Lezione 1 - Dipartimento di Fisica

Corso di Fisica I per Matematica DOCENTE: Marina COBAL: [email protected] – Tel. 339- 2326287

TESTO di RIFERIMENTO: Mazzoldi, Nigro, Voci: Elementi d fisica,Meccanica e Termodinamica Ed. EdiSES FONDAMENTI DI FISICA - Meccanica e Termologia D. Halliday, R. Resnick, J. Walker CALENDARIO: 1) Introduzione, cinematica in 1D-2D 2) Cinematica in 3D 3) Dinamica del punto, leggi di Newton 4) Dinamica del punto, tipi di forze 5) Dinamica del punto: Energia 6) Dinamica del punto: momento angolare, moti relativi 7) Dinamica di sistemi di punti, centro di massa 8) Dinamica di sistemi di punti, Konig, Huygens-Steiner 9) Corpo rigido, rotolamento puro 10)Termodinamica, 1° principio, calore e lavoro, gas perfetti 11)Termodinamica, macchine termiche, ciclo di Carnot, 2° principio

PROGRAMMA DEL CORSO di FISICA GENERALE I Vettori e calcolo vettoriale Cinematica del punto materiale Moto unidimensionale (posizione, velocità, accelerazione). Moto in due dimensioni. Moto circolare e moto dei gravi Dinamica del punto materiale. Concetto di forza. I tre principi di Newton . La quantità di moto. Risultante delle forze, equilibrio e reazioni vincolari. Classificazione delle forze: forza peso, forze di attrito radente, piano inclinato, forza elastica, forza di attrito viscoso, forze centripete. Dinamica del punto: lavoro, energia, momenti Lavoro e potenza. Energia cinetica e Teorema dell energia cinetica. Lavoro di alcune forze: forza peso, forza elastica e forza di attrito. Forze conservative e energia potenziale. Energia meccanica e sua conservazione. Momento di una forza e momento della quantità di moto.Teorema del momento angolare. Dinamica dei sistemi di punti Definizione di sistema di punti materiali. Forze interne e forze esterne. Centro di massa di un sistema e suo moto. Conservazione della quantità di moto per un sistema. Momento angolare di un sistema e conservazione del momento angolare. Sistema di riferimento del centro di massa. Teoremi di Konig, lavoro ed energia. Corpo rigido: definizione e centro di massa. Dinamica del corpo rigido Teoremi di Huygens-Steiner e Konig. Dinamica del corpo rigido in generale. Pendolo composto e rotolamento puro. Leggi di conservazione. Termodinamica Sistema termodinamico. Definizione, variabili termodinamiche, equilibrio del sistema. Equazione di stato. Trasformazioni termodinamiche, trasformazioni reversibili e irreversibili. Temperatura di un sistema. Primo Principio della Termodinamica. Esempi di trasformazioni termodinamiche.Trasformazioni cicliche. Ciclo di Carnot. Secondo Principio della Termodinamica. Teorema di Carnot. Entropia.

Corso di Fisica I Prof. M. Cobal [email protected]

Calcolo Vettoriale

Vettori dello spazio bidimensionale Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali

3

y

2 1

-3

-2

-1

0 -1 -2 -3

1

2

3

x

Vettori dello spazio bidimensionale Dato un sistema di riferimento sul piano formato da due assi cartesiani ortogonali

3

y

2 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -2 -3

Ad ogni segmento orientato si può associare una coppia ordinata di numeri reali (x;y), data dalle coordinate dell estremo del segmento orientato

Vettori dello spazio bidimensionale v = (3;2)

3 P (3; 2)

2

v

1

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -2

Ogni vettore nel piano si può quindi rappresentare come

-3

coppia ordinata di numeri reali (rappresentazione algebrica o analitica)

Vettori dello spazio bidimensionale v = (3;2) 3 u =(-1;-3)

P (3; 2)

2

v

1 j -3

-2

0

-1

i

1

2

3

-1 u -2

Ogni vettore nel piano si può quindi rappresentare come coppia ordinata di numeri reali

Q (-1; -3)

(rappresentazione algebrica o analitica)

Vettori dello spazio bidimensionale w = (2;3) T (2; 3)

3

r =(1;-3)

2

i = (1;0)

w 1

-3

-2

-1

0

i

1

-1 -2 -3 S (1; -3)

2

3

Vettori dello spazio bidimensionale v = (3;2) u =(1;-3)

3

i = (1;0)

2

j = (0;1)

P (3; 2)

v

1 j -3

-2

-1

0

i

1

-1 u

0 = (0;0)

-2 -3 Q (1; -3)

2

3

Vettori dello spazio tridimensionale Ogni vettore nello spazio tridimensionale si può rappresentare come terna ordinata di numeri reali (rappresentazione algebrica/analitica) -1

-2

-3

3 x

v = (3;4;4)

z

0 = (0;0;0)

3

i = (1;0;0) 2

j = (0;1:0)

V 1

k = (0;0:1)

k i -1 -2 -3

j

1

2

3

y

Vettori dello spazio tri-dimensionale v = (3;4;4)

z

I vettori di modulo unitario (lunghezza = 1) si dicono versori

0 = (0;0;0)

3

i = (1;0;0)

2

j = (0;1:0)

V

1

k = (0;0:1)

k 0 -3

-2

-1

i

j

1

2

3

y

-1

3 x

-2 -3

I versori lungo i tre assi coordinati i=(1;0;0), j= (0;1;0), k= (0;0;1) Sono i versori principali

Somma e differenza di vettori In rappresentazione geometrica la somma di due vettori degli spazi R2 e R3 è data dalla regola del parallelogramma :

u u+v

v

Somma e differenza di vettori In rappresentazione geometrica la differenza di due vettori si ottiene come indicato in figura: ( La differenza di due vettori è uguale alla somma del primo con l opposto del secondo )

u-v

u u-v v

(I due segmenti orientati blu sono equipollenti e quindi rappresentano lo stesso vettore differenza u – v)

Somma e differenza di vettori In rappresentazione algebrica la somma (o la differenza) di due vettori (di coordinate date) è un terzo vettore che ha come coordinate la somma (o la differenza) delle coordinate corrispondenti. Es,: dati: u = (1; -3; 2); u + v = (3; -3; 7) ;

v = (2; 0; 5) u - v = (-1; -3; -3)

Vettori dello spazio n-dimensionale Oltre le tre dimensioni non è possibile nessuna rappresentazione geometrica dei vettori, ma solo la rappresentazione algebrica ( o analitica):

Un vettore è rappresentato da una successione ordinata di n numeri (n-pla ordinata) v = (x1; x2; x3; ….; xn)

Vettori dello spazio n-dimensionale Esempi:

u = (1; -3; 2.5; 2) è un vettore dello spazio R 4 v = (2; 0; 5; -2; 8) è un vettore dello spazio R 5 w = (1; -3; 2.5; 2; 0; 1; -5)) è un vettore dello spazio R 7

Vettori dello spazio n-dimensionale I vettori

La somma di due vettori nello spazio Rn è un vettore che ha per coordinate la somma delle coordinate corrispondenti (analogamente per la differenza). Se: u = (x1; x2; x3; …xn)

e

v = (y1; y2; y3; …yn)

Allora: u + v = (x1+y1; x2+y2; x3+y3; …; xn+yn) Es,: u = (1; -3; 2.5; 2); u + v = (3; -3; 7.5; 0)

v = (2; 0; 5; -2)

Modulo di un vettore Dato il vettore v, il suo modulo v è la lunghezza, in valore assoluto, del segmento orientato che rappresenta il vettore (fino a tre dimensioni - spazio R3)Se un vettore è dato mediante le sue coordinate: v = (x; y; z) ⇒ v= x 2 + y2 + z2 L espressione sotto radice (x2 + y2 + z2) è anche detta norma del vettore v. Come si vedrà più avanti, essa è uguale al prodotto scalare del vettore per se stesso, v v = v2 E, in generale, per un vettore dello spazio Rn (vettore a n coordinate), il suo modulo è dato da: v = (x1; x2; x3; … ; xn) ⇒ v=

n

∑ i xi 1

2

Modulo di un vettore Dato il vettore v sul piano (spazio R2 ), definito analiticamente da due coordinate, v = (x;y), il suo modulo v è dato da: y v

v=

x2 + y 2 x

Esso deriva dall applicazione del Teorema di Pitagora nella rappresentazione geometrica, come facilmente si desume dalla figura

Modulo di un vettore La precedente relazione per il modulo di un vettore dello spazio R 3 (vettore a tre coordinate):

z V y

v = (x; y; z) ⇒ v=

x 2 + y2 + z2

x

deriva dal Teorema di Pitagora generalizzato nello spazio.

Si generalizza ulteriormente per gli spazi astratti R n a più di tre dimensioni, portando alla già citata relazione generale: n

v = (x1; x2; x3; … ; xn) ⇒ v=

∑ i xi 2 1

Distanza tra due punti Dati due vettori: u = (x1; y1; z1) v = (x2; y2; z2) Il modulo della differenza tra i due vettori u e v (in R2 o R3) u - v è dato da:

u - v= ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 + ( z1 − z2 )2 dove il terzo addendo (z1-z2)2 è nullo nel caso che i vettori siano di R2 (vettori del piano x, y).

Distanza tra due punti Dati due vettori: u = (x1; x2; x3); v = (y1; y2; y3) se consideriamo i loro estremi P1 e P2 (le cui coordinate sono quelle indicate), il modulo della differenza dei due vettori (vedi rappresentazione geometrica) corrisponde alla distanza (numero assoluto!) tra i punti estremi P1 e P2. Nell esempio in figura abbiamo: P1 = (x1; y1); P2= (x1; y1)

y1

P1

u

u-v

La loro distanza, d(P1P2) è: d(P1P2) =

( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2

v

y2

x1

x2

P2

Prodotto di un numero per un vettore Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il prodotto di un numero (reale) c per un vettore v :

u=cv Il risultato di tale moltiplicazione è un vettore (u) che ha: -  stessa direzione di v (u parallelo a v) -  verso concorde o discorde a quello di v, a seconda che c sia rispettivamente positivo o negativo

- modulo di u uguale a modulo di c per modulo di v u= cv

Prodotto di un numero per un vettore

Es.:

u=3v u v

v u

u = -2 v

Prodotto di un numero per un vettore

In rappresentazione analitica (vettori rappres. mediante le coordinate), il prodotto di c per un vettore v si ottiene moltiplicando ciascuna coordinata per c. Es.: sia dato: v = (2; -3; 1) u = 3 v = 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3) w = -2 v = -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)

Prodotto di un numero per un vettore Quindi si può dare un criterio di parallelismo tra due vettori: Due vettori u e v (non nulli) sono paralleli (o proporzionali) se e solo se uno di essi si può ottenere dall altro moltiplicandolo per un opportuno numero c, cioè se le coordinate dei due vettori sono proporzionali Ovvero: u || v se esiste un numero c tale che v = cu Es.: u = (2; -1; 5) e v = (-8; 4; -20) sono paralleli, poiché v = -4u Le coordinate di u e v risultano proporzionali (è costante il rapporto tra le coordinate corrispondenti: 2/(-8) = -1/(-4) = 5/(-20) = -4

Prodotto scalare o interno di due vettori NON è un vettore, ma un numero (o scalare) In rappresentazione geometrica: u v = uvcos θ Prodotto dei moduli (lunghezze dei vettori) per il coseno dell angolo tra i vettori ovvero: modulo di un vettore per la proiezione dell altro sulla direzione del primo

v

θ u

Prodotto scalare o interno di due vettori Esempio 1:

v= 2; u= 2.2;

θ = 30° ⇒ cos θ = √3/2

u v = uvcos θ = 2 • 2.2 • √3/2 ≈ 3.81 v 30° u


v= 1; u= 2.2;

θ = 120° ⇒ cos θ = -1/2

u v = uvcos θ = 1 • 2.2 • (-1/2) = -1.1

v 120°

u


θ = 90° ⇒ cos θ = 0

v= 1; u= 2.2;

u v = uvcos θ = 1 • 2.2 • 0 = 0

v 90°

u

Prodotto scalare o interno di due vettori In rappresentazione algebrica: Il prodotto scalare si può ottenere se sono date le coordinate dei vettori : u = (x1; y1; z1) v = (x2; y2; z2) Il loro prodotto scalare è: u v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 Es.: u = (3; -1; 4) ;

v = (2; 5; -3)

u v = 3*2 + (-1)*5 + 4 *(-3) = -11

Prodotto scalare o interno di due vettori

In rappresentazione algebrica: Il prodotto scalare di due vettori nello spazio ndimensionale R n (n coordinate): u = (x1; x2; x3; … ; xn) v = (y1; y2; y3; … ; yn )

n

Il loro prodotto scalare è: u v = ∑ i xi yi 1

Es.: u = (3; -1; 4; 0; 5) ;

v = (2; 5; -3; 1; -2)

u v = 3*2 + (-1)*5 + 4 *(-3) + 0 * 1+5 * (-2)= -21

Prodotto scalare o interno di due vettori Attraverso il prodotto scalare possiamo dare la: Condizione di perpendicolarità tra due vettori : Due vettori (siano u e v) non nulli sono perpendicolari (o ortogonali) se e solo se Il loro prodotto scalare è nullo (uv=0) Es.: u = (3; -1; -1);

v = (2; 5; 1)

u v = 3*2 + (-1)*5 + (-1) *(1) = 0 i due vettori sono perpendicolari

;

Prodotto scalare o interno di due vettori Il modulo ( o norma) di un vettore di uno spazio R n (vettore a n coordinate): v = (x1; x2; x3; … ; xn) ⇒ v=

n

∑ i xi

2

1

si può esprimere come la radice quadrata del prodotto scalare del vettore per se stesso (v . v = v2): v= (v . v)1/2 = (v2)1/2. Uno spazio vettoriale per il quale sia stata definita la norma dei suoi vettori si dice normato .

Prodotto vettore o esterno tra due vettori

  Si definisce una matrice 2x2...

! a b $ && A = ## " c d %

  Come un ente astratto soggetto ad una sua algebra

  Algebra lineare

  Vengono definiti la somma, vari tipi di prodotto,

inversione, etc.

  Vengono definite varie proprietà: ordine, rango, ...

Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine


  È necessario avere un po di nozioni sui

determinanti

  Ricordiamo la definizione di un determinante 2x2

a b a b  = det   = ad − bc c d c d 



  Ecco una matrice 3x3

 a11 a12  A =  a21 a22 a  31 a32

a13   a23  = a jk a33 

  Definizione del determinante per una 3x3

a22 det A = a11 a32

a23 a21 a23 a21 a22 − a12 + a13 a33 a31 a33 a31 a32 Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine


  Dato che due vettori individuano sempre un

piano:

( w = (w

)

v y v z = (1 0 0)

v = vx

 xˆ  v∧w = 1 w  x

x

yˆ 0 wy

) (

wy wz = wx wy

0

)

zˆ   0  = 0 xˆ + 0 yˆ + wy zˆ = wy zˆ 0  Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine


  Quindi il prodotto esterno di due vettori è un

vettore con

  Direzione: perpendicolare al piano dato dai primi due

  Verso: il primo gira verso il secondo in senso antiorario (e per meno di 180°!)

  Modulo: prodotto dei moduli per il seno dell angolo compreso

