Sebuah garis yang menghubungkan titik B dengan titik (0,β4) akan dilukis
pada lingkaran tersebut. .... nantinya akan digunakan untuk mencari jawaban
soal.
asimtot.wordpress.com
asimtot.wordpress.com
[email protected] [email protected]
Informasi yang ada yaitu : Suatu lingkaran yang berpusat di π(0, 0). Mempunyai jari-jari 4 cm. Sebuah titik π΄(4, 0) dan π΅(β4, 0) terletak pada lingkaran. Sebuah garis yang menghubungkan titik B dengan titik πΆ(0, β4) akan dilukis pada lingkaran tersebut. Sudut π΅ππΆ disebut sudut pusat lingkaran. Sudut π΄π΅πΆ disebut sudut keliling lingkaran. Gambar yang dihasilkan dari informasi yang ada adalah sebagai berikut:
O
B -4
-4
C
1
A 4
asimtot.wordpress.com
Pertanyaan dari kelompok Enik dkk. adalah sebagai berikut :
E D
B -4
O
L1
L2
A 4
B -4
-4 C
O
A 4
-4 C
1. Berapakah jari-jari lingkaran dalam segitiga π΄π΅πΆ? (Jari-jari πΏ1 ) 2. Berapakah luas dari sebuah lingkaran yang menyinggung sisi π΄π΅, π΄πΆ dan sebuah lingkaran dalam βπ΄π΅πΆ? (Luas πΏ2 ) 3. Apakah Luas βπ΅πΆπ· = Luas βπ΄π΅πΆ? (Diketahui mempunyai tali busur dan sebuah sudut yang sama) 4. Jika ππ merupakan jari-jari lingkaran yang menyinggung sisi π΅πΆ, perpanjangan garis π΅π΄ dan perpanjangan garis π΄πΆ. ππ adalah jari-jari lingkaran yang menyinggung sisi π΄πΆ, perpanjangan garis π΅πΆ dan perpanjangan garis π΅π΄. ππ adalah jari-jari lingkaran yang menyinggung sisi π΅π΄, perpanjangan garis π΅πΆ dan perpanjangan garis π΄πΆ. ππ adalah jarijari lingkaran dalam segitiga π΄π΅πΆ Tunjukkan bahwa 1 ππ ππ ππ = ππ 5. Hitung luas daerah yang diarsir
2
asimtot.wordpress.com
Komentar dan Jawaban : 1. Komentar : Soal ini sangat bagus. Dari segi kejelasan pertanyaan sudah sangat jelas. Singkat, padat dan jelas. Apalagi soal nomor 1 ini dilengkapi dengan gambar. Sehingga dengan satu kali membaca soal saja sudah bisa dimengerti apa maksud dari soal tersebut. Bobot pertanyaan masuk ke dalam kelompok sedang. Karena soal ini dapat diselesaikan dengan hanya beberapa langkah. Mencari panjang sisi yang belum diketahui, luas segitiga, dan kemudian mencari setengah keliling segitiga. Setelah itu sudah dapat ditemukan jari-jari lingkaran yang dimaksud. Sangat bagus jika yang ditanyakan adalah luas lingkarannya. Atau luas daerah di dalam segitiga ABC kecuali lingkaran. Jawaban :
B -4
O
L1
L2
A 4
-4 C
Kita akan mencari jari-jari lingkaran dalam segitiga π΄π΅πΆ dengan menggunakan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga, yaitu : πΏ π= π π : jari-jari lingkaran dalam πΏ : luas segitiga π : setengah keliling dari segitiga π΅π΄ adalah diameter lingkaran. Sehingga, panjang π΅π΄ adalah 8 ππ. π΅π΄ = 8 Panjang BC dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras dengan BC sebagai sisi miringnya, BO dan CO sebagai sisi yang lain.
3
asimtot.wordpress.com
π΅πΆ 2 = π΅π2 + πΆπ2 π΅πΆ 2 = 42 + 42 π΅πΆ 2 = 32 π΅πΆ = 4 2 Segitiga π΄π΅πΆ adalah segitiga siku-siku. Tepatnya siku-siku di C. Sehingga, Luas βπ΄π΅πΆ dapat dicari dengan rumus segitiga dasar. Yaitu πΏ βπ΄π΅πΆ = πΏ βπ΄π΅πΆ =
1 2 1 2
1 2
ππ‘.
Γ π΅πΆ Γ πΆπ΄ Γ 4 2 ππ Γ 4 2 ππ
πΏ βπ΄π΅πΆ = 16 ππ2 π adalah setengah keliling lingkaran. π =
1 2
8 + 4 2 + 4 2 ππ
π = 4 + 4 2 ππ Untuk mencari jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC, kita gunakan rumus yang ada di atas. Diperoleh, π= π=
πΏ π
16
4+4 2
ππ β 1,657 ππ
β΄ Jari-jari lingkaran dalam segitiga π΄π΅πΆ adalah
16 4+4 2
ππ .
2. Komentar : Soal ini sangat bagus. Dari ke lima soal yang ada, soal ini adalah soal yang paling rumit. Pertanyaannya pun juga sangat jelas. Dan lagi-lagi bantuan gambar yang memperjelas pertanyaannya. Bobot pertanyaan untuk soal ini termasuk sukar. Karena unsur-unsur yang nantinya akan digunakan untuk menyelesaikan soal harus dicari terlebih dahulu dengan beberapa langkah yang cukup rumit. Banyak langkah yang harus ditempuh untuk menyelesaikan soal ini. Tetapi apabila kita cukup teliti dengan keadaan, bahwa segitiga tersebut adalah segitiga sama kaki dengan salah satu sudutnya adalah 90 derajat. Sehingga nantinya kita gunakan bantuan besaran sudut untuk mengerjakannya. Dengan begitu, kita akan lebih mudah untuk mencari unsur-unsur yang nantinya akan digunakan untuk mencari jawaban soal.
4
asimtot.wordpress.com
Jawaban : Agar lebih jelas, gambarnya kita perbesar
ππ΄ = ππΆ = 4 ππ = π½πππ β ππππ πΏπππ. π΅ππ ππ = 1,657 Kita bisa mencari panjang AT dengan menggunakan rumus Pythagoras dengan AT sebagai sisi miring, TO dan AO sebagai sisi lainnya. π΄π 2 = ππ2 + π΄π2 π΄π 2 = (1,657)2 + 42 π΄π = 2,745 + 16 π΄π = 4,33 Panjang AS dapat dicari dengan panjang AT dikurangi dengan jari-jari lingkaran besar. π΄π = π΄π β ππ . karena ππ = ππ, maka π΄π = π΄π β ππ π΄π = 4,33 β 1,657 π΄π = 2,673 Mencari panjang RA dan RS dengan bantuan trigonometri. Perhatikan gambar! β ππ΄πΆ = 45Β°, maka β ππ΄π = 22,5Β°. Karena βπ
ππ΄ siku-siku di S. maka, untuk mencari panjang RA kita gunakan trigonometri, yaitu cos β ππ΄π ππ΄ cos β ππ΄π = π
π΄ 2,673 cos 22,5Β° = π
π΄ π
π΄ =
2,673
0,924
π
π΄ = 2,893
5
asimtot.wordpress.com
mencari panjang RS kita gunakan sin β ππ΄π π
π sin β ππ΄π = π
π΄ π
π sin 22,5Β° = 2,893 π
π = 0,383 Γ 2,893 RS = 1,107 Dengan demikian kita bisa mencari luas βπ
π΄π, setengah keliling dari βπ
π΄π dan jari-jari lingkaran dalam yang menyinggung βπ
π΄π. Luas βπ
π΄π = Luas βπ
π΄π =
1 2 1 2
Γ π
π Γ ππ΄ Γ 1,107 Γ 2,673
Luas βπ
π΄π = 1,48 π = π
π΄ + π
π π = 2,893 + 1,107 π =4 Sehingga, jari-jari lingkaran dapat dicari menggunakan rumus, π = 1,48 π= β 0,37 4
πΏ π
Luas Lingkaran = Ο(0,37)2 Luas Lingkaran = Ο 0,1369 β΄ Luas lingkaran = Ο 0,1369
3. Komentar : Soal ini sangat konseptual. Bukan termasuk soal yang rumit. Dalam hal kejelasan soal sudah jelas. Soal juga sudah disertai gambar. Adanya tambahan keterangan βDiketahui mempunyai tali busur dan sebuah sudut yang sama.β, membuat kelompok kami sempat sedikit bingung. Keterangan tersebut sama sekali tidak ada hubungannya dengan luas segitiga. Apa artinya menulis sebuah keterangan yang tidak ada hubungannya dengan pengerjaan atau jawaban. Bobot pertanyaan termasuk mudah. Soal bisa dikerjakan tanpa menghitung. Hanya dengan menggunakan konsep luas segitiga.
6
asimtot.wordpress.com
Jawaban : Apakah Luas βπ΅πΆπ· = Luas βπ΄π΅πΆ ? Kita perhatikan gambar di bawah ini E
D
D
B -4
O
A
E
A 4
4
O
B
-4 C
-4
-4
C
Kedua gambar tersebut merupakan gambar yang sama. Hanya saja gambar kedua adalah hasil perputaran 45Β° berlawanan jarum jam dari gambar pertama. Sekarang kita perhatikan gambar kedua. Kita perhatikan βπ΅πΆπ· dan βπ΄π΅πΆ. Kedua segitiga tersebut memiliki alas yang sama, yaitu BC. Tetapi kedua segitiga tersebut mempunyai tinggi yang berbeda. Bukti : Tarik garis π΄πΈ yang sejajar dengan π΅πΆ. Titik π΄ berada pada garis π΄πΈ. Sedangkan titik π· berada di atas garis π΄πΈ. Sehingga jarak titik π· ke garis π΅πΆ lebih besar dari pada jarak titik π΄ ke garis π΅πΆ. Maka, tinggi segitiga π΅πΆπ· tidak sama dengan tinggi segitiga π΄π΅πΆ. Jika dua buah segitiga mempunyai alas yang sama sedangkan tinggi kedua segitiga tersebut tidak sama, maka luas kedua segitiga tersebut tidak sama. β΄ Luas βπ΅πΆπ· β Luas βπ΄π΅πΆ
4. Komentar : Soal nomor 4 ini merupakan soal yang salah. Seharusnya jika kata-katanya buktikan atau tunjukkan, maka nantinya pasti harus terbukti. Mungkin maksud dari pembuat soal adalah tentukan benar atau salah, kemudian jika benar buktikan. Menurut kelompok kami seharusnya pertanyaannya seperti itu. Dalam pengerjaannya juga tidak begitu rumit. Hanya dengan menggunakan rumus-rumus yang ada.
7
asimtot.wordpress.com
Jawaban : Tunjukkan bahwa ππ ππ ππ =
1 ππ
Bukti: Misalkan kita anggap benar untuk ππ ππ ππ =
1 ππ
Dengan menggunakan rumus garis singgung lingkaran, πΏ
ππ = (π βπ) πΏ
ππ = (π βπ) πΏ
ππ = (π βπ) Diperoleh, ππ ππ ππ = ππ ππ ππ =
πΏ3 π βπ π βπ (π βπ)
ππ ππ ππ = π ππ ππ ππ =
πΏ πΏ πΏ (π β π) (π β π) (π β π)
π πΏ3 π βπ π βπ (π βπ)
π πΏ3 πΏ2
ππ ππ ππ = π πΏ ππ ππ ππ =
π πΏ2 πΏ πΏ2
ππ ππ ππ = π
π
πΏ2
Ternyata ππ ππ ππ = π
π
Tidak sama dengan anggapan bahwa ππ ππ ππ = Karena
πΏ2 ππ
β
1 ππ
1 ππ
untuk sebarang πΏ, maka ππ ππ ππ β
1 ππ
.
Sehingga pernyataan awal adalah salah. β΄ πππππ¦ππ‘πππ ππ ππ ππ =
1 ππ
πππππβ πππππ¦ππ‘πππ π¦πππ π πππβ
5. Komentar : Bobot pertanyaannya sangat ringan. Hanya mencari luas bangun-bangun dasar. Tingkat ketelitian dan kesabaran yang diuji di sini. Karena harus mencari begitu banyak luas yang ditanyakan. Sehingga harus teliti dan sabar dalam mengerjakannya. Kejelasan pertanyaannya sangat bagus karena disertai gambar juga.
8
asimtot.wordpress.com
Soal seperti ini dan semacamnya sebaiknya jangan diujikan pada waktu tes atau ulangan. Karena untuk menghitung satu soal ini saja menmbutuhkan waktu yang tidak sedikit. Jawaban : Hitung luas daerah yang diarsir!
Ada 3 lingkaran. Yaitu, Lingkaran besar dengan π = 4 Lingkaran sedang dengan π = πΎπ Lingkaran kecil dengan π = ππ πΆπ = π΅π = 4 πΎπ = ππ = 2 2 π΅πΆ = πΆπ΄ = 4 2 ππ = 2, ππ
= 4, ππ = 2 πΎπ = ππ = 2 Menghitung Luas 4 2 Γ πΏπ’ππ 4 = πΏπ’ππ βπΆππ΅ β πΏπ’ππ 2 Γ πΏπ’ππ 4 = 2 Γ πΏπ’ππ 4 =
1 2 1 2
ππΆ Γ ππ΅ β Γ 4 Γ 4β
1 4 1 4
1 4
πΏπππ. ππππππ
π Γ ππ2 π Γ (2 2)2
2 Γ πΏπ’ππ 4 = 8 β 2π πΏπ’ππ 4 = 4 β π Menghitung Luas 1 + Luas 2 + Luas 4 πΏπ’ππ (1 + 2 + 4) = πΏπ’ππ πΏπ’ππ (1 + 2 + 4) =
1 2
1 2 2
πΏπππ. π΅π π β πΏπ’ππ
π4 β
1 2
1 2
πΏπππ. ππππ β πΏπ’ππ 4
π (2 2)2 β (4 β π)
πΏπ’ππ (1 + 2 + 4) = 8π β 4π β 4 + π πΏπ’ππ (1 + 2 + 4) = 5π β 4
9
asimtot.wordpress.com
Menghitung Luas 3 πΏπ’ππ 3 = πΏπ’ππ 1
1 8
πΏπππ. ππππππ β πΏπ’ππ βπππ
πΏπ’ππ 3 = 8 π (2 2)2 β πΏπ’ππ 3 = π β
1 2
1 2
ππ Γ ππ
2Γ2
πΏπ’ππ 3 = π β 2 Menghitung Luas 6 πΏπ’ππ 6 = πΏπ’ππ βπ½ππ΅ β πΏπ’ππ πΏπ’ππ 6 =
1 2
4Γ4β
1 8
1 8
πΏπππ. π΅ππ ππ
π 42
πΏπ’ππ 6 = 8 β 2π Menghitung Luas 5 πΏπ’ππ 5 = πΏπ’ππ βπΎππ β πΏπ’ππ πΏπ’ππ 5 = πΏπ’ππ 5 =
1 2 1 2
πΎπ Γ ππ β 2Γ2β 1
1 8
1 8
1 8
πΏπππ. πΎππππ
π ππ 2
π 22
πΏπ’ππ 5 = 2 β π 2
Luas Total πΏπ’ππ πππ‘ππ = πΏπ’ππ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 1
πΏπ’ππ πππ‘ππ = 5π β 4 + π β 2 + 8 β 2π + 2 β 2 π πΏπ’ππ πππ‘ππ =
7 2
π+4
β΄ πΏπ’ππ πππππβ π¦πππ πππππ ππ =
7 2
π+4
Kesimpulan : Pertanyaan-pertanyaan seperti ini sangat bagus. Ada yang sangat susah, ada yang sedang dan ada yang cukup mudah. Tidak bagus memberikan pertanyaan yang semuanya sulit. Begitu juga sebaliknya, tidak bagus juga memberikan pertanyaan atau soal yang semuanya mudah. Kelompok kami menyimpulkan bahwa kelompok penanya sudah sangat baik. Karena soal yang diberikan adalah sangat bagus. Rata antara yang sulit dan yang mudah.
10