Kesetimbangan benda tegar dengan syarat. ∑ F = 0 dan ∑ τ = 0. Ciri-ciri :
Terdapat ciri-ciri fisik benda tegar seperti adanya bentuk benda dan pan jang
benda.
F. KESETIMBANGAN, DINAMIKA ROTASI DAN TITIK BERAT KESETIMBANGAN Teori Singkat : Terdapat bermacam-macam pembagian ke setimbangan menurut kelompoknya yakni : 1. Berdasar posisi benda : a. Diam (setimbang statik) b. Bergerak lurus beraturan (GLB) dengan kecepatan konstan atau bergerak melingkar beraturan (GMB) dengan kecepatan sudut konstan (setimbang dinamik) • Akibat pernyataan pertama benda setimbang juga harus memenuhi syarat : a. ∑ F = 0 (setimbang translasi) b. ∑ τ = 0 (setimbang rotasi) 2. Berdasar keadaan benda : a. Kesetimbangan partikel dengan syarat : ∑F=0 Ciri-ciri : Terdapat perpotongan titik-titik gaya. Biasanya berkaitan dengan gaya tegang suatu tali Penyelesaian : 1. Pada perpotongan garis gaya buatlah koordinat sumbu x dan Y (koordinat kartesius), kemudian proyeksikan gaya gaya pada masing-masing sumbu, lalu hitung gaya-gaya pada sumbu x dan y melalui ∑ Fx = 0 dan ∑ Fy = 0 (lihat konsep metode menguraikan vektor) 2. Menggunakan penguraian gaya melalui dalil sinus sebagaimana berikut : C B α β γ
jang benda. Adapun benda tegar adalah benda yang apabila dikenai gaya, baik bentuk dan volumenya tidak mengalami perubahan seperti : kayu, besi, batu dan lain sebagainya Penyelesaian : 1. Pilihlah selalu pusat momen (titik) dimana banyak bekerja gaya-gaya yang tidak diketahui, tetapi gaya-gaya tersebut tidak ditanyakan dalam soal, sehingga momen gayanya sama dengan nol 2. Penyelesaian kesetimbangan benda tegar terkadang cukup menggunakan satu syarat yakni ∑ τ = 0 3. Berdasar titik beratnya : a. Kesetimbangan Stabil → Kesetimbangan benda jika dikenai gaya, maka posisi benda akan kembali ke posisi semula. Cirinya kedudukan titik berat benda akan naik bila dikenai gaya contoh :
F (1)
(2)
b. Kesetimbangan Labil → Kesetimbangan benda jika dikenai gaya, maka posisi benda tidak akan kembali ke posisi semula. Cirinya kedudukan titik berat benda akan turun bila dikenai gaya contoh : F (1)
(2)
c. Kesetimbangan Indeferen → Kesetim bangan benda jika dikenai gaya, maka posisi benda akan tetap pada posisi semula. Cirinya kedudukan titik berat benda akan tetap bila dikenai gaya contoh :
A A B C = = sin α sin β sin γ
F (1)
=====O0O===== b. Kesetimbangan benda tegar dengan syarat ∑ F = 0 dan ∑ τ = 0 Ciri-ciri : Terdapat ciri-ciri fisik benda tegar seperti adanya bentuk benda dan pan
(2)
DINAMIKA ROTASI Momen Gaya : 1. Momen gaya di suatu titik adalah besar gaya tersebut dikalikan dengan lengan gaya terhadap titik tersebut τ=RxF
4. Penyelesaian resultan gaya dan letaknya di suatu titik pada suatu garis lurus dapat ditentukan dengan menghitung jumlah momen gaya di titik tersebut pada garis itu (∑ τ = 0), dengan aturan penentuan resultan gaya atau resultan jarak tersebut diacukan ke salah satu gaya atau jarak tertentu.
F Perhatikan contoh-contoh soal berikut : R
1. Mencari Resultan Gaya :
•) Arah gaya memutar searah jarum jam bernilai negatif •) Arah gaya memutar berlawanan arah jarum jam bernilai positif Catatan : Ketentuan arah putar ini terdapat perbedaan pada beberapa buku referensi. Ada yang memberi kaidah berkebalikan dari ketentuan diatas dan semuanya bisa dipilih. 2. Untuk R dan F yang berbentuk vektor, maka dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks dengan aturan sebagai berikut : Misal : R = A i + B j + C k F=Di+Ej+Fk Maka τ = ?
A
a
FA
C
W
B
FB
Mencari resultan gaya pada titik A (Ambil ∑ τA = 0) - W (a) + FB (a + b) = 0 a FB = W a +b
Dengan cara yang sama ∑ τB = 0 b FA = W a +b
2. Mencari Jarak Resultan Gaya : L
τ=RxF τ =
b
i A D
j B E
k C F
x FA
τ = i (BF – EC) – j (AF – CD) + k (AE – BD) 3. Momen kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah
L-x R
FB
Mencari jarak resultan gaya pada pada titik R sejauh x dari titik B : (∑ τR = 0). FA (x) - FB (L- x) = 0 x (Fa - FB) + FB L = 0
FB L x = F + F A B
M=dxF F d
F •) Arah gaya memutar searah jarum jam bernilai negatif •) Arah gaya memutar berlawanan arah jarum jam bernilai positif
Catatan : Letak pusat massa batang selalu terletak di tengah-tengah batang. Momen Inersia : Momen Inersia merupakan analogi massa untuk gerak rotasi. Momen Inersia dibagi menjadi 2 : 1. Momen Inersia Partikel
2. Momen Inersia Benda Tegar
Silinder Pejal
1. Momen Inersia Partikel R
Momen inersia partikel didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel terhadap kuadrat jarak dari titik poros (titik acuan). •
R
L
Poros melalui sumbu
m
I=mR
R
I=
2
Jika terdapat banyak partikel dengan massa masing-masing m1,m2,m3,…dan mempunyai jarak R1,R2,R3,…terhadap poros, maka momen inersia totalnya adalah …
Poros melalui titik tengah sumbu silin der
1 M R2 2
I=
1 1 MR 2 + ML2 4 12
Bola Pejal
R
R
2
I = Σ mi Ri = m1R12 + m2R22 + m3R32 + …
2. Momen Inersia Benda Tegar Apabila sebuah benda pejal terdiri dari distribusi massa yang kontinyu, maka momen inersia benda pejal tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :
Poros melalui diameter I=
2 MR 2 5
I=
Bola Berongga
Poros melalui diameter
Batang Silinder
Lempeng Tipis
L
L
a b
Poros melalui ujung
1 ML2 12
I=
1 ML2 3
Poros melalui sumbu tegak lurus I=
Silinder Tipis Berongga R
2 I = MR 2 3
R
Berbagai momen inersia benda tegar dapat dilihat pada tabel berikut :
I=
7 MR 2 5
I = ∫ R2 dm
Poros melalui pusat
Poros melalui ujung
(
1 M a 2 + b2 12
)
I = MR 2
Poros melalui sumbu silinder
b a
Poros seperti pada gambar I=
1 M a2 12
Teori Sumbu Paralel Teori ini digunakan untuk menghitung momen inersia benda terhadap sembarang sumbu dengan syarat momen inersia benda terhadap pusat massa telah diketahui I = Ipm + M d2
Gerak Translasi S Pergeseran Linear Kecepatan V Linear Percepatan a Linear Kelemba m man Translasi (massa) Gaya F Energi Kinetik Daya Momentum
EK = 1/2 mV2 P=FV P=mV
Linear
Dengan d adalah jarak yang diukur dari pusat massa benda. Sebagai contoh pada batang silinder telah 1 ML2 , maka jika kini hendak diketahui Ipm = 12 dihitung momen inersia batang silinder pada ujung, dapat diterapkan : L I = Ipm + M d2 dengan d = , maka 2 2 1 L 1 I= ML2 + M = ML2 (terbukti) 12 4 3
Catatan : Secara umum momen inersia dapat pula dituliskan I = k MR2 Dengan k = konstanta yang nilainya tergantung pada bendanya, contoh untuk cincin k = 1, 1 2 silinder pejal k = , bola pejal k = dan 2 5 sebagainya
Hubungan Gerak Translasi dan Rotasi : Gerak translasi disebabkan oleh gaya (F), sedangkan gerak rotasi oleh momen gaya (τ). Ada 2 kondisi keadaan gerak suatu benda : 1. Benda Meluncur Σ F ≠ 0 dan Σ τ = 0 2. Benda Menggelinding Σ F ≠ 0 dan Σ τ ≠ 0
Gerak Rotasi Pergeseran θ Sudut Kecepatan ω Sudut Percepatan α Sudut Kelembaman I Rotasi (momen inersia) Momen τ Gaya EK = Energi 1/2 I ω2 Kinetik P=τω Daya L=Iω Momentum Sudut
Hubungan S=θR V=ωR a=αR I = Σ m R2
τ=FR -------------
APLIKASI KESETIMBANGAN 1. Batang bersandar pada dinding A (kasar)
B (kasar) Gaya–gaya yang bekerja pada benda dapat diuraikan sebagai berikut : fA A
NA NB α fB
B
W Jika diambil ∑ F = 0 dan panjang batang AB = L maka di dapat :
∑ Fx = 0 → NA = fB NA = µB NB............................(1)
∑ Fy = 0 → fA + NB = W µA NA + NB = W.....................(2) Masukkan (1) ke (2), maka di dapat : µA (µB NB) + NB = W..................(3) Ambil syarat ∑ τB = 0, maka diperoleh : - fA(L cos α) - NA (Lsin α) + W (½Lcos α) = 0 µA NA cos α + NA sin α =
Berikut ini tabel perbandingan gerak translasi dan rotasi
W cos α ......(4) 2
Masukkan (1) dan (3) ke (4), di dapat : µA µB NB cos α + µB NB sin α =
Penyelesaian
1 (µAµB NB + NB) cos α 2 1 1 ⇔ µA µB cosα + µB sin α = cos α 2 2 Kalikan 2 dan bagi dengan cos α, di peroleh : µB (µA+ 2 tan α) = 1 µB =
Cara Biasa : Ketentuan : * Searah percepatan (a) :+ * Berlawanan percepatan (a) : * Tegangan tali T1 ≠ T2 Tinjau soal 1) 1)
1
M,R
2 tan α + µA a
2. Katrol bergerak Tinjau kembali kasus hukum II Newton, namun sekarang katrol ikut bergerak. Andai katrol dianggap berbentuk silinder pejal (I = 1/2 MR2) massa katrol M dan jari-jari R
1) M,R
W1
m1 > m2
W2
Tinjau m1 : Σ F = m1 a W1 - T1 = m1 a → T1 = W1 - m1 a ------(1)
Tinjau gerak katrol : M,R
m2
2) fges
T2 m2 a
Tinjau m2 : Σ F = m2 a T2 – W2 = m2 a → T2 = W2 + m2 a -----(2)
m1 > m2 a=? m1
T1 m1
I = k MR2
M,R m1
a=?
a
a T1
T2
a Σ τo = I α → (T1-T2) R = k M R2
R T1-T2 = k M a-------------(3)
m2
3) M,R m1 f1
m2
a=?
f2
Masukkan (1), (2) ke (3), maka di dapat : W1 - m1 a – (W2 + m2 a) = k M a a ( m1 + m2 + kM) = W1 – W2
m1 − m 2 g a = m + m + kM 2 1
m3
4)
M,R a=? m1
Tinjau soal 2) a
fges
2) fges
m2
m1
T1
α
5)
T2
m2
a
M,R f2 m1 α
f1
m2
a=?
W2 Tinjau m1 : Σ F = m1 a T1 - fges = m1 a → T1 = fges + m1 a -----(1) Tinjau m2 : Σ F = m2 a
W2 – T2 = m2 a → T2 = W2 - m2 a -----(2) Tinjau gerak katrol : a M,R T1 I = k MR2 a T2 a Σ τo = I α → (T2-T1) R = k M R2 R T2-T1 = k M a-------------(3)
Jawab : a)
1
h α
2
Tinjau keadaan 1 dan 2 : Em1 = Em2 Ep1 + Ek1 = Ep2 + Ek2
Masukkan (1), (2) ke (3), maka di dapat : W2 - m2 a – (fges + m1 a) = k M a a ( m1 + m2 + kM) = W2 – fges
m 2 − µ m1 g a= m1 + m 2 + kM
Cara Praktis : Jika diperhatikan hasil penyelesaian soal 1) dan 2) tampak bahwa hasilnya mirip dengan penyelesaian hukum II Newton pada katrol tidak bergerak, namun pada penyebut persamaan akhir ditambah kM. Sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut : Percepatan a katrol bergerak adalah = percepatan pada katrol tidak bergerak dengan penyebut ditambah kM
Dari gambar diketahui Ek1 = 0 dan Ep2 = 0 Sehingga Ep1 = Ek2, karena benda menggelinding, maka Ek2 = Ektranslasi + Ekrotasi Jadi mgh =
1 1 m V2 + I ω2 2 2
1 1 V mgh = m V2 + kmR2 2 2 R
2
2gh = V2 (1 + k)
V=
2 gh k +1
b) fges mg sin α
α Σ F = m a → mg sin α - fges = ma ---------(1)
3. Benda Menggelinding Pada Bidang Miring Tinjau benda yang bergerak pada bidang miring sebagai berikut :
Σ τ = I α → fges. R = kmR2
a R
fges = kma -------------------(2) Masukkan (2) ke (1), di dapat : mg sin α - kma = ma a=
h
g sin α k +1
α Pertanyaan : a) Berapa nilai kelajuan sampai di dasar ? b) Berapa percepatan benda ?
=====O0O=====
TITIK BERAT
2. Titik berat bidang homogen berdimensi dua
Teori Singkat : Titik berat merupakan resultan titik tangkap gaya berat
1. Segitiga
Yo = 1/3 t
Titik berat benda dibagi menjadi 3 yakni : A. Titik berat benda bentuk sembarang B. Titik berat benda bentuk beraturan
2. Jajar genjang Belah ketupat
Yo = 1/2 t
C. Titik berat benda beraturan majemuk A. Titik berat benda bentuk sembarang Untuk mengetahui titik berat benda tidak beraturan lakukan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Benda digantung pada ujung A lalu ditarik garis vertikal (lihat gambar) 2. Lakukan untuk ujung yang lain misal ujung B 3. Perpotongan kedua garis itu merupakan titik berat benda tersebut
Yo = 2/3 R x tali busur AB
3. Juring lingkaran
busur AB
4. Setengah lingkaran
A
Yo =
4R 3π
B
3. Titik berat benda pejal berdimensi tiga Nama Benda
B. Titik berat benda bentuk beraturan Secara umum titik berat benda beraturan terletak pada perpotongan diagonalnya, misal : 1) Persegi panjang
1. Prisma Pejal
Gambar Benda
Titik berat Yo = 1/2 l
2) Lingkaran Yo = 1/2 t
2. Silinder Pejal
Akan tetapi terdapat persamaan titik berat ben da-benda yang lebih lengkap sebagai berikut :
1. Titik berat benda homogen berbentuk garis 1.
3. Limas Pejal Beraturan
Garis lurus
Yo = 1/4 t
Yo = 1/4 t
Yo = 1/2 l
4. Kerucut Pejal
2. Busur Lingkaran Yo = R x tali busur AB
busur AB
3. Busur Setengah Lingkaran
Yo =
2R
π
5. Setengah Bola Pejal
Yo = 3/8 R
4. Titik berat benda luasan selimut ruang 1. Kulit Prisma
Yo = 1/2 l
2. Kulit Silinder (tanpa tutup)
Yo = 1/2 t
3. Sistem tiga dimensi (berupa volume) x1 V1 + x 2 V2 + x 3 V3 + ... V1 + V2 + V3 + ... y V + y 2 V2 + y 3 V3 + ... Zy = 1 1 V1 + V2 + V3 + ... Titik berat Z = (Zx , Zy) Zx =
Contoh Soal dan Pembahasan :
3. Kulit Limas
Yo = 1/3 T'T
4. Kulit Kerucut
Yo = 1/3 T'T
1. Bila gaya-gaya pada suatu benda adalah setimbang, maka benda tadi pasti dalam keadaan diam sebab Gaya-gaya yang dalam keadaan setimbang mempunyai resultan sama dengan nol Jawaban (salah - benar) → D 2. Koordinat titik berat bidang yang diarsir di bawah ini adalah …. y 2
5. Kulit Setengah Bola
x
Yo = 1/2 R
C. Titik berat benda beraturan majemuk Titik berat benda beraturan majemuk maksudnya titik berat suatu sistem benda beraturan. Ada 3 komponen sistem ini yakni : 1. Sistem satu dimensi (berupa garis)
x 1 l1 + x 2 l 2 + x 3 l 3 + ... l1 + l 2 + l 3 + ... y l + y 2 l 2 + y 3 l 3 + ... Zy = 1 1 l1 + l 2 + l 3 + ... Titik berat Z = (Zx , Zy)
2 A. (2,6) B. (1,4) C. (5,1) Jawaban : C
Apabila diambil perpotongan diagonalnya diperoleh : y 2
Zx =
2. Sistem dua dimensi (berupa luasan) x1 A1 + x 2 A2 + x 3 A 3 + ... A1 + A2 + A3 + ... y A + y 2 A2 + y 3 A 3 + ... Zy = 1 1 A1 + A2 + A3 + ... Titik berat Z = (Zx , Zy) Zx =
8 D. (6,3) E. (8,2)
2
8 x
Z = (5,1) 3. Sumbu kedua roda muka dan sumbu kedua roda belakang sebuah truk yang bermassa 3000 kg, berjarak 3 m. Pusat massa truk terletak 2 m di belakang roda muka. Diandaikan g = 10 m/s2, beban yang dipikul oleh kedua roda muka truk itu sama dengan : A. 5.000 N D. 20.000 N B. 10.000 N E. 25.000 N C. 15.000 N Jawaban : B
NA
NB
A. 20 cm B. 30 cm C. 32 cm
D. 8 cm E. 12 cm
Jawaban : C 2m
1m
L = 40 cm
W
A
FA
x
C
B
F
FB
Gunakan syarat kesetimbangan benda tegar, yakni ∑ F = 0 dan ∑ τ = 0.
(100)
∑ F = 0 → NA + NB = W
∑ τC = 0 → FA (x) – FB (L – x ) = 0
NA + NB = 30.000 N ..........(1)
∑ τA = 0 → - W (2) + NB (3) = 0
(100 + 300)
FB 400 L= 40 cm FA + FB 100 + 400 x = 32 cm
x =
30000 (2) = 3 NB NB = 20.000 N……….…(2) (2) ke (1), didapat NA = 10.000 N 4. Sebuah gaya F = -4i + 2j – 3k berada pada posisi r = 3i + 2j -5k dari sumbu koordinat, dengan i,j dan k menyatakan vektor satuan dalam arah sumbu x,y dan z. Vektor momen gayanya adalah ... A. 4i + 29j + 14k B. 16i + 11j - 2k C. 4i + 29j + 18k D. 4i - 29j - 14k E. -16i - 11j + 2k Jawaban : A i
τ =
j
k
3
2
-5
-4
2
-3
6. Sebuah papan yang bertuliskan “Student Centre” terpasang seperti pada gambar di bawah ini :
300 1/2 m
Student Centre 2m
Jika diketahui berat papan 150 N dan berat kawat k dan berat batang b dapat diabaikan dengan menganggap bahan papan itu massanya merata di seluruh papan, maka tegangan kawat k dapat dihitung yang besarnya adalah : A. lebih kecil dari 100 N B. antara 100 N dan 150 N C. antara 150 N dan 200 N D. antara 200 N dan 300 N E. lebih besar dari 300 N
τ = i (-6 + 10) – j (-9 – 20) + k (6 + 8) τ = 4i + 29j + 14k
Jawaban : C
5. Pada gambar terlukis suatu segitiga sikusiku yang sangat ringan tetapi kuat. di titik sudutnya ada massa m1, m2 dan m3, masingmasing 100 gram, 100 gram dan 300 gram. Jarak m1m2 dan m2m3 masing-masing 40 cm dan 30 cm. Gaya F mengenai tegak lurus pada kerangka m1m2 dengan jarak x dari m1. Gaya F sebidang dengan bidang kerangka. agar titik bergerak translasi murni (tanpa rotasi), besar x adalah : m3
k sin 300
B
o
300 ½ m Student Centre
A
2m W
∑ τo = 0 → - W (3/2) + k sin 300 (5/2) = 0 k sin 300 =
3/ 2 150 N 5/ 2
k = 6/5 (150 N) = 180 N m1
m2 F
7. Tegangan tali T1 dan T2 jika titik A berada dalam kesetimbangan adalah …
W2 adalah berat beban yang tergantung T2
T1
30o
∑ F = 0 → FA + FB = W1 + W2
60o
FA + FB = 640 N ..........(1)
A
∑ τA = 0 W = 20 N
- W1 (½ L) – W2 (¾ L) + FB (L) = 0
3 L 1 L 2 FB = W1 + 4 W2 L L = ½ (200 N) + ¾ (440 N)
A. 10 √3 N dan 10 N B. 10 N dan 10 √3 N C. 5 √3 N dan 5 N D. 5 N dan 10 √3 N E. 5 N dan 10 N
FB = 430 N ..................................(2) (2) ke (1), didapat FA = 210 N
Jawaban : A
9. Gambar dibawah sebuah silinder pejal, massanya 4 kg dan berjari-jari 4 cm, didorong dengan gaya sebesar 120 N, maka besarnya percepatan yang dialami apabila ada gesekan, sehingga silinder mengge linding sempurna …. N
Gunakan dalil sinus T1
T2 0
90 120 1500 0
F
W T1 T2 W = = o o sin 120 sin 150 sin 90o
Ambil
░░░░░░░░░░░░░░░ W
T1 W = , maka di dapat o sin 120 sin 90o
sin 120o T1 = ( 20 N ) → T1 = 10 √3 N sin 90o sin 150o ( 20 N ) → T2 = 10 N T2 = sin 90o 8. Pada batang (panjang L) homogen seberat 200 N digantung beban 440 N (lihat gambar). Besar gaya yang dilakukan penyangga pada batang adalah : A
¼L
A. 10 m/dt2 B. 15 m/dt2 C. 20 m/dt2 Jawaban : C
Σ F = m a → F - fges = ma -----------------(1) Σ τ = I α → fges. R = kmR2
a R
fges = kma -------------------(2) Masukkan (2) ke (1), di dapat : F- kma = ma → a =
B
D. 30 m/dt2 E. 40 m/dt2
F m (k + 1)
Data dari soal m = 4 kg, k = 1/2 (silinder pejal) dan F = 120 N, maka : A. FA = 210 N ; FB = 330 N B. FA = 430 N ; FB = 210 N C. FA = 220 N ; FB = 440 N D. FA = 210 N ; FB = 430 N E. FA = 440 N ; FB = 200 N
a=
Jawaban : D A
½L
C
¼L W1
D ¼L
B
W2
FA
W1 adalah pusat berat batang
FB
120 m / dt 2 → a = 20 m/dt2 1 4 + 1 2
10. Tiga buah benda terletak pada sumbu koordinat xy seperti tampak pada gambar. Massa masing-masing benda mA = 1 kg, mB = 2 kg, dan mC = 3 kg. Momen inersia sistem jika sumbu putarnya adalah sumbu y adalah … A. 6 kg m2 D. 24 kg m2 B. 12 kg m2 E. 30 kg m2 2 C. 18 kg m
Y C• 3m
Y F1 = 8 N
A•
B•
F2 = 12 N
X
3m
-1
Jawaban : C Dari gambar apabila sumbu y dijadikan sumbu putar (poros), diperoleh jarak RA = 0, RB = 3 m dan RC = 0. Momen inersia sistem adalah I = mARA2 + mBRB2 + mCRC2 I = [1(0) + 2(3)2 + 3(0)] kg m2 = 18 kg m2
0
1
2
3
X
5. Sebuah tangga homogen AB yang panjangnya 5 m dan beratnya w. Ujung A disandarkan pada dinding licin dan ujung B bertumpu pada lantai kasar (lihat gambar). Jika tangga dalam keadaan seimbang, maka koefisien gesek antara lantai dan tangga besarnya … A 5m
=====O0O===== Soal-soal : 1. Keseimbangan sebuah benda ditentukan oleh : 1. Resultan gaya yang beraksi pada benda 2. Momen kelembaman benda 3. Resultan momen yang beraksi pada benda 4. Sifat-sifat dinamik benda Pernyataan yang benar ... A. 1,2 dan 3 D. 4 saja B. 1 dan 3 E. Semuanya C. 2 dan 4 2. T2 A
O A. 1 : 3 B. 3 : 2 C. 2 : 3
4m
D. 3 : 1 E. 4 : 1
6. Sebuah gaya F = 2i – 4j + 3k berada pada posisi r = 2i – 3j + 5k dari sumbu koordinat dengan i,j dan k menyatakan vektor satuan dalam arah sumbu x , y dan z, Vektor momen gayanya…. A. 4i – 11j + 2k D. -11i – 4j + 2k B. -2i + 4j - 11k E. 4i – 4j + 3k C. 11i + 4j - 2k F1 = 80 N
T1 B
C
B
D
7. A
B 2m
Sebuah balok mempunyai panjang 4 meter dan beratnya 100 N digantung seperti gambar diatas. Jika AB = ½ m, BC = 2m dan CD = 3/2 m. Perbandingan tegangan tali T1 dan T2 adalah : A. 1 : 3 B. 1 : 2 C. 2 : 1
D. 3 : 1 E. 4 : 1
3. Sebuah benda dikatakan berada dalam keadaan setimbang, apabila benda itu tidak memiliki A. kecepatan D. momentum B. energi potensial E. percepatan C. energi kinetik 4. Resultan kedua gaya sejajar yang terlihat pada diagram di bawah ini terletak pada x = A. 0,6 m D. 2,1 m B. –2,8 m E. 1,2 m C. 1,4 m
2m F2 = 120 N
F3 = 60 N
Perhatikan gambar diatas ! resultan gaya batang diatas adalah …… A. 100 N (ke atas) B.– 100 N (ke bawah) C. 80 N (ke atas) D. –160 N (ke bawah) E. –180 N (ke bawah) 8. Pengertian dibawah ini benar, kecuali …. A. kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan B. pengaruh kopel terhadap sebuah benda memungkinkan benda tersebut berotasi C. momen kopel adalah perkalian antara gaya dengan jarak antara kedua gaya tersebut D. momen kopel merupakan besaran skalar, akan bernilai positif bila arah putarannya searah dengan jarum jam
E. satuan momen kopel tidak dapat dituliskan joule meskipun dimensinya sama dengan energi 9. Sebuah cincin bermassa 20 gram berjarijari 3 cm seperti gambar, besarnya momen inersia adalah …
13. Koordinat titik berat bidang yang diarsir adalah ... Y 8
6
R
A. (1,68 , 2,88) B. (2,88 , 1,68) C. (3,83 , 4,65)
A. 200 x 10-5 kg m2 D. 18 x 10-5 kg m2 B. 180 x 10-5 kg m2 E. 1,8 x 10-5 kg m2 C. 60 x 10-5 kg m2 10. Batang bersandar pada dinding kasar (µ = 1/4) dan bertumpu pada lantai yang juga kasar seperti pada gambar. Bila diketahui AC = 5 m, CB = 3m, maka koefisien gesek di titik A adalah …. C
B
A. 4/7 B. 7/4 C. 3/7
D. 7/3 E. 2/7
11. Besar tegangan tali P adalah
14. Titik berat benda batang homogen yang bentuk dan posisinya diperlihatkan pada gambar di bawah adalah … y 40 cm 40 cm 40 cm 40 cm x D. (10,60) E. (20,60)
A. (10,50) B. (20,50) C. (50,10) 15. Koordinat adalah …
A
X D. (1,04 , 4,02) E. (5,78 , 3,86)
titik berat bidang berikut ini
…
r
450
r
2r π 3r B. π 4r C. π
5r π 6r E. π
D.
A.
P
w = 300 N A. 150 N B. 200 N C. 250 N
D. 300 N E. 350 N
16. Dua benda, masing-masing bermassa m1 = 4 kg dan m2 = 4 kg dihubungkan dengan katrol yang massanya 4 kg seperti pada gambar. Jika permukaan bidang miring AB licin, percepatan benda m1 dan m2 adalah …
12. P
Q
S
B m1
R
m2 Benda-benda yang mengalami keseimba ngan labil ialah ... A. P dan S B. Q dan S C. Q dan R
D. P, Q dan R E. P,Q dan S
300 A A. 1,0 m/dt2 B. 1,5 m/dt2 C. 2,0 m/dt2
C D. 2,2 m/dt2 E. 2,5 m/dt2
17. Sebuah cincin dengan massa 0,3 kg dan jari-jari 0,5 m menggelinding di atas permukaan bidang miring yang membentuk sudut 300 terhadap bidang horisontal. Cincin tersebut dilepas dari keadaan diamnya pada ketinggian 5 m secara tegak lurus dari bidang horisontal. Berapa kecepatan linear cincin tersebut sewaktu mencapai horisontal ? A. 2,5 m/s D. 5 √3 m/s B. 5 m/s E. 10 m/s C. 5 √2 m/s 18.
A
B.
(m 2 + m1 ) g
1 I 2 R2 (m 2 + m1 ) g C. I m1 + m 2 + 2 R (m 2 − m1 ) g D. I m1 + m 2 + 2 R (m 2 − m1 ) g E. I m1 + m 2 + 2 2 R m1 + m 2 +
=====O0O===== B Benda A adalah silinder pejal bermassa 8 kg, sedang benda B bermassa 3 kg, jika gesekan katrol diabaikan dan silinder A menggelinding sempurna, maka tegangan tali adalah … A. 10 N D. 20 N B. 14 N E. 24 N C. 18 N 19.
Sistem terdiri dari bola A, B dan C yang posisinya 600 seperti pada gambar 600 mengalami gerak rotasi. A Massa bola A, B dan C masing-masing 3 kg, 4 kg 0 dan 2 kg. Momen inersia 30 sistem tersebut jika BC = C 0,4 m adalah … 2 A. 0,04 kgm D. 0,28 kgm2 2 B. 0,18 kgm E. 0,96 kgm2 C. 0,24 kgm2
B
20. Dua benda bermassa m1 dan m2 dihubung kan oleh seutas tali ringan melalui dua buah katrol identik, tiap katrol memiliki momen inersia I. Jika m2 lebih besar dari dari m1, tentukan percepatan yang dialami tiap benda. T2 T1
T3
m1
A.
m2
(m 2 + m1 ) g m1 + m 2 + 2
I R2
