Pahami penyelesaian latihan soal langkah demi langkah. 3. Kerjakan tes ....
Open-ended Problem adalah problem/masalah yang diformulasikan memeliki ...
Modul PLPG Guru Kelas
Jero Budi D, M.Pd.Si. NIA. 12166180005 Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Borneo
1
Matematika
PLPG 2012
Pendalaman Materi Berbasis UKA 1) Prinsip dan Teori Pembelajaran Matematika 2) Media Pembelajaran Matematika 3) Operasi Bilangan Bulat 4) Bilangan Pecahan 5) Fungsi dan Penalaran Matematika 6) Geometri dan Pengukuran 7) Statistika
Disajikian pada Pendidikan dan latihan Profesi Guru (PLPG)
Rayon 145 Universitas Borneo Tarakan Oleh Jero Budi Darmayasa, S.Pd., M.Pd.Si
(Prodi Pendidikan Matematika, FKIP, UBT) Email:
[email protected] Blog: jerobudy.blogspot.com
2
A. PENDAHULUAN SK
1. Menguasai Kompetensi Pedagogik Pembelajaran Matematika SD/MI : 1.1 Menguasai prinsip, teori dan strategi pembelajaran serta teknik asesmen yang tepat pada pembelajaran matematika 1.1.1 Merancang aktivitas pembelajaran berdasarkan prinsip dan teori pembelajaran matematika 1.1.2 Merancang pembelajaran matematika yang menggunakan gradasi mulai representasi konkrit, simbolik, dan abstrak agar siswa dapat mengkonstruksi pengetahuan 1.1.3 Mengombinasikan beragam strategi pembelajaran matematika untuk mencapai pembelajaran yang aktif, kreatif, dan menyenangkan 1. Pelajari materi prasyarat dan ringkasan materi 2. Pahami penyelesaian latihan soal langkah demi langkah 3. Kerjakan tes formatif tanpa melihat kembali ringkasan materi 4. Lihat kunci jawaban dan ukur tingkat penguasaan materi anda :
KD
Indikator
:
Petunjuk Belajar
:
B. KEGIATAN BELAJAR (KB) 1) Teori Belajar
Salah satu teori belajar yang banyak berpengaruh terhadap karakteristik pembelajaran matematika di Sekolah Dasar (SD) yaitu teori belajar kognitif yang dikembangkan oleh Piaget (1896-1980). Piaget mengemukakan bahwa prose kognitif anak dibagi menjadi lima tahapan,
diantaranya:
3
Skema kerangka kognitif / kerangka referensi Asimilasi proses sso memasukkan pengetahuan baru ke dalam pengetahuan yg sudah ada Akomodasi menyesuaikan diri dengan infomasi yg baru Organisasi mengelompokkan perilaku/ konsep kedalam kelompok2 yg terpisah ke dalm sistem kognitif yang lebih tertib, lancar; dengan menggunakan kategori2 meningkatkan LTM Ekulibirasi bergerak dari satu tahap ke tahap yg lain rawan konflik dalam usahanya memahami unia (dsekulibium). Jika berhasil akan mendapatkan keseimbangan pemikiran Disamping itu, Piaget membagi tahap perkembangan kognitif anak menjadi empat tahap yaitu: 1. Tahap sensorimotorik (0-2 tahun) 2. Tahap praoperasional (2-7 tahun) 3. Tahap operasi konkret (7-11 tahun) 4. Tahap operasi formal (mulai 11 atau 12 tahun) Setiap tahapan secara kulaitatif sangat berbeda. Berikut ini ciri-ciri setiap tahapan, yaitu: 1. Tahap Sensorimotorik Tahap sensorimotoorik diklasifikasikan menjadi beberapa tingkatan yang lebih spesifik, diantaranya: a) Periode 1: refleks (0 – 1 bulan) b) Periode 2: kebiasaan (1 – 4 bulan) c) Periode 3: reproduksi (4 – 8 bulan) d) Periode 4: koordinasi skemata (8 – 12 bulan) e) Periode 5: eksperimen (12 – 18 bulan) f) Periode 6: representasi (18 – 24 bulan) Ciri-ciri perkembangan anak pada tahap ini yaitu: a) Didasarkan tindakan praktis. b) Inteligensi bersifat aksi, bukan refleksi. c) Menyangkut jarak yang pendek antara subjek dan objek. d) Mengenai periode sensorimotor: Umur hanyalah pendekatan. Periode-periode tergantung pd banyak faktor: lingkungan sosial dan kematangan fisik. Urutan periode tetap. Perkembangan gradual dan merupakan proses yang kontinu.
4
2. Tahap Praoperasional Tahap praoperasional ditandani dengan adanya fungsi semiotik (simbol) yang terjadi pada rentang usia 2-4 tahun. Selain itu, ditandai dengan adanya perkembangan pemikiran intuitif pada rentang usia 4-7 tahun. Untuk fungsi semiotik memiliki ciri khusus, yaitu adanya imitasi tak langsung dari bendanya sendiri (Contoh: anak bermain kue-kuean sendiri, pasar-pasaran); Permainan simbolis. (Contoh: mobil-mobilan dengan balok-balok kecil); Permainan simbolis dapat merupakan ungkapan
diri
anak;
dapat
menggambar
realistis
tetapi
tidak
proporsional (Contoh: gambar rumah dan pepohonan tegak lurus di lereng pegunungan); mengetahui bentuk-bentuk dasar geometris (bulat, bundar, persegi). 3. Tahap Operasi Konkrit a) tentang sifat reversibilitas dan kekekalan. b) Berpikir decentering, seriasi, klasifikasi, kesimpulan probalistis. c) Tidak lagi egosentris. d) Masih terbatas pada hal-hal konkret. e) Belum dapat memecahkan persoalan yang abstrak. 4. Tahap Operasi Formal a) Mulai perkembangan reasoning dan logika remaja. b) Asimilasi dan akomodasi berperan membentuk skema lebih menyeluruh. c) Pemikiran remaja = dewasa secara kualitas, namun beda kuantitas, skema org dewasa lebih banyak. d) Pemikiran deduktif, induktif dan abstraktif. Secara umum, teori belajar kognitif merekomendasikan prinsip dan implikasinya dalam proses belajar mengajar, meliputi: a) belajar aktif, akan menghindarkan siswa dari kebosanan b) belajar lewat interaksi sosial,manusia c) belajar lewat pengalaman sendiri,pada pembelajaran ini proses mencari ilmu dilakukan secara tidak sengaja, jadi siswa merasa tidak terpaksa untuk belajar Implikasi dalam pembelajaran:
5
a) Bahasa dan cara berfikir siswa berbeda dengan orang dewasa. Oleh karena itu guru mengajar dengan menggunakan bahasa yang sesuai dengan cara berfikir siswa. b) Siswa-siswa akan belajar lebih baik apabila dapat menghadapi lingkungan dengan baik. Guru harus membantu siswa agar dapat berinteraksi dengan lingkungan sebaik-baiknya. c) Bahan yang harus dipelajari siswa hendaknya dirasakan baru tetapi tidak asing. d) Berikan peluang agar siswa belajar sesuai tahap. e) Di dalam kelas, siswa-siswa hendaknya diberi peluang untuk saling berbicara dan diskusi dengan teman-temanya. 2) Pembelajaran Matematika Menggunakan Sistem Gradasi Dalam pembelajaran Matematika, terutama untuk kelas rendah diperlukan tahapan mulai dari tingkat konsep-pengaitan-simbol. Ketiga tahap tersebut lebih jelasnya disajikan dalam gambar berikut.
Level Konsep (Concept Level) Siswa membangun pemahamannya tentang kalimat matematika dengan cara mengeskplorasi bentuk bilangan di bawah 10 dalam konteks nyata atau benda-benda konkrit. Pada level ini, siswa mendemonstrasikan tingkat pemahamannya dengan cara: - Membangun model konkrit dalam berbagai bentuk manipulasi. - Menjelaskan apa yang mereka buat dengan menggunakan kalimat matematika
6
Level Pengaitan (Conecting Level) Siswa pada umumnya tidak dapat menemukan symbol-simbol matematika dalam konteks lingkungan alami. Cenderung pengalaman pertama mereka menemukan symbol-simbol matematika terjadi di sekolah terutama saat melakukan kegiatan tertentu yang berkaitan dengan matematika. Numerik dan symbol matematika diperkenalkan pada mereka pada tahap pengaitan. Simbol-simbol matematika (misalnya: + , -, x, : , =) bahkan lebih abstrak dari kalimat matematika yang mereka sajikan. PErsamaan-persamaan matematika harus diperkenalkan berbasis pada pengalaman langsung. Siswa memvisualisasikan symbol-simbol dalam memecahkan masalah bilangan dengan menggunakan manipulasi. Pada level ini, mereka menujukka pemahaman mereka dengan cara: - Merancang model konkrit dengan berbagai variasi manipulasi dan menuliskan persamaan matematika yang tepat - Menggunakan persamaan yang ada dan menghubungkannya dengan manipulasi yang dikerjakan atau menggunakan soal cerita. Guru hanya mencatat symbol-simbol matematikanya. Tahap Penyimpulan (Symbolic Level) Pada tahap ini, siswa mencatat persamaan kemudian merepresentasikan dalam bentuk pola nbilangan konkrit. Bahkan mereka akan membangun konsepnya sendiri. Pada tahap ini, siswa mulai belajar untuk mebayangka (memvisualisasikan) suatu konsep tertentu dan menuliskanya dalam simbu-simbul matematika 3) Strategi Pembelajaran Matematika Beberapa strategi atau pendekatan pembelajaran dapat diterapkan dalam pembelajaran matematika di SD. Berikut ini akan disajika beberapa diantaranya a) Open-Ended Problem Open-ended Problem adalah problem/masalah yang diformulasikan memeliki
multijawaban
yang
benar
(soal
terbuka).
Open-ended
7
bertujuan untuk membantu mengembangkan kegiatan kreatif dan pola pikir matematika siswa melalui problem posing secara simultan. Keunggulan Open-ended: Siswa berpartisipasi lebih aktif dalam pembelajaran dan sering mengekspresikan idenya. Siswa memiliki kesempatan lebih banyak dalam memanfaatkan pengetahuan dan keterampilan matematika secara komprehensif. Siswa dengan kemapuan matematika rendah dapat merespon permasalahan dengan cara mereka sendiri. Siswa secara intrinsik termotivasi untuk memberikan bukti atau penjelasan. Siswa memiliki pengelaman banyak untuk menemukan sesuatu dalam menjawab permasalahan. Kelemahan Open-ended: Membuat dan menyiapkan masalah matematika yang bermakna bagi siswa bukanlah pekerjaan mudah. Mengemukakan masalah yang langsung dapat dipahami siswa sangat sulit sehingga banyak siswa yang mengalami kesulitan bagaimana merespon permasalahan yang diberikan. Siswa
dengan
kemampuan
tinggi
bisa
merasa
ragu
atau
mencemaskan jawaban mereka. Mungkin ada sebagaian siswa yang merasa bahwa kegiatan belajar mereka mereka tidak menyenangkan karena kesulitan yang mereka hadapi Implementasi Open-ended pada pembelajaran matematika di SD; 1. Pembelajaran Bilangan Cacah Contoh: Dua buah bilangan cacah a dan b jika dijumlahkan hasilnya 10.
tentukan bilangan a dan b, serta tentukan hasil kali a dengan b! Alernatif penyelesaian: Jika a = 1 maka b = 9, a x b = 1 x 9 = 9 Jika a = 2 maka b = 8, a x b = 2 x 8 = 16 Jika a = 3 maka b = 7, a x b = 3 x 7 = 27 dst
8
2. Pembelajaran Bangun Datar Contoh: Sebuah segitiga dengan luas daerah 16 cm2. Berapa cm tinggi segitiga tersebut?
Alternatif penyelesaian: 2 L (2)(16) 16 Jika alasnya 2, maka t a 2 2 L (2)(16) 8 Jika a = 4, maka t a 4 dst 3. Pembelajaran Bangun Ruang Contoh: Suatu kardus makanan berbentuk balok dengan volume 48 cm 3. Berapakah panjang, lebar dan tinggi kardus tersebut? Alternatif penyelesaian: Jika panjangnya 6 dan lebarnya 4, maka tingginya 2 Jika panjangnya 8 dan lebarnya 4, maka tingginya 1,5 dst b) Problem Posing Problem possing adalah kegiatan pengajuan soal yang dilakukan setelah siswa menguasai konsep dari suatu materi matematika.
Studi Kasus:
Misalkan kita sedang mendiskusikan materi bangun datar yaitu tentang luas Persegipanjang, konsep yang perlu dikuasai oleh siswa adalah:
Dari konsep di atas, guru dapat menerapkan problem possing dalam tiga model yang berbeda, yaitu; Bentuk Pertama: Pengajuan pra-solusi (presolution posing) yaitu seorang siswa membuat soal dari situasi yang diadakan. Contoh (perintah guru): Buatlah sebuah soal tentang Luas Persegipanjang yang diketahui panjang dan lebarnya! Contoh 1 (pekerjaan siswa):
Sebuah meja berbentuk persegipanjang dengan panjang 4 m dan lebar 3 m. Hitunglah luas meja tersebut!
9
Penyelesaian: Memahami masalah: Dik: Persegi panjang, p= 4 m, l = 3 m Ditanya: Luas = ….? Rencana: Luas = p x l Pelaksanaan: Luas = p x l =4x3 = 12 m Mengecek Kembali: 12 : 3 = 4
Bentuk Kedua: Pengajuan didalam solusi (within-solution posing), yaitu seorang siswa merumuskan ulang soal seperti yang telah diselesaikan. Contoh (perintah guru): Buatlah sebuah soal dan penyelesaian seperti soal pada contoh 1 diatas di atas!
Contoh 2 (pekerjaan siswa):
Sebuah meja berbentuk persegipanjang dengan panjang 7 m dan lebar 5 m. Hitunglah luas meja tersebut! Bentuk Ketiga: Pengajuan setelah solusi (post solution posing), yaitu seorang siswa memodifikasi tujuan atau kondisi soal yang sudah diselesaikan untuk membuat soal yang baru. Contoh (perintah guru): Konstruksi sebuah soal dengan memodifikasi soal pada contoh 2 di atas dimana yang diketahui Luas dan panjangnya dan tentukan lebarnya! Contoh 3 (pekerjaan siswa):
Sebuah meja berbentuk persegipanjang luasnya 12 m. Jika panjangnya 4 m, tentukanlah lebar persegipanjang tersebut! Selain open-ednde dan problem possing, masih terdapat banyak sekali pendekatan pembelajaran matematika, misalnya problem based learning, problem solving, model kooperatif (STAD, TAI, Jigsaw, NHT), dan Inkuiri. Untuk pembelajaran inkuiri akan dibahas pada modul lain pada halaman berikutnya.
10
C. RANGKUMAN
1) Piaget membagi tahap perkembangan anak menjadi 4 tahapan, yaitu: Tahap sensorimotorik (0-2 tahun), Tahap praoperasional (2-7 tahun), Tahap operasi konkret (7-11 tahun), Tahap operasi formal (mulai 11 atau 12 tahun). 2) Untuk kelas renndah, pembelajaran matematika hendaknya mengikuti tahapan: konsep (konkrit)-pengaitan (koneksi)-simbolik (abstrak) 3) Beberapa pendekatann pembelajaran yang dapat diterapkan dalam pemeblajaran matematika SD, diantaranya: open-ended problem, problem possing, problem based learning, kooperatif learning, inkuiri, dan yang lainnya D. TES FORMATIF 1. Sebutkan tahap-tahap perkembangan kognitif anak menurut teori kognitif Piaget! 2. Tuliskan tahapan pembelajaran matematika untuk siswa SD kelas rendah! 3. Konstruksi sebuah pembelajaran matematika SD dengan menggunakan pendekatan open-ended problem! 4. Diketahui Segitiga dengan alas 10 cm dan tinggi 7 cm. Hitung Luas daerah Segitiga tersebut! 5. Konstruksi sebuah soal dengan memodifikasi soal no 1 di atas dimana diketahui luas dan alasnya, serta hitung tingginya! 6. KUNCI JAWABAN TES FORMATIF Kunci jawaban dan rubrik penskoran ada pada halaman tersendiri
11
A. PENDAHULUAN SK : KD
:
Indikator
:
Petunjuk Belajar
:
2. Menguasai Kompetensi Pedagogik Pembelajaran Matematika SD/MI 1.2 Menguasai prinsip, teori dan strategi pembelajaran serta teknik asesmen yang tepat pada pembelajaran matematika 1.2.1 Memilih media pembelajaran yang tepat untuk pembelajaran operasi bilangan bulat 1.2.2 Memilih media pembelajaran yang tepat untuk operasi bilangan pecahan 1.2.3 Memilih media pembelajaran yang tepat untuk pembelajaran geometri dan pengukuran 5. Pelajari materi prasyarat dan ringkasan materi 6. Pahami penyelesaian latihan soal langkah demi langkah 7. Kerjakan tes formatif tanpa melihat kembali ringkasan materi 8. Lihat kunci jawaban dan ukur tingkat penguasaan materi anda
B. KEGIATAN BELAJAR (KB) 1) Media Pembelajaran Matematika Sekolah Dasar Media pembelajaran adalah semua benda yang dapat mejadi perantara dalam terjadinya pembelajaran. Oleh karena itu, alat peraga dan sarana belajar lainya jika dilihat dari fungsinya dapat disebut sebagai media pembelajran. Untuk belajar matematika, terutama di sekolah dasar, keberadaan media pembelajaran khususnya dalam bentuk alat peraga sangat dibutuhkan. Hal ini mengingat karakteristik pembelajran matematika di kelas rendah yang harus diawali dengan benda konkrit. Setiap bidang kajian matematika SD
12
memerlukan meda/alat
peraga
yang
berbeda-beda. Berikut
beberapa
diantaranya; a. Papan tulis, buku tulis, dan daun pintu yang berbetuk persegipanjang dapat berfungsi sebagai ala peraga pada saat guru menerangkan materi bangun datar b. Tutup botol, permen, buah rambutan, buah jambu, kerang, kelereng serta benda lainnya dapat digunakan sebagi media pembelajaran pada materi operasi bilangan asli c. Papan berpaku dapat digunakan sebagai media pembelajaran bangun datar baik pada tahap pengenalan (kelas rendah) ataupun menghitung luas daerahnya d. Kartu bilangan dapat digunakan sebagai media pembelajaran bilangan bulat e. Papan Planel dan daftar gambar dapat digunakan dalam pembelajaran mengurutkan bilangan f. Garis bilangan bulat dapat digunakan sebagai alat bantu pembelajaran operasi bilangan bulat, kecuali perkalian bilangan negati dengan bilangan positif atau negatif g.
Dadu bilangan bulat dapat digunakan melaksanakan proses belajar mengajar operasi bilangan bulat lebih menyenangkan
h. Kertas karton, lakban, gunting adalah media yang dapat membantu siswa menemukan bentuk jaring-jarning kubus dan balok i. Penggaris berskala dapat digunakan untuk memebantu siswa dalam pengukuran
13
C. RANGKUMAN Media
pembelajaran adalah semua benda yang dapat mejadi
perantara dalam terjadinya pembelajaran Media pembelajaran dapat dikembangkan sesuai dengan karakteristik
materi matematika yang akan didiskusikan di dalam kelas D. TES FORMATIF 1. Sebutkan dua media pembelajarn yang dapat digunakan dalam pembelajaran bilangan bulat serta jelaskan cara penggunaannya! 2. Sebutkan dua media pembelajaran yang dapat digunakan dalam bangn datar serta jelaskan cara penggunaannya! 3. Sebutkan dua media pembelajaran yang dapat digunakan dalam bangn datar serta jelaskan cara penggunaannya! E. KUNCI JAWABAN TES FORMATIF Kunci jawaban dan rubrik penskoran ada pada halaman terpisah
14
A. PENDAHULUAN SK : KD
:
Indikator
:
Petunjuk Belajar
:
2. Menguasai konsep dan metode keilmuan matematika yang mendukung profesionalisme 2.1 Menguasai konsep bilangan, operasi, algoritma, dan sifat-sifat bilangan bulat 2.1.1 Menganalisis dan menerapkan urutan operasi pada bilangan bulat 2.1.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat distribusi bilangan bulat 9. Pelajari materi prasyarat dan ringkasan materi 10. Pahami penyelesaian latihan soal langkah demi langkah 11. Kerjakan tes formatif tanpa melihat kembali ringkasan materi 12. Lihat kunci jawaban dan ukur tingkat penguasaan materi anda
B. KEGIATAN BELAJAR (KB) 1) Tinjauan Materi Dalam berbicara tentang matematika maka kita tidak akan lepas dari pembicaraan tentang bilangan. Berbagai jenis bilangan yang kita kenal dalam matematika
diantaranya: Bilangan real, rasional,
integer,
bulat,
asli,
irrasional. Untuk dapat lebih memahami struktur dari setiap bilangan tersebut, berikut ini digambarkan diagramnya: Bilangan real rasional integer bulat asli
Irrasional
15
Namun yang akan didiskusikan pada pertemuan saat ini adalah bilangan bulat. Baik bilangan bulat positif, bilangan bulat negative dan nol. Seperti yang digambarkan di atas, kombinasi antara bilangan bulat positif, bilangan bulat negative dan nol disebut sebagai Integer. Namun dalam instilah yang telash kita kenal, integer lebih sering disebut sebagai bilangan bulat. Oleh karena itu, integer (bilangan bulat) dapat dituliskan sebagai berikut: B = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Bilangan bulat dapat disajikan dalam garis bilangan bulat, sebagai berikut:
Operasi Bilangan Bulat Operasi adalah metode menggabungkan bilangan-bilangan, seperti penjumlahan, pengurangann perkalian, dan pembagian. Mengetahui cara mengerjakan suatu operasi sama pentingnya dengan mengetahui urutan pengerjaannya. Untuk kepentingan tersebut, berikut ini merupakan urutan operasi dalam bilangan bulat. 1. Kurung 2. Pangkat 3. Kali dan Bagi (dari kiri ke kanan) 4. Tambah dan Kurang (dari kiri ke kanan) Keempat urutan operasi di atas akan lebih mudah diingat dengan membuat singkatan “KUPANGLIGITAN”.
16
Urutan operasi di atas berarti bahwa dalam menyelesaikan operasi bilangan bulat, operasi yang berada dalam tanda kurung harus dikerjakan pertama kali, baru kemudian disusul dengan pengerjaan pangkat, kali dan bagi, dan yang paling akhir adalah pengerjaan operasi tambah dan kuran dengan urutan dari kiri ke kanan.
Contoh 1: 1. 3 + 5 x 7 = 3 + 35 = 38 2. (1 + 3) x (8 – 2) = 4 x 6= 24 Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat (1) Penjumlahan a. Tertutup
a + b bilangan bulat
b. Komutatif a + b = b + a c. Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c)
(2) Pengurangan Lawan (invers) a – b = a + (-b) (3) Perkalian a. Tertutup
a x b bilangan bulat
b. Komutatif a x b = b x a c. Asosiatif
(a x b) x c = a x (b x c)
d. Unsur identitas a x 1 = a e. Distributif a (b + c) = ab + ac a (b - c) = ab – ac (4) Pembagian Kebalikan (invers) dari perkalian a : b = a x 1/b
17
Penggunaan Operasi Bilangan Bulat dalam Kehidupan Sehari-hari Dalam kehidupan sehari-hari, terdapat banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan memanfaatkan operasi bilangan bulat. Untuk dapat lebih memahaminya, perhatikan contoh berikut:
Contoh 2: Suhu di puncak gunung adalah -8oC sedangkan suhu di kaki gunung adalah 15 oC, tentukanlah perbedaan antara suhu di puncak gunung dengan suhu di kaki gunung!
Penyelesaian: Perbedaan suhun = 150-(-80) = 150 + 80 = 230 Jadi sperbedaan suhu adalah sebesar 230
C. RANGKUMAN
Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan negatif dan bilangan cacah. Urutan operasi bilangan bulat: “Ku-Pang-Li-Gi-Ta-N” Untuk a, b, c bilangan bulat, berlaku: a) Tertutup : a + b dan a x b hasilnya bilangan bulat b) Komutatif: a + b = b + a dan ax b = b x a c) Assosiatif : (a + b) + c = a + (b + c) dan (a x b) x c = a x (b x c) d) Identitas : a + 0 = a dan a x 1 = a e) Distributif : a ( b + c) = (a x b) + (a x c) a ( b – c) = (a x b) – (a x c)
18
D. TES FORMATIF 1. Tentukan hasil dari operasi bilangan bulat berikut: a. (3 + 2) x 3 + 32 = ….. b. -2 x (3 + 4) – 7 = …… c. (-2 + 7) x (32 – 4) = …. d. -12 ( -3 + 7 ) : (- 8 x - 2) = …. 2. Gunakan sifat distributif untuk menyelesaikan masalah berikut: a. 3 ( 2 + 5) = (3 x 2) + ( n x 5), maka n = ...... b. n ( 3 – 4) = (-2 x 3) – (-2 x 4), maka n = ...... 3. Pada bulan januari, Dina memiliki utang sebesar Rp. 8.000.000,00 di Bank Swasta. Karena mendapat cukup banyak rejeki, pada awal bulan Pebruari ia melunasi utangnya sebesar Rp. 7.500.000,00. Apakah Dina masih punya utang atau tidak?. Jika ya, berapa sisa utangnya? 4. Suhu di atas permukaan laut pada pukul pukul 22.00 adalah 18 0C dan setiap pertambahan ketinggian 50 m, suhu berkurang 1 0C. Jika
lantai 7 gedung
perpustakaan UBT tingginya 200 m di atas permukaan laut, berapa suhu di lantai 7 pada saat bersamaan? E. KUNCI JAWABAN TES FORMATIF No Kunci Jawaban a. 24 1 b. -21 c. 25 d. -3 a. 3 2 b. -2 Ya. Rp. 500.000,00 3 140C 4
19
A. PENDAHULUAN SK : KD
:
Indikator
:
Petunjuk Belajar
:
3. Menguasai konsep dan metode keilmuan matematika yang mendukung profesionalisme 2.2 Menguasai konsep bilangan, operasi, algoritma, dan sifat-sifat bilangan pecahan 2.2.1 Menganalisis dan menerapkan sifat-sifat urutan bilangan pecahan 2.2.2 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan bilangan pecahan 2.2.3 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan perbandingan/rasio 13. Pelajari materi prasyarat dan ringkasan materi 14. Pahami penyelesaian latihan soal langkah demi langkah 15. Kerjakan tes formatif tanpa melihat kembali ringkasan materi 16. Lihat kunci jawaban dan ukur tingkat penguasaan materi anda
B. KEGIATAN BELAJAR (KB) 2) Tinjauan Materi Pengertian Pecahan Pecahan melambangkan perbandingan bagian yang sama dari suatu benda terhadap keseluruhan dari suatu benda atau himpunan bagian yang sama terhadap keseluruhan dari suatu himpunan. Contoh 1
Gambar 1a
20
Gambar 1a mewakili bilangan
satu. Selanjutnya jika gambar 1a luas
daerahnya dibagi menjadi 2 bagian yang sama besar dan kongruen, maka akan menghasilkan daerah bagian seperti pada gambar 1b berikut.
Gambar 1b Berdasarkan gambar 1b, maka lambang bagian yang diarsir adalah atu per dua) .
1 2
(baca: s
A Contoh 2
Gambar 2a Berdasarkan gambar 2a, banyaknya anggota pada himpunan A adalah 10. Selanjutnya perhatikan gambar 2b berikut ini.
B
21
Jika salah satu anggota dari himpuna A di arsir, maka perbandingan anggota himpunan yang diarsir tersebut terhadap himpunan A menciptakan lambang pecahan
3 10
(baca:tiga per sepuluh).
Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat 𝒂 dinyatakan/dilambangkan dengan 𝒃, 𝒂 dinamakan pembilang dan 𝒃 dinamakan penyebut. Dimana 𝒂 dan b adalah bilangan bulat,
dan b≠ 𝟎 Macam-macam Pecahan 1. Pecahan murni atau sejati Pecahan murni atau pecahan sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya sehingga tidak dapat disederhanakan lagi. 1 2
7
Contoh : 4 , 7 , 13 dan seterusnya 2. Pecahan campuran Pecahan campuran adalah pecahan yang terdiri dari bilangan bulat dan pecahan murni/sejati. 1
3
Contoh: 1 2 , 2 4 , dan seterusnya Pecahan senilai Pecahan senilai adalah pecahan yang penulisannya berbeda tapi mempunyai hasil bagi yang sama. Perhatikan gambar berikut ini. 1/3
1/3
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
22
Luas daerah yang diarsir adalah : 1 6
+
1 6
1
1
+6+6 =
4 6
sama juga dengan
1 3
1
2
+3 = 3
Membandingkan dan Mengurutkan Pecahan a. Jika Pembilangnya sama Perhatikan pecahan-pecahan berikut: pertama pembilangnya
33 3 2 2 2 2 , , , , , . Tiga pecahan 46 8 3 4 6 8
sama yaitu 3, dengan penyebut yang berbeda.
Begitu juga dengan empat pecahan berikutnya pembilangnya sama yaitu 2, sementara penyebutnnya berbeda. Untuk kasus seperti ini, untuk pecahan positif yang penyebutnya bernilai lebih kecil bernilai lebih besar dari pecahan yang penyebutnya lebih kecil. Sementara untuk pecahan negatif, berlaku sebaliknya. Sehingga, dari bilangan-bilangan di atas diperoleh:
3 3 3 2 2 2 2 dan 4 6 8 3 4 6 8 b. Bila Penyebutnya sama Perhatikan pecahan berikut:
3 5 dan . Untuk kasus penyebut sama, 7 7
pecahan yang nilai pembilanya lebih besar memiliki nilai pecahan lebih besar dari yang lainnya. Sehingga dari dua bilangan di atas, diperoleh hasil perbandingan sebagai berikut:
5 3 > 7 7 c. Bila Pembilang dan Penyebutnya tidak sama Jika terdapat beberapa pecahan dengan pembilang dan penyebut tidak sama, untuk membanndingkanya dilakukan dengan cara menyamakan penyebut atau pembilanganya. Setelah itu, gunakann konsep (a) atau (b) di atas untuk langkah selanjutnya. Untuk menyamakan pembilang atau
23
penyebut, diperlukan pemahaman tentang kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Contoh: Urutkan bilangan berikut dari yang terkecil:
2 3 5 , , dan 3 5 7
Penyelesaian: Cara I: samakan pembilangnya KPK dari 2, 3, dan 5 dalah 30, maka:
2 2 15 30 x 3 3 15 45 3 3 10 30 x 5 5 10 50 5 5 6 30 x 7 7 6 42 Karena pembilanya sama yaitu 30 dan urutan penyebutnya dari yang terkecil yaitu: 42, 45, dan 50 maka urutan pecahan di atas dari yang terkecil yaitu:
3 2 5 5 3 7
Operasi Hitung Pecahan Pada bagian ini, operasi hitung pecahan yang akan disampaikan meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Berikut ini beberapa konsep yang perlu dipahami, diantaranya: a. Penjumlahan Pecahan o Penjumlahan pecahan berpenyebut sama. Untuk menetukan hasil dari penjumlahan dua pecahan berpenyebut sama perlu diingat “jumlahkan
pembilangnya, tetapi penyebutnya tidak perlu dijumlahkan” . Untuk lebih mudah mengingat, perhatikan ilustrasi berikut:
24
a b ab c c c
Contoh:
2 1 2 1 3 5 5 5 5
o Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang tidak sama. Untuk menentukan hasil penjumlahan dua pecahan atau lebih dengan penyebut tidak sama, maka terlebih dahulu harus dilakukan penyamaan penyebut dengan cara “menentukan hasil kali antar penyebut atau mencari
KPK-nya”. Perhatikan ilustrasi berikut: a c a x d c x b ( a x d ) (c x b ) b d b xd d xb bxd
Contoh:
2 3 2 x 5 3 x 3 10 9 19 = 3 5 3x5 5x3 15 15 b. Pengurangan Pecahan o Pengurangan pecahan berpenyebut sama. Untuk menetukan hasil daripenguranga “kurangkan
dua
pecahan
pembilangnya,
berpenyebut
tetapi
sama
penyebutnya
perlu
tidak
diingat
perlu
dikurangkan”. Untuk lebih mudah mengingat, perhatikan ilustrasi berikut:
a b a b c c c
Contoh:
2 1 2 1 1 5 5 5 5
25
o Pengurangan pecahan dengan penyebut yang tidak sama . Untuk menentukan hasil pengurangan dua pecahan atau lebih dengan penyebut tidak sama, maka terlebih dahulu harus dilakukan penyamaan penyebut dengan cara “menentukan hasil kali antar penyebut atau mencari
KPK-nya”. Perhatikan ilustrasi berikut: a c a x d c x b ( a x d ) (c x b ) b d b xd d xb bxd Contoh:
2 3 2 x 5 3 x 3 10 9 1 = 3 5 3 x 5 5 x 3 15 15 c. Perkalian Pecahan Untuk menentukan hasil kali antara pecahan dengan pecahan, perlu diingat bahwa “kalikan pembilang dengan pembilang dan kalikan penyebut
dengan penyebut”. Perhatikan ilustrasi berikut: a c a xc x b d bxd
Contoh:
3 2 3x2 6 x 5 7 5 x 7 35
d. Pembagian Pecahan Untuk menentukan hasil pembagian pecahan oleh pecahan, perlu diingat bahwa “nyatakan bentuk pembagian kedalam bentuk perkalian dan
lakukan pertukaran anntara pembilang dan penyebut pada bilangan pecahan yang berperan sebagai pembagi”. Perhatikan ilustrasi berikut: a c a d a xd : x b d b c b xc
26
Contoh:
3 2 3 7 3 x 7 21 : x 5 7 5 2 5 x 2 10
Perbandingan (Rasio) Seperti yang telah disebutkan di atas, bilangan
pecahan bisa
melambangkan bagian atau perbandingan. Bilangan pecahan menyatakan perbandingan dapat dituliskan dalam bentuk a : b (dibaca a berbanding b). Misalnya, Rudi memiliki 8 buah rambutan dan Irwan memiliki 6 buah rambutan. Maka perbandingan banyaknya rambutan yang dimiliki oleh Rudi dan Irwan dapat dituliskan dalam bentuk 8 : 6. Dapat disederhanakan menjadi 4 :3.
Disisi lain, penerapan pecahan dalam bentuk perbandingan sangat
membantu dalam penyelesaian masalah sehari-hari.
Jika diketahui seutas tali panjangnya k meter dan dibagi menjadi 2 bagian dengan perbandingan bagian I : bagian 2 = m : n , maka panjang tali bagian I dan bagian II dapat ditentukan sebagai berikut: Panjang bagian I =
m .k m n
Panjang bagian I =
n .k m n
Contoh: Diketahui seutas tali panjangnya 54 m. Jika tali tersebut dipotong menjadi dua bagian dengan perbandingan 2 : 7, Hitunglah panjang masing-masing potongan! Penyelesaian; Diketahui panjang tali semula (k) = 54 Potongan I : potongan II = 2 : 7 Ditanya: panjang potongan I = ..... panjang potongan II = ......
27
Jawab:
2 Potongan I = 29
2 54 54 12 9
7 Potongan II = 29
7 54 54 42 Jadi, potongan I panjangnya 12 m dan 9
potongan II panjangnya 42 m
C. RANGKUMAN
Bilangan pecahan dapat menyatakan bagian dan dapat menyatakan perbandingan (rasio). Bilngan pecahan dituliskan dalam a bentuk dengan a disebut pembilang dan b disebut penyebut. b Untuk mengurutkan beberapa pecahan dari yang terkecil atau sebaliknya,
perlu
dilakukan penyamaan
penyebut
atau
pembilang terlebih dahulu. Konsep pecahan dalam bentuk perbandingan dapat digunakan untuk memecahkan masalah sehari-hari, yaitu: Jika diketahui
seutas tali panjangnya k meter dan dibagi menjadi 2 bagian dengan perbandingan bagian I : bagian 2 = m : n , maka panjang tali bagian I dan bagian II dapat ditentukan sebagai berikut: Panjang bagian I =
m .k m n
Panjang bagian I =
n .k m n
D. TES FORMATIF 1. Diketahui bilangan pecahan: ¾; 0,65; 72%. Urutkan bilangan pecahan di atas dari yang terkecil atau sebaliknya! 2. Urutkan bilangan-bilangan berikut dari yang terbesar:
4 6 8 , , ! 5 7 9
28
3. Pak Jero mempunyai 12,5 kg beras Krayan, kemudian membeli lagi 2,5 kg. Jika 1 beras tersebut dimasukan kedalam kantong plastik masing-masing berisi kg. 3 Berapa banyak kantong yang dibutuhkan? 4. Umur Dedi berbanding umur Nani adalah 3:5. Jumlah umur Dedi dan Nani 32 tahun. Jika Umur Wawan setengah kali umur Nani dan Umur Rama sepertiga umur Dedi. Hitunglah jumlah Umur Wawan dan Rama! 5. Seutas tali panjangnya 63 m, dipotong menjadi dua bagian dengan perbandingan antara potongan pertama dan potongan kedua yaitu 4 : 5. Jika 1 dari potongan pertama digunakan untuk mengikat kayu bakar, berapa m 4 panjang tali pengikat kayu bakar? E. KUNCI JAWABAN TES FORMATIF No Kunci Jawaban 3 2 Urutan dari yang terkecil: 0,65 ; 72% ; 4 3 Urutan dari yang terbesar: ; 72% ; 0,65 4 8 6 4 2 Urutan dari yang terbesar: , , 9 7 5 45 kantong 3 14 tahun 4 7m 5
29
A. PENDAHULUAN SK : KD
:
Indikator
:
Petunjuk Belajar
:
4. Menguasai konsep dan metode keilmuan matematika yang mendukung profesionalisme 2.3 Menguasai konsep bilangan, operasi, algoritma, dan sifat-sifat bilangan pecahan 2.3.1 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan pola bilangan 2.3.2 Menyelesaikan masalah dengan menggunakan persamaan yang memuat variabel 17. Pelajari materi prasyarat dan ringkasan materi 18. Pahami penyelesaian latihan soal langkah demi langkah 19. Kerjakan tes formatif tanpa melihat kembali ringkasan materi 20.Lihat kunci jawaban dan ukur tingkat penguasaan materi anda
B. KEGIATAN BELAJAR (KB) 1) Pola Bilangan Dalam matematika, bilangan dapat disusun membentuk pola tertentu. Beberapa bentuk pola bilangan, diantaranya: a) Pola Bilangan Segitiga
(3)
(6)
(10)
(15)
30
b) Pola bilangan Persegi
1
4
9
16
c) Pola Bilangan Persegi Panjang
2
6
12
20
d) Pola Bilangan Fibonaci 1, 2, 3, 5, 8,…,….Bilangan ke-n merupakan jumlah dari bilangan ken-1 dan bilangan ken-2! 2) Persamaan yang Memuat Variabel Pada pokok bahasan aljabar dikenal koeffisien, variabel, dan konstanta. Perhatikan bentuk aljabar berikut:
ax + b Bentuk aljabar di atas terdiri dari dua suku. Suku pertama
: ax
Suku kedua
:b
Koefisien
:a
Variabel
:x
Konstanta
:b
Contoh: Tentukan koefisien, variabel dan konstanta dari bentuk aljabar berikut: a. 4x + 5
31
b. 2y – 3 c. 4 – 2y Penyelesaian: a. Koefisien : 4, variabel : x, dan konstanta : 5 b. Koefisien : 2, variabel : y, dan konstanta : -3 c. Koefisien : -2, variabel : y, dan konstanta : 4
Perkalian Bentuk Aljabar Salah satu operasi bentuk aljabar adalah perkalian. Perkalian suku satu dengan suku dua dan perkalian suku dua dengan suku dua akan disajikan pada bagian ini. a. Perkalian suku satu dengan suku dua Pada prinsipnya, perkalian suku satu dengan suku dua memenuhi aturan berikut:
x ( x + a ) = x2 + ax Contoh: Tentukan hasil kali bentuk aljabar berikut: 1. 2x (x -4) 2. x (-3x + 3)
Penyelesaian: 1. 2x (x -4) = 2x2 – 8x 2. -3x2 + 3x
32
b. Perkalian suku dua dengan suku dua Hasil kali antara suku dua dengan suku dua dapat ditentukan dengan aturan berikut:
(x + a)
(x + b) = x.x + x.b + a.x + a.b = x2 + (a+b) x + ab
Contoh: Tentukan hasil kali bentuk aljabar berikut; 1. (2x + 3) (x -2) 2. (x -3) (3x -1) Penyelesaian: 1. (2x + 3) (x -2) = 2x .x + 2x (-2) + 3 . x + 3 (-2) = 2x2 – 4x + 3x -6 = 2x2 – x - 6 2. (x - 3) (3x - 1) = x .3x + x (-1) + (-3) . 3x + (-3) (-1) = 3x2 – x - 9x + 3 = 3x2 – 10x + 3
33
Memfaktorkan Bentuk Aljabar Memfaktorkan
merupakan
kebalikan
dari
perkalian
bentuk
aljabar.
Memfaktorkan bentuk aljabar berarti mengubah bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan. Bentuk aljabar x2 + bx + c dapat difaktorkan dengan aturan sebagai berikut:
x2+ bx + c = (x + p) (x + q) dengan: p + q = b dan p . q = c Contoh: Faktorkan bentuk aljabar berikut: 1. x2 + 3x + 2 2. x2 – 9x – 10 Penyelesaian: 1. Misalkan faktor dari x2 + 3x + 2 = (x + p) (x + q) p+q=3 p.q=2 p.q = 2, berarti p dan q faktor dari 2. Faktor dari 2 = 1, 2 Karena 1 + 2 = 3 p = 1 dan q = 2 sehingga: x2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) 2. Misalkan faktor dari: x2 - 9x - 10 = (x + p) (x + q) p + q = -9 p . q = -10 p.q = -10, berarti p dan q faktor dari -10. Faktor dari -10 = -1 x 10 -1 + 10 = 9 = 1 x (-10) 1 + (-10) = -9 Memenuhi p + q = -9 = -2 x 5 -2 + 5 = 3 = 2 x (-2) 2 + (-5) = -3 sehingga: x2 - 9x - 10 = (x + 1) (x - 10)
34
C. RANGKUMAN Pola Bilangan merupakan sederetan bilangan yang membentuk pola dengan aturan tertentu. Pola bilangan segitiga : 1, 3, 6, 10, . . . Pola Bilangan Persegi : 1, 4, 9, 16, . . . Pola Bilangan persegipanjang : 2, 6, 12, 20, . . . Pola bilangan Fibonaci : 1, 2, 3, 5, 8, 11, . . . Operasi bentuk aljabar: Perkalian suku satu dengan suku dua: x ( x + a ) = x 2 + ax Perkalian suku dua dengan suku dua: (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b) x + ab Memfaktorkan bentuk aljabar: x2 + bx + c = (x + p)(x + q), dengan p + q = b, p.q = c
D. TES FORMATIF 1. Tentukan 2 bilangan berikutnya dari pola bilangan di bawah ini: a. 3, 5, 7, 9, . . . b. 2, 4, 8, 14, . . . c. 3, 6, 12, 24, . . . 2. Seorang anak mempunyai kegemaran mengumpulkan prangko. Pada hari pertama dia mengumpulkan 4 prangko, hari kedua mengumpulkan 6, hari ketiga 8, dan pada hari seterusnya mengikuti pola yang ada sampai pada hari ketujuh. Berapa banyaknya prangko yang dikumpulkan oleh anak tersebut pada hari ke-6? 3. Pada sebuah stadion terdapat 8 baris kursi penonton. Pada baris pertama ada 20 kursi, baris kedua 25, baris ketiga 30. Jika pola ini berlanjut, berapa banyaknya kursi pada barisan ke 7? 4. Selisih panjang alas dan tinggi sebuah jajaran genjang adalah 3. Jika luas jajaran genjang 40 cm2, hitung panjang alas dan tingginya! 5. Sebuah persegipanjang panjangnya (2x-3) cm dan lebarya (x+2) cm. Tentukanlah: a. Luas persegipanjang (dalam variabel x)! b. Luas persegipanjang jika x = 6 cm!
35
E. KUNCI JAWABAN TES FORMATIF No Kunci Jawaban a. 11, 13 3 b. 22, 32 c. 48, 96 14 perangko 2 55 kursi 3 a = 8, t = 5 atau a = 5, t = 8 4 a. L = x2 + x – 6 5 b. 72 cm2
36
A. PENDAHULUAN SK : KD
:
Indikator
:
Petunjuk Belajar
:
5. Menguasai konsep dan metode keilmuan matematika yang mendukung profesionalisme 2.4 Menguasai konsep bilangan, operasi, algoritma, dan sifat-sifat bilangan pecahan 2.4.1 Menganalisis dan menerapkan sifat-sifat segiempat 2.4.2 Menganalisis dan menerapkan sifat-sifat kesejajaran garis 2.4.3 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan waktu, jarak, dan kecepatan 21. Pelajari materi prasyarat dan ringkasan materi 22.Pahami penyelesaian latihan soal langkah demi langkah 23.Kerjakan tes formatif tanpa melihat kembali ringkasan materi 24.Lihat kunci jawaban dan ukur tingkat penguasaan materi anda
B. KEGIATAN BELAJAR (KB) 1) Titik dan Garis Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan ide dasar yang tidak memiliki definisi dalam geometri. Titik Dalam kehidupan sehari-hari, titik dapat dikaitkan dengan ujung jarum yang tajam, ujung pensil, ujung paku baja serta noktah yang menunjukkan suatu kota pada peta. Suatu titik biasanya dinamai dengan sebah huruf kapital.
B A di atas secara C Pada gambar berturut-turut menunjukkan titik A, titik B, dan
titik C
37
Garis Disisi lain, himpunan titik-titik akan membentuk sebuah garis. Suatu garis lurus mempunyai panjang tak berhingga, dapat diperpanjang pada kedua arahnya dan tidak mempunyai tebal atau tipis. Garis bisa dinamai dengan sebuah huruf kecil atau dengan dua huruf kapital.
P
Q
Gambar 1 Garis pada gambar 1 di atas dinamakan garis PQ atau QP. Bisa juga disebut garis g. Jika diketahui sebarang dua garis k dan l, maka kedudukan garis k dan l bisa sejajar, berpotongan, atau bersilangan. Dua garis adalah sejajar jika kedua garis itu terletak pada satu bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan (titik potong).
g
h
Gambar 2. Garis g sejajar dengan garis h (gh) Dua garis disebut berpotongan jika kedua garis itu mempunyai satu titik persekutuan (titik potong) k
l
Gambar 3 Garis k berpotongan dengan garis l
38
Dua garis bersilangan adalah dua garis yang tidak terletak pada satu bidang dan tidak mempunyai titik sekutu.
n
Gambar 4 Garis m bersilangan dengan garis n
Ruas Garis Jika pada garis PQ (gambar 1) diambil dua titik sebarang titik A dan B, maka himpunan titik-titik P, Q dan titik-titik diantara A dan B disebut sebagai ruas garis AB
.B
.B .A
.A Gambar 6 Ruas garis AB
Sinar garis Sinar garis AB adalah gabungan antara titik A dan tengahan garis yang memuat semua titik, misalnya B, pada garis AB yang terletak pada pihak yang sama dari titik A.
39
Contoh: Perhatikan gambar berikut, kemudian tulisakan pasangan garis yang sejajar: H
G
E
F D
A
B
C
Jawab: Pasangan garis yang sejajar yaitu: AB//DC, AB//EF, AB//HG, DC//HG, DC//EF, EF//HG AE//BF, AE//CG, AE//DH, BF/CG/ BF//DH, CG//DH AD//BC, AD//EH, AD//FG, BC//FG, BC//EH, FG//EH 2) Segi Empat Segiempat merupakan bentuk segi banyak yang paling banyak jenisnya. Segi banyak ini memiliki empat sisi yang membentuk empat sudut. Ada beberapa sifat yang dapat dilihat untuk membedakan antara segiempat yang satu dengan segiempat lainnya: a. Sisi-sisi yang berhadapan sejajar atau tidak b. Sudut-sudutnya merupakan sudut siku-siku atau tidak c. Sisi-sisinya mempunyai panjang yang sama atau tidak Untuk dapat lebih memahami sifat-sifat dari masing-masing segiempat, berikut ini adalah definisi dari beberapa bangun geometri segiempat, diantaranya: a) Persegipanjang adalah segiempat dengan empat sudutnya siku-siku Perhatikan gambar berikut: Untuk menghitung keliling (K) digunakan rumus:
l p
K
= p + l + p + l = 2p + 2l = 2 (p + l)
40
Dan untuk menghitung luas daerah persegipanjang, digunakan rumus:
L
Dengan p = panjang, l = lebar
= p x l
b) Persegi adalah segiempat dengan empat sisi sama panjang dan empat sudutnya siku-siku Perhatikan gambar berikut: Untuk menghitung Keleiling (K) persegi dapat digunakan rumus:
Sementara, luas daerah persegi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
dengan s = panjang sisi
L = s x s = s2
c) Jajaran Genjang adalah segiempat dengan dua pasang sisi-sisinya yang berhadapan sejajar Perhatikan gambar berikut: Luas
t
daerah
jajaran
dihitung dengan rumus:
genjang
dapat
L = a x t
a d) Layang-layang
adalah
segiempat
dengan
dua
pasang
sisi
yang
berdekatan sama panjang Perhatikan gambar berikut: Pada
D
layang-layang
kelilingnya dengan A
C
B
dapat
disamping, ditentukan
menjumlahkan
panjang
keempat sisinya, yaitu:
K = AB + BC + CD + DA
41
Karena AB = AD dan BC = DC, maka keliling layang-layang ABCD dapat
K = 2 (AB + BC)
disederahanakan menjadi:
Untuk menghitung luas daerah layang-layang ABCD, misalkan diagonal AC = d1 dan diagonal BD = d2, sehingga luas daerahnya dapat dihitung sebagai berikut:
L
=
1 x AC x BD 2
=
1 x diagonal 1 x diagonal 2 2
=
1 x d1 x d2 2
e) Belah Ketupat adalah segiempat dengan empat sisi-sisinya sama panjang Perhatikan gambar berikut: D
Karena keempat sisi pada belah ketupat sama panjang, yaitu AB = BC = CD = DA = s, maka keliling
A
C
belah ketupat dapat ditentukan sebagai berikut:
K = 4s B
Luas daerah belah ketupat adalah setengah dari hasil kali diagonaldiagonalnya. Pada belah ketupat ABCD di atas, AC dan BD adalah diagonal. Jika AC disebut sebagai diagonal 1 (d1) dann BD disebut diagonal 2 (d2), maka luas belah ketupat ABCD adalah:
L
=
1 x AC x BD 2
=
1 x diagonal 1 x diagonal 2 2
=
1 x d1 x d2 2
42
f) Trapesium adalah segiempat dengan tepat satu pasang sisinya sejajar. Perhatikan gambar berikut:
a
D
Pada
C
ABCD,
kelilingnya
merupakan hasil penjumlahan keempat
t A
trapesium
sisinya, yaitu: B
b
L = AB = BC + CD + DA
Luas daerah trapesium adalah setengah dari hasil kali jumlah sisi-sisi sejajar dengan tingginya. Pada belah ketupat ABCD di atas, AB dan CD merupakan sisi-sisi sejajar dan t adalah tinggi trapesium. Jika AB dilambangkan dengan b dan CD dilambangkan dengan a, maka luas daerah trapesium ABCD adalah:
L
=
1 x (AB + CD) x t 2
=
( a b) t 2
Contoh soal dan penyelesaian: 1. Diketahui sebuah persegipanjang panjangnya 8 cm dan lebarnya 6 cm. Berapa luas persegipanjang tersebut? Penyelesaian: Diketahui: p = 8 cm dan l = 6 cm Ditanya : L = .....? Jawab : L=pxl =8x6 = 48 cm2 Jadi, luas persegipanjang adalah 48 cm2 2. Sebuah belah ketupat luasnya 96 cm. Jika panjang salahh satu diagonalnya 12 cm, berapa panjang diagonal yang lainnya?
43
Penyelesaian: Diketahui
: L = 96 cm2 d1 = 12 cm : d2= .....? :
Ditanya Jawab
1 x d1 x d2 2 1 96 = x 12 x d2 2 96 = 6 d2 96 d2 = 6 d2 = 16 L=
Jadi, luas panjang diagonal yang satunya 16cm 3. Perhatikan gambar berikut:
a
D
5 A
Jika luas trapesium ABCD adalah 44 cm, hitunglah jumlah sisi-sisi sejajarnya!
C
4 B
b
Penyelesaian: Untuk dapat menentukan penyelesaian dari soal di atas, gambar yang diketahui Dengan menggunakan teorema a D C Phytagoras, diperoleh panjang AE = FB = 3 cm, sehingga: 5 4 4 5 b = AE + EF + FB b = 3 + EF + 3 B A E F b = DC + 6 b b=a+6
44
Luas trapesium: ( a b) t L 2 ( a a 6) . 4 44 2 44 (2a 6) 2 22 2a 6 2a 16 a 8
Karena b = b = 8 + 6 = 14
a
+
6,
berarti
A dan b adalah sisi-sisi yang sejajar, sehingga jumlahnya: a + b = 8 + 14 = 22
3) Waktu, Jarak, dan Kecepatan Waktu, jarak, dan kecepatan merupakan tiga besaran yang saling berhubungan. Untuk dapat menempuh jarak tertentu dibutuhkan waktu dan kecepatan. Jika jarak yang ditempuh konstan, waktu dan kecepatan memiliki hubungan berbanding terbalik. Artinya, semakin tinggi kecepatan perpindahan (gerak) maka waktu tempuh akan semakin kecil, begitu huga sebaliknya. Secara matematika, hubungan ketiga besaran dituliskan sebagai berikut: Keterangan: s S = jarak yang ditempuh (km) v t V = kecepatan rata-rata (km/jam) t = Waktu tempuh (jam) s t v
s=v.t
Contoh: Sebuah pesawat Boeing 737-900ER terbang dari Balikpapan menuju Tarakan, take-off pukul 09.35 dan landing pukul 10.29. Jika jarak antara Balikapapan dan Tarakan 900 km, hitunglah kecepatan rata-rata pesawat tersebut! Penyelesaian: 54 Diketahui: Waktu (t) = 10.31 - 09.35 = 54 menit = jam = 0,9 jam 60 Jarak (s) = 900 km Ditanya: kecepatan (v) = .......? Jawab: s 900 v 1000 km / jam t 0,9 Jadi, kecepatan pesawat tersebut adalah 1000 km/jam
45
C. RANGKUMAN Dua garis adalah sejajar jika kedua garis itu terletak pada satu bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan (titik potong). Keliling dan Luas Segi empat Keliling K = 2 (p + l) K = 4s K=s+s+s+s K = 4s
Luas Persegipanjang L=pxl Persegi L = s2 Jajaran Genjang L=axt d x d2 Belah Ketupat L= 1 2 d x d2 Layang-layang K=s+s+s+s L= 1 2 jml sisi sejajar x t Trapesium K=s+s+s+s L= 2 Hubungan antara jarak, waktu, dan kecepatan, yaitu:
S=v.t
D. TES FORMATIF 1. Diketahui sebuah belah ketupat dengan panjang diagonal masing-masing sisi 10 cm dan 24 cm. Hitunglah jumlah panjang sepasang sisi yang sejajar! 2. Diketahui jajargenjang dengan panjang sisi bilangan asli dan luas daerah 72 cm2. Jika panjang alas berbanding tinggi 2 : 1. Tentukan jumlah panjang dua pasang sisi yang sejajar! 3. Diketahui persegipanjang dengan sisi bilangan asli dan panjang diagonalnya 15 cm. Jika panjang berbanding lebarnya 4:3, hitunglah jumlah panjang dua pasang sisi yang sejajar!
46
4. Sebuah speedboat berlayar dari pelabuhan Tanjung Selor menuju Tarakan dalam waktu 1 jam 15 menit. Jika kecepatan rata-rata speedboat 80 km/jam, hitunglah jarak antara Tanjung Selor dan Tarakan! 5. Seorang mahasiswa menggunakan sepeda motor dari Juata Laut menuju Pantai Amal Tarakan dengan kecepatan rata-rata 50 km/jam. Jika jarak antara Juata Laut dengan Pantai Amal 40 km, tentukan waktu yang dibutuhkan mahasiswa tersebut! E. KUNCI JAWABAN TES FORMATIF No Kunci Jawaban 26 cm 4 36 cm 2 42 cm 3 100 km 4 0,8 jam 5
47
A. PENDAHULUAN SK : KD Indikator
: :
Petunjuk Belajar
:
6. Menguasai konsep dan metode keilmuan matematika yang mendukung profesionalisme 2.5 Menguasai konsep probabilitas dan statistika 2.5.1 Menyajikan data dalam bentuk diagram 2.5.2 Memecahkan masalah berkaitan dengan rata-rata 25.Pelajari materi prasyarat dan ringkasan materi 26.Pahami penyelesaian latihan soal langkah demi langkah 27.Kerjakan tes formatif tanpa melihat kembali ringkasan materi 28.Lihat kunci jawaban dan ukur tingkat penguasaan materi anda
B. KEGIATAN BELAJAR (KB) 1) Menyajikan Data dalam Bentuk Diagram Statistika adalah kajian matematika yang berkaitan erat dengan data. Sebagai ilustrasi, dari 341 orang peserta PLPG Mata Pelajaran (Mapel) guru kelas berasal dari 6 kabupaten/Kota di Kaltim bagian Utara dengan distribusi sebagai berikut: Tarakan (47 orang), Malinau (48 orang), Tana Tidung (6 orang), Nunukan (37 orang), Bulongan (100), Berau (103). Data di atas dapat disajikan dalam bentuk tabel, diagram , dan diagram lingkaran. a. Tabel Frekuensi Data banyaknya peserta sertifikasi guru mapel Guru Kelas yang ikut PLPG di Rayon 145 UBT untuk kuota tahn 2012 dapat disajikan dalam bentuk tabel, sebagai berikut: Tabel 1. Banyaknya peserta PLGP Mapel Guru Kelas per Kabupaten Kabupaten/Kota Banyak Peserta Tarakan 47 Malinau 48 Tana Tidung 6 Nunukan 37
48
Bulongan 100 Berau 103 341 Total b. Diagram Batang Selain dalam bentuk tabel, untuk mempermudah membaca atau menampilkan dalam bentuk yang lebih menarik maka data dapat disajikan dalam bentuk diagram batang. Pada diagram batang, sumbu-X menyatakan asal kabupaten dan sumbu-Y menyatakan frekuensi. Berikut ini akan disajikan data tersebut di atas. 120 100 80 60
40 20 0 Tarakan
Malinau Tana Tidung Nunukan
Bulongan
Berau
c. Diagram Lingkaran Untuk melihat tingkat persentase peserta dari masing-masing kabupaten, data lebih mudah dibaca jika disajikan dalam bentuk diagram lingkaran. Untuk menyusun diagram lingkaran, ikuti langkah berikut: Ketahui fakta bahwa jumlah besar sudut sebuah lingkaran penuh adalah 3600 Tentukan besar sudut/persentase setiap bagian, caranya: 47 47 x 360 0 49,62 0 atau x 360 0 13,78% - Tarakan 341 341 48 48 x 360 0 50,67 0 atau x 360 0 14,08% - Malinau 341 341 6 6 x 360 0 6,330 atau x 360 0 1,76% - Tana Tidung 341 341 37 37 x 360 0 39,06 0 atau x 360 0 10,85% - Nunukan 341 341
49
-
Bulongan
-
Berau
100 100 x 360 0 105,57 0 atau x 360 0 29,33% 341 341 103 103 x 360 0 108,74 0 atau x 360 0 30,21% 341 341
Lukis diagram sesuai sudut/persentase di atas Tarakan; 13,78% Malinau; 14,08%
Berau; 30,21%
Bulongan; 29,33%
Nunukan; 10,85%
Tana Tidung; 1,76%
2) Menghitung Rata-rata Menghitung rata-rata dari sejumlah data dilakukan dengan menjumlahkan nilai seluruh data dan kemudian membaginya dengan banyaknya data. Misalkan terdapat sebanyak n data sebagai berikut: x1, x2, x3, ...., xn. Rata-rata dari data di atas dapat dihitung sebagai berikut; __
x
x1 x 2 x3 ..... x n n
Keterangan: __
x
: rata-rata
xn
: data ke-n
x1
: data ke-1
n
: banyaknya data
Contoh: Setelah dilaksanakan ujian susulan terhadap 10 orang siswa, diperoleh nilai sebagai berikut: 65, 68, 73, 85, 67, 52, 64, 86, 74, 66. Hitunglah rata-rata nilai ujian di atas!
50
Penyelesaian: __ x1 x 2 x3 ..... x n x n 65 68 73 83 67 52 64 86 74 66 10 700 10 70 Jadi rata-rata nilainya adalah 70 Jika data yang dikumpulkan secara bertahap atau data lebih terdiri dari dua kelompok yang berbeda, maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan sebagai berikut: __
n x 1 n2 x 2 x gab 1 n1 n2
__
n1 = banyak data kelompok pertama n2= banyak data kelompok kedua x 1 = nilai rata-rata kelompok pertama x 2 = nilai rata-rata kelompok kedua x = rata-rata gabungan kelompok pertama dan kedua
Contoh: Nilai rata-rata dari 6 orang siswa adalah 75. Jika Andi melaksanakan ujian susulan maka rata-rata Ujian menjadi 76. Berapa nilai ujian Andi? Penyelesaian: Diketahui: __
x gab = 76
__
x 1 = 75
n1 = 6 n2 = 1
Ditanya: __
x 2 = .......?
51
Jawab: __
n x 1 n2 x2 x gab 1 n1 n 2
__
__
(6) (75) (1) ( x 2 ) 76 6 1 __
450 x 2 76 7 __
532 450 x 2 __
x 2 82
Jadi nilai Andi adalah 82 C. RANGKUMAN Untuk kepentingan tertentu, data dapat disajikan dalam bentuk tabel, diagram batang, dan diagram lingkaran. Untuk diagram batang, sumbuY biasanya memuat informasi tentang frekuensi data. Jika data akan disajikan dalam bentuk persentase, maka lebih tepat disajikan dalam diagram lingkaran. Disamping itu, jika terdapat sejumlah data maka rata-ratanya dapat dihitung sebagai berikut: Rata-rata data tungga
__
: x
x1 x 2 x3 ..... x n n __
Rata-rata gabungan
__
: x gab
n1 x 1 n2 x 2 n1 n2
D. TES FORMATIF 1. Banyaknya ikan yang diperoleh oleh sekelompok nelayan dalam satu minggu terakhir disajikan dalam tabel berikut: Hari Banyak Tangkapan Ikan (kg) Senin 25 Selasa 30
52
Rabu 20 Kamis 45 Jumat 22 Sabtu 28 Minggu 50 Sajikan data di atas dalam diagram batang dan diagram lingkaran! 2. Buatlah data fiktif tentang banyaknya siswa kelas I s/d kelas VI di SD tempat bapak/ibu mengajar, kemudian sajikan dalam bentuk tabel, diagram batang, dan diagram lingkaran! 3. Dari 60 orang guru yang mengikuti PLPG tahap IV, daimbil secara acak 8 orang dan diketahui nilai UKA masing-masing adalah 38, 34, 52, 37, 30, 33, 39, 40. Hitunglah rata-rata nilai UKA dari 8 guru tersebut! 4. Rata-rata nilai dari 9 orang siswa adalah 78. Jika Ramy mengikuti ujian susulan maka rata-rata kelas menjadi 78,5. Berapa nilai ujian Ramy? E. KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 1. a. Diagram batang 60 50
40 30 20 10 0 Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
Sabtu
Minggu
b. Diagram Lingkaran Minggu 23%
Senin 11%
Sabtu 13%
Selasa 14%
Rabu 9% Jumat 10%
Kamis 20%
53
2. Menyesuaikan dengan data yang dibuat. 3. 38,57 4. 83
>
54
