jawaban pa. Jika bdana nilai. Perhatikan r qx px cbx ax akar. Bentuk ......
Bioteknologi merupakan ilmu terapan dari biologi dalam pengolahan bahan oleh
agen ...
MATEMATIKA DASAR FUNGSI Bentuk linear: f ( x) = ax + b Bentuk pecahan:
f ′( x ) =
⇒
ax + b cx + d − dx + b f −1 ( x) = cx − a
Bentuk eksponen:
x−b a
f ( x) =
f ′( x) = a x
⇒
f −1 ( x) = a log x
F ( x) = a px
⇒
f −1 ( x) = a log x p
1
Bentuk logaritma: f ( x ) = a log x Bentuk akar pangkat:
f ( x) = n ax + b ⇒
f −1 ( x) =
⇒
f −1 ( x) = a x
xn − b a
Bentuk fungsi kuadrat:
f ( x) = ax 2 + bx + c ⇒
1 a
f −1 ( x ) = ±
D⎞ b ⎛ ⎜x+ ⎟− 4a ⎠ 2a ⎝
Komposisi fungsi : Jika f ( x) = ax + b ⇒ fog ( x) = px + q px + q − b Maka : g ( x) = a Jika f ( x) = ax + b ⇒ fog ( x) = px 2 + qx + r px 2 + qx + r − b Maka : g ( x) = a f ( ax + b) = px 2 + qx + r , maka : f ( x) = f ( ax + b ) = px 2 + qx + r
(
)
f ( g ( x )) = h( x) maka : f ( x) = h g −1 ( x )
1
LIMIT Limit fungsi aljabar
1. Bentuk pecahan : ax n + ............... ..... bx m + ............... .....
lim x→~
jika n > m jika n < m
jawab : ~ jawab : 0 a jika n = m jawab : b n adalah pangkat tertinggi pembilang m adalah pangkat tertinggi penyebut
⇒
2. Bentuk akar : ax 2 + bx + c −
lim
px 2 + qx + r
x→~
Perhatikan nilai a dan b
(2) jika a < p
b−q 2 a jawaban : −~
(3). jika a > p
jawaban + ~
(1). Jika a = p
jawaban :
1
lim x = 0 lim k = k ⇒ k = kons tan ta Jika lim f ( x ) ada dan lim g ( x ) , maka : lim k f ( x) = k lim f ( x) lim [ f ( x) + f ( g )] = lim f ( x) + lim g ( x) lim [ f ( x) − f ( g )] = lim f ( x) − lim g ( x) lim [ f ( x) ⋅ f ( g )] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) f ( x) f ( x) lim lim g ( x) = lim g ( x) x→~
n
x→~
x →!~
x →~
x→~
x→~
x→~
x→~
x →~
x→~
x →~
x→~
x→~
x →~
x→~
x→~
x→~
x→~
n
[ f ( x)] = ⎡⎢ lim f ( x)⎤⎥ lim x→~ ⎣ x→~ ⎦ n ax + ............... ⇒ bagilah ma sin g − ma sin g suku dengan x pangkat tertinggi lim m x → ~ bx + ............... m
lim
ax 2 + bx + c −
px 2 + qx + r
kalikan dengan :
x→~
2
ax 2 + bx + r +
px 2 + qx + r
ax 2 + bx + r +
px 2 + qx + r
LIMIT
1. lim x →0
MENDEKATI
BILANGAN TERTENTU
ax n + bx n −1 + ................ + c c = px m + qx m −1 + ............... + r r
............... + n2 x p +1 + n1 x p 2. lim p +1 + m1 x q x → 0 ............... + m2 x 3. lim x →0
jika ⇒
ax a ( p + q) = p + bx − q − cx ( p − q ) + b + c
f ( x)
lim g ( x)
⇒
jika jika
p > q maka = 0 n p = q maka 1 m1 p < q maka ~
substitusikan a ke fungsi
x →0
0⎞ a a ⎛ atau atau jika hasi ln ya : tertentu ⎜ misalkan ⎟ merupakan jawaban yang dicari 0 b b⎠ ⎝ 0 ~ 0⎞ ⎛ atau atau tak tentu ⎜ misalkan ⎟ selesaikan dengan menguraikan 0 ~ ~⎠ ⎝
3
LOGARITMA a
log x syarat , maka : a ≠ 0 , a ≠ 1 , a ∉ Bilangan negatif maka : x ≠ 0 , x ∉ bilangan negatif ( x ≥ 0 )
1. a log b = c ⇒ a c = b
(a ≥ 0
dan a ≠ 1) ,
14. a log 2 x + b log x + c = 0
2. a log (b ⋅ c ) = a log b + a log c
mempunyai akar − akar
3. a log (b : c ) = a log b − a log c
maka x1 x2 = 10 a
4. a log b =
t t
log a log b
−b
dan t ≥ 0 dan t ≠ 1
15.
1 5. log b = b log a a
an
log b n = a log b
am
log b n =
n a log b ⇒ sehingga : m
log b
(a )
GRAFIK
am
⎛ an ⎞ ⎜ log b r ⎟ ⎜ ⎟ ⎠
m⎝
log a n =
⎛a⎞ F ( x) + F ⎜ ⎟ = F (a ) = −1 ⎝ x⎠
n m
m n
FUNGSI
LOGARITMA y = a log x , a > 1
ke − kanan ⇒ ke − kiri ⇒
(1 , 0 )
( )
y = a log a n x
ke − bawah ⇒
maka :
( )
= br
y = a log x digeser n satuan
ke − atas ⇒
a
log x 1 − 2 a log x
y Jika grafik
2
⎛a⎞ f ⎜ ⎟ = f (a ) − f (b ) ⎝b⎠ f (a ⋅ b ) = f (a ) + f (b ) 17. Jika f ( x) =
= b ⇒ sehingga : n r m s 13. a log b m ⋅ b log a s = ⋅ n r 12. a
a
⎛b+c⎞ = log ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ g
16. Jika f ( x) = g log x , maka :
9. a log b ⋅ b log c ⋅ c log d ⋅ d log e = a log e
11.
f ( x) = g log b + g log c maka : f MAKS
6. a log b n = n a log b 1 7. a log b = a log b 2 m a 8. a log n b m = log b n
10.
x1 dan x2
⎛ x ⎞ y = a log ⎜ n ⎟ ⎝a ⎠ y = a log ( x − n )
y = a log x , a < 1
y = a log ( x + n )
4
PERTIDAKSAMAAN Pertidaksamaan h arg a mutlak f ( x) < a ⇔ a < f ( x) < a f ( x) > a ⇔ a
log f ( x) < b ⇔
1 < f ( x) < a ab
x2 = x
1. 2.
f ( x) < − a atau a < f ( x)
x untuk x ≥ 0 ⇒ untuk x ≤ 0 ⇒
3.
x ≤a ⇔
4.
x + a ≤ 2x + b
5.
x ≥ 0 maka
6.
x
7.
x ≤0 ⇒ x=0
8.
x+ y ≤ x + y
9.
x⋅ y = x
x =x x = −x
x2 ≤ a2 ⇔
(x + a )2 ≤ (2 x + b )2
x∈R
⇒ tidak ada h arg a x yang memenuhi
y
10. x − y ≤ x − z + z − y 11. x − y ≤ x + y
f ( x) x
syarat
log f ( y ) syarat
f ( x) > 0 x ≠ 0 , x ∉ bilangan negatif , x ≠ 1 f ( y ) ≠ 0 , f ( y ) ∉ bilangan negatif
a syarat b ≠ 0 b * Sifat − sifat :
* Bentuk log aritma :
a > b ⇔ ac > bc untuk c > 0 a > b ⇔ ac < bc untuk c < 0
Jika a > 1 dan
a
a > b ⇔ a + c > b + c untuk c ∈ R
Jika a > 1 dan
a
a > b untuk
a > b maka : a 2 > b 2
untuk
a < b maka : a 2 < b 2
Jika 0 < a < 1 dan
a
log f ( x) ≥ a log g ( x) maka :
f ( x) ≤ g ( x) Jika 0 < a < 1 dan
* Bentuk umum : ax + b > c syarat
log f ( x) ≤ a log g ( x) maka : f ( x) ≤ g ( x)
a > 0 ⇒ a ⋅b > 0 b a > b , b > c maka : a > c penyelesaian : ax + b > c 2
log f ( x) ≥ a log g ( x) maka : f ( x) ≥ g ( x)
a
log f ( x) ≥ a log g ( x) maka :
f ( x) ≥ g ( x) * Bentuk eksponen :
: ax + b ≥ 0
a > 1 maka : a x > a y
⇒x>y
0 < a < 1 maka : a < a y x
5
⇒
y
GRAFIK DAN PERSAMAAN KUADRAT Grafik fungsi f ( x) = ax 2 + bx + c 1. Pengaruh faktor a : y
y
x
⇒
x
a > 0
a < 0
2. Pengaruh faktor b : y
y
x b > 0
y x b < 0
y
b=0
y
x
y
x
b < 0
putar kurva 900 ke − kiri
x
x
b > 0
b=0
y
* Bila kurva memotong sumbu y di atas sumbu x maka : c > 0 * Bila kurva memotong sumbu y di bawah sumbu x maka : c < 0 * Bila kurva melalui pangkal koordinat maka : c = 0
×c>0 c = 0× x
× c 0 dan D < 0 maka f ( x ) disebut definit positif ⎜⎜ ⎝ f ( x ) selalu positif ⎠ ⎛ semua grafik di bawah sumbu x ⎞ ⎟⎟ * Jika a < 0 dan D < 0 maka f ( x ) disebut definit negatif ⎜⎜ ⎝ f ( x) selalu negatif ⎠ 2
* f = f ( x ) = ax + bx + c dapat ditulis : 2
*x = −
b 2a
disebut sumbu simetri ⇒
⎛ b ⎞ b 2 − 4 ac ⎟ + f ( x) = a ⎜⎜ x + 2 a ⎟⎠ − 4a ⎝ penyebab f ( x) ekstrem
b 2 − 4 ac D diesbut nilai ekstrem = − 4a − 4a * Jika a > 0 maka yekstrem = ymin imum ⇔ Jika a < 0 maka yekstrem = ymaksimum *y =
⎛ b b 2 − 4 ac ⎞ ⎟ * Puncak parabola ⇒ ⎜⎜ − , − 4 a ⎟⎠ ⎝ 2a * Titik potong dengan sumbu y adalah ( 0 , c )
6
Sifat akar − akar persamaan kuadrat Jika x1 dan x2 akar − akar persamaan : ax 2 + bx + c = 0 , maka berlaku : 1. x1 + x2 =
−b a
3 abc − b3 a3 −b D 7. x12 − x22 = a2
6. x13 + x23 =
c a 1 b = x1 x2 c
2. x1 x2 = 3.
[
]
8. x14 + x24 = ( x1 + x2 ) − 2 ( x1 x2 ) − 2 ( x1 x2 )
D dengan D = b 2 − 4 ac a b 2 − 2 ac 5. x12 + x22 = a2 4. x1 − x2 =
( (x =
)( x +x )
9. x14 − x24 = x12 − x22 10.
1 1 + 2 2 x1 x2
2
2
2 1
2 1
+ x22
)
2 2 2
( x1 x2 )
* Bila akar − akar saling berlawanan ( x1 = − x2 ) , syarat ⇒ b = 0 ⎛ 1⎞ * Bila akar − akar saling berkebalikan ⎜⎜ x1 = ⎟⎟ , syarat ⇒ a = c x2 ⎠ ⎝ * Bila salah satu akarnya = 0 , syarat ⇒ c = 0 * Bila kedua akarnya sama (x1 = x2 ) , syarat ⇒ x1 = x2 = −
b 2a
ax 2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dengan a , b , c ∈ R dapat diselesaikan dengan cara : 1. memfaktorkan 2. membentuk pers. kuadrat sempurna 3. dengan rumus : x1, 2
− b ± b 2 − 4 ac = 2a
⇒ dapat ditulis : D = b 2 − 4 ac
DISKRIMINAN (D ) : * D ≥ 0 ⇒ memiliki akar real * D = k 2 ⇒ memiliki akar rasional * D > 0 ⇒ memiliki dua akar real yang berlainan * D = 0 ⇒ memiliki akar sama ( x1 = x2 ) * D < 0 ⇒ tidak memiliki akar real
* Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 memiliki akar x1 dan x2 sedemikian sehingga h arg a x1 = kx2 dim ana k = kons tan ta pembanding berlaku : kb 2 = (k + 1) ac 2
* Pers. kuadrat ax 2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2 + n , maka selisih akar
D = ( n ⋅ a)
2
dengan D = b 2 − 4 ac
7
2
Persamaan Kuadrat Baru (PKB)
a x 2 + bx + c = 0 1. PKB yang akar − akarnya k kali (kx1 dan kx2 ) dari ax 2 + bx + c = 0 adalah ax 2 + kbx + ck 2 = 0 ⎛1 1⎞ 2. PKB yang akar − akarnya kebalikan ⎜⎜ dan ⎟⎟ dari ax 2 + bx + c = 0 x2 ⎠ ⎝ x1 adalah cx 2 + bx + a = 0 3. PKB yang akar − akarnya berlawanan (− x1 dan − x2 ) dari ax 2 + bx + c = 0 adalah ax 2 − bx + c = 0 4. PKB yang akar − akarnya x12 dan x22 dari ax 2 + bx + c = 0
(
)
adalah a 2 x − b 2 − 2 ac x + c 2 = 0 5. PKB yang akar − akarnya x13 dan x22 dari ax 2 + bx + c = 0
(
)
a 3 x − 3 abc − b3 x + c3 = 0 6. PKB yang akar − akarnya x1 + k dan x2 + k (k lebihnya dari ) dari ax 2 + bx + c = 0 adalah a ( x − k ) + b ( x − k ) + c = 0 2
7. PKB yang akar − akarnya x1 − k dan x2 − k (k kurangnya dari ) dari ax 2 + bx + c = 0 adalah a ( x + k ) + b ( x + k ) + c = 0 x x 8. PKB yang akar − akarnya 1 dan 2 dari ax 2 + bx + c = 0 x1 x2 2
(
)
(
)
adalah acx 2 − b 2 − 2 ac x + ac = 0 1 1 9. PKB yang akar − akarnya 2 dan 2 dari ax 2 + bx + c = 0 x1 x2 adalah c 2 x 2 − b 2 − 2 ac x + a 2 = 0 10. PKB yang akar − akarnya x1 + x2 dan x1 ⋅ x2 dari ax 2 + bx + c = 0 adalah a 2 x 2 + ( ab − c ) x − bc = 0
Persamaan kuadrat yang akar − akarnya α dan β adalah
x2 − ( α + β ) x + ( α ⋅ β ) = 0
a1 x 2 + b1 x + c1 Kuadrat ganda : r = a2 x 2 + b2 x + c2
Pers. kuadrat ganda yang mempunyai akar − akar , dim ana h arg a akarnya ditentukan oleh h arg a r ⇒ D2 r − ( 2 b1 b2 − 4 ( a1 c1 + a2 c2 )) r + D1 = k
8
PERSAMAAN 1. Persamaan garis melalui dua titik
x1 x2 y1 = Q
y1
K ( x1 , y1 ) dan L ( x2 , y2 ) :
y1 − y 2 = B x1 − x2 = A
y2 x1 y 2 = P
x2
GARIS
Hasil pers. yang dim aksud : A y = Bx + (P − Q ) A y = Bx + ( P − Q ) 2. Pers. garis melalui titik M ( x3 , y3 ) dan ⊥ garis yang melalui titik K ( x1 , y1 )
dan titik L ( x2 , y2 ) :
3. 4. 5. 6.
x1
y1
x2
y2
x1 − x2 = A ⇒
_
y1 − y2 = B
Ax + By = Ax3 + By3 Hasil : Ax + By = Ax3 + By3 Pers. garis melalui ( a , b ) sejajar Ax + By + C = 0 ⇒ Ax + By = Aa + Bb Pers. garis melalui ( a , b ) ⊥ Ax + By + C = 0 ⇒ Bx − Ay = Ba − Ab Pers. garis melalui ( 0 , a ) dan ( b , 0) ⇒ ax + by = ab (Hukum Hess ) Titik potong garis g : y = m1 x + c1 dan garis h : y = m2 x + c2 adalah : x=
c1 − c2 m2 − m1
y=
dan
m2 c1 − m1 c2 m2 − m1
7. Jarak titik A ( x1 , y1 ) dengan garis ax + by + c = 0 ⇒ d =
ax1 + by1 + c a 2 + b2
8. Jarak dua buah garis yang sejajar antara ax + by + c1 = 0 dengan ax + by + c2 = 0 , adalah : d=
c1 − c2 a 2 + b2
9. Tiga buah titik ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) terletak dalam satu garis jika : x3 − x1 y3 − y1 = x2 − x1 y2 − y1 10. Jika garis ax + by + c = 0 digeser
k satuan ke − kanan ⇒ a ( x − k ) + by + c = 0 k satuan ke − kiri ⇒ a ( x + k ) + by + c = 0
k satuan ke − atas ⇒ ax + b ( y − k ) + c = 0 k satuan ke − bawah ⇒ ax + b ( y + k ) + c = 0
9
GRADIEN 1. * Gradien suatu garis m =
y x
atau m = tan a
* Gradien suatu garis ax + by + c = 0 ⇒ m = * Gradien suatu garis
y −a b
y = mx + c ⇒ m
* Gradien garis melalui (x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) ⇒ m = 2. Pers. garis melalui (a , b ) dengan gradien m ⇒ 3. Pers. garis melalui titik ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 )
y2 − y1 x2 − x1
y − b = m (x − a ) y − y1 x − x1 ⇒ = y2 − y1 x2 − x1
4. Pers. dua garis : g ⇒ y = m1 x + c1 l ⇒
y = m2 x + c2
garis g sejajar garis l , bila : m1 = m2 garis g ⊥ l , bila : m1 ⋅ m2 = −1 5. Pers. garis ax + by + c = 0 dan px + qy + r = 0 akan : a p * sejajar bila : dan c ≠ r = b q a p c * berimpit bila : = = b q r * berpotongan bila : aq − bq ≠ 0 m − m2 6. Dua garis berpotongan bebas , mak : tan α = 1 1 + m1 m2 dim ana α
adalah sudut yang dibentuk oleh kedua garis.
10
a
x
TRIGONOMETRI y r x * cos a = y y * tan a = x * sin a =
* cos ec a =
r
y a
r y
⇒ sec a =
x
r x
⇒ cot a =
x y
dengan r 2 = x 2 + y 2
* sin 2 a + cos 2 a = 1 * cos 2 a = 1 − sin 2 a * sin 2 a = 1 − cos 2 a sin a * tan a = cos a 2 * tan a + 1 = sec 2 a * cot 2 a + 1 = cos ec 2 a
(90 − a ) = + cos a (90 − a ) = + sin a ( ) (90 − a ) = + cot a (90 − a ) = + tan a sin (180 − a ) = + sin a cos (180 − a ) = − cos a untuk sudut (180 − a ) atau (90 + a ) : tan (180 − a ) = − tan a cot (180 − a ) = − cot a sin (90 + a ) = + cos a cos (90 + a ) = − sin a tan (90 + a ) = − cot a cot (90 + a ) = − tan a sin (180 + a ) = − sin a cos (180 + a ) = − cos a tan (180 + a ) = + tan a cot (180 + a ) = + cot a untuk sudut (180 + a ) atau (270 − a ) : sin (270 − a ) = − cos a cos (270 − a ) = − sin a tan (270 − a ) = + cot a cot (270 − a ) = + tan a
sin cos 1. Kuadran Ι : untuk sudut 900 − a 0 : tan cot
2. Kuadran ΙΙ :
3. Kuadran ΙΙΙ :
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4. Bentuk y = A sin px + c atau y = A cos px + c ymaksimum = A + c ⇒ ymin imum = − A + c Periode :
π
P 5. Bentuk f ( x) = a cos x + b sin x + c dapat ditulis f ( x) = k cos ( x − α ) + c , dengan k = a 2 + b 2 f ( x) maksimum = k + c ⇒ f ( x) min imum = −k + c 6. Jumlah (α + β ) dan selisih (α − β ) untuk dua sudut : sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tan α + tan β tan (α + β ) = 1 − tan α tan β tan α − tan β tan (α − β ) = 1 + tan α tan β 7. Fungsi trigonometri dengan sudut berbeda : sin α + sin β = 2 sin 12 (α + β )cos 12 (α − β ) sin α − sin β = 2 cos 12 (α + β )sin 12 (α − β )
cos α + cos β = 2 cos 12 (α + β )cos 12 (α − β )
cos α − cos β = −2 sin 12 (α + β )sin 12 (α − β ) 8. Perkalian fungsi trigonometri dengan sudut berbeda : 2 sin α cos β = sin (α + β ) + sin (α − β ) 2 cos α sin β = sin (α + β ) − sin (α − β ) 2 cos α cos β = cos (α + β ) + cos (α − β ) − 2 sin α cos β = cos (α + β ) − cos (α − β ) 9. Untuk sudut kembar : sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α 2 tan α 1 − tan 2 α 10. Rumus pengembangan : tan 2α =
sin α = 2 sin 12 α cos 12 α cos α = cos 2 12 α − sin 2 12 α = 2 cos 2 12 α − 1 = 1 − 2 sin 2 12 α
12
dan tan α =
b a
11. Sudut rangkap 3α : sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α 3 tan α − tan 3 α 1 − 3 tan 2 α 12. Aturan sin us : tan 3α =
C
a b c = = sin A sin B sin C 13. Aturan cos inus : 2
2
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos B
A
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos C 14. L Δ =
1 2
a
b
a = b + c − 2 bc cos A 2
B
c
ab sin C = 12 ac sin B = 12 bc sin A
= s (s − a ) (s − b ) (s − c ) ⇒ dengan s =
a+b+c 2
15. Grafik fungsi trigonometri : y y = sin x 1
00
900
1800
2700
x
3600
–1
y
y = cos x
1
00
902
1800
2700
3600
x
–1
y = tan x
y 00
900
1800
2700
3600
13
x
BARISAN
DAN
DERET
A. Deret Aritmetika : Bentuk umum : a , a + b , a + 2b , a + 3b , .................. , a + (n − 1) U1 U 2 U3 U 4 , .................. , Un
1. U n = a + (n − 1) n 2. S n =
1 2
=
1 2
n (a + U n ) ⇒
jika suku terakhir diketahui
n (2 a + (n − 1) b ) ⇒
jika suku terakhir tidak diketahui
a + Un 2 4. U n = S n − S n − 1 ⇒ dipakai untuk deret aritmetika dan deret geometri
3. U t =
5. b = U n − U n −1 6. Bila diketahui suku ke − n1 adalah k1 dan jumlah suku ke − n2 dan n3 adalah k2 , maka beda dari suku tersebut : U n1 = k1 n1 = m1 U n 2 + U n3 = k 2 n2 + n3 = m2
⇒ b=
2k1 − k 2 2m1 − m2
7. Jumlah suku pertama deret aritmetika kuadrat tan pa kons tan : * U n = 2 pn + (q − p ) ⇒ S n = pn 2 + qn * b = 2p 8. Suku ke − n linear : p 2 ⎛ p⎞ n + ⎜q + ⎟ n 2 2⎠ ⎝ 9. Segitiga siku − siku yang membentuk deret aritmetika memiliki kelipa tan 3 , 4 , 5 : Jika a , b , c , d , dan e membentuk deret aritmetika , berlaku : suku tengah = rata − rata suku simetrisnya b+d a+e a+c c+d = c= atau b = atau d = 2 2 2 2 10. Bila disisipkan k suku diantara dua suku deret aritmetika maka : U n = pn + q ⇒ S n =
b k +1 * U n′ = U1 = (n − 1) b′
* b′ =
n (2 U1 + (n − 1) b′) 2 * n′ = n + (n − 1) k denngan : b′ = beda baru ; S n′ = jumlah suku ke − n baru ; n′ = banyaknya suku baru ; U n′ = suku ke − n baru
* S n′ =
14
B. Deret Geometri :
1. Bentuk umum : a , ar , ar 2 , ar 3 , .................. , ar n −1 U1 U 2 U 3 U 4 , .................. , U n 2. Jika : U n = suku ke − n ; U t = suku tengah ; S n = jumlah n suku pertama ; a = U1 = suku awal ; r = rasio U n = ar n −1
r=
(
)
(
)
a rn −1 rn −1 a 1− rn Sn = 1− rn Sn =
Un U n −1
⇒ untuk
r >1
Ut =
⇒ untuk
r 1 ⇒ r < −1 atau r > 1
7. Deret log aritma : a
log b + a log 2b + a log 3b + a log 4b + .................. = b log b 8. Deret bujur sangkar : 1 * rasio deret luas bujursangkar = 2 1 * rasio deret keliling bujursangkar = 2 2 1 9. * Rasio deret luas segitiga samasisi = 4 1 * rasio deret keliling segitiga samasisi = 2 a
10. Panjang l int asan bola jatuh ⇒ s = jatuh pertama ×
15
jumlah perbandingan selisih perbandingan
( TURUNAN )
DIFERENSIA L
f
f ′( x) = lim
( x + h) − h
h →0
1. Turunan fungsi aljabar : y = c ( c = kons tan ) ⇒ y′ = 0 y = xn
⇒
y′ = n x n −1
y = a xn y = U +V y = U −V
⇒
y′ = a n x n −1 y′ = U ′ + V ′
⇒ ⇒
y = U ⋅V U y= V
2. Turunan fungsi eksponen dan log aritma 1 ⇒ y′ = y = 1n x x a ⇒ y′ = y = 1n ax x 1 ⇒ y′ = y = a log x x 1n a
y′ = U ′ − V ′ y′ = U ′V + U V ′
⇒
U ′V − U V ′ y′ = V2
⇒
y y y y y
⇒
y′ = sec 2 x
⇒
y′ = e x
y = e ax
⇒
y′ = a e ax
y = aU
y′ = n U n −1 ⋅ U ′ U′ ⇒ y′ = U ⇒ y ′ = aU 1 n a U ′ ⇒ y′ = eU ⋅ U ′ ⇒ y′ = U ′ cos U ⇒ y′ = −U ′ sin U
y =Un
⇒ y′ = − cos ec 2 x ⇒ y′ = − cos ec x ⋅ cot x ⇒ y′ = sec x ⋅ tan x ⇒ y′ = a cos ax ⇒ y′ = − a sin ax
= cot x = cos ec x = sec x = sin ax = cos ax
y = ex
4. Fungsi majemuk : fungsi mejemuk merupakan komposisi yang terdiri dari beberapa fungsi , dim ana salah satu komposi sin ya dim isalkan menjadi U (untuk mengganti var iabel x )
3. Turunan fungsi trigonometri ⇒ y′ = cos x y = sin x ⇒ y′ = − sin x y = cos x y = tan x
f ( x)
y = 1n U
⇒
y = tan ax
⇒
y′ = a sec 2 ax
y = eU y = sin U y = cos U
y = cot ax
⇒
y′ = − a cos ec 2 ax
y = tan U
⇒
y′ = U ′ sec 2 U
y = cot U
⇒
y′ = −U ′ cos ec 2U
5. y =
ax + b cx + d
⇒
y′ =
ad − bc (cx + d )2
6. y = a sin n bx ⇒
y′ = n a b sin n −1 bx cos bx atau
7. y = a cos n bx ⇒
y′ = n a b cos n −1 bx sin bx atau
nab sin n − 2 bx sin 2bx 2 nab y′ = − cos n − 2 bx sin 2 bx 2
y′ =
8. Garis sin ggung kurva : y = f (x)
g
( a , b)
Persamaan garis sin ggung kurva g : y −b = m (x−a ) dengan gradien m = f ′( x) = f ′(a)
16
9. Naik / turun suatu fungsi : * Jika f ′( x) = m = 0 , maka titik ( x1 , y1 ) ⇒ titik stasioner * Jika f ′( x) > 0 , maka grafik y = f ( x) ⇒ naik * Jika f ′( x) < 0 , maka grafik y = f ( x) ⇒ turun 10. Nilai ekstrem suatu fungsi : * Fungsi y = f ( x) mempunyai nilai maksimum di * Fungsi y = f ( x) mempunyai nilai min imum di
⎧ f ′( x1 ) = 0 x = x1 bila ⎨ ⎩ f ′′( x1 ) < 0 ⎧ f ′( x2 ) = 0 x = x2 bila ⎨ ⎩ f ′′( x2 ) > 0
⎧* f ′ disekitar x = x1 tidak berubah 11. Titik belok : (x1 , f ( x1 ) ) merupakan titik belok fungsi f ( x) bila ⎨ * f ′′( x1 ) = 0 ⎩ 12. Turunan pada mekanika : jika a = percepa tan , V = kecepa tan , S = jarak , t = waktu , maka : V =
ds = S′ dt
⇒
a=
dv = V′ dt
13. Nilai maksimum dan min imum :
⎧ ab = maks ⇒ a = 12 c ⎪ 2 1 ⎪ ab = maks ⇒ a = 3 c * a+b = c ⎨ 2 3 2 ⎪a b = maks ⇒ a = 5 c ⎪⎩ ab maks = 14 c 2 14. Luas maksimum daerah yang di arsir ⇒ b
⎧ ab = min ⎪ 2 ⎪ ab = min * a −b = c ⎨ 2 3 ⎪a b = min ⎪⎩ ab min
1 4
( ab )
1 2
( ab )
3 4
ab
( x , y) a Luas maksimum daerah yang di arsir ⇒ b
−a
a
Luas maksimum daerah yang di arsir ⇒
3
●
( a , b)
17
⇒ a = 12 c ⇒ a = 13 c ⇒ a = 52 c = − 14 c 2
MATRIKS ⎛a b⎞ ⎟⎟ det er min an A = det A = A = ad − bc 1. A = ⎜⎜ ⎝c d⎠ ⎛ d − b⎞ 1 ⎟ ⎜ 2. Invers A = A−1 = ad − bc ⎜⎝ − c a ⎟⎠
3. Matriks sin gular adalah matriks yang tidak memiliki invers ( matriks dengan det er min an = 0 ) ⎛a c ⎞ ⎛a b⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ 4. A = ⎜⎜ matriks transposnya ⇒ At = ⎜⎜ ⎝b d ⎠ ⎝c d⎠ ax + by = c ⎛ a b⎞ ⎛ a b⎞ ⎛ x ⎞ ⎛c⎞ ⎟⎟ ⇒ matriks koefisien ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ 5. ⇒ dapat ditulis ⎜⎜ px + qy = r ⎝ p q⎠ ⎝ p q⎠ ⎝ y⎠ ⎝r ⎠ 6. AB ≠ BA ⇒ tidak berlaku sifat komutatif ( perkalian ) 7. Dua matriks dikatakan sama bila memiliki ordo sama daan belemen − elemen seletaknya sama
8. Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks − matriks yang ber − ordo sama. 9. Perkalian matriks hanya dapat dilakukan bila : banyaknya kolom matriks pertama dan kedua sama ⇒
Am× n × Bn× p = Cm× p
⎧ ⎪* MN = MP , maka ⎛u v⎞ ⎛ p q⎞ ⎛a b ⎞ ⎪ ⎟⎟ ⇒ ⎨ ⎟⎟ ; M = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N = ⎜⎜ 10. A = ⎜⎜ ⎝w x⎠ ⎝ r s⎠ ⎝c d ⎠ ⎪* MN = MP , maka ⎪⎩ c b a c ax + by = c p r r q maka ⇒ x = dan y = a b a b px + qy = r p q
p q −1
11. A B = C , maka B = A C ⎛a b ⎜ 12. N = ⎜ d e ⎜g h ⎝
dan
A=CB
c⎞ ⎟ f ⎟ det matriks N = i ⎠⎟ cara Sarrus
b c a−d = = q r p−s a c w−r x−s = = = c d p−u q −v
−1
a b d e g h
c f i
a d g
b e f
A B C D E F dengan A = c ⋅ e ⋅ g ; B = a ⋅ f ⋅ h ; C = b ⋅ d ⋅ i ; D = a , e , i ; E = b ⋅ f ⋅ g ; F = c ⋅ d ⋅ f det N = ( D + E + F ) − ( A + B + C ) 13. Deter min an : 1 * det ( AB ) = det A ⋅ det B * det (A−1 ) = det A
( )
* det At = det A 14. * ( AB ) = B t At t
* AB = I
⇒
* ( AB ) = B −1 A−1 −1
A = B −1 atau B = A−1 dengan I matriks satuan (matriks identitas )
⎛1 0⎞ ⎟⎟ I = ⎜⎜ ⎝0 1⎠
18
STATISTIK A. Data tunggal : 1. Rata − rata (mean) ⇒
x=
∑x
x=
atau
∑fx
n n 2. Median (Me) ⇒ data tengah yang telah diurutkan x +1 ⇒ untuk n ganjil positif Me = n 2 x n + ⎛⎜ x n + 1⎞⎟ Me = 2 ⎝ 2 ⎠ ⇒ untuk n genap positif 2 3. Kuartil : membagi data terurut menjadi 4 bagian yang sama
●
●
●
Q1
Q2
Q3
Q1 = kuartil bawah ; Q2 = kuartil tengah (median ) ; Q3 = kuartil atas 4. Modus : adalah data yang sering muncul B. Data int erval (data tersusun )
1. Rata − rata (mean ) ⇒ x
∑f x ∑f i
i
i
simpangan rata − rata ⇒ x = m +
∑d
i
n
m = rata − rata hitungan sementara ; di = xi − m = simpangan x=m+
∑f d ∑f i
i
1
⎛n ⎞ ⎜ −F⎟ ⎟P 2. Me = Tb + ⎜ 2 ⎜ F me ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dengan : Me = median ; Tb = tepi bawah kelas median ; P = panjang int erval kelas median ; F = jumlah frekuensi ; F me = frekuensi kelas median ; n = banyaknya data CATATAN : * tepi bawah kelas = batas bawah kelas − 0,5 * tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5 * panjang int erval kelas = tepi atas kelas − tepi bawah kelas * titik tengah imterval kelas = *
panjang int erval kelas =
1 2
(batas atas kelas + batas bawah kelas )
jangkauan banyaknya int erval kelas
19
⎛ S1i ⎞ ⎟⎟ P 3. Modus ⇒ Mo = Tb + ⎜⎜ ⎝ S1i + s2 ⎠ Mo = mod us ; Tb = tepi kelas mod us ; S1 = selisih frekuensi kelas mod us dengan frekuensi kelas sebelumnya S 2 = selisih frekuensi kelas mod us dengan frekuensi kelas sesudahnya P = panjang int erval kelas ⎞ ⎛k ⎜ n−∑ f s⎟ ⎟P 4. Kuartil ⇒ Qk = Tb + ⎜ 4 ⎜ f (Qk ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ Qk = kuartil ke − k ; Tb = tepi bawah kelas kuartil ke − k ;
∑fs=
jumlah frekuensi kelas − kelas sebelum kelas Qk berada ;
f (Qk ) = frekuensi kelas Qk
C. Simpangan : 1. rata − rata simpangan = deviasi rata − rata = mean deviasi ⇒ Md =
∑
xi − x n
2. simpangan baku = deviasi baku = deviasi s tan dar S=
∑ (x − x )
S=
∑ f (x − x )
2
⇒ untuk data tunggal
i
n
2
⇒ untuk data tersusun n S 2 (var iansi sampel ) = kuadrat dari simpangan baku i
S 2 ( gabungan ) 3.
i
ni S12 + ni S 22 = n1 + n2
jangkauan = data terbesar − data terkecil
4. simpangan kuartil ( jangkauan semi kuartil ) ⇒ Qd =
1 (Q3 − Q1 ) 2 5. Bila ada n dengan rata − rata x0 , kemudian ditambah data baru x1 sejumlah m
(
)
n x1 − x0 m x1 = nilai data baru ; x1 = rata − rata sekarang ; x0 = rata − rata semula ;
hingga didapat rata − rata baru
x1 maka : x1 = x1 +
n = banyaknya data lama ; m = banyaknya data baru 6. Rata − rata dari sekelompok data : *
penambahan data
xb =
n x + pq ( n + p)
*
pengurangan data
xb =
n x − pq ( n − p)
dengan : x = rata − rata lama ; xb = rata − rata baru ; p = banyaknya data yang ditambahkan q = nilai yang ditambahkan ; banyaknya data mula − mula
20
7. Perbandingan rata − rata gabungan x2 − xgab n1 Q = = n2 P xgab − x1 n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + .................. = ( n1 + n2 + n3 + ..................) x
EKSPONEN ( ab )n = a nb n
1. a m ⋅ a n = a m + n
6.
2. a m : a n = a m − n
7. a 0 = 1
3.
(a )
m n
= a m⋅n
8. a − n =
1 an
m
4.
n
am = a n
9. Jika a f ( x ) > a g ( x )
5. a f ( x ) = a g ( x )
⇒
f ( x) = g ( x)
* *
f ( x) > g ( x) dengan a > 1 f ( x) < g ( x) dengan 0 < a < 1
Persamaan eksponen : ax = a y
⇒ x=y
a x = b ⇒ x = a log b
( )
2
( )
2
a g x + b g x + c = 0 ⇒ x1 + x2 = g log
c a
PERMUTASI & KOMBINASI 1. * Permutasi k unsur dari n unsur untuk k ≤ n , adalah semua uru tan yan berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda n! P ( n , k ) = Pkn = ( n − k )! * Banyaknya permutasi P dari unsur n unsur yang diambil semuanya sec ara bersamaan dim ana ada n1 unsur sama , n2 unsur sama , n3 unsur sama dst. P=
n! n1 ! × n2 ! × n3 ! × .........
* Banyaknya cara penyusunan n objek yang berbeda pada sebuah lingkaran : ( n − 1)! 2. Kombinasi C ( n , k ) = Ckn =
n! ( n − k )! k !
21
MATEMATIKA Integral
IPA
1. Integral Tak Tentu Himpunan semua anti diferensial dan fungsi f dirumudkan sebagai maka F ′( x) = f ( x) F (x) 1 2 x 2 1 3 x 3 1 4 x 4 1 5 x 5 − − 1 x n +1 ; n ≠ − 1 n +1 1 2 ∫ x dx = 2 x + C 1 3 2 ∫ x dx = 3 x + C 1 4 3 ∫ x dx = 4 x + C 1 5 4 ∫ x dx = 5 x + C −−−−−−−−−− −−−−−−−−−−
F ′(x) x x2 x3 x4 − −
xn
⇓ 1
*
∫ x dx = n + 1 x
*
∫ x dx = n x + c ∫ a dx = ax + c ∫ l dx = l + c ∫ sin x dx = − cos x + c ∫ cos x dx = sin x + c
* * * *
n
n +1
+ C ; n ≠ −1
−1
x
x
22
∫ f ( x) dx = F ( x) + C
2. Integral Substitusi Pr insip Integral Substitusi ⇒ * salah satu bagian dim isalkan U * sisanya yang lain (termasuk dx ) harus diubah dalam dU Contoh :
∫ 2 x (4 x
2
+ 3) dx = ............... 4
misalkan : 4 x 2 + 3 = U
sisanya 2 x dx
8 x dx = dU 1
∫4U
maka :
4
2 x dx =
1 dU 4
1 U 4 dU 4∫ 1 1 1 5 = ⋅ U5 + c = U +c 4 5 20 5 1 2 ( = 4 + 3) + c 20
dU =
3. Integral Partial Pr isip int egral partial
⎧ * salah satu bagian dim isalkan U ⎨ ⎩ * sisanya / yang lain (termasuk dx ) dianggap sebagai dV
∫ U dU = UV − ∫ V dU contoh :
x sin x dx = ............... dV misalkan : x = U dan sin x dx = dV
∫U
maka : dx = dU
dan V = ∫ cos x dx ⇒ V = − cos x
∫ U dV = UV − ∫ V dU ∫ x sin x dx = x ⋅ (− cos x ) − ∫ − cos x dx = − x ⋅ cos x + ∫ cos x dx = − x cos x + sin x + c 4. Integral Tertentu Integral Tertentu digunakan dalam melakukan int egral pada int erval − int erval tertentu * pada int egral tertentu faktor c diabaikan b
∫
f ( x) dx = F ( x)
b
= F (b) − F (a) ⇒ b = batas atas ; a = batas bawah
a
a
5. Pengertian Integral * Perhitungan luas suatu kurva terhadap sumbu y
x
f (x)
0
Luas yang di arsir ⇒
b x ⎧ * daerah di atas sumbu x ⇒ positif f ( x) dx ⎨ ⎩ * daerah di bawah sumbu x ⇒ negatif
a b
∫ a
23
* Perhitungan luas antara dua kurva y g (x) f (x)
0
a
b
x
b
Luas yang di arsir ⇒
∫ f ( x) − g ( x) dx a
6. Volume benda putar *
jika diputar terhadap sumbu y
x
f (x)
x 0
a b
Volume ⇒ π
b
∫f
2
( y ) dy
a
*
jika diputar terhadap sumbu y
y f (x)
b
a x
0 Volume ⇒ π
b
∫f
2
( y ) dy
a
24
IRISAN KERUCUT K
W3 W2
T
W1
Q
E P
1. ELLIPS Pers. ellips dan sifat − sifatnya :
( x − p )2 + ( y − q )2
( x − p )2 + ( y − q )2
=1
=1 b2 a2 pusat ellips ( p , q ) sumbu panjang ellips sejajar sumbu x
a2 b2 pusat ellips ( p , q ) sumbu panjang ellips sejajar sumbu x A1 ( p + a , q ) B1 ( p , q + b )
puncak
puncak A1 ( p , q + a ) B1 ( p + b , q )
A2 ( p − a , q ) B2 ( p , q − b )
F1 ( p + c , q )
fokus direktris
x = p±
A2 ( p , q − a ) B2 ( p − b , q )
F2 ( p − c , q )
fokus
2
a c
direktris y
y
F1 ( p , q + c ) y =q±
a c
A1 direktrik F1
B1 A2 F2
F1 A1 B2
direktrik
F2 ( p , q − c )
2
B2 P x A2
direktirk
F2
B1 x direktrik
Laktus rektum adalah garis yang tegak lurus pada sumbu panjang dan melalui salah satu fokus b2 a jika pusat (0 , 0 ) maka nilai p dan q adalah 0
Panjang laktus rektum ⇒ LR = 2 *
⎧ ⎪* a>b ⎪ di dalam ellips berlaku ⎨ * a 2 = b 2 + c 2 ⎪ c ⎪ * 0 ≤ c < 1 ⇒ e (eksentrisitas ) = a ⎩
25
* Persamaan garis sin ggung pada ellips
( x − p )2 + ( y − q )2 a
2
b
2
= 1 , di titik ( x1 , y1 ) ⇒
(x1 − p ) (x − p ) + ( y1 − q ) ( y − q ) = 1 a2
dengan koefisien arah m ⇒
b2
y − q = m (x − p ) ± a 2 m 2 + b 2
2. PARABOLA Persamaan parabola dan sifat − sifatnya :
( y − b )2 = 4 p (x − a )
*
puncak parabola ⇒ P (a , b )
* fokus ⇒ F (a + p , b ) * direktrik ⇒ x = a − p y direktrik
(x − a )2 = 4 p ( y − b )
puncak parabola ⇒ P (a , b )
*
fokus ⇒ F (a , b + p )
*
* direktrik ⇒
y
y =b− p sumbu simetri
F
P (a , b )
P (a , b )
direktrik
x
x
Laktus rektum ⇒ LR = 4 p Pers. garis sin ggung parabola
( y − b )2 = 4 p (x − a )
⎧ * di titik ( x1 , y1 ) ⇒ ( y − b ) ( y1 − b ) = 2 p (x + x1 − 2 a ) ⎪ p ⎨ ⎪⎩ * mempunyai koefisien arah m ⇒ y − b = m (x − a ) + m
3. HIPERBOLA Persamaan hiperbola dan sifat − sifatnya
(x − p )2 − ( y − q )2 b2
a2
( y − q )2 − (x − p )2
=1
a2
b2
=1
* pusat hiperbola ⇒ P ( p , q ) * sumbu transfer sejajar sumbu − x * puncak ⇒ A1 ( p + a , q ) A2 ( p − a , q )
* pusat hiperbola ⇒ P ( p , q ) * sumbu transfer sejajar sumbu − y * puncak ⇒ A1 ( p , p + a ) A2 ( p , q − a )
*
*
fokus ⇒ F1 ( p + c , q ) F2 ( p − c , q )
fokus ⇒ F1 ( p , q + c ) F2 ( p , q − c )
a b * asimtot ⇒ y − q = ± ( x − p ) (x − p ) b a 2 a2 a * direktrik ⇒ y = q ± * direktrik ⇒ x = p ± c c Cata tan : bila pusat hiperbola O (0 , 0), maka nilai p dan q adalah 0 c * pada hiperbola berlaku ⇒ c 2 = a 2 + b 2 ⇒ e > 1 , e (eksentrisitas ) = a * Pers. garis sin ggung pada hiperbola :
* asimtot ⇒
(x − p )2 − ( y − q )2 a2
b2
y−q = ±
(x1 − p ) (x − p ) − ( y1 − q ) ( y − q ) = 1 ⎧ ⎪* di titik ( x1 , y1 ) ⇒ a2 b2 =1 ⎨ ⎪* koefisien arah m ⇒ y − q = m ( x − p ) ± a 2 m 2 − b 2 ⎩ 26
VEKTOR 1. VEKTOR POSISI ⎛x ⎞ Jika koordinat P ( x1 , y1 ) maka vektor posisi di P adalah ⇒ P = OP = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ y1 ⎠ ⎛x ⎞ jika P = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ maka koordinat P ⇒ ( x1 , y1 ) ⎝ y1 ⎠ y P (x1 , y1 )
P
0
y1 x
x1
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ Jika titik A di R dengan koordinat A ( x1 , y1 , z1 ) , maka vektor posisi titik A ⇒ a = OA = ⎜ y1 ⎟ ⎜z ⎟ ⎝ 1⎠ 3
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ jika a = ⎜ y1 ⎟ maka koordinat titik A ( x1 , y1 , z1 ) ⎜z ⎟ z P ( x1 , y1 , z1 ) ⎝ 1⎠ z1 y
P
y1 x
x1
0
2. VEKTOR SATUAN * Vektor satuan dengan arah sumbu
x disebut i
* Vektor satuan dengan arah sumbu
y disebut
* Vektor satuan dengan arah sumbu
z disebut k
Sehingga untuk vektor di R 2
y
sedangkan di
R3
j
0
⎛0⎞ ⇒ i = ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎝1⎠
i
⎛0⎞ j = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠
x
⎛0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ i = ⎜ 0⎟ ; j = ⎜1⎟ ; k = ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Vektor satuan dari
a ⇒ l=
j
a a 27
z k 0
y j
i
x
y
3. VEKTOR BASIS Vektor basis di R bila titik
2
P ( x1 , y1 ) ⇒ OP = OQ + QP
sehingga ⇒
j
p = x1 i + y1 j
x1 dan y1 disebut komponen − komponen vektor
i
R(x1 , y1 , z1)
z
OR = OP + PR
r
k
= OQ + QP + PR = x1 i + y1 j + z1 k
j
P
0 i Q
sebuah vektor dalam ruang dapat disajikan
dalam bentuk
⎧* vektor bairs ⇒ r = ( x , y z ) 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎨ ⎪* vektor kolom ⇒ r = ⎜ y1 ⎟ ⎜z ⎟ ⎪ ⎝ 1⎠ ⎩
Panjang suatu vektor ⇒ * Vektor di
p ditulis
p
R2
OP 2 = OQ 2 + QP 2 = x12 + y12 OP =
x12 + y12
⎛x ⎞ Jadi, bila p = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ; panjang vektor p ⇒ ⎝ y1 ⎠ * Vektor di R 3
p =
x12 + y12
OR 2 = OP 2 + PR 2 = OQ 2 + QP 2 + PR 2 = x12 + y12 + z12 OR =
x12 + y12 + z12
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ Bila r = ⎜ y1 ⎟ ; panjang vektor r ⇒ ⎜z ⎟ ⎝ 1⎠
p
0
p
3
Vektor basis di R bila titik R ( x1 , y1 , z1 ) maka :
P(x1 , y1)
r =
28
x12 + y12 + z12
x
x
4. Penjumlahan vektor * komutatif
R
a +b
c = a + b ⇒ PR = PQ + QR
P
b Q
a
Bila PQ = a ⇒ SR = a Bila PS = b ⇒ QR = b maka :
S
R
b
PR = PQ + QR = a + b PR = PS + SR = a + b
Q
P
Sehingga ⇒ a + b = b + a
a
* asosiatif
S
PQ = a ; QR = b ; SR = c maka ⇒
( a + b )+ c = ( PQ + QR)+ RS
c
= PR + SR = PS a + b = (a1 + b1 ) i + (a2 + b2 ) j + ( a3 + b3 ) k
( )
(
a + b + c = PQ + QR + RS
R
P
a Q
)
= PQ + QS = PS
( a + b ) + c = a + (b + c ) R 5. Pengurangan vektor
( )
b
a−b = a+ −b
a
P
= PQ + PS
−b
= PT = QR
T
S
Dari Δ PQR terlihat bahwa PQ − PR = RQ 6. Perkalian Vektor • Vektor dengan Skalar:
()
•
m a = m a1 i + m a2 j + m a3 k Vektor dengan Vektor: - Dot Product: a ⋅ b = a b cos α = a1b1 + a2b2 + a3b3 a1b1 + a2b2 + a3b3 cos α = a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 29
(
)(
)
Q
b
-
Cross Product:
a × b = a ⋅ b sin α = luas jajaran genjang dengan sisi a dan b i j k a × b = a1 a2 a3 b1 b2 b3 A 7. Pembagian: m P mb+m a a p p= n m+n B 0
b
8. Proyeksi suatu vektor ke vektor lain: a. panjang proyeksi a pada b
a
d = a ⋅ cos α =
α
a⋅b b
b
a
b. Vektor yang merupakan proyeksi a pada b ⇒
a ⋅ b 2
b
30
⋅ b
PROGRAM LINEAR I.
Daerah penyelesaian. 1. Persamaan garis lurus yang melalui titik ( X 1 , Y1 ) dengan gradien m : y − y1 = m ( x − x1 ) 2. Persamaan garis lurus yang melalui titik ( X 1 , Y1 ) dan ( X 2 , Y2 ) : y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1 3. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x di titik ( a , 0 ) dan memotong sumbu y di titik ( 0 , b ) : x y + =1 a b 4. Dua garis saling sejajar, bila gradien kedua garis tersebut sama besar atau: m1 = m2 5. Dua garis saling tegak lurus, bila hasil kali kedua gradiennya sama dengan – 1 atau: m1 ⋅ m2 = −1 6. Nilai maksimum dan minimum dalam daerah penyelesaian. Misalkan daerah OABC pada gambar di bawah menyatakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear. y
B (3,6
• •
6 C (0,4
)• •
)
F
G
E
•D 0
3
• •
A (9 , 0
)
x
Andaikan pula dalam daerah penyelesaian tersebut ditentukan adanya fungsi tujuan Z yang dirumuskan dengan Z = 3x + 4 y , maka nilai Z akan berubah-ubah tergantung pada harga x dan y yang disubstitusikan padanya. Titik O C G A B D E F x 0 9 3 0 1 7 3 1 y 0 0 6 4 1 1 5 4 Z = 3x + 4 y 0 27 33 16 7 25 29 19 Nilai Z terkecil adalah 0 sesuai dengan titik O (0 , 0) Nilai Z terbesar adalah 33 sesuai dengan titik B (3 , 6)
31
NOTASI SIGMA Bentuk umum: ⇒
n
∑a k =1 n
k
= a1 + a2 + a3 + a4 + .................. + an
∑n = n c
⇒ c = kons tan ta
k =1 n
∑c a k =1
k =1
k
k =1
n
n
∑( a
n
= c ∑ ak
k
n
± bk ) = ∑ ak ± ∑ bk k =1
n
k =1
n
∑ ( c ak
± d bk ) = c ∑ ak + d
k =1
k =1
n
n −1
k =1
k =0
n
m
n
∑b k =1
k
n +1
∑ ak = ∑ ak +1 = ∑ ak −1 ∑a k =1
k
k =2
= ∑ ak + k =1
n
∑a
k = m +1
k
⇒ dim ana 1 < m < n
n
n+ p
n− p
k =m
k =m+ p
k =m+ p
∑ ak =
∑ ak − p =
∑a
k+ p
Contoh: n
∑p
Buktikan
p =1
2
=
1 n (n + 1) (2 n + 1) berlaku untuk semua bilangan asli n 6
Bukti: - untuk n = 1 , ruas kiri = 12
1 × 1 ( 1 + 1) ( 2 + 1) 6 =1 ruas kiri = ruas kanan
ruas kanan =
n
∑p
2
=
1 k ( k + 1) ( 2 k + 1) ⇒ 6
=
1 2 k ( k + 1) ( 2 k + 1) + ( k + 1) 6
p =1
n
∑p p =1
2
jika n = k + 1
⎧1 ⎫ = ( k + 1) ⎨ k ( 2 k + 1) + ( k + 1)⎬ ⎩6 ⎭ 2 ⎧ 2 k + k + 6 ( k + 1)⎫ = ( k + 1) ⎨ ⎬ 6 ⎩ ⎭ 1 = ( k + 1) 2 k 2 + 7 k + 6 6 1 = ( k + 1) ( k + 2 ) ( 2 k + 3) 6 1 = ( k + 1) { ( k + 1) + 1} { 2 ( k + 1) + 1} 6 n 1 p 2 = n ( n + 1) ( 2 n + 1) ⇒ berlaku untuk setiap bilangan asli n ∑ 6 p =1
{
}
32
SUKU BANYAK & TEOREMA SISA Bentuk umum ⇒ a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ............... an −1 x + an Menghitung Suku Banyak Misalkan : f ( x) = 2 a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ...............an −1 x + an Cara menghitung: dengan cara sustitusi: Jika f ( x) = 2 x 3 + 4 x + 5 , maka nilai suku banyak tersebut untuk x = −1 adalah f (−1) f (−1) = 2(−1)3 + 4(−1) + 5
= −2 − 4 + 5 = −1 dengan pembagian Sintesis Horner: Jika ax 3 + bx 2 + cx + d adalah suku banyak, maka f (h) diperoleh dengan cara: a b c d 2 3 h a⋅h ah + bh ah + bh 2 + ch + Jadi,
-
a
ah 2 + bh + c
ah + b
ah3 + bh 2 + ch + d
kalikan dengan h
Contoh: Hitunglah f (4) jika 2 x 3 + x 2 + 2 x − 20 Jawab: 4 2 4 2 –20 8
48
200
2 12 f ( x) = 180
50
180
+
Pembagian Suku Banyak f ( x) = P( x) H ( x) + s - Jika pembaginya fungsi linear, maka hasil bagi dan sisanya dapat dicari dengan metode pembagian Sintesis Horner. - Jika pembaginya bukan linear dan tidak dapat diuraikan maka digunakan metode Identitas. Contoh: Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak: 2 x3 + 3x 2 + 10 x + 25 dengan x − 1 Jawaban dengan metode Sintesis Horner: Koefisien pangkat x=1 2 3 10 25 2
5
15
2 5 15 Sisanya = 40
40
33
Indentitas. Contoh : carilah hasil bagi sisa dari 3 x 4 − x 3 + 4 x 2 + 5 x − 10 : x 2 − x + 2 Jawaban: Pembagi x 2 − x + 2 ⇒ D = 1 − 8 = −7 < 0 (tidak dapat diuraikan ) yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa 4 3 2 2 3x − x + 4 x + 5 x − 10 = x − x + 2 3x 2 + Ax + B + Px + Q = 3 x 4 − 3 x 3 + 6 x 2 + Ax 3 − Ax 2 + 2 A + Bx 2 − Bx + 2 B + Px + Q 3x 4 − x 3 + 4 x 2 − 5 x − 10 = 3 x 4 + ( A − 3) x 3 + (6 − A + B ) x 2 + (2 A − B + P ) x + Q + 2 B
(
(
1. 2. 3. 4. 5.
3=3 –1=A–3 4=6–A+B 5 = 2A – B + P – 10 = Q + 2B
→ → → →
) (
)(
)
A= 2 B=0 P=1 Q = – 10
Teorema Sisa: 1. suku banyak f (x) jika dibagi (x − a ) , maka sisanya 2. suku banyak f (x) jika dibagi (x + a ) , maka sisanya
⇒ ⇒
f (a) f (−a) ⎛b⎞ 3. suku banyak f (x) jika dibagi (ax − b ) , maka sisanya ⇒ f ⎜ ⎟ ⎝a⎠ 4. suku banyak f (x) jika dibagi (x − a ) , maka ⇒ f (a) = 0 Contoh: • Tentukan sisa pembagian dari 3x 3 − 2 x 2 + 5 x − 40 : ( x − 2 ) Jawaban: Sisa f (2) = 23 − 2 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 − 40 = 8 − 8 + 10 − 40
(
•
= −30 Hitung sisa pembagian dari 3x 4 − x 3 − 5 x 2 + 8 x + 10 : ( x + 1)
(
⇒
)
f (−1) = 3(−1) − (−1) − 5(−1) + 8(−1) + 10 = 3 +1− 5 − 8 +1 =1 Hitung sisa pembagian dari 2 x 2 − 5 x + 15 : (2 x − 1)
Jawaban : sisa
•
)
4
3
(
)
2
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ f ⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎟ − 5 ⎜ ⎟ + 15 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 1 1 = − 2 + 15 2 2 = 13 3 2 Jika f ( x) = x − 10 x + 6 x + 20 f (2) = 23 − 10 ⋅ 22 + 6 ⋅ 2 + 20 = 8 − 40 + 12 + 20 =0
Jawaban : sisa
•
⇒
34
2
)
Teorema Faktor. • Jika pada suku banyak f (x) berlaku f (a) = 0 ; f (b) = 0 ; f (c) = 0 Maka f ( x) habis dibagi (x − a ) ( x − c ) • Jika (x − a ) adalah faktor dari f ( x) , maka x = a adalah akar dari f ( x) (x − a ) f (b) + (x − b ) f (a) • Jika f ( x) dibagi (x − a ) ( x − b ) , maka sisanya ⇒ S = (b − a ) (a − b ) • Jika f ( x) dibagi (x − a ) ( x − b ) ( x − c ) , maka sisanya (x − a ) (x − b ) f (c) + (x − a ) (x − c ) f (b) + (x − b ) (x − c ) f (a) S= (c − a ) (c − b ) (b − a ) (b − c ) (a − b ) (a − c ) Contoh: Tentukan sisa pembagian 2 x 3 − 4 x 2 + 5 x + 10 : ( x − 1) ( x − 2) • Jawaban : x = 1 ⇒ f (1) = 2 ⋅ 13 − 4 ⋅ 12 + 5 ⋅ 1 + 10 = 2 − 4 + 5 + 10
(
x=2 ⇒
(x − a ) S= (b − a )
)
= 13 f (2) = 2 ⋅ 23 − 4 ⋅ 22 + 5 ⋅ 2 + 10 = 16 − 16 + 10 + 10 = 20
f (b) +
(x − b ) (a − b )
f (a) =
(x − 1) ⋅ 20
(x − 2) ⋅ 13
+
1− 2 2 −1 20 x − 20 13 x − 26 = + 1 1 = 20 x − 20 − 13 x + 26 = 7x + 6
Jika f (x) dibagi ( x − 2 ) mempunyai sisa 24, sedangkan jika dibagi dengan ( x + 5) sisanya 10. Jika dibagi dengan x 2 + 3x − 10 sisanya ......... • jawaban : f ( x) = x 2 + 3x − 10 h( x) + px + q = ( x + 5) ( x − 2) h( x) + px + q
(
)
pembagi
sisa
hasil bagi
f (2) = 0 + 2 p + q = 24........................(i ) f (−5) = 0 + (−5 p) + q = 10.................(ii ) dari (i ) dan (ii ) ⇒ 2 p + q = 24 − 5 p + q = 10 −
= 14
7p 2 p + q = 24 4 + q = 24 q = 20 ⇒ sisa = 2 x + 20
35
⇒
p=2
Akar-akar Suku Banyak (Polinom): • Fungsi berderajad tiga: f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d untuk f ( x) = 0 b 1. x1 + x2 + x3 = − a c 2. x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = a d 3. x1 ⋅ x2 ⋅ x3 =− a • Fungsi berderajad empat: f ( x) = ax 4 + b3 + c 2 + dx + e untuk f ( x) = x b 1. x1 + x2 + x3 + x4 = − a 2. x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 3. x1 x2 x3 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4 + x2 x3 x4 = − 4. x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ x4
=
=
c a
d a
e a Rumus:
1. x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 2
2. x12 + x22 + x32 = ( x1 + x2 + x3 ) − 2 ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) 2
3. x13 + x23 + x33 = ( x1 + x2 + x3 ) − 3x1 x2 x3 ( x1 + x2 + x3 ) 3
36
BAHASA INGGRIS PASSIVE VOICE Bentuk umum ⇒ to be + Verb3 ( Past Participle ) • Subject pada kalimat pasif berasal dari object kalimat aktif. • ‘Be ...... ing’ dalam aktif menjadi ‘being’ dalam bentuk pasif. • Verb3 dalam kalimat pasif dibentuk oleh verb pada kalimat aktifnya. • Hanya kalimat transitif (kalimat yang mengandung object) yang bisa diubah dalam bentuk pasif dan atau kalimat pasif hanya berlaku bagi kata kerja transitif. • Tense pada kalimat pasif mengikuti bentuk kalimat aktifnya. • Kalimat pasif digunakan hanya untuk ingin menonjolkan hasil tindakan daripada pelaku tindakan tersebut Pr esent Active Passive Simple S + is / am / are + V3 S + V1 + O
Conjunction
S + is / am / are + Ving
S + is / am / are + being + V3
Perfect
S + have / has + V3
S + have / has + been + V3
Perfect continuous
S + have / has + been + Ving
S + have / has + been + being + V3
Past Simple
Active S + V2 + O
Passive S + was / were + V3
Conjunction
S + was / were + Ving
S + had + been + V3
Perfect
S + had + V3
S + had + been + V3
Perfect continuous
S + had + been + Ving
S + had + been + being + V3
Future Simple
Active S + will + V1 + O
Passive S + will + be + V3
Conjunction
S + will + be + Ving
S + will + be + being + V3
Perfect
S + will + have + V3
S + will + have + been + V3
Perfect continuous
S + will + have + been + Ving
S + will + have + been + being + V3
37
Subjunctive Subjunctive atau angan-angan digunakan untuk menyatakan / mengungkapkan kejadian, keinginan ataupun kenyataan yang bertentangan dengan apa yang sesungguhnya ada atau sesungguhnya terjadi. 1. Subjunctive Wish. • Future: ⎧* could ⎪ 3 Subject 1 + wish (that ) + subject 2 + ⎨* would ⎪* were + V ing ⎩
•
Present: Subject 1 + wish (that ) + subject 2 + V2 / were atau ⎧* could have V3 Subject 1 + wish (that ) + subject 2 + ⎨ ⎩* had V3
•
Past: Subject 1 + wish (that ) + subject 2 + had V3 / could have V3
2. Subjunctive as if / as though. • Present: Subject 1 + verb ( present ) + as if / as though + subject 2 + verb past : V2 / were
•
Past: Subject 1 + verb ( past ) + as if / as though + subject 2 + had V3 / been
Catatan: - Jika kalimat punya kata-kata seperti di atas, cari jawaban yang ada had + V3 atau cari kata kerja V2 - Jika kalimat berpola seperti di atas, di-means-kan maka dari positif menjadi negatif. Dan dari negatif menjadi positif. - Perkecualian semua to be harus were.
38
CAUSATIVE Causative adalah suatu pola kalimat yang menyatakan bahwa seseorang / subjek menyebabkan orang lain melakukan sesuatu atau menyebabkan sesuatu dikerjakan untuknya oleh orang lain. 1. Active Causative. • Subjek menyuruh / menyebabkan objek (pelaku) melakukan suatu tindakan. ⎛ have ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ make ⎟ Subject + ⎜ + object ( pelaku ) V1 let ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ help ⎟ ⎝ ⎠ 2. Passive Causative. • Apabila objek dalam causative berupa benda (mati), passive causative digunakan dimana subjek menginginkan sesuatu (objek) dikerjakan oleh orang lain. ⎧ have ⎫ Subject + ⎨ ⎬ + object (benda ) + V3 ⎩ get ⎭
•
Bila causative memakai have, ‘have’ disini berfungsi sebagai kata kerja penuh, oleh karenanya bentuk negatif dan atau interogatif-nya menggunakan do / does / did. Contoh: - You have the flowers delivered (+) - Do you have the flowers delivered? (?)
Arti secara umum
⎧* ask someone to do something ⇒ ⎨ ⎩* subjek tidak be ker ja
39
40
DIRECT − INDIRECT
SPEECH
1. Direct Speech. Direct speech adalah kutipan asli suatu pembicaraan tanpa adanya suatu perubahan. Penulisan direct speech selalu diapit oleh tanda kutip, kalimat selalu diawali huruf kapital. Tanda titik dua (:) diletakkan sebelum direct speech bilamana kata penghubung / pelapornya berada di muka, dan tanda koma (,) harus diletakkan sesudah direct speech bilamana kata penghubung diletakkan setelah atau diantara direct speech-nya. Tanda baca seperti tanda seru (!), tanda tanya (?) yang menunjukkan jenis kalimat direct tidak mengalami perubahan. 2. Indirect Speech. Bentuk kalimat laporan ini adalah untuk menceritakan kembali pembicaraan / pendapat seseorang yang mengalami modifikasi tertentu. Ada tiga jenis indirect speech: - Command / request. - Statement. - Questioin.
•
Command / request. Yang dilaporkan disini adalah suatu perintah. Karena kalimat perintah biasanya tidak mengenal subjek, maka verb dalam direct imperative tidak mengalami perubahan. Verb dalam indirect menjadi ‘to infinitife’ Direct Indirect told ⎫ ⎧ ⎪ asked ⎪ to V1 V1 ⎪ ⎪ ⎪⎪ ordered ⎪⎪ not to V1 Don' t V1 ⇒ subject 1 ⎨ ⎬ + subject 2 + to be adj / adv Be adj / adv ⎪ suggested ⎪ ⎪ begged ⎪ not to be adj / adv Don' t be adj / adv ⎪ ⎪ ⎪⎩ warned ⎪⎭
•
Statement. Kalimat laporan dari suatu pernyataan mengalami beberapa perubahan antara lain: - Pronoun dan possessive adjective. Direct I You My Our
Indirect he / she me / the / she / them / I / him / her his / her their / our
Your
my / his / her
41
-
Keterangan Waktu dan Tempat. Direct Now Today Tommorow Next Last ......... ago Yesterday The day before yesterday Here This These
-
• •
•
Indirect Then That day The next day The day after The following day The ......... after The following The ......... before The previous ......... ......... before The day before Two days before There That those
Tenses. Direct
•
Present : simple, continuous, perfect, perfect continuous Future : simple, continuous, perfect, perfect continuous
•
Indirect Past : simple, continuous, perfect, perfect continuous Past future : simple, continuous, perfect, perfect continuous
Question. Bentuk question dibagi menjadi dua : - berlawanan auxiliary - berlawanan kata tanya (question word) (i). Berlawanan auxiliary Bila pertanyaan tersebut dimulai dengan auxiliary, yang hanya membutuhkan jawaban yes / no, maka dalam hal ini dipakai kata penghubung ‘if’ atau ‘ whether’ dalam indirect-nya. Kalimat indirect ini pertama dirubah ke dalam bentuk pernyataan (statement) lalu dilakukan perubahan seperti pada pola statement di atas. Subject 1 + asked + object + if / whether + subject 2 + (auxiliary ) verb (ii ). Menggunakan kata tan ya (question word / QW ) Subject 1 + asked + object + question word + subject 2 + (auxiliary ) verb
42
TENSES 1. Present Perfect Tense. S + have / has + V3 + O
•
untuk menyatakan suatu kegiatan yang telah selesai dilakukan sekarang.
2. Present Perfect Continuous Tense. S + have / has + been + Ving
•
Untuk menyatakan suatu kegiatan yang dimulai pada waktu lampau dan sekarang masih berlangsung dan ada kemungkinan masih akan terus berlangsung.
3. Future Continuous Tense. S + shall / will + be + Ving
•
Untuk menyatakan suatu kegiatan sedang berlangsung di waktu yang akan datang.
4. Future Perfect Tense. S + shall / will + have + V3
•
Untuk menyatakan kegiatan yang terjadi dan selesai pada saat kegiatan lain berlangsung di waktu yang akan datang.
5. Future Pefect Continuous Tense. S + shall / will + have + been + Ving
•
Pada dasarnya sama dengan future perfect, hanya tense ini lebih menekankan pada saat terjadinya peristiwa. Tense ini mengisyaratkan suatu peristiwa berdurasi di waktu yang akan datang.
6. Past Perfect Tense. S + had + V3
•
Menyatakan suatu kegiatan yang terjadi sebelum kegiatan lain di waktu lampau, biasanya ada dua atau lebih kegiatan yang bersamaan. * Subject 1 + past perfect + before + subject 2 + past simple
* Before + subject 1 + simple past + subject 2 + past perfect * After + subject 1 + past perfect + subject 2 + simple past * Subject 1 + simple past + after + subject 2 + past perfect 7. Past Perfect Continuous Tense. S + had + been + Ving
•
Untuk menyatakan suatu kegiatan yang dimulai sebelum waktu pembicaraan pada waktu lampau dan berjalan terus sampai waktu itu, atau baru saja selesai terjadi sebelum orang tersebut bicara.
8. Simple Future Tense. S + shall / will + V1 atau S + is / am / are + going to + V1
43
MODALS Modals Pr esent Can May Must Will Shall Should
Modals Past Could Might Had to Would Should –
1. Bila terdapat pilihan jawaban yang se-arti / se-makna, maka dianggap salah karena tidak pernah terjadi / terdapat jawaban ganda. 2. Bila soal dinyatakan dalam bentuk lampau, atau mengisyaratkan sesuatu ⇒ mod als + perfective yang telah terjadi, pilih jawaban dalam pola 3. Bila soal mengisyaratkan sesuatu yang terjadi saat ini, maka hindari pilihan mod als + perfective 4. Hindari pilihan would dan would + have + V3 / been , bila kalimat tidak terdapat kata if ; unless ; otherwise karena would have umumnya hanya digunakan untuk pola conditional Makna dan Arti dari Modals 1. Modal + simple form. • could / may / might. Walaupun modal could digunakan dalam conditional / pengandaian selain untuk menyatakan kemampuan, could dapat juga digunakan untuk menyatakan suatu kemungkinan. Dalam hal ini could sama artinya dengan may atau might, pembicara tidak yakin akan sesuatu saat dia menggunakan modal ini.
•
Sould. Modal ini digunakan untuk menyatakan: - saran / anjuran, pendapat, atau keharusan / kewajiban. - harapan.
•
Must. Modal ini digunakan untuk : - keharusan mutlak: Dalam hal ini ‘must’ maknanya lebih kuat daripada ‘should’. Dengan menggunakan ‘should’ orang masih mempunyai pilihan, melakukannya atau tidak, tetapi dengan ‘must’ orang tidak punya pilihan. - Kesimpulan logis. Must digunakan untuk menyatakan bahwa si pembicara menganggap sesuatu itu benar adanya berdasarkan fakta yang ada tetapi kebenaran tersebut tidak harus mutlak.
44
2. Modal + Perfective. Modal + perfective biasanya digunakan untuk menunjukkan waktu lampau. Modal + have + V3 / been Harus diingat, bahwa modal selalu diikuti V1 / be (simple form / bare infinitive), jadi have tidak pernah berubah menjadi has atau had.
•
Could + have V3 / been. Bentuk ini digunakan untuk menyatakan sesuatu hal sebenarnya bisa terjadi di waktu lampau.
•
Might + have V3 / been. Bentuk ini digunakan untuk menyatakan suatu kemungkinan / praduga dari apa yang sudah terjadi di waktu lampau.
•
Should + have V3 / been. Bentuk ini digunakan untuk menyatakan sesuatu yang seharusnya sudah terjadi di waktu lampau, tetapi karena sesuatu hal lain hal tersebut tidak terjadi.
•
Must + have V3 / been. Bentuk ini digunakan untuk menyatakan sesuatu kesimpulan logis dari apa yang telah terjadi di waktu lampau. Harus diingat bahwa untuk menyatakan keharusan di waktu lampau hanya digunakan ‘had to’ atau should + have V3 / been.
45
GERUND Gerund adalah bentuk kata kerja yang karena kasus tertentu harus ditambah –ing (Verb-ing) • Fungsi Gerund dapat hadir sebagai subject, object, dan pelengkap. • Gerund dapat juga hadir setelah: 1. Article. 2. Demonstative pronoun. 3. Possessive. 4. Expression (ungkapan). 5. Kata majemuk. 6. Preposisi.
•
-
Beberapa kata yang harus diikuti Gerund: - Mind. - Enjoy - Finish - Imagine - Keep - Leave - Consider - Give up - Attemp - Learn - Dislike - Prefer - Intend - Deny
46
Deny. Start Bear Begin Suggest Risk Avoid Omit Love Continue Hate Proper Fear Propose Admit
PARTICIPLE Active Participle • Active participle atau present participle adalah verb / kata kerja yang berujung ‘-ing’. Bila active participle didahului oleh ‘to be’ menjadi pola progressive. • Active participle kerap kali muncul setelah objek dari kata kerja: see, hear, feel, listen to, smell, observe, catch, leave, find, look at, notice, watch, keep, dimana fungsinya sebagai adjective atau adverb. • Bila active participle (V-ing) muncul pada awal kalimat hendaknya diperhatikan dan diingat bahwa dalam bentuk active participle tersebut sudah terkandung beberapa arti. - having = setelah (after). - V-ing (active participle) sebagai sub-clause mengandung makna ‘sedang / sementara’. When / while (karena / sebab (because / as / since). - Kata ‘being’ sebagai sub-clause mempunyai arti karena – because / since / as Passive Participle Passive participle atau past participle adalah verb / kata kerja bentuk ke-3. Bila past participle didahului oleh ‘to be’ menjadi passive form. Fungsi dari passive participle: • Untuk menggantikan anak kalimat pengganti kata sifat (relative clause) yang bersifat pasif. • Untuk menyatakan sebab akibat. • Bila active participle (V-ing) muncul di awal kalimat, hendaknya di perhatikan dan diingat arti yang terkandung setelah itu. • V-ing (active participle sebagai sub clause mengandung makna: - sedang / sementara (when / while) - karena / sebab / alasan (because / as / since), dapat juga digunakan dalam kalimat past / passive participle. • Kata ‘Being’ sebagai sub clause mengandung arti karena (because / since / as)
47
IMPERSONAL IT Impersonal it membicarakan tentang : jam, hari, komentar, cuaca, dan ungkapan lain. Impersonal it dapat berarti: 1. Barang / benda / orang / binatang / harga. 2. Waktu / cuaca dan jarak. Impersonal it dapat hadir: • sebagai subject • sebagai object (complement) -
Kata it dapat berfungsi sebagai kata ganti benda (pronoun). Dalam kedudukannya sebagai pronoun, it dinamakan impersonal it (it sebagai kata benda). Bila tidak berkedudukan sebagai pronoun, maka menjadi suatu impersonal ‘it’. “It’ dapat di artikan sebagai ‘itu’ tetapi dalam impersonal it tidak dapat di artikan sebagai ‘itu’, harus disesuaikan dengan pola kalimatnya. Contoh: It seem that evrything will be as planned (kelihatannya semuanya akan seperti yang direncanakan) ⇒ impersonal it
-
Pola kalimat dengan “TO – OO” dan “OO – ing” Impersonal it dapat diikuti oleh kata kerja (verb), lalu kata kerja berbentuk TO – OO (toinfinitive) atau OO – ing tersebut di depan sebagai subjek. It + Verb TO − OO menjadi TO − OO Verb It + Verb OO − ing menjadi OO − ing Verb Pada umumnya, keempat pola di atas dapat dipakai dengan arti yang sama.
-
Pola kalimat : IT + " BE" + ADJ / NOUN Salah satu pola kalimat impersonal it adalah It + be + kata sifat (adjective) / kata benda (noun). Bila diikuti adjective, maka kata it menunjukkan sesuatu tertentu, misalnya: jarak, cuaca, dll.
-
Pola kalimat dengan clause. Impersonal it dapat diikuti oleh kata kerja (verb) dan clause “that”. Clause ini merupakan noun clause, yang kadang-karang boleh ditempatkan di depan.
48
CONCORD Concord adalah persesuaian (agreement) antara subjek dalam suatu kalimat dengan kata kerja (verb) atau auxiliary-nya, yang juga suatu persesuaian antara kata dengan kata lainnya (word agreement). 1. Bila subjek dalam bentuk tunggal (singular), maka harus digunakan kata kerja (verb). ⇒ is , was , has ( verb + s / es ) Auxiliary untuk tunggal • Subjek yang diawali dengan kata ' every.........' ; ' each of .........' ; ' either / either of .........' ; ' neither / neither of .........' harus dianggap singular. • Subjek yang menyatakan jumlah jarak, volume, berat, ruang, dan waktu selalu dianggap tunggal, sehingga predikatnya pun harus tunggal ⇒ is ; was ; has ( V + s / es ) • Untuk menentukan subjek utama dari subjek yang berupa frase panjang, tinggal dilihat kata sebelum preposisi. Bila tunggal maka ⇒ is , was , has ( V + s / es ) , dan bila jamak maka ⇒ are , were , have ( V − tan pa − s / es ) • Subjek yang terbentuk dari gerund (Verb-ing) harus dianggap tunggal, sehingga ⇒ it , was , has ( V + s / es ) harus dipilih untuk melengkapi predikatnya. 2. Subjek dengan menggunakan kata ‘number’ dapat dianggap tunggal tetapi dapat juga dianggap jamak, tergantung pada kata sebelum ‘number’-nya. Bila yang muncul artikel ‘a’, maka dianggap jamak dan bila ‘the’ maka dianggap tunggal. 1. A number of ⇒ are / were / have ( verb tan pa s / es ) 2. The number ⇒ is / was / has (verb + s / es ) 3. Bila kata 'either ' dan 'neither ' diikuti oleh 'or ' kata kerja (verb) dan auxiliary-nya mungkin tunggal atau jamak tergantung pada kata setelah 'or ' apakah tunggal atau jamak. Kalaupun kata ' ot / nor ' berdiri sendiri verb / auxiliary-nya tetap ditentukan oleh kata setelah 'or ' ⎧ either ⎫ ⎧ or ⎫ is / was / has ( verb + s / es ) ⇒ ⎨ ⎬ noun ⎨ ⎬ sin gular noun ⎩ neither ⎭ ⎩ nor ⎭ ⎧ either ⎫ ⎧ or ⎫ ⎨ ⎬ noun ⎨ ⎬ ⎩ neither ⎭ ⎩ nor ⎭
⎧ or ⎫ noun ⎨ ⎬ sin gular noun ⎩ nor ⎭ ⎧ or ⎫ noun ⎨ ⎬ ⎩ nor ⎭
plural noun
⇒
plural noun
⇒
⇒
are / were / have
is / was / has
are / were / have
49
( verb tan pa s / es )
( verb + s / es ) ( verb tan pa s / es )
4. Kata hubung ‘and’ menghubungkan pemakaian jenis dan bentuk kata yang setara, misalnya gerund dengan gerund, klausa dengan klausa, noun dengan noun, adjective dengan adjective, frase dengan frase , dst. Frase setelah ‘and’ berawalan kata tanya (how), maka frase sebelum ‘and’ pun harus brawalan kata tanya. 5. Ungkapan ‘not only ......... but also / as well as .........’ menghubungkan pemakaian kata, frase, klausa yang bentuk dan jenisnya sama / setara. noun noun ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ adjective ⎪ ⎪ adjective ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ adverb ⎪ ⎪ adverb ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ not only + ⎨ phrase ⎬ + but also / as well as + ⎨ phrase ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ verb verb ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ gerund ⎪ ⎪ gerund ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ to inf initive ⎭ ⎩ to inf initive ⎭
50
TO
INFINITIVE
To Infinitive digunakan bila: 1. kata kerja setelah objek pelaku (accusative object) 2. kata kerja setelah kata tanya yang mengawali klausa kata benda (noun clause) 3. kata kerja sebagai complement (O / ADV) 4. kata kerja setelah kata kerja tertentu need want invite hope strive promise hesitate tend order forget learn beg exp ect fail offer desire antent permit demand plan try decide prepare wish claim pretend tell agree refuse advise attemp seem etc. 5. Kata kerja setelah kata sifat: good usual
certain eager anxious
able pleased ready
boring dangerous
glad prepared
wrong diificult common
6. Terdapat sekelompok kata kerja yang dapat diikuti baik gerund (verb-ing) maupun to infinitive (to + verb) yang memiliki pengertian berbeda. stop forget remember Terdapat sekelompok kata kerja yang dapat diikuti gerund (verb-ing) dan to infinitive (to + verb 1), yang arti dan maknanya sama. begin , start , dread , prefer , like , love , continue , can' t s tan d
51
CONJUNCTIO N 1. Besides (preposisi) Semakna dengan ‘in addition’ yang berarti ‘lagi pula’, ‘selain’ yang berfungsi menambah informasi. Kata tersebut mengawali noun / pronoun. Besides (adverb) Berarti ‘lagi pula’, ‘lebih-lebih’, menagawali klausa Kata ‘moreover’ dan ‘furthermore’ memiliki arti yang semakna dengan conjunction ini. 2. However. Memiliki arti ‘namun demikian’, mengawali kata keterangan / sifat / klausa. Pernyataan yang diawali ‘however’ berkontradiksi dengan pernyataan lainnya. Kata ‘but’ dan ‘nevertheless’ memiliki makna yang senada tatkala mengawali sebuah klalimat. 3. Otherwise. Memiliki arti ‘sebaliknya’, ‘jika tidak’ untuk menyatakan kemungkinan akibat yang tidak diharapkan kalau pernyataan sebelumnya / lainnya tidak terpenuhi. Conjunction ‘or’, ‘if not’ dan ‘unless’ dapat menggantikan kedudukan ‘otherwise’. 4. Although / though / eventhough. Memiliki arti ‘walaupun’, menunjukkan kalimat yang bertentangan dan selamanya diikuti oleh bentuk klausa (S + predikat). ‘despite’ dan ‘inspite of’ meskipun artinya sama yaitu ‘walaupun’ tetapi conjunction ini harus diikuti frase / fragmen (noun / pronoun / gerund). 5. As, for, because, since. Ketiganya dapat berarti ‘karena’ ketika diikuti sebuah klausa. 6. Bila terdapat pilihan conjunction yang memiliki arti sama, maka harus dianggap salah, karena tidak pernah terjadi terdapat dua pilihan, carilah kata yang bermakna lain Berikut ini conjunction yang semakna:
⎧ therefore ⎪ hence ⎪ ⎨ ⎪ consequently ⎪⎩ so
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
⎧ eventhough ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ although ⎬ ⎪ though ⎪ ⎩ ⎭
⎧ despite ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ in spite of ⎭
⎧ nevertheless ⎪ however ⎪⎪ still ⎨ ⎪ but ⎪ yet ⎩⎪
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
⎧ furthermore ⎫ ⎪ in addition ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎪ moreover ⎪ ⎪⎩ besides ⎪⎭
⎧ otherwise ⎫ ⎪ unless ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎪ if not ⎪ ⎪⎭ ⎪⎩ or
⎧ because ⎫ ⎪ sin ce ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎪ for ⎪ ⎪⎭ ⎪⎩ as
⎧ when ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ while ⎭
52
ELIPTICAL
CONSTRUCTI ON
Eliptical construction adalah bentuk aklimat majemuk gabungan setara, terjadinya penghilangan bagian predikat yang sama dari suatu kalimat. 1. Gabungan setara. Gabungan setara menggunakan kata ‘and’ Gabungan setara dibagi dua, yaitu: • Positif. ‘Too’ dan ‘so’ digunakan untuk menggabungkan kalimat positif dan juga digolongkan menjadi dua: - Berauxiliary Subject 1 + auxiliary + ( verb ) + and + subject 2 + auxiliary + too atau and + so + auxiliary + subject 2 -
Tidak ber-auxiliary. Subject 1 + verb1 + and + subject 2 + do / does + too atau and + so + do / does + subject 2
Subject 1 + verb 2 + and + subject 2 + did + too atau and + so + did + subject 2 •
Negatif. ‘Either’ dan ‘neither’ digunakan untuk menggabungkan kalimat negatif. Subject + auxiliary not ( verb ) + and + subject 2 + auxiliary not + either atau and + neither + auxiliary + subject 2
2. Gabungan setara berlawanan. * Subject 1 + verb 1 + but / while + subject 2 + do / does not * Subject 1 + verb 1 + but / while + subject 2 + did not * Subject 1 + auxiliary (verb ) + but / while + subject 2 + auxiliary not * Subject 1 + auxiliary not ( verb ) + but / while + aubject 2 + auxiliary
53
DEPENDENT − INDEPENDENT CLAUSE Dependent-independent clause adalah kalimat majemuk yang didalamnya terdiri atas main clause (induk kalimat) sebagai independent clause dan sub-clause (anak kalimat) sebagai dependent clause. Kata-kata kerja (verb) yang digunakan dalam independent clause sering menghendaki anak kalimat. Agree Suppose Promise Feel Ask Tell Remember Guess Be afraid Teach Say Hear Believe understand See Hope Decide Think Show Imagine Expect Be worried To be Know Explain wonder Sorry Learn Susunan anak kalimat (dependent clause) selamanya harus dalam bentuk affirmative atau pernyataan. * Subject + verb / auxiliary + question word + subject + verb / auxiliary
that * Qustion word + subject + verb / auxiliary + main verb / auxiliary • •
that Bila induk kalimat dalam bentuk present atau future, anak kalimat boleh dalam bentuk apa saja. Bila induk kalimat dalam bentuk lampau / past, anak kalimat juga harus dalam bentuk lampau.
54
DERIVATIVE S Derivatives adalah kata jadian, kata yang berasal dari kata lain atau dari pangkal / dasar kata kerja / sifat dan sejenisnya. Partikel yang ditambahkan disebut affixes, yang di awal kata disebut prefix, ditangah disebut infix, di akhir kata disebut suffix. 1. Akhiran dapat digunakan untuk embentuk kata benda, kerja, keterangan, dan sifat. Akhiran / suffix akan merubah jenis kata asalnya. • Noun-forming. ⇒ sec retary millionaire ...is ...ary , ...aire ⇒ analysis ⇒ pedestrian ...ism ...an , ...ian , ...ician ⇒ criticism ⇒ dis tan ce , absence , impor tan ce ...ist ...ance , ...ency ⇒ artist
..er , ...ar , ...or
⇒ lieutenancy , currency ⇒ wisedom , kingdom ⇒ employee , trainee , testee ⇒ teacher , tailor
...ion ...ment ...ness ...ship
⇒ relation ⇒ employement ⇒ happiness ⇒ friendship
...hood ...ic , ...ics
⇒ childhood , brotherhood ⇒ log ic , physics
...t , ...th ...ty
⇒ height , length ⇒ activity
...ancy , ...ency ...dom ...ee
•
Adjective-forming. Akhiran yang membentuk kata sifat ... able, ... ible ⇒ reasonable, edible ... ant, ...ent ⇒ distant, present ⇒ luxurious, lunar ... ar, ... arious ... al ⇒ mortal, partial ⇒ southern, eastern ... ern ... esque ⇒ Arabesque ⇒ beautiful ... ful
•
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
economic superior childish innovative friendly helpless, hopeless childlike
Verb-forming. Akhiran yang membentuk kata kerja ... ate ⇒ graduate ⇒ lenghten ... en ... fy ⇒ clarify ⇒ analyze, anesthetize ... ize, ... yze
⇒
Awalan yang membentuk kata kerja
•
... ic ... ior ... ish ... ive ... ly ... less ... like
Adverb-forming Awalan yang membentuk kata keterangan ⇒ badly, beautifully ... ly ... ward, ... wards ⇒ backwards ... wise ⇒ likewise
55
en ......
⇒
enlarge
2. Prefix Penambahan awaln merubah arti kata, tetapi tidak mengubah jenis kata. a ...... : asleep non ...... : nonsense al ...... : altogether out ...... : outdoor, outgoing dis ...... : dismiss, distract over ...... : oversleep hyper ...... : hypersensitive pre ...... : pretest hypo ...... : hypothesis post ...... : postpone in ...... : incorrect re ...... : reward
•
Bila setelah titik-titik bukan kata benda / kerja / sifat, maka kata yang menentukan adalah kata sebelum titik-titik. Bila muncul Jawaban Kata keterangan Kata kerja Bilangan : one, two etc. Kata benda Article : a / an / the Kata benda Possessive adjective : my, your, etc Kata benda Kata sifat Kata benda Very / quite / more Kata sifat
56
FISIKA MEKANIKA BESARAN dan SATUAN
•
Jika dua buah vektor dijumlahkan, maka ⇒
R =
Penjumlahan Vektor a 2 + b 2 + 2 ab cos α
R =
a sin α
=
b sin β
=
c sin γ
RX2 + RY2
Perkalian Vektor Dot Pr oduct a⋅b = a
Cross Pr oduct
b cos α
Hasil ⇒ Skalar
a×b = a
b sin α
Hasil ⇒ Vektor arah R ⊥ bidang vektor a dan b
KINEMATIKA GERAK LURUS • Jarak yang ditempuh benda = luasan yang dibentuk grafik V – T • Gerak vertikal ke atas adalah GLBB dengan percepatan = –g • Gerak Jatuh Bebas adalah GLBB dengan Vo = 0 dan percepatan = +g • Jika dua gerak peluru masing-masing membentuk sudut α1 dan α 2 , maka jarak terjauhnya akan sama, bila: α1 + α 2 = 900 1 θ ⇒ ( S MAKS ) = θ Jarak terjauh akan terjadi, bila 2
α Perbandingan antara jarak tembak dalam arah mendatar (S) dan S tinggi maksimum peluru (h) ⇒ = 4 ⋅ cot α h Vx = Vo cos α ⇒ tetap Persamaan gerak dalam sumbu x (GLB ) x = Vo cos α ⋅ t
Vy = Vo sin α − g t Persamaan gerak dalam sumbu y ( GLBB )
1 2 gt 2 V y 2 = Vo 2 sin 2 α − 2 g y y = Vo sin α o −
Vo 2 sin 2 α y = hmaks = 2g Vo sin α t= g
Pada titik tertinggi
Vo 2 sin 2α g 2 Vo sin α t= g
x= Pada titik terjauh
V =
Pada sembarang titik
57
V x2 + V y 2
DINAMIKA GERAK LURUS Hukum Newton: 1. Hukum Newton I (Hukum kelembaman): Jika resultan gaya yang bekerja pada benda sama dengan nol, maka benda yang diam akan tetap diam dan benda yang bergerak lurus beraturan tetap bergerak lurus beraturan. 2. Hukum Newton II: Percepatan suatu benda berbanding lurus dengan gaya yang bekerja pada benda dan berbanding terbalik dengan massa benda itu ⇒ F = m⋅a 3. Hukum Newton III: Bila benda A melakukan gaya terhadap benda B, maka benda B melakukan gaya pada benda A sama besar tetapi berlawanan arah.
∑ f ≠ 0 dan ∑τ = 0 Syarat benda mengguling ⇒ ∑ f = 0 dan ∑τ ≠ 0 Syarat benda menggeser dan mengguling ⇒ ∑ f ≠ 0 dan ∑τ ≠ 0
•
Syarat benda menggeser
• •
⇒
Rumus Koefisien gesek: 1. Pada bidang miring, jika benda diam tepat akan bergerak atau meluncur dengan ⇒ μ = tan θ kecepatan konstan 2. Pada batang bersandar di dinding dan membentuk sudut θ terhadap lantai 1 ⇒ μ = cot θ 2 3. Pada batang homogen yang tergantung pada tali dan menempel pada dinding, dengan b beban W (gambar di bawah) ⇒ μ = tan α a
α a
b W
Kesetimbangan tali: Fa Fb F = = c sin α sin β sin γ
Fb
α
Fa cos β1 Fb cos β 2 = sin α1 sin α 2
β2
β1
Fc
β
γ
α1
Fa
α2 Fb
Fa
58
USAHA dan ENERGI Usaha (kerja) ⇒ W = F cos α ⋅ s F F cos α s 1 Ek = m ⋅ v 2 2
Ep = m ⋅ g ⋅ h
Em = Ep + Ek
IMPULS dan MOMENTUM • Momentum adalah impuls dan impuls adalah momentum. P = I = m ⋅ v = F ⋅ Δt •
Pada tumbukan tidak lenting sama sekali, jika benda 1 (massa m1 ) menumbuk benda 2 (massa m2 ) sehingga benda: m + m2 - Menggeser, sejauh s meter ⇒ v1 = 1 2μ⋅g⋅s m1 m + m2 - Bergeser naik h meter ⇒ v1 = 1 2⋅ g ⋅h m1
•
Jika tidak ada gaya luar yang bekerja pada satu sistem, maka jumlah momentum sistem tersebut adalah konstan. I = F ⋅ Δt P =m⋅v I = m v2 − m v1 = P2 − P1 = Δ P
GAYA PEGAS stress = ketegangan strain = regangan jenis mod ulus elastisitas = mod ulus Young
Hukum Hooke energi potensial pegas
F A ΔI e= Io τ F Io E= = = e A ΔI F = k ⋅ Δx 1 1 2 Ep = F ⋅ Δ x = k ⋅ ( Δ x ) 2 2
τ =
F= gaya tekan / tarik (N). A = luas permukaan (m2). ∆I = tambahan panjang (m) Io = panjang mula-mula (m) k = tetapan pegas (N/m) ∆ x = pertambahan panjang
Gerak melingkar • Kecepatan minimum benda di titik terendah agar dapat menempuh satu lingkaran penuh ⇒ vmin imum = 5 g R •
Kecepatan ggerak melingkar pada bandul θ
●
59
⇒ v=
tan θ g I
Percepatan Sentripetal ( asp ) Kecepatan Linear ( v ) Kecepatan Sudut (ϖ ) Gaya Sentripetal ( Fsp ) Periode ( T ) Frekuensi
(f)
GMB v2 =ϖ ⋅ R asp = R 2π R v= =ϖ ⋅ R R 2π ϖ = = 2π ⋅ f T v2 Fsp = m = m ⋅ ϖ 2 ⋅ R = m ⋅ asp R t T= N N f = t
Ket.
v = kececpatan linear (m/s) m = kecepatan sudut (rad/s) R = jari-jari lintasan M = massa (kg) t = lama berputar (s) N = banyak putaran
BENDA TEGAR Rotasi Benda Tegar • Koefisien gesek antara benda dengan lantai pada batang kayu tersandar di dinding 1 ⇒ μB = 2 tan θ + μ A A
NA W
C
NB
B fB
Gerak Rotasi
Momen Gaya
Momen Inersia
1 θ =ω o ± αt 2 Δω α= Δt
Hasil kali gaya tersebut dengan jarak titik terhadap gaya, merupakan besaran vektor, positif jika arahnya searah putaran jarum jam.
Merupakan hasil kali massa dengan kuadrat jarak terhadap sumbu putarnya. Besarnya tergantung pada bentuk, massa, dan sumbu putar benda.
a =α ⋅ R
τ =F×d
I = ∑ m R 2 = m1 R 21 + m2 R22 + .........
ω t =ω o ±αt
Kesetimbangan benda tegar Syarat kesetimbangan: 1. ∑ f = 0 ⇒ ∑ f = jumlah gaya
∑τ = 0
2.
⇒
∑τ
= jumlah momen gaya.
3. kesetimbangan ada dua macam:
⎧* benda diam ⇒ V = 0 ; ω = 0 ⇒ ⎨ ⎩* ∑ f = 0 ; ∑τ = 0
-
Kesetimbangan statik, syarat
-
Kesetimbangan mekanik ⎧⎪* kesetimbangan translasi ⇒ ∑ f = 0 ; ∑τ ≠ 0 ; V = tetap ⇒ ⎨ ⎪⎩* kesetimbangan rotasi ⇒ ∑ f ≠ 0 ; ∑τ = 0 ; ω = tetap
-
60
LISTRIK dan MAGNET LISTRIK • Waktu yang diperlukan oleh alat listrik :
⇒ t = t1 + t2 t ⋅t Rangkaian paralel ⇒ t= 1 2 t1 + t2
Rangkaian seri
•
V = I ⋅R
•
Pengukuran : pengukuran dengan volt meter
⎞ ⎛ V ⇒ RDEPAN = ⎜⎜ − 1⎟⎟ R ⎠ ⎝ VUKUR R pengukuran dengan amperemeter ⇒ RSHUNT = ⎞ ⎛ I ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎠ ⎝ IUKUR
Elektrostatika
Hukum Coulomb Kuat Medan Listrik
F =k
F Q τ Q =k 2 = = Q r ε0 ε0 A Q ε A Kapasitas kapasitor ⇒ C= = 0 V d E=
⇒ ε =
Permitifitas Relatif
Susunan Seri
Kapasitor
⎧ ⎪* ⎪ ⎪* ⇒ ⎨ ⎪* ⎪ ⎪* ⎩
Susunan Paralel
C Q ε ZAT = ZAT = ZAT εUDARA CUDARA QUDARA
1 1 1 1 = + + CS C1 C2 ...... QS = Q1 = Q2 = ...... VS = V1 + V2 + ...... VS : V1 : V2 : ...... =
⎧ ⎪* ⎪ ⎪* ⎪ ⇒ ⎨* ⎪* ⎪ ⎪ ⎪* ⎩
Energi dalam Kapasitor Energi Potensial Listrik
Q⋅q r2
Ep = k =
1 1 1 : : : ...... CS C1 C2
CP = C1 + C2 + ...... QP = Q1 + Q2 + ...... VP = V1 = V2 = ...... QP : Q1 : Q2 = CP : C1 : C2 : ...... VP =
C1V1 + C2V2 + ...... C1 + C2 + ......
⇒ W =
1 1 1 Q2 CV 2 = QV 2 = 2 2 2 C
1 Qq = 4 π ⋅ ε0 r
Potensial Listrik
Ep kQ = = E⋅r q r Unruk dua keping sejajar ⇒ V = E ⋅ d
Hukum Usaha dan Energi
W = Ep2 − Ep1 = q Δ V
V =
61
F = gaya Coulomb (N) Q = q = jumlah muatan (C) r = jarak (m) 1 k= = 9 ⋅ 109 Nm 2 / C 2 4π ⋅ ε 0 E= kuat medan (N/C) τ = rapat muatan (C/m2) ε 0 = permitivitas udara = 8,85 . 10-12 c2/Nm2 Ep = energi potensial V = potensial (volt) d = jarak dua keping (m) C= kapasitas (F)
Elektrodinamika
Q n⋅e = t t I R=ρ A Rt = R0 ( 1 + α Δ t ) I=
Kuat arus listrik Hambatan listrik Hukum Ohm Seri Susunan Hambatan
VAB = VA − VB = I ⋅ R ⇒ RS = R1 + R2 + R3 + .........
I S = I1 = I 2 = I 3 = ......... VS = V1 + V2 + V3 + ......... VS : V1 : V2 : V3 = RS : R1 : R2 : R3
I = kuat arus listrik (A) n = jumlah elektron Q = jumlah muatan (C) e = muatan elektron = 1,6 . 10-19C R = hambatan (Ω) ρ = hambatan jenis (Ω.m) α = koefisien suhu (0C-1) V = potensial (volt)
MEDAN MAGNETIK di sekitar ARUS LISTRIK Besar induksi magnetik berdasarkan geometri pada gambar yang dikenal sebagai Hukum Biot – Savart adalah: dl θ r
arus (I )
dB P
O
1. 2. 3. 4.
sebanding dengan kuat arus listrik (I ) sebanding dengan pajang elemen penghantar d l berbanding terbalik dengan kuadrat jarak r antara titik P dengan elemen penghantar sebanding dengan sinus sudut apit θ antara arus pada d l dengan garis penghubung titik P dengan d l I d l sin θ dB = k r2 Dengan k tetapan ( Wb / Am ) yang memenuhi hubungan Sehingga
⇒ dB=
⇒ k=
μ0 4π
μ0 I d l sin θ 4π r2
dengan μ0 = permeabilitas vakum = 4π x 10-7 Wb A-1m-1 Besarnya induksi magnetik B yang ditimbulkan oleh penghantar lurus berarus I di suatu μ I tempat yang jaraknya a dari suatu penghantar lurus berarus ⇒ B = 0 2π a Dari persamaan di atas, nilai B dapat ditentukan dengan metode integral: θ2 θ2 θ θ2 μ0 I sin θ d θ μ0 I 2 μ0 I μ I ( ) B = ∫ dB = ∫ = sin θ d θ ⇒ = − cos θ = − 0 (cos θ 2 − cos θ1 ) B ∫ 4π a 4π a 4 π a θ1 a θ1 θ1 θ1 4 π
B=
μ0 I (cos θ1 − cos θ 2 ) 4π a 62
Karena θ 2 + β = 1800 , maka cos θ 2 = − cos β . Untuk menyederhanakan notasi θ1 = α . Maka : μ I B = 0 ( cos α + cos β ) 4π a Untuk penghantar yang panjang, α = 00 dan β = 00 , maka: μ I μ I μ I ⇒ B= 0 B= 0 cos 00 + cos 00 = 0 (1 + 1) 4π a 4π a 2π a Penghantar melingkar memiliki keliling l = 2 π a , sehingga besar induksi magnetik di titik P μ I adalah ⇒ B = 0 sin 3 α 2a
(
)
Bila titik P digeser sehingga merupakan titik pusat lingkaran, maka α = 900 dan r = a , μ I induksi magnetik di pusat lingkaran menjadi ⇒ B = 0 2a Untuk penghantar melingkar yang terdiri dari N lilitan, maka induksi magnetik di pusat μ NI lingkaran adalah ⇒ B = 0 2a • Untuk semua bentuk lintasan teretutup yang mengelilingi penghantar berarus I di dalam vakum, medan magnet yang ditimbulkan selalu sedemikian sehingga berlaku: ∫ B d l cos θ = μ0 I Dengan d l adalah elemen panjang dari lintasan tertutup, θ adalah sudut antara arah induksi magnetik B dengan lintasan d l , dan I adalah total kuat arus yang dilingkupi oleh lintasan tertutup. μ NI • Besar induksi magnetik di pusat solenoida ⇒ B = 0 l μ0 N I • Besar induksi magnetik di ujung solenoida ⇒ B = 2l μ NI ( cos α + cos β ) • Induksi magnetik di titik P ⇒ B = 0 2l
MAGNET
⇒ L=
NΦ I
•
Induktansi kumparan
•
Kelajuan gerak partikel dalam medan magnet dan medan listrik
•
Gaya yang dialami kawat dalam medan magnet
63
⇒ F=
I 2 B 2V R
⇒ V =
E B
Induksi Elektromagnetik
Gaya Lorentz
Transformator
GGL Induksi Generator Arus Bolak Balik
Rangkaian RLC
Φ μI μ I μ N I μ0 N I = 0 = 0 = 0 = A 2π a 2 r 2L 2π R FL = BIL sin α = B q V sin α (Arah gaya Lorentz mengikuti aturan tangan kanan) Gaya Lorentz pada dua kawat sejajar berarus listrik μ ⋅I I ⋅L F1 = F2 = 0 1 2 2 π ⋅a Ideal (η = 100% ; PS = PP ) VS N I = S = P VP N P I S Non ideal (η < 100% ; PS < PP ) PHILANG = PP − PS = VP I P − VS I S P VI N I η= S = S S = S S PP VP I P N P I P ε = N ⋅ B ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin ω t Besar tegangan dan arus bolak balik terhadap waktu I = I MAKS sin ω t V = VMAKS sin (ω t ± θ ) (+ = mendahului ; – = tertinggal) V V V V I= = R = L = C Z R X L XC
B=
Z=
R2 + ( X L − X C )
V =
VR2 + ( VL − VC )
tan θ = V =
2
2
X L − X C VL − VC = R VR
B = induksi magnet (W b/m2 = T) I = kuat arus listrik (A) Φ = fluks magnet (Wb) a = jarak ke kawat arus (m) r = jari-jari kawat melingkar (m) N = jumlah lilitan L = panjang solenoida (m) R = jari-jari toroida (m) FL = gaya Lorentz (N) q = muatan (C) v = kecepatan (m/s) α = sudut antara B dan I = sudut antara B terhadap V P = daya listrik ε = GGL induksi A = luas penampang lilitan 2π ω = kecepatan sudut (2πf = ) T f = frekuensi (Hz) T = periode (s) θ = sudut fase V = tegangan total Z = impedansi XL = reaktansi induktif XC = reaktansi kapasitif P = daya
VR2 + ( VL − VC )
2
R VR ( faktor daya ) = Z V P = I 2 R = V I cos θ = I 2 Z cos θ Untuk kawat lurus berarus listrik, arah induksi magnet mengikuti aturan tangan kanan, yaitu: • Ibu jari = arus listrik • Genggaman / telapak = induksi Untuk kawat melingkar, solenoida dan toroida, arah induksi magnet mengikuti aturan tangan kanan, yaitu: • genggaman = arus • ibu jari = induksi cos θ =
64
ZAT dan KALOR Perbandingan rapat massa benda dalam air dan cairan ⎛ m − mC ⎞ ⎟⎟ ρ a ρC = ⎜⎜ U ⎝ mU − mA ⎠
P = Po + ρ g h ρ1 h1 = ρ 2 h2 FA = ρc ⋅ g ⋅ v′ 2 γ cos θ h= ρ ⋅g ⋅r
Tekanan Hidrostatis Bejana Berhubungan Gaya Archimides Tegangan Permukaan KALOR Perubahan Suhu Perubahan Fase Asas Black
Q = mc Δt Q = mL Q diserap = Q dilepas
PEMUAIAN ZAT Muai Panjang Muai Luas
L t = Lo ( 1 + α Δ t ) A t = Ao ( 1 + β Δ t )
Muai Volume
V t = Vo ( 1 + γ Δ t )
RAMBATAN KALOR Konduksi (Hantaran) Konveksi (Aliran) Radiasi (Pancaran) TEORI KINETIK GAS ⇒ Persamaan Gas Ideal Energi Kinetik
Energi dalam Gas
Kecepata Rata-Rata (rms) Gas Ideal
P = tekanan ρ = massa jenis G = percepatan gravitasi h = kedalaman v′ = volume benda terapung Q = kalor m = massa c = kalor jenis L = kalor perubahan t = suhu L = panjang A = luas V = volume α = koefisien muai panjang β = koefisien muai luas γ = koefisien muai volume t = suhu
k ⋅ A ⋅ Δt L H = h ⋅ A ⋅ ΔΤ
H = rambatan k = konstanta konduksi h = konstanta konveksi A = luas 4 L = panjang P = e ⋅σ ⋅ Τ ⋅ A T = suhu mutlak usaha yang dilakukan gas = luas siklus PV = n R T = N k Τ 1 3 3 E k = m v 2 = PV = n R Τ 2 2 2 Suhu Rendah (± 3000C) 3 U = N ⋅k ⋅Τ 2 Suhu Sedang (± 5000C) 5 U = N ⋅k ⋅Τ 2 Suhu Tinggi (± 10000C) 7 U = N ⋅k ⋅Τ 2
H =
V =
3k Τ = m
3P = s
65
3R Τ Mr
TERMODINAMIKA Perubahan efisiensi pada mesin Carnot: - Suhu Tinggi Berubah ⇒ Τ1′ ( 1 − η ′) = Τ1 ( 1 − η ) ′ Τ2 Τ2 - Suhu Rendah Berubah ⇒ = ( 1 − η ′) ( 1 − η )
V1 V2 = Τ1 Τ2 Ρ Ρ Proses Isovolum ⇒ 1 = 2 Τ1 Τ2 Proses Isothermis ⇒ Ρ1 − V1 = Ρ2 ⋅ V2 Proses Adiabatik ⇒ Ρ1 ⋅ V1 = Ρ2 ⋅ V2 ⇒ Τ1 ⋅ V1 = Τ2 ⋅ V2 ⇒ W = Ρ ⋅ ΔV Proses Isobar Proses Isovolum ⇒ W =0 V Proses Isothermis ⇒ W = n R Τ 1n 2 V1 3 Proses Adiabatik ⇒ W = nRΤ 2 Q = Δu + W Q Efisiensi Kerja ⇒ η = Δu = 1− 2 Q1 Τ Efisiensi Suhu ⇒ η = 1− 2 Τ1 Q2 Τ2 = Q1 Τ1 Proses Isobar
Proses-Proses Gas
Usaha Luar / Kerja
Hukum Termodinamika
Mesin Carnot
⇒
66
P = konstan V = volume n = jumlah mol R = tetapan gas ideal k = konstanta konduksi h = konstanta konveksi A = luas L = panjang T = suhu mutlak
GETARAN ; GELOMBANG dan BUNYI GETARAN SELARAS Hubungan antara simpangan dan kecepatan getaran ⎛ V ⎞ ⎟⎟ Y = A 1 − ⎜⎜ ⎝ Vmaks ⎠
2
Hubungan antara energi potansial suatu saat dan energi potensial maksimum
⎛ y⎞ E pt = E pmaks ⎜ ⎟ ⎝ A⎠
2
Hubungan antara kecepatan getaran terhadap simpangan
V = 2π f
A2 − Y 2
Hubungan energi kinetik terhadap simpangan
⎛1 ⎞ Ek = ⎜ mϖ ⎟ ⎝2 ⎠ Getaran Selaras Ayunan
Persamaan Getaran
2
Τ = 2π
(A
2
−Y2)
l g
m l = k f y = A sin ω t a = − ω 2 A sin ω t V = ω A cos ω t 1 Ep = k y 2 2 1 Ep = m ω 2 A2 sin 2 ω t 2 1 EK = mv 2 2 1 EK = mω 2 A2 cos 2 ω t 2 EP + EK = EM = kons tan 1 EM = m ω 2 A2 2 Τ = 2π
67
T = periode (s) l = panjang tali (m)
GELOMBANG
⇒ V =
koefisien di depan t koefisien di depan x x⎞ ⎛ Yt = A sin 2 π ⎜ f t ± ⎟ λ⎠ ⎝ Yt = A sin ( ω t ± kx ) 2π ϖ = f t 2π k=
Persamaan Gelombang
λ 2π Δθ = x λ Δϕ =
Cepat Rambat Gelombang
Δx
λ
Gelombang Transversal F FL F V = = = μ m ρA Gelombang Longitudinal B Dalam Zat Cair ⇒ V =
ρ
Dalam Zat Padat Dalam Gas
⇒ V =
γ
⇒ V =
E
ρ
k = konstanta f = frekuensi (Hz) A = amplitudo (m) Y = simpangan (m) x = simpangan (m) ω = kecepatan anguler (rad/s) v = kecepatan linear (m/s) t = waktu (s) V = cepat rambat (m/s) F = tegangan tali (N) μ = massa per satuan panjang L = panjang tali (m) m = massa tali (kg) ρ = massa jenis B = modulus Bulk E = modulus Young γ = konstanta Laplace
RT Mr
Gelombang Stasioner pada Dawai dengan Ujung Bebas. Persamaan gelombang stasionar akibat pemantulan pada ujung bebas: ⎛x⎞ ⎛t l⎞ y p = 2 A cos 2 π ⎜ ⎟ sin 2 π ⎜ − ⎟ = 2 A cos kx sin ( ω t − k l ) ⎝λ⎠ ⎝T λ ⎠ Amplitudo gelombang stasioner pada ujung bebas tergantung pada jarak dari titik pantul , x , ⎛x⎞ Ap = 2 A cos 2 π ⎜ ⎟ = 2 A cos kx ⎝λ⎠ Letak perut dari ujung pemantul Perut (amplitudo terbesar), yaitu 2A terjadi bila 2π 2π 2π x = n x ⇒ cos x = cos ( n π ) atau x = nπ cos
λ
λ
λ
⎛1 ⎞ x = n ⎜ λ ⎟ , dengan n = 0, 1, 2, KKK ⎝2 ⎠
68
Letak simpul dari ujung pemantul Simpul (amplitudo = 0), terjadi bila 2π 2π π x = 0 ⇒ cos x = cos (2 π + 1) λ λ 2
2π
atau
x = ( 2 π + 1)
π
λ 2 1 x = ( 2 n + 1) λ , dengan n = 0, 1, 2, KKK 4
Simpul trejadi bila
⇒ x = (bilangan ganjil ) ×
1 1 3 5 λ pada posisi ⇒ x = λ , λ , λ , KKK dari titik pantul 4 4 4 4
Gelombang Stasioner pada Dawai dengan Ujung Terikat. Persamaan gelombang stasioner akibat pemantulan pada ujung terikat: ⎛x⎞ ⎛t l⎞ y p = 2 A sin 2 π ⎜ ⎟ cos 2 π ⎜ − ⎟ = 2 A sin kx cos ( ω t − k l ) ⎝λ⎠ ⎝T λ ⎠ Amplitudo gelombang stasioner pada ujung terikat tergantung pada jarak dari titik pantul, x, ⎛x⎞ Ap = 2 A sin 2 π ⎜ ⎟ = 2 A sin k x ⎝λ ⎠ Perut (amplitudo terbesar), yaitu 2A terjadi bila: x 2π π π atau x = ( 2 n + 1) sin 2 π = sin ( 2 n + 1) λ 2 λ 2 1 x = ( 2n + 1) λ dengan n = 0, 1, 2, KKK 4 Simpul (amplitudo = 0), terjadi bila x x sin 2π = 0 ⇒ sin 2π = sin ( n π ) atau
λ
2π
λ
λ
x = nπ
⎛1 ⎞ x = n ⎜ λ ⎟, dengan n = 0, 1, 2, KKK ⎝2 ⎠ Simpul terjadi bila
⇒ x = (bilangan bulat ) ×
1 1 3 λ pada posisi ⇒ x = 0 , λ , λ , λ , KKK dari titik pantul 2 2 2
Hubungan antara taraf Intensitas bunyi terhadap jumlah jumlah sumber bunyi n TI 2 = TI1 + 10 log 2 n1 Hubungan antara taraf intensitas bunyi terhadap jarak ke sumber bunyi R TI 2 = TI1 − 20 log 2 R1
69
Pipa Organa Terbuka Hukum Bernoulli I (perbandingan frekuensi)
⇒
f 0 : f1 : f 2 : ......... = 1 : 2 : 3 : .........
Pola gelombang pada pipa organa terbuka: ∑ simpul = n + 1 , ∑ perut = n + 2 ⇔
∑ perut = ∑ simpul + 1
l = ( n + 1)
1 1 3 λn = λ0 = λ1 = λ2 = ......... 2 2 2 v f n = ( n + 1) f 0 = ( n + 1) 2l Dengan n = 0, 1, 2, ......... = notasi untuk nada dasar, nada atas pertama, dst. Pipa Organa Tertutup Hukum Bernoulli II (perbandingan frekuensi)
⇒
f 0 : f1 : f 2 : ......... = 1 : 3 : 5 : .........
Pola gelombang pada pipa organa tertutup ∑ simpul = ∑ perut = n + 1
1 1 3 5 l = ( 2 n + 1) λn = λ0 = λ1 = λ2 = ......... 4 4 4 4 v f n = ( 2 n + 1) f 0 = ( 2 n + 1) 4l Dengan n = 0, 1, 2, ......... = notasi untuk nada dasar, nada atas pertama, dst. Resonansi Resonansi adalah peristiwa ikut bergetarnya suatu benda karena ada benda lain yang bergetar. Resonansi dapat terjadi bila kedua frekuensi sama atau frekuensi yang satu merupakan kelipatan frekuensi yang lain. Hubungan panjang kolom udara ( l ) terhadap panjang gelombang ( λ ) , adalah : 1 l n = ( 2 n + 1) λ 4 Dengan n = 0, 1, 2, ......... , karena frekuensi garpu tala diketahui, maka cepat rambat gelombang bunyi dapat ditentukan melalui ⇒ v= f λ Energi Gelombang. Energi yang dipindahkan gelombang adalah energi getaran. Besar energi tersebut dapat ditentukan dari energi potensial maksimum getaran, yaitu: energi yang dipindahkan oleh gelombang berbanding lurus dengan kuadrat frekuensi dan kuadrat amplitudo 1 1 E = k ym2 = m ω 2 ym2 = 2 π 2 m f 2 ym2 2 2 Dengan m = massa ( kg ), f = frekuensi ( Hz ), ym = amplitudo (m ), k = kons tan ta
70
Pelayangan Bunyi. f p = f1 − f 2
Dengan
f p = frekuensi pelayangan (banyak layangan / sekon), f1 = frekuensi gelombang y1 (Hz ),
f 2 = frekuensi gelombang y2 (Hz )
Efek Doppler
⇒
fp =
v ± vp v ± vs
fs
atau
fp v ± vp
=
fs v ± vs
f p = frekuensi yang didengar oleh pendengar (Hz )
f s = frekuensi dari sumber bunyi (Hz )
Dengan
⇒
v = cepat rambat gelombang bunyi (m / s ) v p = kecepa tan pendengar (m / s )
vs = kecepa tan sumber bunyi (m / s ) Aturan penetuan tanda v p dan vs adalah: • • • •
Bila pendengar (P ) mendekati sumber, tanda v p ⇒ Bila pendengar (P ) menjauhi sumber, tanda v p
Bila sumber (S ) mendekati pendengar, tanda vs Bila sumber (S ) menjauhi pendengar, tanda vs
positif
⇒ negatif ⇒ negatif ⇒
positif
Bila angin berhembus dengan kecepatan va , cepat rambat bunyi di udara akan dipengaruhi. Bila angin berhembus dari posisi S ke P , maka berlaku: ( v + va ) ± v p fp = f ( v + va ) ± vs s Bila angin berhembus dari posisi P ke S , maka berlaku: ( v − va ) ± v p fp = f ( v − va ) ± vs s
71
FISIKA MODERN Hubungan antara frekuensi ( f ) , panjang gelombang ( λ ) , dan cepat rambat gelombang elektromagnetik ( c ) ⇒ c= f λ A. Gelombang Elektromagnetik
Τ=
Hukum Pergeseran Wien
R=
Hukum Stefan-Boltzman
Cw
λmaks
P = e ⋅ τ ⋅ Τ4 A
T = suhu mutlak (K) Cw = konstanta = 2,89 . 10-3 m 0K λ = panjang gelombang (m) R = radiasi (watt/m2) P = daya (watt) A = luas e = emisivitas (0 < e < 1) τ = konstanta = 5,67 . 10-8 W/m2K4
B. Re lativitas Einstein
1 c γ = = cos θ a
c b
a Vt =
Realtivitas Kecepatan Realtivitas Massa, Panjang, dan Waktu
Kesetaraan Massa dan Energi
1
γ =
V1 + V2 V ⋅V 1+ 1 2 2 C M L ΔΤ = = 0 = M0 L Δ Τ0
V2 C2 Benda bergerak E = m c 2 = γ ⋅ m0 ⋅ c 2 Benda Diam E0 = m0c 2 Energi Kinetik Ek = E − E0 = ( 1 − γ ) m0c 2 1−
E foton = h f = Teori Kuantum
hc
λ
Etotal = n h f = n Efek Foto Listrik Hipotesa De Broglie
hc
λ
Ek = E − W = h f − W =
λ=
h h = P m⋅∂
72
hc
λ
−W
V = kecepatan Vt = kecepatan relatif γ = konstanta transformasi M = massa bergerak M0 = massa diam L = panjang bergerak L0 = panjang diam ∆T = waktu bergerak ∆T0 = waktu diam m = massa diam c = laju cahaya (3 x 108 m/s)
h = konstanta Planck (6,6 . 10-34J.s) n = jumlah foton λ = panjang gelombang cahaya c = laju cahaya (3 x 108 m/s) f = frekuensi Ek = energi kinetik E = energi foton W = fungsi kerja P = momentum partikel ∂ = laju partikel
OPTIKA Bayangan pada Cermin / Lensa
•
⇒
S= f ±
f M
Sifat bayangan pada cermin cekung dan lensa cembung: - RBENDA + RBAYANGAN = 5
⎧* diperbesar ⇒ RBAYANGAN ⎨ ⎩* diperkecil RBENDA = 1 ⇒ maya , tegak
-
RBAYANGAN
-
Jika
RBENDA ≠ 1 ⇒ nyata , terbalik
Pembiasan pada Prisma Cahaya yang merambat melalui prisma akan mengalami dua kali pembiasan, yaitu saat memasuki dan meninggalkan prisma. Jika sinar datang dan sinar bias diperpanjang, maka keduanya akan berpotongan di R dan membentuk sudut yang dinamakan : Sudut Deviasi (D ) T N2 β N1 udara D R udara θ1
θ 2 θ3
θ4
S
sinar datang
sin ar keluar
prisma
β = θ 2 + θ3 D = θ1 + θ 4 − β Deviasi Minimum ⇒ Dm = 2 θ1 − β Jika indeks bias medium adlah nm , maka dengan menggunakan Hukum Snellius diperoleh: 1 1 nm sin ( β + Dm ) = n p sin β 2 2
(
Khusus untuk sudut pembias (sudut puncak) prisma yang kecil β ≤ 150
)
⎞ ⎛ np Dm = ⎜⎜ − 1⎟⎟ β ⎠ ⎝ nm Lebar spektrum yang ditimbulkan oleh prisma tergantung pada selisih deviasi warna ungu dan warna merah. Selisih antara sudut deviasi kedua warna tersebut disebut : Sudut Dispersi ( ϕ ) ϕ = Du − Dm = ( nu − 1) β − (nm − 1) β
⇓ ϕ = ( nu − nm ) β
73
Pemantulan cahaya Pembiasan cahaya Kaca Plan Paralel
Cermin
Prisma
Pembiasan Bidang Sferis
Lensa
Kekuatan Lensa
Lensa Gabungan
∠i=∠ p n2 sin i v1 λ1 = = = n1 sin r v2 λ2 sin ( i − r ) t=d cos r 1 f = R 2 1 1 1 = + f s s′ h′ s′ = m= h s D = 2 i1 − β n1 n2 n2 − n1 + = R s s n ⋅ s′ h′ m= 1 = n2 ⋅ s h 1 ⎛ nL − 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ + ⎟⎟ = ⎜⎜ f ⎝ nm ⎠ ⎝ R1 R2 ⎠ 1 1 1 = + f s s′ h′ s′ = m= h s 100 P= f ( f dalam cm ) 1 1 1 1 = + + + ......... fg f1 f 2 f 3
i = sudut datang p = sudut pantul r = sudut bias n = indeks bias v = cepat rambat dalam medium λ = panjang gelombang d = tebal lensa D = deviasi minimum β = sudut pembias prisma f = jarak fokus ⊕ cermin cekung Ө cermin cembung s = jarak benda s′ = jarak bayangan h = tinggi benda m = pembesaran ⊕ nyata Ө maya R = jari-jari kelengkungan
Interferensi Maksimum terjadi jika kedua gelombang memiliki fase yang sama (sefase) Dua gelombang memiliki fase yang sama, bila selisih lintasannya sama dengan nol atau bilangan bulat kali panjang gelombang ( λ ) . d sin θ = m λ ⇒ m = 0, 1, 2, KKK Bilangan m disebut orde atau nomor terang. Untuk m = 0 disebut maksimum orde ke-0 (terang pusat). Untuk m = 1 , disebut terang ke-1, dst. Karena l >> d , sudut θ sangat kecil. Maka dapat digunakan pendekatan sin θ ≈ tan θ = sehingga:
pd =mλ l
74
p , l
Interferensi Minimum terjadi jika beda fase kedua gelombang 1800 atau π rad. Lintasan kedua gelombang sama dengan bilangan ganjil kali setengah λ , sehingga: 1⎞ ⎛ d sin θ = ⎜ m − ⎟ λ ⇒ m = 1, 2, 3, KKK 2⎠ ⎝ Bilangan m disebut orde atau nomor gelap. Tidak ada gelap ke-0. Untuk m = 1 disebut p minimum orde ke-1, dst. Mengingat sin θ = tan θ = , maka: l pd ⎛ 1⎞ ⎜ m− ⎟ λ l ⎝ 2⎠ Jarak dua garis terang yang berurutan sama dengan jarak dua garis gelap yang berurutan Δpd =λ l
•
Syarat terjadinya interferensi maksimum (terang) : 1⎞ ⎛ 2 n d cos r = ⎜ m − ⎟ λ ⇒ m = 1, 2, 3, KKK 2⎠ ⎝
•
Syarat terjadinya interferensi minimum (gelap) : 2 n d cos r = m λ ⇒ m = 0, 1, 2, KKK
CINCIN NEWTON • Syarat terjadinya interferensi maksimum (lingkaran terang): 1⎞ ⎛ n r 2t = ⎜ m − ⎟ λ R ⇒ m = 1, 2, 3, KKK 2⎠ ⎝ Dengan rt = jari-jari lingkaran terang ke- m , dan n = indeks bias medium •
Syarat terjadinya interferensi minimum (linkaran gelap) : n r g2 = m λ R ⇒ m = 0, 1, 2, KKK Dengan rg = jari-jari lingkaran gelap ke- m
DIFRAKSI • Garis gelap ke- m terjadi bila
⇒ d sin θ = m λ ⇒ m = 1, 2, 3, KKK p Untuk sudut θ yang kecil sin θ ≈ tan θ = , sehingga l pd =mλ l
Syarat terjadinya garis terang ke- m 1⎞ ⎛ d sin θ = ⎜ m + ⎟ λ ⇒ m = 0, 1, 2, KKK 2⎠ ⎝ Untuk sudut θ yang kecil, maka:
pd ⎛ 1⎞ =⎜ m+ ⎟ λ l 2⎠ ⎝ 75
Difraksi pada Celah Majemuk (KISI) :
d= Pola Difraksi Maksimum Pola Difraksi Minimum
•
1 cm N
⇒ d sin θ = m λ ⇒ m = 0, 1, 2, KKK 1⎞ ⎛ ⇒ d sin θ = ⎜ m − ⎟ λ ⇒ m = 1, 2, 3, KKK 2⎠ ⎝
Pola Difraksi yang dihasilkan oleh lubang sempit berbentuk lingkaran, jika diameter lubang ( D ) , panjang gelombang ( λ ) , dan sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan lubang sempit dengan pusat lingkaran pola difraksi dengan garis yang menghubungkan lubang sempit dengan lingkaran gelap pertama pada pola difraksi ( θ1 ) , maka:
sin θ1 = 1,22
Sudut resolusi minimum ( θ m ) berdasarkan kriteria Rayleigh
λ
D agar dua titik masih dapat dipisahkan secara tepat, ⇒ sin θ m = 1,22
Karena sudut θ m sangat kecil, maka ⇒
λ D
sin θ m = θ m , sehingga berlaku
⇒ θ m = 1,22
λ D
Dengan θ m dalam radian dan D = diameter bukaan alat optik d Untuk θ m yang sangat kecil berlaku juga ⇒ θ m = tan θ m = m , sehingga; l 1,22 λ l dm = θm l = D Dengan d m = daya urai (batas resolusi) dalam meter dan l = jarak benda dari lensa
POLARISASI Hasil percobaan para ahli fisika menunjukkan bahwa cahaya pantul terpolarisasi sempurna jika sudut datang θ1 mengakibatkan sinar bias dengan sinar pantul saling tegak lurus. Sudut datang tersebut disebut sudut polarisasi atau sudut Brewster. Dengan menggunakan hukum pembiasan Snellius, maka: n tan θ1 = 2 n1 Polarisasi karena absorbsi selektif Polarisasi dapat juga terjadi karena suatu bahan menyerap berbagai arah getar sinar yang melaluinya dan mentransmisikan satu arah tertentu. Arah tersebut disebut sumbu mudah 1 dari polaroid ⇒ I1 = I 0 2 Bila sudut antar sumbu mudah P1 dengan P2 adalah θ , intensitas cahaya yang dilewatkan analisator adalah: 1 I 2 = I1 cos 2 θ = I 0 cos 2 θ 2 Polarisasi karena Hamburan Besarnya sudut perubahan arah polarisasi cahaya θ tergantung pada panjang larutan l , konsentrasi larutan c ⇒ θ = c Iα
76
ALAT − ALAT OPTIK
Cacat Mata dan Kacamata
Mikroskop
LUP (Kaca Pembesar)
Rabun Jauh − 100 P= PR Rabun Dekat 100 100 − P= s PR Mata tak Berakomodasi ⎛ s′ ⎞ ⎛ s′ ⎞ M = ⎜⎜ ob ⎟⎟ ⎜⎜ n ⎟⎟ ⎝ sob ⎠ ⎝ f ok ⎠ ′ + f ok d = sob Mata Berakomodasi Maksimum ⎛ s′ ⎞ ⎛ s′ ⎞ M = ⎜⎜ ob ⎟⎟ ⎜⎜ n + 1⎟⎟ ⎝ sob ⎠ ⎝ f ok ⎠ ′ + sok d = sob Mata tak Berakomodasi s M = n f Mata Berakomodasi Maksimum s M = n +1 f
77
ATOM BERELEKTRON BANYAK Bilangan Kuantum Utama Energi total elektron pada kulit ke-n untuk atom hidrogen : 13,6 En = 2 e V n Untuk ion dari atom lain yang juga memiliki sebuah elektron, energi total elektronnya : 13,6 Z 2 En = eV n2 Dengan Z = nomor atom dari unsur tersebut. Besar momentum sudut elektron
⇒ L=
l ( l + 1) h
Elektron atomik yang memiliki momentum sudut berinteraksi dengan medan magnetik luar. Jika diambil arah medan magnetik luar sejajar dengan sumbu Z, maka kemungkinan nilai L untuk arah A tersebut adalah ⇒ LZ = m1 h Spektrum Emisi dan Absorbsi ⎛ 1 1 1⎞ Deret spektrum ⇒ = R ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ λ ⎝ n 1 n2 ⎠ Dengan : λ = panjang gelombang dari gelombang elektromagnetik R = tetapan Rydberg (1,097 x 107m-1) n1 dan n2 = bilangan kuantum utama Ion-ion seperti He+, Li2+, Be+3 masing-masing elektron memiliki sebuah spektrum yang mirip dengan spektrum atom hidrogen, persamaannya dinyatakan: ⎛ 1 1 1⎞ = Z 2 R ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ λ ⎝ n 1 n2 ⎠ Dengan Z = nomor atom.
78
KIMIA TERMOKIMIA Hukum Hess: Pada reaksi kimia, kalor atau perubahan entalpi tidak tergantung pada jalannya reaksi, tetapi tergantung pada keadaan awal dan akhir.
Κ3
Η4 ⎯Δ⎯ ⎯ → Κ4
Δ Η3 keadaan awal
Δ Η5
( Κ1 )
⎯Δ⎯ → Η
(Κ 2 ) keadaan akhir
∆H = H2 – H1 = HPRODUK – HREAKTAN = ∆H3 + ∆H4 + ∆H5 Energi Ikat rata-rata: ∆Hreaksi = ∑Ei reaktan – ∑Ei produk = ∑Epemutusan ikatan – ∑Epembentukan ikatan •
Hukum Dasar Ilmu Kimia - Hukum kkekalan massa (Hukum Lavosier) Massa zat sebelum dan sesudah reaksi sama - Hukum Perbandingan Tetap (Hukum Proust) Perbandingan massa unsur dalam setiap senyawa adalah tetap Dari hukum tersebut dapat dirumuskan: % massa zat yang di tan ya =
∑ % Mr yang di tan ya × % massa yang diketahui ∑ % Mr yang di tan ya
- Hukum Perbandingan Berganda (Hukum Dalton) Jika dua unsur dapat membentuk dua senyawa atau lebih, dan massa salah satu unsur sama, maka perbandingan massa unsur kedua berbanding sebagai bilangan bulat dan sederhana - Hukum Gas Ideal Untuk Gas Ideal atau suatu Gas yang dianggap ideal berlaku: P ⋅V = n ⋅ R ⋅T
P= tekanan (atmosfer) V = volume (liter) n = mol R = tetapan gas (liter. atm/ml. K) T = suhu (Kelvin)
79
STOIKIOMETRI 1. PxQy dengan berat a gram, maka:
Kadar P =
x ⋅ Ar P x ⋅ Ar P ⋅ 100% dan Berat P = M r ⋅ Px ⋅ Q y M r ⋅ Px ⋅ Q y
2. Senyawa mengandung air kristal, PxQy ⋅ nH 2O , maka 18 n mol H 2O ⋅ 100% atau n = Kadar air kristal = Mr ⋅ Px ⋅ Qy + 18 n mol Px Qy Massa Atom relatif dan Massa Molekul Relatif.
•
Massa atom relatif adalah perbandingan massa atom terhadap
Ar x =
•
1 massa 1 atom C12 12
massa satu atom x 1 massa satu atom C − 12 12
Massa molekul relatif ( Mr ) adalah perbandingan massa satu molekul terhadap 1 atom C12 12 massa satu molekul Y Mr Y = 1 massa satu atom C − 12 12
Rumus Empiris dan Rumus Molekul Rumus Empiris adalah : rumus yang menyatakan perbandingan terkecil atom-atom dari unsur-unsur yang menyusun suatu senyawa Rumus molekul adalah : rumus yang menyatakan jumlah atom-atom dari unsur-unsur yang menyusun satu molekul senyawa Untuk pembakaran senyawa hidrokarbon:
⎧ 1 ⎞ ⎛ * O = n x + y⎟ ⎜ 2 ⎪ 4 ⎠ ⎝ ⎪⎪ n CxHy dibakar ⇒ ⎨* CO2 = nx ⎪ n ⎪* H 2O = y 4 ⎪⎩ Dengan syarat
⇒
80
reaksi stoikiometris
LARUTAN
P 1000 Larutan P % ⇒ m = × Mr ( 100 − P) ⇒ V1 ⋅ M 1 = V2 ⋅ M 2 Pengenceran Larutan V1 = volume sebelum pengenceran M1 = konsentrasi sebelum pengenceran V2 = volume sesudah pengenceran M2 = konsentrasi sesudah pengenceran
⇒ V1 ⋅ M 1 + V2 ⋅ M 2 = V3 ⋅ M 3
Konsentrrasi campuran
Kelarutan (S) dan Hasil Kali Kelarutan (Ksp)
Ksp = ( n − 1)
n −1
Untuk reaksi
• • •
⇒
A ( s)
⋅ Sn
S=n
dan
air ⎯⎯→ m B+
+ n C−
[ ] [ ] m
Ksp ( n − 1)( n −1)
n
Ksp A = B + ⋅ C − Jika hasil kali konsentrasi ion-ion > Ksp, maka larutan lewat jenuh (terjadi endapan) Jika hasil kali konsentrasi ion-ion < Ksp, maka larutan belum jenuh (tidak terjadi endapan) Jika hasil kali konsentrasi ion-ion = Ksp, maka larutan tepat jenuh
Untuk Garam An Bm ⇒ Garam akan mengendap jika: • [ G] > S • Massa mengendap ⇒ [ G ] = konsentrasi garam S = kelarutan Derajad Keasaman (pH) * pH laru tan asam ⇒ hitung * pH laru tan basa ⇒ hitung
Ksp = ( n ) ⋅ ( m ) ⋅ ( S ) n
m
( n+m)
( [ G ] − S ) × vol × Mr
[H ] ⇒ [OH ] ⇒ +
−
Air sedikit terionisasi, karena bersifat elektrolit lemah Pada suhu 250C:
81
[ ] [ ]
pH = − log H + = 14 − pOH pOH = − log OH −
⇒ H 2O
→
H + + OH −
] [ H ] = [ OH ] = 10 M ⇒ K = [ H[ H][ OH O] K [ H O ] = [ H ][ OH ] = 10 ⇒ Kw = [ H ][ OH ] = 10 +
+
−7
−
2
+
−
−14
+
−
−14
2
pH + pOH = pKw dan
pH + pOH = 14
[ ]
[
mencari pH / pOH berarti mencari konsentrasi H + atau OH − Catatan: - pH larutan < 7 : larutan bersifat asam - pH larutan > 7 : larutan bersifat basa - pH larutan = 7 : larutan netral
]
Reaksi-reaksi Asam-Basa
•
•
Asam kuat / Basa kuat Asam kuat ⇒ H + dari asam kuat
[ ] [OH ] dari basa kuat
− Basa kuat ⇒ Asam lemah / Basa lemah Asam lemah ⇒ H + = Ka ⋅ C = C ⋅ K
Basa lemah ⇒ •
[ ] [OH ] = −
Kb ⋅ C = C ⋅ K
Asam + Basa - Sisa Asam kuat / Basa kuat ⎯ ⎯→ ionisasi + sisa asam kuat ⎯ ⎯→ H dari sisa asam kuat sisa basa kuat
-
⎯ ⎯→
[ ] [OH ] dari sisa basa kuat −
⎯ ⎯→
terbentuk buffer / penyangga Ka ⋅ A * buffer asam ⎯ ⎯→ asam lemah + garamnya ⇒ H + = G kb ⋅ B ⎯→ basa lemah + garamnya ⇒ OH − = * buffer basa ⎯ G A / B = selisih asam dan basa (sisa asam lemah / basa lemah) G = yang paling kecil mol-nya (garam) Tidak sisa, maka terjadi hidrolisis: Kw ⋅ G * asam kuat + basa kuat ⇒ H + = kb Sisa Asam lemah / Basa lemah
[ ]
[
-
]
[ ]
[OH ] = −
* asam lemah + basa kuat ⇒
[H ]=
Kw ⋅ G Ka
Kw ⋅ Ka kb Netral terjadi jika Asam kuat + Basa kuat ⎯ ⎯→ garam + air , maka pH = 7. * asam lemah + basa lemah ⇒
82
+
TEORI ASAM BASA * Asam dan Basa berasal dari senyawa yang sama * Asam meiliki lebih 1Η + dari basa − nya 1. ARHENIUS. • Asam adalah zat yang dalam pelarut air menghasilkan ion hidrogen [H+] Contoh : HCl ⎯ ⎯→ H + + C l− • Basa adalah zat yang dalam pelarut air menghasilkan ion hidroksil [OH-] Contoh : NaOH ⎯ ⎯→ Na + + OH − 2. BRONSTED-LOWRY. • Asam adalah pemberi H+ / donor proton (zat yang dapat melepaskan proton) • Basa adalah penerima H+ / akseptor proton (zat yang dapat menerima proton) 3. ASAM-BASA KONJUGASI • Asam konjugasi adalah asam yang kelabihan 1H+ terhadap basa-nya • Basa konjugasi adalah basa yang kekurangan 1H+ terhadap asam-nya H 2O + NH 3 OH − + NH 4− ← ⎯→ Contoh : asam basa basa asam H2O dan OH adalah pasangan asam basa konjugasi NH3 dan NH4+ adalah pasangan basa konjugasi 4. LEWIS. • Asam adalah zat yang dapat menerima pasangan elektron bebas (penerima pasangan elektron bebas) • Basa adalah zat yang dapat melepaskan pasangan elektron (pemberi pasangan elektron bebas). Reaksi Asam Basa
∑V
A
⋅ M A ⋅ V al A = ∑VB ⋅ M B ⋅ V alB
Reaksi dalam Larutan Elektrolit • Asam + basa ⎯ ⎯→ garam + air Contoh : HCl + NaOH ⎯ ⎯→ NaCl + H2O
•
Basa + oksida asam ⎯ ⎯→ garam + air Contoh : NaOH + CO2 ⎯ ⎯→ Na2CO3 + H2O
•
Oksida basa + asam ⎯ ⎯→ garam + air Contoh : K2O + H2SO4 ⎯ ⎯→ K2SO4 + H2O
•
Gas amonia + asam Contoh : NH3 + HCl
⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→
garam amonium NH4Cl
83
• •
Oksida asam + oksida Basa ⎯ ⎯→ garam Contoh : Na2O + CO2 Na2 + CO3 ⎯ ⎯→ Logam aktif + asam non oksidator ⎯ ⎯→ garam + gas H2 ⎯ ⎯→ FeCl2 + H2 Contoh : Fe + 2HCl
•
Logam reaktif I + garam I garam II + logam II ⎯ ⎯→ Contoh : Zn + CuSO4 ⎯ ⎯→ Znso4 + Cu
•
Basa I + garam I ⎯ ⎯→ Contoh : NaOH + CuSO4
•
Garam I + asam I ⎯ ⎯→ garam II + asam II Contoh : FeS + 2HCl ⎯ ⎯→ FeCl2 + H2S
garam II + basa II Na2SO4 + Cu(OH)2 ⎯ ⎯→
Ciri-ciri asam: • Rasanya masam • Larutannya dalam air menghasilkan ion H+ • pH < 7 • [H+] besar • Lakmus merah ⎯ ⎯→ merah • Lakmus biru ⎯ ⎯→ merah Oksida-oksida asam (oksida metaloid): • Oksida yang berasal dari unsur bukan logam • Dalam air membentuk asam Ciri-ciri basa: • pH > 7 • larutannya dalam air menghasilkan ion yang bermuatan positif dan ion hidroksil yang bermuatan negatif (OH) • rasanya licin jika terkena kulit • [OH-] besar • Lakmus merah ⎯ ⎯→ biru • Lakmus biru ⎯ ⎯→ merah Oksida-oksida basa (oksida logam): • Oksida yang berasal dari unsur yang termasuk logam • Persenyawaannya dengan air menghasilkan basa
84
KESETIMBANGAN KIMIA * reaksi dibalik
⇒ k=
1 k1
* dikali n h arg a ⇒ k = ( k 1)
n
Keadaan kesetimbangan.
A + Keadaan setimbang bila
* Kc =
[C ]c [D]d [A]a [B]b
r1 r2
B
C
+
D
⇒ r 1= r 2
* Untuk sistem gas h arg a K dapatdinyatakan dalam tetapan kesetimbangan tekanan ( Kp ) c [ PC ] [PD ]d Kp = [PA]a [PB]b
* Hubungan antara Kc dengan Kp dapat dirumuskan ⇒ Kp = Kc ⋅ (R T )Δ n
untuk sistem yang heterogen ( fasenya tidak sama), h arg a Kc atau Kp diperhitungkan hanya fase gas saja * H arg a K hanya dipengaruhi oleh suhu
Dissosiasi
⇒
A : B : C = (1 − α )
b c ⋅ α ⋅α a a
derajad dissosiasi ( α ) =
jumlah mol yang terurai jumlah mol mula − mula
⇒ zat tidak terurai α =0 ⇒ zat terurai sempurna Jika, α = 1 0 < α < 1 ⇒ zat terurai sebagian Untuk Reaksi yang Berubah Derajad Dissosiasinya
K 21 K 22 = V 1 (1 − k 1 ) V 2 (1 − K 2 ) Pergeseran Kesetimbangan. Asas Le Chatelier : Bila dalam suatu sistem kesetimbangan diberikan aksi yang mengganggu sistem kesetimbangan, maka akan timbul reaksi yang akan memperkecil aksi tersebut.
85
Faktor-faktor yang mempengaruhi kesetimbangan: 1. Konsentrasi : • Jika konsentrasi diperbesar, kesetimbangan akan bergeser ke arah yang berlawanan. • Jika konsentrasi diperkecil, kesetimbangan akan bergeser ke arah zat tersebut. 2. Volume / tekanan: • Jika V > / P < ⎯ ⎯→ kesetimbangan bergeser ke jumlah koefisien yang lebih besar. • Jika V > / P > ⎯ ⎯→ kesetimbangan bergeser ke jumlah koefisien yang lebih kecil. 3. Suhu : • T> ⎯ ⎯→ kesetimbangan bergeser ke endoterm • T< ⎯ ⎯→ kesetimbangan bergeser ke eksoterm 4. Katalis : • Katalis tidak mempengaruhi letak kesetimbangan. • Katalis hanya mempercepat tercapainya kesetimbangan. Catatan: - Bila jumlah mol ke kiri sama dengan ke kanan, maka perubahan tekanan maupun volume tidak mempengaruhi kesetimbangan. - Untuk sistem kesetimbangan heterogen, koefisien (mol) yang diperhitungkan adalah fase gas saja.
86
KECEPATAN REAKSI V = K ( A) cap
x= • •
caq
Vp log Vq
X
( B )Y
dan
y=
Cbr Cbs
log
Vr Vs
Order terhadap A, maka data yang digunakan data B yang tetap. Order terhadap B, maka data yang digunakan data A yang tetap.
Kecepatan Reaksi didefinisikan sebagai pengurangan konsentrasi pereaksi per satuan waktu atau pertambahan konsentrasi hasil per satuan waktu.
kecepa tan reaksi
perubahan konsentras i satuan waktu
=
atau
V = K Cn Dengan : V = kecepatan reaksi K = tetapan kecepatan reaksi C = konsentrasi n = orde reaksi Yang dimaksud perubahan konsentrasi, yaitu: • berkurangnya konsentrasi pereaksi, atau • bertambahnya konsentrasi hasil reaksi Kecepatan Reaksi.
a A + bB ⎯ ⎯→ 1. Untuk reaksi 1 dA 1 dB 1 dC =− ⋅ =+ ⋅ • V =− ⋅ a dT b dT c dT •
Kecepatan Reaksi
cC
⇒ V = k ( A) (B ) a
b
2. Faktor-faktor yang mempengaruhi kecepatan reaksi: - Sifat dan keadaan zat: • Reaksi senyawa ion pada umumnya berlangsung lebih cepat daripada reaksi senyawa kovalen -
Suhu / cahaya: • Dari percobaan setiap kenaikan 100C menyebabkan kecepatan reaksi menjadi dua kali
87
-
-
-
Konsentrasi: • Dari rumus V = k ⋅ C n dapat disimpulkan bahwa: kecepatan reaksi berbanding lurus dengan konsentrasi C. Jika C >> maka V >> Untuk reaksi orde nol, kecepatan reaksi tidak dipengaruhi konsentrasi V = k ⋅ C0 ⇒ V = k Luas permukaan: • Makin halus zat yang bereaksi, makin luas permukaannya, sehingga kemungkinan terjadinya tumbukan lebih besar, maka reaksi akan lebih cepat. Katalis. • Katalisator adalah zat kimia yang dapat mempercepat reaksi (menurunkan Ea). Fungsi katalis untuk menurunkan energi aktivasi Mempercepat ⎯ ⎯→ katalisator Memperlambat ⎯ ⎯→ inhibitor Katalisator terlibat dalam reaksi tetapi tidak mengalami perubahan kimia dan secara fisik bersifat spesifik.
3. Suhu: Δt
•
Vt =Vo ⋅ K V t = kecepa tan pada suhu t Vo = kecepa tan mula − nula K = koefisien suhu 10
Δt = perubahan suhu 4. Orde reaksi / tingkat reaksi
V t = k ( A)
n
N=0 N=1 N=2
⎯ ⎯→ orde nol ⎯ ⎯→ V = k ⎯ ⎯→ orde satu ⎯ ⎯→ V = K (A)1 ⎯ ⎯→ orde dua ⎯ ⎯→ V = K (A)2
Teori Tumbukan. Reaksi kimia terjadi karena adanya tumbukan yang efektif antara atom-atom atau molekul-molekul pereaksi. Tumbukan yang dapat menghasilkan reaksi harus memenuhi syarat: • posisinya baik • atom atau molekul yang bertumbukan mempunyai energi cukup Pengaruh Suhu terhadap Kecepatan Reaksi. Jika laju reaksi pada suhu T0 adalah V0 dan setiap kenaikan 100C kecepatan reaksi naik n kali, maka kecepatan reaksi pada T1 adalah: T 1− T 0
T 1− T 0 10
⎛ 1 ⎞ 10 V1 = n dan t1 = ⎜ ⎟ ⋅ t0 ⋅ Vo ⎝ n⎠ dengan t = waktu reasksi dan T = suhu reaksi
88
REDOKS DAN ELEKTROKIM IA 1. 2. 3. 4. 5.
O2 = -2, kecuali peroksida O = -1 H = +1, kecuali hibrida H = -1 Logam = +valensi senyawa atau unsur netral = 0 Ion = muatan ion
Perkembangan Reaksi Redoks. Oksidasi: • Reaksi suatu zat dengan oksigen • Reaksi yang disertai pelepasan elektron • Mengalami kenaikan bilangan oksidasi (sebagai reduktor) Reduksi: • Reaksi pengurangan / pelepasan oksigen • Reaksi yang disertai penangkapan elektron • Mengalami penurunan bilangan oksidasi (sebagai oksidator)
selisih BO = mol elektron yang menyertai reaksi Catatan: Oksidator : - zat yang mengalami reduksi - lebih mudah menangkap elektron Reduktor: - zat yang mengalami oksidasi - lebih mudah melepas elektron Bilangan Oksidasi. • Bilangan oksidasi unsur-unsur dan molekul-molekul dari atom sejenis = 0 Contoh: bilangan oksidasi Na = 0 bilangan oksidasi H dalam H2 = 0
•
Bilangan oksidasi H dalam senyawa = +1, kecuali dalam senyawa hibrida : BO H = -1 Contoh: BO H dalam H2O = +1 BO H dalam CaH2 = -1
•
Bilangan oksidasi O dalam senyawa = -2, kecuali dalam senyawa: Contoh: OF2, BO O = +2 Peroksida, BO O = -1 (H2O2 , Na2O2 , dsb)
•
Jumlah aljabar bilangan oksidasi dalam senyawa = 0 Dalam senyawa HNO3 berlaku : BO H + BO N + 3BO O = 0
•
Jumlah aljabar bilangan oksidasi seluruh atom dalam ion = muatan ion. Dalam ion SO42- berlaku : BO.2 + 4BO O = -2
89
Penyetaraan Persamaan Reaksi Redoks.
mol elektron = hasil kali koefisien reaksi Setiap persamaan Reaksi kimia harus memenuhi: • Hukum kekekalan massa • Hukum kekekalan muatan Elektrokimia
⎧⎪* anoda ⎯ ⎯→ mengalami oksidasi ⇒ ⎨ ⎪⎩* katoda ⎯ ⎯→ mengalami reduksi
1. Sel Volta. Energi kimia Katoda Anoda
⎯ ⎯→ energi listrik ⎯ ⎯→ + reduksi ⎯ ⎯→ – oksidasi
2. Sel Elektrolisa. Energi listrik ⎯ ⎯→ energi kimia Katoda ⎯ ⎯→ – reduksi Anoda ⎯ ⎯→ + oksidasi 3. Hukum Faraday. e⋅i⋅t • m= 96500 • mA : mB = BE A : BEB massa atom • e= bilangan oksidasi 4. Potensial Sel.
E sel = E reduksi − E oksidasi = E kanan − E kiri ( oksidasi ) 0,059 E 0 sel = E 0 + log ( reduksi ) n
90
KIMIA INTI dan KIMIA KARBON Partikel yang Dipancarkan Zat Radioaktif. Radioaktif adalah : peristiwa perubahan inti atom suatu unsur menjadi inti atom unsur lain yang terjadi secara spontan, disertai pemancaran sinar radioaktif. Unsur-unsur yang dipancarkan sinar tersebut dinamai radioaktif. Sinar radioaktif yang dipancarkan mempunyai sifat: • tidak tampak oleh mata • dapat menghitamkan plat film • mempunyai daya ionisasi terhadap gas • memudarkan benda-benda yang berlapis Zn, S • merusak jaringan tubuh • oleh pengaruh medan magnet atau listrik terurai menjadi sinar alfa, beta, dan gamma Partikel Massa sma Muatan Simbol Sifat 4 4 Partikel 2 He = 2 α Alfa 4 +2 Partikel 0 Beta 0 -1 −1 e Gelombang γ Gamma 0 0 Elektromagnetik 1 Neutron 1 0 n 0 Partikel Proton 1 +1 Partikel P Positron 0 +1 e Partikel Partikel. Penembak efektif
⎯ ⎯→ neutron : - tidak bermuatan - massa besar
γ
Sifat α , β , γ
α
• • • • • • • •
β
• • • • – • • • • +
λ
⎯ ⎯→ kecil Daya tembus ⎯ ⎯→ besar Daya ionisasi ⎯ ⎯→ kecil Peluruhan Radioaktif. Bila terjadi peluruhan: - terjadi unsur baru - terjadi pemancaran -
waktu paruh
⎯ ⎯→
N = No ⋅ e − λ t
11 2
1 0,693 t = 2 λ 91
N ⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ No ⎝ 2 ⎠
n
N = massa bahan setelah terjadi peluruhan No = massa bahan awal T = waktu peluruhan t 12 = waktu paruh λ = konstanta peluruhan t n= 1 t 2 Reaksi Inti. A. Transmutasi. Reaksi inti yang terjadi karena penembakan inti atom sehingga menjadi inti atom baru yang stabil B. Radioaktivitas Buatan. Reaksi inti yang terjadi akibat penembakan inti atom sehingga terbentuk inti atom baru yang tidak stabil yang bersifat radioaktif C. Reaksi Fisi. Pembelahan inti atom karena penembakan inti atom sehingga terbentuk 2 inti atom baru yang disertai dengan sejumlah energi D. Reaksi Fusi. Reaksi yang terjadi akibat bergabungnya dua inti atom ringan menjadi satu inti atom yang lebih berat disertai sejumlah energi yang besar. Perbedaan Fusi dan Fisi. FUSI
• • • •
FISI
• • • •
hasil stabil pencemaran radioaktif dan radiasi kecil energi jauh lebih besar pelaksanaan sulit
92
hasil radioaktif pencemaran radioaktif dan radiasi besar energi cukup besar pelaksanaan mudah
SIFAT KOLIGATIF LARUTAN 1. Penurunan Tekanan Uap Jenuh ⎯ ⎯→ ΔP Menurut Roult : tekanan uap larutan sama dengan tekanan uap jenuh pelarut murninya dikalikan dengan fraksi mol pelarutnya. 2. Kenaikan Titik Didih ⎯ ⎯→ Δ T b Menurut Roult : kenaikan titik didih larutan sebanding dengan jumlah mol zat terlarut. 3. Penurunan Titik Beku ⎯ ⎯→ Δ T f Menurut Roult : penurunan titik beku larutan sebanding dengan jumlah mol zat terlarut 4. Tekanan Osmosis. Tekanan Osmosis adalah beda tekanan antara pelarut dan larutan karena bergeraknya molekul pelarut kearah larutan melalui dinding semi permeabel. Larutan Non Elektrolit. Sifat koligatif yang dapat ditentukan dari larutan non elektrolit adalah: • Δ P = X b ⋅ P0 • ΔT b = m ⋅ K f • ΔT f = m ⋅ K f • π = C ⋅ R ⋅T 1000 W 1 m= ⇒ X b = mol fraksi terlarut ⇒ P 0 = tekanan pelarut murni p M1 Larutan Elektrolit. Sifat koligatif yang dapat ditentukan dari larutan elektrolit adalah: • ΔT b = m ⋅ K b ⋅ i • ΔT f = m ⋅ K f ⋅ i • π = C ⋅ R ⋅T ⋅ i i = 1 + (n − 1) α ⇒ faktor Van' t Hoff Tb tinggi, maka ⎯ ⎯→ m , n , α
⇒ besar
ELEKTROLIT KUAT
ELEKTROLIT LEMAH
Sifat: • terionisasi sempurna • α =1 • Daya hantar listrik kuat Contoh: • Asam: HCl , HBr , HI, HNO3 , H2SO4 • Basa: basa-basa alkali , Sr(OH)2 , Ba(OH)2 • Garam: hampir semua garam elektrolit kuat
93
Sifat: • terionisasi sebagian • 0 < CbY XBY = laki-laki normal XbY = laki-laki penderita XBXb = perempuan karier XbXb = perempuan penderita 4. Albino: - Autosomal resesif - Munculnya dalam keadaan homozygot resesif:
5. Kecenderungan terhadap penyakit tertentu 6. Gangguan-gangguan mental
97
Pp
>< Pp ↓ PP : 2Pp : pp
BIOTEKNOLO GI Bioteknologi merupakan ilmu terapan dari biologi dalam pengolahan bahan oleh agen biologi untuk menyediakan barang dan jasa yang berguna bagi pemenuhan kebutuhan manusia. Bioteknologi dapat dilakukan dengan: 1. Pemanfaatan Mikroorganisme, untuk: A. Menghasilkan bahan pangan B. Menghasilkan sumber obat. C. Membasmi hama tanaman D. Menghasilkan logam E. Sebagai sumber bahan bakar pengganti minyak 2. Rekayasa Genetika, untuk; A. Memproduksi hormon insulin B. Memproduksi hormon pertumbuhan BST 3. Tehnik Hibridoma. 4. Kultur jaringan. REKAYASA GENETIKA. Kloning atau rekayasa genetika merupakan biotehnologi modern yang menimbulkan banyak perubahan dan kemajuan. Teknologi rekayasa genetika disebut juga ADN rekombinan, karena teknologi ini bekerja dengan merubah materi hereditas yakni asam deoksiribonukleat. A. Enzym restriksi: Merupakan enzym yang mampu mengkatalisasi pembelahan ADN di beberapa tempat yang dapat diproduksi. Enzym ini disebut juga endonuklease Restriksi, jadi enzym ini mampu memotong untaian ADN pada tempat-tempat tertentu. B. Enzim Ligase: Untuk menggabungkan potongan ADN luar (invitro) ke dalam plasmid dibutuhkan enzym ligase ADN agar terbentuk plasmid yang tersisipi ADN luar. C. Plasmid: Adalah unsur genetik yang terletak di luar kromosom (ekstrakromosomal) yang mampu melakukan replikasi secara otonom di dalam sel bakteri. D. Kromosom Bakteri: Bakteri termasuk prokariotik karena tidak memiliki membran inti.Kromosom bakteri merupakan molekul ADN berbentuk bulat, telanjang, dan beruntai ganda. ADN terdapat pada daerah di dalam sel yang dinamakan nukleotid, dimana ADN-nya sangat terpilin, terikat dan sangat sedikit partikel sitoplamiknya.
98
TEHNIK HIBRIDOMA: Hibridoma dilakukan dengan penggabungan dua sel yaitu sel Limfosit B mencit dengan Sel Kanker (sel miolema). Sel Limfosit B mampu membentuk antibodi, yaitu komponen protein dari sistem kekebalan yang mampu mengidentifikasi dan meniadakan molekul asing (antigen). Sel kanker mempunyai sifat untuk melakukan pembelahan sel secara terus menerus, sehingga jika dua sel tersebut digabung maka akan dihasilkan sel bastar atau hibridoma yang mampu menghasilkan antibodi yang homogen (monoklonal) dalam jumlah besar secara terus menerus. Antibodi monoklonal dapat digunakan: 1. 2. 3. 4. 5.
Alat diagnostik untuk mengetahui penyebab penyakit Untuk pengobatan Untuk menguji kehamilan pada urin wanita mengurangi daya tolak jaringan ketika dilakukan transplantasi organ mengikat racun
JAMUR Merupakan makhluk hidup yang tidak berklorofil, terdiri atas benang-benang (hifa) yang akan membentuk jaring-jaring (miselium). • Ciri-ciri umum: - Tersusun dari bersel satu atau bersel banyak - Sel jamur memiliki membran inti (Eukariotik) - Dinding sel tersusun oleh kitin, kecuali jamur Oomycotina yang dinding selnya tersusun oleh selulosa - Tidak mengandung klorofil, sehingga tidak mampu mensintesa makan sendiri (heterotrof). - Menyimpan makanan dalam bentuk glikogen - Dalam sistem hidupnya memiliki keturunan diploid yang singkat, kecuali Oomycotina. 1. Oomycotina: Ciri-ciri: - Sperma yang terbentuk berflagel ganda (spora kembar) - Dinding sel tidak dari kitin, tersusun oleh selulosa - Perkembangbiakan dapat secara vegetatif dan generatif - Contoh: Phytium: penyakit rebah semai Phythopthora infestan: penyakit kentang Phythopthora faberi: penyakit pada karet 2. Zigomycotina: Ciri-ciri: - Perkembangbiakan secara generatif dengan pembentukan zigospora - Turunan 2n (diploid) merupakan hasil konjugasi dan mampu membentuk sporangium yang menghasilkan spora yang memiliki kromosom n (haploid) - Contoh: Rhizopus: pada tempe Endomikoriza: jamur tanah
99
3. Ascomycotina: Ciri-ciri: - Umumnya hifa bersekat-sekat - Perkembangbiakan secara generatif dengan pembentukan gelembung seperti bola (Askus) yang menghasilkan Askospora, sedangkan perkembangbiakan secara vegetatif dengan Konidiospora - Contoh: Saccharomyces: penghasil vitamin B komplex Aspergillus flavus: penghasil racun aflatoxinz 4. Basidiomycotina: Ciri-ciri: - Hifa bersekat-sekat - Memiliki tubuh buah (basidiocarp) - Basidium menghasilkan empat spora yang berangkai (2 berjenis (+) dan berjenis (-)), perkawinan antara jenis (+) dan (-) menghasilkan miselium yang berinti dua (Plasmogami) - Contoh: Pucina graminis: jamur api Ustilago: jamur karat Auricularia politricha: jamur kuping Volvariella volvacea: jamur merang 5. Deuteromycotina: Ciri-ciri: - Berkembangbiak secara vegetatif, disebut juga jamur inperfecti (jamur tidak sempurna) - Monilia siptophila pernah dimasukkan dalam kelompok jamur ini - Kebanyakan jamur Deuteromycotina menyebabkan penyakit kulit (dermatomikosis). - Contoh: Trichophyton Epidermophyton
GANGGANG, LUMUTdan PAKU Ganggang, lumut dan paku merupakan makhluk hidup yang bersifat eukariotik dengan catatan Alga Biru tidak dimasukkan. I. ALGA: Klasifikasi alga dikelompokkan berdasarkan pigmen yang dimiliki (zat warna). Alga dibagi menjadi: 1. Alga hijau (Chlorophyceae) 2. Alga keemasan (Chrysophyceae) 3. Alga pirang (Phaeophyceae) 4. Alga merah (Rhodophyceae)
•
Alga hijau: Termasuk Eukariotik (inti yang berdinding). Ada yang bersel tunggal, ada yang bersel banyak berupa koloni, benang, lembaran atau tabung, ada yang mampu bergerak ada yang tidak. Ada juga yang sering digunakan untuk penyelidikan fotosintesa di laboratorium, yaitu: Chlorella.
100
•
Alga keemasan: Zat warna yang menyebabkan alga ini berwarna kuning adalah Karotin. Contoh: Ochoromonas, Navicula dan Vouchheria.
•
Alga pirang: Alga ini berwarna pirang karena zat warna Fukosantin yang mampu menutup warna hijau dari klorofil dan warna kuning dari Karotin. Tempat hidupnya adalah laut, terutama laut yang agak dingin. Beberapa alga pirang menghasilkan asam lagenat yang digunakan untuk perusahaan tekstil dan perusahaan makanan. Bentuk alga pirang semuanya berupa benang dan lembaran. Contoh: Turbinaria, Focus, Visieulocus.
•
Alga merah: Alga ini berwarna merah karena pigmen Fikoeritin yang berwarna merah dan Fikosianin yang berwarna biru. Alga merah banyak mendatangkan manfaat, seperti agar-agar. Contoh: Eucheuma, Spinosum, Gelidium dan Gracilaria.
II.
LUMUT:
•
Lumut berumah satu: dalam satu individu terdapat antheridium dan arkegonium. Contoh: Politricum commune
•
Lumut berumah dua: Antheridium dan Arkegonium terdapat pada individu yang berlainan. Contoh: Marchantia geminata.
Klasifikasi lumut: 1. Klas: Hepaticae (lumut hati) Famili: Anthocerotaceae Ordo: Anthocerotales Spesies: Anthoceros laevis Ordo: Marchantiales Famili: Marchantiaceae Spesies: Marchantia polymorpha Ordo: Jungermaniales Famili: Acrogynaceae Spesies: Plagoichilla asplenoides 2. Klas: Musci (lumut daun) Ordo: Andraeales Famili: Andraeaceae Spesies: Andraea petrophila Ordo: Sphagnales Famili: Spagnaceae Spesies: Sphagnum fimbriatum Ordo: Bryales Famili: Poytrichaceae Spesies: Polytrichum commune
101
INVERTEBRATA 1. Porifera: termasuk metazoa karena terdiri oleh beberapa sel. Dibedakan menjadi: A. Calcarea: rangkanya terdiri atas spikula dari zat kapur, hidup di laut dangkal. Contoh: Sycon, Clatharina dan Schypa B. Hexactinellida (spikula dari kersik, hidup di laut dalam). Contoh: Pheronema dan Euplectella C. Demospongia (tubuhnya lunak, rangka dari silikat, spongin atau campuran, tidak mempunyai rangka luar). Contoh: Euspongia, Spongia dan Cliona. 2. Coelenterata: Daur hidup: - Polip: melekat pada dasar / menetap - Medusa: berenang bebas 3. Anthropoda: Ciri-ciri umum: - Tubuh dan kaki beruas-ruas, bilatedral simetris - Berangka luar - Sistem peredaran darah terbuka, darah bening tidak ber-hemoglobin tetapi mengandung haemocyanin - Sistem syaraf tangga tali - Sistem pernafasan: trakea, insang, paru-paru buku atau permukaan kulit.
102
103
