LOGIKA MATEMATIKA Materi SMA/SMK/MA kelas X

1785 downloads 701 Views 2MB Size Report
LOGIKA MATEMATIKA. Materi SMA/SMK/MA kelas X. “Orang yang paling sempurna bukanlah orang dengan otak yang sempurna, melainkan orang yang dapat ...

LOGIKA MATEMATIKA Materi SMA/SMK/MA kelas X “Orang yang paling sempurna bukanlah orang dengan otak yang sempurna, melainkan orang yang dapat mempergunakan sebaiknya-baiknya dari bagian otaknya yang kurang sempurna” ~ Aristoteles ~

1|Logika Matematika

PRAKATA Puji syukur senantiasa kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan buku Matematika untuk SMA/MA dengan lancar dan baik. Ucapan terima kasih Penyusun haturkan kepada Dosen Pembimbing Mata Kuliah Program Komputer I, Dede Trie K., S.Si., M.Pd. yang telah membimbing, mengarahkan, dan mendukung pembuatan buku ini, atas kebaikannya semoga Allah SWT memberikan pahala yang berlipat ganda. Buku ini dibuat untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Program Komputer I, kami berharap buku ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa UNSWAGATI terutama penulis yang ingin mengetahui tentang “Logika Matematika” Buku ini disajikan dengan pendekatan pemecahan masalah. Dengan pendekatan ini, siswa diharapkan dapat aktif dalam pembelajaran dan memiliki ketrampilan

dalam

memahami

masalah,

membuat

model

matematika,

menyelesaikan masalah, dan menafsirkan solusinya. Selain itu, buku ini juga disajikan dengan bahasa yang lugas dan sederhana sehingga mudah dipahami. Dengan pola penyajian buku ini, diharapkan dapat membantu dan mempermudah pemahaman

matematika

siswa.

Setelah

memahami

matematika

secara

komprehensif, siswa akan memiliki sikap ulet dan percaya diri dalam memecahkan masalah dalam kehidupan sehari–hari. Akhirnya kami menyadari bahwa buku ini tidaklah sempurna. Segala kritik dan saran membangun untuk menyempurnakan buku ini sangat kami nantikan. Kepada semua pihak yang membantu terselesainya buku ini, kami ucapkan terima kasih. Semoga buku ini bermanfaat bagi semua pihak. Selamat belajar dan semoga sukses. “Isti Nur’aeni dan Yuyun Trisnawati”

2|Logika Matematika

DAFTAR ISI Prakata ........................................................................................................................i Daftar Isi.....................................................................................................................ii Logika Matematika ....................................................................................................1 A. Pernyataan , Kalimat Terbuka, dan Ingkaran Pernyataan ..............................2 B. Pernyataan Berkuantor ................................................................................... C. Pernyataan Majemuk ...................................................................................... D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi ................................................................. E. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen ............................................................ F. Negasi dari Pernyataan Majemuk .................................................................. G. Tautologi dan Kontradiksi ............................................................................. H. Penarikan Kesimpulan ................................................................................... I. Aplikasi Logika Matematika dalam Kehidupan Sehari-hari .......................... Latihan Soal dan Pembahasan .................................................................................... Petunjuk Penggunaan Quiz Makker ........................................................................... Daftar Pustaka ............................................................................................................

3|Logika Matematika

Tujuan Pembelajarn : 1.

Menentukan pernyataan dan bukan pernyataan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

2.

Menentukan nilai kebenaran suatu kalimat yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

3.

Menentukan nilai kebenaran suatu kalimat majemuk dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

4.

Menentukan kalimat yang ekivalen dengan suatu kalimat yang diketahui.

5.

Menentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari suatu implikasi serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

6.

Menggunakan modus ponens, modus tolens, dan silogisme untuk menarik kesimpulan dalam kehidupan sehari-hari.

4|Logika Matematika

5|Logika Matematika

A. Pernyataan , Kalimat Terbuka, dan Ingkaran Pernyataan. 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak

sekaligus kedua-duanya.

Contoh : a. Hasil kali 5 dan 4 adalah 20 b. Semua unggas dapat terbang c. Ada bilangan prima yang genap Contoh a dan c adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan b penyataan yang bernilai salah. Contoh kalimat yang bukan pernyataan : a. Semoga nanti engkau naik kelas b. Tolong tutupkan pintu itu c. Apakah ali sudah makan ?

Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dsb. Misalnya : P : Semua bilangan prima adalah ganjil q : Jakarta ibukota Indonesia Ada 2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran suatun pernyataan yaitu : a. Dasar empiris : jka nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan pada saat tertentu. Contoh : 

Rambut adik panjang



Besok pagi cuaca cerah

6|Logika Matematika

b. Dasar tidak empiris : jka nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah atau hukum tertentu. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat. Contoh : 

Jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800



Tugu muda terletak di kota Semarang

2. Kalimat terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenaraanya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel. Contoh : a.

2x + 3 = 9

b.

5 + n adalah bilangan prima

c.

Kota A adalah ibukota provinsi jawa tengah

3. Ingkaran dari pernyataan Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula. Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan ~ p dibaca “ bukan p” atau “tidak p”. Tabel kebenarannya sebagai berikut : P

~p

B

S

S

B

Contoh : a)

p

: Ayah pergi ke pasar

~ p : Ayah tidak pergi ke pasar b)

q

: 2 + 5 < 10

~ q : 2 + 5  10

7|Logika Matematika

B. Pernyataan Berkuantor Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada 2 macam kuantor, yaitu : 1. Kuantor Universal Dalam pernytaan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan

 (dibaca untuk semua atau untuk setiap). Contoh : 

 x  R, x2 > 0, dibaca untuk setiap x anggota bilangan Real maka berlaku x2 > 0.



Semua ikan bernafas dengan insang.

2. Kuantor Eksistensial Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan  ( dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian). Contoh : 

 x  R, x2 + 3x – 10 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real

dimana x2 + 3x – 10 < 0 

Beberapa ikan bernafas dengan paru-paru

Ingkaran dari pernyataan berkuantor Ingkaran dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal. Contoh : a. p : Semua ikan bernafas dengan insang ~ p : Ada ikan bernafas tidak dengan insang : Terdapat ikan bernafas dengan paru-paru : Tidak semua ikan bernafas dengan insang

8|Logika Matematika

b. q : Beberapa siswa SMA malas belajar ~ q : Semua siswa SMA tidak malas belajar C. Pernyataan Majemuk Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Ada 4 macam pernyataan majemuk : 1. Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan " p  q" yang dibaca p dan q. Tabel kebenarannya : P

q

" p  q"

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Dari tabel tersebut tampak bahwa konjungsi selalu bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.

Contoh p : 34 = 51

bernilai salah

q :2+5=7

bernilai benar

p  q : 34 = 51 dan 2 + 5 = 7 bernilai salah

2. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan p  q dan dibaca p atau q

9|Logika Matematika

Tabel kebenarannya : P

Q

pq

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

Dari tabel tampak bahwa disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah.

Contoh P

: jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 (pernyataan bernilai benar) q : Tugu pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan bernilai salah) P V q : Jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 atau Tugu pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan bernilai benar)

3. Implikasi Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika .... maka.......”Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p  q yang dibaca “jika p maka q” atau “p jika hanya jika q” atau “p syarat perlu bagi q” atau “q syarat cukup bagi p” Dari implikasi p  q, p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi. Tabel kebenarannya : P

q

pq

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

10 | L o g i k a M a t e m a t i k a

Dari tabel tersebut, tampak bahwa implikasi selalu bernilai salah jika sebabnya benar dan akibatnya salah. Contoh : P:5+4=7

(pernyataan salah)

q : Indonesia di benua eropa

(pernyatan salah)

p  q : Jika 5 + 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa (pernyataan benar) 4. Biimplikasi Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “.......jika dan hanya jika............” dan dilambangkan  . Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p  q yang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p. Tabel kebenarannya : P

Q

pq

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

Dari tabel kebenaran tersebut, tampak bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya bernilai sama. Contoh : p : 3 + 10 =14

(pernyataan salah)

q : Persegi adalah segitiga

(pernyataan salah)

p  q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi adalah segitiga (pernyataan salah)

11 | L o g i k a M a t e m a t i k a

D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Dari implikasi p  q dapat dibentuk implikasi baru : 1. q  p disebut konvers dari implikasi semula 2. ~ p  ~ q disebut invers dari implikasi semula 3. ~ q  ~ p disebut kontraposisi dari implikasi semula Contoh : p : Tia penyanyi q : Tia seniman Implikasi p  q : Jika Tia penyanyi maka Tia seniman Konvers q  p : Jika Tia seniman maka Tia penyanyi Invers ~ p  ~ q : Jika Tia bukan penyanyi maka Tia bukan seniman Kontraposisi ~ q  ~ p : Jika Tia bukan seniman maka Tia bukan penyanyi

E. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah  Contoh : Buktikan bahwa: p  q  (p  q)  (q  p) Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut P

Q

p  q

pq

qp

(p  q)  (q  p)

B

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

B

S

B

S

S

S

S

B

B

B

B

ekuivalen

12 | L o g i k a M a t e m a t i k a

F. Negasi dari Pernyataan Majemuk 1. ~ (p  q)  ~ p v ~ q

 ~p  ~q

2. ~ (p v q)

3. ~ (p  q) 

p  ~q

4. ~ (p  q)  (p  ~ q) v (q  ~ p)

Contoh : 1.

Negasi dari 5 + 2 = 8 dan adik naik kelas adalah 5 + 2  8 atau adik tidak naik kelas.

2.

Negasi dari jika adik belajar maka ia pandai adalah adik belajar dan ia tidak pandai.

G. Tautologi dan Kontradiksi Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya. Contoh : Buktikan dengan tabel kebenaran (p  ~q)  ~(p  q) Q

~q

p  ~q

pq

~(p  q)

(p  ~q)  ~(p  q)

B

B

S

S

B

S

B

B

S

B

B

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

13 | L o g i k a M a t e m a t i k a

H. Penarikan Kesimpulan Argumen adalah serangkaian pernyataan yang mempunyai ungkapan penarikan kesimpulan. Suatu argumen terdiri dari 2 kelompok pernyataan yaitu kelompok premis dan kelompok konklusi.

Contoh Premis 1 : Jika adik rajin belajar maka naik kelas Premis 2 : Jika adik naik kelas maka Ibu senang Premis 3 : Adik rajin belajar Konklusi : Ibu senang Suatu argumen dikatakan sah atau valid jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran premis-premisnya mendapatkan konklusi yang benar pula. Ada 3 dasar penarikan kesimpulan yaitu : 1.

Modus Ponens Kerangka penarikan modus ponens sebagai berikut : Premis 1 : p Premis 2 : p

q

Konklusi : q Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut : P

q

pq

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

Pada tabel kebenaran tersebut, premis-premis yang bernilai benar diberi tanda, ternyata mendapatkan konklusi yang diberi tanda juga benar, sehingga penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus ponens dikatakan sah atau valid.

14 | L o g i k a M a t e m a t i k a

2.

Modus Tollens Kerangka penarikan kesimpulan dengan dasar modus tollens sbb : Premis 1 : p  q Premis 2 : ~ q Konklusi : ~ p Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut P

Q

~p

~q

pq

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

S

B

B

S

B

S

S

B

B

B

Berdasarkan tabel tersebut, penarikan kesimpulan dengan metode modus tollens dikatakan sah. 3.

Silogisme Kerangka penarikan kesimpulan dengan metode silogisme sbb : Premis 1 : p  q Premis 2 : q  r Konklusi : p  r Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut : P

q

R

pq

qr

pr

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

S

S

B

B

B

B

B

S

B

S

B

S

B

S

S

B

B

B

B

S

S

S

B

B

B

15 | L o g i k a M a t e m a t i k a

Pada tabel tersebut tampak bahwa penarikan kesimpulan dengan metode silogisme dikatakan sah atau valid. Contoh : Tentukan konklusi dari argumen-argumen berikut ini : 1. Premis 1 : Jika sakit maka ibu minum obat Premis 2 : Ibu sakit Konklusinya : Ibu minum obat

2. Premis 1 : Jika mesinnya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak Premis 2 : Mobil itu dapat bergerak Konklusinya : Mesin mobil itu tidak rusak

3. Premis 1 : Jika BBM naik maka ongkos bis naik Premis 2 : Jika ongkos bis naik maka uang saku naik Konklusinya : Jika BBM naik maka uang saku naik

I. Aplikasi Logika Matematika dalam Kehidupan Sehari-hari Belajar logika berarti kita belajar berpikir atau bernalar yang merupakan kegiatan akal manusia dengan mana pengetahuan yang kita terima melalui panca indera diolah dan ditujukan untuk mencapai suatu kebenaran. Dengan berpikir kita belajar menilai sesuatu sehingga dapat disimpulkan manfaat belajar logika adalah kita memanifestasikan pikiran sehingga mampu mempertimbangkan, merenungkan, menganalisis, menunjukkan alasanalasan,

membuktikan

sesuatu,

menggolong-golongkan,

membanding-

bandingkan, menarik kesimpulan, meneliti suatu jalan pikiran, mencari kausalitasnya, membahas secara relitas dan lain-lain. Manfaat mempelajari logika, agar dapat berpikir lebih nalar, kritis, tepat, runtut atau konsisten, dan benar.

16 | L o g i k a M a t e m a t i k a

Ada beberapa alasan yang dapat dikemukakan E. Sumaryono (dari buku Dasar-dasar logika) : 1.

Studi Logika mendidik kita berpikir jernih dan kritis

2.

Logika memungkinkan kita melaksanakan disiplin intelektual yang diperlukan dalam menyimpulkan atau menarik kesimpulan.

3.

Logika membantu kita menginterpretasikan fakta dan pendapat orang lain secara memadai.

4.

Logika melatih kita tentang teknik-teknik menetapkan asumsi dan implikasi.

5.

Logika membantu kita mendeteksi penalaran-penalaran yang keliru dan tidak jelas.

6.

Logika memancing pemikiran-pemikiran ilmiah dan reflektif. Logika Matematika erat kaitanya dalam kehidupan sehari-hari. Seperti

contoh berikut : Disebuah sekolah menengah atas ada peraturan yang menyebutkan bahwa siswa putra tidak boleh berambut panjang dan mewarnai rambut. Jika dilihat sekilas tidak ada yang salah dengan peraturan tersebut. Tapi jika dilihat dari segi Logika Matematika maka peraturan tersebut perlu ditinjau lebih lanjut. Kata hubung dan akan bernilai benar jika perntaan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua juga bernilai benar. Jika kita lihat peraturan tadi maka siswa laki-laki boleh memanjangkan rambutnya asalkan tidak

mewarnai

rambutnya

atau

mewarnai

rambutnya

tapi

tidak

memanjangkan rambutnya.

17 | L o g i k a M a t e m a t i k a

Kita adalah apa yang kita kerjakan berulang-ulang. Karena itu, keunggulan bukanlah suatu perbuatan, melainkan sebuah kebiasaan. ~ Aristoteles ~

18 | L o g i k a M a t e m a t i k a

LATIHAN SOAL 1.

Diketahui premis – premis (1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung (2) Ibu tidak memakai payung Penarikan kesimpulan yang sah dari premis – premis tersebut adalah…

2.

A.

Hari tidak hujan

B.

Hari hujan

C.

Ibu memakai payung

D.

Hari hujan dan Ibu memakai payung

E.

Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung

Diberikan premis sebagai berikut : Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang. Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah:

3.

A.

Harga BBM tidak naik.

B.

Jika harga bahan pokok naik, maka ada orang tidak senang.

C.

Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang.

D.

Jika semua orang tidak senang, maka harga BBM naik.

E.

Harga BBM naik dan ada orang

Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi Premis 2 : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola Kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut adalah …. A. Jika hujan maka saya tidak jadi nonton sepak bola B. Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola C. Hari hujan dan saya nonton sepak bola D. Saya tidak nonton sepak bola atau hari tidak hujan E. Hari tidak hujan, saya tidak pergi tetapi saya nonton sepak bola

19 | L o g i k a M a t e m a t i k a

4.

Negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin.” adalah…

5.

A.

Ada ujian sekolah dan semua siswa tidak belajar dengan rajin

B.

Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin

C.

Ada ujian sekolah dan ada siswa yang belajar dengan rajin

D.

Tidak ada ujian sekolah dan semua siswa belajar dengan rajin

E.

Tidak ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut: a)

Hari ini Jakarta banjir.

b) Kambing bisa terbang. c)

Didi anak bodoh

d) Siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu. 6.

Tentukan negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut: a)

p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja.

b) p : Semua jenis burung bisa terbang. c) 7.

p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.

Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah.... A.

Semua bilangan prima adalah bilangan genap.

B.

Semua bilangan prima bukan bilangan genap.

C.

Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.

D.

Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima.

E.

Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima. (Soal UN Matematika Tahun 2008 P12)

8.

Tentukan pernyataan majemuk hasil penggabungan pasangan-pasangan pernyataan berikut dengan menggunakan operasi konjungsi (DAN): a)

p : Hari ini Jakarta hujan q : Hari ini Jakarta banjir

b) p : Iwan memakai topi q : Iwan memakai dasi

20 | L o g i k a M a t e m a t i k a

c)

p : Mahesa anak jenius. q : Mahesa anak pemalas.

9.

Diberikan dua pernyataan sebagai berikut: p : Hari ini Jakarta hujan lebat. q : Hari ini aliran listrik putus. Nyatakan dengan kata-kata: a)

p∧q

b) p ∧ ~q c)

~p ∧ q

d) ~p ∧ ~q 10.

Diberikan data: Pernyataan p bernilai salah Pernyataan q bernilai benar Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini: a)

p∧q

b) p ∧ ~q c)

~p ∧ q

d) ~p ∧ ~q 11.

Gabungkan pasangan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan operasi disjungsi (ATAU): a)

p : Ibu memasak ayam goreng q : Ibu membeli soto babat di pasar

b) p : Pak Bambang mengajar matematika q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris 12.

Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut: p

q

B S Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut: a)

p∨q

21 | L o g i k a M a t e m a t i k a

b) p ∨ ~q c) 13.

~p ∨ q

Negasi

dari

pernyataan

"

Matematika

tidak

mengasyikkan

atau

membosankan" adalah... A.

Matematika mengasyikkan atau membosankan

B.

Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan

C.

Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan

D.

Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan

E.

Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan (Soal UN Matematika 2008)

14.

Tentukan negasi dari pernyataan: a)

Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.

b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung 15.

Diberikan pernyataan: p : Tahun ini kemarau panjang. q : Tahun ini hasil padi meningkat. Nyatakan dengan kata-kata: a)

p→q

b) ~p → ~q c) 16.

p → ~q

Tentukan ingkaran dari pernyataan: "Jika cuaca cerah maka maka Amir bermain sepakbola"

17.

Perhatikan pernyataan berikut: "Jika cuaca mendung maka Charli membawa payung" Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di atas!

18.

Kontraposisi dari "Jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan berjalan lancar" adalah.... A.

jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara yang tidak membayar pajak

22 | L o g i k a M a t e m a t i k a

B.

jika tidak semua warga negara membayar pajak maka pembangunan tidak berjalan lancar

C.

jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan tidak berjalan lancar

D.

jika pembangunan berjalan lancar maka tidak semua warga negara membayar pajak

E.

jika pembangunan tidak berjalan lancar maka semua warga negara tidak membayar pajak (Soal Ebtanas 1995)

19.

Tentukan kesimpulan dari : Premis 1 : Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat. Premis 2 : Budi rajin berolahraga.

20.

Tentukan kesimpulan dari : Premis 1 : Jika hari cerah maka Budi bermain bola. Premis 2 : Budi tidak bermain bola.

21.

Tentukan kesimpulan dari : Premis 1 : Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ayah. Premis 2 : Jika Budi disayang ayah maka ia disayang ibu.

22.

Diketahui pernyataan : 1.

Jika hari panas, maka Ani memakai topi.

2.

Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.

3.

Ani tidak memakai payung.

Kesimpulan yang sah adalah... A.

Hari panas.

B.

Hari tidak panas.

C.

Ani memakai topi.

D.

Hari panas dan Ani memakai topi.

E.

Hari tidak panas dan Ani memakai topi.

23 | L o g i k a M a t e m a t i k a

Daripada mengutuk kegelapan lebih baik ambil sebatang lilin untuk dinyalakan. daripada menyalahkan keadaan lebih baik melakukan sesuatu untuk memperbaiki keadaan. ~ Pepatah Bijak Cina ~

24 | L o g i k a M a t e m a t i k a

PEMBAHASAN 1. Jawab : A Pembahasan p = hari hujan q = ibu memakai payung premis 1 : p →q premis 2 : ~q

(modus tolens)

Kesimpulan : ~p ~p = hari tidak hujan 2. Jawab : E Pembahasan p = harga BBM naik q = harga bahan pokok naik r = semua orang tidak senang premis 1 : p→q premis 2 : q → r

(modus silogisme)

Kesimpulan: p →r ingkaran (p → r) = ~(p → r) = p ᴧ ~r p ∧ ~r = Harga BBM naik dan ada orang senang 3. Jawaban : B Pembahasan p = hari ini hujan q = saya tidak pergi r = saya nonton sepak bola premis 1 : p → q premis 2 : q → r

(modus silogisme)

Kesimpulan: p → r Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola

25 | L o g i k a M a t e m a t i k a

4. Jawaban : B Pembahasan : p = ada ujian sekolah q = semua siswa belajar dengan rajin ~(p → q) = p ᴧ ~q p ᴧ ~q = ada ujian di sekolah dan ada / terdapat / beberapa siswa tidak belajar dengan rajin 5. Pembahasan : a)

Tidak benar bahwa hari ini Jakarta banjir.

b) Tidak benar bahwa kambing bisa terbang. c)

Tidak benar bahwa Didi anak bodoh

d) Tidak benar bahwa siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu. Atau boleh juga dengan format berikut: a)

Hari ini Jakarta tidak banjir.

b) Kambing tidak bisa terbang. c)

Didi bukan anak bodoh

d) Siswa-siswi SMANSA tidak memakai baju batik pada hari Rabu. 6. Pembahasan : Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata "Beberapa" atau "Ada" seperti berikut: a)

~p : Ada dokter tidak memakai baju putih saat bekerja.

b) ~p : Beberapa jenis burung tidak bisa terbang c)

~p : Beberapa anak tidak mengikuti ujian fisika hari ini.

7. Jawaban B Pembahasan : p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap ~p : Semua bilangan prima bukan bilangan genap

26 | L o g i k a M a t e m a t i k a

8. Pembahasan : a)

p : Hari ini Jakarta hujan q : Hari ini Jakarta banjir p ∧ q : Hari ini Jakarta hujan dan banjir

b) p : Iwan memakai topi q : Iwan memakai dasi p ∧ q : Iwan memakai topi dan dasi c)

p : Mahesa anak jenius. q : Mahesa anak pemalas. p ∧ q : Mahesa anak jenius tetapi pemalas

Kata "dan" bisa diganti dengan "tetapi", "walaupun", "meskipun" selaraskan dengan pernyataan. 9. Pembahasan : a)

Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik putus

b) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik tidak putus c)

Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik putus

d) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik tidak putus 10. Pembahasan : Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi : p

q

p∧q

B B B B S

S

S

B S

S

S

S

Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar. Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel: p q

~p ~q p ∧ q p ∧ ~q ~p ∧ q ~p ∧ ~q

S B B

S

S

S

B

S

27 | L o g i k a M a t e m a t i k a

Dari tabel di atas a)

p ∧ q bernilai salah

b) p ∧ ~q bernilai salah c)

~p ∧ q bernilai benar

d) ~p ∧ ~q bernilai salah 11. Pembahasan : a)

p : Ibu memasak ayam goreng q : Ibu membeli soto babat di pasar p ∨ q : Ibu memasak ayam goreng atau membeli soto babat di pasar.

b) p : Pak Bambang mengajar matematika q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris p ∨ q : Pak Bambang mengajar matematika atau bahasa inggris 12. Pembahasan : Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut: .

p

q

p∨q

1 B B B 2 B S

B

3 S

B B

4 S

S

S

Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal dibalikkan saja B jadi S, S jadi B p

q ~p ~q

B S S a)

B

p∨q p bernilai B, q bernilai S Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2)

b) p ∨ ~q p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q) Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1)

28 | L o g i k a M a t e m a t i k a

c)

~p ∨ q ~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S Pasangan S S menghasilkan nilai S (lihat tabel kebenaran nomor 4)

13. Pembahasan : Untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil de Morgan berikut: ~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q p : Matematika tidak mengasyikkan q : Matematika membosankan Negasi untuk p dan q masing-masing adalah: ~p : Matematika mengasyikkan ~q : Matematika tidak membosankan Gunakan dalil de Morgan untuk negasi disjungsi ~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q Sehingga ~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan 14. Pembahasan : Ingkaran (negasi) dari konjungsi. a)

Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir. Ingat: ~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q Sehingga ingkarannya adalah: Bogor tidak hujan lebat atau Jakarta banjir.

b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung Ingat: ~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q Sehingga ingkarannya adalah: Hari ini mendung atau Budi tidak membawa payung

29 | L o g i k a M a t e m a t i k a

15. Pembahasan : Implikasi, formatnya adalah "jika p maka q" sehingga: a)

p → q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi meningkat

b) ~p → ~q : Jika tahun ini tidak kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat. c)

p → ~q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.

16. Pembahasan : Ingkaran dari sebuah implikasi p → q adalah p dan ~q ~(p → q) ≅ p ∧ ~ q sehingga ingkaran dari pernyataan di atas adalah "Cuaca cerah dan Amir tidak bermain sepakbola" 17. Pembahasan : Dari implikasi p → q p : Cuaca mendung q : Charli membawa payung Konversnya adalah q → p yaitu "Jika Charli membawa payung maka cuaca mendung" Inversnya adalah ~p → ~q yaitu "Jika cuaca tidak mendung maka Charli tidak membawa payung" Kontraposisinya adalah ~q → ~p yaitu "Jika Charli tidak membawa payung maka cuaca tidak mendung" 18. Pembahasan : p : semua warga negara membayar pajak q : pembangunan berjalan lancar Konversnya adalah ~q → ~p yaitu "Jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara yang tidak membayar pajak"

30 | L o g i k a M a t e m a t i k a

19. Pembahasan : Modus Ponens p→q p ∴q Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat. p

q

Budi rajin berolahraga p Kesimpulan adalah q : Badan Budi sehat 20. Pembahasan : p : Hari cerah q : Budi bermain bola Penarikan kesimpulan dengan prinsip Modus Tollens p→q ~q ∴ ~p Sehingga kesimpulannya adalah " Hari tidak cerah " 21. Pembahasan : Penarikan kesimpulan dengan prinsip silogisme p→q q→r ∴p→r Sehingga kesimpulannya adalah " Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ibu" 22. Pembahasan Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi. Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung. Premis (3) Ani tidak memakai payung.

31 | L o g i k a M a t e m a t i k a

p : Hari panas q : Ani memakai topi r : Ani memakai payung Selesaikan terlebih dahulu premis (1) dan (2) kemudian digabungkan dengan premis (3) Dari premis (1) dan (2) Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi. Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung. p→q ~q ∨ r Ingat bentuk berikut: ~q ∨ r ekivalen dengan q → r sehingga bentuk di atas menjadi : p→q q→r ∴p→r

(Silogisme)

Dari sini gabungkan dengan premis ketiga: p→ r ~r ∴ ~p

(Modus Tollens)

Kesimpulan akhirnya adalah ~p yaitu "Hari tidak panas"

32 | L o g i k a M a t e m a t i k a

Petunjuk menggunakan Quiz Makker 1. Masukan CD 2. Buka folder Quis Logika Matematika, lalu pilih

3. Masukka Fassword : ganbatte78  pilih OK

4. Pilih Continue dan ikuti peraturan yang ada

5. Kerjakan soal dengan baik dan benar ^_^ (Good Luck)

33 | L o g i k a M a t e m a t i k a

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta : PT. Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.

MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.

34 | L o g i k a M a t e m a t i k a