Les similitudes - Hachette

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On appelle similitude de rapport k toute transformation du ... Toute similitude f de rapport k multiplie les distances par k et les aires par k2 . .... Exercices 3 et 4 p.
p049-chap02.fm Page 49 Jeudi, 18. mai 2006 4:17 16

Les similitudes

2 CHAPITRE

1. Les similitudes planes 2. Classification des similitudes 3. Les similitudes directes 4. Les similitudes indirectes 5. Similitudes et configurations

p050-cours.fm Page 50 Vendredi, 19. mai 2006 9:18 09

1. Les similitudes planes 1. Définitions générales

Les similitudes

le cours

Définition Par une transformation, deux points distincts A et B ont donc des images A′ et B′ distinctes.

Une transformation du plan P est une bijection du plan P dans lui-même. Si on note T une transformation du plan P , alors T vérifie : • à tout point M du plan est associé un unique point noté T ( M ) ; • pour tout point N du plan il existe un unique point M tel que T ( M ) = N . Notation : La transformation réciproque de la transformation T est notée T – 1 . Définition

Soit k un réel strictement positif. On appelle similitude de rapport k toute transformation du plan qui multiplie les distances par k . On a aussi : M′N′ k = -------------- , MN avec M ≠ N .

Autrement dit, quels que soient les points M et N d’images respectives M′ et N′ , on a : M′N′ = kMN . k est appelé le rapport de la similitude. Conséquence

Toute similitude f de rapport k multiplie les distances par k et les aires par k2 . Exemple : Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k . Définition

Une similitude de rapport 1 est une isométrie. Les isométries sont des transformations qui conservent les distances.

Exemple : L’identité, les translations, les rotations et les réflexions sont des isométries.

2. Propriétés des similitudes planes Propriété

L’image d’un triangle par une similitude est un triangle semblable. Démonstration : Soit A , B et C trois points distincts d’images respectives A′ , B′ et C′ par une similitude de rapport k . On a : A′B′ = kAB , A′C′ = kAC et B′C′ = kBC . A′B′ A′C′ B′C′ Par suite ----------- = ------------ = ----------- = k , d’où les triangles ABC et A′B′C′ sont semblables. AB AC BC Conséquence

Comme les triangles ABC et A′B′C′ sont semblables, leurs angles géométriques ont même mesure. En général, la composition des similitudes n’est pas commutative : s′os ≠ sos′ .

Propriété

Les similitudes conservent les mesures d’angles géométriques. L’image d’un triangle par une isométrie est un triangle isométrique.

Démonstration p. 60 c

Propriétés

Soit k et k′ deux réels strictement positifs. • La transformation réciproque d’une similitude de rapport k est une similitude de rapport • La composée de deux similitudes de rapport k et k′ est une similitude de rapport kk′

50

1 --- . k .

p051-applications.fm Page 51 Vendredi, 19. mai 2006 9:36 09

Reconnaître une similitude en utilisant la définition •

Montrer que les transformations s et s′ d’écriture complexe respective : et z′ = ( 1 + i )z – 2 + 3i z′ = 2iz – 3 sont des similitudes dont on précisera le rapport.

Solution Soit A ( a ) et B ( b ) deux points distincts et A′ ( a′ ) et B′ ( b′ ) leurs images par s . On a a′ = 2ia – 3 et b′ = 2ib – 3 , d’où : b′ – a′ = 2ib – 3 – ( 2ia – 3 ) = 2i ( b – a ) . On en déduit que b′ – a′ = 2i b – a = 2 b – a . Par suite A′B′ = 2 AB . s est une similitude de rapport 2.

• Soit A ( a ) et B ( b ) deux points distincts, et A′ ( a′ ) et B′ ( b′ ) leurs images par s′ . On a : a′ = ( 1 + i )a – 2 + 3i et b′ = ( 1 + i )b – 2 + 3i , d’où b′ – a′ = ( 1 + i )b – 2 + 3i – ( ( 1 + i )a – 2 + 3i )

= ( 1 + i ) ( b – a ) = ( 1 + i )b – a . On en déduit que b′ – a′ = ( 1 + i )b – a = 1 + i b – a , car z = z = 2 b – a , d’où b′ – a′ = 2 b – a . Par suite A′B′ = 2 AB . Donc s′ est une similitude de rapport 2 . c

Exercice 1 p. 66

2 applications

Les similitudes



Reconnaître des triangles semblables •

ABC est un triangle de sorte que A l’angle A soit aigu. Les points C B′ et C′ sont les pieds des hauB’ teurs issues de B et C dans le B triangle ABC . C’ 1. Montrer que les triangles ABB′ et ACC′ sont semblables. 2. Sachant que AB = 5 , AC = 10 et AC′ = 8 , déterminer le rapport de similitude qui transforme le triangle ABB′ en ACC′ . En déduire la longueur AB′ .

Deux triangles sont semblables : • s’ils ont deux mesures d’angles égales ; • ou s’ils ont des côtés de longueurs proportionnelles ; • ou s’ils ont une mesure d’angle égale compris entre deux longueurs de côtés proportionnelles.

Solution 1. BAB′ = C′AC (angle commun) AB′B = AC′C = 90° . et Donc les triangles ABB′ et ACC′ ont des angles de même mesure. Par suite, les triangles ABB′ et ACC′ sont semblables. 2. Les correspondances sont : A

B′

B

A

C′

C

CC′ AC′ AC 10 Le rapport de similitude est ---------- = ---------- = -------- = ------ = 2 . BB′ AB′ AB 5 8 AC′ Comme ---------- = 2 , alors --------- = 2 , d’où AB′ = 4 . AB′ AB′ c

Exercice 2 p. 66



Déterminer l’écriture complexe d’une transformation •

1. Déterminer l’écriture complexe de la transforma-

Donc l’écriture complexe de s – 1 est :

tion réciproque de la similitude s d’écriture complexe z′ = 2iz – 3 . 2. Déterminer l’écriture complexe de s′′  s avec s et s′′ d’écriture complexe respective : z′ = 2iz – 3 et z′ = ( 1 + i )z – 2 + 3i .

1 3 z′ = – --- iz – --- i . 2 2 2. On a déjà montré que s est une similitude de rapport 2 et s′ une similitude de rapport 2 ; donc s′  s est une similitude en tant que composée de deux similitudes de rapport 2 2 . z  2iz – 3  ( 1 + i ) ( 2iz – 3 ) – 2 + 3i .

Solution 1. On a déjà montré que s est une similitude de rapport 1 2 donc s – 1 est une similitude de rapport --- . 2 Comme z′ = 2iz – 3 , alors 2iz = z′ + 3 soit : 1 3 z′ + 3 – i ( z′ + 3 ) z = ------------- = ------------------------ = – --- iz′ – --- i . 2 2 2i 2

D’où

z′ = ( 1 + i ) ( – 2iz – 3 ) – 2 + 3i = ( – 2i + 2 )z – 3 – 3i – 2 + 3i = ( 2 – 2i )z – 5 . c Exercices

3 et 4 p. 66

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p052-cours.fm Page 52 Vendredi, 19. mai 2006 9:40 09

2. Classification des similitudes 1. Étude des points invariants Propriété :

Toute similitude plane qui fixe trois points distincts non alignés est l’identité.

Les similitudes

le cours

Démonstration : Soit A , B et C trois points distincts non alignés tels que : S ( A ) = A , S ( B ) = B et S ( C ) = C , avec S une similitude plane. AB Le rapport de la similitude est -------- = 1 , donc S est une isométrie. AB On suppose que M est un point du plan tel que S ( M ) = M′ , avec M ≠ M′ . Comme S est une isométrie , S conserve les distances, donc : AM = AM′ ; BM = BM′ et CM = CM′ . Les points A , B et C sont équidistants des points M et M′ ; par suite A , B et C sont sur la médiatrice de [ MM′ ] . Ceci contredit l’hypothèse que A , B et C ne sont pas alignés. Donc l’hypothèse M ≠ M′ est fausse. Pour tout point M du plan, on a S ( M ) = M , donc S = Id .

Toute similitude plane qui fixe deux points A et B distincts est soit l’identité, soit une réflexion d’axe ( AB ) .

Propriété :

La réflexion d’axe ( AB ) s’appelle aussi symétrie orthogonale d’axe ( AB ) .

Démonstration : Soit A et B deux points distincts tels que S ( A ) = A et S ( B ) = B où S est une AB ne similitude plane. Le rapport de la similitude est -------- = 1 , donc S est une isométrie. AB On considère un point C ∉ ( AB ) tel que S ( C ) = C′ . • Si C′ = C , alors S fixe trois points non alignés, donc S = Id . • Si C′ ≠ C , et comme S est une isométrie, alors AC′ = AC et BC′ = BC . A Donc la droite ( AB ) est la médiatrice du segment [ CC′ ] . On considère la réflexion d’axe ( AB ) que l’on note s . C’ On constate que la similitude s  S (on peut même dire l’isométrie) vérifie : C • s  S ( A ) = s ( A ) = A , car A ∈ ( AB ) ; B • s  S ( B ) = s ( B ) = B , car B ∈ ( AB ) ; • s  S ( C ) = s ( C′ ) = C , car ( AB ) est la médiatrice de [ CC′ ] . Par suite, s  S est une similitude qui fixe trois points distincts non alignés, donc s  S = Id . Comme s  s = Id , on a s  s  S = s  Id qui conduit à S = s .

2. Par les angles Définition

Une similitude plane directe conserve les angles orientés. Une similitude plane indirecte transforme un angle orienté en son opposé. L’identité, les translations, les homothéties et les rotations sont des similitudes directes et les réflexions sont des isométries indirectes.

Propriétés

• La composée des deux similitudes planes directes ou de deux similitudes planes indirectes est une similitude directe. • La composée d’une similitude plane directe et d’une similitude indirecte est une similitude indirecte. • La réciproque d’une similitude plane directe (respectivement indirecte) est une similitude plane directe (respectivement indirecte). Définition

• L’image d’un triangle par une similitude directe est un triangle directement semblable. • L’image d’un triangle par une similitude indirecte est un triangle indirectement semblable.

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p053-applications.fm Page 53 Vendredi, 19. mai 2006 9:44 09

Reconnaître une similitude en utilisant l’ensemble de ces points invariants A

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère la transformation s d’écriture complexe :

1 z′ = --- [ ( – 4 – 3i )z + 6 + 2i ] , 5 et les points I et J d’affixes respectives 2i et 1 – i .

1. Montrer que s est une similitude dont on déterminera un rapport. 2. Déterminer les images des points I et J par s . Que peut-on en déduire ? Solution 1. Soit A ( a ) et B ( b ) deux points quelconques dis-

tincts et A′ ( a′ ) et B′ ( b′ ) leurs images par s :

1 a′ = --- [ ( – 4 – 3i )a + 6 + 2i ] 5 1 et b′ = --- [ ( – 4 – 3i )b + 6 + 2i ] , 5 1 – 4 – 3i d’où b′ – a′ = --- ( – 4 – 3i ) ( b – a ) = ------------------ b – a . 5 5 4 – 3i b – a = b – a . b′ – a′ = –----------------5

B

Par suite A′B′ = AB . Donc s est une similitude de rapport 1 : s est une isométrie. 2. L’affixe du point image du point I par s est :

1 z′ = --- [ ( – 4 – 3i )2i + 6 + 2i ] 5 1 = --- ( 8i – 6 + 6 + 2i ) 5 = 2i . L’affixe du point image du point J par s est : 1 z′ = --- [ ( – 4 – 3i ) ( 1 – i ) + 6 + 2i ] 5 1 = --- [ ( – 4 – 3i ) ( 1 + i ) + 6 + 2i ] 5 1 = --- ( – 4 – 4i – 3i + 3 + 6 + 2i ) 5 1 = --- ( 5 – 5i ) = 1 – i . 5 Donc s ( I ) = I et s ( J ) = J ; s admet deux points distincts invariants I et J et s ≠ Id (car par exemple s ( O ) ≠ O ). D’où s est la réflexion d’axe ( IJ ) . c Exercices

6 et 7 p. 66

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère la transformation T qui à tout point M de coordonnées ( x ; y ) associe le point M′ de coordonnées ( x′ ; y ′ ) vérifiant :

Donc T est une similitude de rapport 1 ; T est une isométrie. 2. On doit comparer ( AB ; A C ) et ( A′B′ ; A ′ C ′ ) .

 x′ = y – 2   y′ = x + 2 . 1. Montrer que T est une similitude dont on déterminera un rapport. 2. T est-elle une similitude directe ou indirecte ? 3. Déterminer l’ensemble des points invariants par T . Que peut-on en déduire quant à la nature de T ?

i c – 2 + 2i – ( i a – 2 + 2i ) = arg  -------------------------------------------------------------- [ 2  ]  i b – 2 + 2i – ( i a – 2 + 2i ) 

Solution 1. Soit M et M′ deux points d’affixes respectives : et z = x + iy z′ = x′ + iy′ , avec x , y , x′ et y′ réels.

z′ = x′ + iy′ = y – 2 + i ( x + 2 ) = ix + y – 2 + 2i = iz – 2 + 2i . Soit A ( a ) , B ( b ) et C ( c ) , trois points quelconques distincts d’images respectives A′ ( a′ ) , B′ ( b′ ) et C′ ( c′ ) .

A′B′ = b′ – a′ = i ( b – a ) = ( b – a = AB ) .

2 applications

Les similitudes

c′ – a′ ( A′B′ ; A ′ C ′ ) = arg  ---------------- [ 2  ]  b′ – a′ 

i(c – a) c–a = arg  ------------------ = arg   ------------  [ 2  ]  i ( b – a )   b – a  c–a = – arg  ------------ [ 2  ]  b – a car arg ( z ) = – arg ( z ) = – (AB ; AC ) [2] . T est une similitude indirecte de rapport 1. 3. Un point M ( x ; y ) est invariant par T si et seulement si x′ = x et y′ = y , d’où : x = y – 2 y = x + 2 soit   y = x + 2 , y = x + 2 . Donc T admet une droite invariante  d’équation y=x+2 . Par suite T est la réflexion d’axe  . c

Exercice 8 p. 66

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p054-cours.fm Page 54 Vendredi, 19. mai 2006 9:47 09

3. Les similitudes directes Démonstration p. 60 c

Propriété

Considérons une similitude directe s et A et B deux points distincts d’images respectives A′ et B′ . Pour tout point M d’image M′ par s , on a ( AM ; A ′ M ′ ) = ( A B ; A ′ B ′ ) .

Les similitudes

le cours

L’angle ( AB ; A ′ B ′ ) est appelé l’angle de similitude. Propriété caractéristique

Une transformation s est une similitude directe si, et seulement si, son écriture complexe est de la forme z′ = az + b , où a ∈ * et b ∈  . Le rapport de la similitude est a et son angle est arg ( a ) . Démonstration :  Soit s une similitude directe de rapport k . Les points O , I et M d’affixes respectives 0, 1 et z ont pour image respective O′ ( o′ ) , I′ ( p ) et M′ ( z′ ) par une similitude directe s .

 O′M′ O′I′  ------------- = ---------OI Comme  OM , on en déduit  ( OM ; O ′ M ′ ) = ( OI ; O ′ I ′ ) 

 z′ – o′ p – o′  --------------- = -------------z – 0 1–0   p – o′ z′ – o′  arg  -------------- = arg  -------------- [ 2 ]  1 – 0  z–0  

z′ – o′ d’où --------------- = p – o′ , soit z′ = ( p – o′ )z + o′ . On pose a = p – o′ et b = o′ . z De plus O ≠ I , donc O′ ≠ I′ et par suite a ≠ 0 . On obtient : z′ = az + b , avec a ∈ * et b ∈  . O′I′ De plus, le rapport de s est ---------- = p – o′ = a et l’angle de s est : OI ( OI ; O ′ I ′ ) = arg ( p – o ′ ) = arg ( a ) [ 2  ] . Réciproquement, soit une transformation s d’écriture complexe z′ = az + b , où a ∈ * et b ∈  . Les points M ( z M ) et N ( z N ) d’images respectives M′ ( z M′ ) et N′ ( z N′ ) par s . • M′N′ = z N′ – z M′ = az N + b – ( az M + b ) = a ( z N – z M ) = a z N – z M = a MN . Donc s est une similitude de rapport a . • On montre alors que s est une similitude directe. Soit les quatre points distincts M ( z M ) , N ( z N ) , P ( z P ) et Q ( z Q ) d’images respectives M′ ( z M′ ) , N′ ( z N′ ) , P′ ( z P′ ) et Q′ ( z Q′ ) par s . 

zQ ′ – zP ′ ( M′N′ ; P ′ Q ′ ) = arg  --------------------- = arg  zN′ – zM′  zQ – zP = arg  ------------------ = ( M N  z N – z M

az Q + b – az P – b   ------------------------------------------ [2]  az N + b – az M – b ; PQ) [2] .

s conserve les angles orientés, donc s est une similitude directe. De plus :

zN′ – zM′ az N + b – az M – b ( MN ; M ′ N ′ ) = arg  --------------------- = arg  ------------------------------------------- [ 2  ]  zN – zM    zN – zM a( zN – zM ) = arg  -------------------------- = arg ( a ) [ 2  ] .  zN – zM  Finalement, s est une similitude directe de rapport a et d’angle arg ( a ) . Propriété

La composée de deux similitudes d’angle  et ′ est une similitude d’angle  + ′ .

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p055-applications.fm Page 55 Vendredi, 19. mai 2006 9:49 09

Utiliser l’écriture complexe d’une similitude directe •

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère la transformation S d’écriture complexe : z′ = ( 1 – i 3 )z + 2 . 1. Déterminer la nature de S et déterminer son rapport et son angle. 2. Déterminer l’affixe du point C image par S du point A ( 2 – i 3 ) . 3. Calculer l’affixe du point B tel que S(B) = O .

4. Quelle est l’affixe du point image par S du 2 3 point D  – ---------- i ?  3 

 d’où arg ( a ) = – ---- [ 2 ] . 3  S est une similitude directe de rapport 2 et d’angle – ---- . 3 2. L’affixe de l’image du point A est : z′ = ( 1 – i 3 ) ( 2 – i 3 ) + 2 = 2 – i 3 – 2i 3 – 3 + 2 = 1 – 3i 3 . L’image du point A par S est le point C d’affixe 1 – 3i 3 . 3. L’affixe zB du point B vérifie 0 = ( 1 – i 3 )z B + 2 , d’où :

2 applications

Les similitudes

3 1 –2 – 2(1 + i 3) z B = ------------------ = ---------------------------------------------- = – --- – ------- i . 2 2 1 – i 3 (1 – i 3)(1 + i 3)

4. L’affixe de l’image du point D par S est : Solution 1. L’écriture complexe de S est de la forme : z′ = az + b , avec a ≠ 0 , donc S est une similitude directe de rapport a et d’angle arg ( a ) [ 2 ] .  – i ---Or, a = 1 – i 3 = 2 et 1 – i 3 = 2e 3 ,

2 3 z′ = ( 1 – i 3 )  – ---------- i + 2  3  2 3 2 3 = – ---------- i – 2 + 2 = – ---------- i . 3 3 L’image du point D par S est D . c

Exercice 9 p. 66



Déterminer l’écriture complexe de composées •

On considère les points A et B d’affixes respectives – 4 + i et 1 – i ; h est l’homothétie de centre A et de rapport – 2 ,  r est la rotation de centre B et d’angle – ---2 et t est la translation de vecteur AB .

1. Déterminer les écritures complexes de h , r et t . 2. Déterminer la nature de la transformation

r  t  h et son rapport. Quelle est l’image de A par r  t  h ? 3. Déterminer l’écriture complexe de r  t  h et en déduire l’angle de la similitude.

Solution 1. L’écriture complexe de l’homothétie h est : z′ = – 2 [ z – ( – 4 + i ) ] + ( – 4 + i ) . D’où l’écriture complexe de l’homothétie h est : z′ = – 2z – 12 + 3i . L’écriture complexe de la rotation r est : z′ = – i ( z – ( 1 – i ) ) + 1 – i .

D’où l’écriture complexe de la rotation r est : z′ = – iz + 2 . L’écriture complexe de la translation t est : z′ = z + 5 – 2i . 2. r  t  h est une similitude directe comme composée de trois similitudes directes de rapport 2 × 1 × 1 = 2 . Donc r  t  h est une similitude directe de rapport 2. • r  t  h( A) = r  t ( A) car A est le centre de l’homothétie h . • r  t  h( A) = r ( B) car t est la translation de vecteur AB . • r  t  h( A) = B car B est le centre de la rotation r . L’image de A par r  t  h est le point B .

3. z  – 2z – 12 + 3i  – 2z – 12 + 3i + 5 – 2i  – i ( – 2z – 7 + i ) + 2 . D’où l’écriture complexe de r  t  h est : z′ = 2iz + 7i + 1 + 2 soit z′ = 2iz + 3 + 7i .

c

Exercice 10 p. 66

 55

p056-cours.fm Page 56 Vendredi, 19. mai 2006 9:51 09

● Détermination

d’une similitude directe – Forme réduite

Soit les points A , B , A′ et B′ tels que A ≠ B et A′ ≠ B′ . Il existe une unique similitude s plane directe telle que s ( A ) = A′ et s ( B ) = B′ .

Propriété :

Les similitudes

le cours

Démonstration : On note z A , z B , z A′ et z B′ les affixes respectives des points A , B , A′ et B′ dans le plan complexe. On considère la similitude directe s d’écriture complexe z′ = az + b . Si s ( A ) = A′ , alors z A′ = az A + b , et si s ( B ) = B′ , alors z B′ = az B + b . Il faut maintenant prouver l’existence et l’unicité des complexes a et b .  z A′ = az A + b  b = z A′ – az A  b = z A′ – az A Comme  alors  d’où   z B′ = az B + b ,  z B′ = az B + z A ′ – az A ,  a ( zB – z A ) = zB ′ – z A ′ . Comme A ≠ B , alors z A ≠ z B et par suite z B – z A ≠ 0 . z B′ – z A′ D’où a = ------------------. De plus, A′ ≠ B′ , donc z B′ – z A′ ≠ 0 et par suite a ≠ 0 . zB – z A z B′ – z A′ Et b = z A′ –  ------------------- z A . Les complexes a et b existent et sont uniques.  zB – z A 

A′B′ Conséquence : Cette similitude a pour rapport ----------- et l’angle est ( AB ; A ′ B ′ ) . AB Démonstration p. 60 c

Un point  est un point invariant par une transformation T si, et seulement si, T() =  .

La translation est une similitude d’angle nul.

Propriétés

Forme réduite d’un similitude directe Soit s une similitude directe d’écriture complexe z′ = az + b , où a ∈ * et b ∈  . 1. Si a = 1 , alors s est une translation de vecteur u d’affixe b . b 2. Si a ≠ 1 , alors s admet un unique point invariant  d’affixe  = ------------ et s est la com1 – a posée dans un ordre indifférent de : • l’homothétie de centre  et de rapport a ; • et la rotation de centre  et d’angle arg ( a ) [ 2 ] . L’écriture complexe de s est alors z′ = a e i arg ( a ) ( z –  ) +  . On dit que  est le centre de la similitude directe. ● Caractérisation

d’une similitude directe

Propriétés On peut noter s par S (  ; k ;  ) et la similitude réciproque est S – 1 1 .   ; --- ; –    k

Dans le plan orienté, on considère une similitude directe de centre  de rapport k et d’angle  . • s() =  . • Pour tout point M ≠  , on a s ( M ) = M′ équivaut à :

M’

  M′ = k  M  (M ; M′) =  [2] . Démonstration : Ce résultat découle immédiatement de l’écriture complexe de la forme réduite. Propriété caractéristique

Pour tous points A et B d’images respectives A′ et B′ par S ( k ;  ) , on a :  A′B′ = kAB   ( AB ; A ′ B ′ ) =  [ 2  ] . Définition : Démonstration p. 60 c

56

Propriété :

Toute similitude directe de rapport 1 est appelée déplacement. Tout déplacement est soit une translation soit une rotation.

M

p057-applications.fm Page 57 Vendredi, 19. mai 2006 1:20 13

Déterminer l’écriture complexe d’une similitude directe A

Dans le plan complexe, on considère les points A , B , A′ et B′ d’affixes : A ( 1 + i ) , B ( – 3 + 2i ) , A′ ( 5 – i ) et B′ ( – 1 + 9i ) . Démontrer qu’il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B′ . Donner son écriture complexe et en déduire ses éléments caractéristiques.

 – i ---2e 4

Solution Comme A ≠ B et A′ ≠ B′ , il existe une unique similitude directe s transformant A en A′ et B en B′ . L’écriture complexe d’une similitude directe est de la forme z′ = az + b , avec a ≠ 0 .

 s ( A ) = A′ a(1 + i) + b = 5 – i ⇔    s ( B ) = B′  a ( – 3 + 2i ) + b = – 1 + 9i .

B

b = 5 – i – a(1 + i) soit   a ( 4 – i ) = 6 – 10i  6 – 10i  a = ----------------- = 2 – 2i 4–i d’où   b = 5 – i – ( 2 – 2i ) ( 1 + i ) = 1 – i .  Ainsi s a pour écriture complexe : z′ = ( 2 – 2i )z + 1 – i .

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère la transformation T qui à tout point M ( x ; y ) associe le point M′ de coordonnées ( x′ ; y ′ ) vérifiant :

 x′ = – 3x + 1   y′ = – 3y + 1 . Montrer que T est une similitude directe dont on déterminera les éléments caractéristiques.

Solution

De plus, a = 2 – 2i = 2 2 et a = 2 . On détermine l’affixe du centre : 3 1 1–i 1–i  = --------------------------- d’où  = ------------------ = – --- – --- i . 5 5 1 – ( 2 – 2i ) – 1 + 2i 3 1 Donc s est la similitude de centre   – --- – --- i , de  5 5   rapport 2 2 et d’angle – ---- . 4 c Exercice 11 p. 66

2 applications

Les similitudes

z′ = x′ + iy′ = ( – 3x + 1 ) + i ( – 3y + 1 ) = – 3 ( x + iy ) + 1 + i = – 3z + 1 + i . Donc z′ = – 3z + 1 + i : on reconnaît l’écriture d’une similitude directe. 1+i 1 De plus, – 3 = 3e i et  = ------------ = --- ( 1 + i ) . 1+3 4 1 1 Par suite, T est la similitude de centre   --- + --- i , de 4 4  rapport 3 et d’angle  ou encore T est l’homothétie de centre  et de rapport – 3 .

On note z et z′ les affixes respectives des points M et M′ , avec z = x + iy et z′ = x′ + iy′ .

c

Exercice 12 p. 66



Reconnaître une similitude directe liée à une configuration plane •

Dans le plan orienté, on considère le D C carré ABCD direct de centre O . 1. Déterminer les éléments caractéO ristiques de la similitude directe S de centre A qui transforme B en O . A B 2. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe S′ qui transforme B en O et A en D .

Solution Dans un carré de côté a , la diagonale a pour longueur a 2 .

AO AB

1 2

AC AB

1 2

AB 2 AB

2 2

1. Rapport de S : -------- = --- × -------- = --- × --------------- = ------- .

 Angle de S : ( AB ; A O ) = ---- . 4 D’où S est la similitude directe de centre A de rapport  2 ------- et d’angle ---- . 2 4 AB 2 AB  Angle de S′ : ( BA ; O D ) = ( B A ; B D ) = – ---- . 4 OD AB

1 2

BD AB

1 2

2 2

2. Rapport de S′ : --------- = --- × -------- = --- × --------------- = ------- .

2 D’où S′ est la similitude directe de rapport ------- et 2  d’angle – ---- . 4 c

Exercice 13 p. 66

 57

p058-cours.fm Page 58 Vendredi, 19. mai 2006 10:21 10

4. Les similitudes indirectes Propriété

Les similitudes

le cours

Toute similitude plane indirecte est la composée d’une similitude directe et d’une réflexion. 1. La décomposition d’une similitude indirecte n’est pas unique. 2. Lorsqu’une transformation f vérifie f  f = Id , on dit que f est une involution.

Démonstration : On considère une similitude indirecte s et s la réflexion d’axe  . On pose s′ = s  s  . • s′ est une similitude directe comme composée de deux similitudes indirectes. • Comme s′ = s  s  , on a s′  s  = s  s   s  . Or s   s  = Id , donc s = s′  s  . Propriété caractéristique

Une transformation s est une similitude indirecte si, et seulement si, son écriture complexe est de la forme z′ = az + b , où a ∈ * et b ∈  . Le rapport de la similitude est a . Démonstration :  On considère une similitude indirecte s . D’après la propriété précédente, on peut décomposer s sous la forme s = s′  s  , avec s  réflexion d’axe  quelconque. On choisit pour  l’axe des abscisses. L’écriture complexe de la réflexion d’axe  est z  z . L’écriture complexe de la similitude directe est de la forme z  az + b , avec a ∈ * et b ∈  . Par composition des écritures complexes, l’écriture complexe d’une similitude indirecte est : z′ = az + b , où a ∈ * et b ∈  .  Réciproquement, on considère une transformation s d’écriture complexe z′ = az + b , où a ∈ * et b ∈  . Et soit les points M ( z M ) et N ( z N ) d’images respectives M′ ( z M′ ) et N′ ( z N′ ) par s . • M′N′ = z N′ – z M′ = az N + b – ( az M + b ) = a ( z N – z M ) = a z N – z M = a z N – z M = a MN car z = z . Donc s est une similitude de rapport a . • Soit les quatre points distincts M ( z M ) , N ( z N ) , P ( z P ) et Q ( z Q ) d’images respectives M′ ( z M′ ) , N′ ( z N′ ) , P′ ( z P′ ) et Q′ ( z Q′ ) par s :

zQ ′ – zP ′ a zQ + b – a zP – b ( M′N′ ; P ′ Q ′ ) = arg  --------------------- = arg  -------------------------------------------  z N ′ – z M ′  a z N + b – a z M – b Les réflexions sont des antidéplacements, mais ce ne sont pas les seules…

zQ – zP zQ – zP = arg  ------------------ = – arg  ------------------ = – ( M N ; P Q ) [ 2  ]  z N – z M  z N – z M s transforme un angle orienté en son opposé, donc s est une similitude indirecte. Définition :

Toute similitude indirecte de rapport 1 est appelée antidéplacement.

5. Similitudes et configurations Toute similitude plane directe est soit une translation, soit la composée d’une homothétie et d’une rotation. Toute similitude plane indirecte est la composée d’une similitude directe et d’une réflexion. En utilisant les propriétés des homothéties, des translations, des rotations et des réflexions, on obtient les propriétés suivantes. Propriétés

• Toute similitude f conserve l’alignement, l’orthogonalité, le parallélisme, les intersections et le barycentre. • Toute similitude f transforme une droite en une droite, un segment en un segment, un cercle de centre O et de rayon r en un cercle de centre f ( O ) et de rayon kr où k est le rapport de la similitude.

58

p059-applications.fm Page 59 Vendredi, 19. mai 2006 10:35 10

Décomposer une similitude indirecte •

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , on considère une similitude indirecte s d’écriture complexe z′ = ( 3 + i )z . 1. Démontrer que S = s  s  où s est la réflexion d’axe ( O ; u ) et s une similitude directe dont on donnera les éléments caractéristiques. 2. Déterminer l’image de la droite ( AB ) où A et B sont les points d’affixe respective 3 + i et – i .

Solution 1. Au point M d’affixe z on associe le point M1

d’affixe z par la réflexion d’axe ( O ; u ) , puis en utilisant la similitude directe d’écriture complexe : Z = ( 3 + i )z , on obtient le point M′ d’affixe z′ .

 i ---2e 6

Or . 3 + i = 2 et 3 + i = Donc S = s  s  où s est la réflexion d’axe ( O ; u ) et s est la similitude directe de centre O , de rapport 2 et  d’angle ---- . 6 2. L’affixe de l’image du point A par S est :

( 3 + i)( 3 + i) = ( 3 + i)( 3 – i) = 4 . On note A′ ( 4 ) . L’affixe de l’image du point B par S est : ( 3 + i ) ( – i ) = ( 3 + i )i = – 1 + i 3 . On note B′ ( – 1 + i 3 ) . L’image de la droite ( AB ) par S est la droite ( A′B′ ) . c

Exercice 14 p. 66

2 applications

Les similitudes



Utiliser une similitude pour déterminer un lieu géométrique •

Dans le plan orienté, on considère deux points distincts A et B . On considère la rotation R1 de centre A et d’angle   ---- et la rotation R2 de centre B et d’angle – ---- . 2 2 On note M′ l’image du point M par R 2  R 1 . 1. Déterminer l’écriture complexe de R 2  R 1 et en déduire la nature et les éléments caractéristiques de R2  R1 . 2. Déterminer et construire l’ensemble  décrit par le point M′ quand M décrit le cercle de diamètre [ AB ] . 3. Que peut-on conclure pour R 2  R 1 si les rotations R1 et R2 sont des rotations d’angles respectifs  et –  (  ≠ 0 ) ?

La partie réelle de b + ib n’est pas nécessairement b . En effet, b ∈  : ce n’est donc pas nécessairement un réel. En se plaçant dans le repère ( O ; u, v ) , si A ( z A ) et B ( z B ) , alors R 2  R 1 est la translation de vecteur d’affixe : zB – zA + i ( zB – zA ) .

2. Si M décrit le cercle de diamètre [ AB ] , alors M′ décrit le cercle de diamètre [ R 2  R 1 ( A ) ; R 2  R 1 ( B ) ] . En notant R 2  R 1 ( A ) = A′ et R 2  R 1 ( B ) = B′ , M′ décrit le cercle de diamètre [ A′B′ ] . B1 A’ A

Solution 1. On se place dans le repère orthonormal ( A ; u, v ) . On note 0 et b les affixes respectives des points A et B . L’écriture complexe de R1 est :  i ----

z′ = e 2 , soit z′ = iz . L’écriture complexe de R2 est :  – i ----

z′ = e 2 ( z – b ) + b , soit z′ = – iz + ib + b . L’écriture complexe de R 2  R 1 est : z′ = – i ( iz ) + ib + b , soit z′ = z + ib + b . Donc R 2  R 1 est la translation de vecteur u d’affixe b + ib .

B’ B

Donc  est le cercle de diamètre [ A′B′ ] . 3. L’écriture complexe de R1 est alors : z′ = e i z . L’écriture complexe de R2 est : z′ = e – i z – be – i + b . L’écriture complexe de R 2  R 1 est :

z′ = e – i ( e i z ) – be – i + b

Donc R 2  R 1

= e i (  –  ) z – be – i + b z′ = z – be – i + b . c Exercice 15 p. 67 est une translation.

 59

p060-demonstration.fm Page 60 Vendredi, 19. mai 2006 10:26 10

LES QUESTIONS DE COURS

les

démonstrations

Les similitudes

Propriété

Propriété Soit k et k′ deux réels strictement positifs. • La transformation réciproque d’une similitude de rapport k est une similitude 1 de rapport --- . k • La composée de deux similitudes de rapport k et k′ est une similitude de rapport kk′ .

Soit s une similitude directe d’écriture complexe z′ = az + b ( a ∈ C*, b ∈ C ) . ( 1 ) Si a = 1 , alors s est la translation de vecteur u d’affixe b . ( 2 ) Si a ≠ 1 , alors s admet un unique b point invariant  d’affixe  = ------------ et s 1–a est la composée dans un ordre indifférent de l’homothétie de centre  et de rapport a et de la rotation de centre  et d’angle arg ( a ) [ 2 ] . L’écriture complexe de s est alors : z′ = a e i arg ( a ) ( z –  ) +  .

■ Démonstration Soit s une similitude de rapport k ( k > 0 ) et s – 1 sa similitude réciproque. Pour tout couple ( M′ ; N ′ ) du plan, en notant M = s – 1 ( M′ ) et N = s – 1 ( N′ ) :

Donc s – 1

1 M′N′ = kMN , donc MN = --- M′N′ . k 1 est une similitude de rapport --- . k

1 En considérant les similitudes ●

s et s′ de rapports respectifs k et k′ ( k et k′ étant des réels strictement positifs), montrer que s  s′ est une similitude de rapport kk′ .

2 Montrer que : ●

• la composée des deux similitudes planes directes (respectivement indirectes) est une similitude directe ; • la composée d’une similitude plane directe et d’une similitude indirecte est une similitude indirecte ; • la réciproque d’une similitude plane directe (respectivement indirecte) est une similitude plane directe (respectivement indirecte).

■ Démonstration Soit le point M ( z ) d’image M′ ( z′ ) par la similitude s . (1) Si a = 1 , alors z′ = z + b , soit z′ – z = b . Donc M′ est l’image de M par la translation de vecteur u d’affixe b . (2) Si a ≠ 1 , alors les affixes des éventuels points invariants vérib fient  = a  + b , soit ( 1 – a )  = b . a ≠ 1 , donc  = ------------ . 1–a Le point  (  ) est l’unique point invariant de la similitude s . z′ –  = az + b – ( a  + b ) = a ( z –  ) . D’où z′ = a e i arg ( a ) ( z –  ) +  ( 1 ) . • L’écriture complexe de l’homothétie h de centre  et de rapport a est z′ = a ( z –  ) +  . • L’écriture complexe de la rotation r de centre  et d’angle arg ( a ) est z′ = e i arg ( a ) ( z –  ) +  . • L’écriture complexe de la composée h  r est :

z′ = a ( ( e i arg ( a ) ( z –  ) +  ) –  ) +  . = a e i arg ( a ) ( z –  ) +  . • L’écriture complexe de la composée r  h est : z′ = e i arg ( a ) ( a ( z –  ) +  –  ) +  . D’où z′ = a e i arg ( a ) ( z –  ) +  .Donc h  r = r  h = s .

Propriété On considère une similitude directe s et A et B deux points distincts d’images respectives A′ et B′ . Pour tout point M d’image M′ par s , on a ( AM ; A ′ M ′ ) = ( A B ; A ′ B ′ ) .

■ Démonstration ( AM ; A ′ M ′ ) = ( A M ; A B ) + ( A B ; A ′ B ′ ) + ( A ′ B ′ ; A ′ M ′ ) . s étant une similitude directe, ( A′B′ ; A ′ M ′ ) = ( A B ; A M ) .

( AM ; A ′ M ′ ) = ( A M ; A B ) + ( A B ; A ′ B ′ ) + ( A B ; A M ) = (AB ; A′B′) [2] .

60

Propriété Tout déplacement est soit une translation, soit une rotation.

■ Démonstration Dans le plan complexe, l’écriture complexe d’un déplacement est de la forme z′ = az + b , avec a = 1 car un déplacement est une isométrie. Comme a = 1 , alors il existe un réel  tel que a = e i  : z′ = e i  z + b . • Si  = 0 [ 2 ] , alors e i  = 1 ; par suite z′ = z + b , donc f est une translation. • Si  ≠ 0 [ 2 ] , alors f est une rotation d’angle  .

p061-065-exos-resolus.fm Page 61 Mercredi, 24. mai 2006 12:36 12

1 Reconnaître une similitude directe Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère la transformation S d’écriture complexe z′ = ( 1 + i )z + 4 – 2i , et les points A et B d’affixes respectives 2 + 4i et 1 – i .

1 2

Déterminer la nature de S et déterminer ses éléments caractéristiques. Déterminer l’image de la droite ( AB ) par une similitude S .

SOLUTION 1. L’écriture complexe de S est de la forme : z′ = az + b , avec a ≠ 0 , donc S est une similitude directe de rapport a et  d’angle arg ( a ) [ 2 ] . i ---Or a = 1 + i = 2 et 1 + i = 2e 4 , d’où :  arg ( a ) = ---- [ 2 ] . 4 S est une similitude directe de rapport 2 et d’angle  4 – 2i ---- . L’affixe du centre est  = ------------------------ = 2 + 4i . 4 1 – (1 + i)

Donc S est la similitude directe de centre A , de  rapport 2 et d’angle ---- . 4 2. L’image de la droite ( AB ) par la similitude S est la droite ( S ( A )S ( B ) ) , c’est-à-dire ( AB′ ) avec B′ = S ( B ) . L’affixe de l’image du point B d’affixe 1 – i est : z′ = ( 1 + i ) ( 1 – i ) + 4 – 2i = 6 – 2i . c

Exercices 33 à 36 p. 68

2 les exercices résolus

Les similitudes

2 Construire des images par une composée Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD .

1 2

Construire l’image de ABCD par la transformation S  s ( AB ) , où S est la similitude directe de centre  A , de rapport 2, d’angle ---- et s ( AB ) est la réflexion d’axe ( AB ) . 4 Quel est l’ensemble ( E ) des points M du plan tels que le triangle MAC soit rectangle en M ? Quelle est l’image par S de l’ensemble ( E ) ?

SOLUTION 1. s ( AB ) est une similitude indirecte donc l’image

du carré direct est un carré indirect. De plus, s ( AB ) ( A ) = A et s ( AB ) ( B ) = B . L’image du carré direct ABCD par s ( AB ) est le carré indirect ABC1D1 . S est une similitude directe, l’image d’un carré indirect est un carré indirect. L’image du carré indirect ABC1D1 par S est le carré indirect AB′C′D′ car S ( A ) = A et :  AB′ = 2 AB  AC′ = 2 AC 1       -; -;  ( AB ; A B ′ ) = -- ( A C 1 ; A C ′ ) = --4 4    AD′ = 2 AD 1    -.  ( AD 1 ; A D ′ ) = --4 

B’ D

C

A

C’

B

(AB)

D1

C1 D’

2. M décrit le cercle de diamètre [ AC ] privé des points A et C . L’image d’un cercle par une similitude est un cercle, par suite M′ décrit le cercle de diamètre [ AC′ ] privé des points A et C′ . c

Exercices 22 à 24 p. 67

61

p061-065-exos-resolus.fm Page 62 Mercredi, 24. mai 2006 12:36 12

3 Utiliser une similitude pour démontrer des propriétés d’une configuration

SOLUTION

Les similitudes

les exercices résolus

Soit OAB et OCD deux triangles rectangles directs et isocèles en O et I le milieu de [ BC ] .  On considère la rotation r de centre O et d’angle ---- et l’homothétie h de centre B et de rapport 2. 2 En utilisant la transformation r  h , montrer que AD = 2OI et ( AD ) ⊥ ( OI ) .

• r  h( I ) = r (C ) , B car BC = 2BI . r  h( I ) = D , I O A car OC = OD ,  et ( OC ; O D ) = ---- . 2 D • r  h ( O ) = r ( O′ ) , C avec BO′ = 2BO , r  h ( O ) = A , car AOO′ est un triangle direct isocèle et rectangle en O .  OA = OO′  D’où   -.  ( OO′ ; O A ) = --2 

 r est une similitude directe de rapport 1 et d’angle ---- ; 2 h est une similitude directe de rapport 2 et d’angle 0 ; donc r  h est une similitude directe de rapport  1 × 2 et d’angle ---- + 0 . 2 La composée s = r  h est une similitude directe  de rapport 2 et d’angle ---- . 2  AD = 2OI s(O) = A   Comme  , alors   -. s( I ) = D   ( AD ; OI ) = --2  c Exercices

16 à 21 p. 67

4 Construction de suites en utilisant les similitudes Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O ; u, v ) , d’unité graphique 1 cm, on considère les points A0 , A1 et A2 d’affixes respectives : z 0 = 5 – 4i , z 1 = – 1 – 4i et z 2 = – 4 – i .

1

a) Justifier l’existence d’une unique similitude directe S telle que S ( A 0 ) = A 1 et S ( A 1 ) = A 2 . b) Établir que l’écriture complexe de S est : 1–i –3 + i z′ = ---------- z + --------------- . 2 2 c) En déduire le rapport, l’angle et l’affixe  du centre  de la similitude S . d) On considère un point M , d’affixe z avec z ≠  , et son image M′ , d’affixe z′ . Vérifier la relation  – z′ = i ( z – z′ ) et en déduire la nature du triangle  MM′ .

2

Pour tout entier naturel n , le point A n + 1 est défini par A n + 1 = S ( A n ) et on pose u n = A n A n + 1 . a) Placer les points A0 , A1, A2 et construire géométriquement les points A3 , A4, A5 , A6 . b) Démontrer que la suite ( u n ) est géométrique.

3

La suite ( v n ) est définie sur N par v n = u 0 + u 1 + … + u n = a) Exprimer vn en fonction de n . b) La suite ( v n ) est-elle convergente ?

4

62

n



uk .

k=0

a) Calculer, en fonction de n , le rayon rn du cercle circonscrit au triangle  A n A n + 1 . b) Déterminer le plus petit entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n , si n > p , alors r n < 10 – 2 .

p061-065-exos-resolus.fm Page 61 Vendredi, 19. mai 2006 9:33 09

1 Reconnaître une similitude directe Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère la transformation S d’écriture complexe z′ = ( 1 + i )z + 4 – 2i , et les points A et B d’affixes respectives 2 + 4i et 1 – i .

1 2

Déterminer la nature de S et déterminer ses éléments caractéristiques. Déterminer l’image de la droite ( AB ) par une similitude S .

SOLUTION 1. L’écriture complexe de S est de la forme : z′ = az + b , avec a ≠ 0 , donc S est une similitude directe de rapport a et  d’angle arg ( a ) [ 2 ] . i ---Or a = 1 + i = 2 et 1 + i = 2e 4 , d’où :  arg ( a ) = ---- [ 2 ] . 4 S est une similitude directe de rapport 2 et d’angle  4 – 2i ---- . L’affixe du centre est  = ------------------------ = 2 + 4i . 4 1 – (1 + i)

Donc S est la similitude directe de centre A , de  rapport 2 et d’angle ---- . 4 2. L’image de la droite ( AB ) par la similitude S est la droite ( S ( A )S ( B ) ) , c’est-à-dire ( AB′ ) avec B′ = S ( B ) . L’affixe de l’image du point B d’affixe 1 – i est : z′ = ( 1 + i ) ( 1 – i ) + 4 – 2i = 6 – 2i . c

Exercices 33 à 36 p. 68

2 les exercices résolus

Les similitudes

2 Construire des images par une composée Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD .

1 2

Construire l’image de ABCD par la transformation S  s ( AB ) , où S est la similitude directe de centre  A , de rapport 2, d’angle ---- et s ( AB ) est la réflexion d’axe ( AB ) . 4 Quel est l’ensemble ( E ) des points M du plan tels que le triangle MAC soit rectangle en M ? Quelle est l’image par S de l’ensemble ( E ) ?

SOLUTION 1. s ( AB ) est une similitude indirecte donc l’image

du carré direct est un carré indirect. De plus, s ( AB ) ( A ) = A et s ( AB ) ( B ) = B . L’image du carré direct ABCD par s ( AB ) est le carré indirect ABC1D1 . S est une similitude directe, l’image d’un carré indirect est un carré indirect. L’image du carré indirect ABC1D1 par S est le carré indirect AB′C′D′ car S ( A ) = A et :  AB′ = 2 AB  AC′ = 2 AC 1       -; -;  ( AB ; A B ′ ) = -- ( A C 1 ; A C ′ ) = --4 4    AD′ = 2 AD 1    -.  ( AD 1 ; A D ′ ) = --4 

B’ D

C

A

C’

B

(AB)

D1

C1 D’

2. M décrit le cercle de diamètre [ AC ] privé des points A et C . L’image d’un cercle par une similitude est un cercle, par suite M′ décrit le cercle de diamètre [ AC′ ] privé des points A et C′ . c

Exercices 22 à 24 p. 67

61

p061-065-exos-resolus.fm Page 62 Vendredi, 19. mai 2006 9:33 09

3 Utiliser une similitude pour démontrer des propriétés d’une configuration

SOLUTION

Les similitudes

les exercices résolus

Soit OAB et OCD deux triangles rectangles directs et isocèles en O et I le milieu de [ BC ] .  On considère la rotation r de centre O et d’angle ---- et l’homothétie h de centre B et de rapport 2. 2 En utilisant la transformation r  h , montrer que AD = 2OI et ( AD ) ⊥ ( OI ) .

• r  h( I ) = r (C ) , B car BC = 2BI . r  h( I ) = D , I O A car OC = OD ,  et ( OC ; O D ) = ---- . 2 D • r  h ( O ) = r ( O′ ) , C avec BO′ = 2BO , r  h ( O ) = A , car AOO′ est un triangle direct isocèle et rectangle en O .  OA = OO′  D’où   -.  ( OO′ ; O A ) = --2 

 r est une similitude directe de rapport 1 et d’angle ---- ; 2 h est une similitude directe de rapport 2 et d’angle 0 ; donc r  h est une similitude directe de rapport  1 × 2 et d’angle ---- + 0 . 2 La composée s = r  h est une similitude directe  de rapport 2 et d’angle ---- . 2  AD = 2OI s(O) = A   Comme  , alors   -. s( I ) = D   ( AD ; OI ) = --2  c Exercices

16 à 21 p. 67

4 Construction de suites en utilisant les similitudes Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O ; u, v ) , d’unité graphique 1 cm, on considère les points A0 , A1 et A2 d’affixes respectives : z 0 = 5 – 4i , z 1 = – 1 – 4i et z 2 = – 4 – i .

1

a) Justifier l’existence d’une unique similitude directe S telle que S ( A 0 ) = A 1 et S ( A 1 ) = A 2 . b) Établir que l’écriture complexe de S est : 1–i –3 + i z′ = ---------- z + --------------- . 2 2 c) En déduire le rapport, l’angle et l’affixe  du centre  de la similitude S . d) On considère un point M , d’affixe z avec z ≠  , et son image M′ , d’affixe z′ . Vérifier la relation  – z′ = i ( z – z′ ) et en déduire la nature du triangle  MM′ .

2

Pour tout entier naturel n , le point A n + 1 est défini par A n + 1 = S ( A n ) et on pose u n = A n A n + 1 . a) Placer les points A0 , A1, A2 et construire géométriquement les points A3 , A4, A5 , A6 . b) Démontrer que la suite ( u n ) est géométrique.

3

La suite ( v n ) est définie sur N par v n = u 0 + u 1 + … + u n = a) Exprimer vn en fonction de n . b) La suite ( v n ) est-elle convergente ?

4

62

n



uk .

k=0

a) Calculer, en fonction de n , le rayon rn du cercle circonscrit au triangle  A n A n + 1 . b) Déterminer le plus petit entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n , si n > p , alors r n < 10 – 2 .

p061-065-exos-resolus.fm Page 63 Vendredi, 19. mai 2006 9:33 09

SOLUTION 1. a) z 0 ≠ z 1 et z 1 ≠ z 2 , donc A 0 ≠ A 1 et

A1 ≠ A2 . Donc il existe une unique similitude directe du plan qui transforme A0 en A1 et A1 en A2 . b) L’expression complexe d’une similitude directe est de la forme : z′ = az + b avec ( a, b ) ∈  2 et a ≠ 0 .  A1 = S ( A0 )  z 1 = az 0 + b donc  soit :   A2 = S ( A1 ) ,  z 2 = az 1 + b ,  – 1 – 4i = a ( 5 – 4i ) + b   – 4 – i = a ( – 1 – 4i ) + b  a = 1--- – 1--- i 2 2  b = – 1 – 4i – a ( 5 – 4i )  d’où    6a = 3 – 3i ,  b = – 3--- + 1--- i .  2 2 L’écriture complexe de S est : 1–i –3 + i z′ = ---------- z + --------------- . 2 2 2 2 1–i 2 c) De plus a = ---------- = -------  ------- – i ------- 2 2 2 2

Étant donné que z ≠  , alors z ≠ z′ , donc on peut diviser par z – z′ ; l’égalité précédente devient :

 – z′ -------------- = i , z – z′   – z′  arg   -------------- = arg ( i ) = ---- ( 2 )  z – z′  2  d’où  – z′   - = i =1  ------------z – z′     ( M′M ; M ′  ) = ---- ( 2  ) 2 donc   M′ = M′M .  Donc le triangle  M′M est rectangle isocèle en M′ et direct. 2. a) y A4 A5

2 les exercices résolus

Les similitudes

A6

A3

x

O A2



2 – i ---= ------- e 4 , 2 2 S est une similitude directe de rapport a = ------- , 2  d’angle arg a =  – ---- [ 2 ] et le centre  a pour  4 affixe : –3 + i –3 + i ----------------------------2 2 b  = ------------ = ------------------- = --------------1–i 1+i 1–a 1 – ---------- ----------2 2 – 3 + i (– 3 + i)(1 – i) = --------------- = ----------------------------------- = – 1 + 2i . 1+i (1 + i)(1 – i) S est la similitude de centre  ( – 1 + 2i ) , de  2 rapport ------- et d’angle – ---- . 4 2 d) On compare (  – z′ ) et i ( z – z′ ) : 1–i –3 + i  – z′ = – 1 + 2i – ---------- z – --------------2 2 1 + 3i 1–i = – ---------- z + -------------- . 2 2 1 – i –3 + i i ( z – z′ ) = i  z – ---------- z – ---------------  2 2  1+i 1 + 3i 3i – i 2 – 1 + i = ----------- iz + --------------- = --------------- z + -------------- . 2 2 2 2 Donc  – z′ = i ( z – z′ ) .

A1

A0

 An + 1 = S ( An ) b)   An + 2 = S ( An + 1 ) , 2 A A = ------- A A  n+2 n+1 2 n+1 n donc   ( A A -.  n n + 1 ; A n + 1 A n + 2 ) = – --4 Or u n = A n A n + 1 , donc, pour tout n ∈  : 2 u n + 1 = A n + 2 A n + 1 = ------- u n . 2 2 Donc ( u n ) est une suite géométrique de raison ------- . 2 3. a) vn est la somme de ( n + 1 ) termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme : u0 = A0 A1 = z1 – z0 = – 1 – 4i – ( 5 – 4i ) = –6 = 6 , 2 et de raison ------- . Donc, pour tout n ∈  : 2 2 n+1 2 n+1 1 –  ------- 1 –  -------  2  2 v n = 6 ------------------------------- = 12 ------------------------------- . 2 2– 2 1 – ------2

63

p061-065-exos-resolus.fm Page 64 Vendredi, 19. mai 2006 9:33 09

n+1  ------2- v = 6 ( 2 + 2 ) 1 – . Donc n  2

2 b) Comme – 1 < ------- < 1 , 2 Par suite,

2 n+1 lim  ------- =0 . n → +∞  2 

du plan tel que M ≠  , le triangle  MM′ est rectangle isocèle en M′ . Donc, en particulier, le triangle  A n A n + 1 est rectangle isocèle en A n + 1 . Par suite, [  A n ] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle  A n A n + 1 . 1 Donc r n = ---  A n . 2 De plus, d’après la question 4. a), M′  = M′M donc :

Les similitudes

10 – 2 2 n–1 < ln  ----------- ln  -------  2  3 

lim v n = 6 ( 2 + 2 ) .

n → +∞

4. a) D’après la question 1. d), pour tout point M

les exercices résolus

2 n–1 b) r n < 10 – 2 s’écrit 3  ------- < 10 – 2 ,  2 ce qui équivaut à :

1 d’où r n = --- u n – 1 . 2 Or, on a vu au 2. b) que la suite ( u n ) est géomé-

 An = An An – 1 = un – 1 ,

2 trique de raison ------- . Donc, pour tout n ∈  : 2 2 n 2 n u n = u 0  ------- = 6  ------- .  2  2 n–1

2 D’où r n = 3  ------- .  2 Conclusion : Le cercle circonscrit au triangle 2 n–1  A n A n + 1 a pour rayon r n = 3  ------- . 2

car

x  ln x

est strictement croissante sur

] 0 ; + ∞[ . –2

10 2 D’où ( n – 1 ) ln  ------- < ln  ----------- ;  2  3  10 – 2 ln  -----------  3  2 n – 1 > ------------------------ , car ln  ------- < 0 .   2 2 ln  -------  2 10 – 2 ln  -----------  3  On obtient n > 1 + ------------------------ . 2 ln  -------  2 10 – 2 ln  -----------  3  Or 1 + ------------------------  17 ,46 ; donc la valeur de p 2 ln  -------  2 cherchée est p = 17 et, pour tout n ∈  , n > p , r n < 10 – 2 .

c Exercices

58, 78 et 80 p. 72

5 Étude d’une similitude indirecte Dans le repère orthonormal direct ( O ; u, v ) du plan complexe, on considère les points A et B d’affixes respectives : z A = 3 – i et z B = – 1 + i , et la droite  d’équation y = – 2x + 3 .

1 2 3

Donner l’écriture complexe de la réflexion d’axe ( AB ) notée S ( AB ) . Donner l’écriture complexe de la réflexion d’axe  notée S . On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M′ d’affixe z′ telle que : 3 4 2 26 z′ =  – --- – --- i z + --- + ------ i .  5 5  5 5 a) Montrer que f est un antidéplacement. Déterminer l’ensemble des points invariants de f . f est-elle une réflexion ? b) Montrer que f  S  est un déplacement. c) Déterminer l’écriture complexe de f  S  et en déduire les éléments caractéristiques de f  S  . d) En déduire une décomposition simple de f .

64

p061-065-exos-resolus.fm Page 65 Vendredi, 19. mai 2006 9:33 09

SOLUTION 1. L’écriture complexe d’une similitude indirecte est de la forme : z′ = az + b , où a ∈ * et b ∈  . Comme

S ( AB ) ( A ) = A   , alors : S ( AB ) ( B ) = B  a(3 – i) + b = 3 – i  a(– 1 + i) + b = – 1 + i

a(3 + i) + b = 3 – i d’où  a(– 1 – i) + b = – 1 + i ; b = 3 – i – a(3 + i)   a ( – 4 – 2i ) = – 4 + 2i  a = 3--- – 4--- i 5 5  et donc   b = 2--- + 4--- i .  5 5 L’écriture complexe de S ( AB ) est : 2 4 3 4 z′ =  --- – --- i z + --- + --- i . 5 5  5 5

2. On cherche deux points C et D de la droite  qui sont invariants par S . Par exemple C ( 1 + i ) et D ( 3i ) . S( C ) = C  Comme  , alors : S( D ) = D  a(1 + i) + b = 1 + i   a ( 3i ) + b = 3i ;  b = 3i + 3ia   a ( 1 – i ) + 3i + 3ia = 1 + i ;  b = 3i + 3ia   a ( 1 + 2i ) = 1 – 2i  a = – 3--- – 4--- i 5 5  soit  6  b = 12 ------ + --- i .  5 5 L’écriture complexe de S est : 3 4 12 6 z′ =  – --- – --- i z + ------ + --- i .  5 5  5 5

3. a) L’écriture complexe de f est de la forme : z′ = az + b , avec a ≠ 0 , donc f est une similitude indirecte. De plus : 3 4 9 16 – --- – --- i = ------ + ------ = 1 , 5 5 25 25 d’où f est une isométrie indirecte. On considère un complexe z = x + iy affixe d’un point M invariant par f ; alors le couple ( x ; y ) vérifie : 3 4 2 26 x + iy =  – --- – --- i ( x – iy ) + --- + ------ i  5 5  5 5 5 ( x + iy ) = ( – 3 – 4i ) ( x – iy ) + 2 + 26i 5x + 5iy = – 3x + 3iy – 4ix – 4y + 2 + 26i . De l’unicité de la forme algébrique d’un complexe, on déduit : :

2 les exercices résolus

Les similitudes

 5x = – 3x – 4y + 2   5y = 3y – 4x + 26  8x + 4y = 2 soit   4x + 2y = 26 . Ce système n’admet aucune solution. Donc f est un antidéplacement sans point invariant. Par suite, f n’est pas une réflexion. b) f  S  est un déplacement comme composée de deux antidéplacements. L’écriture complexe de f  S  est : 3 4 12 6 z   – --- – --- i z + ------ + --- i  5 5  5 5 3 4 3 4 12 6 2 26 z   – --- – --- i  – --- – --- i z + ------ + --- i + --- + ------ i  5 5   5 5  5 5 5 5 3 4 3 4 soit z′ =  – --- – --- i  – --- + --- i z  5 5  5 5  3 4 12 6 2 26 +  – --- – --- i  ------ – --- i + --- + ------ i  5 5  5 5  5 5 z′ = z – 2 + 4i . Donc f  S  est la translation T de vecteur u ( – 2 + 4i ) . c) De f  S  = T , on en déduit : f  S  S = T  S , donc f = T  S  . c

Exercices 59 à 72 p. 72

65

p061-065-exos-resolus.fm Page 63 Mercredi, 24. mai 2006 12:38 12

SOLUTION 1. a) z 0 ≠ z 1 et z 1 ≠ z 2 , donc A 0 ≠ A 1 et

A1 ≠ A2 . Donc il existe une unique similitude directe du plan qui transforme A0 en A1 et A1 en A2 . b) L’expression complexe d’une similitude directe est de la forme : z′ = az + b avec ( a, b ) ∈  2 et a ≠ 0 .  A1 = S ( A0 )  z 1 = az 0 + b donc  soit :   A2 = S ( A1 ) ,  z 2 = az 1 + b ,  – 1 – 4i = a ( 5 – 4i ) + b   – 4 – i = a ( – 1 – 4i ) + b  a = 1--- – 1--- i 2 2  b = – 1 – 4i – a ( 5 – 4i )  d’où    b = – 3--- + 1--- i .  6a = 3 – 3i ,  2 2 L’écriture complexe de S est : 1–i –3 + i z′ = ---------- z + --------------- . 2 2 2 2 1–i 2 c) De plus a = ---------- = -------  ------- – i ------- 2 2 2 2

Étant donné que z ≠  , alors z ≠ z′ , donc on peut diviser par z – z′ ; l’égalité précédente devient :

 – z′ -------------- = i , z – z′   – z′  arg   -------------- = arg ( i ) = ---- ( 2 )  z – z′  2  d’où  – z′   - = i =1  ------------z – z′     ( M′M ; M ′  ) = ---- ( 2  ) 2 donc   M′ = M′M .  Donc le triangle  M′M est rectangle isocèle en M′ et direct. 2. a) y A4 A5

2 les exercices résolus

Les similitudes

A6

A3

x

O A2



2 – i ---= ------- e 4 , 2 2 S est une similitude directe de rapport a = ------- , 2  d’angle arg a =  – ---- [ 2 ] et le centre  a pour  4 affixe : –3 + i –3 + i ----------------------------2 2 b  = ------------ = ------------------- = --------------1–i 1+i 1–a 1 – ---------- ----------2 2 – 3 + i (– 3 + i)(1 – i) = --------------- = ----------------------------------- = – 1 + 2i . 1+i (1 + i)(1 – i) S est la similitude de centre  ( – 1 + 2i ) , de  2 rapport ------- et d’angle – ---- . 4 2 d) On compare (  – z′ ) et i ( z – z′ ) : 1–i –3 + i  – z′ = – 1 + 2i – ---------- z – --------------2 2 1 + 3i 1–i = – ---------- z + -------------- . 2 2 1 – i –3 + i i ( z – z′ ) = i  z – ---------- z – ---------------  2 2  1+i 1 + 3i 3i – i 2 – 1 + i = ----------- iz + --------------- = --------------- z + -------------- . 2 2 2 2 Donc  – z′ = i ( z – z′ ) .

A1

A0

 An + 1 = S ( An ) b)   An + 2 = S ( An + 1 ) , 2 A A = ------- A A  n+2 n+1 2 n+1 n donc   ( A A -.  n n + 1 ; A n + 1 A n + 2 ) = – --4 Or u n = A n A n + 1 , donc, pour tout n ∈  : 2 u n + 1 = A n + 2 A n + 1 = ------- u n . 2 2 Donc ( u n ) est une suite géométrique de raison ------- . 2 3. a) vn est la somme de ( n + 1 ) termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme : u0 = A0 A1 = z1 – z0 = – 1 – 4i – ( 5 – 4i ) = –6 = 6 , 2 et de raison ------- . Donc, pour tout n ∈  : 2 2 n+1 2 n+1 1 –  ------- 1 –  -------  2  2 v n = 6 ------------------------------- = 12 ------------------------------- . 2 2– 2 1 – ------2

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n+1  ------2- v = 6 ( 2 + 2 ) 1 – . Donc n  2

2 b) Comme – 1 < ------- < 1 , 2 Par suite,

2 n+1 lim  ------- =0 . n → +∞  2 

du plan tel que M ≠  , le triangle  MM′ est rectangle isocèle en M′ . Donc, en particulier, le triangle  A n A n + 1 est rectangle isocèle en A n + 1 . Par suite, [  A n ] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle  A n A n + 1 . 1 Donc r n = ---  A n . 2 De plus, d’après la question 4. a), M′  = M′M donc :

Les similitudes

10 – 2 2 n–1 < ln  ----------- ln  -------  2  3 

lim v n = 6 ( 2 + 2 ) .

n → +∞

4. a) D’après la question 1. d), pour tout point M

les exercices résolus

2 n–1 b) r n < 10 – 2 s’écrit 3  ------- < 10 – 2 ,  2 ce qui équivaut à :

1 d’où r n = --- u n – 1 . 2 Or, on a vu au 2. b) que la suite ( u n ) est géomé-

 An = An An – 1 = un – 1 ,

2 trique de raison ------- . Donc, pour tout n ∈  : 2 2 n 2 n u n = u 0  ------- = 6  ------- .  2  2 n–1

2 D’où r n = 3  ------- .  2 Conclusion : Le cercle circonscrit au triangle 2 n–1  A n A n + 1 a pour rayon r n = 3  ------- . 2

car

x  ln x

est strictement croissante sur

] 0 ; + ∞[ . –2

10 2 D’où ( n – 1 ) ln  ------- < ln  ----------- ;  2  3  10 – 2 ln  -----------  3  2 n – 1 > ------------------------ , car ln  ------- < 0 .   2 2 ln  -------  2 10 – 2 ln  -----------  3  On obtient n > 1 + ------------------------ . 2 ln  -------  2 10 – 2 ln  -----------  3  Or 1 + ------------------------  17 ,46 ; donc la valeur de p 2 ln  -------  2 cherchée est p = 17 et, pour tout n ∈  , n > p , r n < 10 – 2 .

c Exercices

58, 78 et 80 p. 72

5 Étude d’une similitude indirecte Dans le repère orthonormal direct ( O ; u, v ) du plan complexe, on considère les points A et B d’affixes respectives : z A = 3 – i et z B = – 1 + i , et la droite  d’équation y = – 2x + 3 .

1 2 3

Donner l’écriture complexe de la réflexion d’axe ( AB ) notée S ( AB ) . Donner l’écriture complexe de la réflexion d’axe  notée S . On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M′ d’affixe z′ telle que : 3 4 2 26 z′ =  – --- – --- i z + --- + ------ i .  5 5  5 5 a) Montrer que f est un antidéplacement. Déterminer l’ensemble des points invariants de f . f est-elle une réflexion ? b) Montrer que f  S  est un déplacement. c) Déterminer l’écriture complexe de f  S  et en déduire les éléments caractéristiques de f  S  . d) En déduire une décomposition simple de f .

64

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SOLUTION 1. L’écriture complexe d’une similitude indirecte est de la forme : z′ = az + b , où a ∈ * et b ∈  . Comme

S ( AB ) ( A ) = A   , alors : S ( AB ) ( B ) = B  a(3 – i) + b = 3 – i  a(– 1 + i) + b = – 1 + i

a(3 + i) + b = 3 – i d’où  a(– 1 – i) + b = – 1 + i ; b = 3 – i – a(3 + i)   a ( – 4 – 2i ) = – 4 + 2i  a = 3--- – 4--- i 5 5  et donc   b = 2--- + 4--- i .  5 5 L’écriture complexe de S ( AB ) est : 2 4 3 4 z′ =  --- – --- i z + --- + --- i . 5 5  5 5

2. On cherche deux points C et D de la droite  qui sont invariants par S . Par exemple C ( 1 + i ) et D ( 3i ) . S( C ) = C  Comme  , alors : S( D ) = D  a(1 + i) + b = 1 + i   a ( 3i ) + b = 3i ;  b = 3i + 3ia   a ( 1 – i ) + 3i + 3ia = 1 + i ;  b = 3i + 3ia   a ( 1 + 2i ) = 1 – 2i  a = – 3--- – 4--- i 5 5  soit  6  b = 12 ------ + --- i .  5 5 L’écriture complexe de S est : 3 4 12 6 z′ =  – --- – --- i z + ------ + --- i .  5 5  5 5

3. a) L’écriture complexe de f est de la forme : z′ = az + b , avec a ≠ 0 , donc f est une similitude indirecte. De plus : 3 4 9 16 – --- – --- i = ------ + ------ = 1 , 5 5 25 25 d’où f est une isométrie indirecte. On considère un complexe z = x + iy affixe d’un point M invariant par f ; alors le couple ( x ; y ) vérifie : 3 4 2 26 x + iy =  – --- – --- i ( x – iy ) + --- + ------ i  5 5  5 5 5 ( x + iy ) = ( – 3 – 4i ) ( x – iy ) + 2 + 26i 5x + 5iy = – 3x + 3iy – 4ix – 4y + 2 + 26i . De l’unicité de la forme algébrique d’un complexe, on déduit : :

2 les exercices résolus

Les similitudes

 5x = – 3x – 4y + 2   5y = 3y – 4x + 26  8x + 4y = 2 soit   4x + 2y = 26 . Ce système n’admet aucune solution. Donc f est un antidéplacement sans point invariant. Par suite, f n’est pas une réflexion. b) f  S  est un déplacement comme composée de deux antidéplacements. L’écriture complexe de f  S  est : 3 4 12 6 z   – --- – --- i z + ------ + --- i  5 5  5 5 3 4 3 4 12 6 2 26 z   – --- – --- i  – --- – --- i z + ------ + --- i + --- + ------ i  5 5   5 5  5 5 5 5 3 4 3 4 soit z′ =  – --- – --- i  – --- + --- i z  5 5  5 5  3 4 12 6 2 26 +  – --- – --- i  ------ – --- i + --- + ------ i  5 5  5 5  5 5 z′ = z – 2 + 4i . Donc f  S  est la translation T de vecteur u ( – 2 + 4i ) . c) De f  S  = T , on en déduit : f  S  S = T  S , donc f = T  S  . c

Exercices 59 à 72 p. 72

65

p066-075-exos.fm Page 66 Vendredi, 19. mai 2006 11:53 11

Applications directes du cours

les exercices

Les similitudes

1

Montrer que les transformations s et s′ d’écriture complexe : • s : z ′ = ( 3 – i )z + 3 + 3i ; • s′ : z ′ = ( 2 – i ) z + 1 ; sont des similitudes dont on précisera le rapport.

2

Soit  un cercle de centre O et de rayon R , [ AB ] est un diamètre de  et P un point de [ AB ] tel que :

2 AP = --- R . 5 Une droite  distincte de la droite ( AB ) , passe par P et coupe  aux points M et N . 1. Démontrer que les triangles APM et NPB sont semblables. 16 2. En déduire que PM × PN = ------ R 2 . 25

3

Déterminer l’écriture complexe de la transformation réciproque de S d’écriture complexe : z ′ = ( 1 – i )z + 2 – i .

4

Déterminer l’écriture complexe de la transformation réciproque de S d’écriture complexe : z ′ = ( 3 – 4i ) z + 1 – 3i .

5

Quelle est la nature de la composée : a. f d’une homothétie de rapport k et d’une translation ? b. g d’une réflexion et d’une isométrie ?

6

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère la transformation s d’écriture complexe : z ′ = ( – 1 – i 3 )z , et les points A et B d’affixes respectives 2i et 1 – i . 1. Montrer que s est une similitude dont on déterminera un rapport. 2. Déterminer les images des points A et B par s .

7

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère la transformation s d’écriture complexe : z ′ = – i z – 2 – 2i , et les points A et B d’affixes respectives – 2 et 1 – 3i . 1. Montrer que s est une similitude dont on déterminera un rapport. 2. Déterminer les images des points A et B par s .

8

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère la transformation T qui à tout point M de coordonnées ( x ; y ) associe le point M′ de coordonnées ( x ′ ; y ′ ) vérifiant : 1  x ′ = ----- ( – 7x + 24y – 64 ) 25   1  y ′ = ----- ( 24x + 7y + 48 ) .  25 1. Montrer que T est une similitude dont on déterminera un rapport. 2. T est-elle une similitude directe ou indirecte ?

66

3. Déterminer l’ensemble des points invariants par T . Que peut-on en déduire quant à la nature de T ?

9

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère la transformation S d’écriture complexe : z ′ = ( – 5 – 5i )z + 6 + 5i . 1. Déterminer la nature de S . Calculer le rapport de S et déterminer son angle. 2. Déterminer l’affixe de point C image par S du point A(2 – i) . 3. Calculer l’affixe du point B tel que S ( B ) = O . 4. Quelle est l’affixe du point image par S du point D ( 1 ) ?

10

On considère les points A et B d’affixes respectives – 4i et 1 + 2i . h est l’homothétie de centre A et de rapport – 3 ;  r est la rotation de centre B et d’angle ---- ; 2 et t est la translation de vecteur AB . 1. Déterminer les écritures complexes de h , r et t . 2. Déterminer la nature de la transformation r  t  h . Quelle est l’image de A par r  t  h ? 3. Déterminer l’écriture complexe de r  t  h et en déduire l’angle de la similitude.

11

Dans le plan complexe, on considère les points A , B , A′ et B′ d’affixes respectives : 3 – i , 2i , – 7 + i et 5 + i . Démontrer qu’il existe une unique similitude S directe transformant A en A′ et B en B′ . Donner son écriture complexe et en déduire ses éléments caractéristiques.

12

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère la transformation T qui à tout point M de coordonnées associe le point de (x ; y) M′ coordonnées ( x ′ ; y ′ ) vérifiant :  x ′ = 2y + 1   y ′ = 2x . Montrer que T est une similitude directe dont on déterminera les éléments caractéristiques.

13

Dans le plan orienté, on considère le carré ABCD direct de centre O . 1. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe S de centre O qui transforme B en D . 2. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe S′ qui transforme A en O et B en C .

14

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , l’écriture complexe d’une similitude indirecte S est : z ′ = – 3i z – 2 + i . Démontrer que S = s  s  , où s est une réflexion dont on précisera l’axe  et s une similitude directe dont on donnera les éléments caractéristiques.

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Les similitudes

1

1. Déterminer l’écriture complexe de H  R et en déduire

rapport – 2 et la rotation R de centre B ( – 1 + 2i ) et  d’angle ---- . 2

2. Déterminer et construire l’ensemble  décrit par le point M′ quand M décrit le cercle de diamètre [ AB ] .

Soit ABC un triangle isocèle direct et rectangle en A . Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe de centre C qui transforme A en B .

Soit un triangle équilatéral direct ABC , D le symétrique du point A par rapport à la droite ( BC ) . On note S la similitude directe de centre A telle que S ( D ) = C . 1. Faire une figure. 2. Déterminer le rapport et l’angle de S . 3. Déterminer et placer le point I tel que S ( B ) = I .

C

21 B

A

17

Soit ABC un triangle direct C et équilatéral et H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC . H 1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe de centre A qui transforme B en H. B A 2. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe de centre B qui transforme A en H . 3. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe qui transforme A en B et C en H .

Le B.A. BA… du bac !

C

Soit ABC un triangle direct et équilatéral et G le centre de gravité du triangle ABC . 1. Déterminer le rapport et G l’angle de la similitude directe de centre A qui transforme B en G. B A 2. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe de centre G qui transforme A en C . 3. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe qui transforme A en B et C en G . c Corrigé

19

la nature et les éléments caractéristiques de H  R .

20

Définition géométrique des similitudes planes directes

16

18

On note M′ l’image du point M par H  R .

Dans le plan orienté, on considère deux points distincts A et B . On considère l’homothétie H de centre A ( 1 + i ) et de

les exercices

15

2

p. 112

Soit ABCD un rectangle D C direct de centre I tel que I AB = 3AD . 1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe de A B centre A qui transforme B en D. 2. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe qui transforme A en I et B en C .

Soit ABCD un rectangle direct, on construit deux carrés directs AEFB et ADGH . On pose AB = 1 et AD = a avec a réel positif et O est le milieu de [ EH ] . 1. Faire une figure. On considère la similitude directe S qui transforme A en B et D en A . 2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude S . 3. Calculer AO ⋅ BD . 4. Déterminer l’image de la droite ( BD ) , puis l’image de la droite ( AO ) par la similitude S . 5. En déduire que le point d’intersection  des droites ( BD ) et ( AO ) est le centre de la similitude S .

22

Construction de points

Soit A et B deux points quelconques distincts. On considère l’homothétie h de centre A et de rapport – 2 , la translation t de vecteur 2BA et la rotation r de centre B  et d’angle ---- . 2 On considère un point M quelconque du plan, construire son image par t  h , t  r , r  h et r  t  h .

23

Image d’un triangle par une similitude

Soit ABC un triangle quelconque, construire son image 1 A′B′C′ par la similitude de centre A , de rapport --- et 2  d’angle ---- . Quel est le rapport entre les aires des triangles 3 ABC et A′B′C′ ?

24

Soit ABCD un carré quelconque de centre O , construire son image par : a. l’homothétie de centre A et de rapport 2 ;  b. la similitude de centre O , de rapport 2 et d’angle ---- ; 4 1  c. la similitude de centre B , de rapport --- et d’angle – ---- . 2 2

25

Soit A un point quelconque du plan. On considère une transformation f qui à tout point M associe un point M′ tel que AM ′ = – 2 AM . 1. Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de f ? 2. f est-elle une similitude directe ? Si oui donner son centre, son rapport et son angle.

67

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Les similitudes

les exercices

26

Dans le plan orienté, on donne un triangle ABC direct (ainsi l’angle orienté ( AB ; A C ) admet une mesure comprise entre 0 et ).  ACDE est le carré tel que ( AC ; A E ) = ---- ( 2  ) ; on désigne 2 son centre par O .  AFGB est le carré tel que ( AF ; A B ) = ---- ( 2  ) ; on désigne 2 son centre par O′ . I est le milieu de [ BC ] ; J le milieu de [ EF ] .  1. En utilisant la rotation de centre A et d’angle ---2 démontrer que :  ( FC ; B E ) = ---- ( 2  ) et FC = BE . 2 2. En déduire que le triangle OIO′ est un triangle rectangle en I et isocèle. 3. Démontrer que JO′IO est un carré.

27

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O . Soit P un point du segment [ BC ] privé de B . On note Q l’intersection de ( AP ) et ( CD ) . La perpendiculaire  à ( AP ) passant par A coupe ( BC ) en R et ( CD ) en S ; N est le milieu de [ PS ] .  Soit r la rotation de centre A et d’angle ---- . 2 1. a. Quelle est l’image de la droite ( BC ) par r ? b. En utilisant le fait que R =  ∩ ( BC ) , déterminer l’image de R par r . c. En déduire la nature des triangles RAQ et PAS . 2 2. Soit s la similitude directe de centre A , de rapport ------2

 et d’angle ---- . 4

Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [ BC ] privé de B ?

28

Avis de recherche !

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC équilatéral direct, I et J sont les milieux respectifs des segments [ AB ] et [ AC ] et M est un point du segment [ BC ] . La parallèle à ( AC ) passant par M coupe la droite ( AB ) en P et ( IJ ) en S . La parallèle à ( AB ) passant par M coupe la droite ( AC ) en Q et ( IJ ) en T . On note O le milieu de [ PQ ] . Quel est le lieu géométrique du point O lorsque M décrit le segment [ BC ] ?

29

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O . Soit I le milieu de [ CD ] et on construit le carré direct DIJK . 1. Faire une figure en choisissant AB = 6 . 2. On considère la similitude S de centre D qui transforme A en B . a. Déterminer les éléments caractéristiques de S . b. Déterminer l’image de I par S . 3. a. Soit  le cercle circonscrit au carré ABCD et E le point d’intersection des droites ( AI ) et ( BJ ) . Montrer que E ∈  . b. Montrer que les droites ( ED ) et ( BJ ) sont orthogonales.

68

2

Caractérisation complexe d’une similitude directe

Dans les exercices suivants, le plan complexe est rapporté au repère ( O ; u, v ) .

30

Déterminer l’écriture complexe des similitudes directes suivantes :  • S1 de centre O de rapport 2 et d’angle ---- ; 4 3 • S2 de centre  ( 1 + i ) de rapport 2 et d’angle – ------- ; 4 1 • S3 de centre  ( 2i ) de rapport --- et d’angle  . 2

31

Déterminer l’écriture complexe des similitudes directes suivantes :  • S1 de centre O de rapport 6 et d’angle – ---- ; 3  • S2 de centre  ( i ) de rapport 3 et d’angle ---- ; 6 1  • S3 de centre  ( 2 ) de rapport --- et d’angle – ---- . 2 2

32

On considère les points A et B d’affixes respectives 2 et 6 + i . Déterminerl’écriture complexe de la similitude directe S de centre  ( 3 – 4i ) telle que S ( A ) = B .

33

Déterminer les éléments caractéristiques des similitudes directes S d’écritures complexes : a. z ′ = z ; b. z ′ = – 2iz + 3 + i ; c. z ′ = ( 2 – 2i 3 )z + 2 3 + i .

34

Déterminer les éléments caractéristiques des similitudes S directes d’écritures complexes : a. z ′ = 2iz ; b. z ′ = ( 1 + i )z + 3 + i ; c. z ′ = ( 2 – 2 3 )z + 2 3 – 1 .

35

Déterminer l’écriture complexe de la transformation réci1 proque de S d’écriture complexe z ′ =  --- – i z + 3 – 2i . 2 

36

Composée de similitude

On considère deux similitudes S et S′ d’écritures complexes respectives : z ′ = iz + 2 – 3 et z ′ = ( – 1 – i )z + 2 – 3i . On considère les similitudes S  S′ , S′  S , S′ –1 et S′ –1  S . Pour chacune de ces similitudes, déterminer : a. son écriture complexe ; b. sa nature et ses éléments caractéristiques.

37

Le B.A. BA… du bac !

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O . On considère la translation t de vecteur AB , l’homothétie h de centre B et de rapport 2 et le quart de tour direct r de centre A . 1. Montrer que f = h  t  r est une similitude directe. Quelle est l’image de A par f ? 2. On se place dans le repère ( A ; A B, A D ) . Donner l’écriture complexe de r , h et t , puis celle de f . 3. En déduire les éléments caractéristiques de f . c Corrigé

p. 112

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Les similitudes

On considère la similitude directe S d’écriture complexe : z ′ = ( – 3 – 3i )z + 2i . 1. Déterminer une équation de la droite  ′ image de  d’équation y = 2x – 1 par S . 2. Déterminer l’image par S du cercle  de centre  ( 1 – 2i ) et de rayon 3.

39

On considère la similitude directe S d’écriture complexe : z ′ = az + 2 + i . Déterminer a pour que S soit : a. une translation dont on donnera un vecteur ;  b. une rotation d’angle ---- ; 4 c. une homothétie de rapport – 3 ; quel est alors son centre ? 2 d. une similitude de rapport 2 et d’angle ------- . 3

40

On considère les homothéties h et h′ de centres respectifs O et O′ et de rapports respectifs non nuls k et k′ . On notera zO et z O′ les affixes respectives des points O et O′ dans le repère ( I ; u, v ) . 1. Donner les écritures complexes de h et de h′ . 2. En déduire l’écriture complexe de h′  h . 3. Quelle est la nature de la transformation h′  h ? Deux cas sont à distinguer.

41

Côté analytique

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O ; u, v ) . On désigne par s l’application qui à tout point M ( x ; y ) du plan  associe le point M′ ( x ′ ; y ′ ) vérifiant : x ′ = – x – y + 2  y ′ = x – y – 1 . 1. Exprimer l’affixe z ′ de M′ en fonction de l’affixe z de M . 2. Quelle est la nature de s ? Déterminer ses éléments caractéristiques.

42

Le B.A. BA… du bac !

L’unité graphique est de 4 cm. On considère les points A , B , C et D d’affixes respectives :  i ---3



3 3 – ---- i 3 c = --- + ------- i et d = ------- e 6 . 2 2 2 1. Placer les points A , B , C et D . 2. Démontrer que OACB est un losange. 3. Montrer que les points D , A et C sont alignés. 4. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe S de centre O qui transforme A en C . 5. On note S ( D ) = F et S ( C ) = G . Montrer que les points F , C et G sont alignés. Placer les points F et G . 6. Déterminer l’affixe du point F . a=1 ,

b=e

,

c Corrigé

p. 112

43

À la règle et au compas

On note A le point d’affixe 2. Soit  l’application de  vers  qui à tout point M d’affixe z associe le point M′ =  ( M ) d’affixe z ′ définie par : 3 + 3i 1 – 3i z ′ = ------------------- z + ------------------- . 4 2

1. Déterminer : a. l’affixe de l’image  ( A ) du point A ; b. l’affixe du point P tel que  ( P ) = O . 2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de  . On pourra utiliser les résultats de la question 1. 3. Le point M est distinct du point A . a. Démontrer que le triangle AMM′ , où M′ =  ( M ) , est rectangle en M′ . b. Le point M et le milieu du segment [ AM ] étant donnés, en déduire une construction au compas du point M′ .

les exercices

38

2

44

On donne les points A et B d’affixes respectives 12 et 9i et l’application f de  dans  qui au point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe Z définie par :

3 Z = – --- iz + 9i (unité graphique : 1 cm). 4 1. Démontrer que f admet un point invariant  de 108 144 coordonnées  ---------- ; ---------- . Prouver que f est une simili 25 25  tude directe dont on déterminera les éléments caractéristiques. 2. Quelles sont les images par f des points A et O ? Montrer que  est un point commun aux cercles 1 et 2 de diamètres respectifs [ OA ] et [ OB ] . Établir que  est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle AOB et montrer que  A ×  B =  O 2 . Faire une figure comportant les points A , B et  ainsi que les cercles 1 et 2 .

45

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O ; u, v ) (unité graphique : 5 cm). A , B , C désignent les points d’affixes respectives a , i et – 1 et I le milieu de [ BC ] .  On considère la rotation R de centre O et d’angle ---- . 2 À tout point M d’affixe z , on associe le point M 1 = R ( M ) d’affixe z1 . 1. Exprimer z1 en fonction de z . 2. On note M′ l’isobarycentre des points A , M et M1 . Exprimer en fonction de z l’affixe z ′ du point M′ . 3. Montrer que O est l’isobarycentre des points A , B et R ( B ) si, et seulement si, a = 1 – i . Dans la suite, l’affixe du point A est 1 – i . 4. On note f l’application qui à tout point M du plan, d’affixe z , associe le point M′ d’affixe :

1 – i + z + iz z ′ = ------------------------------- . 3 a. Prouver que f est une similitude directe dont on déterminera le centre  , le rapport et l’angle. b. Prouver que les points A , B ,  sont alignés. c. Déterminer la mesure de l’angle ( OB ; O I ) . Montrer que l’image de la droite ( OB ) par f est la droite ( OI ) . d. Soit O′ l’image de O par f . Montrer que la droite ( OO′ ) est l’image par f de la droite ( BO ) . e. En déduire que les points I , O , O′ , A sont alignés. 5. Montrer que les points I et  appartiennent au cercle de diamètre [ BO′ ] .

69

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Les similitudes

les exercices

46

50

Manque pas d’air(e) !

Soit  et  ′ deux droites distinctes et parallèles et A un point situé entre les droites  et  ′ . Soit O le projeté orthogonal de A sur la droite  . Le plan est rapporté au repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , où u est un vecteur directeur de la droite  et v est un vecteur normal aux droites  et  ′ . A admet pour affixe ai avec a réel strictement positif. On note  la distance du point A à la droite  ′ . Soit B un point de  d’affixe zB ( z B ∈  ) . On appelle zC l’affixe du point C image de B par la rotation R  de centre A et d’angle ---- . 3 1. Donner l’écriture complexe de R . 1 i 2. En déduire que z C = --- ( z B + a 3 ) + --- ( a + z B 3 ) . 2 2 1 3. Montrer que C ∈ (  ′ ) si, et seulement si z B = ------- ( a + 2  ) . 3 1 4. Sachant que z B = ------- ( a + 2  ) , exprimer AB 2 en fonc3 tion de a et  . En déduire l’aire S du triangle équilatéral ABC .

51

Géométrie ou complexe ?

Le triangle ABC est quelconque, M est le milieu du segment [ BC ] . On construit, à l’extérieur du triangle ABC, les triangles BAB′ et CAC ′ rectangles et isocèles de sommet A . Le but de l’exercice est de montrer que les droites ( AM ) et ( B′C ′) sont perpendiculaires et que :

D’après Bac

B′C ′ = 2AM .

1. Méthode géométrique

47

Dans le plan complexe, on considère les points A , B , A′ et B′ d’affixes respectives : 1 + i , 3 + 18i et – 1 + 6i . Démontrer qu’il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B′ . Donner son écriture complexe et en déduire ses éléments caractéristiques.

48

Dans le plan complexe, on considère les points A , B , A′ et B′ d’affixes respectives : 4 – i , 1 + i , – 3 – 3i et 2 – 2i . Démontrer qu’il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B′ . Donner son écriture complexe et en déduire ses éléments caractéristiques.

49

Des triangles isométriques

Dans le plan complexe  rapporté au repère orthonormal direct ( O ; u, v ) d’unité graphique 1 cm, on donne les points A , B , C , D , E et  d’affixes respectives 8 + 4i , – 2 + 4i , 3 – i , – 1 + i , 6 + 8i et 3 + 4i . 1. Soit  le cercle de centre  et de rayon 5. Montrer que [ AB ] et [ OE ] sont des diamètres de  . 2. Montrer qu’il existe une unique similitude f directe transformant O en B et E en A . 3. Déterminer l’écriture complexe de f . 4. Quelle est l’image de  par f ? 5. En déduire que les triangles OCE et ABD sont isométriques.

Du côté des suites

Le plan complexe  est rapporté au repère orthonormal ( O ; u, v ) , l’unité graphique étant 4 cm. On définit l’application f qui au point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe z ′ définie par : z ′ = – jz + i ,

où j = e

2 i ------3

.

a. Soit h l’homothétie de centre B et de rapport 2. Déterminer les images des points A et M par h . Trouver une rotation r telle que r  h transforme A en B′ et M en C′ . b. En déduire que les droites ( AM ) et ( B′C ′) sont perpendiculaires et que B′C ′ = 2AM . 2. Utilisation des nombres complexes Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct d’origine A dans lequel B et C ont pour affixes respectives b et c . Quelles sont les affixes m , b′ , c′ des points M , B′ , C′ ? Retrouver alors les résultats du 1. b. D’après Bac

52

Dans le plan orienté, on considère un triangle direct ABC rectangle et isocèle en A . On note A′ le symétrique de A par rapport à C . 1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe S qui transforme A′ en C et C en B . 2. Quelle est l’image de la droite ( AC ) par S ? 3. On se place dans le repère ( A ; A B, A C ) . Donner l’écriture complexe de S et en déduire l’affixe du centre  . 4. Montrer que le triangle CB est rectangle.

1. Montrer que f admet exactement un point invariant  , dont on donnera l’affixe. Caractériser géométriquement f .

2. On définit dans  la suite ( M n ) n ∈  par :  M0 = O   pour tout n ∈  M n + 1 = f ( M n ) . a. Construire  , M0 , M1 et M2 . b. Pour tout entier n , on note zn l’affixe de Mn , et l’on pose :

53

Dans le plan orienté, on considère un carré direct OABC de centre I et J le milieu de [ OI ] . 1. Montrer qu’il existe une unique similitude directe f transformant O en I et A en J . 2. On se place dans le repère ( O ; O A , O C ) . Déterminer l’écriture complexe de f et en déduire l’affixe du centre  de f .

 i ----

Zn = zn – e 6 . Déterminer un nombre complexe a tel que, pour tout entier n : Z n + 1 = aZ n . Mettre a sous la forme trigonométrique et déterminer un entier p strictement positif tel que a p = 1 . c. Calculer Zn , puis zn en fonction de n . Calculer Z2 007 et placer M2 007 sur la figure.

70

54

Dans le plan orienté, on considère un rectangle ABCD tel que :  ( AB ; A D ) = ---- ( 2  ) , AD = 3 et AB = 4 . 2 Les points E et F sont définis par : 1 AE = --- AB 4

et

4 BF = --- BC . 3

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1. a. Faire une figure qui sera complétée au fur et à mesure du déroulement de l’exercice. b. Montrer qu’il existe une unique similitude r telle que B = r ( D ) et F = r ( C ) . c. Montrer que r est une rotation. Déterminer l’angle de cette rotation. d. Construire, en justifiant la réponse, le centre  de cette rotation. 2. Le plan est muni du repère orthonormal de sens direct :  A ; A E,  1 --- A D  .  3 

a. Déterminer les affixes des points A , B , C , D , E et F . b. Soit M un point du plan d’affixe z et M′ , d’affixe z ′ , son image par r . Donner la relation permettant d’exprimer z ′ en fonction de z . Déterminer les coordonnées exactes de  . 3. Quelle est l’image par r du cercle circonscrit au triangle ADE ?

55

Avec des barycentres

Dans le plan complexe  rapporté au repère orthonormal direct ( A ; u, v ) , unité graphique 1 cm, on considère les points B et D définis par : AB = 2 u et AD = 3 v , et le point C tel que ABCD soit un rectangle. On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice. 1. Soit E l’image de B par la translation de vecteur DB . Déterminer l’affixe zE de E . 2. Déterminer les nombres réels a , b tels que le point F d’affixe z F = 6 – i soit le barycentre des points A , B , C affectés des coefficients a , b , 1. 3. On considère la similitude s qui transforme A en E et B en F . À tout point M d’affixe z , on associe le point M′ d’affixe z ′ , image de M par s . a. Exprimer z ′ en fonction de z . b. Déterminer le centre I , l’angle et le rapport de la similitude. c. Déterminer les images de C et de D par s . d. Calculer l’aire de l’image par s du rectangle ABCD . 4. a. Déterminer l’ensemble  des points M du plan tels que : 6 MA – 10 MB + MC = 9 . b. Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques, l’image de  par s .

56

Composée d’homothéties

Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct.

C

D

B

A

F

cela on note I le point d’intersection des droites ( EG ) et ( FH ) et on introduit l’homothétie h1 de centre I qui transforme G en E et l’homothétie h2 de centre I qui transforme F en H . a. Déterminer l’image de la droite ( CG ) par l’homothétie h1 , puis par la composée h 2  h 1 . b. Déterminer l’image de la droite ( CF ) par la composée h1  h2 . c. Justifier l’égalité : h 1  h 2 = h 2  h 1 . En déduire que la droite ( AC ) passe aussi par le point I . 2. On se propose ici de démontrer que la médiane issue du sommet A du triangle AEH est une hauteur du triangle ABD . On note O le milieu du segment [ EH ] . a. Exprimer le vecteur AO en fonction des vecteurs AE et AH . b. Exprimer le vecteur BD en fonction des vecteurs AB et AD . c. Calculer le produit scalaire AO . BD et conclure. 3. Dans cette question, on étudie la similitude directe S qui transforme A en B et D en A . On pose AB = 1 et AD = k ( k > 0 ) . a. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude S . b. Déterminer l’image de la droite ( BD ) , puis l’image de la droite ( AO ) , par cette similitude S . En déduire que le point d’intersection  des droites ( BD ) et ( AO ) est le centre de la similitude S .

57

2 les exercices

Les similitudes

Composée de rotations de centres distincts

A et B sont deux points du plan orienté dans le sens usuel, tels que AB = 6 cm .  On note r1 la rotation de centre A et d’angle de mesure ---3 2 et r2 la rotation de centre B et d’angle de mesure – ------- . 3 Pour tout point M du plan, on note M1 et M2 les images respectives de M par r1 et r2 . 1. M étant un point du plan, construire les points M1 et M2 . 2. Le but de cette question est de démontrer que, pour tout point M du plan, le milieu du segment [ M 1 M 2 ] est un point fixe I . On pose f = r 1  r 2– 1 , où r 2– 1 désigne la transformation réciproque de r2 . a. Déterminer f ( M 2 ) . b. Montrer que f est une symétrie centrale. c. En déduire que le milieu du segment [ M 1 M 2 ] est un point fixe I que l’on placera sur la figure. 3. Dans cette question, le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) tel que A et B aient pour affixes respectives – 3 et 3. On note z1 et z2 les affixes respectives de M1 et M2 . M est un point du plan, distinct de A et B , d’affixe z . a. Exprimer z1 et z2 en fonction de z . Montrer que : z2 – z z–3 -------------- = i 3 ------------ . z+3 z1 – z

E b. En déduire que :

G

H

1. Le but de cette première question est de démontrer que les droites ( AC ) , ( EG ) , ( FH ) sont concourantes. Pour

 • ( MM 1 ; M M 2 ) = ( M A ; M B ) + ---- + 2 k  (1) ; 2 MM MB • -------------2- = 3 ---------(2) . MA MM 1 c. Déterminer, à l’aide de l’égalité ( 1 ) , l’ensemble  des points M du plan tels que M , M1 et M2 soient alignés. Construire  sur la figure de la question 1.

71

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58

1. Soit M un point de coordonnées ( x ; y ) dans le repère

L’escargot

Les similitudes

les exercices

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère l’application f du plan, dans lui-même, qui à tout point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe : 1 1 – 3i z ′ = --- iz + -------------- . 2 2 1. Montrer que f est une similitude directe dont on précisera le centre  , le rapport k et l’angle  . 2. Soit M0 le point d’affixe 1 + 4 3 + 3i . Pour tout entier naturel n , le point M n + 1 est défini par : Mn + 1 = f ( Mn ) . a. En utilisant la 1re question, calculer Mn en fonction de n . b. Placer le point M0 et construire les points M1 , M2 , M3 et M4 . c. À partir de quel rang n0 a-t-on : « pour tout n  n 0 , Mn appartient au disque de centre  et de rayon r = 0 ,05 » ? 3. a. Calculer M0M1 . b. Pour tout entier naturel n , on note d n = M n M n + 1 . Montrer que ( d n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. c. On note  n = d 0 + d 1 + d 2 + … + d n . Calculer n en fonction de n et en déduire la limite de n en + ∞ . 4. Pour tout entier naturel n non nul, on note Gn l’isobarycentre des points M0 , M1 , M2 , … , Mn . 16 a. Montrer que pour tout n > 0 ,  G n ------------- . n+1 En déduire la position limite du point Gn lorsque n tend vers + ∞ . D’après Bac

3

Similitudes planes indirectes

( O ; u, v ) . Donner les coordonnées ( x ′ ; y ′ ) du point M′ image de M par f . 2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f . En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f .

64

c Corrigé

On considère les points A et B d’affixes respectives 3 – i et 5 – 2i , déterminer l’écriture complexe de la réflexion d’axe ( AB ) .

60

On considère la droite  d’équation y = x + 5 , déterminer l’écriture complexe de la réflexion d’axe  .

61

Déterminer l’écriture complexe de la transformation réciproque de S d’écriture complexe : z ′ = (1 + i)z – i .

65

Dans le plan complexe, on considère les points A , B et C d’affixes respectives : 2 + i ; 3 et 2 – 2i . On considère la similitude indirecte S transformant A en B et C en O . 1. Quel est le rapport de S ? 2. Donner son écriture complexe. 3. Déterminer l’ensemble des points invariants de S . En déduire la nature et les éléments caractéristiques de S . 4. Déterminer l’écriture complexe de la similitude réciproque de S .

66

Dans le plan complexe muni d’une repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , l’écriture complexe d’une similitude indirecte S est : z ′ = 4i z + i . Démontrer que S = s  s  , où s est une réflexion dont on précisera l’axe  et s une similitude directe dont on donnera les éléments caractéristiques.

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , on considère le point A d’affixe a + ib et l’application f qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M′ d’affixe z ′ tel que : z ′ = i z + a + ib . 1. Montrer que f est un antidéplacement. 2. Montrer que, si a = – b , alors f est une réflexion d’axe  dont on déterminera une équation. 3. On se place dans le cas où a ≠ – b . Donner l’écriture complexe de f  f et en déduire la nature et les éléments caractéristiques de f  f .

68 On considère les points

A(– 3 + i) ,

B ( 2 – 2i )

et  C ( 1 – 3i ) . Soit r la rotation de centre B et d’angle – ---- , 2 s la réflexion d’axe ( AC ) avec C l’image de A par r et t la translation de vecteur CA . On considère f = s  t . Déterminer la forme complexe de : a. r ; b. t ; c. s ; d. f ; e. g = r  t . En déduire la nature de g .

63

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère f la transformation d’écriture complexe z ′ = iz .

72

p. 112

67

59

62

Le B.A. BA… du bac !

Dans le plan complexe, on considère les points A , B , A′ et B′ d’affixes respectives : 4 – i , 1 + i , 2 – i et 5 + i . 1. Donner l’écriture complexe de la similitude indirecte S transformant A en A′ et B en B′ . 2. Déterminer l’ensemble des points invariants de S . En déduire les éléments caractéristiques de S .

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , unité graphique : 1 cm. 1. On note A , B et C les points d’affixes respectives 2i , – 1 + 4i et 5 + 2i . On considère la translation t de vecteur BC , la symétrie S d’axe ( AB ) et la transformation f = t  S . On désigne par A′ et B′ les images respectives de A et B par f . Calculer les affixes de A′ et B′ et placer les points A , B , C , A′ et B′ sur une figure. 2. À tout point M d’affixe z , f associe le point M′ d’affixe z ′ . Justifier que f est un antidéplacement et démontrer que : – 3 – 4i 38 – 6i z ′ = ------------------ z + ------------------ . 5 6 3. Déterminer l’ensemble des points invariants par f . La transformation f est-elle une symétrie ?

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4. On appelle D le point d’affixe 3 + 6i ,  la médiatrice

de [ BD ] et S′ la symétrie d’axe  . a. Déterminer l’écriture complexe de S′ . En déduire que S  S′ est la translation de vecteur DB . b. Montrer que f  S′ est la translation, notée t′ , de vecteur DC . En déduire que f = t′  S′ . D’après Bac

69

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère les points A et B d’affixes respectives 2i et 1 + 3i . Soit f la transformation d’écriture complexe : z ′ = i z – 2 + 2i et g la transformation d’écriture complexe z ′ = i z . 1. Montrer que f et g sont des antidéplacements. Que peut-on en déduire pour g  f ? 2. Déterminer l’écriture complexe de g  f et en déduire sa nature et ses éléments caractéristiques. 3. Déterminer les images de A et de B par f . En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f .

a. Montrer que s est une réflexion d’axe  dont on déterminera une équation. b. Soit  la droite d’équation y = – 1 , on appelle s′ la réflexion d’axe  ′ . Déterminer une écriture complexe de s′ . c. Déterminer une écriture complexe de r = s′  s . d. Donner les éléments caractéristiques de r . 2. Dans cette question on considère l’application p du plan sur lui-même, qui a tout point M d’affixe z associe le point M1 d’affixe : 1 1 (z + z ′) z 1 = --- z – --- i z = ------------------- . 2 2 2 a. Soit le point A d’affixe z = 2 + i , déterminer l’affixe du point A1 , image du point A par p . b. Montrer que tout point M a son image M1 sur la droite d’équation y = – x . c. Définir géométriquement, en utilisant les questions précédentes, l’application p . 3. On considère l’application f définie par f = s′  p . Construire l’image A″ du point A par f . Montrer que s  p = p et en déduire que f = r  p . Montrer que tout point M du plan a son image par f sur une droite  , que l’on représentera sur la figure.

70

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O ; u, v ) , unité graphique : 2 cm. On considère l’application s du plan dans lui-même, qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M′ d’affixe : z ′ = – iz + 1 + i . 1. Montrer que s est une réflexion d’axe  dont on déterminera une équation. 2. Soit  ′ la droite d’équation y = x – 2 , on appelle s′ la réflexion d’axe  ′ . Déterminer une écriture complexe de s′ . 3. Déterminer une écriture complexe de r = s′  s . 4. Donner les éléments caractéristiques de r .

71

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , on considère l’application f qui associe, au point M d’affixe z , le point M′ d’affixe z ′ telle que :

1 – 3 z ′ =  ----------- + i --- z + i .  2 2 1. Donner l’écriture complexe de la réflexion S d’axe (O ; u ) . 2. Montrer que f = R  S , où R est une rotation dont on précisera les éléments. 3. Soit g l’application du plan dans lui-même qui a tout point M d’affixe z associe le point M″ d’affixe z ″ telle que : z ″ = iz – 1 + i . a. Caractériser l’application g et donner ses éléments caractéristiques. b. En déduire une construction géométrique, pour tout point M du plan, du point M″ , image de M par g . c. Montrer que pour tout point M du plan, le milieu du segment [ MM″ ] appartient à une droite fixe.

72

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O ; u, v ) , unité graphique : 2 cm. On fera une figure que l’on complétera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice. 1. Dans cette question on considère l’application s du plan dans lui-même, qui à tout point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe z ′ = – i z .

2 les exercices

Les similitudes

D’après Bac

73

Deux décompositions d’une même similitude indirecte

Dans le plan orienté, on considère le losange ABCD tel que :  AB = 5 et ( AB ; A D ) = ---- . 3 On désigne par I , J , K , L et O les milieux respectifs des segments [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] , [ DA ] et [ BD ] . On note  et  ′ les médiatrices respectives des segments [ AB ] et [ CD ] . On considère la similitude f vérifiant : f ( A ) = B , f ( B ) = D et f ( D ) = C . 1. Quel est le rapport de la similitude f ? Prouver que f est un antidéplacement. 2. Montrer que si M est un point du plan vérifiant f ( M ) = M , alors M vérifie : AM = BM = CM = DM . En déduire que f n’admet pas de point invariant. 3. On considère la réflexion S d’axe  et la rotation R de  centre B et d’angle – ---- . 3 Montrer que f = R  S . A-t-on f = S  R ? 1 4. Soit T la translation de vecteur --- DA , on pose 2 g=Tf . a. Déterminer la nature de la transformation g . b. Déterminer g (D ) , g (I ) et g (O ) . En déduire les éléments caractéristiques de la transformation g . c. Démontrer que f = T – 1  g .

74

On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormal ( O ; u, v ) . 1. On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M′ d’affixe z ′ telle que : 3 1 z ′ =  --- + i ------- z . 2 2 a. Exprimer ( f  f ) ( z ) en fonction de z . b. Montrer que f = R  S , où R est une rotation et S une symétrie axiale (on déterminera les éléments caractéristiques de ces deux applications R et S ).

73

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Les similitudes

les exercices

c. Décomposer R à l’aide de deux symétries axiales et en déduire que f est une réflexion, dont on donnera l’axe 1 . Réaliser une figure, en y représentant l’axe 1 . (unité graphique : 2 cm.) 2. On considère l’application g qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M″ d’affixe z ″ telle que : 3 3 1 1 z ″ =  --- + i ------- z – --- + i ------- . 2 2 2 2 a. Déterminer une équation de l’ensemble des points invariants de g . b. Montrer que g = T  f , où T est une translation (on précisera l’affixe du vecteur de la translation T ). c. Décomposer la translation T à l’aide de deux symétries axiales et en déduire que g est une réflexion, d’axe noté 2 . 3 1 d. Quelle est l’image par g du point A d’affixe --- + i ------- ? 2 2 En déduire une construction de la droite 2 , qui n’utilise pas son équation, et l’illustrer en complétant la figure précédente. D’après Bac

4

Les problèmes

75

Problème à prise d’initiatives

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC direct et rectangle en C . On note H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC . Soit S la similitude directe transformant C en A et B en C . En utilisant S , démontrer l’égalité : HC 2 = HA × HB .

76

Problème à prise d’initiatives Soit  et  ′ deux droites distinctes et parallèles et A un point n’appartenant ni à  ni à  ′ . Construire un triangle équilatéral direct MAM′ tel que : M ∈  et M′ ∈  ′ .

b. Montrer que les points I , C et  sont alignés. En déduire une construction de  et le placer. 4. On désigne par  et  ′ les cercles de diamètres respectifs [ BC ] et [AI ] . a. Montrer que  appartient aux cercles  et  ′ . b. Démontrer que la droite (  O ) est la tangente commune à  et  ′ . Achever la figure en construisant les cercles et leurs tangentes communes (  O ) . D’après Bac

78

i M0 a pour affixe z 0 = – --4 et, pour tout entier naturel n , M n + 1 = f ( M n ) . On appelle zn l’affixe de Mn . 1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f . 2. Placer sur la figure les points M0 , M1 et M2 . 3. Montrer que les triangles OM0M1 et OM1M2 sont semblables. 4. Montrer que, pour tout entier naturel n : 4n  i  ----------- – ----  

zn = 2 n – 2 e 3 2 . 5. Soit n et p deux entiers naturels, montrer que O , Mn et Mp sont alignés si, et seulement si, il existe un entier relatif k tel que 4n – 4p = 3k . 6. On considère l’équation : 4x – 3y = 4p (E ) , où p est un entier relatif. a. Justifier que l’équation (E ) admet des solutions. b. Déterminer une solution particulière de l’équation : 4x – 3y = 4p . c. Résoudre dans 2 l’équation (E ) . d. En déduire l’ensemble des entiers naturels n tels que O , Mn et Mp soient alignés.

79 77

Tangente commune à deux cercles

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , unité graphique : 5 cm. On considère les points A , B et  d’affixes respectives : 2 2 1 . ----------- + --- i 3 3 Soit C un point tel que OACB soit un rectangle. On note I le milieu du segment [ OA ] , J le milieu du segment [ BC ] et K le milieu du segment [AI ] . 1. Placer tous ces points sur une figure. 2. On considère la transformation S du plan dans lui-même d’écriture complexe : 2 ,

i

et

2 2 z ′ = – i ------- z + ------- + i . 2 2 a. Quelle est la nature de S ? Déterminer les éléments caractéristiques de S . b. Déterminer les images par S des points O , A , B et C . 3. a. Montrer que les points A , B et  sont alignés.

74

L’arithmétique vole au secours d’un alignement

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) (unité graphique : 1 cm). On considère la transformation f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe z ′ telle que : z ′ = ( – 1 – i 3 )z , et l’on définit une suite de points ( M n ) de la façon suivante :

Soit le repère orthonormal direct ( O ; u, v ) du plan complexe. Les points A , B et C sont définis par leurs affixes respectives : z A = 3 – i 3 ; z B = 3 + i 3 et z C = 2 + 3 + 3i . 1. Faire la figure en choisissant pour unité graphique 2 cm. On placera l’origine sur la gauche de la feuille. 2. Prouver que OAB est un triangle équilatéral direct. Soit G le centre de gravité du triangle OAB . Déterminer l’affixe zG de G . Dans la suite de l’exercice, on étudie deux isométries transformant [ OA ] en [ GC ] . 3. Soit a et b deux nombres complexes et R l’application qui au point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe z ′ telle que : z ′ = az + b . a. Déterminer a et b pour que R ( O ) = G et R ( A ) = C . b. Prouver que R est une rotation dont on déterminera le centre et l’angle. c. Prouver que les droites ( OA ) et ( GC ) sont perpendiculaires.

p066-075-exos.fm Page 75 Vendredi, 19. mai 2006 11:53 11

Que peut-on dire des points G , B et C ? d. Construire, en justifiant la construction, l’image du triangle OAB par R . 4. Soit a′ et b′ deux nombres complexes et f l’application qui au point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe z ′ telle que : z ′ = az + b . a. Déterminer a′ et b′ pour que f ( O ) = G et f ( A ) = C . b. Soit I le milieu du segment [ OG ] . Déterminer le point f (I ) . f est-elle une réflexion ? c. Construire, en justifiant la construction, l’image du triangle OAB par f . D’après Bac

80

Des similitudes et les suites

Dans le plan complexe  rapporté au repère orthonormal direct ( O ; u, v ) d’unité graphique 5 cm, on donne les points A , B et C d’affixes respectives i , 2 et 2 + i ; on appelle I , J et K les milieux respectifs des segments [OB ] , [AC ] et [BC ] et s la similitude directe qui transforme A en I et O en B . 1. a. Déterminer le rapport et l’angle de s . b. Donner l’écriture complexe de s . c. En déduire l’affixe du centre  de s . Représenter  dans le plan  . d. Quelle est l’image par s du rectangle AOBC ? =ss . a. Quelles sont les images des points O , B et A par s2 ? b. Montrer que s2 est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport. c. En déduire que les droites ( OC ) , ( BJ ) et ( AK ) sont concourantes.

2. On considère la transformation

s2

3. On définit la suite de points An de la façon suivante :

A 0 = A et, pour tout n ∈  , A n + 1 = s ( A n ) . a. Préciser les points A1 , A2 et A3 sur la figure du 1. c. b. On note un la longueur du segment [ A n A n + 1 ] . Exprimer un en fonction de u n – 1 . Calculer u0 et en déduire un en fonction de n . n

c. Calculer S n =



u k en fonction de n .

k=1

Quelle est la limite de Sn lorsque n tend vers + ∞ ?

81

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . Les constructions seront faites sur papier millimétré. 1. a. Le point E a pour affixe Z E = 3 + i et le point F a pour affixe Z F = 1 + 3i . Placer dans P les points E et F . b. Construire le point H tel que EHF soit un triangle rectangle isocèle direct de sommet H . c. On désigne par ZH l’affixe de H . Montrer que :

3 + i – ZH   3 + i – ZH  --------------------------- = ---- [ 2 ] . --------------------------- = 1 et que arg  1 + 3i – Z H 2 1 + 3i – Z H En déduire que Z H = 3 + 3i . 2. A , B , C et D sont quatre points du plan P . a. Construire les triangles rectangles isocèles directs BIA , AJD , DKC et CLB d’angles droits respectifs BIA , AJD , DKC et CLB . b. Conjecturer la position relative des droites ( IK ) et ( LJ ) et le rapport des longueurs des segments [ IK ] et [ LJ ] . 3. a. On désigne par a , b et zI les affixes respectives des points A , B et I . b – zI b–z  Montrer que -------------I = 1 et arg  ------------- = ---- [ 2 ] .  a – z I 2 a–z I

ia – b En déduire que z I = --------------- . i–1 b. Avec les points B , C et L d’affixes respectives b , c et zL , exprimer sans démonstration zL en fonction de b et c . D’après Bac, Polynésie, juin 2003

82

Dans le plan, on considère deux segments [ AC ] [ BD ] tels que :

et

 ( AC, BD ) = – ---- . 2 On désigne par M le milieu de [ AC ] et par N celui de [ BD ] . On appelle 1 , 2 , 3 et 4 les cercles de diamètres respectifs [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] et [ DA ] . On pourra s’aider d’une figure (la plus quelconque possible). 1. a. Soit r la rotation qui transforme A en B et C en D . Quel est l’angle de r ? Montrer que le centre I de r appartient aux cercles 1 et 3 . b. Soit r ′ la rotation qui transforme A en D et C en B . Quel est l’angle de r ′ ? Montrer que le centre J de r ′ appartient aux cercles 2 et 4 . c. Quelle est la nature du quadrilatère INJM ? On désigne par P et R les points diamétralement opposés à I sur, respectivement, 1 et 3 et par Q et S les points diamétralement opposés à J sur, respectivement, 2 et 4 . AC = BD

et

2 les exercices

Les similitudes

2. Soit s la similitude directe de centre I , de rapport

2 et  d’angle ---- . 4 a. Quelles sont les images par s des points D , N , B ? b. En déduire que J est le milieu de [ PR ] . D’après Bac, Antilles-Guyane, septembre 2002

83

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) d’unité graphique 2 cm. On donne les points A , C , D et  , d’affixes respectives 1 1 + i , 1, 3 et 2 + --- i . 2

Partie A 1. Soit  le cercle de centre  passant par A . a. Montrer que  passe par C et D . b. Montrer que le segment [ AD ] est un diamètre de  . c. Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure en plaçant les points A , C , D ,  et tracer  . On note B la seconde intersection de  avec la droite ( OA ) . d. Montrer que le point O est extérieur au segment [ AB ] . 2. Montrer par un raisonnement géométrique simple que les triangles OAD et OCB sont semblables mais non isométriques. 3. Soit S la similitude qui transforme le triangle OCB en le triangle OAD . a. Montrer que S est une similitude indirecte différente d’une réflexion. b. Quel est le centre de S ? Partie B

1. a. Déduire de la partie A. 2. que l’on a : OA × OB = OC × OD . b. En déduire le module de l’affixe zB du point B . Déterminer un argument de zB . 2. Déterminer l’écriture complexe de S . 3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de SS . D’après Bac, Polynésie, juin 2003

75

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LES Q.C.M. QCM À chaque question, une ou plusieurs réponses sont possibles.

comme

(au)

bac…

Les similitudes

84

On considère le triangle équilatéral direct ABC , on note G le centre de gravité du triangle et I le milieu du segment [ AB ] . 1. La similitude directe S de centre G qui transforme B en I admet : a pour rapport 1--- et pour angle  ---- . 2 3 1 b pour rapport --- et pour angle –  ---- . 2 3  c pour rapport 2 et pour angle ---- . 3 d pour rapport 2 et pour angle –  ---- . 3 2. La similitude directe S′ qui transforme A en G et C en B admet : a pour rapport 3 et pour angle  ---- . 2 b pour rapport 3 et pour angle –  ---- . 2 3  c pour rapport ------- et pour angle ---- . 3 2 3  pour rapport ------- et pour angle – ---- . 3 2 3. Quand M décrit la parallèle à ( BC ) passant par A , alors S ( M ) décrit :

d

a b c d

la parallèle à ( BC ) passant par G . la droite ( GB ) .

VRAI FAUX

76

de centre A et de rayon

3 .

de centre B et de rayon

3 .

de centre I et de rayon

3 .

de centre le milieu de [AI ] et de rayon

Dans le carré direct ABCD , on considère le repère ( A ; A B, A D ) .

1. L’écriture complexe de la similitude directe de centre D ,  de rapport 2 et d’angle – ---- est : 2

a

z ′ – 1 = – 2i ( z – 1 ) .

b

z ′ = 2iz + 2 + i .

–1 1 + iz = ------- ( z ′ + i ) . 2 2. L’écriture complexe de la similitude directe de centre C dont B est l’image de A est :

c

z ′ = – 2iz – 2 + i .

a

1 1 z ′ =  --- + --- i z + 1 . 2 2 

b

z ′ = ( 1 + i )z + 1 – i .

c

2 – ---- i z ′ – ( 1 + i ) = ------- e 4 ( z – ( 1 + i ) ) . 2

d





2 ---- i z ′ – ( 1 + i ) = ------- e 4 [ z – ( 1 + i ) ] . 2 3. L’écriture complexe de la réflexion d’axe ( BD ) est :

d a c

z′ = z . z ′ = iz + 1 + i .

b d

z ′ = – iz + 1 + i . z ′ = – 2iz + 3 + 3i .

86

Dans le plan complexe, on considère les points A , B , A′ et B′ d’affixes respectives 1, 1 + i , 3 – i et 5 – i . 1. L’écriture complexe de la similitude indirecte qui transforme A en A′ et B en B′ est :

la droite ( AC ) .

la parallèle à ( BC ) passant par le milieu du segment [CI ] . 4. Quand M décrit le cercle de centre C et de rayon 3, alors S′ ( M ) décrit le cercle :

a b c d

85

a z ′ = 2iz + 3 – 3i . b z ′ = – 2iz + 3 + i . c z ′ = 2iz + 3 + i . d z ′ = – 2 iz + 3 + 3i . 2. L’écriture complexe de la similitude directe qui transforme A en B et A′ en B′ est :

a

z ′ = 2z – 1 + i .

c

z ′ = ( – 2 – 8i )z – 2i . d

b

1 7 14 12 z ′ =  ------ – ------ i z + --- + --- i . 5 5  5 5 z ′ = – 2iz + 3 + i .

3 .

FAUX VRAI 87 1  Une similitude directe de rapport 1 est une rotation. 2  Une symétrie centrale est une similitude indirecte. 3  Une translation est un déplacement d’angle nul. 4  Une translation est une similitude d’angle nul. 5  Une homothétie de rapport – 1 est un antidéplacement. 6  Une similitude d’angle nul est une translation. 7  Une similitude directe autre que l’identité admet exactement un point invariant. 8  Une similitude d’angle  est une homothétie. 9  Une homothétie est un déplacement. 10  L’écriture complexe z ′ = az + b ( a ∈  et b ∈  ) est celle d’une similitude directe.

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On considère une similitude s de rapport k et une 1 homothétie h de rapport --- . k 1. Quelle est la nature de la transformation h  s ? 2. En déduire que toute similitude de rapport k est la composée d’une homothétie de rapport k et d’une isométrie. 3. Application On considère la similitude s d’écriture complexe : z ′ = 2iz + 1 + 2i , et l’homothétie h de centre O et de rapport 2 . Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’isométrie f telle que s = f  h .

89

On considère l’homothétie h de centre A ( a ) et de rapport k avec k > 0 et l’homothétie h′ de centre B ( b ) et de rapport k ′ avec k ′ > 0 . 1. Donner l’écriture complexe des homothéties h et h′ . 2. Déterminer l’écriture complexe de la similitude h′  h . 3. Discuter suivant la valeur de kk ′ la nature et les éléments caractéristiques de h′  h . 4. Application : On considère les homothéties h 1 de centre A ( 1 + i ) et de 1 rapport 2 , h2 de centre B ( – 2i ) et de rapport --- et h3 de 2 centre C ( – 1 + 2i ) et de rapport 2 . a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de h2  h1 . b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de h3  h1 .

90

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , on considère les points A et B d’affixes respectives a et b .

1. Donner l’écriture complexe de la réflexion d’axe ( OA ) notée S ( OA ) .

2. Donner l’écriture complexe de la réflexion d’axe ( OB ) notée S ( OB ) . 3. Montrer que l’écriture complexe de S ( OA )  S ( OB ) est : ab z ′ = ------- z . ab et en déduire que S ( OA )  S ( OB ) est la rotation de centre O

et d’angle 2 ( OB ; O A ) . 4. Application Quelle est la nature de S ( OA )  S ( OB ) dans le cas où : a. a = 1 – i et b = 1 + i ? b. a = 3 et b = 1 + i ?

91

Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que :  AB = 2 , AC = 1 + 5 et ( AB ; A C ) = ---- . 2 1. a. Démonstration de cours Démontrer qu’il existe une seule similitude directe S transformant B en A et A en C . b. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de S . 2. On appelle  le centre de S . Montrer que  appartient au cercle de diamètre [ AB ] et à la droite ( BC ) . Construire le point  . 3. On note D l’image du point C par la similitude S . a. Démontrer l’alignement des points A ,  et D ainsi que le parallélisme des droites ( CD ) et ( AB ) . Construire le point D . b. Montrer que CD = 3 + 5 . 4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur ( CD ) . a. Expliquer la construction de l’image F du point E par S et placer F sur la figure. b. Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?

bac…

88

(au)

LES RESTITUTIONS DE CONNAISSANCES (ROC)

2 comme

Les similitudes

Bac, Amérique du Nord, 2005

LES SUJETS 92

Similitudes et suites Le plan  est rapporté à un repère orthonormal ( O ; u, v ) d’unité graphique 3 cm. On considère les points A , B , C et D d’affixes respectives a , b , c et d telles que :

1 2 b = 1 + --- i , c = 3i et d = – --- i . 3 3 1. Représenter les points A , B , C et D . 2. Déterminer l’angle  et le rapport k de la similitude directe s qui transforme A en B et C en D . 3. Donner l’écriture complexe de s . En déduire l’affixe du centre I de s . 4. Soit M le point de coordonnées ( x ; y ) et M′ ( x′ ; y ′ ) son image par s . Montrer que : a=3 ,

x ′ = – 1 --- y + 1 3   1  y ′ = --- x – 1 --- .  3 3

5. On construit une suite ( M n ) de points du plan en posant :  M0 = A   pour tout entier naturel n, M n + 1 = s ( M n ) .

Pour tout entier naturel, on note zn l’affixe du point Mn , et on pose : rn = zn – 1

et

 n = arg ( z n – 1 ) .

a. Montrer que ( r n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b. Montrer que (  n ) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. c. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que : IM k  10 – 3 ,

et donner une mesure de l’angle orienté ( u ; I M k ) . D’après Bac, Polynésie, 2004

77

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93

comme

(au)

bac…

Les similitudes

Sujet corrigé Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . Le quadrilatère MNPQ est un quadrilatère non croisé et de sens direct. Les triangles MRN , NSP , PTQ et QUM sont des triangles rectangles isocèles, extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct, les sommets des angles droits étant respectivement R , S , T et U .

Partie A On désigne par m , n , p et q les affixes respectives des points M , N , P et Q . 1. Soit f la similitude directe de centre M qui transforme N en R . a. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude f . b. On désigne par r l’affixe du point R . Démontrer que 1–i 1+i r = ----------- m + ----------- n , où i désigne le nombre complexe de 2 2  module 1 et d’argument ---- . 2 On admettra les résultats suivants : 1–i 1+i 1–i 1+i s = ----------- n + ----------- p , t = ----------- p + ----------- q 2 2 2 2 1+i 1–i et u = ----------- q + ----------- m , 2 2 où s , t et u désignent les affixes respectives des points S , T et U . 2. Démontrer que les quadruplets ( M, N, P, Q ) et ( R, S, T, U ) ont le même isobarycentre.

3. a. Démontrer l’égalité u – s = i ( t – r ) . b. Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments [RT ] et [SU ] , d’une part, et pour les droites (RT ) et (SU ) , d’autre part ? Partie B 1. Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la partie A, qu’il existe une unique rotation g qui transforme R en S et T en U . 2. Décrire comment construire géométriquement le point  , centre de la rotation g . D’après Bac, Sujet national, 2005

c Corrigé

p. 112

94

Géométrie plane Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O . Soit P un point du segment [ BC ] distinct de B . On note Q l’intersection de ( AP ) avec ( CD ) . La perpendiculaire  à ( AP ) passant par A coupe ( BC ) en R et ( CD ) en S . 1. Faire une figure. ---- . 2. Soit r la rotation de centre A et d’angle  2 a. Préciser, en justifiant la réponse, l’image de la droite ( BC ) par la rotation r . b. Déterminer les images de R et de P par r . c. Quelle est la nature de chacun des triangles ARQ et APS ?

3. On note N le milieu du segment [ PS ] et M celui du segment [ QR ] . Soit s la similitude de centre A , d’angle  1 ---- et de rapport ------- . 4 2 a. Déterminer les images respectives de R et de P par s . b. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [ BC ] privé de B ? c. Démontrer que les points M , B , N et D sont alignés. D’après Bac, Antilles, 2004

78

95

Autour de similitudes indirectes Soit le repère orthonormal direct ( O ; u, v ) du plan complexe. Les points A , A′ , B et B′ sont définis par leurs affixes respectives : z A = 1 – 2i ;

z A′ = – 2 + 4i ;

zB = 3 – i

et

z B′ = 5i .

1. a. Faire la figure en choisissant pour unité graphique 1 cm. Montrer que ABB′A′ est un rectangle. b. Soit s la réflexion telle que s ( A ) = A′ et s ( B ) = B′ . On note  son axe. Donner une équation de la droite  et la tracer dans le plan complexe. c. On note z ′ l’affixe du point M′ image par s de point M d’affixe z . Montrer que : 3 4 z ′ =  --- + --- i z + 2i – 1 . 5 5  2. Soit g l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point P d’affixe z ′ définie par : 6 8 z′ =  – --- – --- i z + 5 – i .  5 5  a. On note C et D les images respectives de A et B par g ; déterminer les affixes de C et D et placer ces points dans le plan complexe. b. Soit  le point d’affixe 1 + i et h l’homothétie de centre  et de rapport – 2 . Montrer que C et D sont les images respectives de A′ et B′ par h . c. Soit M1 , d’affixe z1 , l’image de h de M , d’affixe z . Donner les éléments caractéristiques de h – 1 et exprimer z en fonction de z1 .

3. On pose f = h – 1  g . a. Déterminer l’expression complexe de f . b. Reconnaître f . En déduire une construction du point P , image par g d’un point M quelconque donné du plan. D’après Bac, Amérique du Nord, 2004

96

Avec des triangles semblables Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Première partie ABC est un triangle direct du plan orienté. On désigne respectivement par I , J et K les milieux de [ AB ] , [ BC ] et [ CA ] et soit  un réel. d1 est l’image de la droite ( AB ) par la rotation de centre I et d’angle  . d2 est l’image de la droite ( BC ) par la rotation de centre J et d’angle  . d3 est l’image de la droite ( CA ) par la rotation de centre K et d’angle  . A1 est le point d’intersection de d1 et d3 , B1 celui de d1 et d2 , et C1 celui de d2 et d3 .

1. On appelle H le point d’intersection de ( BC ) et d1. Montrer que les triangles HIB et HB1J sont semblables.

2. En déduire que les triangles ABC et A1B1C1 sont semblables. Deuxième partie Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . A – Construction de la figure 1. Placer les points A ( – 4 – 6i ) , B ( 14 ) , A 1 ( 3 – 7i ) , B 1 ( 9 + 5i ) et C 1 ( – 3 – i ) .

C ( – 4 + 6i ) ,

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3. Montrer que A1 , l , B1 sont alignés. On admettra que B1 , J , C1 d’une part et C1 , K , A1 d’autre part sont alignés. 4. Déterminer une mesure en radians de l’angle ( IB ; I B 1 ) . On admettra que :  ( KA ; K A 1 ) = ---4

et

 ( JC ; J C 1 ) = ---- . 4

5. Quelle est l’image de la droite ( AB ) par la rotation de  centre I et d’angle ---- ? 4 B – Recherche d’une similitude directe s transformant ABC en A1B1C1 On admet qu’il existe une similitude directe s transformant les points A , B et C respectivement en A1 , B1 et C1 .

1. Monter que l’écriture complexe de s est : 1 1 z ′ =  --- + --- i z + 2 – 2i , 2 2  où z et z ′ désignent respectivement les affixes d’un point et de son image par s .

2. a. Déterminer le rapport et l’angle de s . b. Déterminer l’affixe du centre  de s . 3. Que représente le point  pour le triangle ABC ? D’après Bac, Inde, 2003

97

Un alignement particulier Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , unité graphique : 1 cm. On considère la transformation f du plan qui a tout point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe z ′ telle que : z ′ = – ( 3 + i )z – 1 + i ( 1 + 3 ) .

98

Similitudes et arithmétique Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z , fait correspondre le point M′ d’affixe z ′ telle que :

3 + 4i 1 – 2i z ′ = --------------- z + -------------- . 5 5 1. On note x et x ′ , y et y ′ les parties réelles et les parties imaginaires de z et z ′ . Démontrer que : + 4y + 1  x ′ = 3x -----------------------------5   4x – 3y –2  y ′ = ----------------------------.  5

2. a. Déterminer l’ensemble des points invariants par f . b. Quelle est la nature de l’application f ?

3. Déterminer l’ensemble des points D des points M d’affixe z tels que z ′ soit réel.

4. On cherche à déterminer les points D dont les coordonnées sont entières. a. Donner une solution particulière ( x 0 ; y 0 ) appartenant à 2 de l’équation 4x – 3y = 2 . b. Déterminer l’ensemble des solutions appartenant à 2 de l’équation 4x – 3y = 2 .

bac…

[ AB ] , [ BC ] et [ CA ] . Placer ces points sur la figure.

2 (au)

2. Calculer les affixes des milieux I , J et K des segments

comme

Les similitudes

5. On considère les points M d’affixe z = x + iy tels que

x = 1 et y ∈  . Le point M′ = f ( M ) a pour affixe z′ . Déterminer les entiers y tels que Re ( z ′ ) et Im ( z ′ ) soient entiers.

Utiliser les congruences modulo 5. D’après Bac, Inde, 2005

1. Montrer que f est une similitude directe dont le centre  a pour affixe i . En déterminer le rapport et l’angle.

2. Soit M0 le point d’affixe : Calculer M0 ( u ;  M0 ) .

3 3 z 0 = ------- + --- i . 4 4 et donner une mesure en radians de l’angle

3. On considère une suite de points ( M n ) définie pour tout

entier naturel n par M n + 1 = f ( M n ) . On appelle zn l’affixe du point Mn . a. Placer les points  , M0 , M1 , M2 , M3 et M4 . b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 7n i -----------

zn – i = 2 n e 6 ( z0 – i ) . c. Pour tout entier naturel n , calculer Mn , puis déterminer le plus petit entier naturel n tel que :  M n  10 2 .

4. a. On considère l’équation : 7x – 12y = 1 (E) où x et y sont deux entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple ( – 5 ; – 3 ) est solution, résoudre l’équation ( E ) . b. Soit  l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que Im ( z ) = 1 et Re ( z )  0 . Caractériser géométriquement  et le représenter. Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que Mn appartienne à la demi-droite d’origine  dirigée par le vecteur u . Préciser son plus petit élément. D’après Bac, La Réunion, 2003

99

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On prendra 5 cm pour unité graphique. Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M′ d’affixe z ′ définie par : 1 1 z ′ =  --- + --- i z + 1 . 2 2  1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre  (d’affixe ), le rapport k et l’angle  . 2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n , on pose A n + 1 = f ( A n ) . a. Déterminer les affixes des points A1 , A2 et A3 puis placer les points A0 , A1 , A2 et A3 . b. Pour tout entier naturel n , on pose u n = A n . Justifier que la suite ( u n ) est une suite géométrique puis établir que, 1 n pour tout entier naturel n , u n = 2  ------- .  2 c. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre  et de rayon 0,1 ?

3. a. Quelle est la nature du triangle A0A1 ? En déduire, pour tout entier naturel n , la nature du triangle A n A n + 1 . b. Pour tout entier naturel n , on note n la longueur de la ligne brisée A 0 A 1 A 2 … A n – 1 A n . On a ainsi :  n = A 0 A 1 + A 1 A 2 + … + A n – 1 A n . Exprimer n en fonction de n . Quelle est la limite de la suite ( n ) ? D’après Bac, Pondichéry, 2006

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Un autre regard

p080-regard.fm Page 80 Vendredi, 19. mai 2006 12:00 12

Art de voir en relief une image : la stéréographie La stéréographie est un procédé qui consiste à recréer un relief à partir d’une image en deux dimensions. Ce procédé est basé sur le fait que les yeux sont espacés de quelques centimètres et qu’ils donnent une image légèrement différente que le cerveau corrige aussitôt. Fermez un œil et essayez de verser de l’eau dans un verre, il est peu probable que vous réussissiez. Pour créer le relief, on utilise le principe de la vision double. ● Regardons deux images identiques normalement ( O1 et O2 représentent les deux yeux).

O1 A

L’homothétie de centre O1 qui transforme A en A1 , transforme B et C respectivement en B1 et C1 .

A1 B

De plus, d’après les propriétés de l’homothétie, si on a : B1

C

1 1 AB = --- AC , alors A 1 B 1 = --- A 1 C 1 . 3 3 Le raisonnement est analogue pour l’œil O2 .

A’ B’ C1 C’ O2



Regardons deux images identiques en louchant face à l’une de ces images. L’effet produit est, alors de déplacer la position du point B . O1 A A1 B C B1 A’ C1 B’ C’ O2

En louchant, on crée une vision en relief. Pour créer un stéréogramme, on constitue une image composée d’une répétition très nombreuse d’une même séquence.

80