cepa s e va a excavar a man o, se pu eden omitir los trom pos lateral es , y las tabl as clavadas en pos tes se colocan al prin cipio de la excavaci ón . Para las tu berías , el procedimien to es semejan te qu e para las alcan tarillas , pero el intervalo en tre los trom pos para dar n iveles pu ede ser m ayor, y s e n eces ita menos cui dado para colocar el tu bo exactam en te a la ras an te. Tan to para alcan tarillas com o tu berías , el volum en de excavación en tierra y en roca se m ide en la cepa, y s e calcu lan los volú m en es de c ada clase de excavación como bas e de pago para el con tratis ta. L os registros de

los

levan tami entos

deben

in clu ir

la

u bicaci ón

de

ins talacion es su bterráneas , cru zadas , o adyacen tes a la cepa.

382

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